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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Colisões
03/08/2014
(Colisões) Física 1 03/08/2014 1 / 64
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Outline
1 Impulso
2 Colisões
Colisões Elásticas Unidimensionais
Colisões Inelásticas Unidimensionais
3 Colisões em duas dimensões
4 Colisões no Referencial do CM
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Colisões
Para resolvermos problemas de Mecânica utilizando a segunda
Lei de Newton na sua forma
F ma
precisamos conhecer bem as forças que atuam sobre um corpo.
Existem diversas situações em que não sabemos descrever a
força, mas se em vez de usarmos a Lei de Newton na forma
acima, levarmos em conta a variação do momento linear
F
dp
dt
seremos capazes de descrever o movimento.
Um exemplo bastante comum é a colisão de partículas.
Resolveremos essas situações usando os conceitos de impulso,
momento linear e sua conservação.
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F
dp
dt
A segunda Lei de Newton nesta forma nos diz que para que o p
mude rapidamente, é necessário uma força intensa. Ou, ao
contrário, para uma mudança lenta no momento, não precisamos
de uma força muito forte.
Queremos entender como uma força muda o momento linear de
um objeto. Podemos escrever
dp F dt
e integrar os dois lados:
pf
pi
dp F dt
p pf pi
tf
ti
F dt
J
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Impulso
J
tf
ti
F dt p
J é chamado de Impulso da Força que atua sobre a partícula
durante o tempo t , e representa a variação do momento linear
dessa partícula, causada por um agente externo.
Dessa definição, vemos que J é um vetor, de módulo igual à área
da curva no gráfico F t .
Se soubermos a expressão de F(t) podemos calcular a integral.
Mas normalmente esse não é o caso.
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Impulso
J
tf
ti
F dt
Podemos usar o teorema do valor médio ilustrado aqui,
F t
tf
ti
F dt
de forma que podemos calcular o Impulso como:
J F t
Essa força média F pode ser pensada como uma força que atua
no mesmo t produzindo a mesma variação de momento que F .
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Impulso
Uma força intensa atuando em um intervalo de tempo pequeno
pode causar o mesmo Impulso (ou variação de momento) que
uma força fraca agindo por um intervalo de tempo grande.
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Bola de golfe
Uma bola de golfe de 50g é atingida por um taco, lançando a
bola a um ângulo de 45 . Supondo que a bola atinja um alcance
de 200m, calcule o módulo do impulso causado pela colisão.
Supondo que o tempo de contato do taco com a bola seja de
4 5 10 4s, estime o módulo da força exercida pelo taco sobre
a bola.
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Bola colidindo com parede
Suponha que uma bola de tenis de m=0,4kg seja atirada
horizontalmente contra uma parede, com vi 30 m/s. Ela bate e
volta com vf 20 m/s, também na horizontal. a) Calcule o
impulso da força resultante sobre a bola durante o impacto.
b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede
durante 0,010s, ache a força média que a parede exerce sobre a
bola. Compare com o peso da bola. Comente a diferença entre
uma bola de tenis e uma de golfe em relação ao Impulso.
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Bola de futebol
A massa de uma bola de futebol é 0,4kg. Inicialmente ela se
desloca da direita para a esquerda a 20m/s, a seguir é chutada,
sendo desviada a 45 para a direita, com v2 30m/s. Calcule o
impulso da força resultante e a força média, supondo que a
colisão ocorra durante 0,01s.
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(Colisões) Física 1 03/08/2014 13 / 64
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Um carro transportando um manequim de teste de colisão de
massa 80kg, bate de frente com um muro a 90 km/h (25 m/s).
Estime a força que o cinto exerce sobre o manequim, supondo
que o tempo de colisão tenha sido 0,08s (esse tempo pode ser
estimado supondo que a distância que o boneco percorre até o
total repouso seja 1m (o comprimento de um carro é 4m) e
fazendo a hipótese de que a velocidade durante a colisão seja
constante, de valor médio entre a inicial e a final = 12,5m/s).
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Colisões
Uma colisão é um processo em que uma partícula é lançada
contra a outra podendo trocar energia e momento.
Definição formal: colisão é um evento isolado no qual forças
relativamente grandes atuam em cada uma das partículas
durante um intervalo de tempo relativamente pequeno. Deve ser
possível estabelecer uma separação nítida entre o antes e o
depois da colisão.
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Colisões
Escrevendo a segunda Lei de Newton para cada um dos corpos
temos:
em m1
tf
ti
F21 dt p1
em m2
tf
ti
F12 dt p2
pela terceira Lei de Newton: F21 F12
p1 p2 p1f p1i p2i p2f
A soma dos momentos lineares inicial e final é a mesma ‹ o
momento linear do sistema, P , se conserva em uma
colisão.
