[1]matematica-2-3-[2015]

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1 
 
M A T E M Á T I C A 2 / 3 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES __________________ 2 
MATRIZES __________________________________________________________________________________________________________2 
DETERMINANTES E SUAS PROPRIEDADES. _____________________________________________________________________________________5 
SISTEMAS LINEARES ___________________________________________________________________________________________________8 
SEQUÊNCIAS, PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS __ 10 
SEQUÊNCIAS, PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS _____________________________________________________________ 10 
CONTAGEM E ANÁLISE COMBINATÓRIA ________________________________ 13 
FATORIAL, INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA, ARRANJOS SIMPLES, COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES SIMPLES ____________________________________ 13 
PROBABILIDADE ___________________________________________________ 16 
PROBABILIDADE ____________________________________________________________________________________________________ 16 
POLINÔMIOS ______________________________________________________ 21 
POLINÔMIOS ______________________________________________________________________________________________________ 21 
NÚMEROS COMPLEXOS _______________________________________________ 23 
NÚMEROS COMPLEXOS _______________________________________________________________________________________________ 23 
 
 
 
 
2 
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 
Capítulo 1 
Matrizes. 
 
Definição 
 
Uma matriz m x n é uma tabela de m∙n números dispostos em m linhas e n colunas. 
 
Representação de uma matriz. 
 
Considere uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo 𝑎𝑖𝑗, no qual o indicie 𝑖 
refere-se à linha em que se encontra o elemento e o índice 𝑗 se refere à coluna em que se encontra o elemento. 
 
Então a matriz A será por: 
 
A = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑒 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛. 
 
PRÁTICA 
P1) Escreva a matriz A = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2 , em que A= 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗. 
P2) Escreva a matriz C = (𝑐𝑖𝑗)2𝑥3 , em que 𝑐𝑖𝑗 = {2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗 𝑒 𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗} 
 
Matrizes especiais 
 
Matriz linha: é uma matriz formada por uma única linha. 
 
Exemplo: 
A = [1 2 3] 
 
 Matriz diagonal: é uma matriz quadrada e todos elementos fora da diagonal prIncipal são nulos. 
 
Ex.: A =(
3 0 0
0 −1 0
0 0 1
) 
 
 Matriz transposta. 
 
Dada uma matriz A = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛, define-se matriz trasposta de A a matriz 𝐴
𝑡= (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑚. 
Ex.: A = (
2 3
5 1
0 2
)
3𝑥2
 então 𝐴𝑡 = (
2 5 0
3 1 2
)
2𝑥3
 
 
 Matriz simétrica: é uma matriz, quadrada, igual a sua transposta. 
 
Ex.: A = (
4 2
2 −1
) é simétrica, pois 𝐴𝑡 = (
4 2
2 −1
) 
 
 Matriz antissimétrica: é uma matriz, quadrada, igual ao oposto de sua transposta. 
 
A = (
0 −4 −8
4 0 −7
8 7 0
), 𝐴𝑡 = (
0 4 8
−4 0 7
−8 −7 0
) 
 
 Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna. 
 
Ex.: B = [
2
4
0
] 
 
 Matriz nula: é uma matriz cujos elementos são todos iguais a zero. 
 
Ex.: A = (
0 0 0
0 0 0
) 
 
 Matriz quadrada: é uma matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas. 
 
Ex.: C = (
2 1
0 −3
); C é quadrada de ordem 2. 
 
Observe: 
 
𝐴 = (
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
), onde a diagonal formada pelos números 𝑎11, 𝑎22, … , 𝑎𝑛𝑛 é denominada de diagonal principal e a diagonal formada 
pelos números 𝑎𝑛1, 𝑎(𝑛−1)2, … , 𝑎1𝑛 é denominada diagonal secundária. 
 
 Matriz identidade. 
Chama-se matriz identidade (𝐼𝑛) a matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos 
os demais são iguais a zero. 
Ex.: 𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
 
Igualdade de matrizes. 
 
Duas matrizes são iguais quando são do mesmo tipo m∙n e todos os seus elementos correspondentes são iguais. 
 
 Seja (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3, em que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗. Determine m, n e p em: 
 
B = (
𝑚 + 𝑛 3 4
𝑛 − 1 𝑚 − 2𝑝 5
), a fim de que tenhamos A = B. 
 
3 
Adição de matrizes. 
 
Dizemos que dadas duas matrizes. 
A = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 e B = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛, a matriz soma A + B é a matriz C = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 na qual 𝑐𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗, para todo 𝑖 𝑒 𝑗. 
 
PRÁTICA 
P3) Determinar X de modo que: (
2 1
−4 5
) + 𝑋 = (
3 4
2 0
) 
 
Matriz oposta. 
 
A matriz oposta de A é –A de modo que A + (-A) = O sendo O a matriz nula. 
 
Propriedades da adição. 
 
 A + B = B + A (comutativa). 
 (A + B) + C = A + (B + C) (associativa). 
 A + 𝑂𝑚𝑥𝑛 = A (existência do elemento neutro). 
 A + (-A) = (-A) + A = 𝑂𝑚𝑥𝑛 (existência do elemento oposto). 
 A + C = B + C → A = B (cancelamento). 
 
Multiplicação de um número real por uma matriz. 
 
Considere a matriz A = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 e K um nº real diferente de 0. 
Multiplicar A por K significa multiplicar todos os seus elementos por K. 
 
PRÁTICA 
P4) Resolva a equação: (
1 2 3
−3 −2 4
) + 2 ∙ 𝑋 = (
1 −1 0
−1 2 5
) 
 
Multiplicação de matrizes. 
 
Dadas as matrizes A = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 e B = (𝑏𝑗𝑘)𝑚𝑥𝑝 , chama-se produto de A por B, e se indica por A∙C, a matriz C = 
(𝑐𝑖𝑘)𝑚𝑥𝑝, em que um 
elemento qualquer 𝑐𝑖𝑘 é obtido da seguinte maneira: 
 
 Tomamos ordenadamente os n elementos da linha 𝑖 da matriz A. (I) 
 Tomamos ordenadamente os n elementos da coluna k da matriz B. (II) 
 Multiplicamos o primeiro elemento de (I) pelo primeiro elemento de (II) e assim sucessivamente. 
 Somamos os produtos. 
 
Assim: 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 ∙ 𝑏1𝑘 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝑏2𝑘 + … + 𝑎𝑖𝑛 ∙ 𝑏𝑛𝑘 
 
OBSERVAÇÃO! 
 A definição garante a existência do produto AB se, e somente se, o número de colunas de A é igual 
ao número de linhas de B. 
 A matriz produto C = A∙B é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de linhas de A e o 
número de colunas é igual ao número de colunas de B. Veja: 
𝐴(𝑚𝑥𝑛) ∙ 𝐵(𝑛𝑥𝑝) = 𝐶(𝑚𝑥𝑝)[𝑛 = 𝑛] 
 Notemos que, se A é do tipo m x n e B é do tipo n x p, com p diferente de m, então AB existe, 
mas BA não existe, pois: 
𝐵(𝑛𝑥𝑝) ∙ 𝐴(𝑚𝑥𝑛)[𝑝 ≠ 𝑚] 
 
PRÁTICA 
P5) Determine o produto (
1 −2 0
5 0 4
2 −3 0
) ∙ (
1 −1 2
0 1 4
−3 0 0
) 
 Sejam as matrizes A = (𝑎𝑖𝑗)6𝑥3, em que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, B =(𝑏𝑗𝑘)3𝑥5, em que 𝑏𝑗𝑘 = 2𝑗 − 𝑘. Sendo C = A∙B = 
(𝑐𝑖𝑘)6𝑥8 , determine o elemento 𝑐35. 
 
Propriedades da multiplicação. 
 
 Associativa: 
(A∙B)∙C = A∙(B∙C) 
 
 Distributiva à direito em relação à adição/subtração: 
(A ± B)∙C = A∙C ± B∙C 
 
 Distribuição à esquerda em relação à adição/subtração: 
C∙(A ± B) = C∙A ± C∙B 
 
Matriz inversa. 
 
Seja A uma matriz quadrado de ordem n. A é dita inversível (ou invertível) se existir uma matriz B tal que: 
A∙B = B∙A = 𝐼𝑛 
 
Nesse caso, B é dita inversa de A e indicada por 𝐴−1. 
 
PRÁTICA 
P6) Determine se existir, a inversa A = (
4 −5
3 1
) 
P7) Resolva as seguintes equações matriciais. 
a) A∙X = B 
b) X∙B + A = C 
c) 𝐴−1∙X = 𝐵−1 
 
 
4 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (UFMG) Feita uma pesquisa sobre 3 alimentos que contêm 
vitaminas A, B e C, em uma quantidade de 1 g, determinou-se 
que: 
 
Se são necessárias 13 unidades de A, 16 unidades de B e 21 
unidades de C, a quantidade de alimentos I, II e III que fornece 
a quantidade de vitamina desejada é de: 
 
a) 2I + 3II + 1III 
b) 2I + 2II + 2III 
c) 1I + 2II + 1III 
d) 3I + 1II + 2III 
 
2. (UFPB) Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que 
aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento c12 da matriz C = A.B é: 
 
a)12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
e) não existe 
 
3. (MACKENZIE) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x 
m, então: 
 
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3 
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3 
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3 
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B 
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B. 
 
4. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas 
matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:a) (A = B) . C = A . C + B . C 
b) (A + B)t = At + Bt 
c) (A . B)t = At . Bt 
d) (A - B)C = AC - BC 
e) (At)t = A 
 
5.(UCG) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = AT e é 
dita antissimétrica se AT = -A, onde AT é a matriz transposta de 
A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou 
falsa as duas afirmações: 
 
(01) A + AT é uma matriz simétrica 
(02) A - AT é uma matriz anti-simétrica 
 
a) Verdadeira, Falsa 
b) Falsa, Falsa 
c) Verdadeira, Verdadeira 
d) Falsa, Verdadeira 
 
6.(PUCSP) Alfeu, Bento e Cíntia foram a uma certa loja e cada 
qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa 
compra os totais de R$ 134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, 
respectivamente. Sejam as matrizes 
 
• os elementos de cada linha de A corresponde às quantidades 
dos três tipos de camisas compradas por Alfeu (1ª linha), Bento 
(2ª linha) e Cíntia (3ª linha); 
• os elementos de cada coluna de A correspondem às quantidades 
de um mesmo tipo de camisa; 
• os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, 
de cada tipo de camisa; 
 
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade 
de cada tipo de camisa é: 
 
a) R$53,00 
b) R$ 55,00 
c) R$ 57,00 
d) R$ 62,00 
e) R$ 65,00 
 
7. (UFJF) A tabela abaixo fornece a quantidade de proteína, 
carboidrato e gordura, contida em cada grama dos alimentos A, 
B, C e D. Um nutricionista deseja preparar uma refeição, 
composta somente por esses alimentos, que contenha 
exatamente 50 unidades de proteínas, 21 unidades de 
carboidrato e 24 unidades de gordura. Então, quanto às maneiras 
de se combinarem quantidade desses quatro alimentos, em 
números inteiros de gramas, para compor tal refeição, é correto 
afirmar que: 
 
a) não existe tal maneira; 
b) existe uma única maneira; 
c) existem exatamente duas maneiras; 
d) existem exatamente três maneiras; 
e) existem infinitas maneiras. 
 
