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Cálculo I e II 02 1. Números Reais e Funções 5 O conjunto dos números reais 5 Propriedades operatórias dos números reais 6 Funções 7 Função polinomial 12 Polinômio nulo 13 Função Racional 13 Função trigonométrica 13 Função Exponencial 16 Gráfico da função exponencial 16 Função logarítmica 18 2. Limites e Continuidade 21 Limites 21 Noção intuitiva de limite 21 Propriedades do limite 22 Limites laterais 23 Limites infinitos 23 Limites trigonométricos 25 Limites exponenciais 26 Funções contínuas 27 3. A derivada 31 Reta tangente e velocidade instantânea 31 Coeficientes da reta 31 Velocidade média 34 Velocidade instantânea 34 Definição de derivada 35 Derivadas laterais e continuidade 35 Derivadas laterais 35 Continuidade 37 Regras de derivação 38 Regra da cadeia 39 Derivadas de funções 40 3 Derivada da função inversa 40 Derivadas polinomiais 41 Derivada exponencial 42 Derivada logarítimica 43 Derivada trigonométrica 43 Derivada das funções trigonométricas inversas 46 Acréscimos 47 Diferencial 48 Derivação implícita 48 O teorema do valor médio 49 Derivadas de ordem superior 50 Taxas relacionadas 51 4. Aplicações da Derivada 55 Funções crescentes 55 Funções decrescentes 55 Máximos e mínimos 56 Antiderivadas 57 5. Referência Bibliográfica Erro! Indicador não definido. 04 5 Cálculo I e IIi e ii 1. Números Reais e Funções Fonte: Brasil Escola O conjunto dos números Reais conjunto dos números reais é composto pela junção do conjunto dos números racionais e irracionais. Existem inúmeras propriedades dos números reais, o qual são prolongamentos das propriedades dos números racionais. As propriedades dos números reais estão diretamente ligadas a ordem dos números e oe o estudo da matemática básica praticada nos componentes desse conjunto. A descrição dos números reais, dependem das definições dos conjuntos de números racionais e irracionais, o qual estes, dependem dos números inteiros. As propriedades mais importantes relacionadas ao conjunto dos números reais são: O conjunto dos números reais é um conjunto completo: podemos relacionar os números reais a uma reta numérica, onde é possível O 6 Cálculo I e IIi e ii verificar que para cada número real existe apenas uma representação na reta, onde não é admitido apresentar um número que não represente número real, desta forma, pode-se dizer que o conjunto dos números reais é completo. O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado: relacionando com a mesma reta numérica, podemos dizer que os números reais são ordenados, pois aqueles que estiverem à direita da reta é maior do que aqueles que estiverem à esquerda, e se acontecer de estarem no mesmo ponto, serão iguais. (MOREIRA,2020). Propriedades operatórias dos números reais Serão usados como exemplo os números reais “a”, “b” e “c”. Associatividade: 1) a·(b·c) = (a·b)·c 2) a + (b + c) = (a + b) + c Exemplos com valores a = 2 / b= 3 / c = 4 1) 2.(3.4)= 24 (2.3).4 = 24 2) 2+(3+4)= 9 (2+3)+4 = 9 Comutatividade: 1) a·b = b·a 2) a + b = b + a Exemplos com valores a = 4/ b= 3 1) 4.3= 12 3.4= 12 2) 4+3 = 7 3+4= 7 Elemento neutro único para a soma e para a multiplicação: 1) a + 0 = a 2) a·1 = a Exemplos com valores a= 5 1) 5+0 = 5 2) 5.1 = 5 Elemento inverso único para a soma e para a multiplicação: 1) a + (– a) = 0 7 Cálculo I e IIi e ii 2) Exemplos com valores a= 6 1) 6 + (– 6) = 0 2) 6.1 = 1 6 Distributividade: 1) a · (b + c) = a·b + a·c Exemplo com valor a = 3 / b= 7 / c = 9 1) 3.(7+9)= 48 3.7 + 3.9 = 48 Funções De acordo com Stewart (2013), as funções são peças fundamentais do cálculo e podem ser representadas de diferentes maneiras, como tabelas, gráficos, equações ou ate mesmo por meio de palavras. Geralmente o gráfico é a melhor de forma de representar uma função, por causa da transmissão de muita informação em um relance. As funções aparecem quando uma quantidade depende da outra, por exemplo: 1) A área A de um círculo depende do seu raio r. A regra que conecta r e A é dada pela equação . A cada número r positivo está associado um único valor de A e dizemos que A é uma função de r. 2) A população do mundo P depende do tempo t. A tabela mostra as estimativas da população mundial P(t) no momento t em certos anos. Fonte: Stewart P(1980) 4.450.000.000 Porém, para cada valor do tempo t, existe um valor correspondente de P, e 8 Cálculo I e IIi e ii dizemos que P é uma função de t. 3) O custo x de enviar uma encomenda pelo correio depende de seu peso y. Embora não haja uma fórmula simples relacionando y e x, o correio tem uma fórmula que permite calcular x quando y é dado. “Uma função f é uma lei que associa, a cada elemento x em um conjunto D, exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto E”. Geralmente, funções para as quais D e E são consideradas conjuntos de números reais, o conjunto D é denominado domínio da função. O número representado por f(x), significa o valor de f em x e é lido como “f de x”. A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f (x) obtidos quando x varia por todo o domínio. O símbolo que representa um número arbitrário no domínio de uma função f é denominado uma variável independente. Um símbolo que representa um número na imagem de f é denominado uma variável dependente. No Exemplo 1, a variável r é independente, enquanto A é dependente. Podemos então, assimilar uma função a uma máquina, se x estiver no domínio da função f, quando x adentrar na máquina, ele será aceito como entrada, e a máquina fornecerá uma saída f (x) conforme a lei que estabelece a função. Assim, podemos compreender o domínio como o conjunto de todas as entradas, enquanto a imagem é o conjunto de todas as possíveis saídas. Exemplo de máquina para a função f Fonte: Stewart Outra maneira de representar a função é como um diagrama de flechas, como mostra na figura a seguir. Cada flecha conecta um elemento de D com um elemento de E. A flecha indica que f(x) está associado a x, f(a) está associado a “a” e assim por diante. 9 Cálculo I e IIi e ii Diagrama de flechas para f Fonte: Stewart A função é a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. A lei de formação que intitula uma determinada função possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas, isso facilitará o entendimento por parte do estudante. Observe: Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas. Observe o quadro. Nessa situação, temos que: A B x f(x) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A. (1, 2, 3, 4, 5) Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A).