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Colisões elásticas e inelásticas
O momento linear se conserva em qualquer tipo de colisão.
A energia cinética nem sempre, na maioria das colisões a energia
cinética pode se converter em energia sonora, na forma de calor,
etc..
Porém em algumas colisões, pode existir uma deformação dos
dois corpos, de forma que a energia cinética se transforme em
energia potencial elástica armazenada nessa deformação, sendo
recuperada após a colisão.
Usamos esse fato para classificar as colisões em
Elástica - ocorre conservação de energia cinética
Inelástica - Não ocorre conservação de energia cinética
Completamente Inelástica - Objetos se movem juntos
após a a colisão
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Colisões Elásticas em Uma dimensão
Uma dimensão ‹ basta definirmos um sentido positivo para as
velocidades.
cons p m1v1i m2v2i m1v1f m2v2f
cons K
1
2
m1v 21i
1
2
m2v 22i
1
2
m1v 21f
1
2
m2v 22f
Se sabemos as velocidades iniciais sabemos prever as velocidades
finais
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Colisões Elásticas em Uma dimensão
Trabalhando a álgebra (faça!) obtemos:
v2f v1f v2i v1i
A velocidade relativa entre os dois objetos muda de sinal em uma
colisão elástica!
Cuidado: só vale para colisão elástica em 1 dimensão!
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Colisões Elásticas em Uma dimensão
Trabalhando a álgebra (faça!) obtemos as velocidades finais em
termos das velocidades iniciais:
v1f
m1 m2
m1 m2
v1i
2m2
m1 m2
v2i
v2f
2m1
m1 m2
v1i
m1 m2
m1 m2
v2i
Discutir casos particulares:
m1 m2 m
m2 em repouso,
m1 m2
m2 em repouso,
m2 m1
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(Colisões) Física 1 03/08/2014 23 / 64
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Colisão Inelástica em uma dimensão
Em uma colisão inelástica existe perda de energia cinética. Só é
válida a equação de conservação do momento linear:
cons p m1v1i m2v2i m1v1f m2v2f
Não podemos saber as velocidades finais sabendo apenas as
iniciais, precisamos saber também uma das finais.
Caso particular: Colisão Completamente Inelástica - ocorre a
maior perda de energia cinética possível ‹ os dois objetos se
movem juntos após a colisão
m1v1i m2v2i m1 m2 vf vf
m1v1i m2v2i
m1 m2
VCM
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Pêndulo Balístico
Um pêndulo balístico é um dispositivo usado para medir a
velocidade de um projétil. Sabendo as massas do bloco de
madeira e do projétil, e medindo a altura atingida pelo bloco,
podemos sabera velocidade do projétil
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27/ 65
Um neutron de massa mn e velocidade vni sofre uma colisão
elástica com um núcleo de Carbono de massa mC inicialmente
em repouso. Quais são as velocidades finais do neutron e do
núcleo de Carbono? Qual a fração de energia cinética perdida
pelo neutron?
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29/ 65
Uma bala de massa m e velocidade v passa através do bulbo de
um pêndulo de massa M e emerge com velocidade v 2. O fio que
suporta o bulbo tem comprimento . Qual é o menor valor de v
para que o bulbo do pêndulo gire uma volta completa?
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31/ 65
Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superfície
horizontal, como mostra a figura. O coeficiente de atrito entre o
bloco e a superfície é . Uma extremidade de uma mola, de
constante elástica k , está ligada ao bloco, e a outra extremidade
está presa a uma parede. Inicialmente a mola não está
distendida. Uma bala de massa m1 atinge o bloco e fica grudada
nele. Se a deflexão máxima da mola for x , obtenha a velocidade
da bala em função de m1, m2, k , , g e x .
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Colisões em duas dimensões
Vamos considerar as situações mais gerais em que as colisões não
se dão em uma linha reta, mas em um plano.
O momento Linear se conserva em qualquer tipo de colisão, mas
agora temos que decompor a equação de conservação (que é
vetorial) em duas componentes:
cons px m1v1ix m2v2ix m1v1fx m2v2fx
cons py m1v1iy m2v2iy m1v1fy m2v2fy
Se a colisão for elástica, existe também a conservação de energia
cinética
cons K
1
2
m1v 21i
1
2
m2v 22i
1
2
m1v 21f
1
2
m2v 22f
Vemos que agora não é sufuciente sabermos as velocidades
iniciais para obtermos as finais: temos 4 incógnitas
(v1fx v1fy v2fx v2fy) e apenas 3 equações.
