Esponja de Menger

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A Esponja de Menger
Jocimar Gomes Duarte Junior
Orientador: Dr. Ma´rcio Lima do Nascimento
Universidade Federal do Para´ - Bele´m - PA - Brasil
5 de junho de 2014
Resumo
Neste trabalho definiremos conceitos simples e concisos acerca de fractais para
assim levantarmos considerac¸o˜es a respeito da esponja de Menger.
Palavras-chave: Fractal, Auto-Similaridade, Dimensa˜o fractal, complexidade in-
finita, Karl Menger, Esponja de Menger.
γΓ
1 Introduc¸a˜o
A esponja de Menger, foi descrita pela primeira vez pelo matema´tico austr´ıaco Karl Menger
(1902-1985), em 1926, partindo de discusso˜es a respeito de dimensa˜o topolo´gica. A esponja
e´ um objeto que pertence ao espac¸o R3, tem apareˆncia de um cubo enormemente perfurado
que Menger acabou provando que se tratava de uma curva universal, ou seja, algo de
dimensa˜o topolo´gica 1. Estranhamente, essa curva universal possui uma dimensa˜o, que
chamaremos de dimensa˜o fractal, aproximadamente igual a 2, 7268330... . Este fractal
possui o fato peculiar de ter volume zero e a´rea infinita.
2 Noc¸o˜es preliminares
Inicialmente, de maneira simples e precisa, iremos definir alguns conceitos que sera˜o nescessa´rios
para entender o que e´ a esponja de Menger e como se da´ a construc¸a˜o dela.
2.1 O que e´ um fractal?
Um fractal, a grosso modo, seria um conjunto do plano ou do espac¸o que possui a seguinte
propriedade: quando dividimos o conjunto em um certo nu´mero de partes iguais, cada
pequena parte e´ uma figura semelhante(do ponto de vista da geometria euclidiana) a figura
original. E assim fazemos esta divisa˜o sucessivamente e as propriedades sa˜o mantidas. A
palavra vem do latim fractus que significa frac¸a˜o, algo quebrado. Destacam-se tambe´m pelo
fato de na˜o possuirem necessariamente dimensa˜o inteira, como veremos a seguir.
1
2.2 Algumas caracter´ısticas de um fractal
2.2.1 Auto-semelhanc¸a
Como mencionamos em 2.1, o conjunto total e´ constitu´ıdo por pequenas re´plicas desse
mesmo conjunto, ou seja, qualquer que seja a ampliac¸a˜o considerada, obteremos sucessivas
co´pias do objeto inicial(semelhantes). Podemos definir auto-semelhanc¸a como sendo um
processo de obtenc¸a˜o de figuras ampliadas, todas re´plicas de um dado objeto geome´trico
inicial. Ou seja, dado uma figura inicial, obtemos sucessivas co´pias desta, todas obtidas
atra´ves de um mesmo fator de reduc¸a˜o. E´ tambe´m denotada por Mandelbrot de homotetia
interna. Para tanto, temos dois tipos de homotetia: a exata e a aproximada. Veja exemplos
dos tipos abaixo.
Figura 1: Figura exata Figura 2: Figura aproximada
2.2.2 Dimensa˜o
Usaremos uma definic¸a˜o de dimensa˜o homote´tica ou tambe´m chamada de dimensa˜o fractal.
Estamos acostumados em trabalhar com dimenso˜es de figuras euclidianas, onde temos por
exemplo, figuras de dimensa˜o 1,2 e 3, ou seja, inteiras, ditas figuras euclidianas cla´ssicas.
Pore´m quando se trata de uma figura na˜o-euclidiana temos certas peculiaridades, depen-
dendo do tipo de objeto fractal que nos e´ disposto. Definamos a dimensa˜o fractal D como
segue
D = − lnN
ln r
onde N e´ o nu´mero de partic¸o˜es em que o objeto inicial e´ dividido e r e´ a raza˜o de semel-
hanc¸a. Um exemplo e o conjunto de cantor, pois neste caso, tomando um caso em que
N = 2, n´ıvel 2, e r =
1
3
sua dimensa˜o fractal e aproximadamente igual a 0, 630929753.
Observe que o valor D = − lnN
ln r
e´ o mesmo, pelas propriedades de func¸o˜es logar´ıtimicas,
calculado para qualquer etapa do processo. Veja pa´g. 4.
2.2.3 Complexidade infinita
Diz-se que o fractal possui complexidade infinita pelo fato de que nunca conseguiremos uma
representac¸a˜o geome´trica exata, visto que a quantidade de iterac¸o˜es e´ infinita, ou seja, na˜o
2
ha´ uma representac¸a˜o total o objeto fractal tomando a quantidade exorbitante de detalhes,
por exemplo, nunca desenhamos a poeira de cantor, apenas conseguimos desenhar uma
etapa finita do processo. Todo processo de iterac¸a˜o se da´ modo recursivo, ou seja, partindo
de um nu´mero inifito de iterac¸o˜es, toma-se a mesma fo´rmula, aplicando-as infinitas vezes.
3 Esponja de Menger
A esponja de Menger e´ um fractal de valia inestima´vel para o estudo da matema´tica.
