A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
198 pág.
Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

Pré-visualização | Página 3 de 50

mil, cento e vinte e nove e oitenta e
nove cente´simos. Ja´ uma calculadora, usando uma notac¸a˜o importada, exibiria este nu´mero como
“ 3, 129.89 ”, que na˜o faz sentido na notac¸a˜o legal que devemos adotar.
pode ser representado por uma frac¸a˜o tais que o numerador e o denominador sejam nu´meros inteiros (vide uma demonstrac¸a˜o
elementar desse fato em [de Figueiredo, 2002], p.12, ou consulte [Maor, 1994] para uma histo´ria do nu´mero e) e vale aproxi-
madamente 2, 7182818284.
O nome neperiano vem de John Napier (1550-1617), um matema´tico escoceˆs que inventou os logaritmos e com isso, naquela
e´poca, reduziu em meses o tempo gasto com va´rios ca´lculos, principalmente os da Astronomia.
Apenas em 1737 e´ que o matema´tico suı´c¸o Leonhard Euler (1707-1783) (leˆ-se: \ o´iler \) provou a irracionalidade de e.
Euler esta´ no Guiness, o famoso Livro dos Recordes como o matema´tico mais produtivo de todos os tempos [Guiness, 1995].
Ele deixou trabalhos em praticamente todos as a´reas da Matema´tica que enta˜o existiam em sua e´poca. E´ conhecido no Ensino
Me´dio pelo Teorema de Euler para poliedros convexos: V −A+ F = 2.
11Nu´mero imagina´rio, raiz quadrada de −1. Aparece no estudo de nu´meros complexos.
12
1.2. Algumas das notac¸o˜es mais utilizadas
3. Na linguagem escrita ou falada, podemos utilizar palavras diferentes para expressar a mesma ide´ia.
Semelhantemente na Matema´tica, em decorreˆncia de motivos histo´ricos e de convenieˆncias de uso,
existem notac¸o˜es diferentes para representar o mesmo objeto.
Por exemplo, e´ bem conhecido que o produto de dois nu´meros a e b pode ser representado por
ab, a.b ou a× b.
A escolha ha´ de depender do contexto e de uma opc¸a˜o pessoal. Entretanto, diferentemente do
permitido na linguagem falada ou escrita, deve-se ser fiel em todo o texto a` opc¸a˜o escolhida. Na˜o
vale ficar mudando!
4. Na˜o represente conjuntos na forma
Evite: A ={conjunto dos nu´meros reais}.
Usamos o sı´mbolo {. . . } para que dentro das chaves possamos descrever as propriedades que
caracterizam um conjunto. Tambe´m podemos usar as chaves para listar nominalmente todos ele-
mentos de um conjunto.
Por exemplo,
A = {x ∈ IR;x > 4 e x3 − x ≤ 200},
C = {2, 8, 6, pi}.
1.2.2 Algumas notac¸o˜es da atualidade
1. Certos sı´mbolos matema´ticos tornaram-se ta˜o populares e de uso ta˜o amplo, que hoje sa˜o utilizados
com significados bem diferentes dos que foram originalmente adotados para eles na Linguagem
Matema´tica. Por exemplo, um jornal local anunciou a seguinte propaganda:
JORNAL + R$ 5,00 = CD COM QUESTO˜ES DO VESTIBULAR
2. Com o advento da computac¸a˜o, algumas notac¸o˜es tiveram de ser cria das para se adaptarem a`s
possibilidades dos sı´mbolos do teclado de um computador ou aos novos programas computacionais
matema´ticos. Vale a pena registrar as seguintes
23 = 2ˆ3, para a exponenciac¸a˜o
7.2 = 7*2, para o produto.
Escreve-se (
x2 + 7x
9
)3
,
como
[(xˆ2 + 7 ∗ x)/9]ˆ3.
13
Capı´tulo 1. A notac¸a˜o matema´tica
1.2.3 Como representar o infinito
(Esta sec¸a˜o podera´ ser melhor aproveitada por aqueles que ja´ teˆm conhecimento de limites de func¸a˜o,
em particular, limites infinitos e limites no infinito.)
Os sı´mbolos +∞ e−∞ na˜o denotam nu´meros. Sa˜o sı´mbolos empregados para representar “mais in-
finito” e “menos infinito”, respectivamente. Grosso modo, a ide´ia intuitiva de infinito positivo (negativo)
e´ de “algo” que seja ilimitado, no sentido de que “seja maior (menor) do que qualquer nu´mero real”. A
chamada Propriedade Arquimediana dos Nu´meros Reais, ou seja, o fato de que dado um nu´mero real
x, existe sempre um nu´mero natural n, de sorte que n > x, e´ um bom comec¸o que serve de inspirac¸a˜o
para entendermos a concepc¸a˜o do infinito12.
Alertamos que ao se trabalhar com a ide´ia de infinito, todo cuidado e´ pouco13.
