Pêndulo Balístico

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Universidade Federal de Integração Latino-Americana 
 
 
 
Camila Feck 
Fernando José 
Guilherme Garotti 
Lucas Timm 
 
 
 
 
 
 
 
Pêndulo Balístico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Foz do Iguaçu - PR 
2018 
 
Sumário 
 
 
 
 
 
1.Resumo --------------------------------------------------------------------- 2 
 
2.Introdução Teórica ------------------------------------------------------- 2 
 
3.Objetivo --------------------------------------------------------------------- 5 
 
4.Descrição Experimental ------------------------------------------------ 5 
 
5.Dados e Análise dos dados ------------------------------------------- 6 
 
6.Resultados e Discussões ---------------------------------------------- 9 
 
7.Conclusão ------------------------------------------------------------------ 10 
 
Referências --------------------------------------------------------------------11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
1.Resumo 
Para este relatório foi estudo conservação de energia e trabalho, 
colisões e energia potencial elástica. Através desses conteúdos 
podemos determinar a velocidade de lançamento de um projétil (no 
caso uma esfera de metal) em cada posição, calcular a posição do 
centro de massa do sistema pêndulo-esfera e estabelecer a constante 
elástica da mola do dispositivo lançador. Ao final foi realizado a 
construção de 2 gráficos. 
 
2.Introdução Teórica 
O pêndulo balístico foi inventado em 1742, com o objetivo de medir 
velocidades de projéteis por meio de colisões inelásticas com um corpo 
de massa muito maior. Sua maior aplicação foi em indústrias de 
armamentos, onde era medida a velocidade com que os projéteis 
lançados atingiam o alvo. Para se determinar essa velocidade, usa-se a 
conservação do momento linear e da energia mecânica​[​1]​. 
Neste experimento, um lançador de projétil dispara uma esfera de aço 
com velocidade de lançamento v​o​. A esfera é então capturada por um 
pêndulo de massa m​p​, constituindo-se assim o sistema pêndulo-esfera, 
de massa total M​[2]​. 
Quando o momento da esfera é transferido para o sistema 
pêndulo-esfera, este sistema oscila livremente, tal que seu centro de 
massa se desloque de uma altura h. A haste pendular é oca para 
diminuir sua massa e a maior parte do sistema pêndulo-esfera está 
concentrada perto da sua extremidade, com um comportamento típico 
de um pêndulo simples. O momento linear total do sistema é 
conservada durante a colisão da esfera com a haste. Assim, o momento 
da esfera um pouco antes da colisão é igual ao momento do sistema 
pêndulo-esfera imediatamente após a colisão​[2]​: 
 
 m​b​v​o​= MV​ ​ ​(1) 
 
onde V é a velocidade do sistema pêndulo-esfera imediatamente após a 
colisão, e M = m​b​+m​p​. 
2 
Durante a colisão, uma parte da energia cinética inicial da esfera é 
convertida em energia térmica. Porém, depois da colisão, o sistema 
pêndulo- esfera oscila livremente, onde pode-se assumir que a energia 
cinética do centro de massa do sistema se converte em energia 
potencial gravitacional. Na posição mais baixa, a energia cinética do 
sistema pêndulo-esfera é máxima, que é convertida totalmente em 
energia potencial gravitacional quando o centro de massa do sistema se 
encontra na posição mais alta. De acordo com a conservação da 
energia​[2] ​. 
 
 MV​2​ = Mgh ​ ​ ​(2)21 
 
onde g é o módulo da aceleração gravitacional e h é a altura (vertical) 
máxima que o centro de massa atinge​[2]​. 
A altura h pode ser calculada em função do comprimento L e do ângulo 
máximo que o pêndulo atinge​[2]θmax 
 
 L = x+h ​ ​ ​(3) 
 
onde L é a distância entre o ponto de rotação do pêndulo e centro de 
massa​[2] 
 
 x = Lcos( ) ​ ​(4)θmax 
 
substituindo a eq. (4) na eq.(3) , podemos encontrar h em termos de L e 
[2]θmax 
 
 h = L(1-cos( )) ​ ​(5)θmax 
 
 
combinando as equações (1) e (2) obtemos a velocidade de 
lançamento​[2]​ v​o 
 
 v​o​ = ​ ​(6) Mmb√2gh 
3 
 
 
 
substituindo M = m​b​+m​p​ e h dado na eq. (5), obtemos​[2] 
 
 v​o​ = (1+ ) ​(7)Mmb √2gL(1 os(θ ))− c max 
 
O dispositivo lançador possui uma mola interna responsável por 
impulsionar a bola, a qual é lançada com velocidade v​o​. A bola, ao sair 
do lançador, possui uma energia cinética dada por​[2] 
 
