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Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida 
 Por ser tratar de um sistema que possui mais de uma dimensão (2D ou 3D) a 
posição e o deslocamento possui um tratamento vetorial. 
 A localização de uma partícula pode ser especificada através do vetor posição 𝑟 , 
um vetor que liga um ponto de referência (em geral a origem) à partícula. 
 
 
 onde 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 e 𝑧𝑘 são as componentes vetoriais de 𝑟 e 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são as 
componentes escalares. 
 Exemplo: 
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 
O vetor posição da figura é: 
 
𝑟 = −3 𝑚 𝑖 + 2 𝑚 𝑗 + 5 𝑚 𝑘 
 Se o vetor positivo varia, o deslocamento da partícula, ∆𝑟 , 
durante esse intervalo de tempo é dado por: 
 
 
 Podemos escrever esse deslocamento como: 
 
∆𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑥𝑘 − 𝑥0𝑖 + 𝑦0𝑗 + 𝑧0𝑘 
 
∆𝑟 = 𝑥 − 𝑥0 𝑖 + 𝑦 −𝑦0 𝑗 + 𝑧 − 𝑧0 𝑘 
 
 Ou seja, 
 
 
 
∆𝑟 = 𝑟 − 𝑟 0 
∆𝑟 = ∆𝑥 𝑖 + ∆𝑦 𝑗 + ∆𝑧 𝑘 
 Exemplo 1: 
 O vetor posição de uma partícula é inicialmente 
𝑟 0 = −3,0 𝑚 𝑖 + 2,0 𝑚 𝑗 + 5,0 𝑚 𝑘 e depois passa a ser𝑟 =
9,0 𝑚 𝑖 + 2,0 𝑚 𝑗 + 8,0 𝑚 𝑘 . Qual é o deslocamento ∆𝑟 da 
partícula? 
 
 
∆𝑟 = 𝑟 − 𝑟 0 
= 9,0 − −3,0 𝑖 + 2,0 − 2,0 𝑗 + [8,0 − 5,0]𝑘 
= 12𝑚 𝑖 + 3,0 𝑚 𝑘 
 Exemplo 2: 
 O vetor posição de uma partícula é inicialmente 
𝑟 0 = 3,0 𝑚 𝑖 + 5,0 𝑚 𝑗 e depois passa a ser 𝑟 = 7,0 𝑚 𝑖 +
 2,0 𝑚 𝑗 . Responda: 
a) Qual é o deslocamento ∆𝑟 da partícula? 
 
 ∆𝑟 = 𝑟 − 𝑟 0 
= 7,0 î + (2,0)𝑗 − 3,0 î + (5,0)𝑗 
= 4𝑚 𝑖 + −3,0 𝑚 𝑗 
b) Demonstre graficamente o deslocamento. 
 Exemplo 3: 
 As coordenadas da posição (em metros) de um coelho que 
atravessa um estacionamento, em função do tempo t (em segundos) 
são dadas por 𝑥 = − 0,3𝑡2 + 7,2𝑡 + 28 e 𝑦 = 0,22𝑡2 − 9,1𝑡 +
 30. No instante 𝑡 = 15 𝑠, qual é o vetor posição 𝑟 do coelho na notação 
de vetores unitários? 
 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 
𝑥 = −0,3 15 2 + 7,2 15 + 28 = 68,5 𝑚 
𝑦 = 0,22 15 2 − 9,1 15 + 30 = −57 𝑚 
𝑟 = 68,5𝑚 𝑖 − (57 𝑚)𝑗 
 Por definição, sabemos que a velocidade média é a razão do 
deslocamento pelo tempo, assim: 
 
 
 
 Podemos escrever em componentes vetoriais: 
 
𝑣 𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑟 
∆𝑡
=
∆𝑥 𝑖 + ∆𝑦 𝑗 + ∆𝑧 𝑘 
∆𝑡
 
 
 
𝑣 𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑟 
∆𝑡
 
𝑣 𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑥 
∆𝑡
 𝑖 +
∆𝑦 
∆𝑡
 𝑗 +
∆𝑧 
∆𝑡
 𝑘 
 
 
 
 
A velocidade em um dado instante e obtida a partir da velocidade 
media reduzindo o intervalo de tempo ∆𝑡 até torná-lo próximo de 
zero. À medida que ∆𝑡 diminui a velocidade media se aproxima de 
um valor-limite, que é a velocidade instantânea: 
 
 
 
OBS: Velocidade escalar instantânea, ou, simplesmente, velocidade escalar é o modulo da 
velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de qualquer indicação de direção. 
Quando falamos em "rapidez" em geral estamos pensando na 
rapidez com a qual um objeto esta se movendo em certo instante, 
ou seja, em sua velocidade instantânea (ou, simplesmente, 
velocidade) 𝑣. 
𝑣 =
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
 𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑟 
∆𝑡
 
 Observação: A direção da velocidade instantânea 𝑣 de uma partícula é 
sempre tangente a trajetória da partícula na posição da partícula. 
 
