Módulo de Raciocínio Lógico

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EQUAÇÕES DO 1° GRAU 
As equações de primeiro grau são sentenças matemáti-
cas que estabelecem relações de igualdade entre termos 
conhecidos e desconhecidos, representadas sob a forma: 
 
ax+b = 0 
 
Donde a e b são números reais, sendo a um valor dife-
rente de zero (a ≠ 0) e x representa o valor desconhecido. 
 
O valor desconhecido é chamado de incógnita que signifi-
ca "termo a determinar". As equações do 1º grau podem 
apresentar uma ou mais incógnitas. 
 
As incógnitas são expressas por uma letra qualquer, sen-
do que as mais utilizadas são x, y, z. Nas equações do pri-
meiro grau, o expoente das incógnitas é sempre igual a 1. 
 
As igualdades 2.x = 4, 9x + 3 y = 2 e 5 = 20a + b são 
exemplos de equações do 1º grau. Já as equações 3x2+5x-3 
=0, x3+5y= 9 não são deste tipo. 
 
O lado esquerdo de uma igualdade é chamado de 1º 
membro da equação e o lado direito é chamado de 2º mem-
bro. 
 
Como resolver uma equação de primeiro grau? 
 
O objetivo de resolver uma equação de primeiro grau é 
descobrir o valor desconhecido, ou seja, encontrar o valor da 
incógnita que torna a igualdade verdadeira. 
 
Para isso, deve-se isolar os elementos desconhecidos em 
um dos lados do sinal de igual e os valores constantes do 
outro lado. 
 
Contudo, é importante observar que a mudança de posi-
ção desses elementos deve ser feita de forma que a igual-
dade continue sendo verdadeira. 
 
Quando um termo da equação mudar de lado do sinal de 
igual, devemos inverter a operação. Assim, se tiver multipli-
cando, passará dividindo, se tiver somando, passará subtra-
indo e vice-versa. 
 
Exemplo 
Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 8x - 3 
= 5 verdadeira? 
 
Solução 
Para resolver a equação, devemos isolar o x. Para isso, 
vamos primeiro passar o 3 para o outro lado do sinal de 
igual. Como ele está subtraindo, passará somando. Assim: 
 
8x = 5 + 3 
8x = 8 
 
Agora podemos passar o 8, que está multiplicando o x, 
para o outro lado dividindo: 
x = 8/8 
x = 1 
 
Outra regra básica para o desenvolvimento das equações 
de primeiro grau determina o seguinte: 
 
Se a parte da variável ou a incógnita da equação for ne-
gativa, devemos multiplicar todos os membros da equação 
por –1. Por exemplo: 
– 9x = – 90 . (-1) 
9x = 90 
x = 10 
 
Exemplo: 
Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 8x - 3 = 5 
verdadeira? 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU 
A equação do segundo grau recebe esse nome porque 
é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está 
elevado ao quadrado. Também chamada de equação qua-
drática, é representada por: ax2 + bx + c = 0 
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa 
um valor desconhecido. Já as letras a, b e c são chamadas 
de coeficientes da equação. 
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem 
que ser diferente de zero, pois do contrário passa a ser uma 
equação do 1º grau. 
Resolver uma equação de segundo Grau, significa buscar 
valores reais de x, que tornam a equação verdadeira. Esses 
valores são denominados raízes da equação. 
Uma equação quadrática possui no máximo duas raízes 
reais. 
Fórmula de Bhaskara 
Quando uma equação do segundo grau é completa, usa-
mos a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da 
equação. 
A fórmula é apresentada abaixo: 
 
Fórmula do Delta 
Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (del-
ta), que é chamada de discriminante da equação, pois de 
acordo com o seu valor é possível saber qual o número de 
raízes que a equação terá. 
Para calcular o delta usamos a seguinte fórmula: 
 
Passo a Passo 
Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula 
de Bhaskara, devemos seguir os seguintes passos: 
 
1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c. 
Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma 
ordem, portanto, é importante saber identificar os coeficien-
tes, independente da sequência em que estão. 
O coeficiente a é o número que está junto com o x2, 
o b é o número que acompanha o x e o c é o termo inde-
pendente, ou seja, o número que aparece sem o x. 
 
 
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2º Passo: Calcular o delta. 
Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do 
delta. Para isso, substituímos as letras na fórmula pelos 
valores dos coeficientes. 
Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o 
número de raízes que terá a equação do 2º grau. Ou seja, 
se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá 
duas raízes reais e distintas. 
Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 0), a 
equação não apresentará raízes reais e se for igual a zero (Δ 
= 0), a equação apresentará somente uma raiz. 
 
3º Passo: Calcular as raízes. 
Se o valor encontrado para delta for negativo, não preci-
sa fazer mais nenhum cálculo e a resposta será que a equa-
ção não possui raízes reais. 
Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, de-
vemos substituir todas as letras pelos seus valores na fór-
mula de Bhaskara e calcular as raízes. 
 
1) Determine os valores de x que tornam a equação 
4x2 - 16 = 0 verdadeira. 
2) Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 
3) 2x2 + 7x + 5 = 0 
 
 
 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Uma equação exponencial é uma expressão algébrica que 
possui uma igualdade e pelo menos uma incógnita em um 
de seus expoentes. 
Para ser considerada equação, uma expressão precisa ter 
pelo menos uma incógnita, que é um número desconhecido 
representado por uma letra, e uma relação de igualdade. 
Dessa maneira, as equações exponenciais são aquelas 
que possuem pelos menos uma incógnita no expoente e 
bases positivas diferentes de 1. 
Assim, são exemplos de equações exponenciais: 
4x + 2 + 16x = 8 
16x + 42x = 32 
Resolução de equações exponenciais 
Resolver uma equação é encontrar o valor numérico das 
incógnitas que aparecem nela. Para isso, é preciso ter clare-
za sobre os seguintes conteúdos: 
• Resolução de equações do primeiro grau; 
• Propriedades de potências. 
Além disso, existe uma propriedade 
das equações exponenciais que é indispensável para sua 
resolução: 
ax = ay ↔x = y (a > 0 e a diferente de 1) 
O que essa propriedade garante é que, se duas potências 
de mesma base são iguais, os expoentes dessas potências 
também são. 
Veja um exemplo: 3x = 27 
Observe que 27 é igual a 33. Substituindo esse valor na 
equação, teremos: 3x = 33 
Note que as bases são iguais. Agora podemos usar 
a propriedade das equações exponenciais e escrever: 
x = 3 
 
Exemplos: 
1º – Resolva a equação: 2x + 4 = 64. 
Solução: 
2x + 4 = 64 
Observe que 64 é uma potência de base 2, pois 64 = 26. 
Substituindo esse valor na equação, teremos: 
 
