apostila fisica 1. 2019

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UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ 
 
Apostila de Física 
Cinemática 
1º semestre 
 
Profª Amanda Romão de Paiva 
 
 
 
 
 
2019 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota 
Essa apostila foi formulada/adaptada baseada na Apostila de Física do 
professor Thomaz Barone, da Universidade de Taubaté - UNITAU. 
Destina-se aos alunos dos cursos de Engenharia (2019), com o intuito de 
auxiliá-los nos estudos durante a disciplina. 
Sendo assim, fica proibido a reprodução deste material para outros fins. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
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Sumário 
1. O Sistema Internacional de Unidades (SI) ................................ 04 
 1.1. Unidades Derivadas ........................................................... 06 
2. Referencial e vetores ................................................................ 07 
3. O vetor posição ......................................................................... 10 
4. O vetor velocidade ................................................................... 14 
5. Movimento Retilíneo Uniforme ................................................ 18 
 5.1. Classificação do movimento .............................................. 20 
6. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ........................ 30 
 6.1. Conceito de Aceleração ..................................................... 30 
 6.2. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ................. 32 
7. Movimentos Verticais ............................................................... 40 
8. Funções Horárias dos Movimentos .......................................... 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
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1. O Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 Um sistema de unidades apresenta-se basicamente dividido em duas classes 
de unidades: as unidades fundamentais, aquelas que podem ser definidas 
apenas pela convenção, e as unidades derivadas, ou aquelas que são 
formadas a partir de combinações lineares (multiplicação ou divisão) das 
fundamentais. 
Dado o caráter “universal” do conhecimento científico em determinado 
momento histórico sentiu-se a necessidade de que as medidas em trabalhos 
científicos apresentassem-se no mesmo conjunto de unidades, independente 
da época, língua ou nacionalidade em que sejam produzidas, então em 1971, 
na 14ª Conferencia Geral de Pesos e Medidas, foi criado o Sistema 
Internacional de Unidades (S.I.), partindo-se do antigo sistema métrico decimal 
Frances que fora pensado durante a Revolução Francesa do século XIX. 
Segundo esse sistema de unidades existem sete unidades denominadas 
fundamentais e inúmeras derivadas. As fundamentais são: 
Grandeza Unidade Símbolo 
comprimento Metro m 
tempo Segundo s 
massa Quilograma kg 
temperatura Kelvin K 
Corrente 
elétrica 
Ampere A 
Intensidade 
luminosa 
Candela cd 
Quantidade 
de matéria 
Mol mol 
 
Curiosidades: 
 A unidade oficial de tempo não é a hora, mas sim o segundo; 
 A unidade oficial de massa não é o grama, mas o quilograma; 
 A unidade oficial de temperatura não é o grau Celsius, mas o kelvin, que 
não leva grau; 
 Massa e quantidade de matéria são grandezas diferentes, como será 
visto adiante. 
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De todas as grandezas, a única que apresenta um sistema de unidades não 
decimal é o tempo, que apresenta um sistema sexagesimal, ou seja, baseado 
no numero 60. Assim: 
1h = 60min = 3600s 
1 min = 60s 
Todas as outras unidades apresentam-se de forma decimal, o que permite a 
utilização de múltiplos e submúltiplos, ou seja, representações para os 
expoentes das potências de dez a partir da unidade base, tais representações 
são representadas pelos prefixos, letras colocadas antes das unidades de 
medida que representarão o expoente da potência, devido a isso geralmente os 
valores são escritos em notação científica, para facilitar uma representação em 
ternos dos múltiplos. 
Segue-se a tabela de múltiplos e submúltiplos utilizados no sistema 
internacional de unidades: 
Fator Prefixo Símbolo 
1024 Iota Y 
1021 Zeta Z 
1018 Exa E 
1015 Peta P 
1012 Tera T 
109 Giga G 
106 Mega M 
103 Quilo k 
102 Hecto h 
10 Deca da 
10-1 Deci d 
10-2 Centi c 
10-3 Mili m 
10-6 Micro µ 
10-9 Nano n 
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10-12 Pico p 
10-15 Femto f 
10-18 Atto a 
10-21 Zepto z 
10-24 Iocto y 
 Segundo a potência de dez aferida quando se escreve o resultado em notação 
científica utiliza-se este ou aquele prefixo no lugar da potência, por exemplo: 
a) 2.437.568m ≈ 2,4.106 m = 2,4 Mm 
b) 0,00005 g = 5.10-5g = 50.10-6g = 50µg 
Observe que o prefixo substitui a potencia de dez, facilitando a escrita, bem 
como atente para o fato de que os prefixo que representam múltiplos com 
potências maiores que 3 apresentam-se em letras maiúsculas e os que 
representam submúltiplos com potências menores que -3 apresentam-se com 
letras minúsculas. O expoente da potência de dez na notação científica é 
também chamado de ordem de grandeza da grandeza medida. 
1.1. Unidades derivadas 
As unidades derivadas são aquelas formadas a partir das unidades 
fundamentais utilizando-se das formulações físicas. Por exemplo, sabemos que 
velocidade média é a razão (divisão) entre o deslocamento de um móvel e o 
tempo gasto durante esse deslocamento, assim a unidade de medida da 
velocidade será a razão entre as unidades de medida das grandezas 
mencionadas: deslocamento e tempo. 
Velocidade = 
𝒅𝒆𝒔𝒍𝒐𝒄𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐
 
Então, sua unidade de medida será: 
Velocidade =
𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 (𝒎)
𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐(𝒔)
 
Ou seja: a velocidade é dada em metros por segundo (m/s). 
 Algumas vezes a combinação entre unidades fundamentais recebe um nome 
especial, por exemplo, sabemos pela segunda lei de Newton que a força 
resultante sofrida por um corpo é igual ao produto da massa desse corpo pela 
aceleração por ele sofrida. 
F = m .a 
Utilizando as unidades correspondentes: 
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F = kg .
𝒎
𝒔𝟐
 
A força deveria ser dada em quilogramas vezes metro por segundo ao 
quadrado, mas essa unidade de medida recebe o nome especial de Newton, 
ou seja: 
1N = 1 kg.
𝒎
𝒔𝟐
 
Uma das considerações feitas sobre a veracidade de uma equação é 
justamente sua coerência com relação às unidades de medida nela expressas. 
Ao buscar uma equação para medir energia de algum sistema, por exemplo, a 
combinação das unidades de medida das grandezas relacionadas 
obrigatoriamente tem que resultar em uma unidade de medida de energia, 
usando uma linguagem mais técnica: a equação deve ter dimensão de energia. 
A esse estudo dá-se o nome de Analise Dimensional de uma Equação. Se uma 
equação não for dimensionalmente coerente ou consistente então já se parte 
da premissa que esta equação não é válida. 
2. Referencial e Vetores 
Uma vez determinada a grandeza física através de sua unidade de medida, 
podemos observar que, quando se trata de movimentos não é suficiente 
quantificar a grandeza, mas também localizá-la, a própria noção de repouso e 
de movimento irá depender desta localização, um exemplo é a posição de um 
corpo. L. Landau bem coloca isso: “quando falamos da posição de um corpo no 
espaço, nos referimos sempre, implicitamente, `sua posição em relação a 
outros corpos.” (Landau&Rumer, 2004)precisamos também de um 
direcionamento o que nos coloca em frente a dois desafios, primeiramente 
como proceder a localização e subseqüentemente como representar 
matematicamente o direcionamento. Tais problemas foram resolvidos com a 
adoção de um sistema de referencias. 
No dia a dia pode-se utilizar de qualquer elemento visível como sistema de 
referência, uma placa, um arbusto, um marco, todavia no desenvolvimento da 
teoria mecânica houve a necessidade de se estipular um referencial 
matemático que representasse facilmente o universo real. Tal conquista foi 
obtida aderindo o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, ou seja, 
composto por três eixos coordenados e ortogonais entre si, assim, cada eixo 
representa uma direção no espaço e o “lado” em relação à origem o sentido. 
Um ponto qualquer no espaço pode ser definido por três valores que serão 
chamados dimensões, e que representarão a relação entre o valor, a direção e 
o sentido da grandeza. 
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As dimensões serão os valores coordenados desse ponto no espaço. 
Dependendo do numero de dimensões teremos a dimensionalidade do 
problema em questão. 
 
 
“(...) na prática uma „dimensão‟ pode ser entendida como uma „coordenada‟: 
um valor numérico que nos ajuda a localizar algo.” 
 
Com isso pode-se diferenciar as grandezas físicas como aquelas que podem 
ser representadas em um sistema coordenado ou não.“As quantidades que são 
invariáveis sob uma transformação de coordenadas – que obedecem a uma 
equação desse tipo – são denominadas grandezas escalares” (THONTON, 
Stephen T., MARION, Jerry B., Cengage Learning, 2011). 
 Grandezas vetoriais: são aquelas que podem ser representadas no 
sistema de referencias, geralmente relacionadas a movimento, como por 
exemplo o deslocamento de um móvel; 
 Grandezas escalares:são aquelas que não podem ser representadas em 
um sistema de coordenadas como, por exemplo, o valor da massa de um 
objeto. 
Uma grandeza vetorial é representada no sistema coordenado através de um 
segmento de reta orientado denominado vetor. 
Vetor é um agente matemático composto por um módulo (valor), uma direção e 
um sentido. 
Cada direção (eixo coordenado) num sistema retangular cartesiano é 
determinada por um vetor unitário denominado versor. O versor é representado 
pela letra com um circunflexo, assim, por definição: o eixo x é representado 
pelo 𝒊 , o eixo y pelo 𝒋 e o z pelo 𝒌 . 
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 Assim, um vetor pode ser determinado de forma analítica através das 
coordenadas do seu ponto extremo multiplicadas pelos versores. 
 
