Derivadas

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DERIVADA
DERIVADA
Muitos fenômenos físicos envolvem 
grandezas que variam como a 
velocidade de um foguete, a inflação 
da moeda, o número de bactérias em 
uma cultura, a intensidade dos 
tremores de um terremoto, a voltagem 
de um sinal elétrico e assim por 
diante.
Vamos desenvolver o conceito de 
derivada, que é a ferramenta 
matemática usada para estudar taxas 
nas quais variam as grandezas 
físicas.
Vamos mostrar que há uma estreita 
relação entre taxas de variação e 
retas tangentes a gráficos e 
mostraremos como a idéia familiar de 
velocidade pode ser vista como uma 
taxa de variação.
Vimos que as funções estabelecem 
uma relação entre duas variáveis; a 
derivada será um instrumento que 
permitirá comparar a variação de 
uma variável com a variação de 
outra variável.
Sejam x1 e x2, dois valores do 
domínio de uma f(x) dada. Chama-
se taxa de variação de f(x), para x 
variando de x1 e x2, à expressão:
)()( 12 xfxff -=D
taxa de 
variação
Façamos x1=x e x2=x+h; a taxa 
de variação passa a ser:
)()( xfhxff -+=D
Exemplo:
1) Seja f(x) = x2. Quando x varia de 1 
a 5, f(x) sofre uma variação de 24 
unidades:
24125)1()5( =-=-=D fff
x
f(x)
1 5
h=4
25
1
24=Df
2) Supondo um objeto solto a 2000m 
de altura e que f(t)=2000 – 10t2, 
indique a altura do objeto ao solo no 
instante t (medido em segundos).
Então: f(0)=2000
f(5)=1750
nos primeiros 
5 segundos o 
objeto cai:
m
fff
250
20001750)0()5(1
-=
-=-=D
f(5)= 1750
f(10)=1000
nos próximos 
5 segundos o 
objeto cai:
m
fff
750
17501000)5()10(2
-=
-=-=D
o que nos mostra que, para uma 
mesma variação de t, a função tem 
taxa de variação diferente em cada 
intervalo. Significa então, que a 
velocidade do objeto está
aumentando.
A velocidade média em cada intervalo 
considerado será , isto é:
h
fD
sm
h
f
sm
h
f
/150
5
750
/50
5
250
2
1
-=
-
=
D
-=
-
=
D
t
f(t)
5 100 200
h1 h2
1750
1000
2000
1fD
2fD
A taxa média de variação da função 
f(x) (ou razão incremental) no 
intervalo [x, x+h] é:
h
xfhxf
h
f )()( -+
=
D
O limite da taxa média de variação, 
quando h 0 é a velocidade 
instantânea do objeto no instante 
t=5.
Se existe e é finito o limite de , 
para h 0, onde
®
h
fD
®
,)()(
h
afhaf
h
f -+
=
D
esse limite é a derivada da função
f(x) no ponto a e indica-se f’(a) ou ).(adx
df
Obs.: O ponto a deve ao D(f).Î
h
afhafafa
dx
df
h
)()(lim)(')(
0
-+
==
®
Exemplo: a derivada de f(x)=x2, no 
ponto x=10 é: 
20)20(lim
)10()10(lim)10('
0
0
=+
=
-+
=
®
®
h
h
fhff
h
h
aplicando à função f(x)=x2, temos:
h
h
hh
h
hh
h
h
+=
+
=
-++
=
-+
20)20(
1002010010)10( 222
Exemplo: Consideremos 
e determinemos g’(0), isto é, a 
derivada de g(x) no ponto zero.
3)( xxg =
+¥===
=
-+
=
®®®
®
2030
3
0
0
1limlimlim
)0()0(lim)0('
hh
h
h
h
h
ghgg
hhh
h
logo, g’(0) não existe porque o limite 
não é finito.
