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Álgebra II
Volume únicoHernando Bedoya
Ricardo Camelier
Apoio:
Hernando Bedoya
Ricardo Camelier
Volume único
Álgebra II
Material Didático
2010/1
Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio 
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO
Hernando Bedoya
Ricardo Camelier
COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO 
INSTRUCIONAL
Cristine Costa Barreto
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL 
E REVISÃO 
Zulmira Speridião
Marcelo Bastos Matos
COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM 
Cyana Leahy-Dios
Maria Angélica Alves
COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO DO 
MATERIAL DIDÁTICO
Débora Barreiros
AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO
Letícia Calhau
B412a
 Bedoya, Hernando.
Álgebra II. v. único / Hernando Bedoya; Ricardo Camelier. – 
Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.
264p.; 19 x 26,5 cm.
ISBN: 85-7648-314-9
1. Álgebra. 2. Anéis quocientes. 3. Teorema de homomorfi smo. 
4. Polinômios. I. Camelier, Ricardo. II. Título.
 CDD: 512 
EDITORA
Tereza Queiroz
COPIDESQUE
José Meyohas
REVISÃO TIPOGRÁFICA
Elaine Bayma
Marcus Knupp
COORDENAÇÃO DE 
PRODUÇÃO
Jorge Moura
PROGRAMAÇÃO VISUAL
Márcia Valéria de Almeida
Renata Borges
Sanny Reis
ILUSTRAÇÃO
Equipe Cederj
CAPA
Equipe Cederj
PRODUÇÃO GRÁFICA
Oséias Ferraz
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Governador
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NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO
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RIO DE JANEIRO
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DO RIO DE JANEIRO
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RIO DE JANEIRO
Reitor: Aloísio Teixeira
UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Reitor: Roberto de Souza Salles
Álgebra II Volume único
SUMÁRIO Aula 1 – Anéis quocientes ______________________________________ 7
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 2 – Homomorfi smos _____________________________________ 15
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 3 – Teorema do homomorfi smo _____________________________ 29
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 4 – Divisibilidade em anéis ________________________________ 39
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 5 – Introdução aos polinômios ______________________________ 51
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 6 – Operações com polinômios _____________________________ 65
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 7 – Anéis de polinômios ___________________________________ 75
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 8 – Divisão de polinômios _________________________________ 89
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 9 – Propriedades da divisão de polinômios ____________________ 103
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 10 – Sobre raízes de polinômios ___________________________ 121
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 11 – Polinômios irredutíveis ______________________________ 137
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 12 – Introdução aos grupos _______________________________ 153
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 13 – Mais exemplos de grupos ____________________________ 165
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 14 – Subgrupos e grupos cíclicos ___________________________ 185
 Ricardo Camelier
Aula 15 – O Teorema de Lagrange ______________________________ 199
 Ricardo Camelier
Aula 16 – Classes laterais e o grupo quociente ____________________ 213
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 17 – Subgrupos normais _________________________________ 231
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 18 – Homomorfi smos de grupos ___________________________ 247
 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Referências _____________________________________________ 263
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Podemos, agora, completar nossa construção. Segue que (A/I, +, –) é 
um anel, chamado de anel quociente, ou anel das classes residuais módulo I, 
cujo zero é dado por 0 e cuja unidade é dada por 1.
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 Sejam (Z, +, °) o anel dos inteiros e I o ideal de Z dado por
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OPERA ÜES�DE�ADI ÎO�E�MULTIPLICA ÎO�NO�CONJUNTO�DAS�CLASSES�RESIDUAIS�MØDULO�)��4UDO�
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NEUTROS�SÎO����E����0OR�EXEMPLO�
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Meta da aula
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Reconhecer um homomorfi smo entre anéis.
• Apresentar e demonstrar as primeiras propriedades 
dos homomorfi smos.
Apresentar o conceito de homomorfi smo de anel 
e suas propriedades básicas.
Pré-requisitos
 Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, 
desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de Álgebra I. 
16 C E D E R J
Álgebra II | Homomorfi smos
INTRODUÇÃO As funções consideradas naturais entre duas estruturas algébricas do mesmo 
tipo, como os anéis, são aquelas que preservam as operações, ou seja, 
transformam uma soma de elementos no anel domínio na soma de suas 
imagens e transformam um produto de elementos no anel domínio no produto 
de suas imagens. Essas funções, chamadas de homomorfi smos, serão o objeto 
do nosso interesse nesta aula.
HOMOMORFISMO DE ANÉIS
Defi nição 1
Dados dois anéis A e B, uma função ��
�A���B é chamada de um 
homomorfi smo (de anéis) se para todo a, b � A , vale:
H1. �(a + b) = �(a) + �(b);
H2. �(a . b) = �(a) . �(b);
H3. �(1A) = 1B (ou, simplesmente, �(1) = 1).
Defi nição 2
Um homomorfi smo ��
�A���B é chamado de um isomorfi smo se 
for, também, uma bijeção. Nesse caso, dizemos que A e B são isomorfos 
e denotamos A � B.
Lembre que dois conjuntos A e B têm o mesmo número de 
elementos, ou seja, eles têm a mesma cardinalidade, se existe uma bijeção 
entre A e B. Assim, se A e B são isomorfos, então eles têm exatamente o 
mesmo número de elementos. Isso acontece porque se ��
�A���B é um 
isomorfi smo, então, em particular, � é uma bijeção entre A e B.
Defi nição 3
O núcleo de um homomorfi smo de anéis ��
�A���B é o conjunto 
 N(�) = {x � A �(x) = 0B},
onde 0B é o elemento neutro do anel B.
Apesar de o conceito de 
homomorfi smo ser muito 
natural, ele surgiu de forma 
muito gradual. O con-
ceito de homomorfismo 
de grupos surgiu, pela 
primeira vez, em torno de 
1830, o de homomorfi smo 
de corpos em torno de 1870 
e o de homomorfi smo de 
anel somente em 1920.
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2Vejamos agora dois dos exemplos mais simples de homomorfi smo 
de anéis.
Exemplo 1
O exemplo mais simples de todos é o homomorfi smo identidade. 
Dado um anel A, o homomorfi smo identidade é defi nido pela função 
identidade em A, ou seja, id : A � A, id(a) = a. Vamos verifi car que a 
identidade é, de fato, um homomorfi smo de anéis. Para isso, precisamos 
verifi car os trêsaxiomas de homomorfi smos. Sejam a, b � A, então
H1. id(a + b) = a + b = id(a) + id(b);
H2. id(a . b) = a . b = id(a) . id(b);
H3. id(1A) = 1A.
 
Assim, id é um homomorfi smo. Mais ainda, o homomorfi smo 
identidade é bijetor, portanto, ele é também um exemplo de um 
isomorfi smo. Vamos calcular seu núcleo. Nesse caso, N(id) = {x � A 
id(x) = 0A}. Ou seja, queremos resolver a equação id(x) = 0A. Como id(x) 
= x, a equação se transforma em x = 0A, ou seja, sua única solução é 
x = 0A, portanto, N(id) = {0A}.
Exemplo 2
Seja n � Z, n > 1. Considere a função �: Z � Zn defi nida por 
�(a) = a , onde a é classe residual módulo n do inteiro a. Vamos verifi car 
que � é um homomorfi smo de anéis. De fato, dados a, b � Z, então
H1. �(a + b) = a + b = > + b = �(a) + �(b);
H2. �(a . b) = a . b = > . b = �(a) . �(b);
H3. �(1) = 1 = 1Zn.
Assim, � é um homomorfi smo. Mais ainda, o homomorfi smo � é 
sobrejetor, pois, dado k � Zn , então �(k) = . No entanto, � não é injetor, 
pois �(0) = 0 e �(n) = n = 0, ou seja, �(0) = �(n) com n � 0. Portanto, 
� não é um isomorfi smo. 
Vamos calcular, agora, o núcleo de �. Nesse caso, N(�� = {x ��Z 
�(x) = 0}. Ou seja, queremos resolver a equação �(x) = 0. Como �(x) = x , a 
equação se transforma em x = 0, e suas soluções são os inteiros múltiplos 
de n, portanto, N(�� = nZ = {kn k ��Z}.
Vamos, agora estudar uma série de propriedades fundamentais 
sobre os homomorfi smos.
k
18 C E D E R J
Álgebra II | Homomorfi smos
Proposição 1
Seja ��
�A���B um homomorfi smo de anéis. Temos:
1. ��(0A) = 0B (ou, simplesmente, ��(0) = 0).
2. �(– a) = – �(a) para todo a � A.
3. �(a – b) = �(a) – �(b), para todo a, b � A. 
4. �(A) é um subanel de B, onde o conjunto imagem de A, �(A), 
é defi nido por �(A) = {�(a) a � A}.
5. Se A' é um subanel de A, então �(A') é um subanel de �(A).
6. Se B' é um subanel de B, então ���(B') é um subanel de A, 
onde o conjunto imagem inversa de B, ���(B') é defi nido por ���(B') = 
{a � A �(a) � B'} .
7. Se I é um ideal de A, então �(I) é um ideal de �(A).
8. Se J é um ideal de B, então ���(J) é um ideal de A.
9. N(�) é um ideal de A.
10. Se � é um isomorfi smo (ou seja, � é uma função bijetora), 
então ����
�B���A é um homomorfi smo de anéis e, portanto, é também 
um isomorfi smo.
Demonstração
 Algumas das demonstrações deixaremos como atividade para 
você. Demonstraremos algumas delas.
1. Temos
 0 + �(0) = �(0)
 = �(0 + 0)
 = �(0) + �(0),
e, cancelando �(0) nos dois lados (lembre da lei do cancelamento), 
segue que
��������������������(0) = 0.
2. Aplicando, inicialmente, a propriedade anterior, temos
 0 = �(0)
 = �(a)+ (– a))
 = �(a) + �(– a),
para todo a � A. Logo, pela unicidade do elemento simétrico, segue 
que �(– a) = –�(a).
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ATIVIDADE 
3. Temos
�(a – b) = �(a + (– b))
 = �(a)+ �(– b),
 = �(a)+ (–�(b)), pela propriedade 2
 = �(a) – �(b).
 
4. Como A ���, segue que �(A) ���. Agora, dados �(a), �(b) ��
�(A) e aplicando a propriedade 3, temos que
� � ����������(a) – �(b) = �(a – b) ���(A),
e, também,
� � ���������(a) . �(b) = �(a . b) ���(A).
 
Assim, pela Proposição 1 da Aula 5, segue que �(A) é um 
subanel de B.
Tente você, agora, provar a próxima propriedade.
1. Demonstre a propriedade 5, ou seja, prove que se A' é um subanel de A, 
então �(A') é um subanel de �(A).
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20 C E D E R J
Álgebra II | Homomorfi smos
ATIVIDADE 
6. Como ��(0A) = 0B e 0B � B', então 0A ����� (B')�e, portanto, 
��� (B') �� �. Agora, dados a, b �� ���� (B'), então �(a), �(b) � B'�
e segue que
� � �(a – b) = �(a) – �(b) � B',
pois B' é subanel de B. Portanto, a – b ����� (B'). Também temos
� � �(a . b) = �(a) . �(b) � B',
pois B' é subanel de B. Portanto, a . b ������(B'). Assim, provamos que 
����(B') é um subanel de A.
É sua vez de praticar novamente.
2. Demonstre a propriedade 7, ou seja, prove que se I é um ideal de A, então 
�(I) é um ideal de �(A).
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8. Como 0B � J e �(0A) = 0B , então 0A ������(J), e, portanto, 
����(J) ���. Agora, dados a, b ������(J) , então �(a), �(b) � J e, assim, 
segue que
�(a + b) = �(a) + �(b) � J,
pois J é um ideal de B. Portanto, a + b ������(J). Por outro lado, sejam 
a � A e b ������(J), então vale que �(a) � �(A) e �(b) � J, e, como J é 
ideal de B e �(A) � B, temos �(a) . �(b) � J. Portanto,
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2�(a . b) = �(a) . �(b) � J,
 
ou seja, a . b ������(J). Assim, concluímos que ����(J) é um ideal de A.
9. Para mostrar que o núcleo é um ideal, usamos a propriedade 
anterior. De fato,
 N(�) � {x ��A �(x) = 0B}�
� ������� � �������������� ({0B }),
 