 
 
 
 
 
 Reescrevendo 𝑣 na forma de vetores unitários: 
 
𝑣 =
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 
 
 
 
 A figura abaixo mostra a velocidade instantânea e suas 
componentes: 
 
 
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 𝑗 +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 𝑘 
 Por definição feita no capitulo 2, tem que a aceleração pode ser 
calculada pela expressão: 
 
 
 Quando fazemos ∆𝑡 tender a zero no em torno de um certo 
instante, 𝑎 𝑚𝑒𝑑 tende para a aceleração instantânea (𝒂) nesse instante, 
ou seja, 
 
 
 Podemos escrever em termos de vetores unitários: 
𝑎 =
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
 𝑖 +
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
 𝑗 +
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
 𝑘 
logo: 
 
 
𝑎 𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑣 
∆𝑡
 
𝑎 =
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 
𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘 
 A figura abaixo mostra a aceleração instantânea e suas 
componentes: 
 
 Exemplo 4: 
 Tomando com referência o exemplo 1, do coelho, determine o valor da 
velocidade e da aceleração no instante 𝑡 = 15 𝑠. Lembre-se que as posições em 
função do tempo são: 𝑥 = − 0,3𝑡2 + 7,2𝑡 + 28 e 𝑦 = 0,22𝑡2 − 9,1𝑡 + 30. 
Descreva os resultados na notação de vetores unitários. 
Velocidades: 
 
𝑉𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
−0,3𝑡2 + 7,2𝑡 + 28 
𝑑𝑡
= −0,6𝑡 + 7,2 
Para 𝑡 = 15 𝑠: 
𝑉𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
0,22𝑡² − 9,1𝑡 + 30 
𝑑𝑡
= 0,44t − 9,1 
𝑉𝑥 = −0,6 15 + 7,2 = −1,8 𝑚/𝑠 
𝑉𝑦 = 0,44 15 − 9,1 = −2,5 m/s 
Assim: 
𝑉 = (−1,8 𝑚/𝑠) 𝑖 −(2,5 𝑚/𝑠) 𝑗 
Acelerações: 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: podemos verificar que a aceleração é constante, pois não depende 
do tempo. 
𝑎𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
=
−0,6𝑡 + 7,2 
𝑑𝑡
= −0,6 𝑚/𝑠² 
𝑎𝑦 =
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
=
0,44𝑡 − 9,1 
𝑑𝑡
= 0,44 𝑚/𝑠² 
Assim: 
𝑎 = (−0,6 𝑚/𝑠²) 𝑖 +(0,44 𝑚/𝑠²) 𝑗 
 Exemplo 5: 
 
 
 
 Iremos agora analisar na prática a analise de um movimento bidimensional. 
 Considere um projétil lançado conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Sua velocidade em qualquer ponto da trajetória é definida por: 
 
 
• O módulo da velocidade em qualquer ponto da trajetória e definida 
por: 
 
 
 
• A relação entre o vetor velocidade e suas componentes é dada por: 
 
𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 
𝑣 = 𝑣𝑥² + 𝑣𝑦² 
𝑣𝑥 = 𝑣0. 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 𝑣0𝑦 = 𝑣0. 𝑠𝑒𝑛 𝜃0 e 
Observações: 
 O vetor aceleração 𝑎 é constante e está sempre dirigido 
verticalmente para baixo, pois a única aceleração existente é a 
gravitacional. 
 
 O projétil não possui aceleração horizontal. 
 
 O movimento horizontal e o movimento vertical são independentes, 
ou seja, um não afeta o outro. 
 
 Podemos decompor um problema que envolve um movimento 
bidimensional em dois problemas unidimensionais independentes. 
 Exemplo 6: 
 
 Na figura um avião de salvamento voa a 198 km/h 
(=55,0 m/s), a uma altura constante de 500 m, rumo a um 
ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para 
deixar cair uma balsa. 
 
 
 
 
 
(a) Qual deve ser a ângulo 
𝜙 da linha de visada do 
piloto para a vítima no 
instante em que o piloto 
deixa cair a balsa? 
 
b) No momento em que a 
balsa atinge a água, qual é 
sua velocidade 𝑣 em 
termos dos vetores 
unitários ? 
 
 
 
 O alcance horizontal 𝑅 de um projetil é a distancia horizontal 
percorrida pelo projetil ate voltar à altura de lançamento. 
 Fazemos: 𝑥 − 𝑥0 = 𝑅 e 𝑦 − 𝑦0 = 0 
Portanto: 
 
 
Para eliminar 𝑡: 
 
 
Substituindo: 
 
 
 
𝑅 = 𝑣0 cos 𝜃0 𝑡 0 = 𝑣0 sin 𝜃0 𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 
𝑡 =
𝑅
𝑣0 cos 𝜃0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 Observação importante: Está equação só poderá ser utilizada quando o corpo termina o 
movimento na mesma altura que iniciou. 
 
0 = 𝑣0 sin 𝜃0
𝑅
𝑣0 cos 𝜃0
−
1
2
𝑔
𝑅
𝑣0 cos 𝜃0
2
 
1
2
𝑔
𝑅
𝑣0 cos 𝜃0
2
= 𝑅
sin 𝜃0
cos 𝜃0
 
1
2
𝑔
𝑅2
𝑣02 cos2 𝜃0
= 𝑅
sin 𝜃0
cos 𝜃0
 
0 = 𝑣0 sin 𝜃0 𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 
𝑅 =
𝑣0
2
𝑔
2 sin 𝜃0 cos 𝜃0 
𝑅 =
𝑣0
2
𝑔
sin 2𝜃0 
 Uma partícula esta em movimento circular uniforme se descreve 
uma circunferência ou um arco de circunferência com velocidade 
escalar constante (uniforme). Embora a velocidade escalar não varie, o movimento é acelerado 
porque a velocidade muda de direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A aceleração está sempre na direção 
radial e aponta para o centro do circulo 
(aceleração centrípeta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎 =
𝑣2
𝑟
 
 A partícula percorre a circunferência completa (uma distancia igual a 
2𝜋𝑟) em um intervalo de tempo dado por: 
 
 
 
 
Onde 
𝑇 =período de rotação. Sua unidade é o 
Segundo (s); 
 
 A frequência (f) representa a quantidade de voltas que o corpo 
realiza em um segundo. Sua unidade é o Hertz (Hz) 
 
𝑇 =
2𝜋𝑟
𝑣
 
𝑓 =
1
𝑇