ESTRUTURAS HIPERESTATICAS

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
São estruturas que apresentam Grau de Hiperestaticidade
maior que 1, em outras palavras poderíamos dizer que são
Estruturas com excesso de Reações Externas (redundantes).
Vantagens :
� Estruturas mais seguras;
� Há uma distribuição maior das tensões devido à rigidez.
Quando um elemento é muito solicitado, ocorre um
redistribuição de esforços para os elementos ao seu redor.
� Deflexões menores, devido a maior rigidez e continuidade
da Estrutura;
� Economia de Materiais, pois elementos de um determinado
tamanho, podem suportar mais cargas do que as estruturas
isostáticas.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Desvantagens : 
� Recalques de Apoios:
Podem causar variações nos momentos Fletores, cortantes,
forças de reação e forças nos elementos estruturais.
� Desenvolvimento de outras tensões, devido a variações térmicas,
má fabricação ou deformações internas.
� Dificuldade de análise e Projeto:
Os esforços internos não dependem exclusivamente de suas
dimensões, mas também das propriedades elásticas e
geométricas de sua seção transversal (módulo de elasticidade,
momento de inércia e áreas).
Ou seja, as forças não podem ser determinadas até que as
dimensões dos elementos estruturas sejam conhecidos e as
dimensões dos elementos estruturais não podem ser
determinados até que suas forças sejam conhecidas.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Como proceder:
� Incialmente admitimos dimensões para os elementos
estruturais, calculando-se os esforços.
� Após, projetamos os elementos para esses Esforços, e
recalculamos estes para estas dimensões e assim por
diante, até que o projeto final seja obtido.
� Utilizamos o método das aproximações sucessivas.
� Este procedimento pode acarretar o surgimento de
forças reversas, que poderão exigir reforços com outro
tipos de materiais.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Métodos de Cálculo:
A solução de estruturas Hiperestáticas não pode ser feita
simplesmente a luz das equações de equilíbrio da estática,
sendo necessárias equações adicionais.
Tanto as reações adicionais, com os esforços que podem surgir
em função do grau de hiperestaticidade, são chamados de
redundantes.
Assim, existem dois métodos principais para a solução de
estruturas hiperestáticas, a saber:
� Método das forças ou da flexibilidade ou da
Compatibilidade (MF);
� Método das deformações (deslocamentos) ou rigidez ou
equilíbrio (MD).
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Métodos das Forças:
As Redundantes estáticas (reações) são
selecionadas e removidas da estrutura de forma
que reste uma estrutura estaticamente estável e
determinada.
Elaboramos uma equação de compatibilidade para
o local onde for removida uma abundante estática,
e as resultantes são resolvidas a fim de fornecerem
os valores numéricos das redundantes.
A seguir podem ser usadas as equações da estática
para calcular os esforços.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
• Métodos das Forças:
S1
S2
S3
S4
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Métodos das Forças: 
Para aplicação deste método, as seguintes 
condições devem ser atendidas:
� Condições de equilíbrio;
�Condições sobre o comportamento dos 
materiais (leis construtivas);
�Condições de Compatibilidade;
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Métodos das Forças: SISTEMÁTICA:
�Determinação do grau de Hiperestacidade;
�Escolha do Sistema Isostático (Sistema Principal 
(SP));
�Calculo dos deslocamentos (coeficientes de 
flexibilidade)
�Resolução do sistema de Equações de 
compatibilidade de deslocamentos;
�Obtenção das Reações e Esforços Finais .
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
As condições matemáticas que o modelo estrutural tem
que satisfazer, para representar adequadamente o
comportamento da estrutura real, podem ser divididas
nos seguintes grupos:
� Condições de equilíbrio;
� Condições de compatibilidade entre deslocamentos
e deformações;
� Condições sobre o comportamento dos materiais
que compõem a estrutura (leis constitutivas dos
materiais).
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Considerando que não serão levados em conta os 
problemas de vibrações ou de dinâmica de estruturas, 
podemos afirmar:
“condições de equilíbrio são condições que garantem o 
equilíbrio estático de qualquer porção isolada da 
estrutura ou da estrutura como um todo.” 