e, como {0B } é um ideal de B, segue, pela propriedade 8, que N(�) é um 
ideal de A. 
 Assim, concluímos a demonstração da Proposição 1. Veja que 
deixamos as propriedades 5, 7 e 10 como atividades a serem desenvolvidas 
por você.
ATIVIDADE 
3. Demonstre a propriedade 10 da Proposição 1, ou seja, prove que se � é um 
isomorfi smo (ou seja, � é um homomorfi smo bijetor), então ����
�B���A é um 
homomorfi smo de anéis.
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22 C E D E R J
Álgebra II | Homomorfi smos
Os homomorfi smos são ricos em propriedades, e agora vamos 
ver algumas dessas propriedades relacionadas ao núcleo. As primeiras 
duas propriedades que seguem devem trazer à lembrança as proprieda-
des equivalentes para o núcleo de uma transformação linear e para um 
homomorfi smo de grupos.
Proposição 2
Seja ��
�A���B um homomorfi smo de anéis e N(�) o núcleo de �. 
Então,
1. �(a) = �(b) se e somente se b – a ��N(�).
2. � é injetorase e somente se N(�) = {0}.
3. Se A é um corpo, então � é injetora.
Demonstração
1. (�) Suponhamos que �(b) = �(a) e vamos mostrar que b – a 
��N(�).
De fato, �(a) = �(b) implica que �(b) – �(a) = 0. Assim, �(b – a) 
= �(b) – �(a) = 0, ou seja, b – a ��N(�).
(�) Reciprocamente, suponhamos que b – a �� N(�) e vamos 
mostrar que �(a) = �(b).
De fato, se b – a ��N(�), então �(b – a) = 0. Assim, �(b) – �(a) = 
�(b – a) = 0, ou seja, �(a) = �(b).
2. (�) Suponhamos, primeiramente, que � é injetora. Vamos 
mostrar que N(�) = {0}.
De fato, se � é injetora, considere a ��N(�). Então �(a) = 0, e 
como �(0) = 0, segue que �(a) = �(0). Como � é injetora, temos a = 0. 
Assim, N(�) = {0}.
(�) Reciprocamente, suponha que N(�) = {0}. Vamos mostrar 
que ��é injetora.
Se �(a) = �(b), então, pela propriedade anterior, temos que 
b –� a �� N(�). Como estamos supondo que N(�) = {0}, segue que 
b – a = 0, ou seja, a =�b , o que prova que � é injetora.
3. Suponhamos que A é corpo e seja a ��A com a � 0. Então 
existe a��, o inverso multiplicativo de a, que satisfaz a . a�� = 1A. Assim,
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Portanto, concluímos que �(a) é invertível e, em particular, �(a) ��0. 
Logo, a � N(�) para todo a � A com (a) ��0, o que nos leva a concluir que 
N(�) = {0}. Pela propriedade anterior, segue que � é injetora. 
Exemplo 3
Vamos descrever um homomorfi smo muito importante, chamado 
homomorfi smo canônico (ou homomorfi smo projetor). Seja A um anel 
e I um ideal de A. Seja ��
 A � A/I, defi nida por �(a) = > , onde > = a 
+ I ��A/I é a classe residual de a ��A módulo I. Vamos verifi car, agora, 
que � é um homomorfi smo de anéis. De fato, sejam a, b ��A, então
H1. �(a + b) = a + b = > + b = �(a) + �(b);
H2. �(a . b) = a . b = > . b = �(a) . �(b);
H3. �(1A) = 1A = 1A/I .
Assim, � é um homomorfi smo. Mais ainda, o homomorfi smo � é 
sobrejetor, pois para qualquer > ��A/I temos que �(a) = > . Chamamos 
��
 A � A/I de homomorfi smo canônico.
Vejamos, agora, como se comportam os homomorfi smos sob a 
operação de composição de funções.
Proposição 3
Sejam g : A � B e �� 
 B � C dois homomorfi smos de anéis. 
Então:
a) A composição ���� g : A � C é um homomorfi smo de anéis;
b) Se A � B e B � C, então A � C , isto é, se A é isomorfo a B e B 
é isomorfo a C, então A é isomorfo a C.
A demonstração desta proposição faz parte das Atividades 
Finais da aula.
�(a) . �(a–1) = �(a . a –1), pois � é homomorfi smo
��������������������=��(1A)
 =�1B , pois � é homomorfi smo.
24 C E D E R J
Álgebra II | Homomorfi smos
Para terminar esta aula, queremos enfatizar para você que os 
anéis isomorfos têm propriedades idênticas, e eles diferem apenas na 
apresentação de seus elementos. O que importa é que o isomorfi smo 
preserva todas as propriedades entre tais anéis.
A Atividade Final é um desafi o para você. Lembre-se de consultar 
os resultados apresentados. Leia várias vezes as demonstrações das 
propriedades e tente imitá-las. Tenha sempre papel e lápis à mão e, se 
for preciso, apague e reescreva quantas vezes for necessário. Achamos 
que se você entendeu bem esta aula, então terá capacidade de sobra para 
resolver essas atividades. Vamos lá!
ATIVIDADES FINAIS
1. Sejam A um anel e a � A – {0}. Defi na a função �a�
�A ��A por �a (x) = a . x.
a. Mostre que �a é sobrejetora se e somente se a é invertível.
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
b. Mostre que se A é um domínio de integridade, então �a é injetora.
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
c. �a é um homomorfi smo?
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2. Prove a Proposição 3.
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
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Atividade 1
 Como A' ���, segue que �(A') ���. Agora, dados �(a), �(b) ���(A'), temos, 
aplicando a propriedade 3,
������������������������������������(a) – �(b) = �(a – b) ���(A'),
e, também,
 �(a) . �(b) = �(a . b) ���(A').
Assim, pela Proposição 1 da Aula 5, segue que �(A') é um subanel de �(A).
R E S U M O
Nesta aula, foram apresentados os seguintes resultados:
i. O conceito de homomorfi smo entre dois anéis A e B, ou seja, uma função ��
�A�
��B que para todo a, b ��A, 
satisfaz:
H1. �(a + b) = �(a) + �(b);
H2. �(a . b) = �(a) . �(b);
H3. �(1A) = 1B (ou, simplesmente, �(1) = 1).
ii. O conceito de isomorfi smo, ou seja, um homomorfi smo que também é uma 
bijeção.
iii. As propriedades apresentadas e demonstradas servem para verifi car que os 
homomorfi smos preservam algumas estruturas dos anéis.
iv. O conceito de núcleo de um homomorfi smo, ou seja, o núcleo do homomorfi smo 
��
�A���B é o conjunto N(�) � {x ��A �(x) = 0B}�. Algumas propriedades importantes 
dos homomorfi smos são verifi cadas pelo comportamento do seu núcleo.
v. O homomorfi smo projetor, ou seja, dado o anel A e I um ideal de A, é defi nido 
por ��
 A � A/I, �(a) = > (lembre que > = a + I � A/I). 
RESPOSTAS
26 C E D E R J
Álgebra II | Homomorfi smos
Atividade 2
Como 0A � I e 0B = �(0A), então 0B � �(I), e, portanto, �(I) ��� . Agora, dados 
�(a), �(b) � �(I) então segue que
� � � �(a) + (b) = �(a + b) ���(I),
ou seja, �(a) + (b) ���(I) . Vamos considerar, agora, �(a) � �(A) e �(b) ���(I), 
então, como a � A, b � I I é ideal, temos a . b � I. Portanto,
� � � �(a) . (b) = �(a . b) ���(I),
ou seja, �(a) . (b) ���(I). Assim, concluímos que �(I) é um ideal de �(A).
Atividade 3
Dados x, y � B, sejam a = �–1�(x) e b = �–1�(y), ou seja, �(a) = x e �(b) = y. Como � 
é um homomorfi smo, sabemos que 
� � � �(a + b) = �(a) + �(b) e �(a . b) = �(a) . �(b).
Temos, então, que
� � � �–1�(x + y) = �–1 (�(a) + �(b)), pela escolha de x e y
 = �–1 (�(a + b)), pois � é homomorfi smo
 = a + b, pois �–1 � ����id
 = �–1�(x) + �–1�(y).
 Lembre que id representa a função identidade. Temos, também,
� � � ���–1�(x . y) = �–1 (�(a) . �(b)), pela escolha de x e y
 = �–1 (�(a . b)), pois � é homomorfi smo
 = a . b, pois �–1 � ����id
 = �–1�(x) . �–1�(y).
Finalmente, como �(1A) = 1B e � é bijetora, segue que �
–1 (1B) = 1A. Concluímos, 
assim, que �–1 : B ��A é um homomorfi smo.
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2Atividade Final 1
a. (�) Suponha que �a é sobrejetora. Vamos mostrar que a é invertível.
De fato, como �a é sobrejetora, existe a' � A tal que �a (a') = 1A, isto é, a . a' = 1A. 
Logo, a' é o elemento inverso de a, isto é, a é invertível.
(�) Reciprocamente, suponha que a é invertível. Vamos mostrar que �a é 
sobrejetora.
Seja b � A um elemento qualquer. Temos que
� � � �a (a
��. b) = a . (a��. b), pela defi nição de �a
 = (a . a��) . b
 = 1A . b, pois a é invertível 
 = b.
Mostramos, assim, que para qualquer que seja b � A, existe x = a-1 . b tal que 
�a (x) = a. Portanto, concluímos que �a é sobrejetora.
b. Vamos mostrar que � é injetora. Suponhamos que �a� (x) = �a(y), isto é, 
a . x = a . y. Logo, a . x – a . y = 0 e, portanto, a . (x – y ) = 0. Como A é domínio de 
integridade e a � 0, segue que x – y = 0, isto é, x = y, o que prova que �a é injetora.
c. �a é homomorfi smo somente no caso em que a = 1A , pois
� � �a�(x . y) = a . (x . y)
 e
� � �a�(x) . �a�(y) = a
2 . (x . y ).
Para serem iguais, é necessário que a = a2, isto é, a = 1A.
28 C E D E R J
Álgebra II | Homomorfi smos
Atividade Final 2
Vamos verifi car os axiomas de homomorfi smo para a composição � � g. Dados 
a, b � A, temos
H1. 
(� �g)( a + b) = ��(g ( a + b)), pela defi nição de composição
 = ��(g (a) + g (b)), pois g é homomorfi smo;
 = ��(g (a)) + ��(g (b)), pois � é homomorfi smo;
H2. 
(� �g)( a . b) = ��(g ( a . b)), pela defi nição de composição
 = ��(g (a) . g (b)), pois g é homomorfi smo;
 = ��(g (a)) . ��(g (b)), pois � é homomorfi smo;
 H3. 
(� �g)(1A) = �(�g (1A)), pela defi nição de composição
 = �(1B), pois g é homomorfi smo;
 = 1C , pois � é homomorfi smo.
 Assim, provamos que a composição � �g é um homomorfi smo de anéis.
b. Suponhamos que A é isomorfo a B e B é isomorfo a C. Queremos provar que 
A é isomorfo a C. Como A � B e B � C, então existem isomorfi smos g 
�A ��B 
e � 
�B ��C. Como � e g são homomorfi smos, então, pelo item a), � �g 
�A ��C 
também é um homomorfi smo. Agora, você sabe que se � e g são funções bijetoras, 
então a composição � �g também é bijetora. Portanto, concluímos que � �g 
�A ��
C é um homomorfi smo bijetor, ou seja, � �g 
�A ��C é um isomorfi smo de anéis. 
Assim, concluímos que A � C .
Teorema do homomorfi smo 3
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Metas da aula
Pré-requisitos
Apresentar o teorema do homomorfi smo de anéis e 
sua demonstração. Realizar outra demonstração 
do teorema do resto chinês.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Demonstrar o teorema do homomorfi smo.
• Demonstrar que os anéis Zn e Z /nZ são isomorfos.
 Você vai precisar dos conhecimentos sobre 
anéis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 de 
Álgebra I, e Aulas 1 e 2 deste curso. 
30 C E D E R J
Álgebra II | Teorema do homomorfi smo
Todo homomorfi smo gera um isomorfi smo entre um anel quociente e o anel 
imagem do homomorfi smo. Esse importante resultado será o tema desta aula. 
Como aplicação, vamos rever o teorema do resto chinês, visto no seu curso de 
Álgebra I, obtendo, agora, uma nova demonstração.
Vamos começar revendo a defi nição de isomorfi smo de anéis, apresentada 
na aula anterior.
DEFINIÇÃO 1
Um homomorfi smo ��
�A���B é chamado de um isomorfi smo se 
for, também, uma bijeção. Nesse caso, dizemos que A e B são isomorfos 
e denotamos A ��B.
O resultado principal desta aula, o teorema do homomorfi smo, 
é similar a um resultado correspondente sobre os homomorfi smos de 
grupos, apresentado no curso de Álgebra I.
Lembre, da aula anterior, que dado o homomorfi smo de anéis 
��
�A���B, então o conjunto imagem de A, �(A), é um subanel de B e o 
núcleo de �, N(�), é um ideal de A.
TEOREMA DO HOMOMORFISMO DE ANÉIS
 Dado um homomorfi smo �� 
�A� ��B entre os anéis A e B, 
então existe um isomorfi smo de anéis ��: A/N (�) � ��A��que satisfaz 
��� �����, onde ��� A���A/N (�) é o homomorfi smo canônico.
 Representamos esse resultado pelo seguinte esquema.
 