8. (UNIBAHIA) Considerando-se a matriz 
 
e det A = 4, pode-se afirmar que o valor de x é igual a: 
 
a) -3 
b) -1 
d) 1 
e) 2 
e) 3 
 
9. (FGV) A organização econômica Merco é formada pelos países 
1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os três 
parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 
colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto 
o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares. 
 
Então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco 
foram, respectivamente: 
 
a) 1 e 1 
b) 2 e 2 
d) 2 e 3 
e) 3 e 1 
e) 3 e 2 
 
10. (UFPR) Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é 
chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e: 
 
Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente: 
 
a) 2,2 e 4 
b) 2, -4 e 2 
c) -4, -2 e 4 
d) 4, -2 e 4 
e) 4, -2 e -4 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1.A 2.E 3.C 4.C 5.C 6.A 7.A 8.E 9.C 10.D 
5 
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 
Capítulo 2 
Determinantes e suas propriedades. 
 
Definição 
 
Determinante de uma matriz é um número real associado a essa matriz. Tal número é usado na resolução de sistemas lineares. 
 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1. 
 
O determinante de uma matriz A = [𝑎11]1𝑥1 é igual ao número que a constitui. 
 
det 𝐴 = 𝑎11 
 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2. 
 
O determinante de uma matriz A = [𝑎𝑖𝑗]2𝑥2 é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal 
e o produto da diagonal secundária. 
 
det 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎12 ∙ 𝑎21 
 
PRÁTICA 
P1) Determine: a) |√
2
2
+ 1 √3
2
√3
2
√2
2
− 1
| b) |
1
2
√8
2
1 √2
2
| 
 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3. 
 
O procedimento a ser usado é chamado de regra de Sarrus. 
Considere a matriz A = (
1 2 3
0 2 4
−1 3 5
). Para determinar o det 𝐴 procederemos da seguinte forma: 
 
 Ao lado da matriz, copiam-se suas duas primeiras colunas. 
 
 Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das 
outras duas filas à sua direita. 
|
1 2 3
0 2 4
−1 3 5
|
1 2
0 2
−1 3
 10 ; -8 ; 0 
 
 Multiplicam-se os elementos da diagonal secundaria e, na mesma direção, os elementos das outras filas à sua direita. 
 
|
1 2 3
0 2 4
−1 3 5
|
1 2
0 2
−1 3
 -6 ; 12 ; 0 
 
 Subtraem-se as somas dos produtos obtidos em 2 e 3. 
 
Logo: det 𝐴 = (10 − 8 + 0) − (−6 + 12 + 0) det 𝐴 = −4 
 
PRÁTICA 
P2) Determinar x para que seja verdadeira a igualdade: |
2 −1 −𝑥
3 2 1
𝑥 −1 −2
| = 0 
P3) Resolva, em R, a desigualdade: |
3 1 2
𝑥 −2 3
2 0 −1
| > |
2𝑥 + 3 −1
1 2
| 
 
Cofator de uma matriz. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2. Chama-se cofator de um elemento 𝑎𝑖𝑗 de A o número real 𝐴𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 ∙ 𝐷𝑖𝑗, em que 𝐷𝑖𝑗 é 
o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna que contém o elemento 𝑎𝑖𝑗 . Veja: 
 
Teorema de Laplace. 
 
Para qualquer matriz de ordem n ≥ 2, podemos aplicar o teorema de Laplace: 
O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos 
respectivos cofatores. 
 
B I Z U 
Use Laplace apenas para matrizes com ordem maior que 3. 
Escolha a fila que possui a maior quantidade de zeros. 
 
6 
PRÁTICA 
P4) Calcule: a) |
1
3
0
−3
2
−2
1
0
 
−3
1
−1
4
 
0
5
2
1
| b) |
0
1
0
−1
2
−2
2
4
 
3
3
1
2
 
1
0
5
0
| 
 
Propriedades dos determinantes. 
 
I) Fila nula. 
 
Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A forem nulos, então 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0. 
 
II) Filas paralelas iguais ou proporcionais. 
 
Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0. 
 
III) Determinante da matriz transposta. 
 
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta. 
 
IV) Teorema de Binet. 
 
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então det (𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵. 
 
V) Produto de uma fila por uma constante. 
 
Se, em uma matriz quadrada, todos os elementos de uma fila forem multiplicados por um mesmo número real k, o determinante da 
matriz assim obtida fica multiplicada por k. 
 
VI) Teorema de Jacobi. 
 
Dada uma matriz A de ordem n, se adicionarmos uma fila de A a uma fila paralela, previamente multiplicada por uma constante qualquer, 
obteremos uma matriz B tal que det 𝐵 = det 𝐴. Veja: 
 Considere as matrizes A = (
1 3 −2
−2 0 5
−4 −7 8
) , 𝐵 = (
1 3 −2
0 6 1
−4 −7 8
) 𝑒 𝐶 = (
1 3 −2
0 6 1
0 5 0
) 
Observe que: 
 
A 2ª linha de B é a soma da 2ª linha de A com o dobro da 1ª linha de A. 
A 3ª linha de C é a soma da 3ª linha de A com o quádruplo da 1ª linha de A. 
Calculando os determinantes, temos: 
det 𝐴 = 0 − 60 − 28 − 0 + 35 + 48 = −5 
det 𝐵 = 48 − 12 + 0 − 48 + 7 + 0 = −5 
det 𝐶 = 0 + 0 + 0 − 0 − 5 − 0 = −5 
 
B I Z U 
Pela propriedade V, podemos concluir que det(𝐾𝐴) = 𝐾𝑛 ∙ det 𝐴 onde K é uma constante real e n é a ordem da 
matriz A. 
 
PRÁTICA 
P5) Sabendo que uma matriz A de ordem n é invertível, mostrar que det 𝐴 ≠ 0 e calcular o det 𝐴−1. 
 
VII) Regra de Chió. 
 
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo de determinantes de ordem n ≥ 2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos 
essa regra, obteremos outro determinante de ordem n-1 e com valor igual ao do determinante de A. 
Veremos a aplicação da regra de Chió por meio de exemplos. É necessário que a matriz tenha pelo menos um de seus elementos igual 
a 1, ao qual chamamos de pivô. Veja: 
 
PRÁTICA 
P6) (FUVEST) Se A é uma matriz 2 x 2 invertível que satisfaz A² = 2ª, então o determinante de A será? 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
7 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (FGVRJ) A organização econômica Merco é formada pelos 
países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os 
três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 
colunas, na qual o elemento da linha i e colunaj informa quanto 
o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares.
então o país que mais exportou e o que mais 
importou no Merco foram, respectivamente: 
 
a) 1 e 1 
b) 2 e 2 
c) 2 e 3 
d) 3 e 1 
e) 3 e 2 
 
2. (UEL) O determinante mostrado na figura a seguir (imagem 
abaixo) é positivo sempre que: 
 
a) x > 0 
b) x > 1 
c) x < 1 
d) x < 3 
e) x > -3 
 
3. (PUC) O valor de x no determinante: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
4. (UNIRIO) O valor de (imagem abaixo) é igual a: 
 
a) 0 
b) 4(y + 3z) 
c) 4(3x + y + 3z) 
d) 4x + 2y + 3z 
e) 12(x + z) 
 
5. (UNITAU) O valor do determinante como produto de 3 fatores é: 
 
a) abc. 
b) a (b + c) c 
c) a (a - b) (b - c) 
d) (a + c) (a - b) c 
e) (a + b) (b + c) (a + c) 
 
6. (UERJ) Em um supermercado, um cliente empurra seu 
carrinho de compras passando pelos setores 1, 2 e 3, com uma 
força de módulo constante de 4 newtons, na mesma direção e 
mesmo sentido dos deslocamentos. 
Na matriz A abaixo, cada elemento aij indica, em joules, o trabalho 
da força que o cliente faz para deslocar o carrinho do setor i para 
o setor j, sendo i e j elementos do conjunto {1, 2, 3}. 
 
Ao se deslocar do setor 1 ao 2, do setor 2 ao 3 e, por fim, retornar 
ao setor 1, a trajetória do cliente descreve o perímetro de um 
triângulo. 
Nessas condições, o cliente percorreu, em metros, a distância de: 
 
a) 35 
b) 40 
c) 45 
d) 50 
 
7. (PUC) Sendo D o determinante da matriz mostrada na figura 
adiante (imagem abaixo) o valor positivo de x é: 
 
a) um múltiplo de 4. 
b) um divisor de 10. 
c) o mínimo múltiplo comum de 3 e 5. 
d) o máximo divisor comum de 6 e 9. 
 
8. (MACKENZIE) Dada a matriz mostrada na figura a seguir 
(imagem abaixo), então o determinante da inversa de M vale: 
 
a) 1/6 
b) 1/3 
c) 1/54 
d) 1/15 
e) 1/30 
 
9. (ITA) Sendo A, B e C matrizes reais de ordem n, considere 
as afirmações: 
 
1) A(BC) = (AB)C 
2) AB = BA 
3) A+B = B+A 
4) det (AB) = det (A) . det (B) 
5) det (A+B) = det (A) + det (B) 
 
Então, podemos afirmar que: 
 
a) 1 e 2 estão corretas. 
b) 2 e 3 estão corretas. 
c) 3 e 4 estão corretas. 
d) 4 e 5 estão corretas. 
e) 5 e 1 estão corretas. 
 
10. (VUNESP) Dadas as matrizes A = (
1 3
2 4
) e B 
=(
1. (1) + 3𝑥3 1.2 + 3.1
2. (1) + 4.3 2.2 + 4.1
), o determinante da matriz A.B é: 
 
a) – 1 
b) 6 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.D 8.C 9.C 10.E 
 
8 
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 
Capítulo 3 
Sistemas Lineares. 
 
Equação linear. 
 
Equação linear nas incógnitas (ou variáveis) 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 é toda equação do tipo 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏, em que 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são 
coeficientes reais, e b, também real, é o termo independente da equação. 
 