• O exemplo abaixo exemplifica as condições básicas 
que o modelo estrutural tem que atender; 
• São três barras articuladas, com uma força externa P 
aplicada no nó que conecta as três barras;
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
O exemplo abaixo exemplifica as condições básicas que o modelo estrutural tem que 
atender; 
São três barras articuladas, com uma força externa P aplicada no nó que conecta as 
três barras;
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
O equilíbrio do nó inferior na direção vertical Y garante o 
equilíbrio global da estrutura: 
ΣFY = 0→N1 + 2 ⋅N2 ⋅ cosθ = P . 
Onde: 
N1 →esforço normal na barra verJcal;
N2 →esforço normal nas barras inclinadas. 
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
A condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferior da 
estrutura foi escrita considerando a geometria original 
(indeformada) da estrutura. 
Isto só é válido quando os deslocamentos que a estrutura vai 
sofrer são muito pequenos em relação às dimensões da 
estrutura. 
• Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos 
deslocamentos (análise de primeira ordem).
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
O equilíbrio do nó inferior na direção vertical Y garante o 
equilíbrio global da estrutura: 
ΣFY = 0→N1 + 2 ⋅N2 ⋅ cosθ = P . 
• Onde: 
• N1 →esforço normal na barra verJcal;
• N2 →esforço normal nas barras inclinadas. 
• a condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferior da 
estrutura foi escrita considerando a geometria original 
(indeformada) da estrutura. 
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Isto só é válido quando os deslocamentos que a estrutura vai 
sofrer são muito pequenos em relação às dimensões da 
estrutura. 
Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos 
deslocamentos (análise de primeira ordem).
Observa-se que não é possível determinar os valores dos 
esforços normais N1 e N2. 
Existem duas incógnitas em termos de esforços e apenas uma 
equação de equilíbrio. 
As estruturas que não podem ter seus esforços determinados 
apenas pelas equações de equilíbrio são chamadas de estruturas 
hiperestáticas; 
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Em geral, as equações de equilíbrio fornecem 
condições necessárias, mas não suficientes, para 
a determinação dos esforços no modelo 
estrutural. 
Para a determinação dos esforços em estruturas 
hiperestáticas, é necessário fazer uso das outras 
condições, que são tratadas nas seções a seguir.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Condições de compatibilidade entre deslocamentos e 
deformações.
São condições geométricas que devem ser satisfeitas para 
garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça 
contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e 
compatível com seus vínculos externos. 
As condições de compatibilidade são expressas por 
relações geométricas impostas no modelo estrutural para 
garantir a continuidade no domínio da estrutura real; 
As condições de compatibilidade podem ser divididas em 
dois grupos:
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Condições de compatibilidade externa: referem-se aos 
vínculos externos da estrutura e garantem que os 
deslocamentos e deformações sejam compatíveis com as 
hipóteses adotadas, com respeito aos suportes ou 
ligações com outras estruturas; 
Condições de compatibilidade interna: garantem que a 
estrutura permaneça, ao se deformar, contínua no 
interior dos elementos estruturais (barras) e nas 
fronteiras entres os elementos estruturais,isto é, que as 
barras permaneçam ligadas pelos nós que as conectam 
(incluindo ligação por rotação no caso de não haver 
articulação entre barras).
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
• As condições de compatibilidade externa, no exemplo, são 
garantidas quando só se admite uma configuração deformada 
para a estrutura que tenha deslocamentos nulos nos nós 
superiores; As condições de compatibilidade interna devem 
garantirque as três barras permaneçam ligadas pelo nó 
inferior na configuração deformada. 
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Considerando a simetria da estrutura, pode-se então estabelecer 
relações de compatibilidade entre os alongamentos das barras 
da estrutura e o deslocamento vertical do nó inferior:
d1 = D1 ; 
d2 = D1 ⋅ cosθ . 
Sendo: 
D1 →deslocamento verJcal do nó inferior; 
d1 →alongamento da barra verJcal; 
d2 →alongamento das barras inclinadas.