É de suma importância que você acompanhe passo a passo todas 
as etapas desta demonstração. Ela é longa e será dividida em várias 
etapas para facilitar a sua compreensão. Para que você não se perca 
na argumentação, leia e releia com atenção cada uma de suas etapas. 
Certifi que-se de que você entendeu cada passagem e faça suas próprias 
anotações, justifi cando as passagens que você considera mais difíceis. 
Vamos lá então!
INTRODUÇÃO 
 �A/N (�) ����A�
�
A ��A����B
�
 �A/N (�)
�
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3
 Demonstração
Vamos dividir a demonstração em alguns passos.
1o Passo: Vamos defi nir uma função ��: A/N(�) � ��A�! segundo 
o diagrama anterior. 
Para isso, defi nimos �(a) � �(a) para todo a � a + N(�) � A/N(�). 
Então, precisamos provar que � é, de fato, uma função bem defi nida, 
o que signifi ca mostrar que se a � b, então �(a) � �(b), ou seja, se 
a � b, então �(a) � �(b). Suponhamos, então, que a � b. Da aula anterior, 
sabemos que N(�) é um ideal de A, logo, a – b � N(�) e, portanto, 
�(a – b) � 0B. Assim,
���������������(a) – �(b) � �(a – b) � 0B,
ou seja,
���������������(a) � �(b),
ou, equivalentemente, pela defi nição de �, que �(a) � �(b). Concluímos, 
assim, que � é, de fato, uma função de A/N (�) em �(A).
2o Passo: Vamos mostrar que � é um homomorfi smo. Para isso, basta 
verifi car que � satisfaz os axiomas de homomorfi smo vistos na Aula 2.
 Se a, b � A/N (�), temos:
H1. 
�(a + b) � �(a + b)
 � �(a + b) pela defi nição de �
����������������(a) + �(b) pois ��é homomorfi smo
 � �(a) + ��b��pela defi nição �" 
H2. 
�(a . b) � �(a . b)
 � �(a . b) pela defi nição de �
���������������(a) . �(b) pois ��é homomorfi smo
 � �(a) . �(b)�pela defi nição �" 
H3. 
�(1A) ���(1A) pela defi nição de �
 ��1A pois ��é homomorfi smo.
Concluímos, assim, que a função � é um homomorfi smo entre 
os anéis A/N (�) em �(A).
32 C E D E R J
Álgebra II | Teorema do homomorfi smo
3o Passo: Vamos provar, agora, que � é uma função bijetora. 
Vamos começar provando que ela é injetora. Pela Proposição 2, item 2, 
da Aula 7, basta mostrar que N (�) ��#0A$. Seja a � N(�), então, pela 
defi nição de �, �(a) � �(a) � 0B, ou seja, a � N(�). Portanto, a ��a % 
N(�) � 0A. Isso prova que N (�) ��#0A$.
Caso você ache essa argumentação muito abstrata, vamos 
apresentar a demonstração clássica de injetividade, que consiste em 
provar que se �(a) � ��b�, então a � b. De fato, se �(a) � ��b� , temos 
que �(a) � ��b�, pela defi nição de �, logo �(a) � ��b� � 0. Daí,
� � � � (a – b) ���(a) ���(b) � 0,
e isso signifi ca que a – b � N(�), ou seja, a ��b. Pois, lembre 
que a � A/N(�).
Finalmente, � é uma função sobrejetora, pois dado y ��(A) 
arbitrário, então existe a � A tal que y ���(a) e, como �(a) � ��a�, 
segue que y ���(a).
Concluímos, assim, que a função �
 A/N (�) ����A�, defi nida por 
�(a) � ��a�, é um homomorfi smo bijetor, ou seja, é um isomorfi smo e, 
portanto, temos A/N (�) ����A�.
Esperamos que você tenha apreciado a demonstração desse belo 
teorema. Uma conseqüência imediata do Teorema do Homomorfi smo é:
Corolário 1
Se ��
�A���B é um homomorfi smo sobrejetor, então A/N (�) e B 
são anéis isomorfos, isto é, A/N (�) ��B.
Demonstração
Como � é sobrejetora, temos �(A) � B e, pelo teorema do 
homomorfi smo, temos A/N (�) �� ��A�. Portanto, concluímos que 
A/N (�) ��B.
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ATIVIDADE
Corolário 2
Seja n � Z, n & 0. Então os anéis Z/nZ e Zn são isomorfos, isto 
é, Z/nZ � Zn .
A demonstração deste corolário você vai realizar, agora, como 
sua primeira atividade desta aula.
1. Nesta atividade, você vai demonstrar o Corolário 2. Para isso, seja ��
 Z � Zn 
a função dada por ��a����a, onde a é a classe residual de a módulo n. Mostre 
que:
a) � é um homomorfi smo sobrejetor;
b) N(�) ��nZ;
c) Z/nZ � Zn.
Agora, vamos utilizar o corolário anterior para provar o teorema 
do resto chinês.
TEOREMA DO RESTO CHINÊS
 Sejam m, n � Z, m, n & 0, tais que mdc(m, n) = 1. Então os anéis 
Zmn e Zm X Zn são isomorfos.
Lembre que Zmn ��#[a]mn a � Z } e Zm X Zn ��#�[a]m , [a]n) 
[a]mn ��Zm e [a]n � Zn }. Lembre, também, que dois inteiros m e n com 
mdc(m, n) = 1 são chamados de primos relativos (ou, primos entre si), o que 
signifi ca que m e n não têm divisor primo comum.
Demonstração
Consideremos a função �� 
� Z� �� Zm X Zn defi nida por ��a��� 
�[a]m , [a]n), onde [a]m e [a]n denotam as classes residuais de a � Z, 
módulo m e módulo n, respectivamente.
34 C E D E RJ
Álgebra II | Teorema do homomorfi smo
ATIVIDADE
1o Passo: provar que f é um homomorfi smo de anéis.
A demonstração desse fato é mais uma atividade proposta 
para você. 
2o Passo: vamos mostrar que N(�) ��mnZ, onde N(�) é o núcleo 
de �.
Vamos começar pela primeira inclusão: N(�) ' mnZ. Se 
a �� mnZ, então a é múltiplo de mn, isto é, mn a (lembre que 
esse símbolo significa mn divide a). Como m mn e n mn, temos 
que m a e n a , ou seja, [a]m � [0]m e [a]n � [0]n. Assim, ��a��� 
�[a]m , [a]n) ���[0]m , [0]n) ��0Zm x Zn . Isso signifi ca que a � N(�).
Vamos provar, agora, a segunda inclusão: N(�) �� mnZ. 
Seja a � N(�), então ��a��� �[a]m , [a]n) ��0Zm x Zn ���[0]m , [0]n). Daí, 
segue que [a]m � [0]m e [a]n � [0]n. Logo, m a e n a . Como m a, 
n a e mdc(m,n) ��� então, por propriedade conhecida do seu curso 
de Álgebra I, segue que m a, ou seja, a é múltiplo de mn. Portanto, a 
��mnZ. 
Concluímos assim, que N(�) ��mnZ.
3o Passo: vamos provar que Zmn ���(Z).
Nos passos anteriores mostramos que � : Z � Zm X Zn é 
um homomorfismo com núcleo N(�) �� mnZ. Pelo Teorema do 
Homomorfi smo, segue que Z/mnZ � �(Z). Agora, pelo Corolário 2, 
segue que Zmn � Z/mnZ. Logo, pela Proposição 3 da Aula 7, segue que 
Zmn ���(Z).
2. Prove que função ��
�Z���Zm X Zn, defi nida por ��a��� �[a]m , [a]n), é 
um homomorfi smo de anéis.
Veja que propriedades você deve provar e tente adaptar as provas parecidas 
que já fi zemos.
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 4o Passo: para fi nalizar, vamos mostrar que ���Z)���Zm X Zn.
Como Zmn e f(Z) são isomorfos, então Zmn e ���Z) têm o mesmo 
número de elementos. Sabemos que Zmn tem m . n elemento, portanto, 
�� �Z) também tem m.n elementos. Mas, �� �Z)� �� Zm X Zn. Como 
Zm X Zn também tem m.n elementos, concluímos que ���Z)���Zm X Zn.
Dos passos anteriores, concluímos que Zmn � Zm X Zn sempre 
que mdc(m,n) � 1.
ATIVIDADE FINAL
Sejam n, K � Z, n, K & 0. Seja ��
�ZKn���Zn defi nida por ���[a]Kn ) � [a]n, onde [a]Kn 
e [a]n são as classes residuais de a, módulo kn e módulo n, respectivamente.
a) Mostre que ��é um homomorfi smo de anéis.
b) Mostre que N(�) ��nZKm ��#n . [x]Kn [x]Kn ��ZKn }.
c) Mostre que � é sobrejetora e conclua que os anéis ZKn / nZKn e Zn são isomorfos, 
isto é, ZKn /nZKm � Zn.
R E S U M O
Nesta aula, você viu o importante teorema do homomorfi smo, muitas vezes 
também chamado de teorema do isomorfi smo. Esse teorema afi rma que dado um 
homomorfi smo de anéis ��
�A���B, então os anéis A/N (�) e���A� são isomorfos. 
Ele é um mecanismo de criação de isomorfi smos e, assim, uma importantíssima 
ferramenta de comparação de anéis. Fizemos uma bela aplicação desse teorema 
quando provamos o teorema do resto chinês, que afi rma que os anéis Zmn e Zm 
X Zn são isomorfos sempre que mdc(m,n) = 1.
36 C E D E R J
Álgebra II | Teorema do homomorfi smo
Atividade 1
a) Para mostrar que � é homomorfi smo, sejam a, b � Z, então
H1. � (a + b) � a + b ��a + b ���(a) %��(b);
H2. � (a . b) � a . b ��a . b ���(a) "��(b);
H3. �(�) �������Zn , 
ou seja, � é um homomorfi smo. Mais ainda, é um homomorfi smo sobrejetor, pois, 
dado a � Zn , temos �(a) ��a com a � Z.
b) Para provar que os dois conjuntos são iguais, seja
a � N(����(��(a) ��0 
�����������������(�a ��0
�����������������(�a )�0 (mod n)
�����������������(�n �a
�����������������(�a � nZ.
Assim, concluímos que N(�� � nZ.
c) Sabendo que � : Z � Zn é um homomorfi smo sobrejetor, segue, agora, 
diretamente do corolário 1, que Z /N(�� � Zn. E, como N(�� � nZ, então, concluímos 
que Z /nZ � Zn.
Atividade 2
Precisamos verifi car que � : Z � Zm x Zn, defi nida por ��a��� �[a]m , [a]n), satisfaz 
os três axiomas de homomorfi smo.
H1. 
ƒ(a + b) = ([a + b]m , [a + b]n), para todo a, b � Z 
 � ([a]m + [b]m , [a]n + [b]n)
� � ���� ([a]m + [a]n ) + [b]m + [b]n)
� � �������a��+ ��b�*
RESPOSTAS
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 H2. 
ƒ(a . b) = ([a . b]m , [a . b]n), para todo a, b � Z 
 � ([a]m . [b]m , [a]n . [b]n)
� � ���� ([a]m , [a]n ) + ([b]m , [b]n)
� � �������a��. ��b�*
H3. ƒ(1) = ([1]m , [1]n) ���Zm X Zm .
Assim, concluímos que ƒ é um homomorfi smo de anéis.
Atividade Final
a) Vamos verifi car que f satisfaz os axiomas de homomorfi smo. Sejam a, b � Z, então
H1. 
ƒ([a]Kn . [b]Kn) � ƒ([a + b]m ), para todo a, b � Z
� � ��������[a + b]n , pela defi nição de ƒ
� � ��������[a]n + [b]n
� ���� ����������a��+ ��b�*
H2.
ƒ([a]Kn . [b]Kn) � ƒ([a . b]Kn ) para todo a, b � Z
� � ��������[a . b]n , pela defi nição de ƒ
� � ��������[a]n . [b]n
� ���� ����������a��. ��b�*
H3. 
ƒ(1ZKn) � ƒ([1]Kn )
� ���������[1]n !��pela defi nição de ƒ
� ���������1Zn .
Assim, concluímos que ƒ é um homomorfi smo de anéis.
38 C E D E R J
Álgebra II | Teorema do homomorfi smo
b) Vamos calcular o núcleo de ƒ. Sabemos que N(�) � {[a]Kn � ZKn ��([a]Kn ) � 0Zn 
��[0]n }. Temos
��([a]Kn )�� [0]n ( [a]n � [0]n
� � ��������( a � nt, t � Z
� � ��������( [a]Kn � n. [t]Kn
� � ��������( [a]Kn � nZKn.
Portanto, concluímos que N(�� � nZKn ��#n . [x]Kn [x]Kn � ZKn }.
c) Para mostrar que � : ZKn � Zn é sobrejetora, basta observar que dado [a]n � 
Zn, então ��([a]n )�� [a]n . Agora, pelo Teorema do Homomorfi smo, concluímos que 
ZKn/ N(�� � Zn e, como N(�� � nZKn , temos ZKn / nZKn � Zn.
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Meta da aula
Divisibilidade em anéis
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Operar com as propriedades básicas de divisibilidade.
• Operar com o conceito de máximo divisor comum.
• Demonstrar propriedades do máximo divisor comum.
Apresentar a teoria básica de divisibilidade em 
anéis e o conceito de máximo divisor comum.
 Pré-requisito
Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, 
desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de Álgebra I, 
e das Aulas 1 e 2 deste curso. 
40 C E D E R J
Álgebra II | Divisibilidade em anéis 
INTRODUÇÃO Nesta aula, vamos imitar a teoria de divisibilidade desenvolvida para os números 
inteiros, agora, no contexto dos anéis. A sensação que você deve ter é a de 
uma repetição da construção dos conceitos de divisibilidade desenvolvidos no 
curso de Álgebra I.
Vamos começar apresentando a noção de divisor em um anel.
Defi nição 1
Sejam A um anel e a, b � A . Dizemos que a divide b, e denotamos 
a b, se existe um elemento c �A tal que b = c . a. Nesse caso, dizemos 
também que a é um divisor de b, ou que a é um fator de b, ou que b é 
um múltiplo de a, ou, ainda, que b é divisível por a.
Se não existe um elemento c tal que b = c . a, diremos que a não 
divide b, o que denotamos por a , b.
Exemplo 1
No anel dos inteiros Z, temos:
i. 4 12, pois 12 = 3.4;
ii. (–5) 35, pois 35 = 7. (–5);
iii. 4 11, pois não existe c � Z tal que 11 = c . 4.
Exemplo 2
No anel Q dos números racionais, temos 4 7, pois 7 = . 4
e -��
/
 ��Q.
Exemplo 3
No anel Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dos inteiros módulo 8, 
temos:
i. 2 6, pois 6= 3 . 2;
ii. 5 2, pois 2 = 2 . 5.
iii. 4 7, pois você pode facilmente verifi car que não existe c � 
Z8 tal que 7 = c . 4.
 Veremos, agora, uma seqüência de propriedades de divisibilidade 
num anel A. Observe que elas são semelhantes às propriedades sobre 
divisibilidade dos números inteiros.
-��
/
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4Proposição 1
Sejam a, b, c, d,... elementos de um anel A. Então:
1. a a e a 0A, onde 0A é o elemento neutro da adição de A.
2. Se u é um elemento invertível em A, então u a. Em particular, 
1A a, onde 1A é o elemento neutro da multiplicação de A.
3. Se a b e b c, então a c.
4. Sea b, então a b . c.
5. Se a b e a c, então a (b + c) e a (b – c).
6. Se a b e a c, então a (x . b + y . c), para todo x, y � A.
7. Se a b e c d, então a . c b . d.
8. Se a (b + c) e a c, então a c.
Demonstração
 Lembre que costumamos denotar 0A por 0 e 1A por 1, sempre 
que não houver risco de confusão.
1. Como 0 = 0 . a para todo a, então, da defi nição de divisibilidade, 
concluímos que a 0 . E, também, como a = 1 . a, concluímos que a a.
2. Temos que 
 a = a . 1
 = a. (u–1. u), pois u é invertível
 = (a . u–1) . u.
Como a . u–1 � A, concluímos que a é múltiplo de u, o que signifi ca 
que u a. Em particular, como 1 é um elemento invertível de A, então 
1 a. Essa última afi rmação também pode ser facilmente verifi cada de 
modo direto, pois a = a . 1.
3. Supondo que a b e b c, então existem elementos s, t � A tais 
que b = s . a e c = t . d. Logo,
 c = t . b
 = t . (s . a), pois b = s . a
 = (t . s) . a.
Como t . s ��A, concluímos que c é múltiplo de a, o que prova 
que a c. 
Observe que nas provas das propriedades usamos somente a 
defi nição de divisibilidade e as propriedades de anel já conhecidas. Tente, 
agora, montar argumentos semelhantes para demonstrar a propriedade 4. 
Esta será a sua primeira atividade desta aula.
42 C E D E R J
Álgebra II | Divisibilidade em anéis 
Continuaremos, agora, com as demonstrações das outras 
propriedades. Observe, primeiramente, que a propriedade 5 é 
um caso particular da propriedade 6. Portanto, vamos primeiro 
provar a propriedade 6 e, depois, tirar como conseqüência a validade 
da propriedade 5. Observe que este tipo de argumento, ou seja, provar 
uma propriedade mais geral e tirar um caso particular como conseqüência, 
é muito comum na matemática.
6. Supondo que a b e a c, então existem elementos s, t � A 
tais que b = s . a e c = t . a. Assim, para todo x, y � A, temos que 
x . b + y . c = x . (s . a) + y . (t . a), pois b = s . a e c = t . a
 = (x . s) . a + (y . t) . a
 = (x . s + y . t) . a.
 
Como x, y, s, t � A e A é um anel, então x . s + y . t � A. Portanto, 
temos que x . b + y . c é múltiplo de a, o que prova que a (x . b + y . c).
Vamos concluir a prova da propriedade 5.
5. Observe que, na propriedade 6, tomando x = y = 1, obtemos 
que a (b + c). Agora, tomando x = 1 e y = –1, obtemos a (b – c).
A próxima propriedade (a 7a) será mais uma atividade para você. 
Tente imitar os argumentos usados anteriormente.
1. Prove que se a b, então a b . c.
2. Prove que se a b e c d, então a . c b . d.
ATIVIDADE 
ATIVIDADE 
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4Vamos, agora, demonstrar a última propriedade.
8. Supondo que a (b + c) e a b, então existem elementos s, t � 
A tais que b + c = s . a e b = t . a. Logo,
 c = (b + c) – b
 = s . a – t . a, pois b + c = s . a e b = t . a
 = (s – t) . a
Como s – t � A, concluímos que c é múltiplo de a, o que prova 
que a c. 
Lembre que no anel Z dos números inteiros vale uma propriedade 
que diz que se a b e b a, então b = a ou b = – a. Agora, observe que 1 
e –1 são os únicos elementos invertíveis de Z e que Z é um domínio de 
integridade. Lembre, também, que um domínio de integridade é um anel 
que não tem divisores de zero, isto é, não existem elementos não-nulos a e b 
tais que a . b = 0. Isso nos dá a motivação para a próxima propriedade.
Proposição 2
Sejam a e b dois elementos de um domínio de integridade A. 
Então, a b e b a se, e somente se, existir um elemento invertível 
u � A , tal que b = u . a.
Demonstração
(�) Supondo que a b e b a, vamos mostrar que existe um 
elemento invertível u � A, tal que b = u . a.
Como a b e b a, então existem elementos u e t em A, tais que 
b = u . a e a = t . b.
1o caso: b = 0. Nesse caso, temos a = t . b = t . 0 = 0, o que prova 
que b = a = 1 . a. Veja que, nesse caso, podemos escolher u = 1, concluindo 
que b = 1 . a, sendo 1 um elemento invertível.
2o caso: b � 0. Nesse caso, temos
 b = u . a
 = u . (t . b), pois a = t . b
 = (u . t) . b.
44 C E D E R J
Álgebra II | Divisibilidade em anéis 
Como A é um domínio de integridade e b � 0, vale a lei do 
cancelamento em A (veja a Proposição 2 da Aula 4) para o elemento 
b, ou seja, 
 (u . t) . b = 1 . b e b � 0 � u . t = 1.
Como u . t = 1 e t � A, concluímos que o elemento u é invertível. 
Daí, segue que b = u . a com u invertível em A.
(�) Agora, supondo que b = u . a, com u invertível em A, vamos 
provar que a b e b a.
Como b = u . a, temos que b é múltiplo de a, ou seja, a b. Agora, 
sendo u um elemento invertível de A, temos que
 b = u . a � a = u–1 . b.
Como u–1 � A, já que u é invertível, concluímos que a é múltiplo 
de b, ou seja, b a.
Em particular, você pode obter outra demonstração para a 
propriedade dos números inteiros mencionada anteriormente. Esta será 
sua próxima atividade.
3. Use a Proposição 2 para provar que se a e b são dois números inteiros, 
tais que a b e b a, então b = a ou b = ��a.
Defi nição 2
Dois elementos, a e b, de um anel A são chamados de elementos 
associados se existir um elemento invertível u � A tal que b = u . a.
Assim, podemos reescrever a Proposição 2 nessa nova linguagem.
ATIVIDADE 
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4Proposição 3
Em um domínio de integridade A, dois elementos a e b são 
associados se, e somente se, a b e b a.
Vamos, agora, estender para um anel qualquer o conceito de máximo 
divisor comum, já conhecido do seu estudo do anel dos inteiros Z. Daremos 
inicialmente a defi nição para dois elementos de um anel. 
Defi nição 3
Sejam dois elementos, a e b, de um anel A; dizemos que um 
elemento, d � A, é um máximo divisor comum de a e b se: 
MDC1. d é um divisor comum de a e b, isto é, d a e d b;
MDC2. todo divisor comum q de a e b também é divisor de d, 
isto é, se q a e q b, então q d.
Nesse caso, dizemos, simplesmente, que d é um mdc de a e b e 
denotamos d = mdc(a, b).
 A relação imediata que temos para dois máximos divisores 
comuns de a e b está contida na próxima propriedade.
Proposição 4
 Sejam dois elementos, a e b, de um anel A com máximo divisor 
comum d. Um elemento d1 ��A é um máximo divisor comum de a e b 
se, e somente se, d1 d e d d1.
Demonstração
(�) Estamos supondo que d1 é um mdc de a e b. Então, em 
particular, d1 a e d1 b, isto é, d1 é um divisor comum de a e b. Como 
d é um mdc de a e b, então temos que, por MDC2, d1 d. 
Por outro lado, como d é um mdc de a e b, então, por MDC1 
compreendemos que d a e d b. E, agora, como d1 é um mdc de a e 
b, então, por MDC2, temos d d1.
(�) Estamos supondo, agora, que d1 d e d d1. Queremos 
concluir que d1 é um mdc de a e b. 
46 C E D E R J
Álgebra II | Divisibilidade em anéis 
Como d é um mdc de a e b, então d a e d b. Agora, como 
d1 d, temos, pela Proposição 1.3, que d1 a e d1 b, ou seja,
 