Ex.: 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 
 
 Note que todos os expoentes são iguais a um e que cada termo não nulo só existe uma incógnita. 
 Dizemos que a sequência ordenada de números reais (𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, … , 𝑑𝑛) é a solução da equação 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 quando a 
expressão 𝑎1𝑑1 + 𝑎2𝑑2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑑𝑛 = 𝑏 for verdadeira. 
 Se a equação linear tem o termo independente igual a zero, dizemos que ela é uma equação linear homogênea. 
 
Obs.: Toda equação homogênea 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0 admite a seqüência (0, 0, 0,..., 0) como solução, pois, quaisquer que sejam 
os coeficientes 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 , tem-se : 𝑎1 ∙ 0, 𝑎2 ∙ 0, … , 𝑎𝑛 ∙ 0 = 0. 
 
Sistema de equação linear. 
 
Um conjunto de m equações lineares nas variáveis 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 é dito sistema linear de m equações e n variáveis. 
 
 Podemos associar matrizes a um sistema linear. 
As matrizes associadas ao sistema: 
[
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5
2𝑥 − 𝑧 = 3
𝑦 + 3𝑧 = −1
 são : 𝐴 = |
1 −1 1
2 0 −1
0 1 3
|(matriz incompleta) 𝐵 = |
1 −4 1
2 0 −1
0 1 3
 
5
3
−1
|(matriz completa) 
 
 Podemos, também, representar matricialmente o sistema. 
|
1 −1 1
2 0 −1
0 1 3
| ∙ |
𝑥
𝑦
𝑧
| = |
5
3
−1
| 
Dizemos que a sequência ordenada (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada uma das 
equações do sistema. 
 
Sistemas Escalonados. 
 
Consideremos um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não nulo. 
Dizemos que S está na forma escalonada (ou, simplesmente, é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes do 1º coeficiente 
não nulo, aumenta de equação para equação. 
 
PRÁTICA 
P1) Resolva os seguintes sistemas: 
a) [
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −5
𝑦 + 2𝑧 = −3
3𝑧 = −6
 b) [
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑦 − 𝑧 = 1
 
 
Escalonamento de um sistema. 
 
Para escalonar um sistema, basta seguir os seguintes passos: 
 
1º. Passo: Escolhemos para 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se possível, fazemos a escolha a 
fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em geral, mais simples. 
2º. Passo: Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita das demais equações, usando os teoremas 1 e 2. 
3º. Passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os dois primeiros passos com as equações restantes. 
4º. Passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações restantes, até o sistema ficar escalonado. 
 
PRÁTICA 
P2) Escalonar e depois resolver o sistema: [
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
−2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
 
 
Classificação de sistema linear. 
 
Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções. 
São as possíveis classificações: 
Sistema possível (tem solução) → pode ser Determinado, ou seja, a solução é única ou Indeterminado possuindo, assim, infinitas soluções. 
Sistema impossível → não apresenta nenhuma solução. 
 
Sistemas homogêneos. 
 
Um sistema é homogêneo quando todas suas equações são homogêneas. 
 
 Todo sistema homogêneo de n incógnitas admite (0, 0,..., 0) como solução. Tal solução é chamada de nula, trivial ou imprópria. 
Havendo outras soluções elas recebem o nome de próprias ou não triviais. 
 
PRÁTICA 
P3) O sistema abaixo é escalonado: [
𝑥 − 3𝑦 = 0
(𝑚 + 1)𝑦 = 0
 
Determine m para que o sistema admita somente a solução nula ou trivial. 
P4) (FGV) Dada a matriz A = |
1 0
2 3
| e a matriz incógnita X = |
𝑥
𝑦|, chama-se autovalor de A qualquer valor real de 𝛿 que 
faz com que a equação matricial AX= 𝛿X tenha soluções não nulas para X. 
a) Determine os autovalores de A. 
b) Para cada um dos valores encontrados no item anterior, obtenha a expressão da matriz X 
 
9 
B I Z U 
Um sistema homogêneo nunca é impossível. 
 
Regra de Cramer. 
Considere o sistema [
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 = 𝑑𝑦 = 𝑓
 
 Chamamos de D o determinante da matriz incompleta do sistema. 
 Se substituirmos na matriz incompleta a 2ª coluna pela coluna dos coeficientes independentes, obteremos uma matriz cujo 
determinante será indicado por 𝐷𝑦. 
 Se repetirmos o procedimento anterior para a 1ª coluna, obteremos uma matriz cujo determinante será indicado por 𝐷𝑥. 
 A regra de Cramer determina as soluções desse sistema da seguinte forma: 
 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
 𝑒 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
 
 
PRÁTICA 
P5) Determinar x, y e z no sistema: [
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −5
−𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −3
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
 
 
Discussão de um sistema. 
 
De modo geral, discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer para quais valores do(s) parâmetro(s) temos 
SPD, SPI ou SI. Para isso vamos considerar D o determinante da matriz incompleta de um sistema linear. Para tal, temos que se 
D≠ 0 → 𝑆𝑃𝐷 𝑒 𝑠𝑒 𝐷 = 0 → (𝑆𝑃𝐼 𝑜𝑢 𝑆𝐼). 
 
PRÁTICA 
P6) Discutir em função de m, o sistema [
𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 + 𝑚𝑦 = 2
 
P7) Determinar o valor de m, a fim de que o sistema a seguir apresente soluções diferentes da trivial. [
𝑚𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0
𝑚𝑦 + 2𝑧 = 0
−𝑚𝑥 + 𝑧 = 0
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (UFRGS) Se o termo ordenado (a, b, c) satisfaz o sistema 
de equações então a+b+c vale: 
 
a) 2 b) 1 c) 0 d)-1 e) -2 
 
2.(FGV-SP) O sistema linear abaixo 
 
a) é impossível d) admite apenas três soluções 
b) admite apenas uma solução e) admite infinitas soluções 
c) admite apenas duas soluções 
 
3. (PUC) Assinale a afirmativa correta. 
O sistema: 
 
a) não tem solução. 
b) tem uma solução única x = 1, y = 0, z = 0. 
c) tem exatamente duas soluções. 
d) tem uma infinidade de soluções. 
e) tem uma solução com z = 1. 
 
4. (ACAFE) Considerando o sistema abaixo, o valor da incógnita z é: 
 
a) 1 b) -10 c) 2 d) -2 e) 4 
 
5. (UFSC)Considerando o sistema de equações lineares abaixo. 
Calcule o produto x.y.z.t: 
 
a) 15 b) 30 c) 60 d) 45 
 
6. (ULBRA) Determinando os valores de a e b, a fim de que o 
sistema abaixo seja indeterminado, o produto a.b é: 
 
a) 36 b) 24 c) 18 d) 12 e) 6 
 
7. (FUVEST) S (x, y) é solução do sistema abaixo: 
 
Então 
𝑥
𝑦
 é igual a: 
a) 1 b) -1 c) 1/3 d) -3/2 e) 2/3 
 
8. (UPE) Discuta o sistema: 
 
Segundo os valores de m, m Є IR 
 
A) m = 6, o sistema é impossível 
B) m ≠ 6, o sistema é indeterminado 
C) m = 6, o sistema é determinado 
D) m ≠ 6, o sistema é determinado 
E) qualquer que seja o m pertencente a R, o sistema é possível. 
 
9. (UESP) Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema abaixo, 
então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a: 
 
a) -8 b) -7 c) -6 d) -5 e) -4 
 
10. (UEL) O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é: 
 
a) impossível, para todo k real diferente de -21 
b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63 
c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21 
d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3 
e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1.B 2.E 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.B 10.C 
 
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10 
Sequências, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 
Capítulo 1 
Sequências, progressões aritméticas e progressões geométricas. 
 
Sequências 
 
 Uma sequência numérica é um conjunto ordenado de números. Costuma-se indicar primeiro termo por 𝑎1, o segundo por 𝑎2, e 
assim por diante. 
 Uma sequência numérica pode ser determinada por uma lei de formação, que associa a cada número natural n diferente de zero 
um termo 𝑎𝑛 é também conhecido por termo geral da sequência. 
 Uma sequência finita de n termos é indicada por (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛). 
 Uma sequência infinita é indicada por (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … ). 
 
PRÁTICA 
P1) Determine o nono termo da sequência termo da sequência definida por 𝑎𝑛 = 3𝑛² − 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ N*. 
P2) Determine os dez primeiros termos da sequência definida por: [
𝑎1 = 1 ; 𝑎2 = 1
𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛
; 𝑛 ∈ N* 
 
Progressões aritméticas 
 
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se ao anterior 
uma constante r intitulada razão da PA. 
As progressões aritméticas podem ser classificadas em: 
 
 Crescente: quando 𝑟 > 0. 
 Decrescente: quando 𝑟 < 0. 
 Constante: quando 𝑟 = 0. 
 
B I Z U 
Observe que qualquer termo, a partir do segundo, de uma P.A. é a média ARITMÉTICA 
entre seu sucessor e seu antecessor. 
 
Termo geral da P.A. 
 
 Em uma P.A. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão r: 
 O termo geral é dado por: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)r, com 𝑛 ∈ N* 
A fórmula do termo geral da P.A., permite-nos conhecer qualquer termo da P.A., em função de 𝑎1 e r. 
 
Notação especial 
 
Para resolver alguns problemas, precisamos escrever uma P.A. de forma “genérica”. 
a) Três termos: (𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟). 
b) Cinco termos: (𝑥 − 2𝑟, 𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟, 𝑥 + 2𝑟). 
c) Quatro termos: (𝑥 − 3𝑟, 𝑥 − 𝑟, 𝑥 + 𝑟, 𝑥 + 3𝑟). 
 
PRÁTICA 
P3) Dada a P.A. (
𝑥−1
2
,
𝑥+1
2
,
𝑥+3
2
, . . . ), determine: 
a) Sua razão. 
b) O valor de x tal que 𝑎30 = 50. 
P4) Numa P.A. sabe-se que 𝑎1 + 𝑎5 = 15 𝑒 𝑎3 + 𝑎6 = 36. Determine seu 1º termo e sua razão. 
P5) Interpole dez meios aritméticos entre 5 e 49 
P6) Determine m de modo que a sequência (2m, 3m+1, m²+2) seja uma P.A. 
P7) Para preencher as vagas num vestibular, uma faculdade decidiu adotar o seguinte critério: na 1ª chamada, são 
convocados 96 alunos. Na 2ª, 84; na 3ª, 72; e assim por diante. 
a) Quantos alunos são convocados na 6ª chamada? 
b) Quantas chamadas há nesse vestibular? 
P8) Numa P.A. de quatro termos, a soma dos extremos é 24 e o produto dos outros dois é -81. Qual é a razão dessa P.A? 
P9) Num triângulo, a medida do maior ângulo interno é 105°. Determine as medidas dos ângulos internos desse 
triângulo, sabendo que elas estão em P.A. 
P10) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão 3. Qual a hipotenusa do triângulo? 
P11) Num quadrilátero, os ângulos internos estão em P.A. e o maior deles mede 150°. Quais as medidas dos ângulos 
internos desse quadrilátero? 
 
