resolucao de equacoes de segundo grau por completamento

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CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Apostila Sobre
Resolução de Equações Quadráticas pelo Método
do Completamento de Quadrados
Prof. Marcelo Rivadávia
São José - SC
Agosto de 2015
1
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
0.1 Introdução
Devemos saber que para resolvermos uma equação de segundo grau(maior exponte da
incógnita é 2)necessitamos entender para quais os valores de x a equação se anula, isto é, para
que valor de x quando substituído na equação resulta em zero. A estes valores de x chamamos
de raízes ou zeros da equação.
Há vários conhecimentos matemáticos envolvidos para encontrar as raízes de uma equa-
ção com o uso do método do completamento de quadrados: Geometria(área de quadrado e área
de retângulo), adição e subtração de frações, multiplicação e divisão de frações, potenciação
e radiciação, fatoração de um trinômio quadrado perfeito, equações do primeiro grau, opos-
tos e inversos de números inteiros e racionais(frações), propriedade comutatividade da soma
e do produto, propriedade distributiva, a soma zero e a multiplicação por 1, simplificações de
frações, frações equivalentes, pelo menos.
Este método visa exercitar o aluno para aprimorar as habilidades e competências nos as-
suntos matemáticos acima citados e exigir maior tirocínio, além de requerer que o estudante
decida qual estratégia ou caminho usar para chegar-se ao resultado desejado. Além do método
ser poderoso, há uma outra vantagem que é entender o porque da conhecida fórmula de Bhas-
kara. Para entendê-la perfeitamente, faz-se necessário realizarmos o estudo do completamento
de quadrados.
O completamento de quadrados é usado para:
Resolver equações do segundo grau,
Plotar gráficos de funções quadráticas,
Calcular integrais no cálculo(cálculo é um conteúdo universitário),
Determinar a transformada de Laplace(conteúdo universitário).
Vamos ao método.
2
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Disciplina de Matemática - Nono Ano
1)Encontre as soluções das equações abaixo usando o método do completamento de qua-
drado.
a)x2 + 185 · x + 4525 = 0
x2
9
5 · x
9
5 · x
81
25
x
x 95
9
5
Para resolver a equação necessitamos definir
a área do quadrado menor como sendo x2,
implicando que a base deste quadrado mede x
que tem por medida igual a altura, assim pois
x · x = x2.
A área do retângulo é calculada como sendo
a metade do coeficiente do termo de grau
um. Na figura ao lado, há dois retângulos de
mesma área, por isso que há a necessidade de
se realizar a divisão por dois. Vamos para a
expressão:
x2 + 185 · x + 4525 = 0
x2 + 95 · x + 95 · x + 4525 = 0. Note que 185 · x foi
decomposto em uma soma de duas parcelas
iguais que nada mais é em dividir a fração
acima em dois. Portanto, cada retângulo tem
área igual a 95 · x.
Calculando a base do retângulo,
temos:
A@A = b · h
9
5 · x = b · x, onde A@A é a área do
retângulo, b é a base e h a altura.
Segue, portanto, b = 95 .
Conhecida a base do retângulo, podemos determinar a área do qua-
drado cuja base tem mesma medida que a base do retângulo, ou
seja:
A� = l2
A� =
(
9
5
)2
=
(
9
5
)
·
(
9
5
)
A� = 8125
3
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Disciplina de Matemática - Nono Ano
Segue que é necessário determinar qual é o valor y que somado à fração 4525 resultará na
fração 8125 . Para tal escrevemos abaixo a seguinte equação de primeiro grau:
45
25 + y =
81
25 .
Somando o oposto de 4525 de cada lado da equação, temos:
45
25 −4525 +y = 8125 −4525 . Sabe-se
que a soma de números opostos entre si resulta em zero, assim teremos:
0 + y = 8125 − 4525 ⇒ y = 3625 . Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para
completarmos o quadrado( transformar a expressão à esquerda da igualdade em um trinômio
quadrado perfeito), tem-se, de modo geral, (a + b)2 = a2 + 2 · ab + b2, é y = 3625 .
Temos: x2 + 2 · 95 · x + 4525+ 3625 = 0+ 3625 ⇒ x2 + 2 · 95 · x + 8125 = 3625 .
x2 + 2 · 95 · x +
(
9
5
)2
= 3625 . Neste ponto, o termo
81
25 é substituído pelo seu equivalente:
(
9
5
)2
,
a fim de realizar-se fatoração para se obter (x + 95 )
2. Como que se obtém? Por comparação com
o quadrado da soma de dois termos, isto é, (a+b)2 = a2 +2 ·ab+b2 ou fotoração por evidência.
Vamos discutir cada uma destas.
Por comparação:
Desejamos encontrar quem é a
e b comparando com a equação
na semelhança dos termos, isto
é:
a2 + 2 · a · b + b2 = (a + b)2
x2 + 2 · 95 · x +
(
9
5
)2
= ?
Comparando termo a termo,
percebe-se que a = x e b = 95 .
Assim, (a+b)2 = (x+ 95 )
2, segue
então:
(x + 95 )
2 = x2 + 2 · 95 · x +
(
9
5
)2
.
Fatorar significa representar uma expressão
algébrica em outra que envolva a multiplica-
ção de elementos algébricos.
Considerando a expressão e decompondo o
termo de primeiro grau em uma soma, temos:
x2 + 2 · 95 · x +
(
9
5
)2
= x2 + 95 · x + 95 · x +
(
9
5
)2
Um fator comum nos dois primeiros termos é
x e nos dois últimos termos é 95 , vejamos:
x · (x + 95 ) + 95 · (x + 95 ) =
Note que nesta expressão acima,os fatores
comuns mudam para (x + 95 ), logo:
(x + 95 ) · (x + 95 ) = (x + 95 )2. Logo, temos:
(x + 95 )
2 = x2 + 2 · 95 · x +
(
9
5
)2
.
4
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Disciplina de Matemática - Nono Ano
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
(x + 95 )
2 = 3625 ⇒ x + 95 = ±
√
36
25
x + 95 = ±65 , e somando em cada lado da equação o oposto de 95 , tem-se:
x + 95 − 95 = ±65 − 95 , sabendo que a soma de opostos é zero, segue:
x = ±65 − 95 , o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas:
x1 = 65 − 95 = −35 , e
x2 = −65 − 95 = −155 = −3. Portanto, a solução é dada por: S = {−3;−35 }.
b) 916 x
2 + 1220 · x + 325 = 0
9
16 x
2
6
20 · x
6
20 · x
4
25
3
4 x
3
4 x
2
5
2
5
Para resolver a equação necessitamos definir
a área do quadrado menor como sendo 916 x
2,
implicando que a base deste quadrado mede
3
4 x que tem por medida igual a altura, assim
pois 34 x · 34 x = 916 x2.
