Modelagem de transformadores

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Aula 16
Modelagem de 
Transformador
Modelagem
Iremos apresentar o modelo do transformador 
para uso no cálculo de fluxo de potência 
em redes de alta tensão. 
Estes modelos descrevem matematicamente o 
comportamento do transformador sob 
condições estacionárias, com as tensões e 
correntes variando senoidalmente, ou seja, 
em regime permanente para a freqüência 
fundamental do sistema (60 Hz).
Para estas condições poderemos representar os 
transformadores trifásicos por seu 
equivalente de seqüência positiva. 
No caso de ligações em delta iremos converter 
para ligações em estrela equivalentes para 
podermos trabalhar com a seqüência 
positiva.
Modelagem (cont.)
Os transformadores utilizados em sistema de 
potência (alta tensão) têm algumas 
características diferentes dos demais. 
Em geral os efeitos de corrente de 
magnetização podem ser desprezados (em 
condições de regime permanente).
Os modelos que iremos utilizar serão 
semelhantes aos modelos Pis utilizados 
para linhas de transmissão. 
Iremos rever o sistema pu e aplicaremos o 
conceito para transformadores.
Finalmente apresentaremos as equações de 
fluxo de potência para os transformadores 
em condições de regime permanente 
(representados por seu equivalente de 
seqüência positiva em pu).
Dado o transformador monofásico a seguir
Podemos representá-lo pelo modelo 
abaixo.
Este modelo será utilizado para dedução 
da expressão de fluxo de potência 
através do transformador.
Equivalentes de transformador 
monofásico
 
