Aula 1_ Introdução à Geometria Espacial

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FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA II 
Esta disciplina tem como objetivo principal habilitar o aluno a compreender a 
importância da geometria e aplicar a teoria na resolução de problemas. 
 
Adicionalmente, o aluno será capaz de conhecer e utilizar as noções e postulados da 
Geometria Espacial. 
 
Finalmente, o aluno aprenderá a reconhecer, a definir e analisar os diversos sólidos, 
bem como seus elementos, propriedades e relações, calculando suas áreas e 
volumes. 
 
Aula 1: Introdução à Geometria Espacial 
 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 
1. Identificar os diversos postulados que envolvem retas e planos;  
2. reconhecer as posições relativas entre retas e planos;  
3. investigar a intersecção de planos. 
 
O mundo é dividido em três dimensões, nas quais a geometria se faz presente. 
Dessa forma, é muito importante identificar a conexão da Geometria com as outras 
vertentes da matemática e de outras áreas de conhecimento, bem como suas 
aplicações no cotidiano, sabendo utilizá-la, quando se fizer necessário. Assim, nesta 
disciplina, estudaremos as principais vertentes da Geometria, suas funções, 
elementos e aplicações. 
 
Olá! Seja bem-vindo à aula sobre introdução à geometria espacial! 
 
Antes de iniciar, que tal algumas perguntas? 
● Você sabe por que GEOMETRIA ESPACIAL? 
● Quais são as formas que consideramos como espacial? 
 
Conheça algumas definições! 
 
ESPAÇO​ é o conjunto de todos os pontos. 
 
FIGURA GEOMÉTRICA​ é qualquer conjunto não vazio de pontos. 
 
FIGURAS COPLANARES​ são figuras que têm todos os seus pontos pertencentes a 
um mesmo plano. Se a figura tem todos os seus pontos num mesmo plano, dizemos 
que é uma ​FIGURA PLANA​. Se a figura não tem todos os seus pontos num mesmo 
plano, dizemos que é uma ​FIGURA NÃO PLANA OU ESPACIAL​. 
 
 
 
Postulados 
 I. DA EXISTÊNCIA 
- Existe reta e, numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. 
- Existe plano e, num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. 
 
 II. DA DETERMINAÇÃO 
- Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. 
 
 
 
Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. 
 
 
III. DA INCLUSÃO 
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano. 
 
 
 
Conheça agora sobre determinação de planos 
Um plano fica determinado de quatro planos diferentes. 
São eles: 
- Por três pontos não colineares 
 
- Por uma reta e um ponto fora dela. 
 
- Por duas retas concorrentes. 
 
- Por duas retas paralelas distintas 
 
Considere duas retas r e s, do espaço. Temos dois casos a considerar: 
 
1º Caso:​ r e s estão num mesmo plano, isto é, são coplanares. Nesse caso, elas 
podem ser: 
Paralelas​ – quando não têm ponto comum. 
 
 
 
Obs.:  
I. Quando duas retas concorrentes r e s formam um ângulo reto, dizemos que 
as retas são ​PERPENDICULARES​. 
II. Quando duas retas concorrentes r e s não são perpendiculares, dizemos que 
elas são ​OBLÍQUAS​. 
 
Coincidentes​ – quando têm todos os pontos comuns. 
 
2º Caso:​ r e s não estão num mesmo plano, isto é, são não coplanares. Nesse caso, 
dizemos que as retas são ​REVERSAS​. 
 
 
Obs.: Dizemos que duas retas reversas, ​r​ e ​s ​, são ​ORTOGONAIS​, quando uma reta ​r​1​, 
paralela a ​r​ e passando por um ponto ​P​ pertencente a ​s​, forma um ângulo reto com ​s​. 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE RETA E PLANO 
Considere uma reta ​r​ e um plano 𝝰 do espaço. Essa reta e esse plano podem 
assumir as seguintes posições: 
 
A reta está contida no plano. 
 
 
A ∈ 𝞪, B ∈ 𝞪, A ∈ r, B ∈ r, A ≠ B ⇒ r ⊂ 𝞪 
 
A reta é paralela ao plano.  
 
A reta é concorrente ou secante ao plano.  
 
Importante 
Obs.: Uma reta ​r​, concorrente a um plano ​𝞪, ​é perpendicular a ​𝞪 se​, e somente se, 
todas as retas desse plano, que concorrem com ​r​, são perpendiculares a ​r​. 
 
Indicamos essa perpendicularidade por ​r ​⊥ ​𝞪. 
 
Posições Relativas de Dois Planos 
 
Consideremos dois planos α e β, do espaço. Esses planos podem ser: 
- A​ - Coincidentes - tem todos os pontos comuns. 
 
- B​ - Paralelos - não tem pontos comuns. 
 
- C​ - Concorrentes ou secantes - quando a interseção entre eles é uma reta. 
 
 
Exercícios 
1. É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas em 
um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das 
pernas se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de geometria, por 
que isso não acontece com uma mesa de três pernas. 
2. Determine se as sentenças a seguir são verdadeiras ou falsas. 
(___) Duas retas coincidentes também são concorrentes 
(___) Retas que não se cruzam podem ser paralelas ou reversas. 
(_V ) Sejam as retas r, s e t. Sabendo que r//s e r⊥t, pode-se afirmar que 
s⊥t. 
(___) Duas retas que tem dois pontos em comum são coincidentes. 
(___) Se as retas r e s são perpendiculares à reta t, r // s. 
3. Considere as proposiçòes a seguir: 
I. Se dois planos são paralelos, toda reta que é paralela a um deles é 
paralela ou está contida no outro. 
II. Se uma reta é paralela a um plano, é paralela a todas as retas desse 
plano. 
III. Se uma reta tem dois pontos distintos, num plano, ela está contido 
nesse plano. 
IV. Se dois planos são secantes, toda reta de um sempre corta o outro. 
Pode-se afirmar que as proposições verdadeiras são: 
(___) I e IV 
(___) II e III 
(___) I e III 
(___) II e IV 
 
 
● Na próxima aula, estudaremos Paralelismo e Perpendicularismo. 
  
 
Nessa aula você: 
● Aprendeu os diversos postulados que envolvem retas, planos e suas posições 
relativas; 
● analisou a interseção de planos.