vetores

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1- Dê 5 exemplos de grandezas vetoriais e, 5 exemplos de grandezas 
escalares 
Vetorial: deslocamento, velocidade, aceleração, força, campo 
Escalar: temperatura, pressão, energia, massa, tempo 
2- O que significa velocidade escalar e, aceleração escalar? 
Velocidade escalar: representa a rapidez, com que um móvel muda de posição 
num intervalo de tempo. Por definição: a velocidade escalarmédia é a razão 
entre o deslocamento e o correspondente intervalo de tempo. 
Aceleração escalar: a aceleração escalar média média,somente nos interessam 
a velocidade escalar instantanea inicial e final do móvel num dado intervvalo 
de tempo. Por definição: a aceleração é a razão entre a variação da velocidade 
instantânea e a variação do tempo. 
3- O vetor posição de um elétron é r = –2,0i –5,0j + 4,0k, dado em metro (m). (a) 
Determine o módulo de r. 
r = –2,0i –5,0j + 4,0k 
│r│2= [ (-2)i + 5j + 4k ]2 
│r│2= 4+25+16=25 
│r│=√𝟒𝟓 
4- O vetor posição de um próton é inicialmente r0 = 5,0i – 6,0j + 2,0k e depois se torna 
rf = –2,0i + 6,0j + 2,0k, com todos os valores em metros. (a) Qual é vetor deslocamento 
do próton? (b) Esse vetor é paralelo a que plano? (c) Determine o módulo do vetor 
deslocamento. 
a) 𝛥𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 
(-2i+6j+2k)-(5i-6j+2k) 
𝛥𝑟=-7i-12j 
b) É paralelo ao plano xy, do cartesiano 
c) 𝛥𝑟=-7i-12j 
│r│=√(−𝟕)𝒊𝟐 + 𝟏𝟐𝒋𝟐 
│r│=√𝟒𝟗 + 𝟏𝟒𝟒 
│r│=𝟏𝟑, 𝟖𝟗 
5- O vetor posição de um elétron é r = 5,0i – 3,0j – 2,0k (metro). (a) Determine o módulo 
de r. 
│r│2= (5i-3j-2k)2 
│r│2=25+9+4 
│r│=√𝟑𝟖 
│r│=6,16 
6- Um pósitron sofre um deslocamento ∆r = 2,0i – 3,0j + 6,0k e termina com o vetor 
posição r = 2,0i + 3,0j – 4,0k, em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron? 
𝛥𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 
ri=rf- 𝛥𝑟 
ri=(2i+3j-4k) – (2i+3j+6k) 
ri= -10k 
 
7- O vetor posição de um próton é inicialmente r = 5,0i – 8,0j – 2,0k e depois se torna r 
= –2,0i + 6,0j + 2,0k, com todos os valores em metros. (a) Qual é vetor deslocamento do 
próton? (b) Esse vetor deslocamento pertence a que plano? 
a) 𝛥𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 
𝛥𝑟 = (−2𝑖 + 6𝑗 + 2𝑘) − (5𝑖 − 8𝑗 − 2𝑘) 
𝛥𝑟 = −7𝑖 + 14𝑗 + 4𝑘 
b) Pertence ao plano zy, do espaço 
8- Um vetor d tem uma magnitude 3,0 m e é direcionado para o Sul. Quais são (a) o 
módulo e (b) a direção do vetor 5,0d ? Quais são (c) a magnitude e (d) a direção do 
vetor –2,0 d ? 
NÃO CONSEGUI RESOLVER ESTA QUESTAO, SE EU TINHA QUE ACHAR 
O ANGULO PARA PROCEDER COM OS CALCULOS, NÃO SEI COMO 
ACHA-LO. 
 
