Apostila 23 - Inequações exponenciais

Matemáti ca INEQUAÇÕE S EX PONENCIAI S 2 SUMÁRIO Introdução ........................................................................................................................................ 3 Objetivos .......................................................................................................................................... 3 Conceitos .......................................................................................................................................... 3 Resolvendo e xercícios .................................................................................................................... 3 Análise grá fica .................................................................................................................................. 4 Exercícios ................................................................................................................................ ......... 6 Gaba rito ............................................................................................................................................ 6 Resumo ................................................................................................ ............................................. 8 3 Introduçã o Nesta aula abordaremos o tema inequações exponenciais, i nicialm e nte abordaremos o assunto explanando sobre definições e propriedades, seguido de alguns exemplos pr áticos de com o resolver exer cícios que abordam esse assu nto, e por último, iremos abordar curiosidades sobre o assunto. Objetivos \u2022 Reconhecer um a inequação exponencial \u2022 Domina r conceitos e def inições do tema \u2022 Resolver problemas que env olvem o assunto Concei tos Podemos definir i nequações como uma comparação entre duas gr andezas, no sentido de afirmar se uma é maior, menor, maior ou igual ou menor ou igual que a outra. Inequações exponenciais nada ma is são que essas comparações na q ual, em um dos termos da inequação há u m expoente com uma incógnita. Observe alguns exemplos de inequações a seguir: 2 2 65 2 3 2 3 43 34 21 2 2 4 13 5 25 4 xx xx xx +\u2212 \uf0e6 \uf0f6 \uf0e6 \uf0f6 \uf0b3 \uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7 \uf0f8 \uf03e \uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf03c Resolven do ex ercícios A resolução de i nequações e xponenciai s inicia -se com o mesmo objetivo d e u m a equação exponencial: IGUALAR AS BASES (as b ases dos dois te rmos da inequação devem ser as m esmas). Tendo as bases igualadas, nosso problema se restringe a penas a estudar o expoente, então basta an alisar como se fosse uma inequação. 4 Fiqu e Ate n t o! Observe o exemplo a segui r: Exemplo 1 : Ache a solução par a a inequação 7 22 x \uf03c Soluçã o : Como a base a = 2 > 1, n ão precisamos inverter o si nal, além disso, as bases já estão iguai s, portanto basta se preocupar com os expoentes. Veja: 7 x \uf03c Logo a solução par a a inequação é dada por: \ue735 \ued4c \uf23c\ue754 \ue5d0 \ue539\ue200\ue754 \ued4f \ue379\uf23d Exemplo 2 : Ache a solução par a a inequação \uf240 \ueb37 \ueb39 \uf241 \uebeb \ued52 \ueb35\ueb36\ueb39 \ueb36\ueb3b Soluçã o : Como a base \ue372 \ued4f \ue73d \ued4c \uf240 \ueb37 \ueb39 \uf241 \ued4f \ue373 , precisamos in verter o s inal, além d isso, as bases não estão ig uais, portanto temos inicialmente que igualar as bases. Veja: 3 3 3 3 125 3 5 3 3 5 27 5 3 5 5 x x x \u2212 \uf0e6 \uf0f6 \uf0e6 \uf0f6 \uf0e6 \uf0f6 \uf0e6 \uf0f6 \uf0b3 \u2192 \uf0b3 \u2192 \uf0b3 \uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7 \uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8 Agora só precisamos estudar os expoentes. Note que agora inverterem os o sinal: 3 x \uf0a3\u2212 Logo a solução pa ra a inequação é dada por: \ue735 \ued4c \uf23c \ue754 \ue5d0 \ue539\ue200 \ue754 \ued51 \ued46\ue375\uf23d Aná lise gráfica A análise gráfica de in equações exponenciais é semelhante à de i nequações de modo gera l, p ara realiza-la devemos inicialment e lembrar como é um gráfico de uma exponencial. Como forma de facilitar relembrar e mos eles a seguir: Por conta de