A área do retângulo é calculada como sendo
a metade do coeficiente do termo de grau
um. Na figura ao lado, há dois retângulos de
mesma área, por isso que há a necessidade de
se realizar a divisão por dois. Vamos para a
expressão:
9
16 x
2 + 1220 · x + 325 = 0
9
16 x
2 + 620 · x+ 620 · x+ 325 = 0. Note que 1220 · x foi
decomposta em uma soma de duas parcelas
iguais que nada mais é em dividir a fração
acima em dois. Portanto, cada retângulo tem
área igual a 620 · x.
Calculando a base do retângulo, te-
mos: A@A = b · h
6
20 · x = b · 34 x, onde A@A é a área do
retângulo, b é a base e h a altura.
6
20 · x = b · 34 x (aplicando o inverso)
4
3x · 620 · x = b · 34 x· 43x , equivale à:
4
3·x · 620 · x1 = b · 34 · x1 · 43·x , e por
comutativa: 63 · 420 · xx = b · 34 · xx · 43 ,
onde alguns fatores resultam em 1, e
simplificando, então: b = 2 · 15 = 25 .
5
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Conhecida a base do retângulo, podemos determinar a área do qua-
drado cuja base tem mesma medida que a base do retângulo, ou
seja:
A� = l2
A� =
(
2
5
)2
=
(
2
5
)
·
(
2
5
)
A� = 425
Segue que é necessário determinar qual é o valor y que somado à fração 325 resultará na
fração 425 . Para tal escrevemos abaixo a seguinte equação de primeiro grau:
3
25 + y =
4
25 .
Somando o oposto de 325 de cada lado da equação, temos:
3
25 − 325 +y = 425 − 325 . Sabe-se
que a soma de números opostos entre si resulta em zero, assim teremos:
0 + y = 425 − 325 ⇒ y = 125 . Logo, o valor que devemos somar à equaçãoquadrática para
completarmos o quadrado( transformar a expressão à esquerda da igualdade em um trinômio
quadrado perfeito), tem-se, de modo geral, (a + b)2 = a2 + 2 · ab + b2, é y = 125 .
Temos: 916 x
2 + 2 · 25 · 34 x + 325+ 125 = 0+ 125 ⇒ 916 x2 + 2 · 25 · 34 x + 425 = 125 .
9
16 x
2+2· 25 · 34 x+
(
2
5
)2
= 125 . Neste ponto, o termo
4
25 é substituído pelo seu equivalente:
(
2
5
)2
,
a fim de realizar-se fatoração para se obter ( 34 x +
2
5 )
2. Como que se obtém? Por comparação
com o quadrado da soma de dois termos, isto é, (a + b)2 = a2 + 2 · ab + b2 ou fotoração por
evidência.
Vamos discutir cada uma destas.
Por comparação:
Desejamos encontrar quem é a e b comparando com a equação na
semelhança dos termos, isto é:
a2 + 2 · a · b + b2 = (a + b)2
9
16 x
2 + 2 · 34 · x · 25 +
(
2
5
)2
= ?
Comparando termo a termo, percebe-se que a = 34 x e b =
2
5 . Assim,
(a + b)2 = ( 34 x +
2
5 )
2, segue então:
(34 x +
2
5 )
2 = 916 x
2 + 2 · 34 · x · 25 +
(
2
5
)2
.
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CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Fatorar significa representar uma expressão algébrica em outra que
envolva a multiplicação de elementos algébricos.
Considerando a expressão e decompondo o termo de primeiro grau
em uma soma, temos:
9
16 x
2 + 2 · 620 · x +
(
2
5
)2
= 916 x
2 + 620 · x + 620 · x +
(
2
5
)2
Um fator comum nos dois primeiros termos é 34 x e nos dois últimos
termos é 25 , vejamos:
3
4 x · ( 34 x + 25 ) + 25 · ( 34 x + 25 ) =
Note que nesta expressão acima,os fatores comuns mudam para
(34 x +
2
5 ), logo:
(34 x +
2
5 ) · ( 34 x + 25 ) = ( 34 x + 25 )2. Logo, temos:
(34 x +
2
5 )
2 = 916 x
2 + 2 · 34 · x · 25 +
(
2
5
)2
.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
(34 x +
2
5 )
2 = 125 ⇒ 34 x + 25 = ±
√
1
25
3
4 x +
2
5 = ±15 , e somando em cada lado da equação o oposto de 25 , tem-se:
3
4 x +
2
5 − 25 = ±15 − 25 , sabendo que a soma de opostos é zero, segue:
3
4 x = ±15 − 25 , o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas:
3
4 x1 =
1
5 − 25 = −15 ⇒ 34 x1 = −15 , e aplicando o inverso, temos:
4
3 · 34 x1 = 43 ·(−15 )⇒ x1 = − 415
3
4 x2 = −15 − 25 = −35 ⇒ 34 x2 = −35 , e aplicando o inverso, temos:
4
3 · 34 x2 = 43 ·(−35 )⇒ x2 = −1215
Portanto, a solução é dada por: S = {− 415 ;−125 }.
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CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
c)4x2 + 20 · x + 36 = 0
4x2
10 · x
10 · x
25
2x
2x 5
5
Designando a área do menor quadrado em
4x2, implica que a base e a altura medem 2x.
A área do retângulo se calcula a partir do co-
eficiente do termo de grau um. Deste modo,
20x será dividido em 10x como a área de
cada retângulo.
A base do retângulo se calcula
como: A@A = b · h
10x = b · 2x, onde A@A é a área do
retângulo, b é a base e h a altura e
(aplicando o inverso):
1
2x ·10x = b· 12x · 2x, resulta em:
10x
2x = b · 2x2x , logo a base do retângulo
mede: b = 5.
Conhecida a base do retângulo, podemos de-
terminar a área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do retângulo, ou
seja:
A� = l2
A� = 52 = 25
Deve-se encontrar o valor y que somado ao número 36 resultará em 25. Para tal escreve-
mos abaixo a seguinte equação de primeiro grau: 36 + y = 25.
Somando o oposto de 36 de cada lado da equação, vem: 36 −36 +y = 25 −36, assim
teremos: y = −11.
Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para completarmos o quadrado.
Assim, 4x2 + 2 · 10x+ 36+ (−11) = 0+ (−11)⇒ 4x2 + 2 · 10x+ 25 = −11 que fatorando,
temos:
(2x + 5)2 = −11 ⇒ 2x + 5 = ±√−11. Neste ponto temos problemas, não existe dentro
do conjunto dos números reais a raiz quadrada de números negativos, como neste caso, a raiz
quadrada de −11. Conclui-se que não há solução para a equação 4x2 + 20 · x + 36 = 0.
