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Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 1 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 8,0 m4,0 m 4, 0 m 2 tf/m A B D C E 2 tf/m 4, 0 m (θb, θc) q.l 12 =+ q.l 12 =- BC BC 2 2 INCÓGNITAS 8,0 m4,0 m A B D C E SISTEMA PRINCIPAL (0) 1 2 β 10 β 20 +10,667 -10,667 ϕ = 1 8,0 m4,0 m SISTEMA AUXILIAR (1) β 11 β 21 θbx 4EI l = = 4 83EI l = = 3 4 2EI l = = 2 8 1 2 0,75 0,5 0,25 AB BC BC 4EI l = = 4 4 1,0DB 2EI l = = 2 4 0,5DB A B D C E 1. Traçar os diagramas de esforços solicitantes (esforço normal, esforço cortante e momento fletor) do pórtico abaixo por meio do método dos deslocamentos. Considerar as barras indeformáveis axialmente e EI constante. Sugestão: EI sendo constante, podemos substituí-lo por 1 para facilitar as contas, pois ele se auto-cancelará no cálculo dos momentos finais. 1.0 Sistema principal 0 1.1 Sistema auxiliar 1 (Giro unitário no nó 1, ou seja, nó B) Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 2 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 ϕ = 1 8,0 m4,0 m SISTEMA AUXILIAR (2) β 12 β 22 θcx 2EI l = = 2 8 4EI l = = 4 8 3EI l = = 3 4 1 2 0,25 0,5BC BC CE 0,75A B D C E 1.2 Sistema auxiliar 2 (Giro unitário no nó 2, ou seja, nó C) 1.3 Cálculo dos �′� ��� = +10,667 ��� = 0,75 + 0,5 + 1,0 = 2,25 ��� = 0,25 ��� = −10,667 ��� = 0,25 ��� = 0,5 + 0,75 = 1,25 1.4 Montagem do sistema de equações ��� + ����� + ����� = 0 ����� + ����� = −��� ��� + ����� + ����� = 0 ����� + ����� = −��� 2,25�� + 0,25�� = −(10,667) 2,25�� + 0,25�� = −10,667 0,25�� + 1,25�� = −(−10,667) 0,25�� + 1,25�� = +10,667 Resolvendo o sistema por meio da calculadora, obtém-se: �� = ��,��� �� !" e �# = $,%$& �� !" Obs: Não esquecer que o coeficiente EI ainda existe e deve ser colocado na resposta. Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 3 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 1.5 Cálculo dos momentos finais Barra AB '( ) = '(* + '(+ . �� + '(- . �� ./ 0 = 1 + 1 + 1 = 1 Para comprovar o que foi dito na sugestão, será considerado o produto 23 apenas para este cálculo de momento, os próximos serão feitos de maneira direta. '� ) = '�* + '�+ . �� + '�- . �� '� ) = 0 � 0,7523 4 � �5,818 23 � � 0 '� ) � 0 � 0,7523 4 � �6,7�7 89 � .� 0 � � :, ;%: <0=> ↷ Giro horário Barra BC '� ) = '�* + '�+ . �� + '�- . �� '� ) = 10,667 � 0,54��5,818� � 0,254�9,697� .� 0 � �1, ��A <0=> ↶ Giro anti-horário '� ) = '�* + '�+ . �� + '�- . �� '� ) = −10,667 � 0,254��5,818� � 0,54�9,697� .# 0 � � &, A&; <0=> ↷ Giro horário Barra BD '� ) = '�* + '�+ . �� + '�- . �� '� ) = 0 � 14��5,818� � 0 .� 0 � � �, ��� <0=> ↷ Giro horário Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 4 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 8,0 m4,0 m 4, 0 m DMF[tfxm] q.l 8 BC 2 =16 4,364 10,182 7,273 7,273 5,818 2,909 A B D C E 'C ) = 'C* + 'C+ . �� + 'C- . �� 'C ) = 0 � 0,54��5,818� � 0 .D 0 � � A, $1$ <0=> ↷ Giro horário Barra CE '� ) = '�* + '�+ . �� + '�- . �� '� ) = 0 � 0 � 0,754�9,697� .# 0 � &, A&; <0=> ↶ Giro anti-horário '8 ) = '8* + '8+ . �� + '8- . �� '8 ) = 0 � 0 � 0 .� 0 � 1 1.6 Traçado do diagrama de momento fletor (DMF) Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 5 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 A B 4,0 m 4,364 4,364 4 = 1,091 tf 4,364 4 = 1,091 tf 16 tf (resultante) B C 10,182 8,0 m 7,273 16 2 = 8 tf 16 2 = 8 tf 10,182 8 = 1,273 tf 10,182 8 = 1,273 tf 7,273 8 = 0,91 tf 7,273 8 = 0,91 tf 8,363 tf 7,637 tf 1.7 Cálculo das reações de apoio 1.7.1 Análise da barra AB 1.7.2 Análise da barra BC Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 6 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 C E 4, 0 m 7,273 7,273 4 = 1,818 tf 7,273 4 = 1,818 tf B D 2,909 4, 0 m 5,818 2,909 4 = 0,727 tf 5,818 4 = 1,455 tf 2,909 4 = 0,727 tf 5,818 4 = 1,455 tf 2,182 tf 2,182 tf 16 tf (resultante) A B 1,091 tf 1,091 tf B C 8,363 tf 7,637 tf B D 2,182 tf 2,182 tf C E 1,818 tf 1,818 tf 10,182 7,2734,364 2,909 5,818 7,273 1.7.3 Análise da barra BD 1.7.4 Análise da barra CE 1.7.5 Esquema de todas as barras juntas Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 7 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 1.7.6 Reações do apoio em A Para calcular a reação horizontal em A, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo horizontal que corta o ponto A, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto A, portanto tem-se