9- Dois vetores são dados por a = 2,0i + 5,0j e b = 2,0i + 4,0j. Encontre (a) a x b, (b) a ● 
b (c) (a + b) ● b. 
a) a x b 
𝑖 𝑗 𝑘
2 5 0
2 4 0
 𝑖 𝑗
 2 5
 2 4
 
 
0i+0j+8k=p 
0i+0j+10k=s 
a x b= p-s 
a x b= 8k-10k 
a x b= -2k 
b) a ●b= (2i+5j).(2i+4j)= 4+9= 13 
c) (a + b) ● b 
I. (a+b) = (2i+5j)+(2i+4j) 
 (2i+2i)+(5j+4j) 
(a+b)= 4i+9j 
II. (a + b) ● b 
(4i+9j) ●(2i+4j)= 44 
 
10- Para os seguintes três vetores 
 
A = 2,00i + 3,00j – 4,00k , B = –3,00i + 4,00j + 2,00k 
 
C = 7,00i – 8,00j 
determine: 3C ● (2A x B). 
3C ● (2A x B) 
I. 3C= 3(7i-8j)=21 i – 24 j 
II. 2A=2(2i + 3j – 4k) = 4i + 6j – 8k 
III. 2A x B 
𝑖 𝑗 𝑘
4 6 −8
−3 4 2
 
 
6 −8 
4 2
i - 
4 −8
−3 2
 j + 
4 6
−3 4
 k 
 
[6.2 – 4. (-8)]i – [4.2 – (-3 ).(-8)] j + [4.4 – (-3.6)]k 
44i+ 16j +34k 
IV. 3C ● (2A x B)= 21 i – 24j ● (44 i + 16 j + 34 k) 
924-384= 540 
 
3C ● (2A x B)=540 
 
11- O vetor A tem uma magnitude de 6,00 unidades, vetor B tem uma magnitude de 7,00 
unidades e A ● B tem um valor de 14,0 unidades. Qual é ângulo entre as direções de A e 
B ? 
||a||=6 
||b||=7 
A●B=14 
A.B= 6.7. cos ϴ=14 
cos ϴ= 
14
|6|.|7|
=0,3333 
ϴ=arcos(0,3333) =70,53?° 
 
12- Dois vetores a e b possuem módulos iguais a 12 e 6. Eles estão orientados segundo 
mostrado na figura abaixo. Sabendo que o vetor r é o resultante deles, determine: 
a) as componentes x e y do vetor r; 
b) o módulo de r; 
c) e o ângulo que r forma com o eixo x positivo, ou seja, a direção do vetor resultante 
em relação a esse eixo. 
a) I. ax = a (cos28,2)= 12(cos28,2)≅9,32m 
ay = a(sen28,2)= 12(sen28,2) ≅ 5,67m 
 II. ϴ=180-(105+28,2 
 ϴ=46,8 
bx= -b (cos46,8)=-6(cos46,8) ≅-4,10m 
by= b(sen46,8) = 6(sen46,8) ≅ 4,37m 
logo as componentes são 
rx= ax + bx=5,22m 
ry= ay + by=10,04m 
 
b) |r|=√(10,04)2 + (5,22)2 
|r|≅11,31m 
c) β=tg-1(
10,04
5,04
) ≅ 63,35° 
12- O vetor posição de um íon é inicialmente r0 = 2,0i – 6,0j + 2,0k e 10 s, depois passa 
a ser rf = 2,0i + 8,0j + 6,0k, com todos os valores em metros. (a) Na notação de vetores 
unitários, qual é a velocidade média vmédia durante os 4 s? (b) A velocidade do íon é 
descrita em que plano? (c) Determine o módulo do vetor velocidade média (vmédia). 
Para 4 s 
a) Vm= 
𝛥𝑟
𝛥𝑡
 = 
14𝑗+4𝑘
4
 
Vm= 3,5j+ 1k 
b) No plano zy, do espaço 
c) 
│rm│2= (3,5j + 1k)2 
│rm│= √𝟏𝟑, 𝟐𝟓 
│rm│= 3, 64 
 