 E​c​= ​(8)m v21 b 2o 
 
Antes de ser lançada, a bola se encontra parada, acoplada 
magneticamente à mola que, por sua vez está comprimida. Isto constitui 
um sistema do tipo massa-mola, cujo a energia potencial elástica da 
bola, devido à força elástica da mola, é dada por​[2] 
 
 E​e​ =​ ​(9)kx21 2 
 
onde k é a constante da mola e x representa o quanto a mola está 
comprimida ou distendida( posição da mola fora do equilíbrio). 
De acordo com a lei de conservação de energia, a energia total E=E​c​+E​e 
deve permanecer constante. Desse modo, a energia total antes do 
lançamento E​A deve ser a mesma depois do lançamento E​D​. Enquanto a 
bola está parada, com a mola comprimida (antes de ser lançada), a 
energia total E​A ​é dada somente pela energia potencial elástica (E​c​=0). 
Após ser lançada, a bola possui apenas energia cinética, que agora 
corresponde à energia total E​D (E​e​=0). Portanto, a energia potencial 
elástica da bola, enquanto parada com a mola comprimida, é totalmente 
convertida na energia cinética imediatamente ao ser lançada com 
velocidade v​o​. Como a energia total E se conserva, temos que​[2] 
 
 E​A​ = E​D ​(10) 
4 
 
Substituindo as equações (8) e (9) na equação (10), temos​[2] 
 
 = ​(11)kx21 2 m v21 b 2o 
 
Logo, conhecendo-se o quanto a mola foi comprimida x, podemos 
encontrar a constante elástica da mola em termos da massa da bola m​b 
e da sua velocidade de lançamento v​o ​[2] 
 
 ​(12)k = x2
mv2o 
 
Os próximos passos deste relatório é constituído pelo objetivo, a 
descrição experimental, onde será contado em forma de prosa o passo 
a passo e os procedimentos realizados em sequência. Ainda temos que 
apresentação dos dados em tabelas, os resultados e discussões, nesta 
seção são discutidos os principais resultados obtidos e os seus 
significados, e por último temos a conclusão. Em anexos estão os 
cálculos e os gráficos necessários para a discussão do resultados. 
 
3.Objetivo 
Determinar a velocidade inicial de um projétil, explorando conceitos 
fundamentaiscomo Lei da conservação da energia. 
 
4.Descrição Experimental 
 4.1)Velocidade de lançamento: 
Para dar início ao experimento foi necessário medir as massas da bola 
e do pêndulo, então foi colocado 150g na base do pêndulo. 
Alinhando o lançador com o pêndulo, colocamos a bola no lançador que 
foi engatilhado na primeira posição. Iniciamos a gravação e puxamos a 
alavanca, parando quando a oscilação do pêndulo se tornou nula. 
Anotamos o valor de ângulo θ máximo e repetimos este processo 10 
vezes para conseguir uma média e um desvio padrão. Repetimos o 
processo agora com o gatilho na segunda e terceira posição. 
5 
Com o valor médio dos ângulos, obtivemos as suas velocidades de 
lançamento e as propagações de erros. 
 
 4.2)Posição do centro de massa L: 
Para este processo, foi engatilhado o lançador para atingir o maior valor 
de velocidade, puxamos o gatilho e seguramos o pêndulo em seu valor 
de maior ângulo. Retiramos o pêndulo do SMR com a bola acoplada ao 
pêndulo, até achar o ponto de equilíbrio. Anotamos a distância do centro 
de rotação até o centro de massa. 
 
 4.3)Constante elástica da mola: 
Para obtermos a constante elástica da mola, utilizamos um paquímetro 
e medimos a posição inicial do lançador com a bola dentro, depois 
fizemos o mesmo para as três posições de gatilho e preenchemos as 
tabelas. 
 
5.Dados e Análise dos dados 
Temos que a massa da esfera ( ) vale 16,292 g, a massa do pêndulo mb 
( ) 47,585 g e o comprimento L entre o furo da extremidade e o centromp 
da esfera é 70 cm. 
 