(2, 3, 4, 5, 6) 10 Cálculo I e IIi e ii O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou não uma função.Todos os elementos do conjunto domíniodevem possuir representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função.Observe: Função Não é uma função Restam elementos no conjunto domínio, que não foram associados ao conjunto imagem. Não é função Um único elemento do domínio não deve possuir duas imagens. Função Dois elementos diferentes do domínio podem possuir a mesma imagem. Exemplo Vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão possuir representação no conjunto B de acordo com a seguinte lei de formação y = x². Aplicada a lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(–3, 9), (–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com a utilização de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A com os elementos do conjunto B. Observe: 11 Cálculo I e IIi e ii No diagrama é possível observar com mais clareza que todos os elementos de A, estão ligados, a um elemento de B, então podemos dizer que essa relação é uma função. Dessa forma o domínio é dado pelos elementos do conjunto A, e a imagem, pelos elementos do conjunto B. Geralmente o método mais utilizado para visualizar uma função é atraves de seu gráfico. Se “f” for uma função com domínio D, então seu gráfico será o conjunto de pares ordenados. O gráfico de “f” consiste de todos os pontos (x, y) no plano coordenado tais que y= f(x) e x está no domínio de f. O gráfico de uma função f nos fornece uma imagem útil do comportamento ou “histórico” da função. Uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o gráfico é y= f(x), podemos ler o valor f(x) como a altura do ponto no gráfico acima de x. Fonte: Stewart O gráfico de f também nos permite visualizar o domínio de f sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y. Fonte: Stewart Exemplo: para o gráfico de uma função “f”a seguir. a) Encontre os valores de f(1) e f(5). b) Quais são o domínio e a imagem de f? 12 Cálculo I e IIi e ii Fonte: Stewart a) Vemos na Figura 6 que o ponto (1, 3) encontra-se no gráfico de f, então, o valor de f em 1 é f(1)=3 . (Em outras palavras, o ponto no gráfico que se encontra acima de x = 1 está 3 unidades acima do eixo x.) Quando x = 5, o ponto no gráfico que corresponde a esse valor está 0,7 unidade abaixo do eixo x e estimamos que f(5) -0,7 . (b) Vemos que f(x) está definida quando , logo, o domínio de f é o intervalo fechado [0, 7]. Observe que os valores de f variam de -2 a 4, assim, a imagem de f é. Função polinomial Toda função na forma é considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois x: domínio da função e y: imagem. O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente natural entre os monômios que o formam. Veja: g(x) = 4x³ + 10x² – 5x + 2: polinômio grau 3. f(x) = -9x² + 12x – 6: polinômio grau 2. h(x) = -3x+ 6: polinômio grau 1. Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são atribuídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)], vão construindo o par ordenado (x,y) usado nas representações gráficas no plano cartesiano. Observe: Dada a função polinomial p(x) = 2x³ + 2x² – 5x + 1. Determine os pares ordenados: Quando x=0. p(x) = 2x³ + 2x² – 5x + 1 p(0) = 2.0³ + 2.0² – 5.0 + 1 p(0) = 0 + 0 – 0 + 1 p(0) = 1 par ordenado (0,1). Quando x = 1 p(1) = 2.1³ + 2.1² – 5.1 + 1 13 Cálculo I e IIi e ii p(1) = 2 + 2 – 5 + 1 p(1) = 0 par ordenado (1,0) Quando x = 2 p(2) = 2.2³ + 2.2² – 5.2 + 1 p(2) = 2.8 + 2.4 – 10 + 1 p(2) = 16 + 8 – 10 + 1 p(2) = 15 par ordenado (2,15) Polinômio nulo Um polinômio é nulo quando todos os seus coeficientes forem iguais a zero. P(x) = 0. Função Racional Uma função racional f é a razão de dois polinômios: Onde P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que . Um exemplo simples de uma função racional é a função f(x)= 1/x, cujo domínio é . Exemplos: E uma função racional, pois tem dois polinômios Não é uma função racional, pois a variável x está dentro de um radical. E uma função racional, pois tem dois polinômios e a variável x não está dentro do radical Não é uma função racional, pois não é dada pelo quociente de dois polinômios, a variável x está dentro de um radical. Função trigonométrica As funções podem ser periódicas, e são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo. As funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos. São também denominadas funções circulares, e tem relação com as voltas no ciclo trigonométrico. Em cálculo, convenciona-se dar a medida de ângulos em radianos (exceto quando 14 Cálculo I e IIi e ii explicitamente mencionado). Por exemplo, quando utilizamos a função f(x)= senx, entende-se que x seja o seno de um ângulo cuja medida em radianos é x. No círculo trigonométrico cada número real está associado a um ponto. Círculo trigonométrico e ângulos representados em graus e radianos Fonte: Toda Matéria As principais funções trigonométricas são: Função seno: É uma função f: R→R que associa a cada número real x o seu seno, então, f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrante, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrante. O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R. Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1. Fonte: Matematica Basica Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x). Exemplo: sabendo que 𝜋/6 = 30º e seno de 30º= 1 2 então: sen (− 𝜋 6 )= - 1 2 = -sen 𝜋 6 15 Cálculo I e IIi e ii Função cosseno: É uma função f: R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrante, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrante. O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R. Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1. Fonte: Matematica Basica Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x). Exemplo: sabendo que π/6 = 30º e cosseno de 30º= √3 2 então: Cosseno (- 𝜋 6 )= √3 2 Função tangente: É uma função f: R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. O sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo. O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ. Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais. Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x). Exemplo: sabendo que 𝜋 3 = 60° e que a tg 60º = √3 então: Tg(- 𝜋 3 ) = - √3 16 Cálculo I e IIi e ii Função Exponencial E aquela cujo a variável está no expoente e a base é sempre maior que 0 e ≠ de 1. Essas restrições sãonecessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Dessa forma, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante. Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a 0, pois para alguns expoentes a função não estaria definida. Exemplo: a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe √ de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor. A função f(x)=2𝑥 é chamada de função exponencial, pois a variável x é o expoente. Ela não pode ser confundida com a função potência g(x)=𝑥2 , na qual a variável é a base. Uma função exponencial é uma função do tipo f(x)=𝑏𝑥, onde b é a base. b>0 b ≠1 Exemplo: f(x) = 7𝑥 f(x) =( 0,4)𝑥 Gráfico da função exponencial Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto, a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV, que representa uma imagem negativa. A curva exponencial não toca no eixo x. Fonte: Toda Matéria A função exponencial pode ser crescente ou descrescente. Crescente: quando a base for >1. Exemplo Vamos atribuir valores para y = 2𝑥 e encontrar sua imagem. 