 
Vp 
+ 
rd j xd 
gm j bm 
- 
- 
+ 
Vs 
Ip Is 
a : 1
 
No modelo o comportamento elétrico do 
transformador é representado por um 
transformador ideal, com relação de 
transformação a:1.
A impedância série representa o fluxo de 
dispersão (reatância) e a perda no cobre 
(resistência).
A admitância transversal representa a perda 
de magnetização (susceptância) e as 
perdas no ferro (Foucault -condutância). 
Modelo teórico
Da teoria de transformadores surgem as 
indutâncias 
• Lp – indutância própria do primário
• Ls – indutância própria do secundário
• Mps – indutância mútua primário-
secundário
Estas indutâncias são descritas pela 
permeabilidade magnética do material, 
um fator que depende da geometria do 
trafo e um fator de dispersão, além do 
número de espiras dos enrolamentos 
primário e secundário.
Indutâncias 
Analisando os fasores das tensões no 
primário e no secundário do 
transformador pode-se relacionar estas 
indutâncias com as impedâncias 
longitudinais e transversais do modelo. 
Indutâncias (cont.)
Transformador monofásico ideal
dt
dNv
dt
dNv ϕϕ 2211 ==
a
N
N
V
V
==
2
1
2
1
02211 =− NiNi
• Relações de tensão: 
• a – relação de espiras
• Relação de corrente: 
aN
N
i
i 1
1
2
2
1
==
• Circuito equivalente: 
Transformador monofásico ideal
• Relações de Potência: 
• Não há perdas (potência de entrada igual a 
potência de saida)
2
*
22
*
111 SIVIVS ===
• Relações de impedâncias(reflexão): 
2
2
2
22
2
2
1
1
1 ZaI
V
a
a
I
Va
I
VZ ====
Transformador monofásico real
• Considera-se: 
•Perdas ôhmicas, resistência dos enrrolamentos do 
primário e secundário (r1 , r2 );
• Perdas magnéticas por dispersão de fluxo 
magnético � Representadas por Reatâncias lineares
(x1 , x2).
•Perdas no núcleo – Perdas ativas por Foulcaut e 
histerese representada por resistência (rc) e a 
magnetização do núcleo aproximada por reatância
linear (aprox. Pela componente de 1ª h da Corrente de 
magnetização em quadratura com o fluxo) - xm ;
• Circuito equivalente:
• A relação de espiras é válida para V1’ e V2’ e para I1’
e I2.
Transformador 1φ real (em vazio)
• EM VAZIO (SECUNDÁRIO EM ABERTO)
• I2 = 0 � I1’ = 0; 
• A impedância do ramo de magnetização (rc e xm ) é
muito maior que a impedância série equivalente
(pode-se desprezar os parâmetros série).
• Circuito equivalente:
)()()(1 tititi m+= ϕ
•Corrente no primário (da ordem de 5 % da corrente
nominal do trafo):
• Corrente no tensão no secundário: 
a
VV 12 =
Transformador 1φ real (em vazio)
• Devido à não linearidades da curva B x H do núcleo
(ciclo de histerese e eventualmente saturação):
• A corrente de excitação não é senoidal;
• A análise de Fourier mostra que a corrente 
de magnetização possui uma componente 
fundamental em fase com o fluxo e 
harmónicas de ordem ímpar (3ª, 5ª, … )
• Como a If é pequena considera-se somente a 
componente de primeira harmônica:
I1 = Iϕ
• Diagrama fasorial
Transformador 1φ real (com carga)
• I2 ≠ 0 � Todos os parâmetros do circuito
equivalente são considerados; 
•Podemos eliminar o transformador ideal refletindo as 
impedâncias do secundário para o primário e 
utilizando a relação de transformação de tensão e 
corrente.
• Circuito equivalente:
• Como Iϕ << I1 pode-se desprezar o ramo de 
magnetização:
• Em geral para trafos de Potência (centenas de kVA), 
depreza-se as perdas ôhmicas.
A partir de ensaios é possível determinar
os parâmetros do modelo do 
transformador nas condições de regime 
permanente :
• Curto-circuito 
– Com o lado de baixa (secundário) em curto-
circuito impõe-se uma tensão menor do que 
a nominal no lado de alta (primário) de 
modo a se ter corrente nominal no 
secundário em curto e mede-se a tensão e a 
corrente no primário, além da corrente no 
secundário e a potência consumida no 
primário. 
• Em Vazio
– Com o terminal do lado de alta (secundário) 
em vazio ompõe-se tensão nominal no lado 
de baixa (primário) e mede-se a tensão no 
secundário, além da corrente no primário e 
a potência consumida no primário.
Ensaios