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d)9x2 + 28 · x + 171 = 0
9x2
14 · x
14 · x
196
9
3x
3x 143
14
3
Designando a área do menor quadrado em
9x2, implica que a base e a altura medem 3x.
A área do retângulo se calcula a partir do co-
eficiente do termo de grau um. Deste modo,
28x será dividido em 14x como a área de
cada retângulo.
A base do retângulo se calcula
como: A@A = b · h
14x = b · 3x, onde A@A é a área do
retângulo, b é a base e h a altura e
(aplicando o inverso):
1
3x ·14x = b· 13x · 3x, resulta em:
14x
3x = b · 3x3x , logo a base do retângulo
mede: b = 143 .
Conhecida a base do retângulo, podemos de-
terminar a área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do retângulo, ou
seja:
A� = l2
A� = (143 )
2 = 1969
Deve-se encontrar o valor y que somado ao número 171 resultará em 1969 . Para tal escre-
vemos abaixo a seguinte equação de primeiro grau: 171 + y = 1969 .
Somando o oposto de 171 de cada lado da equação, vem: 171 −171 +y = 1969 −171,
assim teremos: y = −13439 .
Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para completarmos o quadrado.
Assim, 9x2 + 2 · 14x + 171+ (−13439 ) = 0+ (−13439 ⇒ 9x2 + 2 · 14x + 1969 = −13439 que
fatorando, temos:
(3x + 143 )
2 = −13439 ⇒ 3x + 143 = ±
√
−13439 . Neste ponto temos problemas, não existe
dentro do conjunto dos números reais a raiz quadrada de números negativos, como neste caso,
a raiz quadrada de −13439 . Conclui-se que não há solução para a equação 9x2 + 28 · x + 171 = 0.
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Disciplina de Matemática - Nono Ano
e)49 x
2 + 24 · x + 99 = 0
4
9 x
2
12 · x
12 · x
324
2
3 x
2
3 x 18
18
Para resolver a equação necessitamos definir
a área do quadrado menor como sendo 49 x
2,
implicando que a base deste quadrado mede x
que tem por medida igual a altura, assim pois
2
3 x · 23 x = 49 x2, segue:
4
9 x
2 + 24 · x + 99 = 0
4
9 x
2 + 12 · x + 12 · x + 99 = 0. Cada retângulo
tem área igual a 12 · x.
Calculando a base do retângulo,
temos:
A@A = b · h
12x = b · 23 x, onde A@A é a área do
retângulo, b é a base e h a altura.
Aplicando o inverso de 23 x, temos:
3
212x = b · 23 x 32 , Segue, portanto,
b = 18.
Conhecida a base do retângulo, podemos de-
terminar a área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do retângulo, ou
seja:
A� = l2
A� = (18)2 = 324
Segue que é necessário determinar qual é o valor y que somado à 99 resultará no número
324. Para tal escrevemos abaixo a seguinte equação de primeiro grau: 99 + y = 324. Disto
temos que y = 225. Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para completarmos
o quadrado, é:y = 225.
Temos: 49 x
2 + 2 · 12x + 99+ 225 = 0+ 225⇒ 49 x2 + 2 · 12 · x + 324 = 225.
4
9 x
2+2·12x+182 = 225. Neste ponto, o termo 324 é substituído pelo seu equivalente:182,
a fim de realizar-se fatoração para se obter (23 x + 18)
2.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
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Disciplina de Matemática - Nono Ano
(23 x + 18)
2 = 225⇒ 23 x + 18 = ±
√
225
2
3 x + 18 = ±25, e somando em cada lado da equação o oposto de 18, tem-se:
2
3 x + 18 − 18 = ±25 − 25, sabendo que a soma de opostos é zero, segue:
2
3 x = ±25 − 18, o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas:
2
3 x1 = 7⇒ 32 · 23 x1 = 32 · 7 = 212 , e
2
3 x2 = −43⇒ 32 · 23 x2 = 32 · −43 = −432 .
Portanto, a solução é dada por: S = { 212 ;−432 }.
f)12125 x
2 + 15415 · x + 409 = 0
121
25 x
2
77
15 · x
77
15 · x
49
9
11
5 x
11
5 x
7
3
7
3
121
25 x
2+ 15415 ·x+ 409 = 0⇒ 12125 x2+2 · 7715 ·x+ 409 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à 409 resultará no valor
49
9 . A equação deprimeiro grau decorrente:
40
9 + y =
49
9 . Disto temos que y =
9
9 . Logo,
o valor que devemos somar à equação qua-
drática para completarmos o quadrado, é:
y = 99 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
77
15 x = b · 115 x, onde A@A é a área do retângulo, b é
a base e, h a altura.
Aplicando o inverso de 115 x, temos:
5
11 ·7715 x = b · 115 x · 511 , Segue, portanto, b = 73 .
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (73 )
2 = 499
Temos: 12125 x
2 + 2 · 115 · 73 · x + 409 +99 = 0 + 99 ⇒ 12125 x2 + 2 · 115 · 73 · x + 499 = 1 =⇒
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(115 x)
2 + 2 · 115 · 73 · x + ( 73 )2 = 1 que fatorando, tem-se: (115 x + 73 )2 = 1.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
11
5 x +
7
3 = ±
√
1
11
5 x +
7
3 = ±1, e somando em cada lado da equação o oposto de 73 , tem-se:
11
5 x +
7
3 − 73 = ±1 − 73 , sabendo que a soma de opostos é zero, segue:
11
5 x = ±33 − 73 , o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas
(obs.: 1 = 33 ).
11
5 x1 =
3
3 − 73 ⇒ 115 x1 = −43 ⇒ 511 · 115 x1 = 511 · (−43 )⇒ x1 = −2033 , e
11
5 x2 = −33 − 73 ⇒ 115 x2 = −103 ⇒ 511 · 115 x2 = 511 · (−103 )⇒ x2 = −5033 .
Portanto, a solução é dada por: S = {− 2033 ;−5033 }.
g)1009 x
2 + 24015 · x + 8025 = 0
100
9 x
2
120
15 · x
120
15 · x
144
25
10
3 x
10
3 x
12
5
12
5
100
9 x
2+ 24015 ·x+ 8025 = 0⇒ 1009 x2+2· 12015 ·x+ 8025 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à 8025 resultará no valor
144
25 . A equação de primeiro grau decorrente:
80
25 + y =
144
25 . Disto, temos que y =
64
25 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
120
15 x = b · 103 x, onde A@A é a área do retângulo, b
é a base e, h a altura.
