Aula 05-1 - Direções e planos cristalográficos

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Aula 05: 
Direções e planos 
cristalográficos
Prof. Dr. Marcus Varanis
Universidade Federal da Grande Dourados 
Faculdade de Engenharia
Índices de Miller: direções cristalográficas
 Direção cristalográfica: vetor que une dois pontos da rede
cristalina.
 Procedimento para determinação dos índices de Miller de uma
direção cristalográfica:
 transladar o “vetor direção” de maneira que ele passe pela
origem do sistema de coordenadas.
 determinar a projeção do vetor em cada um dos três eixos
de coordenadas. Essas projeções devem ser medidas em
termos dos parâmetros de rede (a,b,c)
 multiplicar ou dividir esses três números por um fator
comum, tal que os três números resultantes sejam os
menores inteiros possíveis.
 representar a direção escrevendo os três números entre
colchetes: [u v w].
Direções cristalográficas : exemplo
021redução a mínimos
inteiros
[120]notação
01½projeções em
termos de a,b e c
0 x c1 x b½ x aprojeções
zyx
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de direções equivalentes, ou seja,
conjunto de direções que possuem o mesmo espaçamento atômico.
Famílias de direções são representadas por <hkl>.
Por exemplo, a família <100> é composta pelas direções [100], [010],
[001], ].100[]010[],001[ e
Planos e Direções Cristalográficas
 Terminologia
 Direções: [ ]
 Planos: ( )
 Famílias de direções: < >
 Famílias de planos equivalentes: { }
VETORES!!!!
[110] CCC
[110] CFC
Como representar as direções dos átomos?
1- Posicionar o vetor passando pela origem
2- Determinar os comprimentos das projeções (a,b e c)
(Ex: a, b/2 e 0, ou seja, a=1, b=1/2 e c=0) ou (x=1, y=1/2, z=0)
3- Dividir ou multiplicar os três números por um fator comum
(Ex: 2,1,0)
4- Representação: [210]
a
b
c
Direções Cristalográficas
 [100]
 [110]
 [111]
 [021]
 [011]
 [200]
 [210]
z
x
y
Direções Cristalográficas
 [100]
 [011]
 [011]
x
y
z
 Índices
de
Miller:
Direções
Cristalográficas
Direções
e
Planos
CristalográficosDireções
e
Planos
Cristalográficos
x
y
z
[100]
[120]
[012]
Direções Cristalográficas
x
y
z
[1 0 0]
[0 1 1]
[1 1 1]
Direções Cristalográficas
0,0,1
1,1,0
1,1,1
1,1,2
[001] [112]
[111]
[110]
Esboçar as direções [001], [112], [111] e [110]
Direções Cristalográficas
Família de Direções :
Direções equivalentes, mesmo que não paralelas!!!
Espaçamento entre os átomos ao longo
de cada direção é o mesmo
Representação: < >
< 100>
Direções Cristalográficas
 <100>
 [100]
 [010]
 [001]
 [100]
 [010]
 [001]
x
y
z
Uma <família de direções> inclui todas as direções
possíveis com as mesmas coordenadas básicas
<Família de Direções>
Direções Cristalográficas
x
y
z
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
Família <111>
Direções Cristalográficas
Direções Cristalográficas
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC
 No sistema CCC os átomos
se tocam ao longo da
diagonal do cubo, que
corresponde a família de
direções <111>.
 Então, a direção <111> é a
de maior empacotamento
atômico para o sistema
CCC.
Direções Cristalográficas
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC
 No sistema CFC os átomos
se tocam ao longo da
diagonal da face, que
corresponde a família de
direções <110>.
 Então, a direção <110> é a
de maior empacotamento
atômico para o sistema
CFC.
Aspectos importantes dos índices de Miller para
as direções que precisam ser observados
1. Como as direções são vetores, determinada direção e seu negativo
não são idênticos. De fato [100] não equivale a ; eles
representam a mesma linha, mas em sentidos opostos;
2. Toda direção e seu múltiplo são idênticos. De fato, [100] representa
a mesma direção que [200]; apenas esquecemos de fazer a redução
para menores números inteiros;
3. Certos grupos de direções são equivalentes. Em um sistema
cúbico, por exemplo, uma direção [100] será a direção [010] se
redefinirmos o sistema de coordenadas; e
4. Podemos nos referir a grupos de direções equivalentes como
famílias de direções < >.
]001[