 
13- A velocidade inicial de um próton é v = 4,0i – 2,0j + 3,0k; 4,0 s mais tarde, passa ser 
v = –2,0i – 2,0j + 5,0k (em metros por segundo). Para esses 2,0 s, determine quais são (a) 
a aceleração média do próton amédia na notação de vetores unitários, (b) o módulo de amédia. 
Para 2 s 
a) 
am= 
𝑣𝑓−𝑣𝑖
𝛥𝑡 =
(−2 𝑖−2 𝑗+5𝑘)−(4 𝑖−2 𝑗+3 𝑘)
2 =
−6 𝑖+2 𝑘
2 = -3i + 1k m/s
2 
b) │am│= √10=3,16 
 
 
14- A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x = 12t2 – 2t3, 
onde x está em metros e t em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a 
aceleração da partícula em t = 2,0 s. 
a) X(t) = 12t2 – 2 t 3 
X(2)= 12. 22 – 2. 23 
X(2)= 32 m 
b) V= 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑(12𝑡2−2𝑡3
𝑑𝑡
 
V(t)= 24t – 6t2 
V(2)= 24.2-6.22 
V(2)= 24 m/s 
c) a=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
a=
𝑑(24𝑡−6𝑡2 )
𝑑𝑡
= 
𝑑(24𝑡)
𝑑𝑡
−
𝑑6.2𝑡
𝑑𝑡
= 24-12t 
a(t)= 24-12t 
a(2)= 24-12.2 
a(2)=0 
15- A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r = (2,00t3 – 
5,00t)i + (6,00 – 7,00t4)j com r em metros e t segundos. Na notação de vetores unitários, 
calcule (a) r, (b) v e (c) a para t = 2,00 s. (d) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do 
eixo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t = 3,00 s? 
a) r(t)= (2t3 – 5t)i + (6 – 7t4)j 
r(3)= (2.33 – 5.3)i + (6 – 7.34)j 
r(3)= 39i – 561 j 
b) v(t) =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 
(2𝑡3 – 5t)i + (6 – 7𝑡4)j 
𝑑𝑡
=
(6𝑡2−5)𝑖+(6−28𝑡3)𝑗
𝑑𝑡
 
v(t)= (6𝑡2 − 5)𝑖 + (6 − 28𝑡3)𝑗 
v(3)= (6. 32 − 5)𝑖 + (6 − 28. 33)𝑗 
v(3)= 49i -750j 
c) a(t) =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 
(6𝑡2−5)𝑖+(6−28𝑡3)𝑗 
𝑑𝑡
= (12t-5)i +(6-84t2)j 
a(3)= (12.3-5)i +(6-84.32)j 
a(3)= 31i -750j 
d) v= 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= (6t2- 5)i - (28 t3)j 
v(3)= (6.32 – 5 ) i (-28.33)j 
v(3) = 49 i – 756j 
ϴ= arctg 
−756
49
 = 88,83° 
16- A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo Ox é dada por: x = b1t3 – 
b2t
4, onde b1 e b2 são constantes. Se x for dada em metros e t em segundos, mostre que 
b1deve ser dado em m/s
3 e que b2 deve ser dado em m/s
4. (a) Obtenha uma expressão para 
a velocidade da partícula. (b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula. Nas 
perguntas seguintes considere b1 = 2 m/s
3 e b2 = 1 m/s
4. (c) Em que instante a partícula 
alcança o ponto no qual o valor de x é máximo? (d) Qual a distância total percorrida pela 
partícula nos 3 s inicias? (e) Qual a velocidade da partícula para t = 1 s? (f) Qual a 
aceleração da partícula para t = 2 s? (g) Qual a velocidade média para o intervalo de tempo 
entre t = 2 s e t = 4 s? 
a) X= b1t3- b2t4 
V= 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑(b1t3)
dt
− 𝑑
(𝑏2𝑡
4)
𝑑𝑡
 
