VOLUMES DE REVOLUÇÃO

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VOLUMES DE REVOLUÇÃO 
 
( I ) MÉTODO DOS DISCOS CILÍNDRICOS ( ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO DOS X ) 
 
 
 
 
 
Seja 
 
 
 
 
 
Vi [ ( 
 )] 
 
V = ∑ [ ( 
 )] 
 
 
 
Logo, V = ∫ [ ( )] 
 
 
 
 
 
 OBS.: 
 ( ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO DOS Y ) 
 
 
 
 
V = ∫ [ ( )] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( II ) MÉTODO DOS ANÉIS (ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO DOS X ) 
 
 
 V = ∫ [ ( )] [ ( )] 
 
 
 
 
 OBS.: 
 ( ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO DOS Y ) 
 
 
 
 V = ∫ [ ( )] [ ( )] 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Mostre usando integração, que o volume de uma esfera de raio R é dado por 
 
 
 
 
02.Deduza a fórmula para o volume do tronco de cone circular reto, rotacionando o segmento de reta de ( 0, R) a 
(h, r) em torno do eixo x. ( R ) 
 
03. Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = √ pelo eixo x e pela reta 
x = 1 é rotacionada: 
 
 a) em torno do eixo x b) em torno do eixo y 
 
04. Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pelas curvas y = √ e y = é 
rotacionada: 
 
 a) em torno do eixo x b) em torno do eixo y c) em torno do eixo y =1 d) em torno do eixo x = 1 
05.Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x³, pelo eixo x e pelas retas 
x = 1 e x =2 é rotacionada: 
 
 a) em torno do eixo x b) em torno do eixo y c) em torno do eixo y = -1 d) em torno do eixo x = 2 
 
06.Uma parte do gráfico da curva y² = x³ é mostrada na figura a seguir. Ache o volume do sólido de revolução obtido 
quando a região citada for rotacionada em torno da reta indicada. 
 
 
 a) OAC em torno do eixo x b) OAC em torno da reta AC c) OAC em torno da reta BC 
 
 
 d) OAC em torno do eixo y e) OBC em torno do eixo y f) OBC em torno da reta BC 
 
 
 g) OBC em torno da reta AC h) OBC em torno do eixo x i) OAC em torno do eixo x = -1 
 
 
07.Ache o volume do sólido que resulta, quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08.Ache o volume do sólido gerado quando a região limitada pela curva x = 3 - 4y + y² e pela reta x = 3 é 
rotacionada em torno da reta citada. 
 
09.Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de y = – x²+ 1 e pelo eixo X em torno 
da reta indicada. 
 a) y = 1 b) x = 1 
 
10.Suponha que você possa escolher entre duas xícaras de café, do tipo mostrado, uma que se curva para fora e 
outra para dentro. Observando que elas têm a mesma altura e suas formas se encaixam perfeitamente, você se 
pergunta em qual xícara cabe mais café. 
 
 
 
 
Suponha que as xícaras tenham altura h, que a xícara A seja formada girando a curva x = f (y ) em torno do eixo y e 
que a xícara B seja formada girando a mesma curva em torno da reta x = k. Encontre o valor de k tal que caiba a 
mesma quantidade de café nas duas xícaras. A resposta deve ser dada em função da área e da altura h.