2x + 4 = 26 
 
Usando a propriedade 
das equações exponenciais, teremos: 
 
x + 4 = 6 
 
Para finalizar, basta calcular a equação resultante. 
x = 6 – 4 
x = 2 
2º – Calcule o valor de x na equação: 
16x = 1 
 4x 
Solução: 
Nesse exemplo, usaremos 
uma propriedade de potência que permite inverter a base 
que está na forma de fração. Queremos que a incógnita 
esteja no numerador para facilitar os cálculos, então, saben-
do que, ao inverter a base de uma fração, invertemos tam-
bém o sinal de seu expoente, podemos reescrever 
a equação dada da seguinte maneira: 
16x = 1 
 4x 
16x = 4– x 
Agora repetimos os procedimentos usados no exemplo ante-
rior para obter: 
42x = 4– x 
2x = – x 
2x + x = 0 
3x = 0 
x = 0 
3º – Calcule o valor de x na equação: 
 
(2/5)3x = 25/4 
Solução: 
Observe que 25 é o resultado de uma potência de base 5, e 
4 é resultado de uma potência de base 2. Além disso, 25 
está no numerador e o 4 está no denominador da segunda 
fração. A primeira fração está invertida nesse sentido. 
Para inverter uma fração, basta trocar o sinal de 
seu expoente. Observe: 
(2/5) 3x = 25/4 
(5/2)– 3x = 25/4 
 
Reescrevendo a segunda fração na forma de potência e 
aplicando uma das propriedades de potências, teremos: 
 
(5/2)– 3x = (5/2)2 
 
Observeque as bases são iguais. Agora basta usar a propri-
edade das equações exponenciais para obter: 
– 3x = 2 
x = – 2 
 3 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao.htm
 
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Exercícios 
Determine o conjunto solução da seguinte equação expo-
nencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual o valor de x na equação exponencial 
 
 
 
LOGARÍTMOS 
Logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente 
x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência 
ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e 
a≠1. 
Desta forma, o logaritmo é a uma operação na qual quere-
mos descobrir o expoente que uma dada base deve ter para 
resultar em uma certa potência. 
Por esse motivo, para fazer operações com logaritmos é 
necessário conhecer as propriedades da potenciação. 
Definição de logaritmo 
 
Lê-se logaritmo de b na base a, sendo a > 0 e a ≠ 1 e b > 
0. 
Quando a base de um logaritmo for omitida, significa que 
seu valor é igual a 10. Este tipo de logaritmo é chamado de 
logaritmo decimal. 
Como calcular um logaritmo? 
O logaritmo é um número e representa um dado expoente. 
Podemos calcular um logaritmo aplicando diretamente a sua 
definição. 
Exemplo 
Qual o valor do log3 81? 
Solução 
Neste exemplo, queremos descobrir qual expoente devemos 
elevar o 3 para que o resultado seja igual a 81. Usando a 
definição, temos: 
log3 81 = x ⇔ 3x = 81 
Para encontrar esse valor, podemos fatorar o número 81, 
conforme indicado abaixo: 
 
Substituindo o 81 por sua forma fatorada, na equação ante-
rior, temos: 
3x = 34 
Como as bases são iguais, chegamos a conclusão que x = 4. 
Consequência da definição dos logaritmos 
• O logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando 
seja igual a 1, o resultado será igual a 0, ou seja, 
loga 1 = 0. Por exemplo, log9 1 = 0, pois 90 =1. 
• Quando o logaritmando é igual a base, o logaritmo 
será igual a 1, assim, loga a = 1. Por exemplo, log5 5 
= 1, pois 51= 5 
• Quando o logaritmo de a na base a possui uma po-
tência m, ele será igual ao expoente m, ou seja lo-
ga am = m, pois usando a definição am = am. Por 
exemplo, log3 35 = 5. 
• Quando dois logaritmos com a mesma base são 
iguais, os logaritmandos também serão iguais,ou 
seja, loga b = loga c ⇔ b = c. 
• A potência de base a e expoente loga b será igual a 
b, ou seja alogab = b. 
Propriedades dos Logaritmos 
• Logaritmo de um produto: O logaritmo de um 
produto é igual a soma de seus logaritmos: Lo-
ga (b.c) = Loga b + loga c 
• Logaritmo de um quociente: O logaritmo de um 
quociente é igual a diferença dos logaritmos: Loga
 = Loga b - Loga c 
• Logaritmo de uma potência: O logaritmo de uma 
potência é igual ao produto dessa potência pelo lo-
garitmo: Loga bm = m . Loga b 
• Mudança de base: Podemos mudar a base de um 
logaritmo usando a seguinte rela-
ção: 
 
 
 
Exemplos 
1) Escreva os logaritmos abaixo na forma de um único loga-
ritmo. 
a) log3 8 + log3 10 
b) log2 30 - log2 6 
c) 4 log4 3 
 
 
 
 
 
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2) Escreva o log8 6 usando logaritmo na base 2 
 
 
 
 
Cologaritmo 
O chamado cologaritmo é um tipo especial de logaritmo 
expresso pela expressão: cologa b = − loga b 
Podemos ainda escrever que: 
 
 
 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
Encontrar soluções de uma equação logarítmica exige 
domínio total de logaritmo, sua definição e todas as suas 
propriedades. Para resolver uma equação logarítmica, não 
podemos esquecer as condições de existência de um loga-
ritmo. 
Existem três tipos de equações logarítmicas, são elas: 
equações que possuem mesma base; igualdade de um loga-
ritmo a um número real; e, por fim, quando há uma equa-
ção em que é necessário utilizar-se a mudança de base de 
um logaritmo. Para cada um dos tipos, utilizamos mé-
todos diferentes de resolução. 
Equações 
Na matemática é bastante comum problemas que envolvem 
valores desconhecidos. Nesses casos, para encontrar esses 
valores desconhecidos, utilizamos equações. Existem vários 
tipos de equação: equação do primeiro grau, equação do 
segundo grau, equação irracional, equação logarítmica, en-
tre outras. 
Uma equação sempre vai possuir igualdade e incógni-
ta. Para que seja uma equação logarítmica, em um dos 
membros dela haverá um logaritmo. 
Exemplos 
a) logx = log3 
b) log(2x + 1) = 10 
c) log42 = log2x 
 
 
 
 
 
Em todas as equações, o objeto é utilizar ferramentas da 
álgebra para encontrar quais são os valores que fazem com 
que cada uma seja verdadeira, o que chamamos de solução 
da equação. Para resolver esse tipo de equação que envol-
ve logaritmo, é necessário conhecer suas propriedades, pois, 
muitas vezes, torna-se necessário aplicá-las a fim de encon-
trar-se o valor da incógnita. 
 
