Transformada de haar

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Transformada de Haar
 Daniel Figueredo
 Iwanne Moreno
 Lucas Lopes 
 Lucas Azara
 Vinicio de Almeida
Definição
Em suma a transformada de Haar é uma das transformadas discretas de 
Wavelet, criada em 1909 por Alfred Haar, onde wavelet (ondeleta) é uma função 
para decompor outra função no domínio do tempo e frequência. A transformada de 
Haar é uma das mais fáceis dentro das transformadas de Wavelet. 
Ela pode ser descrita como uma transformada linear e inversível, onde em 
princípio ela pega dois números e obtém a sua média e diferença, e a aloca em um 
vetor e a partir disso é possível recuperar os valores originais. Não é considerada o 
tipo mais sotisficado, por haver perdas quando usada na compactação de imagens.
 
Definição
Exemplo: Wavelet de Haar
Definição
Os vetores de média e diferença são obtidos respectivamentes pela divisão 
de 2, das somas e da subtração de pares dos números de entrada. Desta maneira 
mesmo que algum conteúdo do vetor se perca, a entrada e saída ainda serão mais 
coesos um com o outro, havendo menos distorção.
Fórmulas
Fórmulas
Fórmulas
Implementação da Fórmula. 
Utilização de Haar em 1-D para batimento cardíaco em matlab. 
Matrizes
Aplicação da Transformada de Haar
● 1-D Haar
● 2-D Haar
Exemplo 1-D:
9 7 3 5 6 10 2 6
a=(9+7)/2=8 
d=(9-7)/2=1 Diferença:
Média:
Exemplo 1-D:
9 7 3 5 6 10 2 6
8 4 8 4 1 -1 -2 -2
Exemplo 1-D:
9 7 3 5 6 10 2 6
8 4 8 4 1 -1 -2 -2
Exemplo 1-D:
9 7 3 5 6 10 2 6
8 4 8 4 1 -1 -2 -2
6 6 2 2
Exemplo 2-D:
100 50 60 150
20 60 40 30
50 90 70 82
74 66 90 58
Exemplo 2-D:
Exemplo:
100 50 60 150
20 60 40 30
50 90 70 82
74 66 90 58
Exemplo:
100 50 60 150
Exemplo:
75 105 25 -45
20 60 40 30
50 90 70 82
74 66 90 58
Exemplo:
75 105 25 -45
20 60 40 30
50 90 70 82
74 66 90 58
Exemplo:
75 105 25 -45
40 35 -20 5
50 90 70 82
74 66 90 58
Exemplo:
75 105 25 -45
40 35 -20 5
70 76 -20 -6
70 74 4 16
Exemplo:
75 105 25 -45
40 35 -20 5
70 76 -20 -6
70 74 4 16
Exemplo:
57.7 105 25 -45
70 35 -20 5
17.5 76 -20 -6
0 74 4 16
Exemplo:
57.7 105 25 -45
70 35 -20 5
17.5 76 -20 -6
0 74 4 16
Exemplo:
57.7 70 25 -45
70 75 -20 5
17.5 35 -20 -6
0 1 4 16
Exemplo:
57.7 70 25 -45
70 75 -20 5
17.5 35 -20 -6
0 1 4 16
Exemplo:
Inversa
A inversa da transformada pode ser representada de tal maneira, onde Z entrada, 
X média e Y diferença, assim Z1 & Z2 ->(X1,Y1) e Z3 & Z4 -> (X2,Y2):
● Z1 -> (X1+Y1)
● Z2 -> (X1-Y1)
● Z3 -> (X2+Y2)
● Z4 -> (X2-Y2)
A transformada inversa é realizada com os valores da média e da diferença, 
onde o número de itens em cada é a metade da entrada. Eles todos são 
armazenados em um só vetor.
57.7 70 25 -45
70 75 -20 5
17.5 35 -20 -6
0 1 4 16
Exemplo:
57.7
70
17.5
0
Exemplo:
x1=57,5+71,5=75
x2=57,5-71,5=40
y1=70+0 = 70
y2=70-0 = 70
75
40
70
70
Ex: Detector de edges em uma imagem.
● Haar Transformada de uma imagem produce “edge maps” vertical, horizontal e diagonal 
de uma imagem. Juntando os 3 transformações de Haar em uma imagem só. 
Ex: Edges em uma imagem.
Compressão de imagens
● O objetivo é reduzir a quantidade de dados necessários para armazenamento 
ou transmissão de sinais (imagens) ao mesmo tempo que se preserva sua 
qualidade ao máximo (ou em um nível aceitável dependendo da aplicação);
● Aplicando a transformada de Haar em regiões da imagem com pouca variação 
resulta numa matriz com muitos zeros;
● Matrizes com “grande proporção” de zeros são chamadas esparsas e gastam 
muito menos memória para serem armazenadas.
Ex: Compressão de imagem 
Ex: Compressão de imagem 
 Segmentação da Imagem
● É um processo em dividir a imagem em várias regiões;
● A segmentação da imagem é usada para localizar objetos e formas (linhas, 
curvas, etc); 
● O resultado da segmentação da imagem é um conjunto de regiões, ou um 
conjunto de contornos extraídos da imagem (ver detecção de borda). 
Ex: Segmentação da Imagem
Ex: Segmentação da Imagem
Aplicações em que se utiliza a transformada 
de Haar
● Mecânica de fluidos;
● Computação numérica;
● Análise de imagens;
● Processamento de sinais;
● Sistemas de controle;
● Fenômenos biológicos;
● Medicina;
● Psicologia.
Referências 
SILVA, Ricardo Dutra da; MINETTO, Rodrigo. Transformadas Wavelets: Teoria e Aplicações 
em Análise de Imagens Digitais. 2019. Disponível em: 
<http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~rminetto/slides.pdf>. Acesso em: 31 mar. 2019.
SILVA, Marline I.; TEIXEIRA, Larissa T.; KOZAKEVICIUS, Alice. PROPRIEDADES DA 
TRANSFORMADA DE HAAR ATRAVÉS DA ALGEBRA LINEAR. Disponível em: 
<http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxi_cnmac/PDF/513.pdf>. Acesso em: 31 mar. 
2019.
MATHEMATICS, The Society For Industrial And Applied. Image Compression: How Math 
Led to the JPEG2000 Standard. Disponível em: 
<http://www.whydomath.org/node/wavlets/hwt.html>. Acesso em: 30 mar. 2019.
SALOMON, David. Data Compression: The Complete Reference. 3. ed. California: Springer, 
2004. 920 p.