aula19

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Bases Matemáticas
Continuidade e o Teorema do Valor Intermediário
Rodrigo Hausen
v. 2016-8-17 1/16
Função contínua em a
Informalmente: no gráfico, não apresenta “quebra” ou “furo”
para x = a.
f (a)
x0
y
a
y = f(x)
v. 2016-8-17 2/16
Função descontínua em a
Não é contínua em a pois apresenta “furo.”
.
f (a)
x0
y
a
y = f(x)
L
f (a) existe, mas lim
x→a f (x) ≠ f (a).
v. 2016-8-17 3/16
Função descontínua em a
Não é contínua em a pois apresenta “quebra.”
.
x0
y
a
y = f(x)
f (a) existe, mas lim
x→a f (x) indeterminado
v. 2016-8-17 4/16
Função descontínua em a
Não é contínua em a pois apresenta “quebra.”
.
x0
y
a
y = f(x)
f (a) não existe e lim
x→a f (x) indeterminado
v. 2016-8-17 5/16
Função contínua em a
Definição. Uma função real é dita contínua em a se
todas as 3 condições abaixo são verdadeiras.
f (a)
x0
y
a
y = f(x)
1) f (a) está definido; 2) lim
x→a f (x) existe; e 3) limx→a f (x) = f (a)
v. 2016-8-17 6/16
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 é contínua? Para quais é descontínua?
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)
Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então
f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2) = x − 1.
Logo, lim
x→a f (x) = limx→a (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2) = limx→a(x − 1) = a − 1.
Note que o lim
x→a f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:
Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)
Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim
x→a f (x) = f (a) (contínua)
v. 2016-8-17 7/16
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 é contínua? Para quais é descontínua?
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)
Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então
f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2) = x − 1.
Logo, lim
x→a f (x) = limx→a (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2) = limx→a(x − 1) = a − 1.
Note que o lim
x→a f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:
Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)
Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim
x→a f (x) = f (a) (contínua)
v. 2016-8-17 7/16
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 é contínua? Para quais é descontínua?
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)
Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então
f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2) = x − 1.
Logo, lim
x→a f (x) = limx→a (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2) = limx→a(x − 1) = a − 1.
Note que o lim
x→a f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:
Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)
Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim
x→a f (x) = f (a) (contínua)
v. 2016-8-17 7/16
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 é contínua? Para quais é descontínua?
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)
Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então
f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2) = x − 1.
Logo, lim
x→a f (x) = limx→a (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2) = limx→a(x − 1) = a − 1.
Note que o lim
x→a f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:
Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)
Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim
x→a f (x) = f (a) (contínua)
v. 2016-8-17 7/16
Continuidade: exemplos
Exemplo 1. Para quais valores de a a função
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 é contínua? Para quais é descontínua?
f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)
Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então
f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2) = x − 1.
Logo, lim
x→a f (x) = limx→a (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2) = limx→a(x − 1) = a − 1.
Note que o lim
x→a f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:
Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)
Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim
x→a f (x) = f (a) (contínua)
v. 2016-8-17 7/16
Continuidade: exemplos
Exemplo 2. Seja g(x) = { sen(x)x , se x ≠ 01, se x = 0 .
Demonstramos anteriormente:
lim
x→0 sen (x)x = 1 (limite fundamental)
lim
x→a sen (x) = sen (a) (exercício para casa)
Logo, lim
x→a sen (x)x = { sen(a)a , se x ≠ 01, se x = 0 .
Veja que lim
x→a sen (x)x = g(a), logo g é contínua em a para todo
a ∈ R.
v. 2016-8-17 8/16
Continuidade: exemplos
Exemplo 2. Seja g(x) = { sen(x)x , se x ≠ 01, se x = 0 .
Demonstramos anteriormente:
lim
x→0 sen (x)x = 1 (limite fundamental)
lim
x→a sen (x) = sen (a) (exercício para casa)
Logo, lim
x→a sen (x)x = { sen(a)a , se x ≠ 01, se x = 0 .