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Colisões em duas dimensões
As velocidades finais dependem do parâmetro de impacto b entre
os centros dos objetos antes da colisão. A quarta equação
depende desse parâmetro e do tipo de força entre os objetos.
Na prática, o que se costuma querer determinar são esses
parâmetros e mede-se uma ou todas as velocidades finais.
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Experimento de Rutherford
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1911
1/8000 angulo > 90
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Um objeto de massas m1 e velocidade v1i 20 m/s colide com
um de massa m2 inicialmente em repouso. Após a colisão, o de
massa m1 se move com v2f 15 m/s formando um ângulo de 25
com a direção da velocidade inicial. Em que direção segundo
objeto está se movendo?
R: tan 2 sen 1v1i
v1f
cos 1
0 99 2 45
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Um carro de 1200kg dirige para leste quando, num cruzamento,
um caminhão de 3000 kg dirigindo na direção norte a 50 km/h
colide com o carro, de forma que os dois saem juntos após a
colisão formando um ângulo de 59 com a direção inicial do
carro. O motorista do caminhão acusa o do carro, dizendo que
ele estava acima do limite permitido de 80 km/h. Verifique se
essa afimativa é verdadeira ou não.
R: vc mtvtmctan 75 km h
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Em uma colisão, uma bola de bilhar deslocando-se a uma
velocidade de 2,2 m/s atinge outra idêntica em repouso. Após a
colisão uma delas tem velocidade de 1,1 m/s fazendo um ângulo
de 60 com a linha original de movimento.
a) Qual a velocidade da outra bola?
b) a colisão é elática?
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41/ 65
Em um jogo de sinuca, a bola da vez sai a um ângulo de 35 com
a direção inicial. A que ângulo sai a bola branca, supondo que a
colisão seja elástica?
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42/ 65
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Colisões de partículas
Imagens de Câmara de Bolha
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Em uma colisão elástica de duas partículas de mesma massa, o ângulo entre elas 
após a colisão é 90 graus.
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Colisões no Referencial do CM
Quero descrever as colisões no referencial do CM. Vamos
considerar um sistema formado por duas partículas:
Já vimos como descrever o Movimento do
CM:
Fext MACM
Quero escrever a posição de cada partícula
em relação ao CM.
Sabemos a posição do CM em relação a um
nosso sistema de referência:
Rcm
m1r1 m2r2
M
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r
r
1
2
RCM
r
r
1
2
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Posição de m1 e m2 em relação ao CM:
r1 r1 Rcm r1
m1r1 m2r2
m1 m2
m1r1 m2r1 m1r1 m2r2
M
r1
m2
M
r1 r2
r2 r1 Rcm r2
m1r1 m2r2
m1 m2
m1r2 m2r2 m1r1 m2r2
M
r2
m1
M
r2 r1
m1
M
r1 r2
r2
m1
m2
r1
m1r1 m2r2 0
r1 e r2 tem a mesma direção e sentidos opostos: O CM é
um ponto interno à reta que liga as duas massas.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 45 / 64
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Momento Linear em relação ao CM
m1r1 m2r2 0
Derivando esta equação:
m1v1 m2v2 0
ou seja:
p1 p2 0
O momento linear total do sistema em relação ao CM é
nulo. Esta é uma definição de CM.
Este resultado pode ser estendido a muitas partículas, resultando
em:
miri 0
mivi pi 0
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Descrição da colisão no Referencial do CM
No referencial do CM, as partículas se aproximam uma da outra
com momentos iguais e contrários. Após a colisão, elas se
afastam também com momentos iguais e contrários.
Se temos a velocidade v1i e v2i no referencial do laboratório,
podemos passar para o referencial do CM:
v1i v1i VCM v1i v1i VCM
v2i v2i VCM v2i v2i VCM
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Caso particular
Vamos considerar o caso particular de duas massas iguais e que
uma delas esteja parada:
v1i v1i VCM
v2i VCM
VCM
mv1i m 0
2m
v1i
2
Note que essa velocidade do CM é constante pois P MVCM se
conserva.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 48 / 64
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Energia Cinética
Quero mostrar que a energia cinética de um sistema de partículas
pode ser escrita como a soma da energia cinética do CM com a
Energia cinética em relação ao CM.