17 Cálculo I e IIi e ii Fonte: Toda Matéria Atribuído valores para x, nota-se que quando aumenta o valor a imagem também aumenta, então a função é crescente. Veja a representação no gráfico. Fonte: Toda Matéria Decrescente: quando a base é 0 < 𝑏 > 1. Exemplo: vamos atribuir valores a f(x) = ( 1 2 )𝑥 e encontrar sua imagem. Fonte: Toda Matéria Atribuído valores para x, nota- se que quando aumenta o valor a imagem reduz, então a função é decrescente. Veja a representação no gráfico. Fonte: Toda Matéria 18 Cálculo I e IIi e ii Exercícios resolvidos A) 2𝑥= 32 Sabendo que 32= 25 temos, 2𝑥=32 2𝑥= 25 X=5 B) 2𝑥=1 Sabendo que 1= 20 temos, 2𝑥=1 2𝑥= 20 X=0 C) ( 1 3 )𝑥=81 Sabendo que 81= 34 temos, ( 1 3 )𝑥 = 81 3−𝑥 = 34 -x = 4 (-1) X=-4 Função logarítmica Toda função definida pela lei de formação f(x) = log𝒶X, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base 𝒶. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Exemplos de funções logarítmicas: f(x) = log2 𝑥 f(x) = log3 𝑥 f(x) = log10 𝑥 f(x) = log1/3 𝑥 A função logarítmica é a inversa da função exponencial. log𝑏 𝑎 =x ⇔ a= 𝑏 𝑥 Sendo o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = log𝜕 𝑥⇔ 𝜕 𝑦 = x. Assim, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica. Fonte: Toda Matéria Analisando o gráfico, é possível perceber que a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente. Exercícios resolvidos A) log2 32 Sabendo que 32=25 temos, log2 32=x 19 Cálculo I e IIi e ii 32= 2𝑥 25 = 2𝑥 5=x X=5 B) log3 81 Sabendo que 81= 34 temos, log3 81 = x 81=3𝑥 34 = 3𝑥 4=x X=4 C) log1/2 32 Sabendo que 32= 25 temos, log1/2 32 = x 32= 1/2𝑥 25= 2−𝑥 5=-x (-1) X=-5 21 Cálculo I e II 2. Limites e Continuidade Fonte: freepik Limites definição de limite é utilizada com objetivo de expor o comportamento de uma função nos momentos em que se aproxima de determinados valores. O limite de uma função possui grande importância no cálculo diferencial e em outros ramos da matemática. Dizemos que uma função f(x) tem um limite A quando x → a (→: ler-se tende). lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) =A Noção intuitiva de limite Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: A 22 Cálculo I e II Pela sua direita (valores maiores que 1) e calcular o valor correspondente de y: Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1, y tende para 3. O limite da função é 3. lim 𝑥→1 (2𝑥 + 1) = 3 Outro exemplo de limite é quando x se aproxima de 3cm. A área ( 𝑥2) se aproxima de 9cm² como um limite. Então temos, lim 𝑥→3 𝑥² = 9 Onde a notação (x→ 3) indica que x tende a 3 e “lim” significa “o limite de”. Propriedades do limite O limite da soma é a soma dos limites. Exemplo: O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual a multiplicação de seus limites. Exemplo: lim 𝑥→𝜋 [3𝑥3. 𝑐𝑜𝑠𝑥] = lim 𝑥→𝜋 3𝑥3. Lim 𝑥→𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3𝜋3.cosπ = 3𝜋3.(-1) = -3π³ O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero. Exemplo: 23 Cálculo I e II O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da função, lembrando que esta raiz precisa ser real. Exemplo: Limites laterais Se x se aproxima de “a” através de valores maiores que “a’ ou pela sua direita, esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. Escrevemos: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥)=b Se x se aproxima de “a” através de valores menores que “a” ou pela sua esquerda, esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. Escrevemos: lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥)=c Exercicios resolvidos A) Seja f(x)= 𝑥2-1 se x<2 x-1 se x>2 1 se x=2 Determine os limites. 𝐴) lim 𝑥→2− 𝑓(𝑥), 𝐵) lim 𝑥→2+ 𝑓(𝑥) C) lim 𝑥=2 𝑓(𝑥) Solução: A) lim 𝑥→2− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→2− 𝑥2 − 1 = 22-1 = 3 B) lim 𝑥→2+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→2+ 𝑥 − 1 = 2-1 = 1 C) lim 𝑥=2 𝑓(𝑥) = ∄ (não existe) Limites infinitos A expressão x→ +∞ (ler-se que x tende para o infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x→ −∞ (ler-se que x tende para menos infinito), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real. 24 Cálculo I e II Vamos analisar o gráfico a seguir. a) lim 𝑥→∞ 1 𝑥 = 0 ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero. b) lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 = 0 ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. c) lim 𝑥→+0 1 𝑥 = ∞ ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero (x→ 0+) ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito. d) lim 𝑥→−0 1 𝑥 = −∞ ou seja, quando x tende para zero pela esquerda (x→ 0 −) ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito Se 𝜂 é um número inteiro positivo, então temos: lim 𝑥→±∞ 1 𝑥 𝜂 = 0 E sendo constante K, temos: lim 𝑥→±∞ 𝑘 = 𝑘 Exemplos: A) lim 𝑥→+∞ (3 + 1 𝑥 ) = lim 𝑥→+∞ 3 + lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 = 3+0 = 3 B) lim 𝑥→−∞ ( 𝜋√2 𝑥3 ) = lim 𝑥→−∞ 𝜋√2. 1 𝑥3 = lim 𝑥→−∞ 𝜋√2 . lim 𝑥→−∞ 1 𝑥3 = π√2 . 0 = 0 No Limite de uma função polinomial quando 𝑥 → ±∞ podemos dividir o numerador e o denominador, pela maior potência de x do denominador. Exemplos: A) Quando o numerador e denominador possuem o mesmo grau. lim 𝑥→+∞ ( 3𝑥2+5−3 2𝑥2+1 ) . = lim 𝑥→+∞ ( 3+ 5 𝑥 − 𝑥 𝑥2 2+ 1 𝑥2 ) = . 3+0−0 2+0 = 3 2 Neste exemplo, divide todo o numerador e denominador por x². Observação: 5𝑥 𝑥² = 5𝑥 𝑥.𝑥 = 5 𝑥 25 Cálculo I e II B) Quando o numerador possui grau menor que o denominador. lim 𝑥→−∞ ( 2𝑥+3 2𝑥3−2 ) . = lim 𝑥→−∞ ( 2 𝑥3 + 3 𝑥3 3− 2 𝑥3 ) . = 0+0 3−0 = 0 3 = 0 Neste exemplo, divide todo o numerador e denominador por x³. C) Quando o numerador possui grau maior que o denominador. lim 𝑥→−∞ ( 2𝑥2+4𝑥−5 3𝑥+4 ) . = lim 𝑥→−∞ ( 2𝑥+4− 5 𝑥 3+ 4 𝑥 ) . = −∞+4−0 3+0 = −∞ 3 = -∞ Neste exemplo, divide todo o numerador e denominador por x Observação: no cálculo de limites no infinito de funções polinomial, podemos considerar apenas o limite no infinito do quociente entre os termos de maior grau tanto do numerador como do denominador. Exemplo: lim 𝑥→+∞ ( 3𝑥5−2𝑥2+5𝑥−1 2𝑥7+5𝑥³−2𝑥² ) . = lim 𝑥→+∞ ( 3𝑥5 2𝑥7 ) . = lim 𝑥→+∞ ( 3 𝑥2 2 ) . = 0 2 = 0 Exercícios resolvidos A) B) C) Limites trigonométricos lim 𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 ) . = 1 Obs: Usa x em radianos. Para demonstrar que o valor é =1 analisaremos o gráfico. Para x→ +0 , temos : sen x < x < tg x. 26 Cálculo I e II Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, temos: sen x < x < tg x. 1 < 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 < 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < 1 cos 𝑥 Obs : como sabemos tg x = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 . 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 cos 𝑥 Invertendo temos: 1> 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 > cos x Porém lim 𝑥→0 1 = lim 𝑥→0 cos = 1 Adotando as letras g, f e h. g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas. lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝑏. Como f(x) encontra-se entre g(x) e h(x) ou seja, entre 1 e 1 , então lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏. Logo, lim 𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 ) . = 1 Exercício resolvido 1) Determine o limite lim 𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 8𝑥 ) . = lim 𝑥→0 ( 3 8 .𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3 8 .8𝑥 ) . = lim 𝑥→0 ( 3 8 .𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3.𝑥 ) . = lim 𝑥→0 3 8 . lim 𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3𝑥 ) .