 d1 d e d a � d1 a e
 d1 d e d1 b � d1 b,
portanto d1 é um divisor comum de a e b. Agora, dado qualquer 
divisor q de a e b temos, por MDC2, que q d. Da hipótese, temos que 
d d1. Assim, temos:
 q d e d d1 � q d1,
ou seja, todo divisor q de a e b também é divisor de d1. E, com 
isso, concluímos que d1 também é um mdc de a e b. 
 Num anel, elementos que se comportam do mesmo modo quanto 
à divisibilidade são chamados de elementos associados. A seguir veremos 
sua defi nição formal.
 Veja, agora, como fi ca a relaçãoentre dois máximos divisores 
comuns de dois elementos num domínio de integridade.
Proposição 5
Sejam dois elementos, a e b, de um domínio de integridade A com 
máximo divisor comum d. Um elemento, d1 � A, é um máximo divisor 
comum de a e b se, e somente se, d1 é associado a d.
Demonstração
(�) Estamos supondo que d1 � A é um máximo divisor comum de 
a e b e queremos provar que d1 é associado a d. Pela Proposição 3, temos 
que d1 d e d d1, agora, pela Proposição 4, já que A é um domínio de 
integridade, segue que d1 e d são elementos associados.
(�)Supondo, agora, que d1 é associado a d, então, pela Proposição 
4, já que A é um domínio de integridade, temos d1 d e d d1. Depois, 
pela Proposição 3, segue que d1 é um máximo divisor comum de a e b. 
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4ATIVIDADE FINAL
Mostre que a relação binária no anel A, defi nida por a ~ b ( a é associado a b, 
é uma relação de equivalência.
R E S U M O
Nesta aula, vimos o conceito de divisibilidade num anel A, em que dizemos que 
a divide b quando existe um elemento c � A, tal que b = c . a. Em seguida, vimos 
muitas propriedades de divisibilidade, todas elas generalizações de propriedades 
semelhantes aos números inteiros. Depois, vimos o conceito de máximo divisor 
comum, que é um divisor comum que é múltiplo de todos os demais divisores 
comuns, e de elementos associados, onde a e b são associados se existir elemento 
invertível u � A, tal que b � u . a.
48 C E D E R J
Álgebra II | Divisibilidade em anéis 
Atividade 1
Se a b, então existe S � A, tal que b = s . a. Assim,
 b . c = (s . a) . c, pois b = s . a
 = s . (a . c)
 = s . (c . a)
 = (s . c) . a, múltiplo de a,
o que prova que a b . c.
Atividade 2
Se a b e c d, então existem elementos s e t no anel A, tais que b = s . a e d = t . c. 
Logo,
 b . d = (s . a) . (t . c), pois b = s . a e d = t . c.
 = (s . t) . (a . c), múltiplo de a . c,
o que prova que a . c b . d.
Atividade 3
Pela Proposição 2, como a b, b a e Z é um domínio de integridade, então b = u . a 
com u invertível em Z . Como os únicos elementos invertíveis em Z são 1 e –1, segue 
que b = a ou b = – a.
Atividade Final
A relação é refl exiva, isto é, a ~ a , pois a = 1A . a e o elemento 1A é invertível.
A relação é simétrica, isto é, a ~ b ��b ~ a, pois
RESPOSTAS
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4a ~ b � existe elemento invertível u � A, tal que b � u . a.
 � a ��u–1 . b � e u–1 é um elemento invertível
 ��b ~ a.
A relação é transitiva, isto é, a ~ b e b ~ c � a ~ c, pois
a ~ b e b ~ c � b � u . a e c � v . b com u e v elementos invertíveis
 ��c � v . b = (v . u) . a com v . u um elemento invertível
 � a ~ c.
Assim, a relação “~” sendo refl exiva, simétrica e transitiva, faz dela uma relação 
de equivalência.
5
ob
je
tiv
os
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A
Meta da aula
Introdução aos polinômios
Apresentar o conceito de um polinômio com coefi cientes num anel A.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Reconhecer um polinômio sobre um anel A.
• Determinar o grau de um polinômio.
• Determinar se um escalar é uma raiz de um polinômio.
Pré-requisitos
 Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, 
desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso 
de Álgebra I, e da Aula 1 deste curso. 
52 C E D E R J
Álgebra II | Introdução aos polinômios
INTRODUÇÃO Como todo estudante, você já deve ter visto expressões como
 x + x2, 5 + x3, 17 + x2 + 2x3.
Essas expressões são conhecidas como polinômios, mais exatamente, polinômios 
de uma variável. Nesses exemplos, os coefi cientes que aparecem pertencem 
ao corpo dos números reais.
Nesta aula, começaremos a estudar essas expressões num contexto mais geral, 
o que permitirá considerar os coefi cientes dos polinômios pertencendo a um 
anel qualquer. Assim, nosso estudo abrangerá expressões tais como 
 
 x + x2 com , � Z4 , por exemplo.
Para estudarmos essas expressões, defi niremos as operações de soma e produto 
de polinômios e veremos, nesse contexto, que o conjunto dos polinômios forma 
um anel, chamado um anel de polinômios.
Considere (A, +, .) um anel. Lembre que isso signifi ca um anel comutativo e 
com unidade (1A � A). No que se segue, a letra x denotará uma variável ou 
um símbolo.
DEFINIÇÃO 1
Um polinômio na variável x com coefi cientes no anel A é uma 
soma da forma
 a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ...
 
onde cada ai � A e ai = 0 para todo i sufi cientemente grande 
(e isso signifi ca que existe n � N tal que ai = 0 para todo i > n).
Os escalares ai são chamados de coefi cientes do polinômio. Assim,
a0 é o coefi ciente constante;
a1 é o coefi ciente do termo linear x;
a2 é o coefi ciente do termo quadrático x
2;
a3 é o coefi ciente do termo cúbico x
3.
Como temos os coeficientes a1 = 0 para todo i > n, 
podemos denotar o polinômio a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... por 
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n.
3 5 53
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5Exemplo 1
Isso signifi ca que o polinômio 1 + 2x + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 
0x6 + ... será denotado por 
 1 + 2x + 3x2 + x3 ou f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3.
 O polinômio cujos coefi cientes são todos iguais a zero,
 0 + 0x + 0x2 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + ...,
chamado polinômio nulo, será denotado simplesmente por 0. 
Observe, também, no caso a seguir, que a falta do termo x2 em 
 f(x) = 4 + 2x – x3
 
signifi ca que o coefi ciente de x2 é igual a zero, isto é, a2 = 0.
DEFINIÇÃO 2
Denotamos o conjunto dos polinômios sobre o anel A por 
A[x] = {Polinômios na variável x com coefi cientes em A}
 = {a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ai � A e n � N}.
Exemplo 2
Temos
 Z [x] = {a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ai � Z e n � N};
 Q [x] = {a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ai � Q e n � N};
 R [x] = {a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ai � R e n � N};
 C [x] = {a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ai � C e n � N};
 Zm [x] = { + x + x
2 + x3 + ... + x
n � Zm e n � N} .
7
3
a0 a1 a2 a3 aian
54 C E D E R J
Álgebra II | Introdução aos polinômios
ATIVIDADE 
Assim, temos também
p(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 � Z[x];
f(x) = 4 + 2x – x3 � Q[x], mas f(x) � Z[x], pois � Z;
g(x) = (3 + 2) – (1 + 2) x3 � R[x], mas g(x) � Q[x], pois 
3 + �2 � Q;
h(x) = (2 – i)x + (4 + 1)x4 � C[x], mas h(x) � R[x], pois 2 – i 
��R.
Lembre que C representa o corpo dos números complexos, ou 
seja,
 C = {a + bi a, b � C e i = ��–1}.
Algumas observações são muito importantes:
1. A � A[x]. Os elementos do anel A, em A[x], fazem o papel dos 
polinômios constantes, f(x) = a0 (com a1 = 0 para todo i > 0).
2. Se A e B são anéis e A � B, então A[x] � B[x].
Esta última observação consiste na sua primeira atividade.
1. Prove que se A e B são anéis e A � B, então A[x] � B[x].
Na teoria dos polinômios, o último termo não-nulo exerce um 
papel importante. É esse termo que vamos estabelecer na próxima 
defi nição.
7
3
7
3
0 0
0
0
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5DEFINIÇÃO 3
Seja A um anel e f(x) um polinômio em A[x] tal que 
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n com an � 0 e n 1 0.
Neste caso, dizemos que o polinômio f(x) tem grau n e denotamos 
gr( f ) = n. O coefi ciente an é chamado de coefi ciente líder. Em particular, 
quando o coefi ciente líder for igual a 1,f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + xn, an = 1,
dizemos que f(x) é um polinômio mônico. Observe, também, que 
não estamos defi nindo o grau do polinômio nulo.
Exemplo 3
a) O polinômio
 f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 � Z[x]
tem grau 3, gr( f ) = 3. Observe que f(x) é um polinômio mônico
b) O polinômio 
 p(x) = 3 + 4x2 + 5x4 � Z7[x]
 
tem grau 4, gr(p) = 4. Observe que p(x) não é um polinômio 
mônico.
c) O polinômio
 g(x) = (1 – i)x + 2ix3 + x5 � C[x]
tem grau 5, gr(g) = 5. Observe que g(x) é um polinômio mônico.
Vamos estudar, agora, a igualdade de dois polinômios.
56 C E D E R J
Álgebra II | Introdução aos polinômios
DEFINIÇÃO 4
Sejam f(x) e g(x) dois polinômios em A[x], digamos,
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n.
e
 g(x) = b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + ... + bmx
m.
Dizemos que os polinômios f(x) e g(x) são iguais, e denotamos 
f(x) = g(x), se 
 ai = bi para todos os valores de i.
Em particular, observe que se gr (f) = n e gr(g) = m, então 
n = m. Assim, dois polinômios são iguais, se eles tiverem o mesmo grau 
e se seus coefi cientes correspondentes forem iguais.
Exemplo 4
Os polinômios
 f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 � Z[x]
e
 g(x) = 1 + 2x – 3x2 + x3 � Z[x]
não são iguais, pois a2 = 3 � –3 = b2. Já os polinômios 
 p(x) = 1 + 3x2 + x3 � Z[x]
 e
 q(x) = 1 + 0x + 3x2 + x3 � Z[x]
são iguais, pois todos os seus coefi cientes correspondentes são iguais.
Você provavelmente já conhece os conceitos de valor de um 
polinômio e raiz ou zero de um polinômio. Vamos, então, relembrá-los.
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5DEFINIÇÃO 5
Dados um polinômio f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ��
A[x] e um escalar 2 � A, dizemos que 
 f(2) = a0 + a12 + a22
2 + a32
3 + ... + an2
n
é o valor de f em 2. Como A é um anel e, portanto, fechado sob 
as operações de adição e multiplicação, então temos
 f(2) = a0 + a12 + a22
2 + a32
3 + ... + an2
n ��A.
No caso em que f(2) = 0, dizemos que 2 é uma raiz de f ou um 
zero de f em A. 
Exemplo 5
Seja f(x) = 3 + 2x – 5x3 � Z[x]. O valor de f(x) em 2 = 2 é
 
 f(2) = 3 + 2 . 2 – 5 . 23
 = 3 + 4 – 40
 = – 33.
 
Então, temos f(2) = – 33 e, em particular, 2 = 2 não é uma raiz 
de f(x). Agora, para 2 = 1 temos o valor
 f(1) = 3 + 2 . 1 – 5 . 13
 = 3 + 2 – 5
 = 0.
 Portanto, já que 1 � Z, 2 = 1 é uma raiz de f(x) em Z.
Exemplo 6
Seja g(x) = 1 + 2x + 2x2 � Z3 [x], onde Z3 = { 0, 1, 2} é o anel 
das classes residuais módulo 3. Os valores que g(x) assume em Z3 são:
 g(0) = 1 + 2 . 0 + 2 . 02
 = 1 + 0 + 0 
 = 1� Z3 ;
58 C E D E R J
Álgebra II | Introdução aos polinômios
 g(1) = 1 + 2 . 1 + 2 . 12
 = 1 + 2 + 2
 = 5 
 = 2 � Z3 ;
 g(2) = 1 + 2 . 2 + 2 . 22
 = 1 + 4 + 8
 = 13 
 = 1 � Z3 ;
 
Como g( ) � 0, g(1) � 0 e g(2) � 0, então o polinômio g(x) = 1 
+ 2x + 2x2 � Z3 [x] não tem raiz em Z3. Observe que 3 = 0, 1, 2 são as 
únicas possibilidades de raiz em Z3 e, uma vez descartadas estas, podemos 
concluir que o polinômio não tem raízes em Z3.
Exemplo 7
Seja h(x) = 1 + x2 � R[x]. O valor de h(x) no escalar 2 � R é 
dado pela expressão
 h(2) = 1 + 22
 = 22 + 1 � R.
 
Sabemos que, dado 2 � R , então 22 1 0. Assim,
 22 + 1 > 0,
isto é, a expressão 22 + 1 terá sempre um valor positivo e, portanto, 
nunca será igual a zero para qualquer que seja o valor de 2 � R. Assim, 
concluímos que h(2) � 0 para todo 2 � R e isso signifi ca que o polinômio 
h(2) = 1 + x2 R[x] não possui raiz em R. Dizemos que h(x) � R[x] não 
tem raízes reais.
Por outro lado, temos
 R � C
e, portanto,
 R[x] � C[x].
0
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5Agora, dado i � C, i = –1, temos 
 h(i) = 1 + i2
 = 1 + (–1)
 = 0,
 ou seja, 2�= i é uma raiz de h(x) = 1 + x2 em C. Dizemos que i 
é uma raiz complexa de h(x). Veja, também, que 2�= – i é outra raiz 
complexa de h(x) = 1 + x2, já que
 h(–i) = 1 + (–i)2
 = 1 + (–1)
 = 0.
Observe que o exemplo anterior teve o propósito de ressaltar o 
fato de quando falamos em raiz de um polinômio, devemos especifi car 
o anel com o qual estamos trabalhando. Mais especifi camente, dizer, 
simplesmente, “o polinômio h(x) = 1 + x2 não tem raiz”, consiste numa 
afi rmação incompleta, pois vimos que este polinômio não tem raízes 
reais, mas tem raízes complexas.
Vamos ver, agora, uma propriedade muito simples, porém muito 
importante sobre raízes nulas de um polinômio.
Proposição 1
Seja o polinômio f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ��
A[x] com raiz nula, isto é, com f(0) = 0. Então o coefi ciente constante é 
igual a zero, ou seja, a0 = 0, e f(x) é da forma
 f(x) = a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n .
Demonstração
De f(0) = 0 segue que 
 a0 + a1 . 0 + a2 . 0
2 + a3 . 0
3 + ... + an . 0
n = 0, 
o que nos dá
 a0 = 0.
Portanto, ƒ(x) = a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n . 
0
60 C E D E R J
Álgebra II | Introdução aos polinômios
ATIVIDADES FINAIS
1. Seja f(x) = x2 – 2 � Q[x]. Use o fato de 2 � Q para mostrar que f(x) não tem 
raízes racionais. Verifi que que f(x) possui raízes reais e encontre essas raízes.
2. Determine o polinômio f(x) � R[x] , de 3o grau, que apresenta uma raiz nula 
e satisfaz a condição f(x – 1) = f(x) + (2x)2 para todo x real. 
3. Com o auxílio do polinômio obtido no exercício anterior, calcule a soma 22 + 
42 + ... + (2n)2, onde n 1 1 é um número natural.
R E S U M O
O conceito de polinômio em uma variável é dado por:
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ,
com coefi cientes a0 , a1 , a2 , ... , an num anel A. O grau de um polinômio é o 
maior valor de n tal que an � 0. O conceito de raiz de um polinômio é um escalar 
2���A��tal que f(2) = 0.
0
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5
Atividade 1
Dado o polinômio
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n � A[x],
então os coefi cientes a1 � A para i = 0, 1, ... , n. Como A � B, então cada 
a1 � B, e isto signifi ca que 
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n � B[x].
 Portanto, provamos que A[x] � B[x].
Atividade Final 1
Veja que 
 f(x) = 0 ( x2 – 2 = 0
 ( x2 = 2
 ( x = 4���2
 