 
 
Resolução de equações logarítmicas 
Ao resolver-se uma equação logarítmica, é possível que 
também seja necessário resolver-se uma equação do 1º 
grau ou uma equação quadrática ou 
uma equação exponencial, a depender da forma de resolu-
ção da equação. 
• 1º caso 
Para resolver equações logarítmicas do primeiro caso, bus-
camos igualar a equação de tal forma que apareça a 
igualdade de dois logaritmos de mesma base, sabendo 
que: 
logx = logy → x = y 
Exemplos: 
a) log4 (3x – 3) = log4 9 
Perceba que a base é a mesma nos dois casos, logo, basta 
igualarmos o logaritmando: 
log4 (3x – 3) = log4 9 → 3x – 3 = 9 
3x – 3 = 9 é uma equação do primeiro grau, logo, isolare-
mos o x. 
 
 
b) log(x + 3) + log (x - 3) = 2 · log4 
Nesse caso, vamos utilizar as propriedades de logaritmo 
para reescrever a equação como a igualdade de dois loga-
ritmos. 
Primeiro, a soma de dois logaritmos de mesma base pode 
ser reescrita da seguinte maneira: 
log [(x + 3) (x – 3)] = 2 · log4 
Agora, recorrendo aos produtos notáveis, sabemos que (x + 
3) (x - 3) = x² – 3², então ficará: 
log [x² – 3²] = 2 · log4 
Utilizando a propriedade da potência no segundo membro da 
igualdade, temos que: 
log [x² – 9] = log4² 
Como conseguimos representar como a igualdade de dois 
logaritmos, vamos igualar seus logaritmandos. Note que a 
incógnita está ao quadrado, recaindo sobre uma equação do 
segundo grau incompleta. 
 
• 2º caso 
Em equações logarítmicas do segundo caso, vamos aplicar a 
definição de logaritmo. 
logab = x → ax = b 
Exemplo: 
a) log3 (5x – 1) = 2 
Aplicando a definição, temos que: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-irracionais.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao.htm
 
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b) log232 = x + 1 
Aplicando a definição, temos que: 
2x+1 = 32 
Agora encontramos uma equação exponencial, para isso é 
necessário igualarmos as bases fatorando o 32. 
2x+1 = 25 
Então: 
x + 1 = 5 
x = 5 – 1 
x = 4 
• 3º caso 
No terceiro caso, vamos substituir logab por outra variável, 
por exemplo, y. 
Exemplo: 
(log2x)² – log2x = 2 
Seja y = log2x 
Então: 
y² – y = 2 
y² – y – 2 = 0 
Resolvendo a equação do 2º grau por Bhaskara: 
a = 1 
b = -1 
c = 2 
Δ = b² – 4ac 
Δ = (-1)² – 4 · 1 · (-2) 
Δ = 1 + 8 
Δ = 9 
 
Sabendo que log2x = y, então temos quebrada. 
Fazendo y’ = 2 
log2x = 2, aplicando a definição: 
2² = x 
x = 4 
Agora fazendo y’’ = -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INEQUAÇÕES 
Inequação é uma sentença matemática que apresenta pelo 
menos um valor desconhecido (incógnita) e representa uma 
desigualdade. 
Nas inequações usamos os símbolos: 
• > maior que 
• < menor que 
• ≥ maior que ou igual 
• ≤ menor que ou igual 
Exemplos 
a) 3x - 5 > 62 
b) 10 + 2x ≤ 20 
Inequação do Primeiro Grau 
Uma inequação é do 1º grau quando o maior expoente da 
incógnita é igual a 1. Podem assumir as seguintes formas: 
• ax + b >0 
• ax + b < 0 
• ax + b ≥ 0 
• ax + b ≤ 0 
Sendo a e b números reais e a ≠ 0 
Resolução de uma inequação do primeiro grau. 
Para resolver uma inequação desse tipo, podemos fazer da 
mesma forma que fazemos nas equações. 
Contudo, devemos ter cuidado quando a incógnita ficar ne-
gativa. 
Nesse caso, devemos multiplicar por (-1) e invertera símbo-
lo da desigualdade. 
Exemplos 
a) Resolva a inequação 3x + 19 < 40 
Para resolver a inequação devemos isolar o x, passando o 
19 e o 3 para o outro lado da desigualdade. 
Lembrando que ao mudar de lado devemos trocar a opera-
ção. Assim, o 19 que estava somando, passará diminuindo e 
o 3 que estava multiplicando passará dividindo. 
3x < 40 -19 
x < 21/3 
x < 7 
b) Como resolver a inequação 15 - 7x ≥ 2x - 30? 
 
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Quando há termos algébricos (x) dos dois lados da desigual-
dade, devemos juntá-los no mesmo lado. 
Ao fazer isso, os números que mudam de lado tem o sinal 
alterado. 
15 - 7x ≥ 2x - 30 
- 7x - 2 x ≥ - 30 -15 
- 9x ≥ - 45 
Agora, vamos multiplicar toda a inequação por (-1). Para 
tanto, trocamos o sinal de todos os termos: 
9x ≤ 45 (observe que invertemos o símbolo ≥ para ≤) 
x ≤ 45/9 
x ≤ 5 
Portanto, a solução dessa inequação é x ≤ 5. 
 
Exemplo 
Resolva a inequação 3x + 19 < 40. 
Primeiro, vamos escrever a inequação com todos os termos 
de um lado da desigualdade: 
3x + 19 - 40 < 0 
3x - 21 < 0 
Essa expressão indica que a solução da inequação são os 
valores de x que tornam a inequação negativa (< 0) 
Encontrar a raiz da equação 3x - 21 = 0 
x = 21/3 
x = 7 (raiz da equação) 
Representar no plano cartesiano os pares de pontos encon-
trados ao substituir valores no x na equação. O gráfico deste 
tipo de equação é uma reta. 
 