Soma dos n primeiros termos de uma P.A. 
 
A soma dos n primeiros termos é: 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
 
 
PRÁTICA 
P12) Calcule a soma: 
a) Dos vinte primeiros múltiplos positivos de 3. 
b) Dos n primeiros múltiplos positivos de 3. 
P13) Calcule: 1,5 + 1,8 + ⋯ + 11,7. 
P14) Quantos termos devemos somar em (-15, -12, -9,...) para obtermos soma igual a 270? 
 
Progressões geométricas. 
 
Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o 
anterior por uma constante q chamada razão da P.G. 
 
As progressões podem ser classificadas em: 
 
 Constante: quando q=1. 
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11 
 Estacionaria: quando 𝑎1 ≠ 0 𝑒 𝑞 = 0. 
 Oscilante: quando 𝑎1 ≠ 0 𝑒 𝑞 < 0. 
 Crescente: quando 𝑎1 > 0 𝑒 𝑞 > 1 ou quando 𝑎1 < 0 𝑒 0 < 𝑞 < 1. 
 Decrescente: quando 𝑎1 > 0 𝑒 0 < 𝑞 < 1 ou quando 𝑎1 < 0 𝑒 𝑞 > 1. 
 
B I Z U 
Observe que qualquer termo, a partir do segundo, de uma P.G. positiva é a média 
geométrica entre seu antecessor e seu sucessor. 
 
Termo geral da P.G. 
 
Em uma P.G. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão q: 
 
 O termo geral é dado por: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ N* 
 
PRÁTICA 
P15) Determinar o 10º termo da P.G. (
1
3
; 1; 3; 9; … ) 
P16) Construa a P.G em que a soma do 3º com o 5º termo é 
5
4
 e que a soma do 7º com o 9º termo é 20. 
P17) Determinar x a fim de que a sequência (
9𝑥+5
2
, 𝑥 + 1, 𝑥 − 2) seja uma P.G. 
P18) Interpole cinco meios geométricos entre 
2
3
 𝑒 486. 
P19) Determine três números em P.G. cujo produto seja 1000 e a soma do 1° com o 3° termo seja igual a 52. 
P20) Determinar x e y de modo que a sequência (15, y , x) seja uma P.A. de termos positivos e a sequência (x-2, 12, 
5y-2) seja uma P.G. 
 
Soma dos n primeiros termos de um P.G. 
 
A soma dos n primeiros termos é: 𝑆𝑛 =
𝑎1∙(𝑞
𝑛−1)
𝑞−1
, com 𝑞 ≠ 1. 
PRÁTICA 
P21) Calcule o valor de 
1
3
+
1
9
+
1
27
+ ⋯ 
P22) Determine o valor do x em: 𝑥 −
𝑥2
4
+
𝑥3
16
−
𝑥4
64
+ ⋯ =
4
3
 
P23) Obtenha a fração geratriz de 0, 2̅. 
P24) Resolva, em R, a equação √𝑥
3 ∙ √𝑥
9 ∙ √𝑥
27 ∙ … = 9 
(sugestão: lembre-se de que √𝑥
𝑛 = 𝑥
1
𝑛) 
P25) Resolva, em R, a equação 2𝑥 + 2𝑥−1 + 2𝑥−2 + ⋯ = 16. 
P26) Resolva, em R, a equação 𝑙𝑜𝑔𝑥 + 𝑙𝑜𝑔√𝑥
2 + 𝑙𝑜𝑔√𝑥
4 + ⋯ = 16. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (PUC) De segunda a sexta-feira, uma pessoa caminha na pista de 
670 metros que contorna certa praça. A cada dia, ela percorre sempre 
uma volta a mais do que no dia anterior. Se, após andar cinco dias, ela 
tiver percorrido um total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no terceiro 
dia, essa pessoa deu x voltas em torno da praça. O valor de x é: 
 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 
 
2. (PUC) Um restaurante, que só abre aos sábados, foi inaugurado no 
dia 02 de julho de 2005, quando recebeu 60 fregueses. A partir daí, o 
número de fregueses que passaram a frequentar esse restaurante 
aumentou à razão de 12 pessoas por semana, até atingir a capacidade 
máxima de 180 pessoas, a qual tem se mantido. Sem contar o da 
inauguração, o número de sábados transcorridos, até que a 
capacidade máxima fosse atingida pelaprimeira vez, foi: 
 
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 
 
3. (MACKENZIE) Se a figura mostra o esboço do gráfico de 
f(x)=ax + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são: 
 
a) nessa ordem, termos de uma progressão aritmética. 
b) nessa ordem, termos de uma progressão geométrica. 
c) números inteiros. 
d) tais que a< b < c. 
e) tais que a > b > c. 
 
4. (UFJF) Uma pessoa compra um carro, devendo pagá-lo, em 
prestações mensais, durante 5 anos. As prestações pagas em um 
mesmo ano são iguais, sendo de R$ 400,00 o valor da primeira 
prestação, paga em janeiro. A cada ano, a prestação sofre um 
aumento de 10%, em relação à do ano anterior. Sendo assim, o valor 
da prestação mensal, no último ano será, aproximadamente, de: 
 
a) R$ 440,00 d) R$ 580,00 
b) R$ 480,00 e) R$ 680,00 
c) R$ 500,00 
 
5. (CESGRANRIO) Enquanto no mundo o número de turistas cresce, no 
Brasil ele diminui. Essa é uma das conclusões do relatório da Organização 
Mundial de Turismo, divulgado recentemente. (Revista Veja, 05 nov. 2003.) 
 
Se as variações anuais no número de turistas estrangeiros 
apresentadas no gráfico acima formassem uma Progressão 
Aritmética, o número de turistas estrangeiros que visitariam o 
Brasil em 2003, em milhões, seria igual a: 
 
a) 1,2 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,9 e) 3,2 
 
6. (UECE) A sequência de triângulos equiláteros, ilustrada na figura 
abaixo, apresenta certo número de pontos assinalados em cada triângulo. 
 
Seguindo a lógica utilizada na construção da sequência, o número 
de pontos que estarão assinalados no oitavo triângulo é: 
 
a) 65 b) 54 c) 45 d) 56 
 
7. (FATES) Considere as seguintes sequências de números: 
I. 3, 7, 11, ... 
II. 2, 6, 18, ... 
III. 2, 5, 10, 17, ... 
O número que continua cada uma das sequências na ordem dada 
deve ser respectivamente: 
 
a) 15, 36 e 24 d) 17, 54 e 26 
b) 15, 54 e 24 e) 17, 72 e 26 
c) 15, 54 e 26 
 
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12 
8. (PUC) Uma empresa deve instalar telefones de emergência a 
cada 42 quilômetros, ao longo da rodovia de 2.184 km, que liga 
Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses 
telefones é instalado no quilômetro 42 e o último, no quilômetro 
2.142. Assim, a quantidade de telefones instalados é igual a: 
 
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 
 
9. (UEPB) Considerando quadrados de mesma área, com 4 
palitos de fósforos formamos um quadrado, com 7palitos de 
fósforos dois quadrados, com 10 palitos de fósforos 3 quadrados, 
... Então, com 40 palitos formamos: 
 
a) 15 quadrados. d) 11 quadrados. 
b) 13 quadrados. e) 10 quadrados 
c) 19 quadrados. 
 
10. (ESPM) A soma dos n primeiros termos de uma sequência 
numérica é dada pela expressão Sn= 3n2– 5n. O vigésimo termo 
dessa sequência é: 
 
a) 112 b) 121 c) 132 d) 146 e) 152 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C 8.C 9.B 10.A 
 
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13 
Contagem e Análise Combinatória 
Capítulo 1 
Fatorial, Introdução à Análise Combinatória, Arranjos Simples, Combinações e Permutações Simples. 
 
Fatorial. 
 
O fatorial de um número natural n é representado por n! o fatorial de um número natural é definido por: 
 
𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2; 1! = 1 𝑒 0! = 1 
 
PRÁTICA 
P1) 
7!
4!
 
3!7!
4!6!
 
P2) Simplifique: 
𝑛!
(𝑛−1)!
 
(𝑛+2)!
𝑛!
 
P3) Calcule n sabendo que: 
𝑛!
(𝑛−2)!
= 30 
(𝑛+1)!
(𝑛−1)!
= 72 
 
Princípio fundamental da contagem. 
 
Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se, para cada uma, B 
pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é m∙n. 
O princípio multiplicativo, também chamado de princípio fundamental da contagem, pode ser entendido para três ou mais etapas. 
 
PRÁTICA 
P4) Com 3 tipos de macarrão e 2 tipos de molho, quantos pratos diferentes de macarronada podem ser preparados com 
um tipo de macarrão e 1 tipo de molho? 
P5) Uma pessoa quer viajar de uma cidade A a uma cidade C, passando pela cidade B. As cidades A e B estão ligadas 
por três estradas 𝑑1, 𝑑2 𝑒 𝑑3; e as cidades B e C estão ligadas por 4 estradas: 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 e 𝑒4. De quantos modos diferentes 
pode-se fazer o percurso ABC? 
P6) Doze cavalos participam de uma corrida. Se nenhum pode ganhar mais de um prêmio, de quantas maneiras podem 
ser distribuídos o 1º e o 2º prêmio? 
P7) Ao lançarmos uma moeda e um dado, quantas são as possibilidades de resultado? 
P8) Quantos são os números de 4 algarismos? 
P9) Suponha que 5 pontos no plano representam cidades que são ligadas por 1 estrada. 
Escolhendo-se uma cidade qualquer como ponto de partida, quantas rotas distintas podem ser feitas de forma que cada 
cidade seja visitada exatamente uma vez? 
P10) Um homem pode ir ao trabalho de carro, de ônibus ou de trem. De quantas formas diferentes ele pode arranjar 
sua ida ao trabalho nos 5 dias da semana? 
P11) A senha de acesso de um site é composta de 4 letras distintas seguidas de 3 algarismos distintos. A primeira letra não 
pode ser Z e o primeiro algarismo não pode ser zero. Quantas diferentes senhas de acesso a esse site podem ser criadas? 
(Considere o alfabeto com 26 letras). 
 
Arranjos simples. 
 