Definição da Derivada de 
uma Função
Definimos a derivada de f como 
sendo , onde 
ax
afxf
ax -
-
®
)()(lim
.),( axfDa ¹Î
ax
afxfaf
ax -
-
=
®
)()(lim)('
x
y
a x=a+h
f(a)
f(x)
P
Q
hx =D
yD
f(x)
h
afhaf
x
y )()( -+
=
D
D
razão dos acréscimos 
ou taxa de variação
Notação: 
dx
dyxfxDf == )(')(
Equação da Reta Tangente
))((' 000 xxxfyy -=-
f’(x0) é o coeficiente angular 
da reta tangente no ponto x0.
11lim
)(lim)('
0
0
=
=
-+
=
®
®
h
h h
xhxxf
1)(' =xf
Função identidade 
tg 45°=1
2-
Derivadas Simples
0)(' =kf
A declividade da 
reta é zero –
função 
constante.
K = constante
1-
xxf 2)(' 2 =
1)(' -= nn nxxf
3-
xhx
h
hxh
h
xhhxx
h
xhxxf
h
h
h
h
2)2(lim
)2(lim
2lim
)(lim)('
0
0
222
0
22
0
=+
=
+
=
-++
=
-+
=
®
®
®
®
4-
0,
2
1)(' >= x
x
xf5-
6-
2
1)1('
xx
f -=
Encontre a derivada de f(x)=x3+2x 
por um processo de limite.
23233lim
233lim
)2()(2)(lim
)()(lim)('
222
0
322
0
33
0
0
+=+++
=
+++
=
+-+++
=
-+
=
®
®
®
®
xhxhx
h
hhxhhx
h
xxhxhx
h
xfhxfxf
h
h
h
h
Álgebra das Derivadas
0'=k
'')'( vuvu +=+
Considere u = f(x) , v=g(x) e k 
como uma constante qualquer.
')'( kuku =
'')'( uvvuuv +=
2
')'1(
u
u
u
-=
2
'')'(
v
uvvu
v
u -
=
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7- )ln'
'()'( uv
u
vuuu vv +=
Derivadas Trigonométricas
xdxx
dx
x
x
xfdx
x
x
x
x
1-
2
1-
2
1-
1
2
1-
2
2
cotg f'- 
 x1
1 tgf' )9
1
1cos f' )8
cos'
1
1sen f' 7)
dx x cotg . x cossec- x cossec f' 6)
dx x tg. x sec x sec f' 5)
dx cossec- x cotg f' 4)
dx sec x tgf' 3)
dxsen x - x cos f' 2)
dx x cos sen x f' )1
=
+
=
-
-=
-=
-
=
=
=
=
=
=
=
-
dx
xx
x
xdx
xx
x
dxx
1
1- cossecf' )12
cossec f'- 
1
1secf' )11
 x1
1- cotg f' )10
2
1-
1-
2
1-
2
1-
-
=
=
-
=
+
=
Derivadas Exponenciais e 
Logarítmicas
dx
x
x
dxx
xf
a
f
a
1.
lna
1 log f' 6)
dx 
x
1 ln x f' )5
)ln1( x xf' 4)
dx ax ')3
dx lna a f' 2)
dx e e ' )1
a
xx
1-a
xx
xx
=
=
+=
=
=
=
a-constante
Diferenciação Implícita
Algumas vezes, equações nas quais 
as funções não aparecem 
explicitamente em termos da variável 
independente x, como nas equações
por exemplo. Como elas não estão 
resolvidas para y, tais equações são 
ditas definir y implicitamente em 
função de x, e a função y é dita estar 
em forma implícita.
Digamos que você queira encontrar a 
derivada de uma função assim e que 
não seja tão simples isolar o y para 
então derivar.
yxyyx
xyyx
232
56
32
332
+=+
+=-
Ex.: Encontre (ou y’), se dx
dy
yxyyx 232 32 +=+
derive ambos os 
lados em relação a 
x (y em função de x)
yxyyx 232 32 +=+
Aqui dentro tem x e é
por isso que devemos 
derivá-lo também.