uma reação em B e outra em C, entãoadotando para a direita sentido positivo, obtém-se: E( = −2,182 + 1,818 = −0,364 HI O valor negativo indica que o sentido da reação é da direita para a esquerda. ∴ E( = 0,364 HI ← Para calcular a reação vertical em A, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo vertical que corta o ponto A, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto A, porém tem-se apenas uma reação no mesmo eixo, neste caso, esta será a própria reação L(, sendo assim, obtém- se: L( = 1,091 HI ↓ 1.7.7 Reações do apoio em D Para calcular a reação horizontal em D, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo horizontal que corta o ponto D, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto D, porém tem-se apenas uma reação no mesmo eixo, neste caso, esta será a própria reação EC, sendo assim, obtém-se: EC = 2,182 HI → Para calcular a reação vertical em D, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo vertical que corta o ponto D, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto D, portanto tem-se duas reações em B, uma referente a barra AB e outra referente a barra BC, então adotando para cima sentido positivo, obtém-se: LC = 1,091 + 8,363 = 9,454 HI ∴ LC = 9,454 HI ↑ O valor do momento em D é o próprio momento final em D da barra BD já calculado anteriormente, portanto tem-se: 'C = 2,909 HI. P ↻ (RSTHUVW ℎWYáYUW) Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 8 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 A B D C E 16 tf (resultante) HA = 0,364 tf VA = 1,091 tf HD = 2,182 tf VD = 9,454 tf MD = 2,909 tf.m HE = 1,818 tf VE = 7,637 tf 1.7.8 Reações do apoio em E Para calcular a reação horizontal em E, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo horizontal que corta o ponto E, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto E, porém tem-se apenas uma reação no mesmo eixo, neste caso, esta será a própria reação L8, sendo assim, obtém- se: E8 = 1,818 HI ← Para calcular a reação vertical em E, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo vertical que corta o ponto E, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto E, porém tem-se apenas uma reação no mesmo eixo, neste caso, esta será a própria reação L8, sendo assim, obtém- se: L8 = 7,637 HI ↑ 1.7.9 Esquema de todas as reações da estrutura Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 9 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 x1 x2 x 3 x 4 2 tf/m A B D C E HA = 0,364 tf VA = 1,091 tf HD = 2,182 tf VD = 9,454 tf MD = 2,909 tf.m HE = 1,818 tf VE = 7,637 tf 16 tf (resultante) 1.8 Diagrama de esforço cortante Legenda: [\,] → ^WYH_THS TW UTí`UW VW HYS`ℎW a [),] → ^WYH_THS TW IUP VW HYS`ℎW a Convenção: bUYW TW RSTHUVW ℎWYáYUW, `WYH_THS cWRUHUdW. bUYW TW RSTHUVW _THU − ℎWYáYUW, `WYH_THS TSe_HUdW. 1.8.1 Trecho 1 [\,� = L( = − 1,091 HI [),� = [\ = − 1,091 HI 1.8.2 Trecho 2 [\,� = [),� + LC = − 1,091 + 9,454 = 8,363 HI [),� = [\,� − fSRghH�� = 8,363 − 2 ∙ 8 = −7,637 HI Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 10 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 8,0 m4,0 m 4, 0 m DEC [ tf ] 7,637 8,363 1,818 1,091 2,182 A B D C E 1.8.3 Trecho 3 [\,j = EC = − 2,182 HI [),j = [\,j = − 2,182 HI 1.8.4 Trecho 4 [\,k = E8 = 1,818 HI [),k = [\,k = 1,818 HI 1.8.5 Traçado do diagrama de esforço cortante (DEC) Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 11 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 x1 x2 x 3 x 4 2 tf/m A B D C E HA = 0,364 tf VA = 1,091 tf HD = 2,182 tf VD = 9,454 tf MD = 2,909 tf.m HE = 1,818 tf VE = 7,637 tf 16 tf (resultante) 1.9 Diagrama de esforço normal Legenda: l\,] → 2RIWYçW TWYP_h TW UTí`UW VW HYS`ℎW a l),] → 2RIWYçW TWYP_h TW IUP VW HYS`ℎW j Convenção: nWYç_ "saindo" V_ RSçãW, SRIWYçW TWYP_h cWRUHUdW (wY_çãW). nWYç_ "entrando" T_ RSçãW, SRIWYçW TWYP_h TSe_HUdW (^WPcYSRRãW). 1.9.1 Trecho 1 l\,� = E( = 0,364 HI l),� = l\,� = 0,364 HI 1.9.2 Trecho 2 l\,� = l),� − EC = 0,364 − 2,182 = −1,818 HI l),� = l\,� = −1,818 HI Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 12 Prof. Winston Zumaeta Método dos deslocamentos 18/04/2015 8,0 m4,0 m 4, 0 m DEN [ tf ] 1,818 7,637 0,364 9,455 A B D C E 1.9.3 Trecho 3 l\,j = − LC = − 9,454 HI l),j = l\,j = − 9,454 HI 1.9.4 Trecho 4 l\,k = − L8 = − 7,637 HI l),k = l\,k = − 7,637 HI 1.9.5 Traçado do diagrama de esforço normal (DEN)
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