= 3 8 .1 = 3 8 Limites exponenciais lim 𝑥→∞ (1 + 1 𝑥 ) 𝑥 Neste caso, “e” representa a base dos logaritmos naturais.Trata- se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de Notamos que à medida que Exemplo: Demonstre que lim 𝑥→+0 (1 + 𝑥)1/𝑥 = e Trocamos a variável x por x= 1 𝑡 X= 1 𝑡 {x → +0 { t → +∞ Então; lim 𝑡→+∞ (1 + 1 𝑡 ) 1 1 𝑡 = lim 𝑡→+∞ (1 + 1 𝑡 ) 𝑡 = e 27 Cálculo I e II Nota-se que o lim 𝑡→+∞ (1 + 1 𝑡 ) 𝑡 = lim 𝑥→+∞ (1 + 1 𝑥 ) 𝑥 Desta forma os dois são iguais a “e’. Funções contínuas As funções contínuas estão vigorosamente vinculadas com os limites, pois quando se quer saber se uma função é contínua deve-se analisar também a existência do limite. Podemos afirmar, de maneira grosseira que uma função é contínua quando conseguimos desenhar seu gráfico sem tirar o lápis do papel, ou seja, de maneira interrupta. Ou ainda, quando o gráfico da função não possui quebras ou saltos em todo seu domínio. Para uma função f(x) ser contínua em x=a se as devidas condições forem satisfeitas. f(a) está definida lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existir lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a) Caso falhar qualquer uma destas condições, a função f(x) é dita descontínua em x = a . Exemplos A) Determine se f(x) é contínua em x = 1, onde: A função está definida f(1)=1 . Fazendo a análise do limite temos: lim 𝑥→1 ( 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 ) . = 0 0 Desta forma, calculamos: lim 𝑥→1 ( (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1) ) . = lim 𝑥→1 (𝑥 + 1) = 2 Devemos então conferir se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a). lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) = 2 ≠ 1 = f(1) então f(x) é descontínua em x=1. Podemos observar essa descontinuidade no gráfico a seguir. Fonte: Dicas de Cálculo 28 Cálculo I e II B) Determine se f(x) é contínua em x= 1, onde: A função está definida em x= -1, pois f(-1) = (-1)²- (-1)-2 f(-1) = 1+1-2 = 0 Vamos calcular os limites laterais, pois são funções diferentes. Pela direita lim 𝑥→1+ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 Pela esquerda lim 𝑥→1− 𝑥 + 1 = 0 O limite existe pois, os limites laterais são iguais. lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) = 0 Então, deve-se analisar se a função em x=-1 é igual ao limite neste mesmo ponto. lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) lim 𝑥→−1 𝑓(𝑥) = 𝑓(−1) = 0 Conclui-se que f(x) é contínua em x=-1. Vamos observar essa continuidade no seguinte gráfico. Fonte: Dicas de Cálculo Exercícios resolvidos 1) Verifique se a seguinte função é contínua em x=1. Primeiramente temos: f (x)= 2-x f(1) = 2-1 = 1 Calculando os limites laterais, se o limite existir e for igual a f(1) = 1, então f(x) será contínua em x = 1. Pela direita lim 𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1+ ( 𝑥2+𝑥−2 𝑥−1 ) = . lim 𝑥→1+ ( (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1) ) . = lim 𝑥→1+ (𝑥 + 2) = 3 29 Cálculo I e II Pela esquerda lim 𝑥→1− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1− (2 − 𝑥) = 1 Neste exercício 1 podemos concluir que os limites laterais são diferentes, então f(x) não é contínua em x=1. 2) Verifique se a seguinte função é contínua em x=1. Primeiramente temos: f (x)= x + 2 f(1) = 1+2 = 3 Calculando os limites laterais, se o limite existir e for igual a f(1) = 3, então f(x) será contínua em x = 1. Pela direita lim 𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1+ ( 𝑥2+𝑥−2 𝑥−1 ) =. lim 𝑥→1+ ( (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1) ) . = lim 𝑥→1+ (𝑥 + 2) = 3 Pela esquerda lim 𝑥→1− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1− (𝑥 + 2) = 3 Neste exercício 2 podemos concluir que os limites laterais são iguais, então f(x) é contínua em x=1. 31 Cálculo I e II 3. A derivada Fonte: Perseus Reta tangente e velocidade instantânea método de encontrar a reta tangente a uma curva e o método de encontrar a velocidade de um objeto, implicam em determinar um tipo de limite. Este tipo especial de limite é chamado de derivada e veremos que ele pode ser interpretado como uma taxa de variação tanto nas ciências quanto na engenharia. Para entender o conceito de derivada, primeirame- nte você precisa saber o que é uma reta tangente. Coeficientes da reta Coeficiente angular: está diretamente relacionado com a inclinação de uma reta ou com a inclinação de um segmento de reta. Exemplo: Sejam A( X1, Y1) e B(X2,Y2) dois pontos distintos no plano cartesiano. Então o coeficiente angular 𝓂 do segmento de reta 𝐴𝐵 é dado por: 𝓂 = 𝑌2−𝑌1 𝑋2−𝑋1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = tg 𝜃 O 32 Cálculo I e II Fonte: Brasil Escola Sendo o coeficiente angular a variação na vertical (eixo y) pela variação na horizontal (eixo x) dainclinação de uma reta ou de um segmento de reta, vamos verificar no gráfico a seguir. Fonte: Brasil Escola Completando o segmento de reta com um triângulo retângulo e colocando um ponto C para melhor visualização, temos na vertical 𝐵𝐶 a variação no eixo y do segmento de reta, sendo representada por ∆𝑦 e na horizontal 𝐴𝐶 a variação no eixo x, sendo representada por ∆𝑥 .Desta forma : ∆𝑦 = Yb – Ya ∆𝑥 = Xb – Xa Fonte: Brasil Escola Então: 𝓂 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑌𝑏−𝑌𝑎 𝑋𝑏−𝑋𝑎 No plano cartesiano uma reta pode surgir de varias formas, podendo ser crescente, decrescente, estar na horizontal ou na vertical. Reta crescente: seu coeficiente angular será sempre um valor positivo, assim 𝓂 > 0. Reta decrescente: seu coeficiente angular será um valor negativo, assim 𝓂 < 0. Reta horizontal: seu coeficiente angular não é nem positivo e nem negativo, assim 𝓂 = 0. Reta na vertical: é igual a zero, então ele não existe. 33 Cálculo I e II Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos 𝓂 = tg 𝜃 tg𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 tgα = ∆𝑦 ∆𝑥 Exemplo Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(-2,1) e B(3,4)? 𝓂 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦𝑏−𝑦𝑎 𝑥𝑏−𝑥𝑎 = 4−1 3−(−2) = 3 5 Reta formada pelo seu ponto e coeficiente angular: A equação da reta que passa pelo ponto (X0 e Y0) e possui coeficiente angular 𝓂 é dada por Y- Y0 = 𝓂 (X-X0) Exemplo: Escreva a equação da reta que passa pelo ponto (3,2) com inclinação −3 2 Y- Y0 = 𝓂 (X – X0) Y- 2 = −3 2 (x - 3) 2Y-4 = -3X + 9 2Y +3 – 13 = 0 Coeficiente angular da reta tangente Tendo uma curva y = f(x) e um ponto p(x1, y1) sobre ela. O coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto p é dada por: 𝓂 = lim ∆𝑥→0 ( 𝑓(𝑋1 + ∆𝑥) ∆𝑋 ) . − 𝑓(𝑋1) Exemplo Encontre o coeficiente angular da reta tangente a curva y=x²-6x+8 no ponto (x1,y1) f(x) = x²-6x+8 f(x1) = x1²-6x1+8 f(x1+∆𝑥) = (x1+∆𝑥)² - 6 (x1+∆𝑥)+8 f(x1+∆𝑥) = x1²+2∆𝑥1∆𝑥+(∆𝑥)²-6x1- 6∆𝑥+8 𝓂 = 𝓂 = 𝓂 = lim ∆𝑥→0 ( 2𝑥1∆𝑥1 + (∆𝑥)2 − 6∆𝑥 ∆𝑥 ) . 𝓂 = lim ∆𝑥→0 ( ∆𝑥(2𝑥1 + ∆𝑥 − 6) ∆𝑥 ) . 