6_Estática_Resultante de um sistema de forças

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Estática I 
Resultante de um sistema de 
forças 
 
Profª MSc Liliane do Rocio Marconcin 
1 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Curso de Engenharia Mecânica 
Resultantes de um sistema de forças 
 
 
 
 
 
 
2 
• Forças externas e internas: 
 
 
 
 
 
 
• Para entender melhor os efeitos da ação de uma força 
sobre um corpo rígido dois novos conceitos devem ser 
introduzidos: 
–Momento de uma força em relação a um ponto; 
–Momento de uma força em relação a um eixo. 
Fext 
Fint 
Partícula 
Corpo rígido 
Fext 
Produto vetorial 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 � � � � � 
 
 
 
– A linha de ação do vetor � é perpendicular ao plano 
que contém P e Q; 
– A magnitude de � é dada por: V = P Q sen(θ) 
– O sentido de � é definido pela observação a partir 
da ponta de � da rotação anti-horária de � ao longo 
de θ em direção à � (regra da mão direita). 
Produto vetorial 
 
 
 
 
 
 
4 
 
– Interpretação geométrica: V é a área do paralelogramo 
formado por � � �; 
 
– O produto vetorial não é comutativo: 
 � � � � � � � 
 
– A propriedade distributiva é válida: 
 � � �	 
 �� � � � �	 
 � � �� 
 
– A propriedade associativa não é válida: 
 � � � � �
 � �� � �� � �
 
Q 
θ 
Q sen(θ) 
P 
Formulação cartesiana 
 
 
 
 
 
 
5 
• Produto vetorial entre vetores unitários: 
�̂ � �̂ � 0 �̂ � �̂ � �� �̂ � �� � ��̂ 
�̂ � �̂ � ��� �̂ � �̂ � 0 �̂ � �� � � ̂ 
�� � �̂ � �̂ �� � �̂ � ��̂ �� � �� � 0 
 
 
 � � � � � � ����̂ 
 ���̂ 
 ����� � ����̂ 
 ���̂ 
 ����� 
 
 
 
 
 
 �= �PyQz - PzQy� � ̂� �PzQx - PxQz� �̂ � �PxQy - PyQx� �� 
 
Momento em relação a um ponto 
 
 
 
 
 
 
6 
 • Formulação vetorial: 
 
 
 �� � �
 � �
 
 
 
 
– �� é perpendicular ao plano formado por �
 � �
; 
– A linha de ação de �� representa o eixo sobre o 
qual o corpo tende a rotacionar, se fixo em O e 
sujeito à �
; 
– O sentido de �� caracteriza o sentido de rotação 
que �
 impõe ao corpo. 
Momento em relação a um ponto 
 
 
 
 
 
 
7 
 • Formulação escalar: 
 �� � ����� 
 ��� �
!
"
 
 # � ���� 
 
 �� � �# 
 
– d é a distância perpendicular do eixo à linha de ação 
de �
; 
– d é chamado de braço de alavanca; 
– notar que MO não depende do ponto de aplicação 
de �
ao longo de sua linha de ação. 
 
Momento em relação a um ponto 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
• Em problemas definidos no plano (bidimensionais): 
 
 
 
 
 
 MA = +F d MA = -F d 
 (anti-horário) (horário) 
 
 
Convenção: + anti-horário (regra da mão direita) 
 
Teorema de Varignon 
 
 
 
 
 
 
9 
 “O momento em relação ao ponto O da resultante de 
diversas forças concorrentes é igual à soma dos momentos 
das diversas forças em relação ao mesmo ponto O.” 
 
 
 
 
 
 
�
 � �
	 
 �
� 
 �
$ 
⋯ � �
 � �
	 
 �
 � �
� 
 �
 � �
$ 
⋯ 
 (distributiva) 
 
O 
r 
x 
y 
z 
F1 
F2 
F3 
F4 
Princípio da transmissibilidade 
10 
 “Ao deslocar uma força ao longo de sua linha de ação, 
os efeitos que a mesma produz no corpo se mantêm.” 
 
 
�� � �
& � �
 � �
' � �
 � �
( � �
 
 
 
 
 
– O vetor �
 é um vetor deslizante, que não altera o momento 
criado em relação ao ponto O. 
Componentes retangulares do 
momento de uma força 
 
 
 
 
 
 
11 
• Considere o momento �� de uma força �
 com componentes Fx, Fy 
e Fz aplicadas em um ponto A de coordenadas x, y e z. 
 �
 � ���̂ 
 ���̂ 
 ���� 
 �
 � ���̂ 
 ���̂ 
 ���� 
 e 
 �� � �
 � �
 � ���̂ 
 ���̂ 
 ���� 
 
 onde 
 Mx = y Fz - z Fy 
 My = z Fx - x Fz 
 Mz = x Fy - y Fx 
 
• Os componentes escalares Mx, My, e Mz medem a tendência de 
rotação que a força �
 impõe sobre os eixos x, y e z, 
respectivamente. 
Momento resultante de um sistema 
de forças 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 �)* � ∑ �
 � �
 
 
 
Exemplo 
4.23 (Adaptado) Determine o momento produzido pela força �
 
em relação ao ponto A. Faça � 60°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�& � 1.439,23 5.6 
13 
Exemplo 
4.4 Duas forças agem sobre a barra mostrada. Determine o 
momento resultante que elas criam em relação ao flange em O. 
Expresse o resultado como um vetor cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Exemplo 
4.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� � 730�̂ � 40�̂ � 1860��9�5.6 
 
15 
Exemplo 
4.11 Determine o momento da força �
 em relação ao ponto O. 
Expresse o resultado como um vetor cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� � 300�̂ � 600�� 5.6 
 