O vetor acima seria escrito como sendo: 
 
𝒓 = 𝑨𝒊 + 𝑩𝒋 + 𝑪𝒌 
 
 Os valores A, B e C (cujos valores são exatamente os valores das 
coordenadas, ou dimensões) são denominados componentes do vetor 𝒓 , 
observe que os componentes não são vetores, mas sim números que 
representam justamente as coordenadas do extremo do vetor, mas apenas se 
este partir da origem do sistema, caso contrário ele pode ser trasladado para a 
origem desde que conserve todas as suas propriedades. 
 Seu módulo (valor total) será: 
 
 𝒓 = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐 
 
É interessante observar que por definição o módulo de um vetor é um escalar 
positivo (Young & Freedman, pag.12, 2008) , uma vez que independe da 
direção e resulta de uma soma de quadrados. 
 
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3. O Vetor posição 
 A mecânica, como já foi visto, é o estudo do movimento. Mas, antes de discutir 
as propriedades de um movimento há a necessidade de conceituá-lo, para 
tanto, inicialmente devemos ser capazes de determinar a posição de um corpo 
material, seja ele extenso ou pontual, dentro de um referencial tridimensional. 
 Já foi visto que, num sistema coordenado cartesiano utilizado como referencial 
e, portanto, com sua origem situada exatamente no ponto tomado como 
referência, um ponto qualquer no espaço será definido através de três 
coordenadas ordenadas P = P(x,y,z). 
Pode-se definir nesse referencial a posição de um corpo como sendo a 
distância a que esse corpo se encontra da origem do sistema coordenado. O 
que leva à sua orientação P, isso é, uma posição no espaço pode ser 
representada matematicamente como um ponto sobre um sistema cartesiano 
tridimensional onde as coordenadas desse ponto indicam a posição da 
partícula. Assim sendo, posso traçar um vetor, iniciado na origem e terminando 
no ponto em questão ao qual se denomina vetor posição. Ou seja: 
 
O vetor posição de uma partícula em dado instante é um vetor que vai da 
origem do sistema coordenado utilizado como referencial até o ponto P. 
 
 
 Observando atentamente, fica claro que, as componentes do vetor posição em 
termos dos versores nada mais são que as coordenadas do vetor. Isso 
significa que, tratando-se o vetor posição de uma partícula por vetor 𝒓 teremos, 
para o ponto P = P(x,y,z): 
 
 
𝒓 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 
 
 
 Assim, em um determinado instante de tempo o vetor 𝒓 caracteriza a posição 
de um corpo dentro de um referencial. Se, em um dado instante posterior, o 
vetor posição dessa partícula mudar, afirmamos que houve movimento da 
partícula, em outras palavras, quando dizemos que o corpo se deslocou no 
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espaço, devemos simplesmente entender que se alterou sua posição em 
relação a outros corpos.(Landau &Rumer, pag.26, 2004) Ou seja: 
 
Caracteriza-se movimento à mudança de um vetor posição com o passar do 
tempo dentro de um referencial. 
 
 Dessa definição fica clara a dependência do conceito de movimento com o de 
referencial, o que leva à conclusão que só faz sentido falar em movimento se 
antes definir-se o referencial adotado, 
 
“é assim que o mundo se comporta e é o que a matemática das leis de Newton 
reflete (...) o conceito de movimento só faz sentido quando se relaciona com 
outros objetos.” (Hawkins, S., Mlodnow, L.; pag. 32, 2005) 
 
 Partindo dessa premissa busca-se uma grandeza física que se mantenha 
constante independente do referencial, para tanto se define a variação da 
posição, já que, uma vez que a realidade é a mesma, a variação deve ser a 
mesma, ou seja, se um corpo está em movimento, isto é, se seu vetor posição 
está mudando no tempo, então posso definir uma variação no vetor posição: 
 
 
 
Essa variação ocorre em um determinado tempo. Posso então definir essa 
variação como sendo a diferença entre os vetores posição: 
 
 
 
Todavia, a diferença entre dois vetores é, também um vetor, isso é, não 
necessariamente representa o movimento real, uma vez que, necessariamente 
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a variação deve ser retilínea. Nesse caso então torna-se necessário diferenciar 
algumas características do movimento: 
 Trajetória: o desenho que o movimento realiza no referencial; 
 Espaço percorrido: o tamanho real da trajetória; 
 Deslocamento: o vetor resultante da variação do vetor posição. 
 
Com isso, pode-se então definir: se 𝒓𝟏 e 𝒓𝟐 são os vetores posição de uma 
partícula respectivamente nos instantes t1 e t2, define-se o deslocamento como 
sendo: 
 
 
∆𝒓 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 
 
 
Onde: 
Δr = deslocamento => [Δr] = m 
r2= vetor posição final => [r2] = m 
r1 = vetor posição inicial => [r1] = m 
 
Observe que, uma vez sendo resultado de uma subtração vetorial o 
deslocamento tem que obrigatoriamente ser vetorial,isto é, obrigatoriamente 
deve ser uma reta e apresentar direção e sentido. Todavia embora cada vetor e 
posição seja dependente do referencial assumido, o deslocamento não é. 
Outra característica interessante a respeito do deslocamento é que ele só se 
iguala ao espaço percorrido no caso de o movimento ocorrer em trajetória 
retilínea. 
 
Exercícios 
1) Um gry é uma antiga medida inglesa para comprimento definida como 1/10 
de uma linha, onde linha é uma outra medida inglesa para comprimento, 
definida como 1/12 da polegada. Uma medida comum no ramo de publicação é 
um ponto definido como 1/72 da polegada. Qual é a área de 0,5 gry² em 
ponto²? 
2) O Sistema Internacional de unidades (SI) adota sete unidades fundamentais 
para grandezas físicas. Por exemplo, a unidade da intensidade de corrente 
elétrica é o ampère, cujo símbolo é A. Para o estudo da Mecânica usam-se três 
unidades fundamentais associadas às grandezas físicas: comprimento, massa 
e tempo. Nesse sistema, a unidade determine a unidade de potência mecânica. 
3) Uma determinada marca de automóvel possui um tanque de gasolina com 
volume igual a 54 litros. O manual de apresentação do veículo informa que ele 
pode percorrer 12 km com 1 litro. Supondo-se que as informações do 
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fabricante sejam verdadeiras, determine a ordem de grandeza da distância, 
medida em metros, que o automóvel pode percorrer, após ter o tanque 
completamente cheio, sem precisar reabastecer. 
4) No painel de um carro, está indicado no velocímetro que ele já "rodou" 
120000 km. Determine a ordem de grandeza do número de voltas efetuadas 
pela roda desse carro, sabendo que o diâmetro da mesma vale 50 cm. Adote π 
= 3. Despreze possíveis derrapagens e frenagens. 
 
 
4. O vetor velocidade 
Independente do desenho da trajetória, uma vez que o vetor posição está 
mudando, significa que passa certo tempo para que essa mudança ocorra, com 
isso podemos calcular a razão com que a variação ocorre no tempo. A essa 
razão, dá-se o nome de Velocidade. 
 
Velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo 
necessário para que essa variação ocorra. 
 
O estudo da velocidade remonta às origens da física. Para Aristóteles a 
velocidade se manteria enquanto o agente causador do movimento se 
mantivesse em contato com o corpo, ou seja, enquanto houvesse força agindo 
sobre o corpo ele se moveria. Já para Philoponus, um filósofo medieval, o 
corpo, ao ser arremessado receberia uma força, que ele chamou de ímpeto e 
que iria se dissipando ao longo do movimento. Enquanto houvesse ímpeto 
haveria movimento e, portanto velocidade, uma vez cessado esse ímpeto o 
movimento, e, portanto, a velocidade, cessaria: 
“Um filosofo alexandrino chamado IohannesPhiloponus (490d.C – 570d.C), 
também conhecido como João, o Gramático, se opôs às ideias aristotélicas 
sobre esse assunto e alguns outros. De acordo com ele ao ser arremessado, 
um corpo recebe uma espécie de força motriz, que seria transferida do 
lançador para o projétil, permanecendo nele mesmo após o fim do contato. 
Com o passar do tempo, tal „força‟ se dissiparia espontaneamente, fazendo 
com que o movimento se encerrasse. Mais tarde essa ideia ganhou o nome de 
teoria do ímpeto (impetus, em latim). Essa noção pode ser considerada o 
conceito primordial de inércia.” 
Porque as coisas caem, Alexandre Cherman& Bruno Rainho Mendonça, Ed 
Zahar 2010, pag.60 
 
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Coube a Galileu entender que todos os corpos tendem a manter sua 
velocidade, ou seja, ela não depende da força para ocorrer nem para se 
manter. 
Galileu observou que, ao contrário da ideia aristotélica ou mesmo a do ímpeto, 
os corpos não precisam de nada para manter sua velocidade, ao contrário, a 
necessidade é justamente para alterá-la. A velocidade de um corpo é uma das 
grandezas que definem seu estado mecânico. 
 
Estado físico é o conjunto de valores que definem a realidade de um corpo 
segundo as características estudadas. 
 
Em outras palavras o corpo tende a manter sua velocidade, ainda que ela seja 
nula, mas sempre mantê-la. Isso é devido a uma propriedade geral que a 
matéria apresenta: a Inércia. 
 
 Assim, o estado mecânico de um corpo, ou seja, seu estado de movimento, é 
definido principalmente por sua velocidade. 
 
Se a velocidade é constante no tempo o movimento é dito uniforme e se a 
velocidade for variável no tempo o movimento será dito variado. 
 