Aplicando o inverso de 103 x, temos:
3
10 ·12015 x = b · 103 x · 310 , Segue, portanto, b = 125 .
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (125 )
2 = 14425
12
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: 1009 x
2 + 2 · 103 · 125 · x + 8025 +6425 = 0 + 6425 ⇒ 1009 x2 + 2 · 103 · 125 · x + 14425 = 6425 =⇒
(103 x)
2 + 2 · 103 · 125 · x + ( 125 )2 = 6425 que fatorando, tem-se: (103 x + 125 )2 = 6425 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
10
3 x +
12
5 = ±
√
64
25
10
3 x +
12
5 = ±85 , e somando em cada lado da equação o oposto de 125 , tem-se:
10
3 x +
12
5 − 125 = ±85 − 125 , sabendo que a soma de opostos é zero, segue:
10
3 x = ±85 − 125 , o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas
10
3 x1 =
8
5 − 125 ⇒ 103 x1 = −45 ⇒ 310 · 103 x1 = 310 · (−45 )⇒ x1 = −1250 = − 625 , e
10
3 x2 = −85 − 125 ⇒ 103 x2 = −205 ⇒ 310 · 103 x2 = 310 · (−205 )⇒ x2 = −6050 = −65 .
Portanto, a solução é dada por: S = {− 625 ;−65 }.
h) 49169 x
2 + 2891 · x + 349 = 0
49
169 x
2
14
91 · x
14
91 · x
4
49
7
13 x
7
13 x
2
7
2
7
49
169 x
2+ 2891 · x+ 349 = 0⇒ 49169 x2+2 · 1491 · x+ 349 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à 349 resultará no valor
1
49 . A equação de primeiro grau decorrente:
3
49 + y =
4
49 . Disto, temos que y =
1
49 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
14
91 x = b · 713 x, onde A@A é a área do retângulo, b é
a base e, h a altura.
Aplicando o inverso de 713 x, temos:
13
7 ·1491 x = b · 713 x · 137 , Segue, portanto, b = 27 .
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (27 )
2 = 449
13
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: 49169 x
2 + 2 · 713 · 27 · x + 349 + 149 = 0 + 149 ⇒ 49169 x2 + 2 · 713 · 27 · x + 449 = 149 =⇒
( 713 x)
2 + 2 · 713 · 27 · x + ( 27 )2 = 6425 que fatorando, tem-se: ( 713 x + 27 )2 = 149 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
7
13 x +
2
7 = ±
√
1
49
7
13 x +
2
7 = ±17 , e somando em cada lado da equação o oposto de 27 , tem-se:
7
13 x +
2
7 − 27 = ±17 − 27 , sabendo que a soma de opostos é zero, segue:
7
13 x = ±17 − 27 , o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas
7
13 x1 =
1
7 − 27 ⇒ 713 x1 = −17 ⇒ 137 · 713 x1 = 137 · (−17 )⇒ x1 = −1349 , e
7
13 x2 = −17 − 27 ⇒ 713 x2 = −37 ⇒ 137 · 713 x2 = 137 · (−37 )⇒ x2 = −3949
Portanto, a solução é dada por: S = {− 1349 ;−3949 }.
i) 36121 x
2 + 12099 · x + 7581 = 0
36
121 x
2
60
99 · x
60
99 · x
100
81
6
11 x
6
11 x
10
9
10
9
36
121 x
2+ 12099 ·x+ 7581 = 0⇒ 36121 x2+2 · 6099 ·x+ 7581 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à 7581 resultará no valor
25
81 . A equação de primeiro grau decorrente:
75
81 + y =
100
81 . Disto, temos que y =
25
81 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
60
99 x = b · 611 x, onde A@A é a área do retângulo, b é
a base e, h a altura.
Aplicando o inverso de 611 x, temos:
11
6 ·6099 x = b · 616 x · 116 , Segue, portanto, b = 109 .
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = ( 109 )
2 = 1009
14
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: 36121 x
2 + 2 · 611 · 109 · x + 7581 +2581 = 0 + 2581 ⇒ 36121 x2 + 2 · 611 · 109 · x + 10081 = 2581 =⇒
( 611 x)
2 + 2 · 611 · 109 · x + ( 109 )2 = 2581 que fatorando, tem-se: ( 611 x + 109 )2 = 2581 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
6
11 x +
10
9 = ±
√
25
81
6
11 x +
10
9 = ±59 , e somando em cada lado da equação o oposto de 109 , tem-se:
6
11 x +
10
9 − 109 = ±59 − 109 , sabendo que a soma de opostos é zero, segue:
6
11 x = ±59 − 109 , o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas
6
11 x1 =
5
9 − 109 ⇒ 611 x1 = −59 ⇒ 116 · 611 x1 = 116 · (−59 )⇒ x1 = −5554 , e
6
11 x2 = −59 − 109 ⇒ 611 x2 = −159 ⇒ 116 · 611 x2 = 116 · (−159 )⇒ x2 = −16554 = −5518 .
Portanto, a solução é dada por: S = {− 5554 ;−5518 }.
j) 925 x
2 + 6645 · x + 8581 = 0
9
25 x
2
33
45 · x
33
45 · x
121
81
3
5 x
3
5 x
11
9
11
9
9
25 x
2 + 6645 · x+ 8581 = 0⇒ 925 x2 +2 · 3345 · x+ 8581 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à 8581 resultará no valor
36
81 . A equação de primeiro grau decorrente:
85
81 + y =
121
81 . Disto, temos que y =
36
81 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
33
45 x = b · 35 x, onde A@A é a área do retângulo, b é
a base e, h a altura.
Aplicando o inverso de 35 x, temos:
5
3 ·3345 x = b · 35 x · 53 , Segue, portanto, b = 119 .
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (119 )
2 = 12181
15
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: 925 x
2 + 2 · 35 · 119 · x + 8581 +3681 = 0 + 3681 ⇒ 925 x2 + 2 · 35 · 119 · x + 12181 = 3681 =⇒
(35 x)
2 + 2 · 35 · 119 · x + ( 119 )2 = 3681 que fatorando, tem-se: (35 x + 119 )2 = 3681 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
3
5 x +
11
9 = ±
√
36
81
3
5 x +
11
9 = ±69 , e somando em cada lado da equação o oposto de 119 , tem-se:
3
11 x +
11
9 − 119 = ±69 − 119 , sabendo que a soma de opostos é zero, segue:
3
5 x = ±69 − 119 , o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas
3
5 x1 =
6
9 − 119 ⇒ 35 x1 = −59 ⇒ 53 · 35 x1 = 53 · (−59 )⇒ x1 = −2527 , e
3
5 x2 = −69 − 119 ⇒ 35 x2 = −179⇒ 53 · 35 x2 = 53 · (−179 )⇒ x2 = −8527
Portanto, a solução é dada por: S = {− 2527 ;−8527 }.
k)x2 − 20 · x + 75 = 0
x2
10 · x
10 · x
100
x
x 10
10
x2 − 20 · x + 75 = 0⇒ x2 − 2 · 10 · x + 75 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à 75 resultará no valor
100. A equação de primeiro grau decorrente:
75 + y = 100. Disto, temos que y = 25.