Assim, as única raízes de f(x) são os números reais 2 e – 2. Como 2 � Q, 
então f(x) não tem raízes racionais. Mas f(x) tem duas raízes reais, a saber, e.
Atividade Final 2
Como o polinômio f(x) é de grau 3, então podemos escrever
 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d com a, b, c, d � R e a � 0.
Como f(0) = 0, temos, pela Proposição 1, que d � 0 e, assim,
 f(x) = ax3 + bx2 + cx.
0
0 0 0
RESPOSTAS
62 C E D E R J
Álgebra II | Introdução aos polinômios
Agora, substituindo x � 0 em f(x – 1) = f(x) + f(2x)
2, obtemos
 f(–1) = f(0) + (2 . 0)2 
 = 0 + 0
 = 0,
isto é, f(���) = 0 . Portanto, –1 também é uma raiz de f(x).
Substituindo x = 1 em f(x ���) = f(x) + (2x)2 , obtemos
 f(0) = f(1) + (2 . 1)2,
 o que nos dá
 f(1) = f(0) – 22
 = 0 – 4
 = – 4,
isto é, f(1) = – 4. Finalmente, substituindo x �� 5 em f(x �� �) = f(x) + (2x)2, 
obtemos
 f(2 ���) = f(2) + (2 . 2)2 ,
o que nos dá
 f(2) = f(1) + 42
 = – 4 – 16
 = – 20,
isto é, f(2) = – 20. Agora, substituindo f(–1) = 0, f(1) = – 4 e f(2)= –20 em f(x) = 
ax3 + bx2 + cx, obtemos o sistema linear
 – a + b – c = 0
 a + b + c = – 4
 8a + 4b + 2c = – 20,
cuja solução, usando as técnicas já aprendidas no curso de Álgebra Linear II, é
 a = – 4
3
, b = – 2 e c = – 2
3
 .
C E D E R J 63
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5Portanto, temos
 f(x) = – x3 – 2x2 – x.
Atividade Final 3
De f(x ���) = f(x) + (2x)2 temos a expressão (2x)2 = f(x ���) ��f(x) que usaremos 
na soma 22 + 42 + ... + (2n)2. Temos:
 22 + 42 + ... + (2n)2 = (2 . 1)2 + (2 . 2)2 + ... + (2 . n)2
 = (f(0) – f(1)) + (f(1) – f(2)) + ... + (f(n – 1) – f(n))
 = f(0) – f(n).
Agora, usando a expressão f(x) = – 
4
3
 x3 – 2x2 – x obtida na atividade anterior, 
temos:
 22 + 42 + ... + (2n)2 = f(0) – f(n)
 = 0 – (– n3 – 2n2 – n)
 = n3 + 2n2 + n.
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
Operações com polinômios
ob
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s
6AULA
Pré-requisitos 
Meta da aula 
Apresentar as operações de adição e multiplicação de polinômios com 
coefi cientes num anel A.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Calcular a soma de dois polinômios sobre um anel A.
• Calcular o produto de dois polinômios sobre um anel A.
• Determinar o grau do polinômio soma.
• Determinar o grau do polinômio produto.
Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e 
ideais, desenvolvidos em Álgebra I, e da introdução aos 
polinômios, na Aula 5. 
66 C E D E R J
Álgebra II | Operações com polinômios
INTRODUÇÃO Lembra-se da aula passada? Vimos que se A é um anel, e isso signifi ca um 
anel comutativo e com unidade (1A � A), então denotamos o conjunto dos 
polinômios sobre o anel A por A[x], isto é,
Nesta aula, vamos defi nir as operações de adição e multiplicação em A[x], ou 
seja, a soma e o produto de polinômios. Depois, veremos como o grau de um 
polinômio se comporta perante estas operações.
DEFINIÇÃO 1
Sejam f(x) e g(x) dois polinômios em A[x], digamos,
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n
e
 g(x) = b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + ... + bmx
m.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que m 6 n. Defi nimos 
as operações de adição e multiplicação de polinômios como segue.
1. Adição de polinômios. O polinômio soma f(x) + g(x) é 
defi nido por
 
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x
2 + ... + (am + bm)x
m + am +1 x
m + n
... + anx
n 
 = c0 + c1x + c2x
2 + c3x
3 + ... + cnx
 n, 
 onde os novos coefi cientes são dados por cK = aK + bK para cada 
k = 1, 2, ..., n. Observe que bK = 0 para todo k > m.
Assim, para somarmos dois polinômios, simplesmente somamos 
os seus coefi cientes correspondentes.
2. Multiplicação de polinômios. O polinômio produto f(x) . g(x) 
é defi nido por
 f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x
2 + c3x
3 + ... + cm +1 x
m + n,
A[x] = {polinômios na variável x com coefi cientes em A} 
 = { a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n ai � A e n � N}.
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6
 onde os coefi cientes cK são defi nidos por
 c0 = a0b0;
 c1 = a0b1 + a1b0;
 c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0;
 c3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0;
 
 cK = a0bK + a1bK – 1 + a2bK – 2 + ... + aKb0, para todo 
k 6 m + n,
e onde estamos considerando que bK = 0 para todo k > m e aK = 0 
para todo k > n. Esta regra diz, simplesmente, que para formarmos o produto 
f(x) . g(x), fazemos o produto de cada termo de f(x) por cada termos de g(x), 
usando a regra
 (aix
i) . (bix
i) = aibj x
i + j, para todo i, j 1 0
e, depois, agrupamos todos os termos que têm a mesma potência 
em x. Observe que a formação dos coefi cientes cK segue, simplesmente, 
a aplicação da lei distributiva.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
Sejam f(x) = 3 + 2x – x2 e g(x) = 1 + 2x2 dois polinômios em 
R[x]. O polinômio soma f(x) + g(x) é dado por 
 f(x) + g(x) = (3 + 2x – x2) + (1 + 2x2)
 = (3 + 1) + (2 + 0)x + (–1 + 2)x2
 = 4 + 2x + x2.
Já o polinômio produto f(x) . g(x) é obtido como segue:
f(x) . g(x) = (3 + 2x – x2)(1 + 2x2)
 = (3 + 2x – x2) . 1 + (3 + 2x – x2) . 2x2 ; aplicando a lei 
distributiva
 = (3 + 2x – x2) + (6x2 + 4x3 – 2x4) . 2x2 ; aplicando a lei 
distributiva
 = 3 + 2x – 5x2 + 4x3 – 2x4 ; aplicando a soma de 
polinômios.
..
.
68 C E D E R J
Álgebra II | Operações com polinômios
Vamos observar, no caso geral, que os polinômios f(x) + g(x) e 
f(x) . g(x) são, de fato, polinômios em A[x]. Como A é um anel e aK , bK 
� A, então os coefi cientes cK = aK + bK do polinômio soma f(x) + g(x) 
pertencem a A, garantindo que f(x) + g(x) � A[x]. Da mesma forma, 
cada coefi ciente
 cK = a0bK + a1bK – 1 + a2bK – 2 + ... + aKb0
do polinômio produto f(x) . g(x) pertence a A, mais uma vez, 
garantindo que f(x) . g(x) � A[x].
1. Calcule a soma e o produto dos polinômios f(x) = 2 + 2x2 + x3 
e g(x) = 1 + 2x, em Z3[x].
___________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Concluiremos esta aula estudando o comportamento do grau dos 
polinômios soma e produto. Para isso, vamos considerar que no anel 
A não ocorra que o produto de dois elementos não-nulos seja nulo, 
ou seja, que A é um domínio de integridade. Isso signifi ca que dados 
a, b � A com a � 0 e b � 0, então a . b � 0, o que, em outras palavras, 
signifi ca que o anel A não tem divisores de zero. Lembre, também, que 
o grau do polinômio 
f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n, com a0 � 0 e n 1 1,
é igual a n, o que denotamos por gr ( f ) = n. Observe, no Exemplo 
1, que o grau do polinômio soma f(x) + g(x) é igual a 2 e que o grau do 
polinômio produto f(x) . g(x) é igual a 4.
ATIVIDADE
1
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6
 Proposição 1
Seja A um domínio de integridade e sejam os polinômios f(x), g(x) 
��A[x], cujos graus são gr(f) = n e gr(g) = m, com m 6 n. Então
1. gr(f + g) 6 n = max {gr(f), gr(g)};
2. gr(f . g) = n + m = gr(f), gr(g).
Demonstração
Sejam os polinômios f(x) e g(x) dados por 
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n, com an � 0,
e
 g(x) = b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + ... + bmx
m, com bm � 0.
1. Assim, o polinômio soma é dado por 
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x
2 + ... + (am + bm)x
m 
+ am + 1 x
m + 1... + anx
n 
 = c0 + c1x + c2x
2 + c3x
3 + ... + cnx
n,
 onde os novos coefi cientes são dados por cK = aK + bK para cada 
k = 1, 2, ... , n. Observe que bK = 0 para todo k > m. 
Como m 6 n, então bK = 0 e aK = 0 para todo k > n, o que 
nos leva a cK = aK + bK = 0 para todo k > n, e isto mostra que 
 gr(f + g) 6 n = max {gr(f), gr(g)}.
Observe que no caso de m < n, temos então bn = 0, o que nos dá
 cn = an + bn = an � 0,
ou seja, concluímos que, neste caso, gr(f + g) = n, ou seja, vale a 
igualdade.
70 C E D E R J
Álgebra II | Operações com polinômios
2. Agora, o polinômio produto é dado por
 f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x
2 + c3x
3 + ... + cm +nx
m + n
onde os coefi cientes são dados por cK = a0bK + a1bK – 1 + a2bK – 2 + 
... + aKb0. Em particular, temos 
 cm + n = a0bm + n + a1bm + n – 1 + ... + an – 1bm + 1 + an bm + an + 1bm – 1 +... 
+ am + nb0
 = a0 . 0 + a1 . 0 + ... + an – 1 . 0 + an bm + 0 . bm – 1 ... + 0 . b0
 = an bm � 0,
pois bK � 0 para todo k > m, aK = 0 para todo k > n e an bm � 0 
porque an �0, bm � 0 e A é um domínio de integridade. Assim, concluímos 
que gr(f . g) = n + m. 
Observe que na prova de gr(f + g) 6 max{gr(f), gr(g)}, na Propo-
sição 1, não usamos a hipótese de A ser um domínio de integridade. Assim, 
esta propriedade vale para um anel A qualquer. Já não é o caso da segunda 
parte, gr(f . g) = gr( f ) + gr( g ), em que usamos explicitamente a hipótese de 
A ser um domínio de integridade. Portanto, esta propriedade não é válida 
quando A não for um domínio de integridade. Veja a Atividade Final 2.
Exemplo 2
Sejam os polinômios f(x) = 1 + x e g(x) = x em Z2[x]. Vamos 
calcular a soma e o produto destes polinômios e, também, seus graus.
Para o polinômio soma, temos
 f(x) + g(x) = (1 + x) + x
 = (1 + 0) + (1 + 1)x
 = 1 + 2x
 = 1 + 0x; pois 2 = 0 em Z2
 = 1 � Z2[x] 
 Veja que gr(f + g) = 0 < 1 = max{gr(f), gr(g)}.
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6
 Para o polinômio produto, temos
 
 f(x) . g(x) = (1 + x) . x
 = 1 . x + x . x; aplicando a lei distributiva
 = x + x2 � Z2[x]
Observe que gr(f . g) = 2 = 1 + 1 = gr(f) + gr(g). Com isso, 
concluímos o Exemplo 2.
ATIVIDADES FINAIS
1. Calcule a soma e o produto, e seus respectivos graus, dos polinômios f(x) = 3x 
+ 2x2 e g(x) = 1 + x, em Z[x].
2. Encontre um exemplo de um anel A e de polinômios f(x), g(x) � A[x], para os 
quais não vale a igualdade gr(f . g) = gr(f) + gr(g). Observe que A não pode ser 
um domínio de integridade.
72 C E D E R J
Álgebra II | Operações com polinômios
R E S U M O
A soma e o produto dos polinômios
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n
e
 g(x) = b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + ... + bmx
m,
supondo m 6 n, são dados por 
 f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x
2 + ... + (am + bm)x
m + am + 1x
m + 1... + anx
n 
 = c0 + c1x + c2x
2 + c3x
3 + ... + cnx
n 
e
f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x
2 + c3x
3 + ... + cm + nx
m + n,
onde os coefi cientes cK são defi nidos por
 c0 = a0b0 ;
 c1 = a0b1 + a1b0 ;
 c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0;
 c3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0 ;
 cK = a0bK + a1bK – 1 + a2bK – 2 + ... + aKb0 , para todo k 6 m + n.
Valem as propriedades gr(f + g) 6 max{gr(f), gr(g)} e gr(f . g) = gr(f) + gr(g), sendo 
que esta última apenas quando o anel A é um domínio de integridade.
Atividade 1
Para o polinômio soma, temos
 f(x) + g(x) = (2 + 2x2 + x3) + (1 + 2x)
 = (2 + 1) + (0 + 2)x + (2 + 0)x2 + (1 + 0)x3
 = 3 + 2x + 2x2 + x3
 = 0 + 2x + 2x2 + x3; pois 3 = 0 em Z3
 = 2x + 2x2 + x3 � Z3[x].
RESPOSTAS COMENTADAS
..
.
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6
 Calculando o polinômio produto, temos
f(x) . g(x) = (2 + 2x2 + x3) + (1 + 2x)
 = (2 + 2x2 + x3) . 1 + (2 + 2x2 + x3) . 2x; aplicando a lei distributiva
 = (2 + 2x2 + x3) + (4x + 4x3 + 2x4); aplicando a lei distributiva
 = (2 + 0) + (0 + 4)x + (2 + 0)x2 + (1 + 4)x3 + (0 + 2)x4 ; aplicando a soma 
de polinômios
 = 2 + 4x + 2x2 + 5x3 + 2x4
 = 2 + 1x + 2x2 + 2x3 + 2x4; pois 4 = 1 e 5 = 2 em Z3
 = 2 + x + 2x2 + 2x3 + 2x4� Z3[x].
 Atividade Final 1
Para o polinômio soma, temos
 f(x) + g(x) = (3x + 2x2) + (1 + x)
 = (0 + 1) + (3 + 1)x + (2 + 0)x2
 = 1 + 4x + 2x2 � Z[x].
Veja que gr(f + g) = 2 = max {gr(f), gr(g)}.
Calculando o polinômio produto, temos
 f(x) . g(x) = (3x + 2x2)(1 + x)
 = (3x + 2x2). 1 + (3x + 2x2) . x; aplicando a lei distributiva
 = (3x + 2x2) + (3x2 + 2x3); aplicando a lei distributiva
 = (3 + 0)x + (2 + 3)x2 + (0 + 2)x3; aplicando a soma de 
polinômios
 = 3x + 5x2 + 2x3 � Z[x].
Observe que gr(f . g) = 3 = 2 + 1 = gr(f) + gr(g). 
Atividade Final 2
Sejam os polinômios f(x) = 1 + 2x e g(x) = 2x em Z4[x]. Calculando o polinômio 
produto, temos
 f(x) . g(x) = (1 + 2x) . 2x
 = 1 . 2x + 2x . 2x; aplicando a lei distributiva
 = 2x + 4x2
 = 2x + 0x2; pois 4 = 0 em Z4
 = 2x � Z4[x].
74 C E D E R J
Álgebra II | Operações com polinômios
 Veja que gr(f . g) = 1 < 2 = 1 + 1 = gr(f) + gr(g). Observe que Z4 não é um domínio 
de integridade, pois contém divisores de zero (2 . 2 = 0).
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DOMÓNIO�DE�INTEGRIDADE�
s�$ETERMINAR�QUE�UM�ANEL�DE�POLINÙMIOS�NUNCA�Ï�UM�CORPO�
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POLINÙMIOS�COM�COElCIENTES�NUM�ANEL�!�
6OCÐ�VAI�PRECISAR�DOS�CONHECIMENTOS�SOBRE�ANÏIS�E�IDEAIS��
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9AULA
Pré-requisitos 
Meta da aula 
Apresentar propriedades da divisão de polinômios.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Identifi car as propriedades fundamentais da divisão de 
polinômios.
• Identifi car o algoritmo de divisão de polinômios para 
polinômios lineares.
• Executar cálculos de divisão de polinômios por 
polinômios lineares.
 Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis 
e ideais, desenvolvidos em Álgebra I, e dos conhecimentos 
sobre os polinômios das Aulas 5 a 8.
104 C E D E R J
Álgebra II | Propriedades da divisão de polinômios
INTRODUÇÃO Na aulaanterior, estudamos o algoritmo da divisão de um polinômio com 
coefi cientes de um corpo A. Nesta aula, vamos obter algumas conseqüências 
deste importante teorema. Vamos, portanto, rever seu enunciado e alguns 
conceitos importantes.
TEOREMA 1 (ALGORITMO DA DIVISÃO DE POLINÔMIOS)
Sejam A um corpo e f(x), g(x) � A[x] dois polinômios com g(x) 
não-nulo. Então existem polinômios q(x), r(x) � A[x] tais que
 f(x) = q(x)g(x) + r(x) com gr(r(x)) < gr(g(x)) ou r(x) = 0.
Observações
1. Na propriedade da divisão para polinômios, o polinômio f(x) 
é chamado de dividendo, g(x) é o divisor, q(x) é o quociente e r(x) é 
polinômio resto. Também representamos a equação f(x) = q(x)g(x) + 
r(x) de forma esquemática:
 f(x) g(x)
 r(x) q(x)
 