Identificamos que os valores < 0 (valores negativos) são os 
valores de x < 7. O valor encontrado coincide com o valor 
que encontramos ao resolver diretamente (exemplo a, ante-
rior). 
Inequação do Segundo Grau 
Uma inequação é do 2º grau quando o maior expoente da 
incógnita é igual a 2. Podem assumir as seguintes formas: 
• ax2 + bx + c > 0 
• ax2 + bx + c < 0 
• ax2 + bx + c ≥ 0 
• ax2 + bx + c ≤ 0 
Sendo a, b e c números reais e a ≠ 0 
Podemos resolver esse tipo de inequação usando o gráfico 
que representa a equação do 2º grau para fazer o estudo do 
sinal, da mesma forma que fizemos no da inequação do 1º 
grau. 
Lembrando que, nesse caso, o gráfico será uma parábola. 
Exemplo 
Resolver a inequação x2 - 4x - 4 < 0? 
Para resolver uma inequação do segundo grau é preciso 
encontrar valores cuja expressão do lado esquerdo do sinal 
< dê uma solução menor do que 0 (valores negativos). 
Primeiro, identifique os coeficientes: 
a = 1 
b = - 1 
c = - 6 
Utilizamos a fórmula de Bhaskara (Δ = b2 - 4ac) e substitu-
ímos pelos valores dos coeficientes: 
Δ = (- 1)2 - 4 . 1 . (- 6) 
Δ = 1 + 24 
Δ = 25 
Continuando na fórmula de Bhaskara, substituímos nova-
mente pelos valores dos nossos coeficientes: 
 
x = (1 ± √25) / 2 
x = (1 ± 5) / 2 
x1 = (1 + 5)/ 2 
x1 = 6 / 2 
x1 = 3 
x2 = (1 - 5) / 2 
x1 = - 4 / 2 
x1 = - 2 
As raízes da equação são -2 e 3. Como o ada equação do 2º 
grau é positivo, seu gráfico terá a concavidade voltada para 
cima. 
 
Pelo gráfico, observamos que os valores que satisfazem a 
inequação são: - 2 < x < 3 
Podemos indicar a solução usando a seguinte notação: 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
 
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Inequações exponenciais 
Assim como as equações exponenciais, as inequações expo-
nenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoen-
te. Confira alguns exemplos: 
 
 
Resolução de inequações exponenciais 
A resolução de uma inequação exponencial poderá ser dada 
através das propriedades da potenciação. Mas lembre-se de 
que f(x) = ax somente é crescente quanto a > 1. Caso 0 < a 
< 1, f(x) = ax é decrescente. 
Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se ob-
servar a situação das bases nos dois membros, caso as ba-
ses sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em 
seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se 
as regras dos sinais: 
• Caso a > 1, mantenha o sinal original. 
• Caso 0 < a < 1, inverta o sinal. 
Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções 
que se seguem. Vamos resolver os exemplos das inequações 
anteriores. 2x ≥ 128 
 
Por fatoração, 128 = 27. Portanto: 
2x ≥ 27 → como as bases são iguais e a > 1, basta formar 
uma inequação com os expoentes. 
x ≥ 7 
S = {x ∈ R | x ≥ 7} 
 
 
Neste exemplo as bases já são iguais. Porém, é necessário 
observar que 0 < a < 1. Diante dessa condição, inverte-se o 
sinal. 
x > 2. 
S = {x ∈ R | x > 2} 
4x + 4 > 5 . 2x 
Perceba que, por fatoração, 4x = 22x e 22x é o mesmo 
que (2x)². Reescrevendo a inequação, temos: 
(2x)² + 4 > 5 . 2x 
Chamando 2x de t, para facilitar a resolução, ficamos com: 
t2 + 4 > 5t 
t2 – 5t + 4 > 0 
Aqui temos uma inequação de 2º grau, onde deve ser feito o 
estudo dos sinais. Não vamos mostrar o processo de resolu-
ção da inequação de 2º grau, visto que o texto trata das 
exponenciais. Fica como sugestão de exercícios para os lei-
tores. 
Ao resolver, você encontrará D = 9, t1 = 1 e t2 = 4. Como a 
> 0, a concavidade da parábola ficará para cima. Isso signi-
fica que, como estamos procurando valores que tornem a 
inequação positiva, ficamos com: 
t < 1 ou t > 4. 
Retornando à variável inicial: 
t = 2x 
2x < 1 → x < 0 → lembre-se que 
todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, e que 
todo número elevado a zero é igual a 1. 
2x > 4 → 2x > 22 → x > 2. 
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2} 
 
2x ≤ 8 → 2x ≤ 23 → x ≤ 3 (S1) 
3x – 6 > 0 → 3x > 6 → x > 2 (S2) 
A solução final é dada pela interseção das duas soluções 
encontradas. 
S = S1 ∩ S2 
S = {x ∈ R | 2 < x ≤ 3} 
 
 
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresen-
tam logaritmos. A incógnita, nesses casos, está 
no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que 
um logaritmo possui o seguinte formato: 
loga b = x ↔ ax = b, 
*a é a base do logaritmo; b é o logaritmando e x é 
o logaritmo. 
Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos 
as propriedades operatórias dos logaritmos e os conceitos 
tradicionais de resolução de inequações. Assim como faze-
mos com as equações logarítmicas, é importante verificar as 
condições de existência dos logaritmos (tanto a base quanto 
o logaritmando devem ser maiores que zero). 
Ao desenvolver as inequações logarítmicas, podemos alcan-
çar duas situações: 
1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base: 
loga b < loga c 
Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for 
maior do que 1 (a > 1), podemos desconsiderar o logaritmo 
e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é: 
Se a > 1, então loga b < loga c ↔ b < c 
Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 
> a > 1), ao resolver a inequação logarítmica, deve-
mos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação 
entre os logaritmandos, ou seja: 
Se 0 > a > 1, então loga b < loga c ↔ b > c 
2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real: 
loga b < x 
Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos 
com uma desigualdade entre um logaritmo e um número 
real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo, 
mantendo intacto o símbolo da desigualdade: 
loga b < x ↔ b < ax 
ou 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/12/inequacoes-exponenciais.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/12/inequacoes-exponenciais2.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/12/inequacoes-exponenciais3.jpg
 
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loga b > x ↔ b > ax 
Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações loga-
rítmicas: 
Exemplo 1: log5 (2x – 3) < log5 x 
Devemos verificar as condições de existência dos logarit-
mos: 
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2x – 3 > 0 
2x > 3 
x > 3/2 
x > 0 
Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base 
que é maior do que 1. Podemos então manter a desigualda-
de apenas entre os logaritmandos: 
log5 (2x – 3) < log5 x 
2x – 3 < x 
2x – x < 3 
x < 3 
 
Quadro de resolução do Exemplo 1 
Nesse caso, a solução é 
 
. 
Exemplo2: log2 (x + 3) ≥ 3 
Primeiramente, verificamos a condição de existência do 
logaritmo: 
x + 3 > 0 
x > – 3 
Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um 
número real. Podemos resolver o logaritmo da forma con-
vencional, mantendo a desigualdade: 
log2 (x + 3) ≥ 3 
x + 3 ≥ 23 
x + 3 ≥ 8 
x ≥ 8 – 3 
x ≥ 5 
 
 
Quadro de resolução do Exemplo 2 
A solução é . 
Exemplo 3: log1/2 3x > log1/2 (2x + 5) 
Verificando as condições de existência dos logaritmos, te-
mos: 
3x > 0 
x > 0 
2x + 5 > 0 
2x > – 5 
x > – 5/2 
Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de 
mesma base que é menor do que1. Para resolvê-la, deve-
mos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os logarit-
mandos: 
log1/2 3x > log1/2 (2x + 5) 
3x < 2x + 5 
3x – 2x < 5 
x < 5 
 
Quadro de resolução do Exemplo 3 
Nesse caso, a solução é . 
 