Arranjo simples dos n elementos de um conjunto, tomados p a p, é qualquer sequência de p elementos distintos escolhidos entre os n possíveis. 
A ordem dos elementos é importante. 
O número de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, é dado por: 𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛−𝑝)!
 
 
PRÁTICA 
P12) Determine o número x inteiro, x ≥ 2, pra que 𝐴𝑥,2 = 156. 
P13) Uma sala possui 6 portos. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por uma diferente? 
P14) Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas 
isso pode ser feito? 
P15) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O segredo do cofre é marcado por 
uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre e gastar 10 segundos em cada tentativa, quanto 
tempo levará (no máximo) para conseguir abri-lo? 
P16) De quantos modos 3 pessoas podem sentar num sofá de 5 lugares? 
P17) Numa empresa, 10 de sues diretores são candidatos aos cargos de presidente e vice-presidente. Quantos são os 
possíveis resultados da eleição? 
 
Permutações simples. 
 
Permutação simples dos n elementos de um conjunto é qualquer sequência em que esses elementos sejam agrupados. A ordem dos 
elementos é importante. 
O número de permutações simples de n elementos é dado por: 𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
PRÁTICA 
P18) Quantos são os anagramas da palavra SABER? 
P19) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 
P20) Dos anagramas da palavra CORAGEM, quantos começam por A? 
P21) Oito clientes de um banco, dos quais 3 são mulheres. Estão na fila única dos caixas. De quantas maneiras as 
pessoas dessa fila podem se posicionar de modo que as mulheres fiquem juntas? 
P22) Com as letras da palavra PROVA quantos são os anagramas que começam por vogal e quantos são os anagramas 
que começam e terminam por consoante? 
 
Combinações simples. 
 
Combinação simples dos n elementos de um conjunto, tomados p a p, é qualquer agrupamento não-ordenado de p elementos 
escolhidos entre os n possíveis. 
O número de combinações simples de n elementos, tomados p a p, é dado por 𝐶𝑛,𝑝 =
𝑛!
𝑝!(𝑝−𝑛)!
 
 
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14 
PRÁTICA 
P23) Quantos grupos de 3 letras distintas podem ser constituídos com as letras da palavra SUCESSO? Quantos desses 
grupos não contêm vogal? 
P24) Um time de 7 jogadores de ser selecionado de um grupo de 12 atletas. Um dos 7 deve então, ser escolhido líder do time e 
outro, o vice-líder. De quantas maneiras isso podeser feito? 
P25) Entre os números 1, 2, 3, 4,..., 15. 5 números ímpares e 3 números pares são selecionados. Calcule o número de diferentes grupos 
de 8 números que podem ser escolhidos. 
P26) Com um baralho de 52 cartas, quantos grupos de 3 cartas de espadas podem ser selecionados? 
P27) Quantos diferentes grupos de 5 letras podem ser formados com as letras a, b, c, d, e, f, g, h e i se cada grupo 
deve conter 2 vogais e 3 consoantes? 
P28) Uma biblioteca tem de selecionar 5 jornais e 7 revistas, entre os 8 jornais e as 9 revistas disponíveis. De quantas 
maneiras ela pode fazer essa seleção? 
P29) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. De quantas maneiras diferentes podemos retirar 3 bolas de 
modo que não saiam somente bolas vermelhas? 
P30) Em um congresso de educação, há 6 professores de física e 6 de matemática. Quantas comissões de 5 professores 
podem ser formadas, havendo em cada uma, dois professores de matemática e 3 de física? 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (ENEM) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar 
uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por 
sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar 
a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para 
convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do 
computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em 
nenhum deles, apareceram dígitos pares. 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver 
recebido o número 75 913 é 
 
a) 24. b) 31. c) 32. d) 88. e) 89. 
 
2. (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol 
amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: 
primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, 
entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o 
jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em 
seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. 
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a 
quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura 
podem ser calculadas através de 
 
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. 
d) duas combinações. 
e) dois arranjos. 
 
3. (IADES) Na Copa do Mundo 2010 da FIFA, o Brasil ficou no 
Grupo G junto com as seleções da Coréia do Norte, da Costa do 
Marfim e de Portugal. Considerando que em cada vitória o Brasil 
ganha 3 pontos, em cada empate ganha 1 ponto e que não ganha 
nenhum ponto em caso de derrota, qual o número de maneiras 
distintas de o Brasil obter pelo menos sete pontos? 
 
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 
 
4. (CESPE) As urgências hospitalares existem para o 
atendimento rápido das situações de risco para a saúde. Quanto 
mais grave a situação clínica do paciente, mais rapidamente ele 
deve ser atendido. O sistema de triagem de Manchester utiliza 
um protocolo clínico que permite classificar a gravidade da 
situação de cada doente que chega ao serviço de urgência, 
momento no qual será atendido por um enfermeiro que lhe faz 
algumas perguntas sobre o motivo da sua ida à emergência e 
que, mediante uma observação rápida e objetiva, atribui ao 
doente uma “cor” para posterior encaminhamento do paciente à 
equipe médica do setor. Existem cinco cores: vermelho, laranja, 
amarelo, verde e azul, cada uma representando um grau de 
gravidade associado ao tempo ideal em que o doente deverá ser 
atendido, conforme ilustrado a seguir. 
 
Considere-se que o corpo de bombeiros de uma cidade tenha 
atendido sete vítimas de um acidente e que as tenha 
encaminhado a uma unidade hospitalar que adota o sistema de 
cores citado acima. Três vítimas foram, então, classificadas como 
casos de emergência; duas, como muito urgentes; e duas, como 
urgentes. A sequência de atendimento com o único enfermeiro de 
plantão na triagem foi aleatória; o atendimento médico, que era 
feito por um único clínico, ocorreu segundo a gravidade. 
Com relação ao texto e à situação hipotética acima, julgue os 
seguintes itens. 
A quantidade de maneiras distintas de se ordenarem os 7 
pacientes para atendimento na triagem é superior a 5.000. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
5. (AOCP) A expressão arranjo é 
 
a) An,x = n! 
 x!(n-x)! 
b) An,x = n! 
 (n-x)! 
c) An,x = x! 
 n!(n-x)! 
d) An,x = (nx) 
e) An,x = n(n - 1)(n - 2)....(n - x)! 
6. (CESPE) Pesquisa feita entre alunos do ensino médio de 
escolas públicas revelou as atividades extracurriculares de suas 
preferências: teatro, música, coral, dança e xadrez. Acerca dessa 
pesquisa, julgue os itens que se seguem. Considerando o 
conjunto formado pelas atividades extracurriculares escolhidas 
pelos alunos, o número de arranjos dos elementos desse 
conjunto, tomados dois a dois, é igual a 6! 
 
( ) Certo ( )Errado 
 
7. (TJ-SC) Um cofre possui um teclado com 10 números. A 
combinação que abre o cofre tem cinco números. Quantas 
tentativas mal sucedidas podem ser efetuadas por uma pessoa 
que desconheça a senha? 
 
a) 99 999 b) 100 000 c) 30 240 d) 151 200 e) 50 000 
 
8. (CESPE) Considere que uma câmara municipal seja composta 
por 24 vereadores, que são ligados a partidos políticos conforme 
mostra a tabela a seguir. 
 
O prefeito desse município, filiado ao partido A, conta com o apoio 
de todos os vereadores de seu partido; os vereadores do partido 
C apoiam o prefeito; os partidos B, D e E são de oposição, e todos 
os vereadores do partido D foram reeleitos. 
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue os itens 
que se seguem. 
I- A negação da proposição "Todos os vereadores do partido D 
foram reeleitos" é "Nenhum vereador do partido D foi reeleito". 
II- Escolhendo-se aleatoriamente um vereador desse município, a 
probabilidade de que ele seja da base aliada do prefeito é inferior a 0,5. 
III- A quantidade de comissões distintas constituídas de 10 
vereadores, de modo que todos os partidos tenham o mesmo 
número de representantes, é igual a 18.900. 
IV- A quantidade de comissões distintas formadas por um 
presidente, um vice-presidente e um secretário-geral, de partidos 
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15 
diferentes, e cujos membros sejam escolhidos apenas entre os 
partidos A, B e C, é igual a 210. 
V- Se um anagrama de uma palavra é uma permutação de suas 
letras, então a quantidade de anagramas da palavra PARTIDO é 
igual à quantidade de anagramas da palavra POLÍTICO que 
começam por vogal. Estão certos apenas os itens 
Estão certos apenas os itens 
 
a) I e II. b) I e III. c) II e IV. d) III e V. e) IV e V. 
 
9. (ITA) Quantos números de seis algarismos distintos podemos 
formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 
nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 
sempre ocupam posições adjacentes? 
 
a) 144 b) 180 c) 240 d) 288 e) 360 
 
10. (UNITAU) Sendo n ≠ 0, assinale a alternativa que possui 
o(s) valor(es) que satisfaz(em) a equação abaixo: 
 
a) 7 b) 0 e 7 c) 0 e 10 d) 1 e) 0 e 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1.E 2.A 3.B 4.certo 5.B 6.Errado 7.A 8.D 9.A 10.A 
 
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16 
Probabilidade 
Capítulo 1 
Probabilidade. 
 
Introdução 
 
A que temperatura a água entra em ebulição? 
Se largamos uma bola, com que velocidade ela atinge o chão? 
Conhecidas certas condições, é perfeitamente possível responder a essas perguntas, antes mesmo da realização desses experimentos. Porém, há 
certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. 
 
Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível; não se pode determiná-lo antes de serrealizado. Não 
sabemos se sairá “cara” ou “coroa”. Aos fenômenos desse tipo damos o nome de experimentos aleatórios. 
 
São experimentos aleatórios: 
 
 Lançamento de um dado “não – viciado”; 
 Número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina; 
 Resultado de um jogo de roleta; 
 Número de pessoas que ganharão na loteria. 
 
Como não podemos prever o resultado de um experimento aleatório, procuramos descobrir as possibilidades de ocorrência de cada um. 
A teoria da probabilidade surgiu para tentar medir a “chance” de ocorrer um determinado resultado num experimento aleatório. 
 
Espaço amostral 
 
Considere um experimento aleatório. O conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento é chamado espaço amostral. 
Indicaremos o espaço amostral por U. 
Indica-se o número de elementos de um espaço amostral por n(u). 
 
Exemplo: Lançamos um dado e registramos o resultado. 
 
Experimento aleatório: lançamento de um dado. 
Espaço amostral: U = {1,2,3,4,5,6} 
Número de elementos desse experimento: n(u) = 6. 
 
PRÁTICA 
P1) Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas são extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem 
reposição. Observamos a sequência de cores das bolas sorteadas. Determine o espaço amostral desse experimento aleatório. 
 
