Apostila 13 - Relações métricas no círculo

Matemáti ca RELAÇÕES M ÉTRICAS DO CÍ RCULO 2 SUMÁRIO Introdução ........................................................................................................................................ 3 Objetivos .......................................................................................................................................... 3 Conceitos .......................................................................................................................................... 3 Propriedades ................................................................................................................................... 3 Relações Métricas ............................................................................................................................ 4 Exercícios ................................................................................................................................ ......... 5 Gaba rito ............................................................................................................................................ 6 Resumo ................................................................................................ ............................................. 7 3 Introduçã o Nesta aula abordarem os a ciênc ia das Relações métricas do círculo. Estudaremos as característi cas das pr opriedades que possibilitam o cálculo das medidas do s círculos. Objetivos \u2022 Estudarem os o conceito das relações métricas no círculo e suas aplicações \u2022 Observarem os exemplos e resoluções, be m com o té cnicas e formulas usada s para os devidos cálculos \u2022 Realiza remos exercícios e uma breve revisã o para que haja a fix ação do assunto abordado Concei tos As pr opriedades que nos possibilitam o est udo d os comprimentos de certas figuras geométrica s, são chamadas d e Relações Métricas. Nos círculos estudare mos as medidas das Cordas, Tangentes e Secantes, para que possamos ob ter a s m edidas dos mesmos. Propriedad es \u25aa Cordas Quando um segm ento de r eta possui a mbas as suas extrem idades em u m ponto na circunferênci a, o chamamos de corda. \u25aa Secantes Quando uma reta tem dois pontos em co mum com um a circunferência, a consideram os secante à circunferência. \u25aa Tangentes Consideramos tangente à circunferênci a um a reta que possua apen as um ponto em comum com a circunferência. 4 Relações M étricas A circunferência possui relações métricas importantes que envolvem segmentos intern os, tangentes e sec antes, e é a partir da relação entre esses elementos q ue obtemos as medidas que procura mos. \u25aa Relação entre cordas Observe que no exemplo acima temos uma circunferência c de raio r e ce ntro O. Foram con struídas duas cordas, os segmentos AB e CD q ue se encontram no ponto P. Os segmentos form ados pelas cordas serão proporcionais conforme a igualdade: \ud835\udc34\ud835\udc43 \ud835\udc37\ud835\udc43 = \ud835\udc36\ud835\udc43 \ud835\udc35\ud835\udc43 Logo: \ud835\udc34\ud835\udc43 \u2217 \ud835\udc35\ud835\udc43 = \ud835\udc36\ud835\udc43 \u2217 \ud835\udc37\ud835\udc43 Podemos usa r e ssas igualdades para encontr ar a medida de u m d os quatr o segmentos de reta f ormados pelas cordas, caso saibamos quanto m ede os outros três. \u25aa Segmentos Secantes e Tangentes Na figura acima temos uma circunferênci a c om dois segmentos de reta secantes a ela. Quando temos dois se gmentos secantes partin do de um p onto em comu m, saberemos que a multiplicação da medida de um desses segmentos pe la medida de sua parte externa será igual a multiplicação da medida do outro segmento pela medida da parte extern a do mesmo. Logo: \ud835\udc45\ud835\udc43 \u2217 \ud835\udc45\ud835\udc44 = \ud835\udc45\ud835\udc47 \u2217 \ud835\udc45\ud835\udc46 \u25aa Segmento secante e segmento tan gente partindo de um mesm o ponto 5 No exemplo acima te mos uma ci rcunferência co m um segmento se cante S P e um segmento tangente PQ. S abemos também que o quadrado da medida do segmento tangente será igua l a multiplicação da medida do se gmento secante pela parte exterior do m esmo. Logo: (\ud835\udc43\ud835\udc44 )² = \ud835\udc43\ud835\udc46 \u2217 \ud835\udc43\ud835\udc45 Exercíci os 1. O v alor de x na figura é: a) 1 b) 4 c) 3 5 d) 20 3 2. Determi ne o valor de x: 3. Nu m círculo, a corda CD é perpendicular ao diâmetro AB no ponto E . Se AE * EB = 3, a medida de CD é: 6 Gabari to 1. 2 10 3 10 6 6 10 3 5 AP CP DP BP x x x x = = = = = Alternativ a c 2. 2 ² 6 * ( 18 6) ² 6 * 24 ² 144 144 12 x x x x x =+ = = \uf0d6 = \uf0d6 = 3. ( ) ( ) ( ) . 3 A E x e EB y ta is que P E x y I = = = \u2212 = \u2212 Mas um diâmetro perpendicular a uma corda a divide ao meio gerando segmentos aditi vos de mesma medida w. Sendo E ponto comu m ao diâmetro e à corda CD temos que P(E) também pode ser escrita como: 2 ( ) ( . ) ( ) ( ). P E w w P E w I I = \u2212 = \uf03e \u2212 De (I) e (II) vem: 2 3 ( 3 ) 2 . 2 w w R z C D w = = \uf03e = = \uf03e = = 7 Resumo Propriedades Compreendemos as propriedades das relações métricas no c írculo e aprendemos a identificar cada uma delas e suas características. Relações Métrica s Nesse tópico aprendemos tod os os tipos de relações métri cas em se t ratando d e uma circunferência, suas aplicações e seus exemp los gráficos, bem c omo os cálculos necessários par a que se obtenha os resultados de suas medidas. FIQ U E A TE N TO ! A maior corda em uma circunferência será o seu d iâmetro. Em outras p a lavras, o diâmetro de uma circunferência é o maior segmento de re ta que possui duas e xtremida des na circunferência .

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