K K
1
2
MV 2CM
K
1
2
m1v 21
1
2
m2v 22
v1 v1 VCM v2 v2 VCM
K
1
2
m1 v1 VCM
2 1
2
m2 v2 VCM
2
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50/ 65
K
1
2
m1 v1 VCM
2 1
2
m2 v2 VCM
2
K
1
2
m1v 21
1
2
m1V 2CM m1v1VCM
1
2
m2v 22
1
2
m2V 2CM m2v2VCM
K
1
2
m1v 21
1
2
m1V 2CM m1v1VCM
1
2
m2v 22
1
2
m2V 2CM m2v2VCM
K K KCM VCM m1v1 m2v2
como mivi 0:
K K KCM c q d
Qual é o maior valor de energia cinética que pode ser perdido
durante a colisão?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 50 / 64
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K
1
2
m1 v1 VCM
2 1
2
m2 v2 VCM
2
K
1
2
m1v 21
1
2
m1V 2CM m1v1VCM
1
2
m2v 22
1
2
m2V 2CM m2v2VCM
K
1
2
m1v 21
1
2
m1V 2CM m1v1VCM
1
2
m2v 22
1
2
m2V 2CM m2v2VCM
K K KCM VCM m1v1 m2v2
como mivi 0:
K K KCM c q d
Qual é o maior valor de energia cinética que pode ser perdido
durante a colisão?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 50 / 64
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Um núcleo radioativo, inicialmente em repouso, desintegra-se,
emitindo um elétron e um neutrino em direções perpendiculares
entre si. O módulo do momento linear do elétron é
1 2 10 22 kg m/s e o do neutrino 6 4 10 23 kg m/s.
1 Ache a direção e o módulo do momento adquirido pelo núcleo
ao recuar.
2 A massa do núcleo residual é de 5 8 10 26 kg. Qual a sua
energiacinética de recuo?
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(Colisões) Física 1 03/08/2014 52 / 64
54/ 65
Duas partículas P e Q estão inicialmente em repouso, separadas
por uma distância de 1 m. A partícula P tem massa
m1 3 0 kg, e Q tem massa m2 5 0 kg. Elas atraem-se
mutuamente com uma força constante de módulo 0,35 N.
Nenhuma força externa atua sobre este sistema.
1 Descreva o movimento do centro de massa do sistema.
2 A que distância da posição original de P as partículas vão
colidir?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 53 / 64
55/ 65
(Colisões) Física 1 03/08/2014 54 / 64
56/ 65
Dois corpos de massas m1 4 kg e m2 2 kg, com velocidades
de módulos v1 5 m/s e v2 2 m/s, como indicado na figura,
colidem e permanecem juntas após o choque.
1 Calcule a velocidade das partículas após o choque e a
variação na energia cinética total durante o choque.
2 Calcule as velocidades iniciais e finais dos corpos num
referencial ligado ao centro de massa do sistema. Faça o
esquema da colisão neste referencial.
3 Calcule a variação da energia cinética no referencial do centro
de massa do sistema.
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(Colisões) Física 1 03/08/2014 56 / 64
58/ 65
Como mostrado na figura, observa-se um bloco de madeira com
massa M 0 49 kg em repouso num plano horizontal. O
coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0 25. Uma
bala de massa m 0 01 kg é atirada contra o bloco, atingindo-o
horizontalmente com velocidade de 500 m/s, ficando nele
engastada.
1 Calcule a velocidade do conjunto imediatamente após o
impacto.
2 Ache a distância que o conjunto percorre até parar.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 57 / 64
59/ 65
(Colisões) Física 1 03/08/2014 58 / 64
60/ 65
Uma partícula de massa m movendo-se com velocidade v sobre
uma mesa plana sem atrito incide sobre outra partícula de massa
2m , em repouso. Após o choque, observa-se que a massa m tem
velocidade de módulo 2v 3 fazendo um ângulo de 60 com a
direção original do movimento, do ponto de vista de um
observador no laboratório.
1 Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e
depois do choque?
2 Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa do
sistema, da partícula de massa 2m após o choque?
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61/ 65
(Colisões) Física 1 03/08/2014 60 / 64
62/ 65
Uma bola de aço de massa 0,5 kg está presa a um cordão de
70 cm de comprimento e é abandonada quando o cordão está na
horizontal. Na parte mais baixa de sua trajetória, a bola atinge
um bloco de aço de massa 2,5 kg, inicialmetne em repouso sobre
uma superfície lisa, como mostrado na figura. A colisão é elástica.
Determine as velocidades da bola e do bloco após a colisão.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 61 / 64
0,5
0,7
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Uma colisão perfeitamente inelástica ocorre entre uma massa de
3 kg deslocando-se para cima a 20 m/s e outra de 2 kg
deslocando-se para baixo a 12 m/s. A que altura a massa
combinada se eleva acima do ponto de colisão?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 62 / 64
64/ 65
(Colisões) Física 1 03/08/2014 63 / 64
65/ 65
(Colisões) Física 1 03/08/2014 64 / 64