Tabela 1: Ângulo máximo sem peso 
Medida θ1 ± σI θ2 ± σI θ3 ± σI 
1 6,390° ±
-1,15x10​-15​° 
8,910° ± 
-1,41x10​-15​° 
11,970° ±
-1,16x10​-15​° 
2 6,660° 0± 8,910° ± 
-2,73x10​-16​° 
11,610° 0± 
3 6,570° 0± 8,730° 0± 11,790° ± 
-0,090° 
4 6,660° ± 
-6,46x10​-16​° 
8,640° 0± 11,700° 0± 
5 6,660° 0± 8,730° -0,090°± 11,790° 0± 
6 
6 6,590° 0± 8,910° ±
-1,73x10​-16​° 
11,970° ±
-3,03x10​-15​° 
7 6,660° -0,01°± 8,910° ±
-5,49x10​-15​° 
11,710° 0± 
8 6,570° 0± 8,730° 0± 11,680° 0,070°± 
9 6,660° ±
-1,23x10​-16​° 
8,640° ±
-3,64x10​-16​° 
11,700° 0± 
10 6,700° 0± 8,730° 0± 11,790° ±
-3,96x10​-15​° 
Média 6,612º 8,784º 11,771º 
= Erro instrumental, neste caso será o menor ângulo fornecido peloσI 
programa Pasco 
 
Tabela 2: Velocidades de lançamento 
v​o1 1,49 m/s 
v​o2 1,97 m/s 
v​o3 2,64 m/s 
 
= Erro instrumental, neste caso será o menor ângulo fornecido peloσI 
programa Pasco 
 
Tabela 3: Ângulo máximo com peso de 100g 
Medida θ1 ± σI θ2 ± σI θ3 ± σI 
1 9,180° 0± 12,240° 0± 16,290° ±
-9,93x10​-17​° 
2 9,180° 0± 12,330° ±
-8,20x10​-16​° 
16,380° ±
-3,85x10​-15 
3 9,000° ±
-5,49x10​-16​° 
12,330° 0± 16,470° 0± 
4 9,090° 0± 12,240° ± 16,650° 0± 
7 
-0,090° 
5 9,180° 0± 12,240° ± 
-0,090° 
16,830° 0± 
6 9,140° ±
-1,15x10​-15​° 
12,230° 0± 16,920° ±
-1,41x10​-15​° 
7 9,180° 0± 12,330° ±
-1,16x10​-15​° 
16,730° 0± 
8 9,090° 0± 12,330° 0± 16,740° 0± 
9 9,090° 0± 12,240° 0± 16,650° 0± 
10 9,180° ±
-2,35x10​-15​° 
12,240° ±
-3,64x10​-16​° 
 
16,930° 0± 
Média 9,131º 12,275º 16,659º 
 
Tabela 4: Ângulo máximo em função da velocidade de lançamento 
Posição do 
lançador 
v​o θmed sen )( 2
θ 
1 3,29 m/s 0,02± 
m/s 
9,131º 0,062º± 0,076 0,004± 
2 4,42 m/s 0,01± 
m/s 
12,257º 0,047º± 0,10691 ±
0,00004º 
3 5,99 m/s 0,08± 
m/s 
16,659º 0,219º± 0,145 0,002± 
 
A distância L​` ​compreendida entre o centro de rotação e o centro de 
massa : L​ ​`= 35,6 cm. 
 
Tabela 5: Velocidade de lançamento em função da posição do lançador 
Posição do 
lançador 
x xΔ v​o 
8 
0 0,016 m ±
0,00005 
0,016 m ±
0,00010 
12,70 m/s 0± 
1 0,0363 m ±
0,00005 
0,0203 m ±
0,00010 
12,32 m/s 0± 
2 0,0487 m ±
0,00005 
0,0124 m ±
0,00010 
12,08 m/s 0± 
3 0,065 m ±
0,00005 
0,0163 m ±
0,00010 
11,75 m/s 0± 
 
 Tabela 6: Velocidade de lançamento em função da posição do lançador 
Posição do 
lançador 
x xΔ v​o k 
1 0,0363 m ±
0,00005 
0,0203 m ±
0,00010 
3,29 m/s ±
0,02 m/s 
133,8 N 
2 0,0487 m ±
0,00005 
0,0124 m ±
0,00010 
4,42 m/s ±
0,01 m/s 
134,2 N 
3 0,065 m ±
0,00005 
0,0163 m ±
0,00010 
5,99 m/s ±
0,08 m/s 
138,3N 
 
Os Gráficos foram feitos a partir das tabelas 4 e 6. 
 