Determinação de parâmetros (Ensaio em 
vazio)
• Teste em aberto: Um dos lados do transformador é 
deixado em aberto, normalmente o lado de alta tensão. 
Instrumentos de medição são conectados para medir a 
corrente I1, V1 e a potência ativa na entrada P1. A 
tensão aplicada V1 deve ser igual a tensão nominal do 
transformador (dado de placa). 
• Como um dos lados em vazio teremos:
•I2 = 0 � I1’ = 0; 
• A impedância do ramo de magnetização (rc e xm ) é
muito maior que a impedância série equivalente
(pode-se desprezar os parâmetros série).
• Toda a corrente é responsável pela magnetização do 
núcleo do trafo.
• Como foram desprezadas as perdas ôhmicas no 
cobre, toda a potência ativa medida representa as 
perdas ôhmicas no núcleo do tranformador, e desta
forma calculamos rc e xm:
0
2
1
1 P
V
rc =
c
c
r
VI 1= 22
1 cm III −=
• Resistência do ramo de magnetização
• Correntes Ic e Im do ramo de magnetização
• Reatância de magnetização:
m
m I
VX 11 =
Determinação de parâmetros (Ensaio em 
vazio)
• Nota: Os parâmetros são referentes ao lado de 
aplicação da tensão V1.
• Ensaio em curto: Um dos lados do transformador é 
curto-circuitado, normalmente o lado de baixa tensão. 
Instrumentos de medição são conectados para medir 
as correntes I2, I1, V2 e potência ativa na entrada P2. A 
tensão aplicada V2 deve ser tal que I1 seja igual a 
corrente nominal do transformador (dado de placa). 
• Com o terminal em curto (situação de plena carga) a 
tensão aplicada que resulta na corrente nominal é 
muito menor que a tensão nominal do trafo no lado 
em que a tensão é aplicada;
• Como vimos a corrente de magnétização é de 
pequena ordem de grandeza, na prática as perdas no 
ramo de magnetização são desprezadas neste ensaio.
Determinação de parâmetros (ensaio em 
curto)
Determinação de parâmetros (ensaio em 
curto)
• Desta forma calcula-se o módulo da impedância, Z2 
2
2
2 I
VZ =
• Resistência de perdas no cobre:
2
1
2
2 I
P
requiv =
• Reatânciade dispersão:
2
2
2
22 rZxequiv −=
Exemplos (circuito equivalente)
• (a)Encontre o circuito equivalente aproximado, com 
os parametros refletidos de alta e do lado de baixa 
tensão.
•(b)Expressa a corrente de excitação como uma 
porcentagem da corrente nominal.
•(c)Determine o fator de potência para os testes de 
circuito aberto (sem carga) e curto circuito(plena
carga).
215100Potência (W)
4,552,5Corrente (A)
150220Tensão (V)
Curto CircuitoCircuito Aberto
• Testes são feitos em um transformador monofásico, 
10 kVA, 2200/220, 60 Hz e anotados na tabela abaixo. 
Solução:
Os valores nominais (em módulo) do trafo são 
descritos abaixo.
V2200V2(nominal) = V220V1(nominal) =
A4,55
2200
10000I2(nominal) == A45,5220
10000I1(nominal) ==
kVA10IVIV 1(nominal)12(nominal)2 ==
•(a) Parâmetros do Circuito equivalente.
•Diagrama fasorial para o teste de circuito aberto.
Ω484
100
220
P
V
r
2
1
2
1
1c ===
A0,45
484
220
r
VI
c
1
c ===
A2,460,452,5III 222c
2
1m =−=−=
Ω89,4
2,46
220
I
VX
m
1
1m ===
10
220
2200
a ==
•Parâmetros referidos para o lado de alta 
Ω== 48400rr 2c
2
2c a Ω== 8940XX 1m
2
2m a
•Circuito equivalente e diagrama fasorial para o teste
de curto-circuito.
Solução:
Ω10,4
4,55
215
I
P
r 22
1
2
2equiv
===
Ω== 97,32
55,4
150
2Z
Ω=−=−= 3,314,1097,32 2222
2
22 equivequiv rZx
•Parâmetros referidos para o lado de baixa 
Ω== 104,0r1r 2c21equiv a
Ω== 313,01 221 equivequiv xa
x
Solução:
•(b) Relação porcentual entre corrente de 
magnetização e nominal. Do teste de circuito aberto, a 
corrente (magnetização) é de 2,5 A. Portanto:
%5,5
5,45
5,2%
min
==
alnoI
Iϕ
•(c) Fatores de potência
•Teste de circuito aberto
•Teste de curto-circuito
182,0
2205,2
100
=
⋅
==
S
Pfp
315,0
1505,4
100
=
⋅
==
S
Pfp
Nos modelos para regime permanente o 
transformador é representado por um 
transformador ideal, com sua relação de 
transformação e a impedância série 
referida a um dos lados. O ramo da 
magnetização e as perdas no ferros são 
desprezados.
Modelo referido ao secundário
Modelo referido ao primário
Modelos referidos ao primário e 
secundário
 