É lógico que na prática nenhum movimento ocorre com velocidade constante, 
ao contrário, de forma quase geral os movimentos apresentam variações de 
velocidade. Exemplos naturais de movimento uniforme seriam a luz viajando no 
vácuo absoluto, onde não houvesse sequer um campo gravitacional que 
alterasse essa velocidade, ou mesmo o ar em um meio completamente 
homogêneo, sem sequer variação de temperatura. Nesse caso o importante 
não seria a velocidade média, mas sim a velocidade ponto a ponto, o valor real, 
uma vez que esse vai se diferenciando ao longo do movimento, essa 
velocidade é chamada instantânea. 
 
Velocidade instantânea é a velocidade que o móvel adquire ponto a ponto, isto 
é, instante a instante. 
 
Isso reforça ainda mais a ideia de que o tempo é algo de extrema importância 
na mecânica newtoniana, isso porque para Newton e os cientistas que o 
sucederem pelos próximos quatro séculos antes de Einstein, o tempo é uma 
sequência constante, cujo fluxo seria idêntico para qualquer observador, em 
qualquer referencial. Dois observadores em dois referenciais diferentes com 
certeza mediriam os mesmo intervalos de tempo segundo Newton, o que para 
nós ainda faz sentido, mas infelizmente a natureza não busca fazer sentido 
para nosso senso comum. Einstein provou que o tempo pode correr diferente 
para observadores diferentes em diferentes pontos ou diferentes velocidades, 
todavia para os objetivos de nosso curso, baixas velocidades e grandes 
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dimensões, podemos tratar a variação de tempo como uma constante de 
transformação, isto é, ao se mudar de um referencial para outro, o intervalo de 
tempo, como o de posição, não se modifica. 
 
Uma constante de movimento é a grandeza que não se modifica quando 
alteramos o referencial assumido 
 
 
Velocidade Média 
 
Em um movimento, se considera o deslocamento uma variação do vetor 
posição. Sendo uma variação vetorial, o deslocamento será então um vetor, ou 
seja, deve ser considerado em linha reta. 
Como geralmente o espaço percorrido, e, portanto a trajetória, em intervalos 
longos de tempo não necessariamente será retilínea, é possível diferenciar 
drasticamente o espaço percorrido do deslocamento do corpo, 
 
Podemos definir, nesse caso, uma velocidade aproximada, ou média, para o 
movimento. Assim, tem-se que: 
 
𝑽𝒎 =
∆𝒓 
∆𝒕
 
 
 
Vm= velocidade média => [Vm] = m/s 
Δr = deslocamento => [Δr] = m 
Δt = intervalo de tempo => [Δt] = s 
 
É interessante notar que: 
 Como a velocidade média é a divisão de um vetor por um escalar, 
obrigatoriamente é um vetor; 
 Velocidade média não é a média das velocidades, mas sim uma 
velocidade aproximada; 
 Para o cálculo da velocidade média interessa apenas o vetor 
deslocamento e o tempo necessário para esse deslocamento ocorrer, o que 
ocorre durante o movimento não importa para o cálculo; 
 Em uma única dimensão, ou seja, num movimento retilíneo, a velocidade 
média será medida utilizando-se o espaço percorrido; 
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 No caso do movimento retilíneo com velocidade constante a velocidade 
média é igual à velocidade em qualquer ponto da trajetória. 
 
 Observe uma questão extremamente conceitual, referente à palavra média. 
Média, na linguagem física, pode ser tomada como aproximada, ou seja, 
referente a um intervalo de tempo mensurável. Com isso é importante salientar 
que, para um deslocamento no qual a trajetória muito destoa do deslocamento 
não é correto considerar-se a velocidade média como sendo a média das 
velocidades e sim uma relação entre o deslocamento e o tempo total 
necessário para que tal deslocamento ocorra, não importando o processo ao 
longo do movimento. 
 Então: 
𝑽𝒎 =
 ∆𝒓 
 ∆𝒕
 
 
Outro fator importante a se considerar é o fato de a unidade usual de 
velocidade ser o km/h, assim é essencial o conhecimento da transformação: 
 
1m/s = 3,6 km/h 
 
Exemplos (resolvido em sala de aula) 
1) Um ônibus faz um trajeto entre duas cidades em duas etapas. Na primeira, 
percorre uma distância de 150km em 90min. Na Segunda percorre 220Km em 
150min. Qual a velocidade média do ônibus durante toda viagem? R.: 
92,5km/h 
2) Um carro percorre 1 km com velocidade constante de 40 km/h e o quilômetro 
seguinte com velocidade também constante de 60 km/h. Qual a sua velocidade 
média no percurso descrito? R.: 48km/h 
3) Ao passar pelo marco “km 200” de uma rodovia, um motorista vê um anúncio 
com a inscrição: “ABASTECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. 
Considerando que esse posto de serviço se encontra junto ao marco “km 245” 
dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para os carros que 
trafegam nesse trecho, qual velocidade média (em km/h)? 
4) Qual é a velocidades média, em m/s, de uma pessoa que percorre, a pé, 1,8 
km em 25 minutos? 
 
 
 
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5. Movimento Retilíneo Uniforme 
 
Na ausência total de qualquer interação com qualquer outro corpo a velocidade 
do sistema (ou do corpo), se manterá constante. 
Por definição, a velocidade é tangente à trajetória e a direção e o sentido desse 
corpo também serão constantes, fazendo com que o movimento ocorra numa 
linha reta. 
Movimentos dessa forma são denominados Movimentos Retilíneos Uniformes 
(MRU). 
Será chamado movimento já que a posição do móvel muda com o tempo será 
retilíneo porque sua direção não pode ser alterada, pela falta de interação com 
outro corpo e é chamado uniforme porque o módulo de sua velocidade é 
constante. 
Uma propriedade importante desse tipo de movimento é que a velocidade 
média é igual à velocidade instantânea do corpo, ou seja, uma vez que sua 
velocidade não é alterada em ponto nenhum do movimento ela 
obrigatoriamente coincide com a velocidade média. Partindo disso pode-se 
desenvolver a sua função horária da posição como sendo: 
r = r0 + vt 
 
Na qual, as unidades oficiais são: 
 
r = posição inicial=> [r] = m 
r0 = posição inicial do móvel => [r0] = m 
v = velocidade do móvel=> [v] = m/s 
t = instante considerado=> [t] = s 
 
É importante salientar que esse tipo de movimento sempre apresentará uma 
função horária do 1º grau. Ou seja, toda função horária que se apresentar 
dessa forma representará um movimento retilíneo uniforme. 
Conclusivamente sua representação gráfica será sempre uma reta, orientada 
conforme sua velocidade. 
 
 
MRU função horária do 1º grau 
 
 
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Como sabemos que a velocidade é a taxa de variação da posição (ou a 
derivada da posição em relação ao tempo), conseguimos determinar essa 
velocidade através da inclinação da função no ponto. 
 
 
 
 
 
Se a velocidade for positiva, o gráfico será uma reta crescente 
Se a velocidade for negativa, o gráfico será uma reta decrescente 
 
Obs: Nesses desenhos a posição r é chamada de S. 
 
 
E ainda é fácil observar que a derivada dessa função determina uma constante, 
o que prova novamente que a velocidade é uma constante no tempo. 
 
A posição, por sua vez, será a integral da velocidade e, portanto a área sobre a 
curva no gráfico resulta na velocidade. 
 
 
Utilizando a linguagem de cálculo: 
∆𝒓 = 𝒗 𝒕 𝒅𝒕
𝒕𝟐
𝒕𝟏
 
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 Da mesma forma como, por definição a velocidade é a derivada da posição. 
 
 
5.1. Classificação do movimento 
 
 Classifica-se o movimento em progressivo, quando sua velocidade for positiva, 
e retrógrado quando sua velocidade for negativa. 
 
 
 
Exercícios resolvidos (em sala de aula) 
 
1) Uma carreta de 30m de comprimento atravessa uma ponte de 70m de 
comprimento com velocidade constante de 72 km/h. determine: 
a) O intervalo de tempo que a carreta demora para atravessar a ponte. R.: 
5s 
b) Qual seria esse intervalo de tempo se a ponte tivesse 2 km de 
comprimento? R. 101,5s 
 
2) Dois móveis A e B percorrem a mesma trajetória e suas posições são dadas 
a partir de uma origem comum. Suas funções horárias, em unidades do SI, 
são: 
Xa = 10+2t e Xb= 40-4t 
Determine: 
a) O instante do encontro R.: 5s 
b) A posição do encontro R.: 20m 
 
3) Duas estações A e B estão separadas por 200km, medidos ao longo da 
trajetória. Pela estação A passa um trem P, no sentido de A para B, e 
simultaneamente passa por B um trem Q, no sentido de B para A. Os trens P e 
Q têm movimentos retilíneos e uniformes com velocidades de módulo 70km/h e 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
20 
 
30km/h respectivamente. Determine o instante e a posição do encontro. R.: 2h 
e 140km 
 
4) O gráfico a seguir representa o movimento de uma partícula. 
 
a) Que tipo de movimento está representado?R. MRU 
b) Qual a posição inicial da partícula?R.: 0m 
c) O que indica a inclinação deste gráfico?O movimento em questão é 
progressivo ou retrógrado? 
R.: Que a velocidade é positiva, movimento progressivo 
d) De acordo com o gráfico qual a posição da partícula no instante t = 10s?R.: 
30m 
e) Qual a velocidade da partícula no instante t = 20s? R.: 3m/s 
 
5) O gráfico a seguir ilustra a posição s, em função do tempo t, de uma pessoa 
caminhando em linha reta durante 400 segundos. Assinale a alternativa 
correta. 
 