FUNÇÃO 
 
Na Matemática, função corresponde a uma associação dos 
elementos de dois conjuntos, ou seja, a função indica como 
os elementos estão relacionados. 
Por exemplo, uma função de A em B significa associar cada 
elemento pertencente ao conjunto A a um único elemento 
que compõe o conjunto B, sendo assim, um valor de A não 
pode estar ligado a dois valores de B. 
 
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Notação para função: f: A → B (lê-se: f de A em B). 
Representação das funções 
Em uma função f: A → B o conjunto A é chamado de domí-
nio (D) e o conjunto B recebe o nome de contradomínio 
(CD). 
Um elemento de B relacionado a um elemento de A recebe o 
nome de imagem pela função. Agrupando todas as imagens 
de B temos um conjunto imagem, que é um subconjunto do 
controdomínio. 
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função que determina a relação 
entre os elementos f: A → B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 
2x e cada x do conjunto A é transformado em 2x no conjun-
to B. 
 
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as entradas, 
"multiplicar por 2" é a função e os valores de B {2, 4, 6, 8}, 
que se ligam aos elementos de A, são os valores de saída. 
Portanto, para essa função: 
• O domínio é {1, 2, 3, 4} 
• O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
• O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8} 
 
Tipos de funções 
As funções recebem classificações de acordo com suas pro-
priedades. Confira a seguir os principais tipos. 
 
Função sobrejetora 
Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao conjunto 
imagem. Portanto, todo elemento de B é imagem de pelo 
menos um elemento de A. 
Notação: f: A → B, ocorre a Im(f) = B 
Exemplo: 
 
Para a função acima: 
• O domínio é {-4, -2, 2, 3} 
• O contradomínio é {12, 4, 6} 
• O conjunto imagem é {12, 4, 6} 
Função injetora 
Na função injetora todos os elementos de A possuem cor-
respondentes distintos em B e nenhum dos elementos de A 
compartilham de uma mesma imagem em B. Entretanto, 
podem existir elementos em B que não estejam relacionados 
a nenhum elemento de A. 
Exemplo: 
 
Para a função acima: 
• O domínio é {0, 3, 5} 
• O contradomínio é {1, 2, 5, 8} 
• O conjunto imagem é {1, 5, 8} 
Função bijetora 
Na função biejtora os conjuntos apresentam o mesmo nú-
mero de elementos relacionados. Essa função recebe esse 
nome por ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. 
Exemplo: 
 
MATEMÁTICA 
 
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Para a função acima: 
• O domínio é {-1, 1, 2, 4} 
• O contradomínio é {2, 3, 5, 7} 
• O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7} 
Função inversa 
A função inversa é um tipo de função bijetora, por isso é 
sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. 
Através desse tipo de função é possível criar novas funções 
ao inverter os elementos. 
 
Função composta 
A função composta é um tipo de função matemática que 
combina duas ou mais variáveis. 
Duas funções, f e g, podem ser representadas como função 
composta por: 
fog (x) = f(g(x)) 
gof (x) = g(f(x)) 
 
 
 
FUNÇÃO DE 1º GRAU 
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é 
uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax + b, sen-
do a e b números reais. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 
3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim. 
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente 
de x e representa a taxa de crescimento ou taxa de variação 
da função. Já o número b é chamado de termo constante. 
Gráfico de uma Função do 1º grau 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta 
oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para construirmos 
seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a 
função. 
Exemplo 
Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3. 
Solução 
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores 
arbitrários para x, substituir na equação e calcular o valor 
correspondente para a f (x). 
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x 
iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses valores na 
função, temos: 
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1 
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1 
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3 
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5 
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7 
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados 
na imagem abaixo: 
 
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfi-
co, entretanto, para definir uma reta bastam dois pontos. 
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os 
pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da função corta o 
eixo Ox e Oy respectivamente. 
Coeficiente Linear e Angular 
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficien-
te a de x é também chamado de coeficiente angular. Esse 
valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e re-
presenta o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois sendo x 
= 0, temos: 
y = a.0 + b ⇒ y = b 
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular 
igual a zero (a = 0) a função será chamada de constante. 
Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox. 
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 
4: 
 
 
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Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de 
função identidade. O gráfico da função f (x) = x (função 
identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0). 
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou 
seja, divide os quadrantes em dois ângulos iguais, conforme 
indicado na imagem abaixo: 
 
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero 
(b = 0), a função afim é chamada de função linear. Por 
exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções 
lineares. 
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que pas-
sam pela origem (0,0). 
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 
3x: 
 
Função Crescente e Decrescente 
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada 
vez maiores para x, o resultado da f (x) será também cada 
vez maior. 
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores 
cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será cada vez 
menor. 
Para identificar se uma função afim é crescente ou decres-
cente, basta verificar o valor do seu coeficiente angular. 
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que 
zero, a função será crescente. Ao contrário, se a for negati-
vo, a função será decrescente. 
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor 
positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é decrescente visto 
que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas 
nos gráficos abaixo: 
 
 
QUESTÕES DE PROVA 
Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a 
receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela fun-
çãof(x) = -10.000(x2 – 14x + 13). O custo de produção des-
ses x milhares de unidades, também em reais, é estimado 
em g(x) = 20.000(x + 3,5). 
 
Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse 
produto, julgue os próximos itens. 
 
O lucro líquido máximo da fábrica será obtido quando forem 
vendidas 6.000 unidades do produto. 
• Certo 
• Errado 
 
2) Um grupo de amigosfez, em conjunto, um jogo em de-
terminada loteria, tendo sido premiado com a importância 
de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente 
entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 
3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, 
e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com 
a retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a 
cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. 
 
Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os 
itens que se seguem. 
Se x é a quantidade de elementos do "grupo de amigos", 
então . 
• Certo 
• Errado 
 
 
 
FUNÇÕES DE 2° GRAU 
A função quadrática, também chamada de função poli-
nomial de 2º grau, é uma função representada pela se-
guinte expressão: 
f(x) = ax2 + bx + c 
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
https://www.todamateria.com.br/funcao-linear/
 
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Exemplo: 
f(x) = 2x2 + 3x + 5, 
sendo, 
a = 2 
b = 3 
c = 5 
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, 
pois é o maior expoente da variável. 
Como resolver uma função quadrática? 
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de 
resolução da função quadrática: 
Exemplo 
Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = 
ax2 + bx + c, sendo: 
f (-1) = 8 
f (0) = 4 
f (2) = 2 
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada 
função e assim teremos: 
f (-1) = 8 
a (-1)2 + b (–1) + c = 8 
a - b + c = 8 (equação I) 
f (0) = 4 
a . 02 + b . 0 + c = 4 
c = 4 (equação II) 
f (2) = 2 
a . 22 + b . 2 + c = 2 
4a + 2b + c = 2 (equação III) 
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4. 
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I 
e III para determinar as outras incógnitas (a e b): 
(Equação I) 
a - b + 4 = 8 
a - b = 4 
a = b + 4 
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substi-
tuir na III para determinar o valor de b: 
(Equação III) 
4a + 2b + 4 = 2 
4a + 2b = - 2 
4 (b + 4) + 2b = - 2 
4b + 16 + 2b = - 2 
6b = - 18 
b = - 3 
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores 
de b e c que já foram encontrados. Logo: 
(Equação I) 
a - b + c = 8 
a - (- 3) + 4 = 8 
a = - 3 + 4 
a = 1 
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são: 
a = 1 
b = - 3 
c = 4 
Raízes da Função 
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam 
aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da função são 
determinadas pela resolução da equação de segundo grau: 
f(x) = ax2 +bx + c = 0 
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários 
métodos, sendo um dos mais utilizados é aplicando 
a Fórmula de Bhaskara, ou seja: 
 
 
Exemplo 
Encontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6. 
Solução: 
Sendo 
a = 1 
b = – 5 
c = 6 
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: 
 
Portanto, as raízes são 2 e 3. 
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrá-
tica vai depender do valor obtido pela expressão: Δ = b2 – 
4. ac, o qual é chamado de discriminante. 
Assim, 
• Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas 
(x1 ≠ x2); 
• Se Δ , a função não terá uma raiz real; 
• Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais 
(x1 = x2). 
Gráfico da função quadrática 
O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o 
nome de parábolas. Diferente das funções do 1º grau, onde 
conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas fun-
ções quadráticas são necessários conhecer vários pontos. 
A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes 
ou zeros da função, em no máximo dois pontos dependendo 
do valor do discriminante (Δ). Assim, temos: 
• Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos; 
• Se Δ 
• Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um 
ponto. 
Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábo-
la, que é o valor máximo ou mínimo da função. Este ponto é 
encontrado usando-se a seguinte fórmula: 
 
O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função 
quando a parábola estiver voltada para baixo e o valor mí-
nimo quando estiver para cima. 
É possível identificar a posição da concavidade da curva 
analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o coeficiente 
for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for 
negativo ficará para baixo, ou seja: 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
https://www.todamateria.com.br/vertice-da-parabola/
https://www.todamateria.com.br/vertice-da-parabola/
 
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Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º 
grau, podemos analisar o valor do a, calcular os zeros da 
função, seu vértice e também o ponto em que a curva corta 
o eixo y, ou seja, quando x = 0. 
A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos cons-
truir a parábola num plano cartesiano, por meio da ligação 
entre os pontos encontrados. 
 
QUESTÕES DE CONCURSO 
 
A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, 
julgue o item que se segue. 
 
O menor valor de f(x) = -3x2 + 9x -6 ocorre em x = 3/2. 
• Certo 
• Errado 
 
2) Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a 
receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função 
f(x) = -10.000(x2– 14x + 13). O custo de produção desses x 
milhares de unidades, também em reais, é estimado em 
g(x) = 20.000(x + 3,5). 
Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse 
produto, julgue os próximos itens. 
Com a venda de qualquer quantia do produto, superior a 
2.000 unidades, o lucro líquido da fábrica será sempre posi-
tivo. 
• Certo 
• Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estima-se que a área desmatada, em 2019, será superior a 
200 milhões de hectares. 
• Certo 
• Errado 
 
De acordo com essa estimativa, em nenhum momento a 
área desmatada será inferior a 60 milhões de hectares. 
• Certo 
• Errado 
 
De acordo com o modelo, o maior desmatamento ocorrerá 
após o ano de 2082. 
• Certo Errado 
 
Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em deter-
minada loteria, tendo sido premiado com a importância de 
R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre 
todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 
https://www.todamateria.com.br/plano-cartesiano/
 
MATEMÁTICA 
 
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deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, 
dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a 
retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a 
cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. 
Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os 
itens que se seguem. 
Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax2 + Bx 
+ C, em que A, B, e C são constantes bem determinadas, a 
equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do 
"grupo de amigos", então é correto afirmar que, para essa 
função, o ponto de mínimo é atingido quando x =3/2. 
• Certo 
• Errado 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoen-
te e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um. 
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer 
número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estarí-
amos diante de uma função constante. 
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, 
pois para alguns expoentes a função não estaria definida. 
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. 
Como no conjunto dos números reais não existe raiz qua-
drada de número negativo, não existiria imagem da função 
para esse valor. 
Exemplos: 
f(x) = 4x 
f(x) = (0,1)x 
f(x) = (⅔)x 
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é 
o expoente. 
Gráfico da função exponencial 
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo 
número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva ex-
ponencial não toca no eixo x. 
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, 
portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sen-
do, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem 
negativa). 
Abaixorepresentamos o gráfico da função exponencial. 
 
Função Crescente ou Decrescente 
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente. 
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, 
a função y = 2x é uma função crescente. 
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valo-
res para x no expoente da função e encontramos a sua ima-
gem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo. 
 
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o 
valor de x, a sua imagem também aumenta. Abaixo, repre-
sentamos o gráfico desta função. 
 
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Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que 
zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) 
= (1/2)x é uma função decrescente. 
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado 
encontra-se na tabela abaixo. 
 
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x 
aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. 
Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma 
função decrescente. 
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico 
dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do 
zero a curva exponencial fica. 
 
 
 
 
 
Função Logarítmica 
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A 
função logarítmica é definida como f(x) = logax, com a real 
positivo e a ≠ 1. 
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente 
ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou 
seja, y = logax ⇔ ay = x. 
Uma relação importante é que o gráfico de duas funções 
inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadran-
tes I e III. 
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial 
de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da 
função logarítmica. 
 
No gráfico acima, observamos que enquanto a função expo-
nencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce 
lentamente. 
 
QUESTÃO DE PROVA 
 
Um estudo constatou que a população de uma comunidade é 
expressa pela função P(t) = 5.000e0,18t 
, em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, 
que ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com 
referência a esse estudo e considerando 
 
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1,2 e 1,8 como os valores aproximados para e0,18 
e ln 6, respectivamente, julgue os itens a seguir. 
 