Isto resulta na seguinte equação de compatibilidade entre os 
alongamentos das barras: d2 = d1 ⋅ cosθ .
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
A introdução da equação de compatibilidade 
acrescentou duas novas incógnitas ao problema, d1 e 
d2, sem relacioná-las às incógnitas anteriores, N1 e N2. 
Entretanto, essas quatro incógnitas vão ficar 
relacionadas através da consideração do 
comportamento do material que compõe a estrutura, 
sem que isso introduza novas incógnitas.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Leis constitutivas dos materiais: 
O modelo matemático do comportamento dos 
materiais, é expresso por um conjunto de relações 
matemáticas entre tensões e deformações, chamadas 
de leis constitutivas; 
A Teoria da Elasticidade estabelece que as relações da 
lei constitutiva são equações lineares com parâmetros 
constantes. 
Nesse caso, é dito que o material trabalha em regime 
elástico-linear, em que tensões e deformações são 
proporcionais.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Entretanto, nem sempre é possível adotar um 
comportamento tão simplificado para os materiais; 
Procedimentos modernos de projeto de estruturas 
metálicas ou de concreto armado são baseados no 
Estado de Limite Último, quando o material não tem 
mais um comportamento elástico-linear; 
Apesar disso, só serão considerados materiais 
idealizados com comportamento elástico-linear e sem 
limite de resistência. 
Isto é justificado pelos seguintes motivos:
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
De uma maneira geral, as estruturas civis trabalham em 
regime elástico-linear. Por isso, a maioria das estruturas é 
analisada adotando-se essa aproximação.
Mesmo para projetos baseados em regime último, a 
determinação da distribuição de esforços internos é, em 
geral, feita a partir de uma análise linear. 
Isto é, faz-se o dimensionamento local no estado último de 
resistência, com o uso de coeficientes de majoração de 
carga e de minoração de resistência, mas com esforços 
calculados através de uma análise global linear. 
Na prática, uma análise não linear é executada 
computacionalmente de forma incremental, sendo que em 
cada passo do processo incremental é feita uma análise 
linear. 
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Portanto, no exemplo, o material considerado tem um 
comportamento elástico-linear. 
As barras desta estrutura estão submetidas apenas a 
esforços axiais de tração. 
As tensões σx e deformações εx que aparecem nesse 
caso são normais às seções transversais das barras; 
A lei constitutiva que relaciona tensões normais e 
deformações normais é a conhecida Lei de Hooke. 
�� = ���
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Onde: 
E→ Módulo de ElasJcidade (propriedade do material); 
σ x →tensões normais na direção axial da barra;
εx →deformações normais na direção axial da barra. 
Assim, para a barra vertical do exemplo, tem-se:
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Observa-se que as duas equações anteriores 
introduziram novas relações entre as incógnitas do 
problema. 
Dessa maneira, as Equações formam um sistema de 
quatro equações a quatro incógnitas, N1, N2, d1 e d2, 
resultando na solução única do problema. 
Vê-se que só foi possível resolver a estrutura 
hiperestática desse exemplo utilizando todos os três 
tipos de condições:
� Equilíbrio, 
� Compatibilidade e, 
� Leis constitutivas. 
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Assim, podemos Resumir: 
Estruturas estaticamente determinadas e 
Indeterminadas 
Estruturas Isostáticas ou Estaticamente Determinadas 
são aquelas que podem ter seus esforços internos e 
externos (reações de apoio) determinados apenas por 
condições de equilíbrio
Estruturas Hiperestáticas ou Estaticamente 
Indeterminadas são aquelas que não podem ter seus 
esforços internos e externos determinados apenas 
pelas condições de equilíbrio.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
A maioria das estruturas é HIPERESTÁTICA, devido a alguns 
motivos: 
� Algumas formas estruturais são intrinsecamente 
hiperestáticas, tais como o esqueleto de um edifício (conjunto 
de lajes, vigas e pilares), a casca de uma cobertura ou uma 
treliça espacial; 
� Os esforços internos em uma estrutura hiperestática têm, em 
geral, uma distribuição mais otimizada ao longo da estrutura. 