Evento 
 
Considere um experimento aleatório cujo espaço amostral é U. Chamamos evento, e indicaremos por E, a qualquer subconjunto de U. 
 
Exemplo: Lançamos um dado e observamos o número da face voltada para cima. Vamos determinar os seguintes eventos: 
 
𝐸1 = ocorrência de número ímpar. 
𝐸2 = ocorrência de número maior ou igual a 4. 
Temos U = {1,2,3,4,5,6} 
𝐸1 = {1,3,5} -------------- n(𝐸1) = 3 
𝐸2 = {2,4,6} -------------- n(𝐸2) = 3 
 
Observe que 𝐸1 𝑐 𝑈. 
Observe que 𝐸2 𝑐 𝑈. 
 
Observações importantes: 
 
 Quando um evento é formado apenas por um elemento do espaço amostral, ele é chamado evento elementar. 
Em relação ao evento anterior, considere o evento: 
𝐸4 = ocorrência de número primo e par. 
𝐸4 = {2} 
 
 Quando o evento é igual ao espaço amostral (E = U), o evento é dito evento certo. Em relação ao exemplo anterior, considere o evento: 
𝐸5 = ocorrência de número menor ou igual a 6. 
𝐸5 = {1,2,3,4,5,6} 
 
Observe que 𝐸5 = U. Daí, 𝐸5 é um evento certo. 
 
B I Z U 
Os eventos E e 𝐸𝑐 são ditos eventos complementares, pois a união dos dois nos fornece o espaço amostral. 
 
 Quando o evento não possui nenhum elemento (E = ∅), o evento é dito evento impossível. Ainda em relação ao exemplo 
anterior, considere o evento: 
𝐸6 = ocorrência de número maior que 8 
𝐸6 = ∅. Daí, 𝐸6 é um evento impossível. 
 
 Considere um evento E relativo a um espaço amostral U. Chamamos evento complementar de E – indicado por 𝐸𝑐 - ao evento 
que ocorre se, e somente se, E não ocorre. Para entendermos melhor, observe o diagrama: 
 
 
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17 
Note que E ∩ 𝐸𝑐 = ∅ e E ∪ 𝐸𝑐 = U. 
Ainda em relação ao exemplo do lançamento de um dado, considere o evento 𝐸7. 
 
𝐸7 = ocorrência de número par. 
𝐸7 = {2,4,6} 
 
Queremos achar o complementar desse evento 𝐸7. 
Pela definição, o complementar de 𝐸7 são os elementos do espaço amostral que não estão em 𝐸7. 
 
𝐸7
𝑐 = {1,3,5}. 
 
B I Z U 
Quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos. 
 
PRÁTICA 
P2) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Refira-se, ao acaso, uma bola dessa urna. Se E é o evento “ocorrer 
múltiplo de 3”, determine o complementar de E. 
P3) Em um cesto há 6 bolas de vôlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto são retiradas, sucessivamente, três 
bolas. Calcule o número de elementos dos seguintes eventos: 
a) A = {as três bolas têm a mesma cor} 
b) B = {duas das bolas são brancas} 
c) C = {as três bolas são vermelhas} 
d) D = {o número de bolas brancas é igual ao número de bolas vermelhas} 
 
Cálculo de probabilidade em espaços amostrais equiprováveis 
 
Considere um fenômeno (experimento aleatório) com o espaço amostral finito. Considere também que todo evento elementar desse 
espaço amostral tem a mesma chance de ocorrer. Por isso, o chamaremos de espaço equiprovável. A probabilidade de ocorrer um 
evento A, desse experimento, é dado por: 
 
𝑃(𝐴) =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑈
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
 
OU 
𝑃(𝐴) = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
Evento A = {ocorrência de cara} = {c} 
N(A) = 1. 
Portanto, P(A) = 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
=
1
2
= 0,5 = 50% 
Temos que, no lançamento de uma moeda, a probabilidade de sair cara é 
1
2
 ou 50% 
 
B I Z U 
Exemplo: consideremos o experimento aleatório do lançamento de uma moeda perfeita. Qual é a 
probabilidade de sair cara? Considere cara = c e coroa = k. 
Tanto “sair cara” como “sair coroa” (que são eventos elementares) têm a mesma “chance de ocorrer” (espaços equiprováveis). 
Assim, temos: 
Espaço amostral: U = {c,k} 
Número de elementos de U: n(U) = 2 
 
B I Z U 
Para determinar n(U) e n(A) e depois calcular 𝑃(𝐴) = 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
, não se deve necessariamente determinar quais são 
os elementos de U e A, mas sim quantos são. 
 
PRÁTICA 
P4) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número maior que 4. Forme todos os números de 3 
algarismos distintos, permutando os dígitos 7,8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhermos um número ao acaso, ele ser: 
a) Ímpar? 
b) Par? 
c) Múltiplo de 6? 
d) Múltiplo de 4? 
e) Maior do que 780? 
P5) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 
22 gostam de esporte e leitura, 6 gostam somente de leitura; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. 
a) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele gostar de música? 
Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades? 
 
Certeza e impossibilidade 
 
Considere um experimento aleatório cujo espaço amostral é U. Indicaremos por E um evento qualquer desse experimento. 
A probabilidade de ocorrência de um evento A está limitada à seguinte situação: 
 
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 
 
Isso significa que a probabilidade de um evento A qualquer assumir valores de 0 a 1. 
Quando P(A) = 0, o evento A é o evento impossível, não há possibilidade de que ele venha a ocorrer. 
Quando P(A) = 1, o evento A é o evento certo e há certeza de que ele ocorrerá. 
 
PRÁTICA 
P6) Qual é a probabilidade de retirar, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, obter: 
a) Uma carta de copas? 
b) Um ás? 
c) Um ás de copas? 
d) Uma carta com naipe vermelho? 
e) Um “três” vermelho? 
 
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18 
Probabilidade da união de dois eventos 
 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral U. Encontraremos uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, ou seja, 
a probabilidade da ocorrência do evento A ∪ B. 
Para isso, consideremos dois casos: 
 
1°. A intersecção entre os eventos é vazia, ou seja, A ∩ B = ∅ 
 
A probabilidade da união dos dois eventos é dada por P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
 
 
Nesse caso, A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos. 
 
2°. A intersecção entre os eventos não é vazia, ou seja, A ∩ B = ∅. 
 
A probabilidade da união dos dois eventos é dada por P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
 
 
B I Z U 
O evento A ∩ B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. 
 
PRÁTICA 
P7) Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída, ao acaso, dessa urna. 
a) Qual é a probabilidade de o número da bala sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3? 
b) Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7? 
 
Probabilidade condicional 
 
Analise a seguinte situação. 
Uma moeda é lançada três vezes. Esse é o experimentos aleatório cujo espaço amostral é U = {ccc,cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk}. 
 
1º. Desafio. 
 
Qual é a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes? 
Considere o evento A = {sair cara exatamente duas vezes}. 
 
Daí, A = {cck, ckc, kcc} 
𝑃(𝐴) = 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
=
3
8
= 0,375 = 37,5% 
 
Agora, observe a situação inicial modificada: 
 
2°. Desafio. 
 
Qual é a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes? Sabendo que, ao lançar a moeda três vezes, “o resultado do primeiro 
lançamento foi cara”. 
 
Sabemos que o 1° lançamento foi “cara”, por consequência, o espaço amostral passa a ser B. 
B = {ccc, cck, ckc, ckk} 
A’ é o nosso novo evento: A’ = {sair cara exatamente duas vezes e o 1° lançamento foi “cara”}. 
A’ = {cck, ckc} em que A’ = A ∩ B. 
Daí, P(A’) = 
𝑛(A ∩ B)
𝑛(𝐵)
 = 
2
4
 = 
1
2
 = 50% 
 
Observe que a probabilidade do evento “sair cara exatamente em dois lançamentos” foi alterada pela presença do evento modificante: 
“o resultado do 1° lançamento foi cara”. 
No 2º desafio, calculamos P (A/B), ou seja, a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes, tendo saído cara no 1º lançamento. 
A/B indica o evento A condicionado ao fato de que o evento B já ocorreu. 
Portanto, P(A/B) é a probabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B. 
 
P(A/B) = 
𝑃(A ∩ B)
𝑃(𝐵)
. 
 
PRÁTICA 
P8) Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um “ás vermelho”, sabendo que ele 
é de “copas”? 
P9) Uma família planejou ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de que a família tenha três homens, já que a primeira 
criança que nasceu é homem? 
 
Eventos Independentes 
 
Definimos o que são eventos independentes, após analisar o exemplo a seguir. 
 
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19 
Considere o experimento “lançar dois dados perfeitos de cores diferentes. Seja A o evento “sair 4 no primeiro dado” e B, o evento 
“sair o número 2 no segundo dado”. 
 
Espaço amostral U = {(1,1), (1,2), (1,3),..., (6,6)} n(U) = 36 
 
A = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)} 
B = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)} 
 
 P(A) = 
𝑛(A)
𝑛(𝑈)
=
6
36
=
1
6
 
 P(B) = 
𝑛(B)
𝑛(𝑈)
=
6
36
=
1
6
 
 
Agora vamos achar a probabilidade da intersecção dos dois eventos. 
 
A ∩ B = {(4,2)} 
P(A ∩ B) = 
𝑛(A ∩ B)
𝑛(𝑈)
=
1
36
 
 
Dando continuidade, acharemos a probabilidade do evento B, dado que o evento A ocorreu. 
P(B/A) = 
𝑃(A ∩ B)
𝑃(𝐴)
=
1
36
1
6
=
1
36
∙
6
1
=
1
6
 
 
Daí, podemos afirmar que P(B/A) = P(B) = 
1
6
 
A probabilidade de “sair o número 2 no segundo lançamento” não foi afetada pelo fato de “sair 4 no primeiro lançamento”. 
Nesse caso, dizemos que A e B são eventos independentes. A probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de ocorrer ou não o outro. 
De modo análogo, podemos provar que P(A) = P(A/B). Assim, como P(A/B) = 
𝑃(A ∩ B)
𝑃(𝐵)
, temos: 
P(A/B)∙P(B) = P(A ∩ B) 
P(A)∙P(B) = P(A ∩ B) 
 
Daí, podemos concluir com a seguinte definição: 
Dois eventos A e B de um espaço amostral U (com P(A) ≠ 0 e P(B) ≠ 0) são independentes se, e somente se, P(A) = P(A/B), ou de 
modo equivalente: P(A ∩ B) = P(A)∙P(B). 
 
PRÁTICA 
P10) Num conjunto de 100 parafusos, 90 deles estão em boas condições. Dois deles são retirados, sucessivamente, ao 
acaso, sem reposição. Qual é a probabilidade de que o primeiro parafuso defeituoso seja encontrado na 2ª retirada? 
 
