Revisão de Matemática 7ºano Sistemas de Equações

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1 Professor Vinícius Fernandes (79) 9 9993-1552 engviniciusfmdantas@gmail.com 
 
 
 Para encontrarmos numa equação de 1º grau com 
duas incógnitas, por exemplo, 4x + 3y = 0, os valores 
de x e de y é preciso relacionar essa equação com 
outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa rela-
ção é chamada de sistema. 
 Um sistema de equação de 1º grau com duas 
incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau 
com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja 
um exemplo: 
 𝑥 + 𝑦 = 20 
 3𝑥 + 4𝑦 = 72 
 Para encontramos o par ordenado solução desse 
sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua so-
lução. Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 
 
• Método da substituição 
 Esse método consiste em escolher uma das duas 
equações, isolar uma das incógnitas e substituir na 
outra equação, veja como: 
 Utilizando como exemplo o sistema anterior, 
enumeramos as equações. 
𝑥 + 𝑦 = 20 (1) 
3𝑥 + 4𝑦 = 72 (2) 
 
 Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 
 x + y = 20 
 x = 20 – y 
 
 Agora na eq. 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 
3x + 4 y = 72 
3 (20 – y) + 4y = 72 
60-3y + 4y = 72 
-3y + 4y = 72 – 60 
y = 12 
 
 Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor 
de x basta substituir 12 na equação 
x = 20 – y. 
x = 20 – y 
x = 20 – 12 
x = 8 
 
Portanto, a solução do sistema é S = (8;12) 
 
• Método da adição 
 
 Esse método consiste em adicionar as duas equa-
ções de tal forma que a soma de uma das incógnitas 
seja zero. Para que isso aconteça será preciso que 
multipliquemos algumas vezes as duas equações ou 
apenas uma equação por números inteiros para que a 
soma de uma das incógnitas seja zero. 
 
 Utilizando como exemplo o sistema anterior. 
 
 Para adicionarmos as duas equações e a soma de 
uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a 
primeira equação por – 3. 
 
𝑥 + 𝑦 = 20 x(-3) 
3𝑥 + 4𝑦 = 72 
 
 Agora, o sistema fica assim: 
 
−3𝑥 − 3𝑦 = −60 
 3𝑥 + 4𝑦 = 72 
 
 Adicionando as duas equações: 
 
 - 3x – 3y = -60 
+ 3x + 4y = 72 
 y = 12 
 
 Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma 
das duas equações e substituir o valor de y encontra-
do: 
 x + y = 20 
 x + 12 = 20 
 x = 20 – 12 
 x = 8 
 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8;12). 
 
 
 Se resolver um sistema utilizando qualquer um 
dois métodos o valor da solução sempre será o mes-
mo. 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 2 Professor Vinícius Fernandes (79) 9 9993-1552 engviniciusfmdantas@gmail.com 
• Classificação de um sistema linear 
 Qualquer sistema linear pode ser classificado 
quanto ao número de soluções. Lembrando que um 
sistema linear é o conjunto de equações lineares. 
 Podemos classificar os sistemas lineares da se-
guinte forma: 
 SPD – Sistema Possível e Determinado 
 SPI – Sistema Possível e Indeterminado 
 SI – Sistema Impossível 
 
• Sistema Possível e Determinado 
 Dado o par ordenado (2, 3) e o sistema a seguir: 
 
 x + y = 5 
 4x – 2y = 2 
 
 Podemos dizer que o par ordenado (2, 3) é a úni-
ca solução do sistema, por isso o classificamos como 
SPD. 
 
• Sistema Possível e Indeterminado 
 SPI é um sistema que possui infinitas soluções. 
Observe: 
 
 x – y = 2 
 4x – 4y = 8 
 Podem existir inúmeras soluções para o sistema 
mostrado acima, por isso o classificamos como SPI. 
Algumas soluções possíveis: (1, -1), (0, -2), (2, 0),... 
 
• Sistema Impossível 
 SI é um sistema impossível de se resolver, ele 
não apresenta soluções. Observe: 
 
 3x – 3y = – 9 
 3x – 3y = 15 
 Não existe nenhum par ordenado que satisfaça as 
equações do sistema acima, por isso o classificamos 
como SI. 
 De maneira simplificada, para determina se um 
sistema 2x2 é SPD, SPI ou SI podemos usar o concei-
to a seguir: 
 Dada a estrutura geral 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 
 𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 = 𝑐′ 
 
 Cada linha do sistema geometricamente represen-
ta uma reta no plano cartesiano. Então podemos ter: 
 
 
• SPD: 
 
 
 Geometricamente repre-
senta retas concorrentes, onde 
há um ponto (𝑥0;𝑦0) de inter-
secção que é solução única do 
sistema. 
 
 
 
 
• SPI: 
 
 
 Geometricamente repre-
senta retas coincidentes, onde 
infinitos pontos comuns fazem 
parte do conjunto solução do 
sistema. 
 
 
 
• SI: 
 
 
 Geometricamente represen-
ta retas paralelas, onde não há 
nenhum ponto solução do sis-
tema. 
 