6.Resultados e Discussões 
Todos os resultados deste experimento foram satisfatórios para 
encontrarmos a velocidade do projétil. Isso se comprova na tabela 1 e 2, 
em que conforme alteramos a velocidade do projétil (controlamos isso) o 
ângulo chegou à um valor diretamente proporcional no sistema 
pêndulo-esfera. 
Nas tabelas 3 e 4 aumentamos a massa do pêndulo, e diminuímos seu 
comprimento, então ocorreu uma alteração na velocidade e isso ocorreu 
porque na equação (7) ao aumentarmos a massa total, aumentamos a 
velocidade do projétil, e ao diminuirmos pela metade o comprimento do 
pêndulo, alteramos também a velocidade do projétil, tudo isso de acordo 
9 
com a equação (7) na qual podemos ver em termos de significância a 
alteração da massa e do comprimento do pêndulo. 
Na tabela 5 conforme foi explicado na folha de cálculos utilizamos da 
equação (3) para encontrar h em termos de x para substituir na equação 
(6) e assim calcularmos em termos de x a velocidade do projétil, e ao 
encontrarmos as tais, foi satisfatório em termos de ordem, pois quando 
x cresce, a velocidade do projétil cai, lembrando que x é a diferença 
entre o comprimento do pêndulo e a altura h deslocada, então quanto 
menor h, maior é o x, logo, menor será a velocidade e isso se comprova 
nos nossos resultados, talvez falar por volta de 12 m/s seja 
extremamente alta a velocidade, mas com os dados que temos, foi isso 
que encontramos. 
O gráfico ângulo máximo em função da velocidade de lançamento, tem 
um comportamento linear crescente, vemos que os pontos estão muitos 
próximos da reta ideal, isso nos diz que os dados foram obtidos com 
muita precisão e que os erros instrumentais e estatísticos foram baixos. 
No gráfico velocidade de lançamento em função da posição do 
lançador, notamos o mesmo comportamento linear crescente e também 
que os dados obtidos estão com uma precisão apurada. 
 
7.Conclusão 
Tendo em vista as somas de erros aleatórios, possíveis pequenos erros 
de acurácia, erros instrumentais e perdas de energia pelo sistema 
podemos concordar que o experimento é algo bem didático e mostra 
claramente uma conservação, no caso de cinética para potencial 
gravitacional, e com isso podendo definir a velocidade com que o projétil 
acerta o objeto, e como podemos ver nos resultados, essa velocidade 
que o projétil atinge o alvo é praticamente a mesma, e mostrando que 
quanto maior a massa final do sistema menor é sua altura máxima de 
alcance(como já mostrado em equação).Com isso podemos concluir 
que o experimento é muito bom para demonstrar a teoria de uma forma 
simples, sempre levando em conta os erros. 
As divergências vistas ocorrem devido a diferença que ocorreu em L, 
com todos os componentes da fórmula 
 v​o​ = (1+ )Mmb √2gL(1 os(θ ))− c max 
10sendo praticamente constantes (as pequenas diferenças se devem aos 
erros) podemos ver que o ângulo será maior pois como a energia se 
mantém em grande parte no sistema então a mesma que fazia uma 
corda longa fazer um arco grande ira fazer uma corda menor formar um 
ângulo maior para que as alturas se equiparem, já que H é constante 
também, pois neste caso a energia do disparo irá se transformar em 
potencial gravitacional e não ser que algo como impeça ela alcançará 
uma altura proporcional a energia fornecida. 
O centro de massa irá influenciar na altura que o objeto vai alcançar 
pois quantos mais no centro do sistema o centro de massa/gravidade 
estiverem mais o movimento será perfeito, longo e mais condizente com 
a teoria. A diferença entre os comprimentos medidos está na massa 
dos sistemas. 
 
 
Referências 
​​[1] ​CAMARGO, Natália. ​Determinação do coeficiente de 
atrito estático e cinético. ​​Disponível 
<​https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/viewFile/99
03/9238​>. Acesso em: 27/11/2018 
 
 
[2]​ Roteiro pré relatório dado em aula. 
11