Determine: 
a) O que acontece com o móvel no intervalo de tempo de 100s a 300sR.: o 
móvel está em repouso 
b) Qual o deslocamento do móvel?R.: 80m 
c) A velocidade no instante 80s? Classifique o movimento.R.:1m/s 
progressivo 
d) Qual a velocidade no instante 350s? Classifique o movimento. R.: -
0,2m/s retrógrado 
e) Determine a média das velocidades e a velocidade média do 
movimento.R.: 0,27m/se 0,2m/s 
 
 
 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
21 
 
Exercícios propostos 
 
1) Um móvel A percorre 20m com velocidade média de 4m/s. Qual deve ser a 
velocidade média de um móvel B que percorre os mesmos 20m, gastando 
um tempo duas vezes maior que o móvel A?R.: 2m/s 
 
2) Um avião vai de São Paulo a Recife em 1h40min. A distância entre essas 
duas cidades é aproximadamente 3000km. Determine a velocidade do 
avião?R.: 500m/s 
 
3) Um ônibus parte às 10h de uma cidade localizada no km120 de uma 
rodovia. Após uma parada de 30 minutos no km300, o ônibus chega ao 
ponto final de sua viagem no km470 às 14h do mesmo dia. Determine a 
velocidade média do ônibus. 
R.: 87,5km/h 
 
4) Um ônibus sai da capital às 7h da manhã, com destinoa uma cidade no 
interior, distante 340km, aonde chega por volta do meio-dia. Qual seria a 
velocidade média do ônibus?R.:68km/h 
 
5) Um atleta ganha uma competição correndo 2000m em 3 min e 20s. Qual 
seria a sua velocidade?R.: 10m/s 
 
6) Imagine que um carro faça uma viagem de 310 km da seguinte maneira: 
nos primeiros 120km, ele desenvolve uma velocidade média de 80km/h; nos 
100km intermediários, devido às más condições da estrada ele desenvolve 
uma velocidade média de 50km/h; nos últimos 90km ele desenvolve uma 
velocidade de 60km/h. Qual é a velocidade média desenvolvida pelo carro? 
R.: 62km/h 
 
7) A distância entre duas cidades é de 48km. Um carro percorre a primeira 
metade do percurso com velocidade média de 60km/h, e a Segunda metade 
do percurso com velocidade média de 80km/h. Qual a velocidade média ao 
longo de todo o percurso?R.: 68,57 km/h 
 
8) O “tira-teima” da rede Globo calculou a velocidade da bola que bateu na 
trave do gol como sendo de 1,1.102 km/h. Se o tempo necessário para a bola 
atingir a trave, desde quando foi chutada, é de 0,5s, e sendo a velocidade 
constante nesse tempo, qual a distância que a bola estava do gol no momento 
do chute? R. 15,275m 
 
9) Diante de uma agência de empregos, há uma fila de, aproximadamente, 
100m de comprimento, ao longo da qual se distribuem, de maneira uniforme, 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
22 
 
duzentas pessoas. As pessoas entram, durante 30s, com uma velocidade 
média de 1m/s. Determine: 
a) O número de pessoas que entraram na agência R.: 60pessoas 
b) O comprimento da fila que restou do lado de fora R.: 70m 
 
10) Em uma corrida de 1km, o corredor 1, na raia 1 (com tempo de 2min e 
27,95s) parece ser mais rápido que o corredor 2, na raia 2 (com tempo de 2 
min e 28,15s). Entretanto o comprimento L2 da raia 2 pode ser ligeiramente 
maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual o maior valor que L2 – L1 pode ter 
para ainda concluirmos que o corredor 1 é mais rápido? R.: 1,3m 
 
11)Dois trens, cada um com velocidade de 30km/h, trafegam em sentidos 
opostos sobre uma mesma linha férrea retilínea. Um pássaro que consegue 
voar a 60km/h voa a partir da frente de um dos trens, quando eles estão 
separados por 60km, diretamente em direção ao outro trem. Alcançando o 
outro trem, o pássaro imediatamente voa de volta ao primeiro trem e assim por 
diante. (Não temos a menor ideia por que o pássaro se comporta dessa 
maneira.) Qual é a distância total que o pássaro percorre até os trens 
colidirem? R.:60km 
 
12)Numa corrida de motos o piloto A completa 45 das 80 voltas previstas 
enquanto o piloto B completa 44 voltas. Qual deverá ser, no restante da 
corrida, a razão entre a velocidade média vb do piloto B e a velocidade média va 
do piloto A para que cheguem juntos ao final da corrida? R.: 
𝟑𝟔
𝟑𝟓
 
 
13)Uma carreta de 20m de comprimento demora 10s para atravessar uma 
ponte de 180m de extensão. Determine a velocidade escalar média da carreta 
durante o percurso. R.: 72km/h 
 
14) Um trem de carga de 240m de comprimento, que tem velocidade 
constante de 72km/h, gasta 0,5min para atravessar completamente um túnel. 
Determine o comprimento desse túnel. R.: 360m 
 
15) Uma escola de samba, ao se movimentar num sambódromo reto e muito 
extenso mantém um comprimento constante de 2km. Se ela gasta 90min para 
passar completamente por uma arquibancada de 1 km de comprimento 
determine sua velocidade média. R.: 2km/h 
 
16) Filas de trânsito são comuns nas grandes cidades, e duas de suas 
consequências são: o aumento no tempo da viagem e a irritação dos 
motoristas. Imagine que você está em uma pista dupla e enfrenta uma fila. 
Pensa em mudar para a fila da pista ao lado, pois percebe que, em 
determinado trecho, a velocidade da fila ao lado é 3 carros/min. enquanto 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
23 
 
que a velocidade da sua fila é 2 carros /min.Considere o comprimento de 
cada automóvel igual a 3 m. 
 
 
Determine o tempo, em min, necessário para que um automóvel da fila ao lado 
que está a 15m atrás do seu possa alcançá-lo e para que possa ultrapassá-lo. 
R.: 5min e 6min 
 
17) Dois automóveis A e B encontram-se estacionados paralelamente ao 
marco zero de uma estrada. Em um dado instante, o automóvel A parte, 
movimentando-se com velocidade escalar constante AV = 80 km/h. Depois de 
certo intervalo de tempo, tΔ , o automóvel B parte no encalço de A com 
velocidade escalar constante BV = 100 km/h. Após 2 h de viagem, determine 
quanto tempo o motorista de A, que verifica que B se encontra 10 km 
atrás,conclui o intervalo tΔ , no qual o motorista B ainda permaneceu 
estacionado, em horas.R.: 0,5h 
 
18) Dois caminhões deslocam-se com velocidade uniforme, em sentidos 
contrários, numa rodovia de mão dupla. A velocidade do primeiro caminhão e 
a do segundo, em relação à rodovia, são iguais a 40 km/h e 50 km/h, 
respectivamente. Um caroneiro, no primeiro caminhão, verificou que o 
segundo caminhão levou apenas 1,0 s para passar por ele. Determine o 
comprimento do segundo caminhão. R.: 25m 
 
19) Dois automóveis, M e N, inicialmente a 50 km de distância um do outro, 
deslocam-se com velocidades constantes na mesma direção e em sentidos 
opostos. O valor da velocidade de M, em relação a um ponto fixo da estrada, 
é igual a 60 km/h. Após 30 minutos, os automóveis cruzam uma mesma linha 
da estrada. Em relação a um ponto fixo da estrada, determine a velocidade de 
N, em quilômetros por hora.R.:40km/h 
 
17) Um foguete persegue um avião, ambos com velocidades constantes e 
mesma direção. Enquanto o foguete percorre 4,0 km, o avião percorre 
apenas 1,0 km. Admita que, em um instante t1, a distância entre eles é de 
4,0 km e que, no instante t2, o foguete alcança o avião. Determine no 
intervalo de tempo t2 – t1, qual a distância percorrida pelo foguete, em 
quilômetros. 
R.: 5,33km 
 
18) Marta e Pedro combinaram encontrar-se em certo ponto de uma 
autoestrada plana, para seguirem viagem juntos. Marta, ao passar pelo 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
24 
 
marco zero da estrada, constatou que, mantendo uma velocidade média de 
80 km/h, chegaria na hora certa ao ponto de encontro combinado. No 
entanto, quando ela já estava no marco do quilômetro 10, ficou sabendo 
que Pedro tinha se atrasado e, só então, estava passando pelo marco zero, 
pretendendo continuar sua viagem a uma velocidade média de 100 km/h. 
Mantendo essas velocidades, seria previsível que os dois amigos se 
encontrassem próximos a um marco da estrada com qual indicação? R. 
:50km 
 
19) Duas esferas A e B movem-se ao longo de uma linha reta, com velocidades 
constantes e iguais a 4 cm/s e 2 cm/s. A figura mostra suas posições num 
dado instante. 
 
Determine a posição, em cm, em que A alcança B.R.: 11cm 
 
20) Um automóvel e um ônibus trafegam em uma estrada plana, mantendo 
velocidades constantes em torno de 100km/h e 75km/h, respectivamente. 
Os dois veículos passam lado a lado em um posto de pedágio. Quarenta 
minutos (2/3 de hora) depois, nessa mesma estrada, o motorista do ônibus 
vê o automóvel ultrapassá-lo. Calcule o tempo que ele supõe que o 
automóvel deva ter ficado parado. R.: 10,2min 
 
21) Um móvel se desloca sobre uma reta conforme o diagrama a seguir. 
Determine o instante em que a posição do móvel é de + 20 m.R.:10s 
 
 
22) Dois trens partem, em horários diferentes, de duas cidades situadas nas 
extremidades de uma ferrovia, deslocando-se em sentidos contrários. O 
trem Azul parte da cidade A com destino à cidadeB, e o trem Prata da 
cidade B com destino à cidade A. O gráfico representa as posições dos dois 
trens em função do horário, tendo como origem a cidade A. 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
25 
 
 
Considerando a situação descrita e as informações do gráfico, determine o 
instante e a posição de encontro dos dois trens. 
R.:11h e 420km 
 
23) Um caminhão C de 25 m de comprimento e um automóvel A de 5,0 m de 
comprimento estão em movimento em uma estrada. As posições dos 
móveis, marcadas pelo para-choque dianteiro dos veículos, estão indicadas 
no gráfico para um trecho do movimento. Em determinado intervalo de 
tempo o automóvel ultrapassa o caminhão. 
 