2. Se o resto for o polinômio nulo, r(x) = 0, temos
 f(x) = q(x)g(x),
e dizemos que o polinômio g(x) divide o polinômio f(x) em A[x], e 
denotamos isso por g(x) f(x). 
 Podemos generalizar esta última observação na seguinte 
defi nição.
DEFINIÇÃO 1
Sejam A um anel e f(x), g(x) � A[x] dois polinômios com g(x) 
não-nulo. Dizemos que o polinômio g(x) divide o polinômio f(x) em 
A[x], caso haja um polinômio q(x) � A[x] tal que
 f(x) = q(x)g(x),
C E D E R J 105
A
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LA
 
9
 
ATIVIDADES
e denotamos isso por g(x) f(x). Nesse caso, também dizemos que g(x) 
é um divisor de f(x), ou que g(x) é um fator de f(x), ou, ainda, que f(x) 
é um múltiplo de g(x) em A[x].
Quando f(x) se expressa como um produto de polinômios,
 f(x) = p1(x)p2(x) ... pn(x),
dizemos que o produto p1(x)p2(x) ... pn(x) é uma fatoração de 
f(x) e, portanto, cada polinômio pk(x) é um fator de f(x).
Exemplo 1
Veja que, em Z[x], o polinômio g(x) = x2 + 1 divide o polinômio 
f(x) = x4 – x3 + 2x2 – x + 1, pois
 x4 – x3 + 2x2 – x + 1 = (x2 – x + 1)(x2 + 1).
1. Aplique o algoritmo da divisão de polinômios e verifique 
que o polinômio f(x) = x4 – x3 + 2x2 – x + 1 é divisível por
g(x) = x2 + 1 em R[x].
2. Verifi que que o polinômio g(x) = x2 + x + 1 + divide f(x) = 
x4 – x2 + 1 em Z2[x].
106 C E D E R J
Álgebra II | Propriedades da divisão de polinômios
PROPOSIÇÃO 1 (PROPRIEDADES DA DIVISÃO DE 
POLINÔMIOS)
Sejam A um anel e polinômios f(x), g(x), h(x) � A[x].
1. Se h(x) f(x) e h(x) g(x), então h(x) (f(x) + g(x)) e h(x) (f(x) 
– g(x)).
2. Se h(x) f(x), então h(x) f(x)g(x).
3. h(x) f(x), h(x) g(x) e p(x), q(x) � A[x], então h(x) (p(x)f(x) 
+ q(x)g(x)).
4. Se h(x) f(x) e f(x) g(x), então h(x) g(x).
Demonstração 
Durante a demonstração, usaremos somente as defi nições anterio-
res. É muito importante que você reconheça as propriedades aplicadas 
em cada passo.
1. Como h(x) f(x) então existe q(x) � A[x] tal que f(x) = q(x) 
h(x). Analogamente, como f(x) g(x) existe p(x) � A[x] tal que g(x) = 
p(x) h(x) . Assim,
 f(x) + g(x) = q(x)h(x) + p(x)h(x)
 = (q(x) + p(x))h(x).
Como q(x) + p(x) � A[x], temos que h(x) divide f(x) + g(x), ou 
seja, h(x) (f(x) + g(x)). Analogamente, temos
 f(x) – g(x) = q(x)h(x) – p(x)h(x)
 = (q(x) – p(x))h(x).
Assim, f(x) – g(x) é múltiplo de h(x), ou seja, h(x) (f(x) – g(x)).
2. Novamente, como h(x) f(x) , existe q(x) � A[x] tal que f(x) = 
q(x)h(x). Multiplicando por g(x) ambos os lados desta última igualdade, 
temos 
 f(x)g(x) = (q(x)h(x))g(x)
 = (q(x)g(x))h(x).
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A
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 Como q(x)g(x) ��A[x], temos que f(x)g(x) é múltiplo de h(x), ou 
seja, h(x) f(x)g(x).
3. Pela Proposição 1.2, se h(x) f(x), então h(x) p(x)f(x), e se 
h(x) g(x), então h(x) q(x)g(x). Agora, pela Proposição 1.1, concluímos 
que h(x) (p(x)f(x) + q(x)g(x)).
4. Como h(x) f(x), existe q(x) � A[x] tal que f(x) = q(x)h(x). 
Analogamente, como f(x) g(x), existe p(x) � A[x] tal que g(x) = p(x)f(x). 
Assim,
 g(x) = p(x)f(x)
 = (q(x)h(x))f(x).
 = (q(x)f(x))h(x).
 
E, daí, concluímos que h(x) divide g(x), ou seja, h(x) g(x).
Vamos rever também o conceito de raiz ou zero de um 
polinômio.
Você lembra o que signifi ca um escalar 2 ser raiz de um polinô-
mio f(x)? Na aula passada, introduzimos este conceito e vamos revê-lo 
agora.
DEFINIÇÃO 2
Sejam A um anel e um polinômio f(x) ��A[x]. Dizemos que 2�� A
é uma raiz ou um zero de f(x) em A se f(2) = 0.
Vejamos, a seguir, alguns exemplos.
Exemplo 2
Seja f(x) = x4 – x3 – x + 1 � Z[x], temos que 2 = 1 é uma raiz de 
f(x) em Z, pois
 f(1) = 14 – 13 – 1 + 1 = 0.
 Analogamente, 2 = 1 � Z5 é raiz de f(x) = x3+ 2x2 + 2 � Z5[x], 
pois
 f(1) = (1)3 + 2(1)2 + 2 = 5 = 0,
 observando que as operações são realizadas em Z5.
108 C E D E R J
Álgebra II | Propriedades da divisão de polinômios
Verifi que, agora, na sua próxima atividade, o que curiosamente 
ocorre.
3. Com respeito ao Exemplo 2, aplique o algoritmo da divisão de 
polinômios e verifi que que o polinômio linear p(x) = x – 1 divide 
o polinômio f(x) = x4 – x3 – x + 1.
Esse comportamento de o polinômio linear x – 2 dividir um 
polinômio f(x) sempre que 2 for uma raiz de f(x), e, reciprocamente, 
é uma importante propriedade dos polinômios. Além disso, é também 
conseqüência da propriedade da divisão de polinômios.
PROPOSIÇÃO 2
Sejam A um corpo, f(x) � A[x] um polinômio e 2 � A um escalar. 
Então, existe um polinômio q(x) � A[x] tal que 
 
 f(x) = (x – 2)q(x) + f(2).
Demonstração 
Aplicando o algoritmo da divisão aos polinômios f(x) e g(x) = x 
– 2, temos que existem polinômios q(x), r(x) � A[x] tais que 
f(x) = q(x)(x – 2) + r(x) com gr(r(x)) < gr(x – 2) ou r(x) = 0.
 Como gr(r(x)) < gr(x – 2) = 1, segue que gr(r(x)) = 0, ou seja, 
r(x) é um polinômio constante, digamos, r(x) = a � A. Temos, assim, 
a seguinte igualdade polinomial
 f(x) = q(x)(x – 2) + a.
ATIVIDADE
3
p
o
C E D E R J 109
A
U
LA
 
9
 Substituindo x = 2 na igualdade acima, temos que 
 f(2) = q(2)(2���2) + a
 = 0 + a
 = a. 
Logo, temos que 
 ƒ(x) = (x – 2)q(x) + f(2)
Segue uma importante conseqüência desta proposição.
COROLÁRIO 1 (PROPRIEDADE DO FATOR LINEAR)
Sejam A um corpo, f(x) � A[x] um polinômio e 2 � A um escalar. 
Então 2 é uma raiz de f(x) se e somente se (x – 2) f(x).
Demonstração 
Da igualdade f(x) = (x – 2)q(x) + f(2), temos que 
2 é uma raiz de f(x) ( f(2) = 0 ( f(x) = (x – 2)q(x) ( (x – 2) f(x).
Observação
Veja que na demonstração do Corolário 1, na implicação 
(x – 2) f(x) � f(2) = 0 não é necessário usar o fato de que A é um 
corpo. Portanto, esta parte vale para um anel qualquer. Somente na 
implicação f(2) = 0 � (x – 2) f(x) usamos a propriedade da divisão de 
polinômios, onde é preciso supor que A é um corpo.
Vamos, agora, desenvolver um algoritmo especial para a divisão de 
um polinômio qualquer por um polinômio linear do tipo p(x) = x – 2.
ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI
Sejam um corpo A, f(x) � A[x] um polinômio e 2 � A um escalar. 
Pela Proposição 2, existe um polinômio q(x) � A[x] tal que
 f(x) = (x – 2)q(x) + r, com r = f(2).
110 C E D E R J
Álgebra II | Propriedades da divisão de polinômios
Observando a igualdade polinomial anterior, vemos que se n é 
o grau de f(x), então o grau de q(x) é n – 1. Denotando o polinômio 
f(x) por
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n,
então queremos encontrar os coefi cientes b0, b1, ..., bn–1 � A tais que
 q(x) = b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + ... + bn–1x
n–1.
O algoritmo de Briot-Ruffi ni consiste em obter os coefi cientes 
b0, b1, ... , bn–1 de q(x) em função dos coefi cientes a0, a1, ... , an e do escalar 
2. Nestas condições, veremos que
 bn–1= an
 bn–2 = bn–1 . 2 + an–1
 bn–3 = bn–2 . 2 + an–2
 b1 = b2 . 2 + a2
 b0 = b1 . 2 + a1
 r = b0 . 2 + a0
.
Podemos representar os coefi cientes anteriores por meio do 
seguinte esquema: 
 an an–1 an–2 ... a2 a1 a0 2
 bn–1 bn–2 bn–3 ... b1 b0 r 
Antes de demonstrarmos as fórmulas anteriores, veremos um 
exemplo de como este algoritmo funciona.
Exemplo 3
Vamos obter a divisão do polinômio f(x) = x4 – x3 – x + 1 pelo 
polinômio linear x – 2 � R[x]. Observe que os coefi cientes de f(x) são 
a4 = 1, a3 = –1, a2 = 0, a1 = –1 e a0 = 1, e o escalar 2 = 2. Portanto, 
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A
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9
 o polinômio quociente será da forma f(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0.
O primeiro passo consiste em montar o esquema:
Coefi cientes de f(x) 1 –1 0 –1 1 2
 
Como o coefi ciente b3 = a4 = 1, o segundo passo consiste em 
abaixar o primeiro coefi ciente de f(x) para a linha de baixo, obtendo o 
primeiro coefi ciente de q(x).
 1 –1 0 –1 1 2
 1
 
Pelas igualdades do algoritmos de Briot-Ruffi ni, o próximo 
passo consiste em obter o coefi ciente b2 de q(x), multiplicando o último 
coefi ciente obtido, b3, por 2 = 2 e, depois, somando este produto ao 
coefi ciente a3 de f(x), isto é, b2 = b3 . 2 + a2 . Assim, o próximo coefi ciente 
é b2 = 1 . 2 + (–1) = 1:
 1 – 1 0 –1 1 2
 1 1
Continuando o procedimento, temos que 
 b1 = b2 . 2 + a2
 = 1 . 2 + 0
 = 2.
Representamos isso por:
 1 – 1 0 – 1 1 2
 1 1 2
 
Analogamente,
 b0 = b1 . 2 + a1
 = 2 . 2 + (–1)
 = 3. 
 1 – 1 0 – 1 1 2
 1 1 2 3
112 C E D E R J
Álgebra II | Propriedades da divisão de polinômios
ATIVIDADE
 
E, fi nalmente, o resto é dado por 
 r = b0 . 2 + a0
 = 3 . 2 + 1
 = 7. 
Coefi ciente de f(x) �������1 –1 0 –1 1 2
Coefi ciente de q(x) � 1 1 2 3 7
Lembre, também, que outra forma de encontrar o resto r é pela 
igualdade 
 r = f(2) = 24 – 23 – 2 + 1 = 7.
Portanto, o resultado é
quociente: q(x) = x3 + x2 + 2x + 3 
e
resto: r = 7,
ou seja,
 x4 – x3 – x + 1 = (x3 + x2 + 2x + 3)(x – 2) + 7.
��;
resto
4. Use o algoritmo de Briot-Ruffi ni para verifi car que o polinômio linear 
p(x) = x – 1 divide o polinômio f(x) = x4 – x3 – x + 1. 
Faremos, agora, a demonstração do algoritmo de Briot-Ruffi ni.
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9
 DEMONSTRAÇÃO DO ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI
Lembre que f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n e que queremos 
encontrar um polinômio q(x) = b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + ... + bn – 1x
n – 1 
� A[x] e um resto r � A tal que
 f(x) = q(x)(x – 2) + r.
Lembre, também, que o nosso problema consiste em obter os 
coefi cientes b0, b1, ... , bn – 1 e r em função dos coefi cientes a0, a1 , ... , an 
e de 2.
Como f(x) = q(x)(x – 2) + r, temos
 a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n = (b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + ... + 
bn – 1 x
n – 1)(x – 2) + r
= (r – 2b0) + (b0 – 2b1)x + (b1 – 2b2)x
2 + ... + (bn – 2 – 2bn – 1) x
n – 1 + bn – 1x
n 
e, da igualdade de polinômios, segue que
 
 an = bn – 1
 an – 1 = bn – 2 – 2bn – 1
 an – 2 = bn – 3 – 2bn – 2
 a2 = b1 – 2b2
 a1 = b0 – 2b1
 a0 = r – 2b0.
Invertendo estas equações, obtemos,
 bn – 1 = an
 bn – 2 = bn – 1 . 2�%�an – 1
 bn – 3 = bn – 2 . 2�%�an – 2
 b1 = b2 . 2�%�a 2
 b0 = b1 . 2�%�a 1
 r = b0 . 2�%�a 0.
Estas são as equações desejadas.
114 C E D E R J
Álgebra II | Propriedades da divisão de polinômios
Exemplo 4
Neste exemplo, faremos sucessivas aplicações do algoritmo 
de Briot-Ruffi ni. Observe que 1 e –1 são raízes de f(x) = x4 – 1, pois 
f(1) = 0 e f(-1) = 0. Fazemos, inicialmente, a divisão de x4 – 1 por x – 1 
e, em seguida, por x + 1.
Coefi ciente de f(x) ��������1 0 0 0 – 1 1
Coefi ciente de q1(x) � 1 1 1 1 0
Observe que o primeiro polinômio quociente é q1(x) = x
3 + x2 
+ x + 1. Como q1(–1) = 0, temos que q1(x) é divisível por x + 1. Aplicamos, 
novamente, o algoritmo de Briot-Ruffi ni, dividindo q1(x) por x + 1. Temos, 
coefi cientes de f(x) ���������1 0 0 0 – 1 1
coefi cientes de q1(x) � 1 1 1 1 0 – 1
coefi cientes de q2(x) ���������1 0 1 0
O segundo quociente é q2(x) = x
2 + 1. Assim,
 f(x) = x4 – 1
 = (x3 + x2 + x + 1)(x – 1)
 = (x2 + 1)(x + 1)(x – 1).
ATIVIDADES FINAIS
1. Se dividirmos um polinômio f(x) � R[x] por x – 2, o resto será 13 e se dividirmos 
f(x) por x – 2, o resto será 5. Supondo que r(x) é o resto da divisão de f(x) por 
x2 – 4, calcule r(1).
��;
resto
��;
resto
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9
 2. Sejam A um corpo a, b � A e f(x) � A[x]. Prove que se f(a) = f(b) = 0 e 
a � b, então (x – a)(x – b) | f(x).
R E S U M O
Num corpo A, se f(x) � A[x] for um polinômio e 2 � A, um escalar, então existirá 
um polinômio q(x) � A[x] tal que 
 f(x) = (x – 2)q(x) + f(2), 
isto é, o resto da divisão de f(x) por x – 2 é r = f(2). Como conseqüência, temos 
que f(2) = 0 se, e somente se, x – 2 dividir f(x).
O algoritmo de Briot-Ruffi ni afi rma que para um polinômio f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + 
a3x
3 + ... + anx
n � A[x] e um escalar 2 num corpo A, os coefi cientes do polinômio 
quociente q(x) = b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + ... + bn – 1x
n – 1 � A[x] e o resto r � A, da 
divisão de f(x) por x – 2, isto é, tais que 
 f(x) = q(x)(x – 2) + r,
são dados por 
 bn – 1 = an
 bn – 2 = bn – 1 . 2�+ an – 1
 bn – 3 = bn – 2 . 2�+ an – 2
 b1 = b2 . 2�+ a2
 b0 = b1 . 2�+ a1
 r = b0 . 2�+ a0 .
116 C E D E R J
Álgebra II | Propriedades da divisão de polinômios
Atividade 1
Aplicando o algoritmo da divisão de polinômios, obtemos
 x4 – x3 + 2x2 – x + 1
 x4 – x2
 – x3 + x2 – x + 1
 – x3 – x
 x2 + 1
 x2 + 1
 0
Daí, vemos que o quociente é q(x) = x2 – x + 1 e o resto é o polinômio nulo r(x) = 0.
Atividade 2
Aplicando o algoritmo da divisão de polinômios, agora em Z2[x],
 x4 + x2 + 1
 x4 + x3 + x2
 x3 + 1
 x3 + x2 + x
 x2 + x + 1
 x2 + x + 1
 0
 