 
 
 
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 Exercícios 
1) Assinale a alternativa que apresenta a correta solu-
ção para o sistema de equações abaixo 
𝑥 + 𝑦 = 3 
𝑥 − 𝑦 = 1 
 
a) S = {(-2,1)} 
b) S = {(2,-1)} 
c) S = {(2,1)} 
d) S = {(-2,-1)} 
e) S = {(2,0)} 
 
 
2) Determine a solução dos sistemas e classifique-os. 
 
a) 3𝑥 − 𝑦 = 8 
𝑥 + 𝑦 = 4 
 
 
 
b) 𝑥 + 2𝑦 = 10 
𝑥 − 3𝑦 = 0 
 
 
 
c) 2𝑥 + 𝑦 = 1 
𝑥 − 5𝑦 = −5 
 
 
 
d) 𝑥 + 𝑦 = 10 
3𝑥 + 3𝑦 = 30 
 
 
 
e) 2𝑥 + 6𝑦 = 10 
𝑥 − 7𝑦 = 5 
 
 
 
f) 𝑥 + 𝑦 = 10 
3𝑥 + 3𝑦 = 12 
 
 
3) A soma de dois números é 37. A diferença entre 
eles é 9. Quais são esses números? 
 
 
 
 
 
4) Em uma praça há 18 crianças andando de bicicleta 
ou de skate. No total, há 50 rodas girando pela praça. 
Quantas crianças andam de bicicleta e quantas andam 
de skate? 
 
 
 
5) (VUNESP-04) Maria tem em sua bolsa R$15,60 
em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o nú-
mero de moedas de 25 centavos é o dobro do número 
de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa: 
A) 68. 
B) 75. 
C) 78. 
D) 81. 
E) 84. 
 
6) (UNIFESP-04) Numa determinada livraria, a soma 
dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é 
R$10,00. O preço do estojo é R$5,00 mais barato que 
o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição 
de um estojo e de um lápis é: 
a) R$3,00. 
b) R$6,00. 
c) R$12,00. 
d) R$4,00. 
e) R$7,00. 
 
7) Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km 
em duas etapas, de modo que na primeira etapa per-
corra 60 km a mais que na segunda. Quantos quilôme-
tros ele deverá percorrer em cada etapa? 
 
 
 
 
8) A soma de dois números é 15, e a diferença entre 
eles é 3. Determinar esses números. 
 
 
 
 
9) Um número é o quádruplo de outro e a soma dos 
dois é 40. Quais são os números? 
 
 
 
 
 4 Professor Vinícius Fernandes (79) 9 9993-1552 engviniciusfmdantas@gmail.com 
10) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O 
número total de rodas é 130, e o número de bicicletas 
é o triplo do número de automóveis. Qual é o números 
de automóveis e bicicletas que se encontram no pátio? 
 
 
 
 
11) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 
242 patas. Quantos são os cisnes? E as girafas? 
 
 
 
 
12) Um tomate e um pepino pesam juntos 140g. Para 
fazer o equilíbrio da balança é preciso colocar 5 toma-
tes de um lado e 2 pepinos do outro.Quanto pesa um 
tomate? E um pepino? 
 
 
 
 
13) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. 
Quais são os números? 
 
 
 
 
14) Quatro camisetas e cinco calções custamR$ 
105,00. Cinco camisetas e sete calções custam R$ 
138,00. Qual é o preço de cada peça? 
 
 
 
 
15) i) Um estudante apanhou aranhas e joaninhas 
num total de 15, e as guardou numa caixa. Contou em 
seguida 108 patas. Quantas aranhas e joaninhas ele 
apanhou? [Sabendo que a aranha tem 8 patas e a joa-
ninha 6] 
 
 
 
 
16) A diferença entre dois números é 3. O maior é 3/2 
do menor. Quais são os números? 
 
 
 
 
 
17) Resolva o sistema abaixo: 
 
 𝑥 + 4𝑦 = 0 
81
27
 𝑥 +
36
18
𝑦 = 5 
a) S = {(2,-1/2)} 
b) S = {(-2,-1/2)} 
c) S = {(2,1/2)} 
d) S = {(-4,-1/2)} 
e) S = {(-1/2,2)} 
 
 
 
18) A administração dos 1000 km de uma estrada de 
rodagem foi concedida a duas empresas A e B. A em-
presa A ficou com 80 % da estrada cedida a empresa 
B e mais 100 km. O comprimento do trecho concedi-
do a empresa B é de 
 
a) 180 km. 
b) 480 km. 
c) 500 km. 
d) 580 km. 
e) 1000 km. 
 
 EXTRA CARNAVAL 
19) Calcule: 
a) 6754,453 + 4532,8 = _________ 
b) 3145-175,413 =____________ 
c) 67 x 76 = __________ 
d) 4789 x 57 = __________ 
e) (1,05)2 = __________ 
f) 5,4 : 2,7 = __________ 
g) 9,81 : 0,9 = __________ 
h) 6783 x 768 = __________ 
i) 
90
29
= _________