 
 
Durante a ultrapassagem completa do caminhão, determine a distância 
percorrida pelo automóvel em metros. R.:60m 
 
24) Um terremoto normalmente dá origem a dois tipos de ondas, s e p, que se 
propagam pelo solo com velocidades distintas. No gráfico a seguir está 
representada a variação no tempo da distância percorrida por cada uma das 
ondas a partir do epicentro do terremoto. Com quantos minutos de diferença 
essas ondas atingirão uma cidade situada a 1500 km de distância do ponto 
0?R.:2 min 
 
 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
26 
 
25) Duas partículas A e B movem-se numa mesma trajetória, e o gráfico a 
seguir indica suas posições (s) em função do tempo (t). Determine, pelo 
gráfico,as funções horárias. 
R.: Xa = 5 +3tXb = 40 – 4t 
 
 
26) O gráfico da função horária S = v.t, do movimento uniforme de um móvel, é 
dado ao a seguir. Determine a velocidade do móvel em m/s.R.: 0,25m/s 
 
27) O gráfico abaixo indica a posição (S) em função do tempo (t) para um 
automóvel em movimento num trecho horizontal e retilíneo de uma rodovia. 
 
 
Da análise do gráfico, determine: 
a) os instantes em que o móvel está em repouso.R.: de 3min a 8min 
b) os instantes em que o móvel passa pela origem.R.: 1min e 10 min 
c) o deslocamento entre 0min e 3min R.: 6km 
d) a função horaria de cada trechoR.: X = -2 + 2t ; X = 4 ; X = 4 – 2t 
e) a velocidade média R.: 12km/h 
 
28) Os gráficos 1 e 2 representam a posição S de dois corpos em função do 
tempo t. 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
27 
 
 
No gráfico 1, a função horária é definida pela equação S = t2
1
2  . Determine a 
equação que define o gráfico 2R.: 2 + (4/3)t 
 
29) O gráfico a seguir representa a posição em função do tempo de uma 
partícula em movimento retilíneo uniforme sobre o eixo x. 
 
Defina a função horária do movimentoR.: 4 + 0,5t 
 
30) Um trem de passageiros executa viagens entre algumas estações. Durante 
uma dessas viagens, um passageiro anotou a posição do trem e o instante 
de tempo correspondente e colocou os dados obtidos no gráfico a seguir: 
 
Com base no gráfico, considere as seguintes afirmativas: 
 
I. Nessa viagem, o trem para em quatro estações diferentes. 
II. O trem retorna à primeira estação após oito horas de viagem. 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
28 
 
III. O trem executa movimento uniforme entre as estações. 
IV. O módulo da velocidade do trem, durante a primeira hora de viagem, é 
menor do que em qualquer outro trecho. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. R.: b 
 
31) Ana (A), Beatriz (B) e Carla (C) combinam um encontro em uma praça 
próxima às suas casas. O gráfico, a seguir, representa a posição (x) em 
função do tempo (t), para cada uma, no intervalo de 0 a 200 s. Considere 
que a contagem do tempo se inicia no momento em que elas saem de casa. 
 
Referindo-se às informações, é correto afirmar que, durante o percurso qual 
delas percorreu maior distância e quais as funções horárias? R.: Xa=2,5t 
,Xb=400+0,5t , Xc=450+0,25t 
 
32) O gráfico mostra a variação da posição de uma partícula em função do 
tempo. 
 
Analisando o gráfico: 
a) Calcule o deslocamento da partícula de 0 a 15s;R.: 300m 
b) A velocidade da partícula entre 0 e 10s R.:20m/s 
c) A velocidade da partícula no instante 10 sR.:20m/s 
 
33) Um objeto se desloca em uma trajetória retilínea. O gráfico a seguir 
descreve as posições do objeto em função do tempo. 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
29 
 
 
Analise as seguintes afirmações a respeito desse movimento: 
I. Entre t = 0 e t = 4s o objeto executou um movimento retilíneo uniformemente 
acelerado. 
II. Entre t = 4s e t = 6s o objeto se deslocou 50m. 
III. Entre t = 4s e t = 9s o objeto se deslocou com uma velocidade média de 
2m/s. 
 
Deve-se afirmar que apenas 
a) I é correta. 
b) II é correta. 
c) III é correta. 
d) I e II são corretas. 
e) II e III são corretas. R.:c 
 
34) A função que descreve a dependência temporal da posição S de um ponto 
material é representada pelo gráfico a seguir. 
 
Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo S = A + B.t + C.t2, 
determine os valores numéricos das constantes A, B e C.R.: A=12 ; B= -4 ; C=0 
 
 
 
6. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 
6.1. Conceito de aceleração 
A velocidade de um corpo pode se alterar durante o movimento ponto a ponto, 
ou numa linguagem newtoniana, instante a instante, o que de fato é 
infinitamente mais comum que a situação teórica e ideal do MRU. Nesse caso 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
30 
 
 
é possível ligar-se ao movimento uma variação de velocidade assim como se 
ligou uma variação de posição. A essa variação de velocidade dá-se o nome de 
aceleração. A aceleração seria uma relação entre a variação da velocidade e o 
tempo, então: 
Aceleração é a taxa de variação temporal da velocidade de um corpo 
durante um movimento 
 Que, em linguagem matemática, ficaria: 
𝒂 𝒎 =
∆𝒗 
∆𝒕
 
 Onde: 
Δv = variação da velocidade => [Δv] = (m/s) 
Δt = intervalo de tempo => [Δt] = (s) 
am = aceleração média => [am] = (m/s²) 
 
 É importante observar que a aceleração, sendo a divisão de um vetor por um 
escalar apresenta-se de natureza vetorial, ou seja, apresenta além de seu 
valor, uma direção e um sentido. Sendo esse sentido definido pelo sinal. 
O fato de a aceleração ser positiva não necessariamente levará a um aumento 
na velocidade. Para que a velocidade aumente é necessário que o vetor 
aceleração e o vetor velocidade apresentem a mesma direção e sentido. 
Assim: 
 
Velocidade Aceleração Modulo da 
velocidade 
Movimento 
Positiva Positiva Aumenta Progressivo 
acelerado 
Negativa Positiva Diminui Retrogrado 
retardado 
Positiva Negativa Diminui Progressivo 
retardado 
Negativa Negativa Aumenta Retrogrado 
acelerado 
 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
31 
 
 
 
 
Aceleração instantânea 
 No caso instantâneo a aceleração toma a forma: 
𝒂 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒗 
∆𝒕
 
 
𝒂 =
𝒅𝒗 
𝒅𝒕
 
 
 Pelas propriedades do calculo diferencial a definição de aceleração nos leva a: 
 
𝒗 = 𝒂 
𝒕
𝒕𝟎
 𝒕 𝒅𝒕 
E como já visto, a própria definição de velocidade leva a: 
 
𝒓 = 𝒗 
𝒕
𝒕𝟎
 𝒕 𝒅𝒕 
 
O que salienta, todavia que a aceleração é resultado da variação no vetor 
velocidade, assim como a velocidade é resultado da variação do vetor posição, 
resultando em uma grandezavetorial. 
Considerando o significado geométrico dos operadores derivada de uma 
função e integral de uma função, temos que: 
 
Derivada tangente à curva 
Integral área sob a curva 
 
Podemos com isso determinar algumas propriedades dos gráficos de 
movimento, por enquanto tomadas de forma empírica, mas que serão mais 
bem entendidas com o estudo do cálculo diferencial. 
 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
32 
 
 
 
 
6.2. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) 
Como visto, quando a velocidade se altera ao decorrer do tempo temos a 
introdução de uma aceleração (ou frenagem) no movimento. A esse tipo de 
consideração obtemos o chamado MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente 
Variado). 
Esse movimento será regido pela equação de movimento: 
 
𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒗𝟎 . 𝒕 +
𝒂 
𝟐
𝒕𝟐 
 
r = posição => [r] = m 
r0 = posição inicial => m 
v0 = velocidade inicial => [v0] = m/s 
a = aceleração => [a] = m/s² 
t = instante => [t] = s 
 
Se derivarmos a função horária do movimento em relação ao tempo, temos: 
𝒅
𝒅𝒕
(𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒗𝟎 . 𝒕 +
𝒂 
𝟐
𝒕𝟐) 
 
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 . 𝒕 
 
V = velocidade => [v] = m/s 
V0 = velocidade inicial => [v0] =m/s 
a = aceleração => [a] = m/s² 
A essa segunda relação, temos a função horária da velocidade. 
 