A população será de 30.000 indivíduos 5 anos após a conta-
gem inicial. 
• Certo 
• Errado 
 
 
 
SISTEMAS LINEARES 
Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas 
entre elas que apresentam a forma a seguir: 
 
A chave do lado esquerdo é o símbolo usado para sinalizar 
que as equações fazem parte de um sistema. O resultado do 
sistema é dado pelo resultado de cada equação. 
Os coeficientes amxm, am2xm2, am3xm3, ... , an, an2, an3 das 
incógnitas x1, xm2,xm3, ... , xn, xn2, xn3 são números reais. 
Ao mesmo tempo, b também é um número real que é cha-
mado de termo independente. 
Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo inde-
pendente é igual a 0 (zero): a1x1 + a2x2 = 0. 
Portanto, aqueles que apresentam termo independente dife-
rente de 0 (zero) indica que o sistema não é homogêneo: 
a1x1 + a2x2 = 3. 
Classificação 
Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o 
número de soluções possíveis. Lembrando que a solução das 
equações é encontrado pela substituição das variáveis por 
valores. 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): há ape-
nas uma solução possível, o que acontece quando o 
determinante é diferente de zero (D ≠ 0). 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as so-
luções possíveis são infinitas, o que acontece quan-
do o determinante é igual a zero (D = 0). 
• Sistema Impossível (SI): não é possível apresen-
tar qualquer tipo de solução, o que acontece quando 
o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um 
ou mais determinantes secundários são diferentes 
de zero (D ≠ 0). 
As matrizes associadas a um sistema linear podem ser com-
pletas ou incompletas. São completas as matrizes que con-
sideram os termos independentes das equações. 
Os sistemas lineares são classificados como normais quando 
o número de coeficientes é o mesmo que o número de in-
cógnitas. Além disso, quando o determinante da matriz in-
completa desse sistema não é igual a zero. 
Exercícios Resolvidos 
Vamos resolver passo a passo cada equação a fim de classi-
ficá-las em SPD, SPI ou SI. 
Exemplo 1 - Sistema Linear com 2 Equações 
 
https://www.todamateria.com.br/matrizes-resumo/
 
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Exemplo 2 - Sistema Linear com 3 Equações
 
Se D = 0, podemos estar diante de um SPI ou de um SI. 
Assim, para saber qual a classificação correta, vamos ter de 
calcular os determinantes secundários. 
Nos determinantes secundários são utilizados os termos 
independentes das equações. Os termos independentes 
substituirão uma das incógnitas escolhidas. 
Vamos resolver o determinante secundário Dx, por isso, 
vamos substituir o x pelos termos independentes. 
 
Como o determinante principal é igual a zero e um determi-
nante secundário também é igual a zero, sabemos que esse 
sistema é classificado como SPI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÕES DE PROVA 
 
 
 
 O gráfico acima mostra o valor, em bilhões de dólares, da 
exportação de soja do Brasil em 2000, 2001, 2002 e 2003, e 
o valor estimado para 2004. É possível modelar os dados 
desse gráfico por uma função do tipo g(t) = at + b, resol-
vendo-se o sistema Nesse modelo, g(t) é 
uma aproximação do valor total das exportações de soja, 
em US$ bilhões, e t é o número de anos transcorridos a 
partir de 2000. 
A partir dessas informações e considerando que o ano 2000 
corresponde ao tempo inicial t = 0, o ano 2001 corresponde 
a t = 1, e assim sucessivamente, julgue o item subsequente. 
As soluções do sistema acima são a = 1,2 e b = 4,2. 
 
• Certo 
• Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na reforma de uma escola, que foi feita em 12 semanas, a 
quantidade de pintores, carpinteiros e eletricistas mudou a 
cada semana. Os operários trabalharam de segunda-feira a 
sexta-feira, oito horas por dia. 
Com base nas informações acima, julgue o item a seguir, 
considerando que os operários que desempenham a mesma 
função possuem a mesma produtividade e eficiência. 
 
Considere que 48 operários tenham trabalhado na 
12. a semana da reforma e que a quantidade destes com 
menos de 40 anos de idade seja o dobro da quantidade 
daqueles com idade maior ou igual a 40 anos. Nessa situa-
ção, menos de 30 operários que trabalharam na obra nessa 
semana tinham menos de 40 anos de idade. 
• Certo 
• Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com relação aos sistemas de equações lineares e às funções 
de 1.º e de 2.° graus, julgue os itens que se seguem. 
Se Aldo, Pedro e Júlia confeccionarem, conjuntamente, 50 
camisetas em uma semana; se a soma das quantidades 
confeccionadas por Aldo e Júlia for 2 unidades a mais que o 
dobro da quantidade confeccionada por Pedro; e se a quan-
tidade confeccionada por Pedro for 3 unidades a menos que 
a quantidade confeccionada por Júlia, então Pedro confecci-
onará, nessa semana, mais de 15 camisetas. 
• Certo 
• Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um órgão público realizará concurso para provimento 
de 30 vagas em cargos de nível médio e superior. O salário 
mensal de cada profissional de nível médio será de R$ 
1.900,00, e o de cada profissional de nível superior, de R$ 
2.500,00.Os gastos mensais desse órgão com os salários 
desses30 profissionais serão de R$ 67.800,00. 
 
Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens que 
se seguem. 
O órgão público deverá gastar, mensalmente, menos de R$ 
42.000,00 com os salários dos novos profissionais de nível 
superior, caso eles sejam contratados. 
• Certo 
• Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM( PFC) 
 
O princípio fundamental da contagem, também chama-
do de princípio multiplicativo, postula que: 
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e 
independentes, de tal modo que as possibilidades da primei-
ra etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resul-
ta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, 
dado pelo produto (x) . (y)”. 
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multipli-
ca-se o número de opções entre as escolhas que lhe são 
apresentadas. 
 
Exemplo 
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço 
único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida 
e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduí-
ches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachor-
ro-quente completo. Como opção de bebida pode-se esco-
lher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, 
existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de cho-
colate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Consi-
derando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras 
um cliente pode escolher o seu lanche? 
Solução 
Podemos começar a resolução do problema apresentado, 
construindo uma árvore de possibilidades, conforme ilustra-
do abaixo: 
 
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar 
quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. As-
sim, identificamos que existem 24 combinações possíveis. 
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio mul-
tiplicativo. Para saber quais as diferentes possibilidades de 
lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduí-
ches, bebidas e sobremesa. 
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24 
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para es-
colher na promoção. 
 
TIPOS DE COMBINAÇÃO 
Arranjos 
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem 
da ordem e da natureza dos mesmos. 
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p 
(p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: 
 
Exemplo 
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para 
escolher um representante e um vice-representante de uma 
turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o 
representante e o segundo mais votado o vice-
representante. 
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha pode-
rá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é importante, 
visto que altera o resultado final. 
 
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes. 
 