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
10x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 10. Obs.:Áreas não são
negativas, porém para fins de cálculo, conside-
raremos como positivas.
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = 102 = 100
16
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: x2 − 2 · 10 · x + 75 +25 = 0 + 25⇒ x2 − 2 · 10 · x + 100 = 25 =⇒
x2 − 2 · 10 · x + 102 = 25 que fatorando, tem-se: (x − 10)2 = 25.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 10 = ±√25
x − 10 = ±5, e somando em cada lado da equação o oposto de −10, tem-se:
x−10+10 = ±5+10, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±5 + 10.
x1 = 5 + 10 = 15, e x2 = −5 + 10 = 5
Portanto, a solução é dada por: S = {5; 15}.
l)x2 − 15 · x + 26 = 0
x2
15
2 · x
15
2 · x
225
4
x
x 152
15
2
x2 − 15 · x + 26 = 0 ⇒ x2 − 1 · 15 · x + 26 = 0
x2 − 22 · 15 · x+ 26 = 0⇒ x2 − 2 · 152 · x+ 26 = 0
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à 26 resultará no valor
225
4 . A equação de primeiro grau decorrente:
26 + y = 2254 . Disto, temos que y =
225
4 − 26⇒
y = 2254 − 44 · 26 ⇒ y = 2254 − 1044 = 1214 . logo o
valor de y = 1214 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
15
2 = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 152 . Obs.:Áreas não são
negativas, porém para fins de cálculo, conside-
raremos como positivas.
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (152 )
2 = 2254
17
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: x2 − 2 · 152 · x + 26 +1214 = 0 + 1214 ⇒ x2 − 2 · 152 · x + 2254 = 1214 =⇒
x2 − 2 · 152 · x + (152 )2 = 1214 que fatorando, tem-se: (x − 152 )2 = 1214 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 152 = ±
√
121
4
x − 152 = ±112 , e somando em cada lado da equação o oposto de −152 , tem-se:
x− 152 + 152 = ±112 + 152 , sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±112 + 152 .
x1 = 112 +
15
2 =
26
2 = 13, e x2 = −112 + 152 = 42 = 2
Portanto, a solução é dada por: S = {2; 13}.
m)x2 + 8 · x − 33 = 0
x2
4 · x
4 · x
16
x
x 4
4
x2 + 8 · x − 33 = 0 ⇒ x2 + 2 · 4 · x − 33 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à −33 resultará no valor
16. A equação de primeiro grau decorrente:
−33 + y = 16. Disto, temos que y = 49.
Obs.:Áreas não são negativas, porém para
fins de cálculo, consideraremos como posi-
tivas.
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
4x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 4.
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = 42 = 16
18
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: x2 + 2 · 4 · x − 33 +49 = 0 + 49⇒ x2 + 2 · 4 · x + 16 = 49 =⇒
x2 + 2 · 4 · x + 42 = 49 que fatorando, tem-se: (x + 4)2 = 49.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x + 4 = ±√49
x + 4 = ±7, e somando em cada lado da equação o oposto de +4, tem-se:
x + 4 − 4 = ±7 − 4, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±7 − 4.
x1 = 7 − 4 = 3, e x2 = −7 − 4 = −11
Portanto, a solução é dada por: S = {3;−11}.
n)x2 + x − 110 = 0
x2
1
2 · x
1
2 · x
1
4
x
x 12
1
2
x2 + x − 110 = 0 ⇒ x2 + 1 · x − 110 = 0
x2 + 22 · x − 110 = 0 ⇒ x2 + 2 · 12 · x − 110 = 0
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é
o valor y que somado à −110 resultará no
valor 2254 . A equação de primeiro grau decor-
rente: −110 + y = 14 . Disto, temos que y =
1
4 + 110⇒ y = 14 + 44 · 110⇒ y = 14 + 4404 = 4414 .
logo o valor de y = 4414 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
1
2 x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 12 .
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (12 )
2 = 14
19
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: x2 + 2 · 12 · x − 110 +4414 = 0 + 4414 ⇒ x2 + 2 · 12 · x + 14 = 4414 =⇒
x2 + 2 · 12 · x + (12 )2 = 4414 que fatorando, tem-se: (x + 12 )2 = 4414 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x + 12 = ±
√
441
4
x + 12 = ±212 , e somando em cada lado da equação o oposto de 12 , tem-se:
x+ 12 − 12 = ±212 − 12 , sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±212 − 12 .
x1 = 212 − 12 = 202 = 10, e x2 = −212 − 12 = −222 = −11
Portanto, a solução é dada por: S = {−11; 10}.
o)x2 − 2 · x − 120 = 0
x2
1 · x
1 · x
1
x
x 1
1
x2 − 2 · x − 120 = 0⇒ x2 − 2 · 1 · x − 120 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é
o valor y que somado à −120 resultará no
valor 1. A equação de primeiro grau de-
corrente: −120 + y = 1. Disto, temos que
y = 121.
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
1x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 1 Obs.:Áreas não são nega-
tivas, porém para fins de cálculo, considerare-
mos como positivas..
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = 12 = 1
20
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: x2 − 2 · 1 · x − 120 +121 = 0 + 121⇒ x2 − 2 · 1 · x + 1 = 121 =⇒
x2 − 2 · 1 · x + 12 = 121 que fatorando, tem-se: (x − 1)2 = 121.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 1 = ±√121
x − 1 = ±11, e somando em cada lado da equação o oposto de −1, tem-se:
x−1+1 = ±11+1, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±11 + 1.
x1 = 11 + 1 = 12, e x2 = −11 + 1 = −10
Portanto, a solução é dada por: S = {−10; 12}.
p)x2 + 5 · x − 6 = 0
x2
5
2 · x
5
2 · x
25
4
x
x 52
5
2
x2 + 5 · x − 6 = 0 ⇒ x2 + 1 · 5 · x − 6 = 0
x2 + 22 · 5 · x − 6 = 0 ⇒ x2 + 2 · 52 · x − 6 = 0
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à −6 resultará no valor
25
4 . A equação de primeiro grau decorrente:
−6 + y = 254 . Disto, temos que y = 254 + 6 ⇒
y = 254 +
4
4 · 6⇒ y = 254 + 244 = 494 . logo o valor
de y = 494 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
5
2 x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 52 .