A combinação das duas equações resulta na chamada Equação de Torricelli: 
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎
𝟐 + 𝟐𝒂∆𝒓 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
33 
 
 
 
V = velocidade => [v] = m/s 
V0 = velocidade inicial => [v0] = m/s 
a = aceleração => [a] = m/s² 
Δr = deslocamento => [Δr] = m 
 
O interessante sobre esse movimento é que nesse caso a velocidade média 
entre dois pontos é a média das velocidades que o corpo apresenta nos dois 
pontos: 
 
𝑽𝒎 =
𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 
𝟐
 
 
Conforme a citação abaixo: 
“Já William Heytesbury (1310 – 1372) (...) um corpo em “movimento uniforme”, 
isto é, com velocidade constante, percorre a mesma distância em um mesmo 
intervalo de tempo que outro em „movimento disforme‟, ou seja, 
constantemente acelerado, se a velocidade do primeiro for igual à média do 
segundo” 
Porque as coisas caem, Alexandre Cherman& Bruno Rainho Mendonça, Ed 
Zahar 2010 
 
Exercícios (resolvidos em sala de aula) 
1) Um rapaz dirige uma motocicleta a uma velocidade constante de 72km/h, 
quando aciona os freios e pára em 1/12 min. Determine o módulo da 
aceleração impressa na motocicleta pelos freios. R.; 4 m/s² 
2) Uma bola de tênis choca-se contra uma raquete. No instante em que toca a 
raquete, sua velocidade é de 20m/s, horizontal para a direita. Quando 
abandona a raquete, sua velocidade é de 30m/s, horizontal para a esquerda. 
Sabe-se que o choque dura um milésimo de segundo. Determine o módulo da 
aceleração média da bola durante o choque.R.: 5.104m/s² 
3) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera a 2 m/s2. 
Determine sua velocidade e a distância percorrida, após 3s. R.: 6m/s e 9m 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
34 
 
 
4) Um ponto material parte do repouso e percorre em linha reta 120m em 60s, 
com aceleração constante. Determine sua velocidade no instante 60s. R.: 
0,07m/s² e 4,1m/s 
5) Um trem de 120m de comprimento se desloca com velocidade escalar de 
20m/s. Esse trem ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, 
saindo completamente dela, após 10s, com velocidade escalar de 10 m/s. Qual 
comprimento da ponte? R.: 30m 
 
6)Um objeto tem a sua posição (x) em função do tempo (t) descrito pela 
parábola conforme o gráfico. 
 
Analisando-se esse movimento, determine o módulo de sua velocidade inicial, 
em m/s, e de sua aceleração, em m/s2. R.: -10m/s² e 20m/s 
 
7) Toda manhã, um ciclista com sua bicicleta pedala na orla de Boa Viagem 
durante 2 horas. Curioso para saber sua velocidade média, ele esboçou o 
gráfico velocidade escalar em função do tempo, conforme a figura abaixo. Qual 
a velocidade média, em km/h, entre o intervalo de tempo de 0 a 2 h. R.:8km/h 
 
 
 
 
 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
35 
 
 
Exercícios propostos 
1) Um automóvel de competição é acelerado de forma tal que sua velocidade 
em função do tempo é: 
 
T (s) 5 10 15 
V( m/s) 20 50 60 
 
Determine, a aceleração média desse movimento.R.: 4m/s² 
2) Um corredor olímpico de 100 metros rasos acelera desde a largada, com 
aceleração constante, até atingir a linha de chegada, por onde ele passará 
com velocidade instantânea de 12 m/s no instante final. Qual a sua 
aceleração constante?R.:0,72m/s² 
3) Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 
18m/s no sentido positivo de x, e 2,4s depois sua velocidade era 30m/s no 
sentido oposto. Qual foi a aceleração média dessa partícula?R.:-20m/s² 
4) Um atleta de corridas de curto alcance, partindo do repouso consegue 
imprimir a si próprio uma aceleração constante de 5m/s² durante 2s e, depois, 
percorre o resto do percurso com a mesma velocidade adquirida no final do 
período de aceleração. 
a) Qual a velocidade do atleta no final de 5s?R.: 10m/s 
b) Esboce o gráfico da velocidade do atleta em função do tempo numa corrida 
de 5s 
c) Qual o deslocamento no fim dos 5s?R.: 40m 
 
5) Um múon (partícula elementar) entra em uma região com uma velocidade de 
5.106m/s e passa a ser „desacelerado‟ a uma taxa de 1,25.1014m/s². 
a) Qual a distância percorrida pelo múon até parar? R.:0,1m 
b) Trace os gráficos de x versus t e v versus t para o múon. 
 
6) O tempo de reação (intervalo de tempo entre o instante em que uma pessoa 
recebe a informação e o instante em que reage) de certo motorista é 0,7s, e 
Apostila de Física Cinemática – Profª Amanda Romão de Paiva 
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os freios podem reduzir a velocidade de seu veículo à razão máxima de 
5m/s². Supondo que o motorista esteja dirigindo à velocidade constante de 
10m/s determine: 
a) O tempo decorrido entre o instante em que avista algo inesperado, que o 
leva a acionar os freios, até o instante em que o veículo para.R.: 2,7s 
b) A distância percorrida nesse intervalo de tempo. R.: 17m 
 
7) Um veículo parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa constante 
de 2m/s² até atingir a velocidade de 20m/s. Depois o veículo „desacelera‟ a 
uma taxa constante de 1m/s² até parar. 
a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? R.: 30s 
b) Qual a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada? 
R.: 300m 
 
8) Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando a uma taxa 
constante de 0,5m/s². Nesse instante passa por ele um outro ciclista B, com 
velocidade constante de 5m/s e no mesmo sentido que o ciclista A. 
a) Depois de quanto tempo após a largada o ciclista A alcançará o ciclista 
B?R.: 20s 
b) Qual será a velocidade do ciclista A quando alcançar o ciclista B? R.: 
10m/s 
 
9) Um trem de 160m de comprimento está parado, com a frente da locomotiva 
posicionada exatamente no inicio de uma ponte de 200m de comprimento, num 
trecho retilíneo de estrada. Num determinado instante, o trem começa a 
atravessar a ponte com aceleração de 0,8m/s², que se mantém constante até 
que ele atravesse inteiramente a ponte. 
a) Qual é o tempo gasto pelo trem para atravessar completamente a ponte? 
R.:30s 
b) Qual a velocidade do trem no instante em que ele abandona completamente 
a ponte?R.: 24m/s 
 
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3710)Uma norma de segurança sugerida pela concessionária que administra uma 
rodovia recomenda que os motoristas que nela trafegam mantenham seus 
veículos separados por uma “distância” de 2s. 
a) Qual é essa distância, expressa adequadamente em metros, para veículos 
que percorrem a estrada com a velocidade constante de 90km/h?R.: 50m 
b) Suponha que nessas condições, um motorista freie bruscamente seu veículo 
até parar, com aceleração constante de módulo 5m/s², e o motorista de trás só 
reaja, freando seu veículo, depois de 0,5s. Qual deve ser a aceleração mínima 
do veículo de trás para não colidir com o da frente?R.: 2,78m/s² 
11) Você está discutindo ao telefone celular enquanto dirige, sem perceber 
atrás de um carro de polícia, a 25m; tanto seu carro quanto o de polícia estão a 
110km/h. A discussão tira sua atenção do carro de polícia por 2s. No início 
desses 2s o policial começou a frear subitamente com uma aceleração de 
5m/s². 
a) Qual a separação entre os dois carros quando a atenção é novamente 
retomada?R.:15m 
b) Suponha que você leve 0,4s para perceber o perigo e começar a frear, 
se você também freia a 5m/s², qual é a sua velocidade quando bate no carro da 
polícia? R.: 20,35m/s 
 
12) Em uma prova de atletismo, um corredor, que participa da prova de 100 m 
rasos, parte do repouso, corre com aceleração constante nos primeiros 50 m e 
depois mantém a velocidade constante até o final da prova. Sabendo que a 
prova foi completada em 10 s, calcule o valor da aceleração, da velocidade 
atingida pelo atleta no final da primeira metade da prova e dos intervalos de 
tempo de cada percurso. Apresente os cálculos. R.: 2,25m/s² ; 15,015m/s; 
6,67s 
13) As equações horárias dos movimentos de dois pontos materiais sobre uma 
mesma trajetória são Xa= 17+4t e Xb= 11 + 5t + t
2 (SI). Sabe-se que para a 
formulação das duas equações foram adotadas as mesmas origens de 
contagem do tempo e dos espaços. Determine o instante em que eles se 
encontram.R.:9,62s 
14) Um veículo automotivo, munido de freios que reduzem a velocidade de 
5,0m/s, em cada segundo, realiza movimento retilíneo uniforme com velocidade 
de módulo igual a 10,0m/s. Em determinado instante, o motorista avista um 
obstáculo e os freios são acionados. Considerando-se que o tempo de reação 
do motorista é de 0,5s, a distância que o veículo percorre, até parar, é igual, 
em m.R.:15m 
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15) Um avião vai decolar em uma pista retilínea. Ele inicia seu movimento na 
cabeceira da pista com velocidade nula e corre por ela com aceleração média 
de 2,0 m/s2até o instante em que levanta voo, com uma velocidade de 80 m/s, 
antes de terminar a pista. 
a) Calcule quanto tempo o avião permanece na pista desde o início do 
movimento até o instante em que levanta voo. R.:40s 
b) Determine o menor comprimento possível dessa pista.R.:1600m 
 
16) Um automóvel percorre uma estrada reta de um ponto A para um ponto B. 
Um radar detecta que o automóvel passou pelo ponto A a 72 km/h. Se esta 
velocidade fosse mantida constante, o automóvel chegaria ao ponto B em 10 
min. Entretanto, devido a uma eventualidade ocorrida na metade do caminho 
entre A e B, o motorista foi obrigado a reduzir uniformemente a velocidade até 
36 km/h, levando para isso, 20 s. Restando 1 min. para alcançar o tempo total 
inicialmente previsto para o percurso, o veículo é acelerado uniformemente até 
108 km/h, levando para isso, 22 s, permanecendo nesta velocidade até chegar 
ao ponto B. Qual o tempo de atraso, em segundos, em relação à previsão 
inicial? R.:64s 
 