V(t)= b13t
2- b24t
3 
b) a= 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑(b13t
2)
dt
− 𝑑
(𝑏24𝑡
3)
𝑑𝑡
 
a(t)= b16t – 12t
2 
c) V(t)= b13t
2- b24t
3 
v(t) = 6t2- 4t3 
sendo maximo x>0, v=0 
então, 
0(t)= 6t2- 4t3 
T2-T3 = 6/4 
T5=6/4 
T5 ≅ 1,08 
d) X(t)= b1t3 - b24t3 
x(3)= b1.3
3 - b24.3
3 
|x|(3)= 27 
e) V(t)= b13t
2- b24t
3 
V(1)= 2.3.12- 1.4.13 
V(1)=2m/s 
f) a(t)=b16t- 12t2 
a(2)=2.6.2-12.22 
a(2)=-24 
g). 
I. para t=2 
Vm=
𝛥𝑟
𝛥𝑡= 
b1t3− b2t4
2
=0 
II. para t=4 
Vm=
𝛥𝑟
𝛥𝑡
 = 
b1t3− b2t4
4
=16m/s 
 
17- Um automóvel parte do repouso e sofre uma aceleração constante de 4 m/s2 numa 
trajetória retilínea. (a) encontre o tempo necessário para que o automóvel atinja uma 
velocidade de 36 m/s. (b) Calcule a distância total percorrida desde o instante inicial até 
o instante em que sua velocidade atinge o valor de 36 m/s. Resposta: (a) 9 s. (b) 
162 m. 
a) a. Vi=0 
a=4m/s2 
v=36m/s 
v= vi+ at= 
36= 0+4t 
T=36/4 
T=9 
b) v2= vi2 + 2. a. 𝛥𝑠 
362=2+4. 𝛥𝑠 
𝛥𝑠 =
1296
8
= 162 
18- A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x = 3t2 – 6t3, 
onde x está em metros e t em segundos. (a) Com relação ao movimento desta partícula, 
ele é tridimensional, bidimensional ou unidimensional? (b) Com relação ao movimento 
desta partícula, ele é um movimento uniformemente variado (justifique a sua resposta)? 
(c) determine a posição e (d) a velocidade da partícula em t = 3,0 s. 
a) unidimensional 
b) sim, pois sua posição e velocidade varia em função do valor do tempo. 
c) 
 x=3t2-6t3 
x(t)= 3t2-6t3 
x(3)= 3.32-6.33 
x(3)=-135 
d) v= 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 
𝑑(3𝑡2−6𝑡3)
𝑑𝑡
= 
6𝑡
𝑑𝑡
−
18𝑡2
𝑑𝑡
 
v(t)= 6t-18t2 
v(3) 6. 3 – 18. 32 
v(3)= -144 
 
19- A descrição do movimento de uma partícula que se encontra em alta velocidade 
(próxima à velocidade da luz = 3x108 m/s) pode ser tratada segundo a teoria clássica 
(justifique sua resposta)? Lembrando que a teoria clássica é usada para descrever 
movimentos de corpos em baixas velocidades, ou seja, valores de velocidade muito menor 
do que 3x108 m/s. 
Não, pois o movimento da particula não caracteriza-se de maneira descrita pela teoria 
classica. Já que , a sua alta velocidade causa distorçoes de espaço e matéria. 
20- A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x = 5t2 + 6t5, 
onde x está em metros e t em segundos. (a) Com relação ao movimento desta partícula, 
ele é tridimensional, bidimensional ou unidimensional? (b) Qual é o tipo de movimento 
que a partícula descreve, isto é, é um movimento uniforme, ou movimento uniformemente 
variado, ou simplesmente varia em que a aceleração é uma função do tempo? (c) 
Determine a posição da partícula para o instante de 2,0 s. 
a) Unidimensional 
b) É movimento uniformemente variado 
c) X(t)= 5t2 + 6 t5 
X(2)= 5.22 + 6 .25 
X(2)= 212m 
 
 
 
 
 
Bom estudo!