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (52 )
2 = 254
21
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Temos: x2 + 2 · 52 · x − 6 +494 = 0 + 494 ⇒ x2 + 2 · 52 · x + 254 = 494 =⇒
x2 + 2 · 52 · x + (52 )2 = 494 que fatorando, tem-se: (x + 52 )2 = 494 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x + 52 = ±
√
49
4
x + 52 = ±72 , e somando em cada lado da equação o oposto de 52 , tem-se:
x+ 52 − 52 = ±72 − 52 , sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±72 − 52 .
x1 = 72 − 52 = 22 = 1, e x2 = −72 − 52 = −122 = −6Portanto, a solução é dada por: S = {−6; 1}.
q)15 · x2 − x − 6 = 0 Neste exemplo, é introduzida uma técnica nova para poder ser o
quadrado completado. Vejamos como.
Esta passaria a ser a configuração do qua-
drado sem aplicação da nova técnica. O qua-
drado menor tem área de 15 · x2. O lado do
quadrado passa a ser
√
15 · x. A raiz qua-
drada de
√
15 = 3, 872983346207417.... Se
observar bem, trabalhar com números irraci-
onais, que é o caso, é um complicador. Mas
é possível ser contornado com uma simples
operação matemática. Vejamos:
15 · x2
1
2 · x
1
2 · x
1
4
√
15 · x
√
15 · x 12
1
2
15 · x2 − x − 6 = 0 ⇒ 15 · x2 − 1 · x − 6 = 0. Dividindo ambos os lados por 15 afim de
obtermos o coeficiente do termo de grau dois igual a um.
15
15 · x2 − 115 · x− 615 = 015 ⇒ x2 − 115 · x− 615 = 0⇒ x2 − 22 · 115 · x− 615 = 0⇒ x2 − 2 · 130 · x− 615 = 0
assim, temos:
22
CEM Francisco Antônio Machado
Disciplina de Matemática - Nono Ano
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à − 615 resultará no valor
1
900 . A equação de primeiro grau decorrente:
− 615 + y = 1900 . Disto, temos que y = 1900 + 615 ⇒
y = 1900 +
60
60 · 615 ⇒ y = 1900 + 360900 = 361900 . logo o
valor de y = 361900 .
x2
1
30 · x
1
30 · x
1
900
x
x 130
1
30
Calculando a base do retângulo, vem: A@A =
b · h
1
30 x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b
é a base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 130 . Obs.:Áreas não
são negativas, porém para fins de cálculo,
consideraremos como positivas.
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
cadela A� = ( 130 )
2 = 1900
Temos: x2 − 2 · 130 · x − 615 +361900 = 0 + 361900 ⇒ x2 − 2 · 130 · x + 1900 = 361900 =⇒
x2 − 2 · 130 · x + ( 130 )2 = 361900 que fatorando, tem-se: (x − 130 )2 = 361900 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 130 = ±
√
361
900
x − 130 = ±1930 , e somando em cada lado da equação o oposto de − 130 , tem-se:
x− 130+ 130 = ±1930+ 130 , sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±1930 + 130 .
x1 = 1930 +
1
30 =
20
30 =
2
3 , e x2 = −1930 + 130 = −1830 = −35
Portanto, a solução é dada por: S = {− 35 ; 23 }.
23
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Disciplina de Matemática - Nono Ano
r)x2 − x − 12 = 0
x2
1
2 · x
1
2 · x
1
4
x
x 12
1
2
x2 − x − 12 = 0 ⇒ x2 − 1 · x − 12 = 0
x2 − 22 · x − 12 = 0 ⇒ x2 − 2 · 12 · x − 12 = 0
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à −12 resultará no valor
1
4 . A equação de primeiro grau decorrente:
−12 + y = 14 . Disto, temos que y = 14 + 12 ⇒
y = 14 +
4
4 · 12⇒ y = 14 + 484 = 494 . logo o valor
de y = 494 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
1
2 x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 12 . Obs.:Áreas não são
negativas, porém para fins de cálculo, conside-
raremos como positivas.
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (12 )
2 = 14
Temos: x2 − 2 · 12 · x − 12 +494 = 0 + 494 ⇒ x2 − 2 · 12 · x + 14 = 494 =⇒
x2 − 2 · 12 · x + (12 )2 = 494 que fatorando, tem-se: (x − 12 )2 = 494 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x + 12 = ±
√
49
4
x − 12 = ±72 , e somando em cada lado da equação o oposto de 12 , tem-se:
x− 12 + 12 = ±72 + 12 , sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±72 + 12 .
x1 = 72 +
1
2 =
8
2 = 4, e x2 = −72 + 12 = −62 = −3
Portanto, a solução é dada por: S = {−3; 4}.
24
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Disciplina de Matemática - Nono Ano
s)x2 − x − 20 = 0
x2
1
2 · x
1
2 · x
1
4
x
x 12
1
2
x2 − x − 20 = 0 ⇒ x2 − 1 · x − 20 = 0
x2 − 22 · x − 20 = 0 ⇒ x2 − 2 · 12 · x − 20 = 0
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à −20 resultará no valor
1
4 . A equação de primeiro grau decorrente:
−20 + y = 14 . Disto, temos que y = 14 + 20 ⇒
y = 14 +
4
4 · 20⇒ y = 14 + 804 = 814 . logo o valor
de y = 814 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
1
2 x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 12 . Obs.:Áreas não são
negativas, porém para fins de cálculo, conside-
raremos como positivas.
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (12 )
2 = 14
Temos: x2 − 2 · 12 · x − 20 +814 = 0 + 814 ⇒ x2 − 2 · 12 · x + 14 = 814 =⇒
x2 − 2 · 12 · x + (12 )2 = 814 que fatorando, tem-se: (x − 12 )2 = 814 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 12 = ±
√
81
4
x − 12 = ±92 , e somando em cada lado da equação o oposto de 12 , tem-se:
x− 12 + 12 = ±92 + 12 , sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±92 + 12 .
x1 = 92 +
1
2 =
10
2 = 5, e x2 = −92 + 12 = −82 = −4
Portanto, a solução é dada por: S = {−4; 5}.
25
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t)x2 − 4 · x − 5 = 0
x2
2 · x
2 · x
4
x
x 2
2
x2 − 4 · x− 5 = 0⇒ x2 − 2 · 2 · x− 5 = 0, assim,
temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à −5 resultará no valor
4. A equação de primeiro grau decorrente:
−5 + y = 4. Disto, temos que y = 9.