17) Os vencedores da prova de 100 m rasos são chamados de homem/mulher 
mais rápidos do mundo. Em geral, após o disparo e acelerando de maneira 
constante, um bom corredor atinge a velocidade máxima de 12,0 m/s a 36,0 m 
do ponto de partida. Esta velocidade é mantida por 3,0 s. A partir deste ponto, 
o corredor desacelera, também de maneira constante, com a = − 0,5 m/s2, 
completando a prova em, aproximadamente, 10 s. Determine a aceleração nos 
primeiros 36,0 m, a distância percorrida nos 3,0 s seguintes e a velocidade final 
do corredor ao cruzar a linha de chegada. R.: 2m/s² ; 36m ; 10,77m/s 
18) Observe o gráfico a seguir: 
 
(Fonte: http://geocities.yahoo.com.br/saladefisica8/) 
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Procure associar os pontos 1, 2 e 3 do gráfico com as figuras A, B e C. A 
correspondência verdadeira é: 
a) 1A - 2B - 3C 
b) 1B - 2C - 3A 
c) 1A - 2C - 3B 
d) 1C - 2B - 3A 
e) 1B - 2A - 3C R.:e 
 
7. Movimentos Verticais (sobre a ação da gravidade) 
 
Um dos movimentos mais comuns no dia a dia é a queda dos corpos. Todos os 
corpos materiais sofrem a ação gravitacional da Terra sendo por isso atraído 
para o centro da mesma, não porque ela seja a única a exercer ação 
gravitacional sobre os corpos, mas pelo fato de a Terra ser o maior corpo 
próximo a nós, por isso o exemplo mais familiar de um movimento com 
aceleração (aproximadamente) constante é a queda livre de um corpo atraído 
pela força gravitacional da Terra (YOUNG & FREEDMAN, 2008, pag,51). 
Devido a isso todo movimento perpendicular à sua superfície ocorre de tal 
forma que esta tende a atrair os corpos de volta para sua superfície 
ocasionando um movimento retilíneo uniformemente variado com uma 
aceleração característica e idêntica sobre todos os corpos que estejam nas 
mesmas regiões da superfície terrestre independente de suas massas. É 
importante enfatizar que qualquer corpo em queda livre tem aceleração 
apontando para baixo (Princípios de Física, Serway, Raymond, 2012, pag.62). 
Tal princípio, originalmente descoberto por Galileu Galilei prevê que a 
aceleração que atua sobre os corpos na superfície da Terra independe da 
massa desses corpos, ou seja, um martelo ou uma pena sofrem a mesma 
aceleração. 
Posteriormente foi definido o valor da aceleração dessa queda. Assim se você 
arremessasse um objeto para cima ou para baixo e pudesse de alguma forma 
eliminar o efeito do ar sobre o movimento, observaria que o objeto sofre uma 
aceleração constante para baixo, conhecida como aceleração de queda livre, 
cujo módulo é representado pela letra g (HALLIDAY & RESNICK, 2008, 
pág.27). Hoje se sabe que tal valor é: 
 
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𝒈 = 𝟗, 𝟖𝟎𝟔𝟔𝟓
𝒎
𝒔𝟐
 
 
 Esse valor refere-se ao nível do mar, a uma latitude de 45º. Observa-se que tal 
valor depende da latitude e da altitude na qual o 
objeto encontra-se. Todavia sua variação é 
mínima, sendo de apenas 0,049 para 11000m, 
altura média de voo de um avião de caça. 
 Para resolução de exercícios adota-se com 
boa aproximação 9,81m/s², 
 
 
 Ou seja, o movimento vertical, seja ele ascendente ou descendente, equivale a 
um MRUV vertical, no qual a velocidade se altera com o tempo, porém a 
aceleração mantém-se. Dessa forma o deslocamento durante a queda também 
tende a mudar. 
 Partindo da premissa do movimento sem ação gravitacional e utilizando as 
equações do MRUV com a aceleração igual a g, tem-se que é necessário não 
esquecer que independente do fato do movimento ser ascendente ou 
descendente o vetor 𝒈 será sempre direcionado para baixo, o que explica, 
segundo a mecânica newtoniana o fato de a velocidade diminuir à medida que 
o corpo adquire altura e aumentar conforme o corpo se aproxime do solo. 
Utilizando tal fato podemos ainda definir que, um corpo atirado para o alto com 
uma velocidade inicial v0 atingirá a altura máxima definida por: 
 
𝑯𝑴 = 
𝒗𝟎
𝟐
𝟐𝒈
 
 
Onde:HM= altura máxima alcançada => [HM] = m 
V0 = velocidade inicial do corpo => [v0] = m/s 
 
 
 
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Exercícios (realizados em sala de aula) 
1) Uma pedra é arremessada verticalmente para cima no ponto A de um 
terraço com uma velocidade inicial de 20m/s. O prédio tem 50m de altura e o 
terraço é a superfície superior desse prédio. Determine: 
a) O tempo no qual a pedra atinge sua altura máxima R.: 2,04s 
b) A altura máxima acima do terraçoR.:70,39m 
c) O tempo para a pedra retornar ao nível do arremessadorR.:4,08s 
d) A velocidade da pedra ao passar novamente pelo nível do 
arremessadorR.: -20,02m/s 
e) A velocidade e posição da pedra em t = 5sR.: 27,375m e -29,05m/s 
f) A posição da pedra em t = 6sR.: atingiu o solo 
 
2) Um jovem, desejando estimar a altura do terraço onde se encontrava, deixou 
cair várias esferas de aço e, munido de um cronômetro, anotou o tempo de 
queda de todas. Após alguns cálculos, elaborou o gráfico abaixo com o tempo 
médio " t " gasto pelas esferas na queda. 
 
Determine o valor encontrado para o tempo médio (t) e a altura do terraço. R.: 
2,04s e 20,4m 
 
3) Na Terra a aceleração da gravidade é aproximadamente igual a 9,8 m/s2 e 
na Lua, 1,6 m/s2. Se um objeto for abandonado de uma mesma altura em 
queda livre nos dois corpos celestes, então qual a razão entre os tempos de 
queda na Lua e na Terra? R.:2,48 
 
 
 
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Exercícios propostos 
1) Uma ave marinha costuma mergulhar de uma altura de 20 m para buscar 
alimento no mar. Suponha que um desses mergulhos tenha sido feito em 
sentido vertical, a partir do repouso e exclusivamente sob ação da força da 
gravidade. Desprezando-se as forças de atrito e de resistência do ar, 
determine a velocidade com que a ave chegará à superfície do mar. 
R.:2,02s 
2) Em certo planeta, um corpo é atirado verticalmente para cima, no vácuo, de 
um ponto acima do solo horizontal. A altura, em metros, atingida pelo corpo 
é dada pela função 2h(t) At Bt C,   em que t está em segundos. 
Decorridos 4 segundos do lançamento, o corpo atinge a altura máxima de 9 
metros e, 10 segundos após o lançamento, o corpo toca o solo. Qual a 
altura do ponto de lançamento, em metros? R.:5m 
3) Quando estava no alto de sua escada, Arlindo deixou cair seu capacete, a 
partir do repouso. Considere que, em seu movimento de queda, o capacete 
tenha demorado 2 segundos para tocar o solo horizontal. Supondo 
desprezível a resistência do ar, determine a altura h de onde o capacete 
caiu e a velocidade com que ele chegou ao solo. R.: 19,62m/s e 19,62m 
4) Um objeto é abandonado do alto de um prédio de altura 80 m em t = 0. Um 
segundo objeto é largado de 20 m em t = t1. Despreze a resistência do ar. 
Sabendo que os dois objetos colidem simultaneamente com o solo, 
determine t1.R.:2,02s 
5) Uma esfera de dimensões desprezíveis é largada, a partir do repouso, de 
uma altura igual a 80 m do solo considerado horizontal e plano. 
Desprezando-se a resistência do ar determine a distância percorrida pela 
esfera, no último segundo de queda.R.:34,67m 
6) Uma pedra, partindo do repouso, cai verticalmente do alto de um prédio 
cuja altura é “h”. Se ela gasta um segundo (1s) para percorrer a última 
metade do percurso qual é o valor em metros (m) que melhor representa a 
altura “h” do prédio? Desconsidere o atrito com o ar.R.:62,51m 
 
 
 
 
 
 
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8. Funções horárias dos movimentos 
 
A base de toda a formulação clássica da mecânica foi lançada por Newton em 
seu livro Principia, quando enunciou as chamadas leis do movimento, que 
serão estudadas adiante. Toda a estrutura do formalismo newtoniano é 
embasada em suas três leis, que permitem uma descrição do movimento da 
partícula. “As três leis de Newton são formuladas de acordo com quatro 
conceitos cruciais: as noções de espaço, tempo, massa e força.” (Taylor, John 
R.; 2013 pág. 4). A cinemática estuda as relações entre a posição e o tempo 
enquanto a dinâmica estuda as forças que promovem tal movimento. 
A grande busca da mecânica é uma equação que descreva, completamente 
todo o movimento de uma partícula ou corpo, de tal forma que, relacione a 
posição ocupada por esse corpo e o instante no qual esse corpo ocupa tal 
posição. Essa equação, que representa então todo o movimento e é 
diferenciada para cada movimento será denominada Função Horária do 
Movimento. Tal Função é decorrência da solução da segunda lei de Newton 
aplicada a cada caso, ou seja: a partir da Lei de Newton deduziremos 
resultados interessantes. Nosso objetivo é tentar identificar, quando possível, 
as trajetórias x(t), ou então descobrir quais propriedades possuem essas 
trajetórias. (LOPES, Artur O.; Edusp, 2006, pag. 13). 
 É uma premissa clássica que, a cada instante definido exista uma e apenas 
uma posição relacionada no movimento da partícula. A principal função horária 
de um movimento é a função horária da posição que relaciona, a cada instante 
definido essa posição bem determinada para a partícula, assim, conhecida a 
função horária da posição de um movimento podemos determinar sua posição 
em qualquer instante de tempo, como diz Hawkins em seu texto, independente 
de ser no passado ou no futuro, a isto se dá o nome de História da Partícula. A 
imagem da função define, então o movimento. Ou seja, para descrever a 
trajetória do movimento de uma partícula, as coordenadas em função do tempo 
x(t), y(t) e z(t) são especificadas. O significado físico das funções x(t), y(t) e z(t) 
é então, cada uma das coordenadas de posição da partícula em estudo 
medidas em cada instante t de tempo(WATARI, Kazunori; edusp, 2004). Ao 
definir a sequencia de pontos no espaço tem-se então uma visão de todo o 
movimento, permitindo tanto previsões em instantes posteriores quanto 
conclusões em relação aos instantes anteriores. A combinação dos conceitos 
de distância e tempo nos permite definir a velocidade e aceleração de uma 
partícula.(THORNTON, Stephen T., MARION, Jerry B.; Learning, 2011) A partir 
da definição de velocidade e aceleração descreve-se a evolução temporal da 
partícula. 
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Matematicamente teremos que, sendo 𝒓 o vetor posição da partícula, se esta 
estiver em movimento podemos escrever 𝒓 = r(t), onde a relação definirá o 
vetor posição em qualquer instante, contendo informações de como ele varia 
no tempo. A solução de uma função de posição, com a aplicação dos conceitos 
do cálculo permite a obtenção de uma função para a velocidade e para a 
aceleração, que posteriormente permitirá a determinação das forças aplicadas 
sobre o corpo. 
 