Isto pode levar a menores valores para os esforços máximos; 
� Na estrutura hiperestática há um controle maior dos esforços 
internos por parte do analista estrutural (mudar rigidez dos 
membros estruturais para melhor distribuição de esforços); 
� Em uma estrutura hiperestática os vínculos excedentes 
podem induzir uma segurança adicional.
ESTRUTURAS HIPERESTATICAS
Estruturas isostáticas deveriam ser evitadas por não 
oferecerem capacidade de redistribuição de esforços; 
Mas existem algumas vantagens da estrutura isostática: 
Essas vantagens são decorrência da própria característica 
da estrutura isostática: 
� Ter seus esforços internos definidos única e 
exclusivamente pelas cargas aplicadas e pela geometria 
da estrutura, não existindo dependência quanto às 
propriedades dos materiais e de rigidez das barras.
� Outra vantagem da estrutura isostática é que ela se 
acomoda a pequenas modificações impostas em sua 
montagem ou construção, como a variações de 
temperatura (provocando deslocamento) sem que 
apareçam esforços internos.
ESTRUTURAS HIPER. - Método das Forças – ex. 1
Calcule as reações de apoio da viga da figura utilizando 
o método das forças. 
Considere as deformações devidas à força cortante e ao 
momento fletor. 
A seção transversal usada trata-se de um perfil soldado 
de aço, padrão VS-800x111 , conforme figura
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
A seção transversal usada trata-se de um perfil soldado 
de aço, padrão VS-800x111 , conforme figura
Dados: 
E=201.106 KN/m² (aço) 
G=80.10.106kN/m² (aço)
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
Grau de Hiperestaticidade (GH);
ESTRUTURA ISOSTÁTICA FUNDAMENTAL;
NR=4
NEQ=3
GH=4-3 = 1 
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
Determinação do deslocamento Real do sistema 
Principal:
Momentos Reais:
Momento e Cortante Virtuais
Qv(x)= 45X
Mv(X) = -22,5X²
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
Momentos Virtuais:
Momento e Cortante Virtuais
Qv(x)= 1
Mv(X) = -1X
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
Assim, aplicando o PTV, teremos:
• 0≤X<10 →
�	�
� = �


�
��
	�� + �
���
��
	��
�
��
	� 22,50X³
��
�
	�� +
�
��
	� 45X 
��
�
	��
MOMENTOS
REAL VIRTUAL REALxVIRTUAL
-22,5X² -X -22,5X²*-X = 22,5X³
CORTANTE
REAL VIRTUAL REALxVIRTUAL
45X 1 45X*1=45X
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
�	�
� =
�
��
	�	� ��, ��³
��
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� = 0,1727+0,0000001744
										�3��4 = �, �5�5�6557
ESTRUTURAS HIPER. - Método das Forças – ex. 1
Deslocamento para a Carga (Reação) Redundante
Momento e Cortante Redundantes
QR(x)= -RVB
MR(X) = RVBX
ESTRUTURAS HIPER. - Método das Forças – ex. 1
Carga Virtual Redundante
Momento e Cortante Redundantes
QVR(x)= -1
MVR(X) = X
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
Assim, aplicando o PTV, teremos:
• 0≤X<10 →
�	�8 = �

3
93
��
	�� + �
�3�93
��
	��
�
��
	� −39;�²
��
�
	�� +
�
��
	� 39; 
��
�
	��
MOMENTO
REDUNDANTE VIRTUAL REDUNDANTE REDUNDANTE x VIRTUAL REDUNDANTE
RVBX -X -RVBX²
CORTANTE
REDUNDANTE VIRTUAL REDUNDANTE REDUNDANTE x VIRTUAL REDUNDANTE
-RVB -1 RVB
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
Deslocamento para a Carga (Reaçao) reduntante�	�8 =
�
��
	�	� 	� −39;�²
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�� +
�
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				�3�K = −	�, �����L�6�39;
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 1
CONDIÇÃO DE COMPATIBILIDADE:
�	; = 0
ASSIM:
�	;= 	�		3��4+ �			3�K = 0
�, �5�5�655 − 	�, �����L�6�39; = �	
RVB= 168,75KN
EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO:
∑ FX= 0 → RVA+RVB=450 → RVA= 281,25KN
∑ MX= 0 → MA - 45*50+ 168,75*10 =0 → MA= 562,50KNm
ESTRUTURAS HIPER. - Método das Forças – ex.2
Calcule as reações de apoio da viga da figura utilizando o método 
das forças. 