26
23'
23)26('
23'2'6'
'23'62'
22
22
22
22
-+
-
=
-=-+
-=-+
+=++
yx
xyy
xyyxy
xyyyyyx
yyyxyyx
isole y’
Ex.: Encontre a inclinação da reta 
que é tangente à curva
quando x=2.
xyyx +=- 332 56
222
3
3222
3222
2322
332
153
21'
21)153('
21'15'3
1'152'3.
56
yyx
xyy
xyyyxy
xyyyyyx
yyxyyyx
xyyx
-
-
=
-=-
-=-
+=+
+=-
antes de substituir x=2 na função 
derivada, é preciso verificar x=2 na 
função f(x).
2
8
2564
2562
56
3
33
332
332
-=
-=
+=-
+=-
+=-
y
y
yy
yy
xyyx em x=2
agora substitua x=2 e y=-2 na função 
derivada.
4
11'
)2.(15)2.(2.3
)2.(2.21'
153
21'
222
3
222
3
-=
=
---
--
=
=
-
-
=
y
y
yyx
xyy
Regra da Cadeia
Conhecendo as derivadas de f e g, 
como podemos usá-las para encontrar a 
derivada da composição fog?
A chave para a solução desse problema 
está na introdução de variáveis 
dependentes.
))(())(( xgfxfogy == )(xgu =e
tal que )(ufy =
)(' uf
du
dy
= )(' xg
dx
du
=
derivadas conhecidas
dx
xgfd
dx
dy ))](([
=
derivada
que
queremos
encontrar
Em outras palavras: queremos usar 
as taxas de variação conhecidas 
e para encontrarmos a taxa de 
variação . 
du
dy
dx
du
dx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy .=
f’(u) g’(x)Teorema (Regra da Cadeia)
Se g for diferenciável no ponto x e f for 
diferenciável no ponto g(x), então a 
composição fog é diferenciável no 
ponto x. Além disso, se 
))(( xgfy = )(xgu =e então
)(ufy = e
dx
du
du
dy
dx
dy .=
uy cos4=
Exemplo: Encontre se
Seja u=x3, assim
Pela Regra da Cadeia: 
dx
dy )cos(4 3xy =
)sen(12x- 
3).4sen(x- 
3x .4senu - 
][].cos4[.
32
23
2
3
x
x
x
dx
du
du
d
dx
du
du
dy
dx
dy
=
=
=
==
Exemplo:
Seja 
então: 
232 )1()( +-= xxxf
12 +-= xxu
23)( uuf =
)12.()1(23
)1(.)1(2323
][])1[(
222
222222
23232
-+-
=+-+-=
==+-
xxx
xx
dx
dxx
dx
duu
u
dx
dxx
dx
d
Algumas Demonstrações
1) Se f(x) = c, c R, então f’(x) = 0, xÎ "
Prova:
cqd. 0lim )('
00
h
f :
.,0)()(
0h
=
D
=
==
D
"=-=-+=D
® h
fxf
h
Então
xccxfhxff
2) Se f(x) = xn, então, f’(x) = n.xn-1, x."
Prova: provaremos para n pertencente 
aos naturais, mas é válido para n 
pertencente aos reais também.
nnnn
nnnnnn
nn
hhx
n
n
hx
n
hx
n
f
xhhx
n
n
hx
n
hx
n
xf
xhxf
+÷
ø
ö
ç
è
æ
-
++÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
=D
-+÷
ø
ö
ç
è
æ
-
++÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
+=D
-+=D
---
---
11221
11221
1
...
21
1
...
21
)(
Então: 
h
hhx
n
n
hx
n
hx
n
xf
nnnn
h
+÷
ø
ö
ç
è
æ
-
++÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
=
---
®
11221
0
1
...
21
lim)('
11
1
)(' -- =÷
ø
ö
ç
è
æ
= nn nxx
n
xf cqd
Prova: 
3) Se f(x) = ax, então, f’(x) = ax.ln a, x, 
a>0 e a 1.
"
¹
( )
cqd ln.a (x)f' 
aln . f(x) (x)f' ln
f(x)
(x)f'
0 . x a1.ln )('.
f(x)
1
a)ln .(x f' f(x))(ln f'
aln . x f(x) ln
aln )(ln
expressão a todaemln aplique )(
x
x
a
a
xf
xf
axf x
=
=Þ=
+=
=
=
=
=
4) Regra do Produto
Se f e g forem diferenciáveis em x, 
então o produto f . g também será.