Exercícios (resolvidos em sala de aula) 
1) A posição de um objeto movendo-se ao longo de um eixo x é dada por x = 3t 
– 4t² + t³, onde x está em metros e t em segundos. Encontre a posição do 
objeto para os seguintes valores de t: 
a) 1sR.: 0m 
b) 2sR.: -2m 
c) 3sR.: 0m 
d) 4sR.: 12m 
e) Qual é o seu deslocamento entre t = 0s e t = 4s? R.: 12m 
f) Qual é a sua velocidade média para o intervalo de tempo t = 2s a t = 
4sR.: 7m/s 
 
2) A função da posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x é x = 
4 – 6t², em unidades do SI. 
a) Em que instante a partícula momentaneamente pára? R.: 0s 
b) Em que posição a partícula momentaneamente pára? R.: 4m 
c) Em que instante a partícula passa pela origem? R.: 0,82s 
d) Trace o gráfico de x por t no intervalo de -5s a 5s. 
 
3) Um ponto materialpercorre uma reta com velocidade constante. 
Estabelecido um eixo de coordenadas sobre essa reta, verifica-se que a 
posição desse ponto material em t0 = 0s é x0 = 200m e, no instante t = 5s é x= 
500m. Determine: 
a) A velocidade desse ponto material R.: (60m/s)𝒊 
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b) A função da posição em relação ao tempoR.: x = 200+60t 
c) A posição no instante 20s;R.: 1400m 
d) O instante em que a posição é 2000m;R.: 30s 
e) A representação gráfica desse movimento 
 
Exercícios propostos: 
1) Um ponto material, percorrendo uma reta com velocidade constante, está a 
50m da origem dessa reta no instante t0 = 0s. No instante t = 5s ele está a 
150m desse ponto. Tomando o ponto O como origem do eixo das abcissas 
determine: 
a) A velocidade do móvel;R.: (20m/s)𝒊 
b) A função da posição desse móvel;R.: x(t) = 50 + 20t 
c) As posições nos instantes t = 0s, t = 2s, t = 6s e t = 8s;R.: 50m, 90m, 
170m, 210m 
d) O gráfico da posição pelo tempo 
e) O instante em que a posição é 1kmR.: 47,5s 
f) O gráfico da velocidade pelo tempo. 
 
2) Um carro para num semáforo a seguir ele percorre um trecho retilíneo de 
modo que sua distância ao sinal é dada por x(t) = bt² - ct³, onde b = 2,4 m/s² 
e c = 0,12 m/s³. 
a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo de tempo t = 0s até 
t = 10s.R.: (12m/s)𝒊 
b) Calcule a velocidade instantânea do carro para t = 0s, t = 5s e t = 10s.R.: 
0m/s, 15m/s, 12m/s 
c) Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao 
repouso?R.: 13,33s 
 
3) A posição de uma partícula entre t = 0s e t = 2s é dada por x(t) = 3t³ - 10t² + 
9t em unidades do SI. 
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a) Faça o gráfico da posição pelo tempo e da velocidade pelo tempo para 
este movimento. 
b) Para que tempo(s) entre t = 0s e t = 2s essa partícula está em 
repouso?R.: 0,63s e 1,59s 
c) Qual a maior distância entre a partícula e a origem no intervalo entre t = 
0s e t = 2s?R.: 2,42m 
d) Para que instante(s), entre zero e dois, a partícula está aumentando de 
velocidade com a maior taxa?R.: 2s 
e) Para que instante(s) a partícula está diminuindo de velocidade com a 
maior taxa?R.: 0s 
 
4) Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de 
A até o ponto inicial é dada em função do tempo xA(t) = 2,6t + 1,2t² . A 
distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por xB(t) = 2,8t³ - 
0,2t². 
a) Qual carro está na frente logo que eles saem do ponto inicial?R.: ambos 
estão juntos 
b) Em que instante(s) os carros estão no mesmo ponto?R.: 1,24s 
c) Em que instante(s) a distância entre os carros não aumenta nem 
diminui?R.: 0,75s 
 
5) A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em 
centímetros por x = 9,75 + 1,5t³, onde t está em segundos. Calcule: 
a) A velocidade média entre os intervalos de tempo de t = 2s a t = 3s. 
R.: 28,5cm/s 
b) A velocidade instantânea em t = 2s e t = 3sR.: 18cm/s , 40,5cm/s 
c) A velocidade instantânea em t = 2,5sR.: 28,125m/s 
d) A velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância 
entre suas posições em t = 2s e t = 3s.R.:-30,42cm/s 
e) Faça o gráfico de x versus t e indique suas respostas graficamente. 
 
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6) Em um vídeo game, um ponto é programado para mover-se através da tela 
de acordo com x = 9t -0,75t³, onde x é a distância em centímetros medida a 
partir da borda esquerda da tela e t é o tempo em segundos. Quando o 
ponto alcança uma das bordas da tela, tanto em x =0 quanto em x = 15cm, t 
é zerado e o ponto começa novamente a se mover de acordo com x(t). 
a) Em que tempo, após ter iniciado o movimento o ponto encontrar-se-á 
momentaneamente em repouso?R.: 2s 
b) Para que valor de x isto ocorre?R.: 12cm 
c)O ponto move-se para a direita ou para a esquerda imediatamente antes do 
repouso?R.: direita 
d)E imediatamente após o repouso?R.: esquerda 
e)Em que tempo t > 0 o ponto alcança a borda da tela pela primeira vez?R.: 
nunca 
 
7) Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de 
A ao ponto inicial é dada em função do tempo por Xa(t) = 2,6t + 1,2t². A 
distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por Xb = 2,8t² -
0,2t³, todos em unidades oficiais. 
a) Qual carro está na frente do outro 1s apóssaírem do ponto inicial?R.: o A 
b) Em que instantes os carros estão no mesmo ponto?R.:2,27s e 5,73s 
c) Em que instantes a distancia entre os carros não aumenta nem 
diminui?R.: 1s e 4,33s 
d) Em que instante os carros possuem a mesma aceleração?R.: 2,67s 
 
8) Se a posição de uma partícula é dada por: x(t) =4 – 12t + 3t², em unidades 
oficiais, pergunta-se: 
a) Qual sua posição em t = 1s? R.:-5m 
b) O movimento é no sentido positivo ou negativo de x nesse instante?R.: 
negativo 
c) Qual é sua velocidade escalar nesse instante?R.: v = -6m/s 
d) Existe algum instante em que a velocidade escalar se anula?R.: 2s 
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e) Existe algum instante após t = 3s no qual a partícula está se movendo 
no sentido negativo de x? R.: não 
 
9) Um leopardo africano está de tocaia a 20m a leste de um jipe blindado de 
observação. No instante t = 0, o leopardo começa a perseguir um antílope 
situado a 50m a leste do observador. O leopardo corre ao longo de uma 
linha reta. A análise posterior de um vídeo mostra que durante os 2s iniciais 
do ataque, a coordenada x do leopardo varia com o tempo de acordo com a 
equação em unidades oficiais: x = 20 + 5t². Determine: 
a) O deslocamento do leopardo entre os instantes t = 1s e t = 2s. R.: 15m 
b) Ache a velocidade média durante esse intervalo de tempo. R.: 15m/s 
c) O deslocamento do leopardo entre t = 1s e t = 1,1s. R.: 1,05m 
d) A velocidade média para o deslocamento do item c. R.: 10,5m/s 
 
10) Um móvel, percorrendo uma reta com velocidade constante, está a 60m da 
origem de um eixo de coordenada no instante t0 = 0s. Depois de 5s ele está 
a 10m da origem. Determine: 
a) A velocidade do móvel;R.: (-10 m/s)𝒊 
b) A função da posição;R.: x = 60 – 10t 
c) A posição no instante 10s;R.: -40m 
d) O instante em que o móvel passa pela origem;R.: 6s 
e) O gráfico do movimento 
 
11) Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um 
conjunto de eixos coordenados havia sido desenhado. As coordenadas do 
coelho em função do tempo são dadas, em unidades oficiais, por: 
X = -0,31 t² + 7,2t + 28 ;Y = 0,22 t² - 9,1 t + 30 
a) Em t = 15s, qual é o vetor posição do coelho?R.: 87,4m , 319,29º 
b) Encontre o vetor velocidade do coelho em t = 15s. R.: 3,26m/s , 
229,96º