Experimentos Binominais 
 
O método binominal é usado quando se quer saber a probabilidade de, numa família, nascer crianças de sexos diferentes e não 
especifica a ordem de ocorrência. 
 
Por exemplo: 3 meninas e 1 menino, 2 meninas e dois meninos, etc. O método pode ser usado em outras situações em que tenham 
estrutura análoga a do exemplo acima. Por exemplo, no lançamento sucessivo de um dado. 
 
Agora, por meio de exemplos, vejamos no que consiste o método binominal. 
 
Consideremos uma família com duas crianças. Se representarmos o nascimento de um menino por M e o nascimento de uma menina por F, temos: 
P(M) = P = 
1
2
 
 p+q = 1 
P(F) = q = 
1
2
 
 
O espaço amostral U = {MM, MF, FM, FF} 
Sabemos que cada nascimento é independente de nascimentos anteriores. 
Daí, a probabilidade de nascerem dois homens é dada por P(MM) = P(M)∙P(M) = p∙p = p² =(
1
2
)
2
=
1
4
. 
 
 A probabilidade de nascer um homem e depois uma mulher é dada por: 
P(MF) = P(M)∙P(F) = p∙q = 
1
2
∙
1
2
=
1
4
. 
 
 A probabilidade de nascer uma mulher e depois um homem é dada por: 
P(FM) = P(F)∙P(M) = q∙p = 
1
2
∙
1
2
=
1
4
. 
 
 A probabilidade de nascerem duas mulheres é dada por: 
P(FF) = P(F)∙P(F) = q∙q = 
1
2
∙
1
2
=
1
4
. 
 
Observe que a probabilidade total é igual a 1. 
P(MM) + P(MF) + P(FM) + P(FF) = 1. 
 
Se não considerarmos a ordem em que ocorrem os nascimentos, podemos escrever: 𝑝² + 2𝑝𝑞 + 𝑞² = 1. 
 
Observe que 1𝑝² + 2𝑝𝑞 + 1𝑞² = (
2
0
) ∙ 𝑝² + (
2
1
) 𝑝 ∙ 𝑞 + (
2
2
) ∙ 𝑞² = (𝑝 + 𝑞)2 = 1. 
 
Generalizando: Em uma família, a probabilidade de nascerem n crianças, das quais k sejam meninos e n-k sejam meninas, é dada por 
P(K meninos, n-k meninas) = (
𝑛
𝑘
) ∙ 𝑝𝑘 ∙ 𝑞𝑛−𝑘 
Essa probabilidade é um termo da expansão binominal (𝑝 + 𝑞)𝑛. 
 
PRÁTICA 
P11) Um casal pretende ter 5 filhos e deseja saber qual é a probabilidade de ter: 
a) 5 meninos 
b) 2 meninos e 3 meninas 
c) 1 menino e 4 meninas. 
P11. Se uma moeda é lançada 6 vezes, qual é a probabilidade de sair “coroa” 4 vezes? 
 
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20 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (CESPE) Em uma escola, uma pesquisa, entre seus alunos, 
acerca de práticas esportivas de futebol, voleibol e natação 
revelou que cada um dos entrevistados pratica pelo menos um 
desses esportes. As quantidades de alunos entrevistados que 
praticam esses esportes estão mostrados na tabela abaixo. 
 
Com base nas informações e na tabela acima, julgue os próximos 
itens. Escolhendo-se um aluno ao acaso, entre os entrevistados, 
a probabilidade de ele praticar natação é inferior a 10%. A figura 
acima ilustra parte de um jogo de tabuleiro com 
 
( )Certo ( )Errado 
 
2. (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabricante 
de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho 
de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 
0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo 
para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja 
com exatamente dois aparelhos defeituosos? 
 
a) 2 × (0,2%) 4 d) 4 × (0,2%) 
b) 4 × (0,2%) 2 e) 6 × (0,2%) × (99,8%) 
c) 6 × (0,2%) 2 × (99,8%) 2 
 
3. (CESPE) Uma pessoa que possua sangue classificado como 
O- é considerada doadora universal pelo fato de seu sangue 
poder, em tese, ser ministrado a qualquer pessoa de qualquer 
tipo sanguíneo. A pessoa que possua sangue classificado como 
AB+ é considerada receptora universal pelo fato de poder receber, 
em tese, sangue proveniente de doador de qualquer tipo 
sanguíneo. Dentro de um mesmo grupo sanguíneo, os de fator 
Rh- podem doar aos de fator Rh+ . O sangue O+ pode ser doado 
para qualquer pessoa que possua sangue com fator Rh+ . A tabela 
abaixo apresenta a distribuição do tipo sanguíneo e do fator Rh 
de membros de uma corporação. 
 
Tendo como referência essas informações e a tabela acima, julgue 
os itens que se seguem. 
Escolhendo-se aleatoriamente um membro dessa corporação, a 
probabilidade de ele não ser nem receptor universal nem doador 
universal é superior à probabilidade de um membro dessa mesma 
corporação ter o fator Rh+. 
 
( )Certo ( )Errado 
 
4. (CEPERJ) De uma urna contendo 20 bolas numeradas de 1 a 
20, retira- se uma bola ao acaso. Sabendo-se que o número dessa 
bola é par, a probabilidade de ele ser menor do que 15 é igual a: 
 
a) ¼ b) 3/10 c) ¾ d) 7/10 e) 9/10 
 
5. (FUNIVERSA) Um dos jogos de apostas que a Caixa Econômica 
Federal organiza é o chamado LOTOFÁCIL. Esse jogo tem sorteios duas 
vezes por semana, e cada aposta é constituída por 15 números 
diferentes entre si escolhidosem um conjunto de 25 dezenas 
diferentes entre si. São sorteados 15 números diferentes entre si, e 
são premiadas as apostas para as quais houver coincidência de 11, 12, 
13, 14 ou 15 números com o resultado do sorteio. Nesse jogo, a 
probabilidade de que uma aposta apresente, exatamente, quatro 
números coincidentes com os números sorteados é 
 
a) nula. 
b) positiva, mas menor que 10%. 
c) maior ou igual a 10%, mas menor que 20%. 
d) maior ou igual a 20%, mas menor que 30%. 
e) maior que 30%. 
6. (CESGRANRIO) Em uma determinada região, constatou-se que: 
 25% das pessoas não praticam atividade física. 
 25% das pessoas são do sexo feminino e praticam atividade física. 
 15% das pessoas que não praticam atividade física são do 
sexo masculino. 
Seleciona-se aleatoriamente uma pessoa dessa população. 
A probabilidade de que seja do sexo masculino ou que não 
pratique exercício físico é de: 
 
a) 15% b) 25% c) 72,5% d) 75% e) 90% 
 
7. (AOCP) Dado os eventos A e B definidos em um espaço 
amostral, analise as assertivas e, a seguir, assinale a alternativa 
que aponta a(s) correta(s). 
I. Se A e B são mutuamente exclusivos então An B=Ø (Ø conjunto vazio). 
II. P(A? B)= P(A) + P(B) , para A e B quaisquer 
III. P(AnB) , P(B)>0 probabilidade condicional de A dado B. 
IV. P(A B)nP(A)P(B). 
 
a) Apenas II. d) Apenas II e IV. 
b) Apenas I e II. e) I,II,III e IV. 
c) Apenas I e III. 
8. (FGV) Um pelotão de 36 policiais está formado em 4 colunas 
com 9 policiais em cada uma delas. João é um desses 36 policiais. 
Inicialmente, sorteia-se aleatoriamente um policial de cada 
coluna. Em seguida, sorteia-se, também aleatoriamente, um dos 
quatro policiais sorteados inicialmente. 
A probabilidade de o policial sorteado no fim desse processo ser o João é: 
 
a) 13⁄16. b) 1⁄4. c) 1⁄9. d) 1⁄13. e) 1⁄36. 
9. (AOCP) De um grupo de 100 pessoas, 30 leem semanalmente 
uma revista de notícias, 48 leem diariamente um jornal impresso 
e 22 leem ambos. Selecionando ao acaso uma pessoa do grupo, 
se ela lê a revista qual a probabilidade de ler o jornal? 
 
a) 22/30 b) 30/100 c) 48/100 d) 22/48 e) 22/100 
 
10. (ENEM) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não 
viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número 
de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José 
acredita que, após jogar seus dados, os números das faces 
voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo 
acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua 
soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior 
probabilidade de acertar sua respectiva soma é 
 
a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. 
b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha 
de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 
possibilidades para a escolha de Paulo. 
c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha 
de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 
possibilidades para a escolha de Paulo. 
d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 
possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 
possibilidades para formar a soma de Paulo. 
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1. ERRADO 2.C 3.CERTO 4.D 5.A 6.D 7.C 8.E 9.A 10.D
 
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21 
Polinômios 
Capítulo 1 
Polinômios. 
 
Definição 
 
 A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x. 
 Os números complexos an, a(n-1), ..., a2, a1, 𝑎0 são coeficientes do polinômio. 
 P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0 
 
Grau de um polinômio 
 
Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de 
maior grau. 
 
Raiz 
 
Seja b um número complexo. Dizemos que b é raiz do polinômio p quando p(b) = 0. 
 
Polinômio Nulo 
 
Um polinômio p que tenha todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, dizemos que p é um polinômio nulo. 
 
Divisão de Polinômios 
 
Em toda divisão temos dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos: 
 
Para o dividendo um polinômio G(x) 
Para o divisor um polinômio D(x) 
Para o quociente um polinômio Q(x) 
Para o resto (podendo ser zero) um polinômio R(x) 
 
 
 
Prova real: 
 
Tem algumas observações a serem feitas, como: 
 
 ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor: R(x) < D(x). 
 quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. R(x) = 0. 
 
Exemplo 1: 
 
Exemplo 2: 
 
 
Teorema do resto 
 
O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio (x – a) terá resto R igual a P(a). 
 
O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do 
tipo x – a. Ele provou que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) 
= 0. 
 
Exemplo 1 
Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3). 
 
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a: 
 
P(3) = R 
32 + 3 * 3 – 10 = R 
9 + 9 – 10 = R 
18 – 10 = R 
R = 8 
Portanto, o resto dessa divisão será 8. 
 
Exemplo 2 
Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1. 
 
Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0. 
 
P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2 
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2 
P(1) = 3 – 4 
P(1) = – 1 
 
Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1. 
 
 
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22 
Dispositivo de Briot-Ruffini 
 
Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a). Esse dispositivo usará apenas os coeficientes do 
polinômio e o termo constante (a). 
 