Permutações 
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o 
número de elementos (n) do agrupamento é igual ao núme-
ro de elementos disponíveis. 
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, 
quando o número de elementos é igual ao número de agru-
pamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do 
arranjo é igual a 1 na permutação. 
Assim a permutação é expressa pela fórmula: 
 
Exemplo 
Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras dife-
rentes 6 pessoas podem se sentar em um banco com 6 lu-
gares. 
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o nú-
mero de lugares é igual ao número de pessoas, iremos usar 
a permutação: 
 
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas 
sentarem neste banco. 
 
ATENÇÃO! 
Permutações: Simples, de Repetição e Circulares 
Um dos brinquedos mais procurados em qualquer parque de 
diversões é a montanha-russa. Com capacidade para cerca 
de 24 pessoas, são mais de 600 sextilhões de combinações 
possíveis para dispor os usuários, com uma sim-
ples permutação entre 24 lugares. 
Permutação simples 
Em um carro, além do motorista, podem ser transportados 
mais quatro passageiros: um no banco do carona, o famoso 
“lugar da frente”, e, no banco detrás, têm-se a posição da 
janela à esquerda, a posição central e a da janela à direita. 
De quantas maneiras diferentes podem ser dispostos quatro 
passageiros, não considerando o motorista, nas acomoda-
ções desse carro? 
Analisadas inicialmente as possibilidades para o banco do 
carona, conclui-se que existem quatro. Fixando um passa-
geiro nessa posição, restam três que poderão se acomodar, 
 
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por exemplo, no banco de trás ao lado da janela da esquer-
da. Seguindo essa ideia, ou seja, fixando mais um passagei-
ro nessa posição, restarão dois, que poderão, por exemplo, 
se acomodar no banco de trás, no centro. Fixando mais um, 
restará apenas um, que com certeza deverá se sentar no 
banco de trás na posição da janela da direita. 
Pelo princípio multiplicativo, tem-se que o total de possibili-
dades é dado por 4 · 3 · 2 · 1 = 24 posições distintas no 
carro, desconsiderando o motorista. Cada uma das disposi-
ções tomadas é uma permutação simples dos lugares possí-
veis no carro. 
Note que o total de permutações simples foi calculado 
aplicando-se o princípio multiplicativo que remeteu à 
notação de fatorial. Dessa forma: 
Qualquer sequência formada a partir de todos os elementos 
de um conjunto com n elementos é chamada permutação 
simples. O total de permutações simples de um conjunto 
com essa quantidade de elementos é dado por: Pn = n! 
Exemplo: 
O presidente de uma grande empresa reserva todas as se-
gundas-feiras de manhã para realizar uma reunião com 
todos os diretores. Considerando que existem cinco diretores 
nas mais diversas áreas dessa empresa, calcule de quantas 
maneiras essas seis pessoas (presidente e diretores) podem 
ser dispostos numa mesa não redonda. Esse é um típico 
caso de permutação simples. Para isso, basta calcular 
P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720 
Ou seja, o presidente e os diretores podem ser dispostos em 
uma mesa não redonda de 720 maneiras distintas. 
Permutação com repetições 
Verão, sol, calor. Não podia ser diferente: a família Shroder 
foi para o litoral e decidiu ficar lá seis dias. Embora a princi-
pal atividade fosse a praia, a família escolheu quatro atra-
ções para se entreter no período da noite. São elas: cinema, 
feira de artes, sorveteria e parque de diversões. Como a 
família não gosta de ficar em casa, resolveu que iria duas 
vezes em duas das atrações. Depois de muito discutirem, 
escolheram o cinema e a feira de artes. 
De quantas maneiras distintas pode ser feito o programa da 
família Shroder nesses seis dias? 
Observe que, embora a família tenha saído seis vezes, o 
total de possibilidades será menor que 6, já que duas delas 
se repetem duas vezes cada. Nesse caso, não se trata mais 
de uma permutação simples. 
Por exemplo, se as duas idas ao cinema fossem eventos 
distintos, isso resultaria em 2! novas possibilidades apenas 
pela permutação desses dois eventos. Como se trata de um 
mesmo evento, sua permutação não altera o programa. 
Sendo assim, é preciso “descontar” 2 possibilidades, ou seja, 
deve-se dividir o total de permutações simples por esse 
valor, ou seja, 6! por 2!. A mesma coisa ocorre para a feira 
de artes: deve-se dividir o total de possibilidades por 2!. 
Dessa forma, o total de possibilidades distintas de progra-
mas é: 
 
Note que das 6 possibilidades, 2 são cinema e 2 são feira de 
artes. 
O número de permutações de n elementos, dos quais n, é 
de um tipo, n, é de um segundo tipo, …, n, é de um k-ésimo 
tipo, é denotado por Pnn1, n2, …,nk, e é dado por 
Pnn1, n2, …,nk, = 
Exemplo: 
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra 
MATEMÁTICA? 
Observe que são dez letras das quais uma delas se repete 
três vezes, caso da letra A, e outra que se repete duas ve-
zes, o da letra T. Realizando o cálculo, tem-se: 
 
Com a palavra MATEMÁTICA podem ser formados 302400 
anagramas. 
Permutação circular 
Voltando ao exemplo da reunião que o presidente de uma 
grande empresa realiza todas as manhãs de segunda-feira 
com seus cinco diretores, se a mesa na qual é realizada a 
reunião for redonda, será que as possibilidades de dispor 
essas pessoas são as mesmas? 
A resposta é não. Para visualizar essa situação, pense nas 
seis pessoas (A, B, C, D, E e F) ao redor da mesa e estabe-
leça uma ordem entre as 6 = 720 possibilidades, a priori, 
possíveis. Note que, por exemplo, as ordens ABCDEF, FAB-
CDE, EFABCD, DEFABC,CDEFAB e BCDEFA são seis modos 
de descrevera mesma posição, pois obtém-se isso girando a 
mesa. Sendo assim, essas possibilidades devem ser “des-
contadas”, resultando em: 
 
O número de possibilidades de dispor o presidente e os dire-
tores numa mesa redonda é 120 
Esse é um típico exemplo de permutação circular, cuja nota-
ção é dada por PC, e cuja definição é: 
O número de permutações circulares de n elementos é dado 
por: 
 
 
Combinações 
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos 
elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas 
pela natureza dos mesmos. 
Assim, para calcular uma combinação simples 
de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão: 
 
Exemplo 
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 
membros para formar uma comissão organizadora de um 
evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram. 
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser 
formada? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a 
ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que 
 
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escolher Maria, João e José é equivalente à escolher João, 
José e Maria. 
 
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o 
fatorial de 10 em produto, mas conservamos o fatorial de 7, 
pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 
do denominador. 
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.