'.'.)'.( fggfgf +=
Prova: 
h
xgxfhxghxfxgxf
dx
d
h
)().()().(lim)]().([
0
-++
=
®
h
xgxfxghxfxghxfhxghxf
h
)()())()(())()(()()(lim
0
-+++-++
=
®
])()()()()()([lim
0 h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
-+
+
-+
+=
®
estratégia
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
hhhh
)()(lim).(lim)()(lim).(lim
0000
-+
+
-+
+=
®®®®
'.'.)]([)()]([)(
)]([)](lim[)]([)](lim[
00
fggfxf
dx
dxgxg
dx
dxf
xf
dx
dxgxg
dx
dhxf
hh
+=+=
++=
®®
cqd
5) Regra da Adição/Subtração
Prova: 
h
xgxfhxghxfxgxf
dx
d
h
)]()([)()(lim)]()([
0
+-+++
=+
®
h
xghxg
h
xfhxf
hh
)()(lim)()(lim
00
-+
+
-+
=
®®
cqd
)]([)]([)]()([ xg
dx
dxf
dx
dxgxf
dx
d
+=+
h
xghxgxfhxfxgxf
h
)]()([)]()([lim)]'()([
0
-+--+
=+
®
)(')('
)]([)]([
xgxf
xg
dx
dxf
dx
d
+=
+=
Derivada Segunda, Terceira,..., 
Enésima
Se a derivada f’ de uma função f for 
ela mesma diferenciável, então a 
derivada de f’ será denotada por f’’, 
sendo chamada de derivada segunda 
de f. À medida que tivermos 
diferenciabilidade, poderemos 
continuar o processo de diferenciar 
derivadas para obter as derivadas 
terceira, quarta,..., enésima.
f’’=(f’)’, f’’’=(f’’)’,...
Exemplo: Se f(x) = 3x4 – 2x3 +x2 –4x +2, 
então,
f’(x) = 12x3 – 6x2 + 2x –4
f’’(x) = 36x2 – 12x +2
f’’’(x) = 72x – 12
f(4)(x) = 72
f(5)(x) = 0 ...
f(n)(x) = 0
Notação para Derivadas Enésimas
)())(()(
...
)())(('')(''
)())((')('
)()(
2
2
2
2
2
yDxf
dx
d
dx
ydyxf
yDxf
dx
d
dx
ydyxf
yDxf
dx
d
dx
dyyxf
n
xn
n
n
n
nn
x
x
====
====
====
Teorema de L’Hôpital
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis
tais que é da forma
então, se existe o 
)(
)(lim
xg
xf
ax® ¥
¥ou 
0
0
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
axax ®®
=
.
)('
)('lim
xg
xf
ax®
Obs.: Outras formas indeterminadas como 0. , 
podem ser reduzidas a essas duas, antes da 
utilização da regra.
¥
Resolução por L’Hôpital:
1° passo: verifique é uma 
forma indeterminada, caso contrário, 
essa regra não poderá ser usada;
2° passo: diferencie separadamente 
f e g;
3° passo: ache . Se esse 
limite for finito, + ou - , então 
ele é igual a .
Exemplo: 
)(
)(lim
xg
xf
ax®
)(
)(lim
xg
xf
ax®
¥ ¥
)('
)('lim
xg
xf
ax®
4
1
2lim
2
4
lim
0
0
2
4lim )1
2
2
2
2
2x
==
-
-
Þ
-
-
®®
®
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
xx
2
1
2cos2lim
)(
2(sen
lim2senlim
0
02senlim)2
0
00
0
=
==
Þ
®
®®
®
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
x
x
x
xx
x
+¥=
=
-
=
-
Þ
-
®
®®
®
20
30
30
30
3
lim
)(
)1(
lim1lim
0
01lim)3
x
e
x
dx
d
e
dx
d
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x