Chamemos de p(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a. Com isso, a estrutura do dispositivo é a seguinte: 
 
 
Exemplo: 
Efetue a divisão de p(x) por h(x), na qual: 
 
 
 
Agora multiplique esse termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao próximo termo do dividendo p(x). 
 
Repita o processo agora para o novo elemento, multiplique esse número pelo divisor e some-o ao próximo termo. 
 
O ultimo dos números obtidos no dispositivo é o resto da divisão (r=0), os demais números obtidos corresponde, aos coeficientes 
ordenados do quociente da divisão. 
 
Obtemos o resto 0 e um quociente da seguinte forma: 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. (CESGRANRIO) O polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, com b, c, d 
reais, é divisível por (x-2). Se p(0) = 30 e p(1) = 16, então o valor de: 
 
a) – 45 b) – 44 c) – 26 d) – 23 e) 15 
 
2. (CESGRANRIO) A soma das raízes da equação x8 1 = 0 é igual a 
 
a) 2i b) i c) 0 d) 2 e) 43. 
(ESPP) A soma das raízes negativas da equação 4x4 17x2 = -4 é 
igual a: 
 
a) -3 b) -3,5 c) -2 d) -2,5 
 
4. (CESPE) Um investidor aplicou R$ 10.000,00, por 2 anos, à 
taxa de juros compostos anuais de 10%. Com base no texto, é 
correto afirmar que, ao final do período de 2 anos, o juro obtido 
nesse investimento foi: 
 
a) superior a R$ 1.300,00 e inferior a R$ 1.600,00. 
b) superior a R$ 1.600,00 e inferior a R$ 1.900,00. 
c) superior a R$ 1.900,00 e inferior a R$ 2.200,00. 
d) superior a R$ 2.200,00. 
e) inferior a R$ 1.300,00. 
 
5. (ESPP) O módulo da divisão entre o conjugado do número 
complexo z2 e o número complexo z1, nessa ordem, cujos afixos 
são representados no plano abaixo, é igual a: 
 
a) 2v5 b) 3v2 c) 2v3/5 d) 2v5/5 
 
6. (IBFC) Uma das raízes da equação x3 8x2 + 17x + k = 0 é igual a 
1 + 2i, onde i é a unidade imaginária. O número real k é igual a: 
 
a) -30 b) 20 c) -20 d) -15 
 
7. (NUCEPE) A equação y3+py2+2y+q=0, em que p e q são números 
reais, admite 1+i como raiz. Então p e q valem, respectivamente: 
 
a) 2 e –2 b) 2 e 0 c) 0 e 2 d) –2 e 0 e) 2 e 2 
 
8. (VUNESP) O resto da divisão do polinômio P(x)= x4 + 
2x3 + mx2 2 pelo binômio x + 1 é igual a 8, sendo m uma 
constante real. Portanto m vale: 
 
a) 8. b) 10. c) 11. d) 7. e) 9. 
 
9. (CEPERJ) Uma das raízes complexas da equação x 3 - 3x 2 + 
8x - 6 = 0 é: 
 
a) 1 + i v2 b) 1 + i v3 c) 2 + i v3 d) 1 + i v5 e) 2 + i v6 
 
10. (CESPE)Considere os polinômios p(x) = x3 - 5x2 + 6x e d(x) 
= x - 3, e seja q(x) o quociente da divisão de p(x) pord(x), cujo 
resto é representado por r(x). Nesse caso, é correto afirmar que 
o produto das raízes de p(x) é igual a 6. 
 
( )Certo ( )Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1.D 2.C 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.D 10.Errado 
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23 
Números Complexos 
Capítulo 1 
Números Complexos 
 
Definição 
 
Os números complexos são formados por um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores 
de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os 
pontos relacionados à parte imaginária. 
 
 
Sendo P o ponto de coordenadas (a, b), a forma algébrica pela qual representaremos um número complexo será a + bi, como a e b Є R. 
 
A forma algébrica de representar um número complexo é mais prática e mais utilizada nos cálculos. 
 
Definindo as partes que formam um número complexo z = a + bi. 
 
A origem da expressão i2 = – 1 aparece na definição de números complexos. Os números complexos são escritos na sua forma 
algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e 
que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo. 
 
𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧)𝑒 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧). 
 
Adição e Subtração de números complexos: 
 
Para somarmos dois números complexos quaisquer, somamos separadamente suas partes imaginarias e reais. Seja 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑧2 =
𝑐 + 𝑑𝑖 temos que a soma de ambos resulta em: 
 
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 
 
Para a subtração o mecanismo é o mesmo, porem ao invés de somarmos as partes reais e imaginarias, fazemos suas subtrações. 
 
Multiplicação de números complexos: 
 
Para a multiplicação, escrevemos os números complexos na sua forma algébrica, e multiplicamo-nos aplicando a propriedade distributiva: 
 
(𝑎 + 𝑏𝑖). (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 
 
Sempre lembrando que 𝑖2 = −1. 
 
Conjugado de um número complexo 
 
O conjugado de um número complexo z é representado por 𝑧̅, e é obtido trocando-se o sinal da parte imaginaria do numero z. Logo 
se 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 temos que, 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖. 
 
Divisão de números complexos 
 
Para obtermos a divisão de dois números complexos, devemos escrevê-los em forma de fração e depois multiplicamos o denominador e o 
numerador pelo conjugado do denominador. 
 
𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
.
𝑧2̅
𝑧2̅
 
Modulo 
 
O modulo de um numero complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, é sempre um numero real positivo, que expressa a distancia entre a origem e o 
afixo(ponto no plano) de z. 
 
 
O modulo do numero complexo é representado por |z| ou pela letra grega 𝜌. Calculamos o modulo do numero da seguinte maneira: 
 
𝜌 = √𝑎2 + 𝑏2 
Argumento 
 
O argumento é o ângulo formado pela semi-reta que liga a origem ao afixo de z com o eixo real. Na figura do tópico anterior 
representado por 𝛼. Para descobrirmos o ângulo 𝛼 usamos as seguintes relações: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑏
𝜌
 𝑒 cos 𝛼 =
𝑎
𝜌
 
 
 
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24 
Forma trigonométrica ou Polar 
 
Segundo as formulas anteriormente apresentadas, podemos dizer que 𝑏 = 𝜌. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 e 𝑎 = 𝜌. cos 𝛼. Com isso podemos escrever a forma algébrica 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 substituindo a e b, então teremos: 
 
𝑧 = 𝜌(cos 𝛼 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 𝛼) 
 
Multiplicação na forma trigonométrica 
 
Ao multiplicarmos dois números na forma trigonométrica, notemos que: seu modulo é igual ao produto dos módulos de 𝑧1 e 𝑧2; e seu argumento 
é congruente à soma dos argumentos de 𝑧1 e 𝑧2. 
 
𝑧1. 𝑧2 = 𝜌1𝜌2[cos(𝛼1 + 𝛼2) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝛼1 + 𝛼2) ] 
 
Divisão na forma trigonométrica 
 
Ao dividirmos 2 números nas forma trigonométrica observamos que: seu modulo é igual ao quociente dos módulos de 𝑧1 e 𝑧2; e seu 
argumento é congruente à diferença entre os argumentos de 𝑧1 𝑒 𝑧2. 
 
𝑧1
𝑧2
=
𝜌1
𝜌2
[cos(𝛼1 − 𝛼2) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝛼1 − 𝛼2)] 
 
Potenciação de complexos 
 
A forma mais fácil de se trabalhar com potenciação nos números complexos é pela forma trigonométrica, basta usar a fórmula de Moivre: 
 
𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 . [cos (𝑛𝛼) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝛼)] 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. (CESGRANRIO) As raízes da equação 2x2 - 4x + 15 = 0 são 
números complexos que, representados no Plano de Argand-
Gauss, localizam-se nos quadrantes: 
 
a) 1º e 2º 
b) 1º e 3º 
c) 1º e 4º 
d) 2o e 3º 
e) 2º e 4º 
 
2. (CESGRANRIO) Sendo i a unidade imaginária e escrevendo o 
complexo na forma z = a + bi tem-se que a + b é igual a: 
 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 6 
e) 8 
 
3. (NUCEPE) Qual é o valor da potência (1+ √‾3 j)6 utilizando a 
formula de Moivre Zn = pn [cos(nθ + jsen(nθ )]? 
 
a) z6 = 64 
b) z2 = 64 
c) z2 = 128 
d) z6 = 128 
e) z6 = 144 
 
4. (ESPP) O conjugado da divisão entre os números complexos z1 cujo 
afixo é (-3,4) e z2= , nessa ordem, é igual a: 
 
a) -7+i 
 2 
b) -7- i 
 2 
c) 7+i 
 2 
d) 7- i 
 2 
 
5. (FCC) Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos 
números complexos, então, para cada número natural n, a 
potência é igual a 1, i, -1 ou - i. Usando essa informação, é 
correto afirmar que a soma é igual a: 
 
a) 0 
b) -1 - i 
c) 1 + i 
d) 1 - i 
e) i - 1 
 
6. (CESGRANRIO) Dentre os números complexos abaixo, aquele 
cujo módulo é igual ao dobro do módulo de z = 4 + 6 i é 
 
a) i 17 3 
b) 8 - 6 i 
c) 4√ 3 + 2 i 
d) 6 √3 - 10 i 
e) 20 - 4 √3 i 
 
7. (CONESUL) Assinale a alternativa que corresponde ao inverso 
do número complexo z = 3 + 2i. 
 
a) ( 3 + 2i ) / 13. 
b) ( 2 - 3i ) / 13. 
c) ( 2 + 3i ) / 13. 
d) ( -2 + 3i ) / 13. 
e) ( 3 - 2i ) / 13. 
 
8. (FCC) Considere a igualdade x + (4 + y) . i = (6 - x) + 2yi , 
em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O 
módulo do número complexo z = x + yi, é um número: 
 
a) maior que 10. 
b) quadrado perfeito. 
c) irracional. 
d) racional não inteiro. 
e) primo. 
 
9. (CESGRANRIO) Os números complexos Z1, Z2 e Z3 formam, 
nessa ordem, uma progressão aritmética e são tais que Z1 + Z2 + 
Z3 = 6+9i onde i representa a unidade imaginária. Sendo assim, 
(Z2)2 é igual a: 
 
a) - 5 
b) - 5 + 6i 
c) - 5 + 12i 
d) 13 + 6i 
e) 13 + 12i 
 
10. (NUCEPE) No desenvolvimento de , para que o 
coeficiente do termo em x4 seja 15, w deve ser igual a: 
 
a) 1/3 
b) 1/2 
c) 9 
d) 5 
e) 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1.C 2.D 3.A 4.B 5.E 6.D 7.E 8.E 9.C 10.B