Este leva consigo um parado´xo louva´vel: possui a´rea infinita e volume zero. Foi definido
pela primeira vez em 1926, pelo austr´ıaco Karl Menger, em seus estudos sobre topologia
dimensional. Neste trabalho na˜o levantaremos os aspectos envolvendo a topologia, pois o
foco principal e´, de maneira simples, apresentar o fractal em questa˜o. Abaixo temos uma
representac¸a˜o, em seu quarto esta´gio de iterac¸a˜o, do processo de construc¸a˜o do fractal.
Figura 3: 4o esta´gio do processo de construc¸a˜o da Esponja de Menger
Analisaresmos a construc¸a˜o da esponja de Menger. Comec¸amos tomando um cubo
qualquer de lado l e volume V0 = l
3. Dividindo cada face do cubo em nove quadrados,
obtemos novos vinte e sete cubos menores com arestas igual a
l
3
. Partindo disto, retira-se o
cubo menor no meio de cada face e o cubo menor do centro do cubo maior, resultando em
vinte cubos menores. Feito isto, temos o primeiro n´ıvel, onde n = 0, da esponja de Menger.
Repetindo o processo, temos uma segunda iterac¸a˜o, n = 1, que sera´ chamada de segundo
n´ıvel, onde o volume V1 da esponja sera´ determinado por
V1 = V0 − 7
(
l
3
)3
e mais adiante, o nosso terceiro n´ıvel, i = 2, onde repetindo o mesmo processo inicial
obtemos cubos menores de volume igual a
(
l
9
)3
. Assim, o volume geral da esponja, neste
n´ıvel segue da forma
V2 = V0 − 7
(
l
3
)3
−7
(
l
3
)3
20
3
Observe que a esponja de Menger e´ o limite de todo este processo sendo executado inu´meras
vezes. O nu´mero de cubos sera´ dado por 20n, onde n nada mais e´ que o nu´mero de iterac¸o˜es
feitas no cubo inicial. Agora, note que podemos reescrever a equac¸a˜o acima do seguinte
modo
V2 = V0 − 7l3
2∑
i=1
(
l
3
)3i
20i−1
Com efeito, temos que o volume da esponja de Menger, tomando o n-e´simo termo, e´ da
seguinte maneira
Vn = V0 − 7l3
n∑
i=1
(
l
3
)3i
20i−1 = 0
Enta˜o, calculando lim
n→∞
Vn = 0. Portanto conclu´ımos que quando o nu´mero de iterac¸o˜es
tende ao infinito, o volume tende a zero.
Agora partiremos para a ana´lise da a´rea do fractal. Denotaremos por A a a´rea da
esponja e utilizaremos o mesmo n para denotar o nu´mero de iterac¸o˜es, ou n´ıveis. Iniciando
por n = 0, temos que A0 = 6l
2, onde l e´ o lado do cubo. Assim, de modo ana´logo ao feito
acima, temos que para i = 1 a a´rea A1 e da forma
A1 = A0 + 6l
2
(
l
3
)2
20
Com efeito, temos que a a´rea da esponja de Menger, tomando o n-e´simo termo, e´ dado por
An = A0 + 6l
2
n∑
i=1
(
l
3
)2i
20i
Assim, calculando lim
n→∞
An =∞, e portanto, a a´rea tende ao infinito.
Ora, partindo das ana´lises anteriores a esponja de Menger e´ um fractal que possui
volume zero e a´rea infinita.
Abaixo temos a figura de representac¸a˜o de alguns n´ıveis da esponja de Menger.
Figura 4: Alguns n´ıveis da esponja de Menger
Por fim, calcularemos a dimensa˜o fractal deste. A esponja possui auto-similaridade
e, por conta disto, partiremos da fo´rmula definida em 2.2. Enta˜o, partindo do fato que
N = 20, para um esta´gio de n´ıvel 3 , e r = 1
3
, claramente visto pois o comprimento da
aresta de cada cubo e´ reduzido a` um terc¸o, a cada iterac¸a˜o. Portanto temos
D = − lnN
ln r
= − ln 20
ln
1
3
≈ 2, 7268...
4
Refereˆncias
[1] ASSIS, T. A. et al.Geometria fractal: propriedades e caracter´ısticas de fractais
ideais.Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 30, n. 2, 2304. 2008.
[2] MANDELBROT, B. B. Objectos Fractais: forma, acaso e dimensa˜o. Gradiva Pub-
licac¸o˜es, Lisboa, 1991.
[3] FERNANDES, J. A. Fractais: Uma nova visa˜o da matema´tica.Monografia (Graduac¸a˜oem matema´tica). UNILAVRAS, Lavras – MG. 2007.
[4] FUZZO, R. A. et al. Fractais: Algumas caracter´ısticas e propriedades. Fundac¸a˜o
Arauca´ria, FECILCAM, Arauca´ria - PR. 2009.
[5] MURR, C. et al. Fractais: Propriedades e construc¸a˜o. Monografia (Graduac¸a˜o em
matema´tica). Universidade do Parana´, Curitiba -PR. 2005
[6] WEISSTEIN, Eric W. Wolfram MathWorld. The Menger Sponge. Dispon´ıvel em math-
world.wolfram.com/MengerSponge.html. [Consultado em 30 de outubro de 2013].
[7] Wikipedia, the free encyclopedia.(2012). Menger Sponge. Dispon´ıvel em
http://en.wikipedia.org/wiki/Menger sponge. [Consultado em 30 de outubro de
2013].
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