Daí, vemos que o quociente é q(x) = x2 – x + 1 e o resto é o polinômio nulo r(x) = 0.
RESPOSTAS COMENTADAS
x2 + 1
x2 – x + 1 
x2 + x + 1
x2 + x + 1
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 Atividade 3
Aplicando o algoritmo da divisão de polinômios, obtemos
 x4 – x3 – x + 1 x – 1
 x4 – x3 x3 – 1
 – x + 1
 – x + 1
 0
Daí, vemos que o resto da divisão é o polinômio nulo e, portanto, x – 1 divide 
f(x) = x4 – x3 – x + 1. Observe que o polinômio quociente é q(x) = x3 – 1.
Atividade 4
Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffi ni, obtemos
 coefi cientes de f(x) �������1 –1 0 –1 1 1
 coefi cientes de q(x) � 1 0 0 –1 0
 
Daí, vemos que o resto da divisão é zero e, portanto, x – 1 divide 
f(x) = x4 – x3 – x + 1. Observe que o polinômio quociente é q(x) = x3 – 1.
Atividade Final 1
Quando dividimos f(x) por x – 2, obtemos resto 13, isto é, f(x) = q1(x)(x
 – 2) + 13. 
Observe que f(2) = 13.
Dividindo f(x) por x + 2, obtemos resto 5, isto é, f(x) = q2(x)(x
 + 2) + 5. Novamente, 
observe que f( – 2) = 5.
Quando dividimosf(x) por x2 – 4, obtemos
 f(x) = q(x)(x2 – 4) + r(x), com gr(r(x)) < 2 ou r(x) = 0.
��;
resto
118 C E D E R J
Álgebra II | Propriedades da divisão de polinômios
Assim, temos r(x) = ax + 0 com a, b � R.
De f(2) = 13, obtemos
 13 = f(2)
 = q(2)(22 – 4) + (a.2 + b)
 = 2a + b,
ou seja, temos 2a + b = 13. 
De f(–2) = 5, obtemos
 5 = f(–2)
 = q(–2)((–2)2 – 4) + (a . (–2) + b)
 = –2a + b,
 ou seja, temos –2a + b = 5. 
Resolvendo o sistema
 2a + b = 13 
 – 2a + b = 5, 
 obtemos a = 2 e b = 9, o que nos dá r(x) = 2x + 9. Portanto, r(1) = 11.
Atividade Final 2
Dividindo o polinômio f(x) por (x – a)(x – b), obtemos
f(x) = q(x)(x – a)(x – b) + r(x), com gr(r(x)) < 2 ou r(x) = 0.
Portanto, temos r(x) = cx + d com c, d � A.
Como f(a) = 0 temos
 0 = f(a)
 = q(a)(a – a)(a – b) + (c . a + d)
 = ac + d,
ou seja, ac + d = 0. 
C E D E R J 119
A
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9
 Como f(b) = 0 temos
 0 = f(b)
 = q(b)(b – a)(b – b) + (c . b + d)
 = bc + d,
ou seja, bc + d = 0. 
Temos, assim, o sistema
 ac + d = 0
 bc + d = 0
Subtraindo bc + d = 0 de ac + d = 0, obtemos
 (ac + d) – (bc + d) = 0 – 0
 ac + bc = 0
 (a – b) . c = 0.
Como A é um corpo e a – b � 0, então resta c = 0. Substituindo esse valor em
ac + d = 0, obtemos d = 0, o que nos dá r(x) = 0, isto é, r(x) é o polinômio nulo. 
Portanto, 
 f(x) = q(x)(x – a)(x – b),
o que signifi ca que (x – a)(x – b) f(x) em A[x].
3OBRE�RAÓZES�DE�POLINÙMIOS
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REQUISITOS�
-ETA�DA�AULA�
!PRESENTAR�ALGUNS�RESULTADOS�IMPORTANTES�SOBRE�AS�
RAÓZES�DE�POLINÙMIOS�
!O�lNAL�DESTA�AULA��VOC�DEVER�SER�CAPAZ�DE�
s�2EALIZAR�UMA�PESQUISA�SOBRE�RAÓZES�DE�POLINÙMIOS�
s�)DENTIlCAR�O�CONCEITO�DE�MULTIPLICIDADE�DE�UMA�RAIZ�
s�)DENTIlCAR�AS�POSSÓVEIS�RAÓZES�RACIONAIS�DE�UM�POLINÙMIO�COM�
COElCIENTES�INTEIROS�
� 6OCÐ�VAI�PRECISAR�DOS�CONHECIMENTOS�SOBRE�ANÏIS�E�
IDEAIS��DESENVOLVIDOS�EM�­LGEBRA�)��E�DOS�CONHECIMENTOS�SOBRE�
OS�POLINÙMIOS�DAS�!ULAS���A���
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­LGEBRA�))��\��3OBRE�RAÓZES�DE�POLINÙMIOS
).42/$5£²/ .AS�AULAS�ANTERIORES�ESTUDAMOS�VÉRIAS�PROPRIEDADES�DA�DIVISÎO�DE�POLINÙMIOS��
5MA�DAS�MAIS�IMPORTANTES�FOI�A�PROPRIEDADE�DO�FATOR�LINEAR��POIS�ELA�FORNECE�
INFORMA ÎO�SOBRE�A�QUANTIDADE�MÉXIMA�DE�RAÓZES�DE�UM�POLINÙMIO��0OR�ISSO��
VAMOS�COME AR�REVENDO�ESTA�PROPRIEDADE�
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11AULA
Pré-requisitos 
Meta da aula 
Apresentar o conceito de polinômios irredutíveis e algumas 
de suas propriedades.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Defi nir o conceito de polinômio irredutível.
• Identifi car polinômios irredutíveis de grau 1, 2 e 3.
• Identifi car certos tipos polinômios irredutíveis de coefi cientes inteiros.
Polinômios irredutíveis
 Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e 
ideais, desenvolvidos em Álgebra I, e dos conhecimentos sobre os 
polinômios estudados nas Aulas 5 a 10.
138 C E D E R J
Álgebra II | Polinômios irredutíveis
INTRODUÇÃO Vamos estudar, nesta aula, o conceito de polinômios que não se decompõem 
como um produto de outros polinômios. Estes são os polinômios irredutíveis. 
Eles são, na teoria dos polinômios, o análogo dos números primos no anel dos 
inteiros Z. Não se esqueça de que os números primos não se decompõem 
como um produto de inteiros positivos diferentes de 1 e dele mesmo; portanto, 
durante o desenvolvimento dos conceitos e das propriedades, lembre-se sempre 
da teoria dos números primos.
DEFINIÇÃO 1
Seja K um corpo, dizemos que f(x)�K[x] é um polinômio 
irredutível sobre K, ou irredutível em K[x], se seus únicos divisores em 
K[x] são os polinômios constantes e os múltiplos constantes dele mesmo, 
ou seja, se g(x) � K[x] é tal que 
 g(x) | f(x) � g(x) = c ou g(x) = d f(x) onde c e d são constantes.
Dizemos que f(x) é redutível em K[x], quando ele não for irredutível, 
ou seja, quando existirem polinômios g(x), h(x) = K(x) tais que
f(x) = g(x)h(x) com gr(g(x)) < gr(h(x)) e gr(f(x)).
Exemplo 1
 Considere o polinômio f(x) = x2 – 2 em Q[x]. Como f(x) 
é um polinômio de grau 2, se ele fosse redutível em Q[x], existiria 
um polinômio linear ax + b em Q[x], tal que (ax + b) | f(x). Como 
o polinômio ax + b tem raiz � Q, então f(x) teria também uma 
raiz racional. Mas, sabemos que as possíveis raízes racionais de f(x) são 
2 e –2. Testando estas possibilidades, vemos que
 f(2) = f(–2) = 2 � 0.
Assim, f(x) não tem raízes racionais; logo, ele não pode ser escrito 
como o produto de dois polinômios de grau 1 em Q[x] e, portanto, é 
irredutível em Q[x].
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C E D E R J 139
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1
1
 
ATIVIDADE
Por outro lado, como 4 2 � R, então f(x) é redutível em R[x], 
pois podemos escrever
 f(x) = x2 – 2 = (x + 2)(x – 2)
 
Logo, f(x) é o produto de dois polinômios de grau um em R[x].
Para compreender melhor o conceito de irredutibilidade de 
polinômios, vamos considerar a seguinte defi nição.
DEFINIÇÃO 2
Dizemos que um corpo B é uma extensão do corpo A se 
A � B. 
Assim,por exemplo, o corpo R dos números reais é uma extensão 
do corpo Q dos números racionais. O corpo C dos números complexos 
é uma extensão tanto de R quanto de Q.
Veja que na Defi nição 1 tratamos de um polinômio irredutível 
sobre K, e não somente de um polinômio irredutível. Isto se deve ao fato 
do um polinômio poder ser irredutível sobre um corpo K, porém redutível 
sobre um corpo L que seja uma extensão de K. No Exemplo 1, vimos 
que f(x) = x2 – 2 é irredutível em Q[x], mas é redutível em R[x].
0
0 0
1. Verifi que se o polinômio f(x) = x2 + 4 é irredutível em Q[x], R[x] 
e C[x].
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140 C E D E R J
Álgebra II | Polinômios irredutíveis
O próximo exemplo mostra que para verifi car se um polinômio 
f(x), de grau três, é irredutível sobre um corpo K basta verifi car se f(x) 
possui raízes em K.
Exemplo 2
Considere o polinômio f(x) = x3 + 3x + 2 � Z5[x]. Vejamos se f(x) 
é irredutível em Z5[x]. Se isso não acontecer, ou seja, se, f(x) for redutível 
em Z5[x], então existe um polinômio g(x) ��Z5[x], de grau dois, e um 
polinômio ax + b � Z5[x], de grau um, tal que 
 
 f(x) = (ax + b)g(x).
Observe que o polinômio linear ax + b � Z5[x] tem uma raiz 
–b . a–1� Z5. Portanto, f(x) é redutível em Z5[x] se, e somente se, f(x) 
possuir uma raiz a � Z5. Verifi cando os valores de f(x) para cada elemento 
de Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, temos
f(0) = (0)3 + 3 . 0 + 2 = 2 � 0;
f(0) = (1)3 + 3 . 1 + 2 = 6 = 1 � 0;
f(2) = (2)3 + 3 . 2 + 2 = 16 = 1 � 0;
f(3) = f(–2) = (–2)3 + 3.(–2) + 2 = –12 = 3 � 0;
f(4) = f(–1) = (–1)3 + 3.(–1) + 2 = –2 = 3 � 0.
 Concluímos, assim, que f(x) = x3 + 3x + 2 não possui raízes em 
Z5[x]. Portanto, f(x) não é redutível em Z5[x], ou seja, f(x) é irredutível 
em Z5[x].
Veja que esses dois exemplos nos fornecem um critério para saber 
se um polinômio f(x), de grau dois ou três, é irredutível sobre um corpo 
K. Basta verifi car se f(x) possui raízes em K. Este critério torna-se prático 
sempre que o corpo K for fi nito e com poucos elementos, ou quando 
pudermos restringir os candidatos a raiz a uns poucos elementos, como 
no caso da propriedade das raízes racionais, vista na Aula 15. Com 
isso podemos caracterizar a irredutibilidade de todos os polinômios de 
graus 1, 2 e 3. Lembre que estamos considerando K um corpo. Mais 
precisamente temos:
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Proposição 1 (Irredutibilidade de polinômios de grau 1, 2 e 3)
Sejam K um corpo e K[x] o anel de polinômios. Então, 
1. Todo polinômio f(x) � K[x], de grau 1, é irredutível em K[x].
2. Seja f(x) � K[x] um polinômio de grau 2 ou 3. Então, f(x) 
é irredutível em K[x] se, e somente se, f(x) não possuir raízes em K. 
Equivalentemente, f(x) é redutível em K[x] se, e somente se, f(x) possuir 
alguma raiz em K.
Demonstração
1. Seja f(x) � K[x] de grau 1. Se f(x) fosse redutível em K[x], 
existiriam polinômios f(x), h(x) � K[x] tais que
f(x) = g(x)h(x) com gr(g(x)) < gr(g(x)) = 1 e gr(h(x)) < gr(f(x)) = 1.
Portanto, teríamos que
 gr(g(x)) = gr(h(x)) = 0,
ou seja, g(x) e h(x) seriam polinômios constantes, o que tornaria 
a igualdade f(x) = g(x)h(x) impossível, já que, de um lado, temos um 
polinômio de grau um e, do outro, teríamos um polinômio de grau 0. 
Assim, concluímos que todo polinômio de grau um é irredutível num 
corpo K. 
2. Seja f(x) � K[x] de grau 2 ou 3.
Suponhamos, primeiramente, que f(x) seja redutível em K[x]. 
Como f(x) tem grau 2 ou então existe um polinômio ax + b � K[x], de 
grau um, e um polinômio g(x) � K[x], também de grau um quando f(x) 
tem grau 2, ou de grau 2 quando f(x) tem grau 3, tal que 
 f(x) = (ax + b)g(x).
Veja que o polinômio linear ax + b � K[x] tem uma raiz 
–b . a–1 � K. Como (ax + b) | f(x), concluímos que –b . a–1 � K também 
é raiz de f(x). Observe que, neste passo, é fundamental que K seja um 
corpo 
142 C E D E R J
Álgebra II | Polinômios irredutíveis
(�) Vamos supor, agora, que f(x) possua uma raiz 2 �� K. 
Então, pela propriedade do fator linear, vista na Aula 15, teremos que 
(x – 2) | f(x). Logo, existe g(x) ��K[x] tal que
f(x) = (x – 2)g(x) com g(x – 2) = 1 < gr(f(x)) e gr(f(x)) = 1 ou 2 
< gr(f(x)).
Portanto, f(x) é redutível em K[x].
Na verdade, podemos generalizar um pouco a parte (�) da 
demonstração anterior. Tente você provar esta generalização na 
próxima atividade.
ATIVIDADE
2. Prove que se f(x) ��K[x] for um polinômio de grau maior que 
um e tiver uma raiz em K, então f(x) é redutível em K[x]. Ou, 
equivalentemente, se é irredutível em K[x], então f(x) não possui 
raízes em K.
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___________________________________________________________
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Observação
A recíproca do resultado da atividade é falsa, ou seja, é falso em geral 
que se f(x) é redutível em K[x], então f(x) tem uma raiz em K. Um contra-
exemplo pode ser dado pelo polinômio f(x) = x4 – 4 � Q[x]. Como 
 
 f(x) = x4 – 4 = (x2 – 2)(x2 + 2),
 
então f(x) é redutível em Q[x] e, no entanto, as raízes de f(x) não 
são racionais, pois 4 2, 4� 2i � Q. 0 0
C E D E R J 143
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Exemplo 3
Verifi que se o polinômio f(x) = x3 – 4 é irredutível em Q[x], Q[x] 
e C[x]. Veja que na busca por raízes reais, temos que 
 