16 
Exemplo 
4.12 Se �
	 � 7100�̂ � 120�̂ 
 75��95 e �
� � �200�̂ 
 250�̂ 
 100�� , 
determine o momento resultante produzido por essas forças em 
relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor 
cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
�)� � 97�̂ � 200�̂ 
 204�� 5.6 
 
17 
Momento em relação a um eixo 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
• Momento de uma força �
 em relação a um eixo arbitrário “a” 
que passa por O. 
– Análise escalar: 
�< � �#< 
 
– Análise vetorial: 
�� � �
 � �
 
 
�< � =>< ∙ �� 
 
 
�< � =>< ∙ ��
 � �
� 
 
 
Produto escalar triplo 
Produto triplo escalar 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
• Interpretação geométrica: volume do paralelogramo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
4.16 Determine o momento da força �
 em relação ao eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� � 210 5.6 
 
20 
Exemplo 
4.18 Determine o momento da força �
 em relação aos eixos x, y 
e z. Use análise escalar. 
 
 
 
 
 
 
�� � �360 5.6 
�� � �120 5.6 
�� � �160 5.6 
 
21 
Momento de binário 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
• Binário: duas forças não colineares, iguais e opostas, que 
produz uma tendência à rotação. 
 
• Formulação escalar: 
 M=Fd 
 
• O momento do binário age 
perpendicularmente ao plano 
que contém as forças. 
Seu sentido e direção são dados 
pela regra da mão direita. 
 
Momento de binário 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
• Formulação Vetorial: 
 
 �� � �
& � �
 
 �
' � ���
� 
 
 �� � �
& � �
' � �
 � �
 � �
 
 
 �
' 
 �
 � �
& �
 � �
& � �
' 
 
 �� � �
 � �
 
 
• O momento do binário pode agir em qualquer ponto, 
dependendo apenas do vetor posição �
 direcionado entre 
as forças. 
 
 
Momento de binário 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
• Binários equivalentes: produzem o mesmo momento com a 
mesma intensidade e direção. 
 
 
 
 
 
 
 
• Momento de binário resultante: 
 �) � ∑ �
 � �
 
 
 
Exemplo 
4.12 Determine o momento de binário agindo sobre o tubo 
mostrado. O segmento AB está direcionado 30° abaixo do plano 
x-y. 
 
 
 
 
 
 
 
�� � �130�̂ 5.6 
 
25 
Exemplo 
4.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�� � �130�̂ 5.6 
26 
Exemplo 
4.19 Determine o momento de binário resultante que age sobre 
a viga. 
 
 
 
 
 
 
 
�) � �7405.627 
Simplificações de um sistema de 
forças e binários 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
• Substituição de uma força por um binário: 
 
 
 
 
 
Simplificações de um sistema de 
forças e binários 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
• Força resultante: 
 �
) � ∑�
 
 
• Momento resultante: 
 �)* � ∑�� 
∑� 
 
 
 
 
Simplificações de um sistema de 
forças e binários 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
• Forças coplanares: 
 �
) � ∑�
 
 
 
 
 
 
 
 
Método Algébrico: 
1 – Escolha um ponto O de 
referência, mova todas as 
forças atuantes e calcule os 
momentos correspondentes; 
2 – Calcule a força @ e o 
momento MO resultante; 
3 – Ache a linha de ação de @ 
que resulta em MO. 
Simplificações de um sistema de 
forças e binários 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
• Forças paralelas: 
 �
) � ∑�
 
 
• Momento resultante: 
 �)* � ∑�� 
∑� 
 # �
ABC
DB
 
 
 
 
 
Simplificações de um sistema de 
forças e binários 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
• Quando o vetor resultante dos momentos � é paralelo 
à força resultante @, o mesmo é chamada de torçor. 
 
• Torçor: tende a transladar e girar o corpo em relação ao 
seu eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificações de um sistema de 
forças e binários 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer sistema geral de 
forças pode ser 
representado por um 
torçor aplicado ao longo 
de uma linha de ação 
única. 
Exemplo 
4.27 Substitua o carregamento do sistema por uma força e 
momento de binário resultante equivalente agindo no 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
FR= 1169 N 
(MR)A = -959,57 N.m 
 
34 
Exemplo 
4.29 Substitua o carregamento do sistema por uma força e 
momento de binário resultante equivalente agindo no 
ponto O. 
 
 
 
 
 
 
�
R� �300�̂ 
 150�̂ � 250�� 5.6 
(�))O � �650�̂ 
 375�� 5.6 
35 
Exemplo 
4.35 Substitua o carregamento mostrado por uma única 
força resultante equivalente e especifique as coordenados 
x e y de sua linha de ação. 
 
 
 
 
 
FR= 800 N 
x = 2,125 m 
y = 4,5 m 
 
36 
Redução de um carregamento 
distribuído simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
• A força resultante é equivalente a área sob a curva do 
carregamento. 
• A linha de ação da resultante passa pelo centro geométrico 
ou centroide da área ou volume sob o diagrama do 
carregamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Redução de um carregamento 
distribuído simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
4.42 Determine a força resultante e especifique onde ela atua 
na viga, medindo a partir do ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
FR= 160 N 
E̅ � 3,2	6 
 
39 
Exemplo 
4.40 Determine a força resultante e especifique onde ela atua 
na viga, medindo a partir do ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
FR= 9,5 kN 
E̅ � 1,56	6 
 
40 
Exemplo 
4.154 Determine a força resultante e especifique onde ela atua 
na viga, medindo a partir do ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
FR= 10,67 kN 
E̅ � 1	6 
 
41