Apresentamos a seguir algumas convenc¸o˜es que valem ao operar com esses sı´mbolos. Degustando
atentamente a ide´ia intuitiva que devemos ter sobre o infinito, na˜o e´ difı´cil se convencer que cada resul-
tado dessas operac¸o˜es deve ser mesmo o que agora apresentamos:
a.(+∞) = +∞, se a > 0 (±∞).(±∞) = +∞
a.(+∞) = −∞, se a < 0 a+ (±∞) = ±∞, para todo a ∈ R
(+∞) + (+∞) = +∞
Tabela 1.2: Operac¸o˜es com o infinito
Mais uma vez, advertimos que ∞ e´ apenas um sı´mbolo, e na˜o se comporta como um nu´mero. Para
corroborar ainda mais a nossa observac¸a˜o de que devemos permanecer atentos ao se manipular com o
infinito, listamos abaixo alguns sı´mbolos que fornecem o que chamamos de indeterminac¸o˜es, isto e´,
expresso˜es para as quais na˜o se podem assegurar o que elas significam, muito menos seu valor preciso.
E´ bom conheceˆ-las e lembrar-se delas, pois vez em quando aparecem (em particular, quando se estuda
limite de func¸o˜es)14:
∞−∞, 0.∞, 0
0
,
∞
∞ , (±∞)
0, 1±∞, 00
Tabela 1.3: Indeterminac¸o˜es
12A` parte as concepc¸o˜es matema´ticas sobre o infinito, ele, sob suas mu´ltiplas acepc¸o˜es e facetas, tem encantado e intrigado
escritores, teo´logos, filo´sofos, artistas, entre muitos. Vale citar uma estrofe bastante irreverente do mu´sico Paulinho da Viola:
“...se for preciso eu repito. Porque hoje eu vou fazer, a meu jeito eu vou fazer, um samba sobre o infinito” in ‘Para ver as
meninas’ (Samba infinito).
13Ja´ na Gre´cia Antiga, certos usos da ide´ia de infinito fizeram grandes estragos no raciocı´nio grego vigente, resultando em
paradoxos. Os mais famosos sa˜o os Paradoxos do Movimento de Zeno de Ele´a (tambe´m chamado de Zena˜o de Ele´a, Se´culo
V a.C.) (Vide [Boyer, 1974], pp. 55-56). A partir desse fato, os gregos evitavam ao ma´ximo o uso explı´cito do infinito no
raciocı´nio matema´tico. Falaremos sobre paradoxos no final da Sec¸a˜o 2.1
14A primeira vista, por mais estranho que possa parecer que alguns desses sı´mbolos representem indeterminac¸o˜es, ha´ razo˜es
matema´ticas para esse fato. Precisa-se apenas de um pouco mais de teoria matema´tica para convencer do que dissemos, mas
isso foge dos nossos objetivos. Apo´s um curso introduto´rio de Ca´lculo e´ possı´vel entender o porqueˆ dessas expresso˜es
resultarem em indeterminac¸o˜es, o que na˜o e´ nada d’outro mundo!
14
1.2. Algumas das notac¸o˜es mais utilizadas
1.2.4 Expresso˜es indeterminadas e expresso˜es impossı´veis
Com relac¸a˜o a`s frac¸o˜es, e´ preciso entender a diferenc¸a matema´tica dos termos expresso˜es indetermi-
nadas e expresso˜es impossı´veis.
Vejamos: sabemos que
6
2
= 3, pois 6 = 3.2; sabemos que
49
14
=
7
2
, pelo fato de que 49 = 14.
7
2
e, em geral, se a e b sa˜o nu´meros reais, sabemos que a igualdade
a
b
= c vale para algum c ∈ R, se
tivermos a = b.c e, reciprocamente. Caso a expressa˜o
0
0
tivesse algum valor determinado c, enta˜o pelo
que acabamos de descrever, 0 = c.0. Mas essa igualdade vale para qualquer nu´mero real c, donde
concluı´mos que na˜o se pode determinar um valor preciso para
0
0
. Nesse caso, dizemos que a expressa˜o
e´ indeterminada.
Seguindo o mesmo raciocı´nio, ja´ a expressa˜o
1
0
e´ impossı´vel, pois se
1
0
= c, para algum nu´mero
c real, enta˜o 1 = c.0. Mas na˜o existe um nu´mero c que satisfac¸a a u´ltima igualdade, o que resulta na
impossibilidade dela ocorrer.
EXERCI´CIOS:
1. Como ja´ dissemos, uma das formas mais usuais de criar notac¸o˜es e´ utilizar as iniciais dos nomes
dos objetos que se deseja representar. Das notac¸o˜es apresentadas nas tabelas da Sec¸a˜o 1.2, quais
delas foram criadas usando essa ide´ia?
2. Voceˆ conhece algum objeto na Matema´tica que possui mais de uma notac¸a˜o para representa´-lo?
Qual, ou quais?
3. TEMA PARA DISCUSSA˜O
UMA BOA NOTAC¸A˜O:
Pare, e pense um pouco na vantagem do nosso sistema de representac¸a˜o nume´rica, no qual usamos
os algarismos indo-ara´bicos. Diferente de va´rios outros sistemas nume´ricos que apareceram ao
longo da

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.