𝓂 = lim ∆𝑥→0 2𝑥1 + ∆𝑥 − 6 34 Cálculo I e II 𝓂 = 2𝑥1 + 0 − 6 𝓂 = 2𝑥1 − 6 Velocidade média A velocidade é uma grandeza que resulta da variação de tempo e variação de espaço percorrido por um móvel, ela mede a variação da posição do móvel no tempo, e nos oferece um valor que representa o quanto o móvel está rápido ou devagar ao realizar um determinado trajeto. Quando estiver o termo velocidade escalar, refere-se a uma grandeza escalar, que tem apenas valor numérico, sem preocupar com as características de um vetor que são direção e sentido. A velocidade média esta ligada a um intervalo de tempo ∆t Exemplo: Um carro parte do repouso (velocidade inicial zero) e percorre 200m em 10s. Qual a velocidade média deste móvel nos 10s de movimento? Temos que a variação de espaço representada por ∆𝑠 foi de 200m, e a variação de tempo representada por ∆𝑡 foi de 10s, assim, a velocidade média é dada por: Vm = ∆S/∆t Vm = 200m / 10s Vm = 20m/s Embora a velocidade média ter sido dada por 20m/s, isto não significa que o carro estava sempre nessa velocidade de 20m/s, uma vez que ele partiu da velocidade inicial zero e aumentou ao longo do percurso. Velocidade instantânea A velocidade instantânea está ligada a um instante de tempo t, diferente da velocidade média que esta ligada a um intervalo de tempo ∆t. Para saber a velocidade instantânea do carro no instante 4s, sabendo que a aceleração do mesmo é de 2m/s, devemos utilizar a equação abaixo: V = V0 + a.t Onde : V: é a velocidade final do móvel. V0: é a velocidade inicial do móvel. a: é a aceleração do móvel. t: é o tempo. Esta é a função para encontrar a velocidade para o movimento uniformemente variado. Então para encontrar a velocidade instantânea do carro, é so substituir os valores da seguinte forma. 35 Cálculo I e II V = V0 + a.t V = 0 + 2 . 4 V = 8 m/s Assim, a velocidade do móvel no instante 4s é igual a 8m/s e esta pode ser chamada de velocidade instantânea já que se refere ao instante 4s. Definição de derivada A derivada corresponde a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x, dada pela relação ∆x / ∆y. Considerando uma função y = f(x), a sua derivada no ponto x = x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à curva. Temos que: lim ∆𝑥→0 ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . Se o limite existir. Temos que a taxa de variação instantânea de uma função y = f(x) em relação a x é dada pela expressão dy / dx. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: Dxf(x) F’(x) DxY 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Exemplo: 1) Dada a função f(x)= 3x²+2x-1 encontre f ’(3). f ’(3)= lim ∆𝑥→0 ( 𝑓(3+∆𝑥)−𝑓(3) ∆𝑥 ) . = f ‘(3) = 3.3²+2.3-1 = 32 f(3+∆𝑥)=3.(3+∆𝑥)²+2(3+∆𝑥)-1= f(3+∆𝑥)= 32+20∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 lim ∆𝑥→0 ( 32 + 20∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 − 32 ∆𝑥 ) . lim ∆𝑥→0 ( 20∆𝑥 + 3(∆𝑥)² 𝑛 ) 𝑛 lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 ( 20 + 3∆𝑥 ∆𝑥 ) . lim ∆𝑥→0 20 + 3∆𝑥 lim ∆𝑥→0 20 + 3.0 = 20 Derivadas laterais e continuidade Derivadas laterais Caso o limite exista, as derivadas lateriais são definidas por: lim ∆𝑥→0+ ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . 36 Cálculo I e II Quando esta tender a zero pela direita. lim ∆𝑥→0− ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . Quando esta tender a zero pela esquerda. Uma função será derivável em um ponto se existirem derivadas laterais e se essas derivadas forem iguais. Exemplos: 1) Seja f a função definida por 𝑓(𝑥) = { 5 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 3 4𝑥 − 13, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 Encontre f ’+(3) e f ’-(3). Vamos fazer o cálculo pela direita. lim ∆𝑥→0+ ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . f(3)= 4.3-13= f(3)= 12-13=-1 f(3+∆𝑥) = 4(3+∆𝑥)-13 = f(3+∆𝑥) = 12+4∆𝑥 − 13 = f(3+∆𝑥) = 4∆𝑥 − 1 lim ∆𝑥→0+ ( 𝑓(3 + ∆𝑥) − 𝑓(3) ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0+ ( 4∆𝑥 − 1 + 1 ∆𝑥 ) . = 4 Agora o cálculo pela esquerda. lim ∆𝑥→0− ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . f(3+∆x) = 5-2(3+∆x) = f(3+∆x) = 5-6+2∆x = f(3+∆x) = -1-2∆x lim ∆𝑥→0− ( 𝑓(3 + ∆𝑥) − 𝑓(3) ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0− ( −1 − 2∆𝑥 + 1 ∆𝑥 ) . = −2 Podemos concluir que as derivadas existem, porém como são valores diferentes a função x=3 não será derivável, assim, consideramos que a derivada naquele ponto não existe. 2) Seja f a função definida por 𝑓(𝑥) = { 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1 2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 Encontre f ’+(1) e f ’-(1). Cálculo pela direita f(1)= 2.1-1 = f(1)= 1 f(1+∆x) = 2(1+∆x)-1 = f(1+∆x) = 2+2∆x-1= f(1+∆x)=1+2∆x 37 Cálculo I e II lim ∆𝑥→0+ ( 𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1) ∆𝑥 ) =. lim ∆𝑥→0+ ( 1 + 2∆𝑥 − 1 ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0+ 2 = 2 Cálculo pela esquerda. f(1+∆x) = (1+∆x)² = f(1+∆x) = 1+2∆x+(∆𝑥)² lim ∆𝑥→0− ( 𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1) ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0− ( 1 + 2∆𝑥(∆𝑥)2 − 1 ∆𝑥 ) =. lim ∆𝑥→0− ( ∆𝑥(2 + ∆𝑥) ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0− 2 + ∆x = 2 + 0 = 2Podemos concluir que as derivadas existem, e tem valores iguais, então a função x=1 será derivável, assim, consideramos que a derivada naquele ponto existe. Continuidade Em relação a continuidade, se uma função f é derivável em um número x, ela será então contínua em x. isso se deve por uma razão em que uma função descontínua em um ponto, apresenta um salto, então não pode ser derivável nesse ponto. Porém, existem funções contínuas que não são deriváveis, por exemplo a função f(x) = [x]. Vejamos: 𝑓(𝑥) = { −𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 lim ∆𝑥→0 ( 𝑓(0 + ∆𝑥) − 𝑓(0) ∆𝑥 ) . = Cálculo pela direita lim ∆𝑥→0+ ( 0 + ∆𝑥 − 0 ∆𝑥 ) . = 1 Cálculo pela esquerda lim ∆𝑥→0− ( −0 − ∆𝑥 − 0 ∆𝑥 ) . = −1 Podemos concluir que não existem derivadas da função x=0, porém o gráfico é contínuo em x=0. Veja: Fonte: Stewart 38 Cálculo I e II Regras de derivação Derivada de uma constante Se C é uma constante e f(x)= C para todo x, então f’(x)=0 Exemplo: f(x) = 7 f(x)=0 Derivada de uma potência Se 𝓃 é um número inteiro positivo e f(x)= 𝑥𝓃, então f(x) = 𝑥𝓃−1 Exemplo: f(x) = 𝑥9 f(x) = 9𝑥9−1 f(x)= 9𝑥8 Derivada do produto de uma constante por uma função A derivada de uma constante multiplicando uma função, é a constante multiplicando a derivada da função. Exemplo: f(x)= 5x³ f(x)= 5.3x² f(x)= 15x² Derivada da soma / subtração A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Exemplo: f(x)= 2x³-4x+5 f(x)= 2.3x²-1.4+0 f(x)=6x²-4 Derivada do produto Sejam f e g funções e h a função definida por h(x)= f(x).g(x). se a derivada f ’(x) e g’(x) existem então: h’(x) = f(x). g’(x)+f ’(x).g(x) Exemplo: f(x)= 𝑥4. (5x³-2) f(x)= 𝑥4. (5.3x²-0)+4x³.(5x³-2) f(x)= 𝑥4.15x²+20𝑥6-8x³ f(x)= 15𝑥6+20𝑥6-8x³ f(x)= 35𝑥6-8x³ Derivada do quociente Sejam f e g funções e h a função definida por h(x)= f(x)/g(x) no qual g(x)≠0. Se a derivada f ’(x) e g’(x) existem então: h’(x)= 𝑔(𝑥).𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]² 39 Cálculo I e II Exemplo: f(x)= 𝑥³ 𝑥2+5 = f(x)= (𝑥2+5).3𝑥2−𝑥3.2𝑥+0 (𝑥2+5)² = f(x)= 3𝑥4+15𝑥2−2𝑥4 𝑥4+10𝑥2+25 = f(x)= 𝑥4+15𝑥² 𝑥4+10𝑥2+25 Regra da cadeia É uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções. Se y é uma função derivável de u e se u é uma função derivável de x, então y é uma função derivável de x. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 . 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Exemplos: 1) Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de y=(3x+1)³. Vamos calcular pelo método estudado até aqui, expandindo e derivando o polinômio resultante. y=(3x+1)³ y= (3x+1)².