Vp 
+ 
zs 
- 
- 
+ 
Vs 
Ip Is 
a : 1
 
 
Vp 
+ 
zp = a
2zs 
- 
- 
+ 
Vs 
Ip Is 
a : 1
 
Conexões de transformadores 
trifásicos
Transformadores trifásicos são utilizados para 
mudar a tensão dos sistemas trifásicos. 
Normalmente em alta tensão se utiliza bancos 
de transformadores trifásicos formador por 03 
unidades monofásicas.
Os enrolamentos primário e secundário podem 
ser conectados em delta ou estrela, formando 
bancos ∆- ∆; ∆ Y ; Y ∆ ou Y Y.
Os transformadores Y-Y têm um menor custo 
de isolamento (tensão do enrolamento menor) 
e permitem acesso ao neutro para aterramento. 
Para eliminar harmônicas um terceiro 
conjunto de enrolamento (terciário) é 
conectado em delta (harmônicas de seqüência
zero – 3a harm.).
O enrolamento terciário é utilizado para 
alimentação local e instalação de compensação 
reativa.
Conexões de transformadores 
trifásicos (cont.)
A tensão do enrolamento terciário é 
normalmente menor (por ex., 500 Y – 230 Y –
69 ∆).
A conexão em delta tem que se isolada para 
tensão de linha (custo maior).
As conexões ∆ Y e Y ∆ são bastante 
freqüentes e são utilizadas como 
transformadores elevadores junto a usinas e 
transformadores abaixadores junto a cargas. O 
neutro do Y normalmente é aterrado.
Relação de transformação de 
transformadores trifásicos
Define-se a relação de transformação dos 
transformadores trifásicos como sendo a 
relação entre as tensões nominais dos 
enrolamentos primário e secundário (relação
entre o número de espiras). 
Vamos analisar o banco de transformador Y-Y 
e Y-∆ .
 
VenrS VenrP
c'
 
b'
 
a'
 
c
 
b
 
a
 
carga
 
Zc 
Zc 
Zc 
Transformador 
 
 
 
enrS
enrP
eq V
V
a =
 
Transformador Y-Y ou ∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆
Como definimos, a relação de transformação a
é definida pela razão entre as tensões dos 
enrolamentos primário e secundário. 
No caso do banco trifásico com conexão Y-Y 
(ou ∆−∆) a relação entre as tensões de linha 
primário/secundário é igual à relação entre as 
tensões de fase primário/secundário (igual à 
tensão dos enrolamentos) e não há defasagem 
entre as tensões dos lados de alta e baixa :
 
Vs
 
Vp
c'
 
b'
 
a'
 
c
 
b
 
a
 
carga
 
Zc 
Zc 
Zc 
φφ
φφ
φφ
φφ
φ
φ
====
s
p
s
p
s
p
s
p
V
V
3
V
3
V
V
V
V
V
a
t
t
Ou seja, para o transformador trifásico Y-Y 
(ou ∆−∆) a relação de transformação a pode 
ser obtida da razão entre as tensões 
nominais de linha ou da razão entre as 
tensões nominais de fase dos lados 
primário/secundário.
Exercício 1
Um banco de transformador conectado em Y-
Y alimenta uma carga de 80 MVA fp 0,85 ind. 
Representar o conjunto transformador + carga 
em Ω.
Diagrama unifilar
 
carga 
N2 N1 
Vnominal 13,8 kVPotência nominal S = 100 MVA
fp – 0,85 atras.Xdispersão : 15,23 Ω (alta)
S = 80 MVA138 kV/13,8 kV
CargaTransformador
Dados
( )
( ) Ω====⇒= φ−
•
−
3805,2
80
8,13
10.3/80
10.3/8,13
S
VZ
Z
V
S
2
6
62
1
2
f
2
Carga no lado de baixa
Carga vista do lado de alta
Ω=





×= 05,238
8,13
1383805,2Z
2
alta
Reatância de dispersão no lado de baixa
Ω=





×= 01523,0
138
8,1323,15X
2
°==θ − 79,3185,0cos 1
Ângulo da impedância
Sistema visto do lado de alta
 
carga 
N2 N1 
trafo 
20
2,
34
 
+
 
j 1
25
,
40
 
Ω
 j 15,23 Ω 
Sistema visto do lado de baixa
 
carga 
N2 N1 
trafo 
2,
02
34
 
+
 
j 1
,
25
40
 
Ω
 j 0,1523 Ω 
Transformador Y-∆ ∆ ∆ ∆ ou ∆∆∆∆−−−−Y
Analisando o transformador trifásico Y-∆ e 
lembrando que a relação de transformação é 
dada pela relação entre as tensões dos 
enrolamentos primário/secundário vemos que :
• No lado em Y a tensão do enrolamento 
corresponde à tensão de fase do sistema,
• No lado em ∆ a tensão do enrolamento 
corresponde à tensão de linha do sistema. 
 