Considere as deformações devidas à força cortante e ao 
momento fletor. 
Considerar uma viga de concreto, com as seguintes 
características: 
Seção (20X35) – A= 700cm² - I = 71458cm 4
E= 25*106KN/m² ; G=10*106KN/m² 
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Grau de Hiperestaticidade (GH);
ESTRUTURA ISOSTÁTICA FUNDAMENTAL;
NR=4
NEQ=3
GH=4-3 = 1 
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Deformação devido á Carga Real:
Deformação devido á Carga Virtual;
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Reações do Carregamento Real:
EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO
Σ Fx = 0 → Rx2 = 0 
Σ Fy = 0 → Ry1+Ry2-150-200-50=0 → Ry1+Ry2 = 400
Σ M1= 0 → -150x1,5 – 200x4 -50x5,5 + 5xRy2 =0 → 5Ry2= 1300 → Ry2=260N 
Ry1 = 140N
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Esforços Internos do Carregamento Real
ESTRUTURAS HIPER. – Método das Forças – ex. 2
Esforços Internos do Carregamento Real
Trecho 1
0≤X< 3
N=0
Q(x)=140-50X
M(x)=140X-25X²
Trecho 2
3≤X< 5
N=0
Q(x)=140-150-100(X-3)=-10-100X+300
Q(X)=-100X+290
M(x)= 140X-150(X-1,5)-50(X-3)²
M(x)= 140X-150X+225-50(X-3)²
M(x) = -10X+225-50X²+300X-450
M(x)=-50X²+ 290X- 225
ESTRUTURAS HIPER. – Método das Forças – ex. 2
Esforços Internos do Carregamento Real
Trecho 3 5≤X< 6
N=0
Q(x)=140-150-200+260-50(X-5)
Q(x)= 50-50X+250
Q(x)=300-50X
M(x)=140X-150(X-1,5)-200(X-4)+
260(X-5)-25(X-5)²
M(x)= 140X-150X+225-200X +800
+260X-1300-25(X-5)²
M(x) = 50X-25X²-250X-625-275
M(x)=-25X²-200X -900
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Reações devidas a Carga Virtual
EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO
Σ Fx = 0 → Rx2 = 0 
Σ Fy = 0 → Ry1+Ry2-1=0 → Ry1+Ry2 = 1
Σ M1= 0 → -1x6 + 5xRy2 =0 → 5Ry2= 6→ Ry2=1,2N 
Ry1 = -0,2N
ESTRUTURAS HIPER. – Método das Forças – ex. 2
Esforços Internos do Carga Virtual
Trecho 1
0≤X< 5
N=0
Q(x)=-0,2
M(x)=-0,2X
Trecho 2
5≤X< 6
N=0
Q(x)=-0,2+1,2=1,0 → Q(x)=1,0
M(x)= -0,2X+1,2(X-5)
M(x)= -0,2X+1,2X -6
M(x)=X-6
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Assim, aplicando o PTV ao Sistema Real a ao Virtual, 
teremos:
SEÇÃO N M
0 -1 0 -5 REALxVIRTUAL
3 -1 0 -5 140X-25X²*-0,2X = -28X²+5 X³
Trecho 2 -50X²+ 290X- 225 -0,2X (-50X²+290X-225)*-0,2X =
10X³ -58X² + 45X
Trecho 3 -25X²-200X -900 X-6 (-25X²-200X -900)*(X-6)=
-25X³-200X²-900X+150X²+1200X+5400=
-25X³ -50X²+300X+5400
CORTANTE
REAL VIRTUAL REALxVIRTUAL
Trecho 1 140-50X -0,2 (140-50X)*-0,2 = -28 + 10X
Trecho 2 -100X+290 -0,2 (-100X+290)*-0,2= 20X-58
Trecho 3 300-50X 1,0 (300-50X)*1,0 = 300-50X
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
0≤X<3 → Trecho 1
�	�
�	R1 = �


�
��
	�� + �
���
��
	��
�
��
	� −	28X²+5 X³ 
L
�
	dx +
�
��
	� (−28 + 10X) 
L
�
	�x =
�
��
	