(3x+1)¹ y= (9x²+6x+1).(3x+1) y=27x³+18x²+3x+9x²+6x+1 y= 27x³+27x²+9x+1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 Agora utilizando o método da regra da cadeia, usando u para representar (3x+1). Então temos: y=(3x+1)³ u= (3x+1) y= u³ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 . 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑢2. 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3. (3𝑥 + 1)2. 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 9(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 2) Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de y=(3x³- 2x)³. y= (3x³-2x)³ u = (3x³-2x) y= u³ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 . 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑢2. (9𝑥2 − 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (27𝑥2 − 6)(3𝑥3 − 2𝑥)² 4 0 Cálculo I e II Derivadas de funções Derivada da função inversa Dizemos que a função inversa de f representada por 𝑓−1 é uma função tal que para todo x no domínio de f temos: f(x)=y ⟺ 𝑓−1(y) = x. Uma função 𝑓 Sua inversa 𝑓−1 Fonte: Info Escola Exemplo: 1) Se y=f(x)=3x-6, determine a função inversa 𝑓−1(𝑥). Primeiro vamos trocar o x por y e isolar o y. y=3x-6 x=3y-6 3y=x+6 y= 𝑥 3 + 2 f(x)= 3x-6 ⟺ 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 3 + 2 Se atribuirmos um valor para x, como por exemplo x=4 temos: f(4) = 3.4-6 f(4) =6 Verificando na função inversa. 𝑓−1(𝑥) = 6 3 +2 𝑓−1(𝑥) = 2 + 2 = 4 Derivando a função f(x) e sua função inversa 𝑓−1(x). f(x) = 3x-6 f(x) = 3 𝑓−1(𝑥) = 6 3 + 2 𝑓−1(𝑥) = 1 3 41 Cálculo I e II A existência de uma função inversa deve atender a duas propriedades: Para quaisquer x1 e x2 no domínio de f, se x1 ≠ x2, então f(x1) ≠ f(x2). Para qualquer y no contra- domínio de f, existe algum x no domínio de f, tal que f(x)=y. Dessa forma, uma função que atenda a essas duas propriedades é chamada de bijetora. Na imagem a seguir é possível perceber que apenas a função em destaque é bijetora. Fonte: Aquino A derivada da função inversa, é o inverso da derivada, assim utilizamos: (𝑓−1(𝑥))’ = 1 𝑓′(𝑓−1(𝑥)) Exemplo: Seja y = 27x³, determine a derivada de sua função inversa. y=27x³ x=27y³ y³= 𝑥 27 y=√ 𝑥 3 3 f ’(x)= 27x³ = 3.27x² = 81x² (𝑓−1(𝑥))’ = 1 𝑓′(𝑓−1(𝑥)) = (𝑓−1(𝑥))’ = 1 81𝑥² = (𝑓−1(𝑥))′ = 1 81(√𝑥/3 ) 3 2 = (𝑓−1(𝑥))′ = 1 81. √ 𝑥2 9 3 = (𝑓−1(𝑥))′ = 1 9𝑥3 2 Derivadas polinomiais Para calcular as derivadas polinomiais vamos utilizar as regras de potência e as regras básicas de derivação. Exemplos: Vamos calcular as derivadas. 1) f(x)= 3x²-2x+1 f’(x)= 2.3x-2+0 f’(x)= 6x-2 42 Cálculo I e II 2) f(x)= 𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥² f’(x)= 5𝑥4 + 3.2𝑥2 − 2𝑥 f’(x)= 5𝑥4 + 6𝑥2 − 2𝑥 3) f(x)= 𝑥4 + 3𝑥3 − 𝑥² f’(x)=4x³+3.3x²-2x f’(x)= 4x³+9x²-2x Derivada exponencial Para calcular a derivada exponencial utilizamos algumas proposições. 1ª proposição: Se y=𝑎𝑥 (a>0 e a ≠ 1) utilizamos a expressão, onde ln é o logaritimo natural. y’ = 𝑎𝑥. 𝑙𝑛𝑎 Exemplo: Tendo y=2𝑥, determine a sua derivada no ponto de abscissa 3. a=2 y’= 2𝑥. 𝑙𝑛² f’(3)= 2³.ln² f’(3)= 8.ln² 2ª proposição: Utilizamos quando estiver uma função exponencial onde o expoente é uma função derivável em relação a variável x, se y=𝑎𝑢 (a>0 e a≠1). A derivada dessa função é dada pela expressão. y’=𝑎𝑢.lna.u’ Exemplo: Seja y=24𝑥³, determine a sua derivada. a=2 u=4x³ u’= 3.4x²=12x² y’=24𝑥 3 . 𝑙𝑛2.12𝑥² 3ª proposição A função exponencial é exatamente igual a sua derivada. Se y=𝑒𝑥então y’=𝑒𝑥. Exemplo: Seja y=4𝑒𝑥, determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . y=𝑒𝑥 y’= 4.𝑒𝑥 4ª proposição Se o expoente for uma função derivável em relação ao expoente x, utlilizamos a expressão. y’=𝑒𝑢. 𝑢′ Exemplo: Sendo y=3𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥, determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . u=senx u’=cosx y’= 3𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 43 Cálculo I e II Derivada logarítimica Assim como as derivadas exponenciais para calcular a derivada logarítimica utilizamos algumas proposições. 1ª proposição Se y=log𝑎 𝑥, (a>0 e a≠ 1) temos a expressão. y’= 1 𝑥 log𝑎 𝑒 Exemplo: Seja y=log4 𝑥, determine sua derivada. y’= 1 𝑥 log4 𝑒 2ª proposição Se y=log𝑎 𝑢 e 𝓊 é uma função derivável de x com u>0, temos a expressão. y’= 1 𝑢 . log𝑎 𝑒. 𝓊′ Exemplo: Seja f(x)=log2 5𝑥³, determine f ’(x). a=2 u=5x³ u’=3.5x² = 15x² y’= 1 5𝑥³ . log2 𝑒. 15𝑥² 3ª proposição Se y=lnx e x>0 temos a expressão. y’ = 1 𝑥 Exemplo: Sendo y= ln8, determine a derivada da função y’ = 1 8 4ª proposição Se y=lnu, e u é uma função derivável de x com u>0, então temos a expressão. y’= 1 𝑢 .u’ Exemplo: Seja y=ln(9x³) determiney’. u=9x³ u’=3.9x² = 27x² y’= 1 9𝑥3 . 27𝑥2 y’=3𝑥−1 y’= 3 𝑥 Derivada trigonométrica As funções trigonométricas muitas vezes são usadas em modelos de fenômenos do mundo real. Em particular, as vibrações, ondas, movimentos elásticos, campo eletromagnético, ritmos cardíacos e 4 4 Cálculo I e II outras grandezas que variem de maneira periódica podem ser descritos utilizando-se as funções trigonométricas. Derivada da função seno Se y=sex, então y’=cosx y=sen(x) → y’=cos(x) Se y=sen(u) e u é uma função diferencial de x, então. y’= cos(u).u’ Exemplo: Seja y=sen(4x³), determine y’. u=4x³ u’=3.4x² u’=12x² y’=cos(4x³).12x² Derivada da função cosseno Se y=cosx, então y’=-senx y=cos(x) → y’=-sen(x) Se y=cos(u) e u é uma função derivável de x, então. y’=-sen(u).u’ Exemplo: Seja f(x)=cos( 𝜋 2 − 𝑥) determi- ne f’(x). u= 𝜋 2 – x u’=0-1x u’=-1 f’(x)=-sen( 𝜋 2 − 𝑥). (-1) f’(x)= sen( 𝜋 2 − 𝑥) Lembrando que nesse cálculo π/2 é constante, então seu valor é zero. Derivada da função tangente Se y=tg(u) e u é uma função derivável de x, então. y’ = sec²u.u’ Exemplo: Seja f(x)=tg(7x³-10), determi- ne f’(x). u=7x³-10 u’= 3.7x²-10 u’= 21x²-0 u’= 21x² f’(x)= sec²(7x³-10).21x² Derivada da função cotangente Se y=cotg(u) e u é uma função derivável de x, então. y’= -cosec²u.u’ 45 Cálculo I e II Exemplo: Seja y=(3+2.𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)4, determi- ne y’. y=(3+2.𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)4 y=4(3+2.cotgx)³ u=(3+2cotgx) u’=(0+2.(-cosec²x)) y’=4(3+2cotgx)³.(-2.cosec²x) y’=-8(3+2cotgx)³.cosec²x Derivada da função secante Se y= sec(u) e u é uma função derivável de x, então. y’=sec(u).tg(u).u’ Exemplo: Seja y=x³.𝑠𝑒𝑐 5 3𝑥, determine y’. u=x³ u’=3x² v=𝑠𝑒𝑐 5 3 𝑥 → v=(𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3 v’ = 5 3 . (𝑠𝑒𝑐𝑥) 2 3 . 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 y= u.v y’=u.v’+v.u’ y’= x³. 5 3 (𝑠𝑒𝑐𝑥) 2 3 .secx.tgx+ (𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3. 3x² y’ = 5𝑥³ 3 .(𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3.tgx+3x²(𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3 y’= x².(𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3.( 5 3 x.tgx+3 Lembrando que para calcular 5/3 -1 deve tirar o m.m.c. Derivada da função cossecante Se y=cosec(u) e u é uma função derivável de x, então. y’=-cosec(u).cotg(u).u’ Exemplo: Seja f(x)=( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑥2+1 ), determine y’. u=cosecx u’=-cosecx.cotgx v=x²+1 v’=2x+1 → v’=2x+0 = 2x y= 𝑢 𝑣 y’= 𝑣.𝑢′−𝑢.𝑣′ 𝑣² y’= (𝑥²+1).(−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥).𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥−(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥).2𝑥 (𝑥2+1)² y’=(-cosecx)[ (𝑥2+1).𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥+2𝑥 (𝑥2+1)² ] 46 Cálculo I e II Derivada das funções trigonométricas inversas As derivadas trigonométricas inversas são seis, no qual u é uma função derivável de x. então, temos as seguintes fórmulas. Fonte: I.pinimg Exemplos: Calcule a derivada das funções: 1) y=arc sen 3x u=3x u’=1.3 = 3 y’= 𝑢′ √1−𝑢² y’= 3 √1−(3𝑥)² y’= 3 √1−9𝑥² 2) y=arc cos x³ u= x³ u’=3x² y’= −𝑢′ √1−𝑢² y’= −3𝑥² √1−(𝑥³)² y’= −3𝑥² √1−𝑥6 3) y=arc tg 𝑥 4 u= 𝑥 4 u’= 1 4 y’= 𝑢′ 1+𝑢² y’= 1 4 1+( 𝑥 4 )² y’= 1/4 1+ 𝑥2 16 y’= 1/4 16+ 𝑥2 16 y’= 1 4 . 16 16+𝑥² y’= 4 16+𝑥² 4) y= arc cotg x² u= x² u’= 2x 47 Cálculo I e II y’= −𝑢′ 1+𝑢² y’= −2𝑥 1+(𝑥²)² y’= −2𝑥 1+𝑥4 5) y=arc sec (3x-5) u=3x-5 u’= 3 y’= 𝑢′ |𝑢|√𝑢2−1 y’= 3 |3𝑥−5|√(3𝑥−5)2−1 y’= 3 |3𝑥−5|√(9𝑥2−30𝑥+25)−1 y’= 3 |3𝑥−5|√9𝑥2−30𝑥+24 6) y= arc cosec 𝑥5 u=𝑥5 u’=5𝑥4 y’= −𝑢′ |𝑢|√𝑢2−1 y’= −5𝑥4 |𝑥5|√(𝑥5)2−1 y’= −5𝑥4 |𝑥5|√𝑥10−1 Acréscimos Sendo y = f (x) uma função. Se x varia de x1 a x2, definimos o acréscimo de x denotado por ∆𝑥 como: ∆𝑥 = 𝑋2 − 𝑋1 A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por ∆𝑦 dada por : ∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) ∆𝑦 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1) Fonte: passo a passo Exemplo: Se y=4x²-5x+4 calcule ∆𝑦 para x=3 e ∆𝑥 =1,5 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑦 = 𝑓(3 + 1,5) − 𝑓(3) ∆𝑦 = 𝑓(4,5) − 𝑓(3) ∆𝑦 = 62,5 − 25 ∆𝑦 = 37,5 𝑓(4,5) = 4(4,5)2 − 5(4,5) + 4 𝑓(4,5) = 81 − 22,5 + 4 𝑓(4,5) = 62,5 𝑓(3) = 4(3)2 − 5.3 + 4 𝑓(3) = 36 − 15 + 4 𝑓(3) = 25 48 Cálculo I e II Diferencial Sejam y=f(x) uma função derivável e ∆𝑥 um acréscimo de x . Definimos: A diferencial da variável independente x denotada por dx, como: 𝑑𝑥 = ∆𝑥 A diferencial da variável independente y denotada por dy, como: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥 Fonte: passo a passo Exemplo: Sendo y=5x²-4x , ∆𝑥 = 2 e x=3 encontre ∆𝑦 e dy. ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑦 = 𝑓(3 + 2) − 𝑓(3 ) ∆𝑦 = 𝑓(5) − 𝑓(3) ∆𝑦 = 105 − 33 ∆𝑦 = 72 𝑓(5) = 5. (5)2 − 4.5 𝑓(5) = 5.25 − 20 𝑓(5) = 125 − 20 𝑓(5) = 105 𝑓(3) = 5. (3)2 − 4.3 𝑓(3) = 5.9 − 12 𝑓(3) = 45 − 12 𝑓(3) = 33 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥 𝑑𝑦 = 2.5𝑥 − 4.2 𝑑𝑦 = 10𝑥 − 8 𝑑𝑦 = 10.3 − 8 𝑑𝑦 = 30 − 8 𝑑𝑦 = 22 Derivação implícita O método de derivação implícita é usado quando não conseguimos diferenciar as funções, isto é, quando não conseguimos isolar as variáveis da função. f(x,y)=0 É a forma implícita de uma função y=f(x). y=x²-1 É a forma explícita de uma função y=f(x). Para calcular a derivada de uma função implícita, fazemos a derivação de ambos os lados da equação em relação a x e, então, na resolução da equação isolando y’. É necessário utilizar a regra da cadeia. 49 Cálculo I e II Exemplo: A) x²+y²=4 2x+2y.y’=0 y’=- 2𝑥 2𝑦 y’= 𝑥 𝑦 Notamos que o y é uma função variável de x, desta forma sendo uma função composta, usamos a regra da cadeia. B) 2x²+y²=9 2.2x+2y.y’=0 4x+2y.y’=0 y’= −4𝑥 2𝑦 y’= −2𝑥 𝑦 C) x³+y³=6xy 3x²+3y².y’=6.y+6x.y’ y’(3y²-6x)=6y-3x² y’= 6𝑦−3𝑥² 3𝑦2−6𝑥 y’= 2𝑦−𝑥² 𝑦2−2𝑥 Neste exemplo usamos a regra da cadeia, mais a regra do produto. O teorema do valor médio Seja f uma função contínua [a,b] e derivável em (a,b). então, existe um ponto C ∈ (a,b), tal que: f’(c)= 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 Melhorando a expressão para tirar essa divisão, temos: f(b)-f(a)= f’(c).(b-a) Geometricamente falando, temos que existe um ponto no interior do intervalo, tal que a inclinação da reta tangente ao gráfico desse ponto é igual a inclinação da reta secante que passa pelo ponto (a,b). Intervalos de crescimento e decrescimento Suponha que f’(x)>0 para todo o x em um intervalo I. Assim, a função f nesse intervalo é crescente. Suponha que f’(x)<0 para todo o x em um intervalo I. Assim, a função f nesse intervalo é decrescente. Suponha que f’(x)=0 para todo o x em um intervalo I. Assim, a função f nesse intervalo é constante. Suponha que duas funções satisfazem f’(x)= g’(x) para todo x. Assim, f(x)=g(x)+k e k ∈ ℝ. 50 Cálculo I e II Exemplos: A) f(x)= x³-2x, x ∈ [-2,2] f(x)= x³-2x f(-2)= (-2)³-2.(-2) f(-2)= -8+4 f(-2)=-4 f(x)= x³-2x f(2)= (2)³-2.2 f(2)= 8-4 f(2)=4 f(b)- f(a)= f’(c).(b-a) f(2)-f(-2)=f’(c).(2-(-2)) 4-(-4)= f’(c).4 8=f’(c).4 f’(c)= 8/4 f’(c)=2 B) f(x)= x²+2x-1, x ∈ [1,5] f(x)= x²+2x-1 f(1)= 1²+2.1-1 f(1)= 1+2-1 f(1)=2 f(x)= x²+2x-1 f(5)= 5²+2.5-1 f(5)= 25+10-1 f(5)=34 f(b)- f(a)= f’(c).(b-a) f(5)-f(1)=f’(c).(5-1) 34-2= f’(c).4 32=f’(c).4 f’(c)= 32/4 f’(c)= 8 Derivadas de ordem superior Vimos até agora a derivada de uma função f, representada por f ’. Mas como f ’ também é uma função podemos encontrar a sua derivada. Assim, podemos calcular (f ’)’ encontrando f ”. Como f ” também é uma função, podemos calcular sua derivada e encontrar f ’”. Dizemos então, que f ’ é a derivada de primeira ordem de f, f ” é a derivada de segunda ordem e f ”’ a derivada de terceira ordem de f. De um modo geral, 𝑓(𝑛) representa a derivada de ordem n de f . A notação 𝑓(0) representa a própria função f. porém é importante destacar que não é toda função que possui derivada de qualquer ordem. Temos, segundo a notação de Leibniz as seguintes expressões. 51 Cálculo I e II y’= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 y’’= 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) = 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² y’’’= 𝑑 𝑑𝑥 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² = 𝑑³𝑦 𝑑𝑥 𝑦𝑛 = 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 Exemplo: 1) y=x³ y’= 3x² y”=6x y”’= 6 2) y= - 𝑥5+x³-8 y’= - 5𝑥4+3x² y”= - 20x³+6x y’”= - 60x²+6 3) Calcule y’’ sendo y uma função implícita de x tal que x²+y³=1. 2x+3y².y’=0 y’=- 2𝑥 3𝑦² Utilizando a regra do quociente, vamos encontrar y’’. y’’ =- (2𝑥)′(3𝑦2)−2𝑥(3𝑦²)′ (3𝑦²)² y”=- 2.(3𝑦2)−2𝑥(6𝑦𝑦′) 9𝑦4 y”= - 6𝑦2−12𝑥𝑦𝑦′ 9𝑦4 Podemos simplificar dividindo por 3y. y”= - 2𝑦−4𝑥𝑦′ 3𝑦³ Taxas relacionadas São expressões que relacionam quantidades que estão variando em relação as outras, cujas taxas de variação são conhecidas. Exemplos: 1) Uma escada com 25 m de comprimento está apoiada a uma parede vertical. se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando da parede 3m/s, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15m de comprimento da parede? Fonte: Engenharia 52 Cálculo I e II t → tempo decorrido desde qua a escada começou a deslizar pela parede. y → distância do solo ao topo da escda. x → distância do pé da escada até a parede. Então temos: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =? Para x=15 Aplicando o teorema de Pitá- goras temos a expressão: y²+x²=25² y²= 625-x² Derivando a função em relação a t. y²=625-x² 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 − 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = - 2𝑥 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Substituindo os valores conhecidos na equação, devemos encontrar y para x=15. y²=625-x² y²=625-15² y²=625-225 y²=400 y=√400 y=20 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 15 20 . 