Vs
 
Vp
c'
 
b'
 
a'
 
c
 
b
 
a
 
carga
 
Zc 
Zc 
Zc 
Desta forma temos :
No caso do banco trifásico com conexão Y-∆
a relação entre as tensões de linha é igual a ◊3 
vezes a relação entre as espiras.
Lembrando do diagrama fasorial trifásico 
vemos que um transformador ∆-Y atua como 
um elemento defasador, por incluir uma 
defasagem de 30º entre as tensões ∆/Y. 
a3
V
V
ou
V
V
a
s
p
s
p t
==
φφ
φφ
φφ
φ
a
b
c ab
bc
ca −b
A relação de transformação passa a ser 
vetorial, onde a tensão no lado do ∆ está 
adiantada de 30º em relação a do lado Y.
A relação de transformação pode ser 
representada como a associação em série de 
dois elementos, o primeiro com relação de 
transformação real e o segundo somente com a 
defasagem. 
6/j
s
p
6/j
s
p
e.
V
3
V
e.V
V
a
t pi−
pi
−
φφ
φφ
φφ
φ
==
6/j
d
s
p
r
6/j
s
p
drT
e.1a
V
3
V
a
e.
V
3
V
aaa
pi−
−
pi−
−−
=
=
=+=
φφ
φφ
φφ
φφ
Normalmente a defasagem é cancelada devido 
à existência de vários transformadores em 
cascata. 
Num sistema radial a defasagem pode ser 
ignorada a não ser que haja interesse no 
ângulo das tensões. Com relação ao fluxo de 
potência no sistema radial não há impacto 
porque tanto a tensão quanto a corrente sofremo mesmo defasamento.
Em sistemas com malha fechada é preciso 
verificar se a defasagem precisa ser 
representada.
No Brasil existe uma interligação entre Cemig
e Escelsa onde foi instalado um transformador
Y-∆ (300 MVA 230/138 kV) para gerar a 
defasagem devido à restrições de fluxo de 
potência e esta defasagem deve ser 
corretamente modelada.
Vamos então desprezar a defasagem e lembrar 
que estamos trabalhando com a representação 
de seqüência positiva (“uma fase”). 
Iremos representar a conexão ∆ por um Y 
equivalente e assim trabalharemos somente 
com uma fase, supondo que o sistema esteja 
equilibrado (para que os neutros estejam no 
mesmo potencial).
Quando uma impedância for referida ao lado 
do ∆ ela deve ser corrigida para o Y 
equivalente, lembrando que 
Neste caso a relação de transformação Y-Yeq 
passa a ser dada pelas relações entre as tensões 
de linha (como no caso Y-Y).
3
ZZY ∆=
Y equivalente
Exercício 2 – Trafo Y-∆∆∆∆
Represente o transformador conectado em Y-
∆ por seu equivalente de seqüência positiva. 
Desprezar a defasagem gerada pelo 
transformador.
Diagrama unifilar
Dados
 
N2 N1 
Potência nominal S = 100 MVA
Xdispersão : 15,23 Ω (alta)
138 kV/13,8 kV – Y-∆
Transformador
Reatância de dispersão no lado de baixa
Ω=






×= 4569,0
3/138
8,1323,15X
2
Trabalhando com Y equivalente
Reatância de dispersão no lado de baixa
Ω== 1523,0
3
4569,0X
Transformador visto do lado de alta
 
138 kV
 
N2 N1 
trafo 
j 15,23 Ω 
Transformador visto do lado de baixa (Y 
equivalente seq pos)
 
N2 N1 
trafo 
j 0,1523 Ω 
13,8 kV
 
Reparem que as impedâncias variam com a 
relação de entre as tensões de linha.
O transformador Y-∆ pode ser substituído por 
um equivalente Y-Y : 
As relações de transformação serão :
 
138 kV-13,8 kV 
N2 N1 
 
N2 N1 
138 kV-13,8 kV 
2L
1f
V
V
a =
2L
1L
V
V
a =