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
2x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 2 Obs.:Áreas não são nega-
tivas, porém para fins de cálculo, considerare-
mos como positivas..
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = 22 = 4
Temos: x2 − 2 · 2 · x − 5 +9 = 0 + 9⇒ x2 − 2 · 2 · x + 4 = 9 =⇒
x2 − 2 · 2 · x + 22 = 9 que fatorando, tem-se: (x − 2)2 = 9.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 2 = ±√9
x − 2 = ±3, e somando em cada lado da equação o oposto de −2, tem-se:
x − 2 + 2 = ±3 + 2, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±3 + 2.
x1 = 3 + 2 = 5, e x2 = −3 + 2 = −1
Portanto, a solução é dada por: S = {−1; 5}.
26
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u)8 · x2 − 2 · x − 1 = 0 Neste exemplo, a técnica utilizada será a mesma da questão (q)
para poder ser o quadrado completado. Vejamos como.
Esta passaria a ser a configuração do qua-
drado sem aplicação da nova técnica. O qua-
drado menor tem área de 8 · x2. O lado do
quadrado passa a ser
√
8 · x. A raiz quadrada
de
√
8 = 2, 82842712474619.... Se observar
bem, trabalhar com números irracionais, que
é o caso, é um complicador. Mas é possível
ser contornado com uma simples operação
matemática. Vejamos:
8 · x2
x
x
4
√
8 · x
√
8 · x 1
1
8 · x2 − 2 · x − 1 = 0 ⇒ 8 · x2 − 2 · x − 1 = 0. Dividindo ambos os lados por 8 afim de
obtermos o coeficiente do termo de grau dois igual a um.
8
8 · x2− 28 · x− 18 = 08 ⇒ x2− 28 · x− 18 = 0⇒ x2−2 · 18 · x− 18 = 0⇒ x2−2 · 18 · x− 18 = 0 assim, temos:
Utilize este espaço para rascunho.
27
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Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à −18 resultará no valor
1
64 . A equação de primeiro grau decorrente:
−18 + y = 164 . Disto, temos que y = 164 + 18 ⇒ y =
1
64 +
8
8 · 18 ⇒ y = 164 + 864 = 964 . logo o valor de
y = 964 .
x2
1
8 · x
1
8 · x
1
64
x
x 18
1
8
Calculando a base do retângulo, vem: A@A =
b · h
1
8 x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b
é a base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 18 . Obs.:Áreasnão
são negativas, porém para fins de cálculo,
consideraremos como positivas.
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
cadela A� = ( 18 )
2 = 164
Temos: x2 − 2 · 18 · x − 18 + 964 = 0 + 964 ⇒ x2 − 2 · 18 · x + 164 = 964 =⇒
x2 − 2 · 18 · x + (18 )2 = 964 que fatorando, tem-se: (x − 18 )2 = 964 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 18 = ±
√
9
64
x − 18 = ±38 , e somando em cada lado da equação o oposto de −18 , tem-se:
x− 18 + 18 = ±38 + 18 , sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±38 + 18 .
x1 = 38 +
1
8 =
4
8 =
1
2 , e x2 = −38 + 18 = −28 = −14
Portanto, a solução é dada por: S = {− 14 ; 12 }.
28
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v)x2 − 8 · x − 20 = 0
x2
4 · x
4 · x
16
x
x 4
4
x2 − 8 · x − 20 = 0 ⇒ x2 − 2 · 42 · x − 20 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à −20 resultará no valor
16. A equação de primeiro grau decorrente:
−20 + y = 16. Disto, temos que y = 36.
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
4x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 4 Obs.:Áreas não são nega-
tivas, porém para fins de cálculo, considerare-
mos como positivas..
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = 42 = 16
Temos: x2 − 2 · 4 · x − 20 +36 = 0 + 36⇒ x2 − 2 · 4 · x + 16 = 36 =⇒
x2 − 2 · 4 · x + 42 = 36 que fatorando, tem-se: (x − 4)2 = 36.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 4 = ±√36
x − 4 = ±6, e somando em cada lado da equação o oposto de −4, tem-se:
x − 4 + 4 = ±6 + 4, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±6 + 4.
x1 = 6 + 4 = 10, e x2 = −6 + 4 = −2
Portanto, a solução é dada por: S = {−2; 10}.
29
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w)x2 − 10 · x + 16 = 0
x2
5 · x
5 · x
25
x
x 5
5
x2 − 10 · x + 16 = 0 ⇒ x2 − 2 · 5 · x + 16 = 0,
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à 16 resultará no valor
25. A equação de primeiro grau decorrente:
16 + y = 25. Disto, temos que y = 9.
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
5x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 5 Obs.:Áreas não são nega-
tivas, porém para fins de cálculo, considerare-
mos como positivas..
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = 52 = 25
Temos: x2 − 2 · 5 · x + 16 +9 = 0 + 9⇒ x2 − 2 · 5 · x + 25 = 9 =⇒
x2 − 2 · 5 · x + 52 = 9 que fatorando, tem-se: (x − 5)2 = 9.
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 5 = ±√9
x − 5 = ±3, e somando em cada lado da equação o oposto de −5, tem-se:
x − 5 + 5 = ±3 + 5, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±3 + 5.
x1 = 3 + 5 = 8, e x2 = −3 + 5 = 2
Portanto, a solução é dada por: S = {2; 8}.
30
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x)x2 − 5 · x − 24 = 0
x2
5
2 · x
5
2 · x
25
4
x
x 52
5
2
x2 − 5 · x − 24 = 0 ⇒ x2 − 1 · 5 · x − 24 = 0
x2 − 22 · 5 · x − 24 = 0⇒ x2 − 2 · 52 · x − 24 = 0
assim, temos:
Segue que é necessário determinar qual é o
valor y que somado à −24 resultará no valor
25
4 . A equação de primeiro grau decorrente:
−24 + y = 254 . Disto, temos que y = 254 + 24⇒
y = 254 +
4
4 · 24 ⇒ y = 254 + 964 = 1214 . logo o
valor de y = 1214 .
Calculando a base do retângulo, vem: A@A = b · h
5
2 x = b · x, onde A@A é a área do retângulo, b é a
base e, h a altura.
Segue, portanto, b = 52 . Obs.:Áreas não são
negativas, porém para fins de cálculo, conside-
raremos como positivas.
A área do quadrado cuja base tem
mesma medida que a base do re-
tângulo é:
A� = l2
A� = (52 )
2 = 254
Temos: x2 − 2 · 52 · x − 24 +1214 = 0 + 1214 ⇒ x2 − 2 · 52 · x + 254 = 1214 =⇒
x2 − 2 · 52 · x + (52 )2 = 1214 que fatorando, tem-se: (x − 52)2 = 1214 .
Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:
x − 52 = ±
√
121
4
x − 52 = ±112 , e somando em cada lado da equação o oposto de 52 , tem-se:
x− 52 + 52 = ±112 + 52 , sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas
por: x = ±112 + 52 .
x1 = 112 +
5
2 =
16
2 = 8, e x2 = −112 + 52 = −62 = −3
Portanto, a solução é dada por: S = {8;−3}.
31
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A Fórmula de Bhaskara Determinada Pelo Completamento de Quadrados
Sejam a, b, c, com a , 0, números reais, e a equação do segundo grau a · x2+b · x+c = 0,
então a fórmula de Bhaskara ou fórmula Resolutiva é: x = −b±
√
b2−4·a·c
2·a . Como atingir a esta
fórmula?
a · x2 + b · x + c = 0
O oposto de c em ambos os lados da equação:
a · x2 + b · x+ c + (−c) = 0 + (−c)⇒ a · x2 + b · x = −c
Multipliquemos ambos os lados da equação por 4 · a, teremos:
4 · a · (a · x2 + b · x) = 4 · a · (−c), e aplicando a distributiva tens-se:
4 · a2 · x2 + 4 · a · b · x = −4 · a · c e somando de ambos os lados b2, temos:
4 · a2 · x2 + 4 · a · b · x+ b2 = −4 · a · c+ b2, e
(2 · a · x)2 + 2 · 2 · a · b · x + b2 = b2 − 4 · a · c, fatorando, segue:
(2 ·a · x+b)2 = b2−4 ·a ·c, e extraindo a raiz quadrada, vem: 2 ·a · x+b = ±√b2 − 4 · a · c,
a seguir, faça-se o oposto de b, e teremos:
2 ·a · x+b −b = −b ±√b2 − 4 · a · c, aplicando o inverso de 2 ·a em ambos os lados, vem:
1
2·a ·2 · a · x = 12·a (−b ±
√
b2 − 4 · a · c) ⇒ x = −b±
√
b2−4·a·c
2·a . Veja como fica o quadrado
completado.
32
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4 · a · x2
2 · a · b · x
2 · a · b · x
b2
2 · a · x
2 · a · x b
b
Segue uma lista de exercícios para treinar, praticar, desenvolver, resolver, compreender,
reforçar o método do completamento de quadrados. Sugiro que após todos estes exercícios
forem resolvidos, utilize-os para resolvê-los usando a fórmula de Bhaskara. Bom proveito.
Aprecie, sem moderação.
1)Encontre as raízes das equaçãoes abaixo(construa os quadrados para completamento):
a)x2 − 3x − 40 = 0
b)x2 + 5x − 66 = 0
c)x2 − 8x − 105 = 0
d)x2 − 9x − 36 = 0
e)x2 − 3x − 130 = 0
f)x2 + 9x − 112 = 0
g)x2 + 19x + 78 = 0
h)x2 − 10x − 11 = 0
i)x2 − 6x − 55 = 0
j)x2 − 15x − 54 = 0
k)x2 + 15x − 54 = 0
l)x2 + x − 56 = 0
m)x2 + x − 42 = 0
n)x2 − 17x + 60 = 0
o)x2 + 3x − 88 = 0
p)x2 + 3x − 4 = 0
q)x2 + 3x − 270 = 0
r)x2 − 2x − 35 = 0
s)x2 − 11x − 102 = 0
t)x2 − 4x − 117 = 0
a1)x2 − 56 x + 16 = 0
33
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b1)x2 − 415 x − 415 = 0
c1)x2 + 92 x − 52 = 0
d1)x2 + 2514 x − 614 = 0
e1)x2 − 19 x − 227 = 0
f1)x2 + 345 x − 75 = 0
g1)x2 − 3136 x + 20108 = 0
h1)x2 − 7930 x + 2130 = 0
i1)x2 + 3512 x +
8
12 = 0
j1)x2 − 1960 x − 4860 = 0
k1)x2 + 56 x − 269 = 0
l1)25x2 + 70x − 15 = 0
m1)9x2 + 78x + 88 = 0
n1)4x2 + 203 x + 1 = 0
o1)16x2 + 1125 x − 14 = 0
p1)2x2 + 7x + 5 = 0
q1)25x2 − 10x + 1 = 0
r1)4x2 − 36x + 81 = 0
s1) 4916 x
2 − 143 x − 1159 = 0
t1)6x2 − 1720 x − 18910 = 0
a2)x2 + 16x + 15 = 0
b2)x2 + 8x + 12 = 0
c2)x2 + 8x + 7 = 0
d2)x2 + 10x + 16 = 0
e2)x2 + 14x + 13 = 0
f2)x2 + 18x + 32 = 0
g2)x2 + 4x + 3 = 0
h2)x2 + 6x + 8 = 0
i2)x2 + 22x + 40 = 0
j2)x2 + 10x + 9 = 0
k2)x2 + 185 · x + 95 = 0
l2) 916 x
2 + 35 · x + 325 = 0
m2)2x2 + 10x + 18 = 0
n2) 92 x
2 + 282 x +
171
2 = 0
o2)9x2 + 96x + 380 = 0
p2) 12150 x
2 + 15430 · x + 4018 = 0
q2) 1009 x
2 + 16 · x +165 = 0
r2) 49169 x
2 + 413 · x + 349 = 0
s2) 36121 x
2 + 4033 · x + 2527 = 0
t2) 925 x
2 + 225 · x + 8581 = 0
a3)2 · x2 − 40x + 150 = 0
b3)3 · x2 − 45x + 78 = 0
c3)12 · x2 + 4x − 332 = 0
d3)4 · x2 + 4 · x − 440 = 0
e3)2 · x2 − 4 · x − 240 = 0
f3)14 · x2 + 54 · x − 64 = 0
g3)30x2 − 2x − 12 = 0
h3) 19 · x2 − 19 · x − 129 = 0
i3)9 · x2 − 9 · x − 180 = 0
34
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j3)2 · x2 − 8 · x − 10 = 0
k3)4x2 − x − 12 = 0
l3)9 · x2 − 72x − 180 = 0
m3)12 · x2 − 5x + 8 = 0
n3)x2 + 16x + 63 = 0
o3)x2 + 8x + 15 = 0
p3)x2 + 8x + 7 = 0
q3)x2 + 10x + 24 = 0
r3)x2 + 14x + 45 = 0
s3)x2 + 18x + 77 = 0
t3)x2 + 4x + 3 = 0
a4)x2 + 6x + 5 = 0
b4)x2 + 22x + 96 = 0
c4)x2 + 10x + 21 = 0
c4)x2 − x − 2 = 0
35
	Introdução