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2,25 Sendo assim, o topo da escada está deslizando a 2,25m/s. já o sinal negativo quer dizer que y é decrescente. 2) Uma aeronave está decolando a um angulo de 30° com a horizontal. Com que agilidade a aeronave estará ganhando altura se sua velocidade for de 900 km/h? Fonte: Dicas de Cálculo Podemos relacionar a distância percorrida pela aeronave e a altura que ele se encontra do solo através das relações trigonomé- tricas. 53 Cálculo I e II Sen(30º)= 𝑦 ℎ Sen(30º)= 1 2 1 2 = 𝑦 ℎ h=2y 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 900=2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 450 Assim, concluímos que a aeronave ganha altura a uma velocidade de 450 km/h. 54 55 Cálculo I e II 4. Aplicações da Derivada Fonte: freepik Funções crescentes F contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Fonte: Mapa da Prova Para todo f’(x)>0, x ∈ (a,b) f é crescente. X1< X2 ⟹ f(X1) < f(X2) Funções decrescentes F contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Fonte: Mapa da Prova Para todo f’(x)<0, x ∈ (a,b) f é decrescente. X1> X2 ⟹ f(X1) > f(X2) Exemplo: Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente e, 56 Cálculo I e II se houver , os pontos críticos da função. f(x)=x³-3x+4 f ’(x)=3x²-3 f ’(x)=0 3x²-3=0 3x²=3 x²=3/3 x²=1 x=√±1 Os pontos críticos são [1,-1] Para { 𝑥 < 1 − 2 −1 < 𝑥 < 1 0 𝑥 > 1 2 f ’(x)= 3x²-3 f ’(x)=3.(-2)²-3 f ’(x)=3.4-3 f ’(x)=9 Para x<1, atribuindo x=2 a função é crescente. f ’(x)= 3x²-3 f ’(x)=3.(0)²-3 f ’(x)=3.0-3 f ’(x)=-3 Para -1<x<1, atribuindo x=0 a função é decrescente. f ’(x)= 3x²-3 f ’(x)=3.(2)²-3 f ’(x)=3.4-3 f ’(x)= 9 Para x>1, atribuindo x=2 a função é crescente. Máximos e mínimos Para facilitar o entendimento podemos dizer grosseiramente que os pontos de máximos e mínimos de uma função são os pontos de picos e de depressões da função. Vejamos o gráfico. Fonte: Dicas de Cálculo Como podemos observar no gráfico os pontos f(a) e f(b) são pontos de máximo local e f(0) é ponto de mínimo local. E ainda , podemos dizer que o ponto f(b) é um máximo absoluto e f(0) é ponto de mínimo absoluto, pois f(b) é o maior valor de f e f(0) é o menor valor de f : f(0) ≤ f(x) ≤ f(b) 57 Cálculo I e II Devemos ficar atento pois, nem todo ponto de inflexão é um ponto de máximo ou mínimo, sempre faça o estudo do sinal da função antes e depois dos pontos encontrados, pois o sinal deve mudar. Veja o exemplo da função: f(x)=x³ para o domínio 𝑥 ∈ ℝ, na qual f'(x)=3x² e 3x²=0 onde encontramos x=0, porém esta função é monótona crescente (sempre crescente), não havendo troca de sinal em 0. Logo, não há pontos de máximos e de mínimos. Veja a representação gráfica dessa função. Fonte: Morgado É importante ressaltar que quando temos uma função f continua em um intervalo fechado, [a,b], então tem-se pontos de máximos ou mínimos locais em a e b, mas não necessariamente máximos ou mínimos absolutos. Exemplos: 1) Encontre os pontos máximos e mínimos da função f(x)=x²-2x-3 com 𝑥 ∈ ℝ f ’(x)=2x-2 f ’(x)=0 2x-2=0 x=2/2 x=1 ponto crítico Calculando valores antes e depois do ponto crítico. f’(0)=2x-2 f’(0)=2.0-2 f’(0)=-2 f’(2)=2x-2 f’(2)=2.2-2 f’(2)=2 f(x)=x²-2x-3 f(0)= 0²-2.0-3= -3 f(1)= 1²-2.1-3= -4 f(2)= 2²-2.2-3= -3 Este é um ponto de mínimo absoluto, visto que ela é continua e não há outros pontos de inflexão. Antiderivadas O conceito de antiderivadas ou primitivas de funções é um precursor ao Teorema Fundamental 58 Cálculo I e II do Cálculo e é aqui que começamos a integração. Seja f :D→ ℝ uma função. Uma primitiva de f é uma função F que satisfaz F’(x)=f(x) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Isso significa que seja uma função f : D → ℝ e a função F : D→ ℝ, então F é primitiva de f se a derivada de F for igual a f. Usamos a notação: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Se F(x) é uma primitiva de f, então F(x)+c também é uma primitiva de f. C= constante de integração. É importante lembrar que o uso da palavra “antiderivada”, que é a correspondente de “primitiva”, pode facilitar na memorização do conceito Exemplos: 1) ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥³ 3 + 𝑐 2) ∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 4 +c 3) ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 4) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝑐 5) ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 6) ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| 7) ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 8) ∫ 𝑥𝑚 = 𝑥𝑚+1 𝑚+1 + 𝑐 9) ∫ 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑑𝑥 = −cos (5𝑥) 5 + 𝑐 Exercícios resolvidosA) Seja f’’(x)=12x²+6x-4 f(0)=4 e f(1)=1 encontre f(x). f’(x)=4x³+3x²-4x+c f(x)= 𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐶2 f(0)=04 + 03 − 2.02 + 𝐶. 0 + 𝐶2 = 4 f(0)=C2=4 f(1)= 14 + 13 − 2.12 + 𝐶. 1 + 4 = 1 f(1)=C=-3 f(x)=𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 59 Cálculo I e II 60 Cálculo I e II 5. Referências Bibliográficas GOUVEIA, R. Funções Trigonométricas. Mai/ 2019. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/fu ncoes-trigonometricas/. Data do acesso: 20/07/2020. ______. Função exponencial. Mai/ 2019. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/fu ncão-exponencial/. Data do acesso: 21/07/2020. JOULE, E. Velocidade média e Velocidade Instatânea. 2020. Disponóvel em: https://efeitojoule.com/2009/01/ve locidade-media-velocidade- instantanea/. Data do acesso: 27/07/2020. PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma Análise da Influência Francesa. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. Coleção Tendências em Educação Matemática. PROFESSOR A. Professor A: questionário. [dez. 2007]. Aplicado por: Sílvia Pereira dos Santos. Jequié, BA, 2007. [2 laudas] Questionário concedido para o trabalho de conclusão de curso (TCC sobre o ensino da disciplina Calculo I no curso de Licenciatura em Matemática com Enfoque em Informática da UESB/Jequié). SANTOS, Raimundo Morais; NETO, Hermínio Borges. Avaliação do Desempenho no Processo de Ensino- Aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral I: (O caso da UFC). Ceará, Artigo Científico/ UFC, 1991. Disponível em: < http://www.multimeios.ufc.br/arqu ivos/pc/artigos/artigo-avaliacao-do- desempenho-no-processo-de-ensino aprendizagem.pdf>. Acesso em: 25 jul. 2007. SILVA, Jayro Fonseca; NETO, Hermínio Borges. Questões Básicas no ensino de Cálculo. Ceará, Artigo Científico/ UFC, 1995. Disponível em: < http://www.multimeios.ufc.br/arqu ivos/pc/artigos/artigo-questoes- basicas-do- ensino-de-calculo.pdf>. Acesso em: 25 jul. 2007. SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Limite de uma Função "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/mat ematica/limite-uma-funcao.htm. Data do acesso: 21/07/2020. ______."Cálculo do coeficiente angular de uma reta "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/mat ematica/calculocoeficiente angular- uma-reta.htm. Data do acesso: 23/07/2020. STEWART, J. Cauculus : early Transcendentals. 7ª edição americana. Ed. Cengage Learning, 2013. Tradução EZ2 Translate. Cálculo volume I . São Paulo. Disponível em: https://docero.com.br. Data do acesso: 17/07/2020.
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