Veja que lim
x→a sen (x)x = g(a), logo g é contínua em a para todo
a ∈ R.
v. 2016-8-17 8/16
Continuidade: exemplos
Exemplo 2. Seja g(x) = { sen(x)x , se x ≠ 01, se x = 0 .
Demonstramos anteriormente:
lim
x→0 sen (x)x = 1 (limite fundamental)
lim
x→a sen (x) = sen (a) (exercício para casa)
Logo, lim
x→a sen (x)x = { sen(a)a , se x ≠ 01, se x = 0 .
Veja que lim
x→a sen (x)x = g(a), logo g é contínua em a para todo
a ∈ R.
v. 2016-8-17 8/16
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)
Racionais f (x) = p(x)q(x) , p,q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})
Raízes f (x) = n√x
(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0,+∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2016-8-17 9/16
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)
Racionais f (x) = p(x)q(x) , p,q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})
Raízes f (x) = n√x
(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0,+∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2016-8-17 9/16
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)
Racionais f (x) = p(x)q(x) , p,q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})
Raízes f (x) = n√x
(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0,+∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2016-8-17 9/16
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)
Racionais f (x) = p(x)q(x) , p,q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})
Raízes f (x) = n√x
(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0,+∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2016-8-17 9/16
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)
Racionais f (x) = p(x)q(x) , p,q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})
Raízes f (x) = n√x
(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicasf (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0,+∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2016-8-17 9/16
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)
Racionais f (x) = p(x)q(x) , p,q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})
Raízes f (x) = n√x
(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0,+∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2016-8-17 9/16
Funções contínuas
Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:
Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)
Racionais f (x) = p(x)q(x) , p,q polinomiais
(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})
Raízes f (x) = n√x
(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)
Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)
Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1
(Dom logc = (0,+∞))
Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec
(cuidado com o domínio de cada uma!)
v. 2016-8-17 9/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x = limx→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x = 12 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x = limx→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x = 12 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x =
lim
x→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x = 12 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x = limx→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x = 12 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x = limx→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x =
1
2 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x = limx→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x = 12 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x = limx→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x = 12 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x = limx→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x = 12 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.
Exemplo 3. Avalie lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x )
Primeiramente, veja que lim
x→1 1 −
√x
1 − x = limx→1 1 −
√x(1 −√x)(1 +√x) =
lim
x→1 11 +√x = 12 .
Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].
Como lim
x→1 1 −
√x
1 − x = 12 esté no domínio de arcsen, então
lim
x→1 arcsen(1 −
√x
1 − x ) = arcsen(12). ∎
v. 2016-8-17 10/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Demonstração. Para todos �1 > 0, �2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < �1
0 < ∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < �2.
Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação; não
precisamos nos preocupar em fazer y ≠ b pois f é contínua em b.
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < �2.
Dado � > 0, faça �2 = � e obtenha δ2. Agora, faça �1 = δ2 e obtenha
δ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < �1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < � ∎
v. 2016-8-17 11/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Demonstração. Para todos �1 > 0, �2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < �1
0 < ∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < �2.
Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação; não
precisamos nos preocupar em fazer y ≠ b pois f é contínua em b.
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < �2.
Dado � > 0, faça �2 = � e obtenha δ2. Agora, faça �1 = δ2 e obtenha
δ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < �1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < � ∎
v. 2016-8-17 11/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Demonstração. Para todos �1 > 0, �2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < �1
0 < ∣x− b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < �2.
Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação; não
precisamos nos preocupar em fazer y ≠ b pois f é contínua em b.
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < �2.
Dado � > 0, faça �2 = � e obtenha δ2.
Agora, faça �1 = δ2 e obtenha
δ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < �1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < � ∎
v. 2016-8-17 11/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Demonstração. Para todos �1 > 0, �2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < �1
0 < ∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < �2.
Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação; não
precisamos nos preocupar em fazer y ≠ b pois f é contínua em b.
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < �2.
Dado � > 0, faça �2 = � e obtenha δ2. Agora, faça �1 = δ2 e obtenha
δ1.
Por último, faça δ = δ1. Assim, temos
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < �1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < � ∎
v. 2016-8-17 11/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Demonstração. Para todos �1 > 0, �2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < �1
0 < ∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < �2.
Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação; não
precisamos nos preocupar em fazer y ≠ b pois f é contínua em b.
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < �2.
Dado � > 0, faça �2 = � e obtenha δ2. Agora, faça �1 = δ2 e obtenha
δ1. Por último, faça δ = δ1.
Assim, temos
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < �1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < � ∎
v. 2016-8-17 11/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Demonstração. Para todos �1 > 0, �2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < �1
0 < ∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < �2.
Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação; não
precisamos nos preocupar em fazer y ≠ b pois f é contínua em b.
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < �2.
Dado � > 0, faça �2 = � e obtenha δ2. Agora, faça �1 = δ2 e obtenha
δ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < �1
= δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < � ∎
v. 2016-8-17 11/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Demonstração. Para todos �1 > 0, �2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < �1
0 < ∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < �2.
Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação; não
precisamos nos preocupar em fazer y ≠ b pois f é contínua em b.
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < �2.
Dado � > 0, faça �2 = � e obtenha δ2. Agora, faça �1 = δ2 e obtenha
δ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < �1 = δ2
⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < � ∎
v. 2016-8-17 11/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Demonstração. Para todos �1 > 0, �2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < �1
0 < ∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < �2.
Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação; não
precisamos nos preocupar em fazer y ≠ b pois f é contínua em b.
∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < �2.
Dado � > 0, faça �2 = � e obtenha δ2. Agora, faça �1 = δ2 e obtenha
δ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < �1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < � ∎
v. 2016-8-17 11/16
Funções contínuas e limites
Teorema. se f é contínua em b e lim
x→a g(x) = b, então
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
Consequência imediata do teorema:
Sejam f , g tais que g é contínua em a, f contínua em g(a).
Então, a função composta f ○ g é contínua em a.
Obs.: (f ○ g)(x) = f (g(x))
v. 2016-8-17 12/16
Funções contínuas e limites
Aplicações (solução na lousa)
Exemplo 4: Calcule lim
x→1
√
x2 + 3 − 2
x2 − 1 fazendo a substituição
u = √x2 + 3
Exemplo 5: Demonstre que lim
x→0 sen (cx)cx = 1, onde c ≠ 0 éconstante.
Cuidado ao substituir as variáveis! O valor para onde estamos
fazendo convergir a variável pode se alterar!
v. 2016-8-17 13/16
Teorema do Valor Intermediário
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a,b] se f
é contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.
Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a,b], e
seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).
Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que f (c) = y .
0 x
y
f (b)
N
f (a)
a c b
y = f
0 x
y
f (b)
N
f (a)
a c 1 c 2 c 3
y = f
b
A sua demonstração depende do Axioma da Completude e de um
conceito chamado supremo de um conjunto.
v. 2016-8-17 14/16
Teorema do Valor Intermediário
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a,b] se f
é contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.
Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a,b], e
seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).
Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que f (c) = y .
0 x
y
f (b)
N
f (a)
a c b
y = f
0 x
y
f (b)
N
f (a)
a c 1 c 2 c 3
y = f
b
A sua demonstração depende do Axioma da Completude e de um
conceito chamado supremo de um conjunto.
v. 2016-8-17 14/16
Teorema do Valor Intermediário
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a,b] se f
é contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.
Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a,b], e
seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).
Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que f (c) = y .
0 x
y
f (b)
N
f (a)
a c b
y = f
0 x
y
f (b)
N
f (a)
a c 1 c 2 c 3
y = f
b
A sua demonstração depende do Axioma da Completude e de um
conceito chamado supremo de um conjunto.
v. 2016-8-17 14/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R.
Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ouseja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) =
4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 =
− 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) =
32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 =
12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Teorema do Valor Intermediário: consequência
Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde
f (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que
f (c) = y .
Exemplo 6. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2
entre 1 e 2.
Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma função
polinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, é
contínua em [1,2].
Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1
f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12
Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),
onde f (1) ≠ f (2)).
Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎
v. 2016-8-17 15/16
Para casa
Stewart: Seção 2.5 (continuidade).
Lista 9: toda
v. 2016-8-17 16/16