10 Rotacao Rolamento Torque e Momento Angular

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Rotação, Rolamento, Torque e 
Momento Angular 
Profa. Geisa Medeiros 
 
UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL 
Campus Universitário da Região dos Vinhedos 
Centro de Ciências Exatas, da Natureza e de Tecnologia 
Mecânica Newtonina - FIS0267XD 
Posição Angular 
 Para descrever a rotação de um corpo rígido em torno de 
um eixo fixo, chamado de eixo de rotação, supõe-se que 
uma reta de referência está fixa no corpo, perpendicular ao 
eixo e girando com o corpo 
 Mede-se a posição angular  desta reta em relação a 
uma direção fixa   é medido em radianos 
 
 
r
s

s é o comprimento de 
um arco de 
circunferência de raio 
r e ângulo  
radrev 23601 
Posição Angular 
Deslocamento Angular 
Um corpo que gira em torno de um eixo de rotação, 
mudando de posição angular 1 para 2, sofre um 
deslocamento angular 
 
 onde  é positivo para rotações no sentido anti-horário 
e negativo para rotações no sentido horário 
 
12  
Velocidade Angular 
Se um corpo sofre um deslocamento angular  em um 
intervalo de tempo t  a velocidade angular média do 
corpo é 
 
 A velocidade angular instantânea do corpo é 
 
 Tanto méd como  são vetores  orientação é dada 
pela regra da mão direit 
t
méd





dt
d
 
Equações Cinemáticas para Aceleração 
Angular Constante 
t  0
2
00
2
1
tt  
)(2 0
2
0
2  
t)(
2
1
00  
2
0
2
1
. tt  
Relações entre Variáveis Lineares e Angulares 
Um ponto de um corpo rígido em rotação, a uma 
distância perpendicular r do eixo de rotação, descreve uma 
circunferência de raio r  se o corpo gira de um ângulo , 
o ponto descreve um arco de círculo de comprimento s 
 
 A velocidade linear do ponto é tangente à circunferência 
 a velocidade escalar linear é 
 
rs .
rv .
Relações entre Variáveis Lineares e Angulares 
 A aceleração linear do ponto tem uma componente 
tangencial e uma componente radial  a componente 
tangencial é 
 
 A componente radial é 
 
 No caso do movimento circular uniforme, o período T do 
movimento do ponto e do corpo é 
rat .
r
r
v
ar
2
2


 2.2

v
r
T
Energia Cinética de Rotação e 
Momento de Inércia 
 A energia cinética de um corpo rígido em rotação em 
torno de um eixo fixo é 
 
 onde I é o momento de inércia do corpo definido por 
 
 
 para um sistema de partículas discretas e para um corpo 
com uma distribuição contínua de massa 
2
2
1
IK 

2
iirmI
 dmrI
2
Teorema dos Eixos Paralelos 
Relaciona o momento de inércia I de um corpo em 
relação a qualquer eixo ao momento de inércia do mesmo 
corpo em relação a um eixo paralelo ao primeiro passando 
pelo centro de massa 
 
 
 onde h é a distância perpendicular entre os eixos e ICM é 
o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que 
passa pelo centro de massa  pode-se definir h como o 
deslocamento do eixo de rotação em relação ao eixo de 
rotação que passa pelo centro de massa 
2MhII CM 
Torque 
Ação de girar ou de torcer um corpo em torno de um eixo 
de rotação, produzida por uma força F  se F é exercida 
em um ponto dado pelo vetor posição r em relação ao eixo, 
o módulo do torque é 
 
 
onde Ft é a componente de F perpendicular a r e  é o 
ângulo entre r e F  r é a distância perpendicular entre o 
eixo de rotação e a reta que coincide com o vetor F  reta 
é a linha de ação de F e r é chamada de braço de 
alavanca de F 
 senFrFrFr t ...  
Torque 
Torque positivo  tende a girar um corpo inicialmente em 
repouso no sentido anti-horário 
 
 Torque negativo  tende a girar um corpo inicialmente 
em repouso no sentido horário 
Torque 
Segunda Lei de Newton para Rotações com 
Momento de Inércia 
 
 
 onde res é o torque resultante que age sobre a partícula 
ou corpo rígido, I é o momento de inércia da partícula ou d 
corpo em relação ao eixo e  é a aceleração angular do 
movimento de rotação em torno do eixo 
 .Ires 
Trabalho e Energia Cinética de Rotação 
 
 
 
 
 quando  é constante: 
 
 A forma do teorema do trabalho e energia cinética usada 
para corpos em rotação é a seguinte 

f
i
dW


 . 
dt
dW
P
)( ifW  
WIIKKK ifif 
22
2
1
2
1 
Corpos em Rolamento 
No caso de uma roda de raio R rolando suavemente 
 
 
 vCM é a velocidade linear do centro de massa da roda e 
 é a velocidade angular da roda em torno do centro 
 
 Uma roda que rola possui energia cinética estipulada por 
 
 
 onde ICM é o momento de inércia da roda em relação ao 
centro de massa e M é a massa da roda 
RvCM .
22
2
1
2
1
CMCM MvIK  
Corpos em Rolamento 
Corpos em Rolamento 
Se a roda está sendo acelerada, mas ainda rola 
suavemente, a aceleração do centro de massa está 
relacionada à aceleração angular em relação ao centro de 
rotação pela equação 
 
 
Se a roda desce uma rampa de ângulo  rolando 
suavemente, a aceleração ao longo de um eixo x paralelo à 
rampa é 
RaCM .
2, /1
.
MRI
seng
a
CM
xCM



Torque como um Vetor 
Em três dimensões, o torque é uma grandeza vetorial 
definida em relação a um ponto fixo 
 
 
onde F é a força aplicada à partícula e r é o vetor posição 
da partícula em relação ao ponto fixo  o módulo de  é 
 
 
 onde  é o ângulo entre F e r, F é a componente de F 
perpendicular a r e r é o braço de alavanca de F 
FXr
FrFrsenFr   ... 
Momento Angular de uma Partícula 
O momento angular l de uma partícula com momento 
linear p, massa m e velocidade linear é uma grandeza 
vetorial definida em relação a um ponto fixo 
 
 
O módulo de l é dado por 
 
 
 onde  é o ângulo entre r e p, p e v são as 
componentes de p e v perpendiculares a r e r é a distância 
perpendicular entre o ponto fixo e a extensão p 
)( vXrmpXrl 
vmrprvmrprsenvmrl .........   
Segunda Lei de Newton para Rotações com 
Momento Angular 
 
 
 
onde res é o torque resultante que age sobre a partícula, I 
é o momento angular da partícula 
dt
ld
res 
Momento Angular de um Sistema de Partículas 
 
 
 
A taxa de variação com o tempo do momento angular é 
igual ao torque externo resultante que age sobre o sistema 
 soma vetorial dos torques produzidos pelas interações 
das partículas do sistema com partículas ao sistema 



n
i
in llllL
1
21 ...
dt
Ld
res 
Momento Angular de um Corpo Rígido 
 
 
O momento angular de um sistema permanece constante 
se o torque externo resultante que age sobre o sistema é 
nulo  lei de conservação do momento angular 
.IL 
fi LL
teconsL

 tan