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L
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�
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	 -28x+5x²
X= 0 → 0
X= 3 → 
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	 = -8,4385.10-6 -5,57.10-8
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�	R1 = -8,4942.10
-6
ESTRUTURAS HIPER. - Método das Forças – ex. 2
3≤X<5 → Trecho 2
�	�
�	R2 = �


�
��
	�� + �
���
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�
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	� 10X³ −58X² + 45X 
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�
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	� 20X−58 
�
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-5 – (-6,66963.10-6 )
�	�
�	R2 = - 9,7144.10
-6
ESTRUTURAS HIPER. - Método das Forças – ex. 2
5≤X<6 → Trecho 3
�		�
�	R3 = �


�
��
	�� + �
���
��
	��
�
��
	� −25X³ −50X²+300X+5400 
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	� 300−50X 
\
�
	�x =
�
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	�−
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A
X³ +
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X² + 5400X)+
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	�300X−25X²)
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9,0834.10-6+1,200.10-6= 1,0333.10-5
X= 6 → 
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+ 
T$$
($($∗+$$/($%
	 =
9,5748.10-6+ 1,2857.10-6= 1,0861.10-5
�		�
�	R3= 1,0861.10
-5 - 1,0333.10-5 
]	^_`a	bL= 5,2714.10
-7
�		�
� = �		�
�	R1 + �		�
�	R2 + �		�
�	R3
�		�
�	 = -8,4942.10
-6 - 9,7144.10-6 + 5,2714.10-7
]	^_`a = -1,7682.10-5
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Deformação devido á Reação Redundante
Deformação devido á Carga Virtual Redundante;
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Reações devidas a Carga Redundante
EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO
Σ Fx = 0 → Rx2 = 0 
Σ Fy = 0 → Ry1+Ry2+Ry3=0 → Ry1+Ry2 = -RY3
Σ M1= 0 → Ry3x6 + 5xRy2 = 0 → 5Ry2= -6Ry3→ Ry2=-1,2Ry3 
Ry1 = +0,2Ry3
ESTRUTURAS HIPER. - Método das Forças – ex. 2
Esforços Internos do Carga Redundante
Trecho 1
0≤X< 5
N=0
Q(x)=0,2Ry3
M(x)=0,2Ry3X
Trecho 2
5≤X< 6
N=0
Q(x)=0,2Ry3-1,2Ry3 → 
Q(x)=-Ry3
M(x)=0,2Ry3X-1,2Ry3(X-5)
M(x)=-Ry3X+6Ry3
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Reações devidas a Carga Virtual Redundante
EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO
Σ Fx = 0 → Rx2 = 0 
Σ Fy = 0 → Ry1+Ry2+1=0 → Ry1+Ry2 = -1
Σ M1= 0 → 1x6 + 5xRy2 =0 → 5Ry2= -6→ Ry2=-1,2
Ry1 = +0,2
ESTRUTURAS HIPER. - Método das Forças – ex. 2
Esforços Internos do Carga Virtual Redundante
Trecho 1
0≤X< 5
N=0
Q(x)=0,2
M(x)=0,2X
Trecho 2
5≤X< 6
N=0
Q(x)=0,2-1,2 → Q(x)=-1