ser ine quação exponencial devemos ate ntar para o valor da b ase a: \u2022 Caso 01 a \uf03c\uf03c a função é decrescen te, p ortanto d eve - se inv erter o sinal da inequação \u2022 Caso 1 a \uf03e a função é crescente, portanto o sinal da inequação se ma ntém \u2022 5 Note que o gráfico poderá ser crescente ou decres cente d e acordo com a base. Agora , qua ndo se deparar com uma inequação basta olhar a região do gráfico que o exercício está pedindo. Observe: Exemplo 3 : Esboce a regiã o representada pela inequação \ue755 \ued52 \ue741 \uebeb Soluçã o : Primeiramente deve -se notar que a função acima é crescente pois 1 a \uf03e , esse gráfico prova velmente você deve ter vi st o em equações exponencia is. Além disso, deve-se perceber que por existir um sinal de \uf0b3 os pontos seleciona dos deverã o estar contidos na curv a da função e acim a dela. A ssim o grá fico a ser apr esentado s erá o seguinte: 6 Exercíci os 1. (Vu nesp) É dada a inequação: 1 3 2 3 3 9 x x x \u2212 \u2212 \uf0e6\uf0f6 \uf0e6\uf0f6 \uf0b3 \uf0e7\uf0f7 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 \uf0e8\uf0f8 O conjunto verdade V , consider ado o co njunto univ erso como sendo o dos rea is, é dado por: a) V = {x R | x \u2264 \u2013 3 ou x \u2265 2} b) V = {x R | x \u2264 \u2013 3 e x \u2265 2} c) V = {x R | \u2013 3 \u2264 x \u2264 2} d) V = {x R | x \u2264 \u2013 3} e) V = {x R | x \u2265 2} 2. R esolva \ue376 \uebeb\ueb3f\ueb35 \ued45 \ue376 \uebeb \ued46 \ue376 \uebeb\ueb3e\ueb35 \ued50 \ueb3f \ueb35\ueb35 \ueb38 Gabari to 1. Pa ra resolver a inequação ex ponencial proposta no exercício, simplificaremos a fração \ueb37 \ueb3d : ( ) 11 3 3 1 22 1 3 3 3 3 xx x xx x \u2212\u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \uf0e6 \uf0f6 \uf0e6 \uf0f6 \uf0e6\uf0f6 \uf0b3 \u2192 \uf0b3 \uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 \uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8 Multiplicarem os agora o expoente que está dentro dos parênteses pelos que estão fora: 2 3 22 33 xx x \u2212 \u2212 \uf0b3 Podemos estabelecer a inequação apenas en tre os expoentes: 2 3 22 xx x \u2212 \uf0b3 \u2212 Multiplicarem os toda a inequação por dois: 2 2 62 60 x x x xx \u2212 \uf0b3 \u2212 +\u2212\uf0b3 7 Pela fórmula de Bh askara, teremos: 15 2 2 15 3 2 x x \u2212+ \uf0a2 == \u2212\u2212 \uf0a2\uf0a2 = = \u2212 Portan to, a alternativa que corresponde à solução encontrada é a letra a. 2. A i nequação pode ser reescrita com o: 11 1 1 4 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 x x x x x x \u2212+ \u2212\u2212 + \u2212 \uf03e \u2192 + \u2212 \uf0d7 \uf03e Multiplicando tudo por 4 tem os: 11 11 4 4 4 4 ( 1 4 1 6) 11 4 x x x x \u2212+ \u2212 + \u2212 \uf03e \u2192 + \u2212 \uf03e \u2212 4 ( 1 4 16) 1 1 11 4 1 1 41 xx x + \u2212 \uf03e \u2212 \u2192 \u2212 \uf0d7 \uf03e \u2212 \uf03c Portan to temos: 0 4 1 4 4 xx \uf03c \u2192 \uf03c Como a base é maior que 1 temos: X A solução é dada pelos reais negati vos 8 Resumo Resolvendo exercícios Para resolver exercícios devemos lembrar do seguinte passo a passo: \u2022 Igualar as bases \u2022 Trabalhar o ex poente como se fosse uma inequação \u2022 Encontr ar o resultado na forma de intervalo \u2022 Analisar o pedido na questão \u2022 Finaliza r a resposta Vale lembrar que Análise gráfica Para analisarmos gr aficamente de vemos ter e m mento o g ráfico da funçã o exponencial dada, vale lembrar que se d eve analisar a base p ara ver se o gráfico ser á crescente ou decrescente. E m segui da deve -se fazer o esboço do gráfico exponenci al. Para linhas tracejadas usa mos apenas o s inal de desigualdade ( ), para l inhas cheias além d a d esigualdade u tilizam os os sinais de i gualdade ( , ) \uf0a3\uf0b3 . Se a desigu aldade representar maior, a região se l ocalizará aci ma do gráfico, caso contrár io abaixo d o mesmo. Por co nta de ser inequaç ão expon encial devemos atent ar para o valor da base a: \u2022 Caso 01 a \uf03c\uf03c a função é decrescente, por tanto deve- se inverter o sinal da inequação \u2022 Caso 1 a \uf03c a função é crescente, portanto o sinal da inequação se mantém

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