M(x)=0,2X-1,2(X-5)
M(x)=-X+6
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Assim, aplicando o PTV ao Sistema Redundante, teremos:
MOMENTOS 
Redundante Virtual redundante Redundante x Virtual redundante
Trecho 1 0,2Ry3X 0,2X 0,2Ry3X*0,2X = 0,04Ry3X²
Trecho 2 -Ry3X+6Ry3 (-X+6) (-Ry3X+6Ry3)*(-X+6) = 
Ry3X²-6Ry3X-6Ry3X+36Ry3 =
Ry3X²-12Ry3X+36Ry3
CORTANTE
Redundante x Virtual Redundante
Trecho 1 0,2Ry3 0,2 0,2Ry3*0,2 = 0,04 Ry3
Trecho 2 -Ry3 -1 Ry3
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
TRECHO 1 :
�		�8ef8
fTE		T1
=
�
��
	�	� 0,04Ry3X² 
#
�
�� +
�
��
	� 0,04 Ry3 
#
�
��
�
��
�
$,$%>gAh³
A
) +
�
��
( 0,04Ry3X)
X= 0 → 0
X= 3 →
$,A'>gA
"#∗($T	∗
i./jk
.1		k
+
0,12 Ry3
($($∗+$$/($%
= 
2,0151.10 -8 Ry3 + 1,7143.10 -10 Ry3
�3�K�lK�lm�		m�			 = �, �L�L�. ��
−8	3nL
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
TRECHO 2 :
�		�8ef8
fTE		T2
=
�
��
	�	� Ry3X²−12Ry3X+36Ry3 
'
#
�� +
�
��
	� Ry3 
'
#
��
=
�
��
(
3nL
L
x3 -
("
"
x²+36Ry3X) +
�
��
(Ry3X)
X= 5 → 
+(,'''+>gA
"#∗($T	∗
i./jk
.1		k
+
5	Ry3
($($∗+$$/($%
=	
4,01168.10 -6 + 7,14286.10-9 = Ry3*4,01882.10 -6
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
TRECHO 2 :
X= 6 →
+">gA
"#∗($T	∗
i./jk
.1		k
+
 6Ry3
($($∗+$$/($%
= 
4,03034.10-5 + 8,57143.10-9 = Ry3*4,03891.10 -5
�3�KplK�lm�		m�	= Ry3*4,03891.10 
-5 - Ry3*4,01882.10 -6
�3�KplK�lm�		m�			 = Ry3*2,00876.10 
-8
q	�8ef8
fR�= �3�K�lK�lm�		m�	 + �3�K�lK�lm�		m�	
δ	REDUNDANTE = �, �L�L�. ��−8
	
^uL + Ry3*2,00876.10 -8
	
δ	REDUNDANTE = Ry3*4,04107 .10-8
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex. 2
Condição de Compa9bilidade: → �L = 0
q3=q	�
�+	q		�8ef8
fR�= 0
-1,7682.10-5	+		Ry3*4,04107 .10-8 =0
Ry3*4,04107 .10-8 =	1,7682.10-5	
Ry3=	437,55N
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex.2 
Equações de Equilíbrio Finais:
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças – ex.2 
Equações de Equilíbrio Finais:
Σ Fx = 0 → Rx2 = 0 
Σ Fy = 0 → Ry1+Ry2+437,55-150-200-50 =0 → 
Ry1+Ry2 = -37,55
Σ M1= 0 
→ 437,55x6+5xRy2-200x4-150x1,5-50x5,5=0 
→ 5Ry2= - 1325,3→ Ry2=- 65,06N 
Ry1 = 227,51N
ESTRUTURAS HIPER. 
-Método das Forças – Mapa Mental
DETERMINAÇÃO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE 
ESCOLHA DO SISTEMA ISOSTÁTICO PRINCIPAL E REAÇÕES REDUNDANTES
CALCULO DAS 
DEFORMAÇÕESCARGA REAL CARGA REDUNDANTE
- CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE –
DETREMINAR REAÇÃO(ÔES) REDUNDANTES
-EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO-
REAÇÕES FINAIS 
ESTRUTURAS HIPER. - Metodo das Forças –
Avaliação final – A5
Calcular as Reações da Estrutura Abaixo:
Considerar:
P= Ano do Aniversário (KN)
Q= Soma do Mês e do dia do Aniversário (KN/m)
Seção (20cmX40cm) 
E= 25*106KN/m² ; G=10*106KN/m²