 f(x) = 0 ( x3 = 2 ( x = 2.
Portanto, 2 é a única raiz real de f(x) = x3 – 2. Como 
 2 � Q, então, pela Proposição 1.2, segue que f(x) = x3 – 2 é irredutível em 
Q[x]. No entanto, como 2 ��R � C, então segue que é redutível em R[x] 
e em C[x]. Aliás, você lembra como se prova que 2 � Q?
Exemplo 4
Vamos determinar todos os polinômios irredutíveis de grau 2 em 
Z2[x]. Estes polinômios são da forma
 x2 + ax + b com a, b � Z2.
Como Z2 = {0, 1} só tem dois elementos, podemos escrever todos 
estes polinômios:
 x2, x2 + x, x2 + 1 e x2 + x + 1.
Isto é, só existem 4 polinômios de grau 2 em Z2[x]. Destes, o único 
que não possui raiz em Z2 é x
2 + x + 1. Assim, x2 + x + 1 é o único 
polinômio irredutível de grau 2 em Z2[x].
Antes de enunciar a sua próxima atividade, lembremos o que é 
um polinômio mônico. Dizemos que o polinômio
 f(x) = anx
n + an – 1 x
 n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0
é mônico se seu coefi ciente líder for igual 1, isto é, se an = 1, ou 
seja, se
 f(x) = xn + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0.
Agora sim, convidamos a resolver a sua terceira atividade; uma dica 
que damos para você é usar um argumento similar ao usado no Exemplo 4.
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144 C E D E R J
Álgebra II | Polinômios irredutíveis
ATIVIDADE
3. Determine todos os polinômios mônicos irredutíveis de 
grau 2 em Z3[x]. 
____________________________________________________
____________________________________________________
_____________________________________________________
__________________________________________________
Antes de continuar com a nossa teoria, vejamos mais um 
exemplo:
Exemplo 5
Vamos determinar se o polinômio g(x) = x4 – 6x2 + 8 � Q[x] é 
irredutível ou não em Q[x].
Vejamos, primeiramente, se ele tem raízes racionais. Sabemos que 
as possíveis raízes racionais de g(x) são {41, 42, 44, 48}. Verifi camos 
rapidamente que g(–1) � 0, e g(2) = g(–2) = 0. Isto é, 2 e –2 são raízes de 
g(x). Assim, em particular, g(x)é redutível em Q[x]. Agora, aplicando 
duas vezes Briot-Ruffi ni, temos
 1 0 –6 0 8 2
 1 2 –2 –4 0 –2
 1 0 –2 0
o que nos dá
 g(x) = x4 – 6x2 + 8
 = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2).
Assim, escrevemos g(x) como um produto de polinômios 
irredutíveis em Q[x]. Veremos, mais adiante, que isto é um fato geral 
no anel de polinômios K[x].
Vamos continuar procurando critérios para decidir sobre a 
irredutibilidade de polinômios. O seguinte critério é muito útil para 
determinar se certos polinômios com coefi cientes inteiros são irredutíveis 
sobre Q. 
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1
 
Proposição 6 (Critério de Irredutibilidade de Eisenstein)
Sejam f(x) = anx
n + an–1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 � Z[x] e um número 
primo p tal que p divide cada coefi ciente ai , para i = 1, 2, 3, ..., n – 1; 
p não divide an e p
2 não divide a0. Então f(x) é irredutível em Q[x].
Antes de dar alguns exemplos onde mostraremos a utilidade deste 
critério, achamos pertinente fazer algumas observações.
O Critério de Einsenstein diz que se os coefi cientes de um polinômio 
f(x) � Z[x] satisfazem certas condições para um primo p, então ele não 
pode ser escrito como o produto de dois polinômios em Q[x], com grau 
menor que o grau de f(x). Podemos usar este critério no caso de o polinômio 
f(x) ter coefi cientes racionais. Para isso, observe que se 
 f(x) = anx
n + an – 1x 
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 � Q[x],
então podemos achar um inteiro d e um polinômio g(x) � Z[x] 
tais que 
 d . f(x) = g(x) com gr(g(x)) = gr(f(x)).
Podemos, então, aplicar o critério de Einsenstein aos coefi cientes de 
g(x). E, obviamente, se g(x) for irredutível em Q[x], então f(x) também será 
irredutível em Q[x]. O seguinte exemplo mostra a utilidade deste critério.
Exemplo 6
Vejamos que o polinômio f(x) = x4 + 4x – 2 é irredutível sobre 
Q. De fato, tomando o primo 2, vemos que 2 não divide o coefi ciente 
a4 = 1, divide os coefi cientes a3 = 0, a2 = 0, a1 = 4 e a0 = –2, mas 2
2 = 4 não 
divide o coefi ciente a0 = –2. Portanto, pelo critério de Eisenstein, temos que 
f(x) é irredutível em f(x) em Q[x]. Em particular, f(x) não tem raiz racional. 
Observe que a aplicação do critério independe do grau do polinômio f(x).
O próximo exemplo mostra que, em caso de não existir um primo 
p satisfazendo as condições do critério, então não podemos concluir nada 
a respeito da irredutibilidade f(x).
146 C E D E R J
Álgebra II | Polinômios irredutíveis
Exemplo 7
O polinômio f(x) = x2 + 1 é irredutível em Q[x] e não existe 
nenhum inteiro primo p satisfazendo as condições do critério. Por outro 
lado, o polinômio f(x) = x2 – 1 é redutível em Q[x] e também não existe 
um primo p que satisfaça as condições do critério.
Você deve lembrar que no início da aula dissemos que os 
polinômios irredutíveis num corpo K tem um comportamento análogo 
aos números primos p no anel dos inteiros Z. Uma das propriedades 
mais importantes dos números primos diz que qualquer inteiro positivo 
n pode ser escrito como um produto de números primos. Pois bem, uma 
propriedade análoga também vale no anel K[x]. 
Teorema 1
Sejam K um corpo e f(x) � K[x] um polinômio não constante, 
então existem polinômios irredutíveis, P1(x), P2(x), ... , Pn(x), em K[x] 
tais que
 f(x) = P1(x) . P2(x)... Pn(x).
Esta igualdade é conhecida como a Decomposição de f(x) em 
polinômios irredutíveis.
Exemplo 8
Vamos expressar os seguintes polinômios como um produto de 
irredutíveis em K[x].
1. f(x) = x4 – 4 = (x2 – 2)(x2 + 2) em Q[x].
2. f(x) = x4 – 4 = (x2 – 2)(x2 + 2) = (x – 2)(x2 + 2) em R[x].
3. f(x) = x4 – 4 = (x2 – 2)(x2 + 2) = (x – 2)(x2 + 2)(x2 – 2)
= (x – 2)(x – 2)(x – 2i)(x + 2i) em C[x].
Para fi nalizar esta aula, convidamos você a realizar as seguintes 
atividades fi nais.
0
0 0
0 0 0
0 0
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1
 
ATIVIDADES FINAIS
1. Determine todos os polinômios irredutíveis de grau 3 em Z2[x].
2. Mostre que f(x) = x5 – 9x3 + 9x – 6 é irredutível em Q[x].
3. Escreva o polinômio f(x) = x5 + x4 + x2 – 1 como um produto de polinômios 
irredutíveis em Z2[x].
R E S U M O
Nesta aula, vimos que f(x) � K[x] é um polinômio irredutível sobre K, ou irredutível 
em K[x], se seus únicos divisores em K[x] forem os polinômios constantes e os 
múltiplos constantes dele mesmo, ou seja, se
 g(x) | f(x) com g(x) � K[x] ��g(x) = c constante ou g(x) = c f(x).
Dizemos que f(x) é redutível em K[x] quando ele não for irredutível, ou seja, 
quando existirem polinômios g(x), g(x) � K[x] tais que
 f(x) = g(x)h(x) com gr(g(x)) < gr(f(x)) e gr(h(x)) < gr(f(x)).
148 C E D E R J
Álgebra II | Polinômios irredutíveis
Atividade 1
Como
 f(x) = x2 + 4
 = (x – 2i)(x + 2i),
então as raízes de f(x) são 4�2i. Como 4�2i � R e, portanto, 4�2i � Q, então segue 
que f(x) é irredutível em Q[x] e R[x]. Como mostra a decomposição anterior, f(x) 
é redutível em C[x].
Vimos que quando o grau do polinômio é 1, 2 ou 3, determinar a irredutibilidade 
de um polinômio é bastante fácil. Mais precisamente, temos que:
1. Todo polinômio f(x) � K[x], de grau 1, é irredutível em K[x].
2. Se f(x) � K[x] tem grau 2 ou 3, então f(x) será irredutível em K[x] se, e somente 
se, f(x) não possuir raízes em K ou, equivalentemente, f(x) será redutível em K[x] 
se, e somente se, f(x) possuir alguma raiz em K.
Depois, apresentamos um critério para estudar a irredutibilidade de certos 
polinômios com coefi cientes racionais. É o chamado Critério de Eisenstein, que 
diz que se
 f(x) = anx
n + an – 1x 
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 � Z[x]
e existe um número primo p tal que p divide cada coefi ciente ai , para i = 1, 2, 3, 
..., n – 1, p não divide an e p
2 não divide a0, então f(x) é irredutível em Q[x].
Finalmente, apresentamos um resultado que afi rma que qualquer polinômio não 
constante com coefi cientes num corpo K pode ser escrito como um produto de 
polinômios irredutíveis.
RESPOSTAS COMENTADAS
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Atividade 2
Vamos supor que f(x) possui uma raiz 2 � Z e que gr(f(x)) = n > 1. Então, pela 
propriedade do fator linear, vista na Aula 10, temos que (x – 2) | f(x). Logo, existe 
g(x) � K[x], polinômio não constante, tal que
f(x) = (x – 2)g(x) com gr(x – 2) = > 1 n = gr(f(x)) e gr(g(x)) = n – 1 < n = gr(f(x)).
Portanto, f(x) é redutível em K[x].
Atividade 3
Estes polinômios são da forma
 x2 + ax + b com a, b � Z3.
Como Z3 = {0, 1, 2} só tem três elementos, podemos escrever todos estes 
polinômios:
x2, x2 + x, x2 + 1, x2 + 2x, x2 + 2, x2 + x + 1, x2 + 2x + 1, x2 + x + 2 e x2 + 2x + 2.
Destes, você pode verifi car que x2 + 1, x2 + x, 2 e x2 + 2x + 2 não possuem raiz 
em Z3. Logo, estes são os polinômios mônicos irredutíveis de grau 2 em Z3[x].
Atividade Final 1
Vamos determinar todos os polinômios irredutíveis de grau 3 em Z2[x]. Estes 
polinômios são da forma
 x3 + ax2 + bx + x2 com a, b, c � Z2.
Como Z2 = {0, 1} só tem dois elementos, podemos escrever todos estes 
polinômios:
x3, x3 + x2, x3 + x, x3 + 1, x3 + x2 + x, x3 + x2 + 1, x3 + x + 1, e x3 + x2 + x + 1.
Isto é, existem 8 polinômios de grau 3 em Z2[x]. Destes, os únicos que não possuem 
raiz em Z2 são x
3 + x2 + 1 e x3 + x + 1. Assim, x3 + x2 + 1 e x3 + x + 1 são os únicos 
polinômios irredutíveis de grau 3 em Z2[x].
150 C E D E R J
Álgebra II | Polinômios irredutíveis
Atividade Final 2
O primo 3 divide os coefi cientes a4 = 0, a3 = –9, a1 = 9, e a3 = –6, mas3
2 = 9 não divide 
o coefi ciente a0 = –6. Portanto, pelo critério de Eisenstein, segue a irredutibilidade 
de f(x) em Q[x]. Em particular, f(x) não tem raiz racional.
Atividade Final 3
Como f(1) = f(1) + (1) + (1) + 1 = 4 = 0, então (x – 1) | f(x). Aplicando Briot-Ruffi ni, 
temos
 1 1 0 1 0 1 1
 1 0 0 1 1 0
o que signifi ca que 
 f(x) = x5 + x4 + x2 + 1
 = (x – 1)( x4 + x + 1)
Denotando g(x) = x4 + x + x2 + 1, temos
 g(0) = (0) + 0 + 1 = 1 � 0 e g(1) = (1)4 + 1 + 1 = 3 = 1 � 0,
portanto, não existe polinômio linear que divida g(x). Assim, se g(x) for redutível 
em Z2[x], então a decomposição será da forma
 g(x) = x4 + x + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1).
Desenvolvendo o produto da direita, temos
 x4 + x + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1)
 = x4 + (a + b)x3 + (ab + 1 + 1)x2 + (a + b)x + 1
 = x4 + (a + b)x3 + (ab + 0)x2 + (a + b)x + 1
 = x4 + (a + b)x3 + abx2 + (a + b)x + 1,
 
e, igualando os coefi cientes, temos
 a + b = 0
 ab = 0
 a + b = 1
#
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De a + b = 0 e a + b = 1, temos uma contradição. Logo, concluímos que g(x) 
é irredutível em Z2[x] e, portanto, a decomposição de f(x) em um produto de 
polinômios irredutíveis em Z2[x] é dada por
 f(x) = x5 + x4 + x2 + 1 
 = (x – 1)(x4 + x + 1).
ob
jet
ivo
s
12 AULA
Pré-requisito 
Meta da aula 
Introdução aos grupos
Apresentar o conceito de grupo.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Identifi car as propriedades que caracterizam um grupo.
• Apresentar exemplos de grupos.
• Aplicar os axiomas de grupo para justifi car a unicidade 
de alguns de seus elementos.
Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis 
e ideais, desenvolvidos em Álgebra I.
154 C E D E R J
Álgebra II | Introdução ao grupos
INTRODUÇÃO Em Álgebra I e até a Aula 11, estudamos diversos aspectos da estrutura algébrica 
chamada de anel, mais particularmente, dos anéis comutativos e com unidade. 
Você deve se lembrar de que desenvolvemos o conceito de anel querendo 
generalizar o anel dos números inteiros e, assim, generalizamos muitas das suas 
propriedades algébricas. Vimos que a noção de anel nos permitiu desenvolver 
de uma forma muito elegante a teoria dos polinômios.
A teoria dos anéis pressupõe a ação de duas operações binárias, num conjunto 
não-vazio A, satisfazendo uma certa quantidade de axiomas. Vamos, agora, 
estudar a ação de apenas uma operação binária, sobre um conjunto não-vazio 
G, satisfazendo alguns daqueles axiomas. Esta nova estrutura algébrica é o que 
chamaremos de grupo. A estrutura de grupo é matematicamente relevante, 
porque ela aparece com muita freqüência em muitas áreas da Matemática e 
na natureza.
Nesta aula vamos, inicialmente, estabelecer os conceitos iniciais de grupos e, 
em seguida, estudar uma quantidade de exemplos.
DEFINIÇÃO 1 (DEFINIÇÃO DE GRUPO)
Um grupo é um conjunto não-vazio G, munido de uma operação 
binária (denotada, geralmente, por . ou +) que satisfaz os seguintes 
axiomas:
G1. A operação é associativa: (a . b) . c = a . (b . c), para todo 
a, b, c � G;
G2. A operação tem um elemento neutro: existe um elemento 
e � G, tal que a . e = e . a = a, para todo a � G;
G3. Todo elemento de G possui um elemento inverso: para todo 
a � G, existe um a' � G, tal que, a . a' = a' . a = e.
Observações
1. Observe que ao exigir que a operação . seja uma operação 
binária em G, já estamos exigindo que ela seja fechada em G, isto é, 
dados a, b � G, então a . b � C. 
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2. O elemento neutro é único: se e' � G é tal que a . e' = e' . a = a, 
então e' = e. Pois,
 e' = e . e'; usando que e é um elemento neutro.
 = e; usando que e' é um elemento neutro.
O elemento neutro do grupo também é, muitas vezes, denotado 
por eG , quando queremos ressaltar o grupo G; por 1 ou 1G, quando a 
operação é uma multiplicação; e por 0 ou 0G, quando a operação é uma 
adição. Nesse último caso, é costume denotar a operação por +.
3. O elemento inverso é único: dado a � G, seja a"� G, tal que 
a . a"= a". a = e, então a" = a'. Pois,
a"= e . a"; usando que e é um elemento neutro.
 = (a' . a) . a"; usando que a' é um elemento inverso de a.
 = a' . (a . a"); usando que a operação é associativa.
 = a' . e; usando que a" é um elemento inverso de a
 = a'; usando que e é o elemento neutro.
Como o elemento inverso é único, podemos denotá-lo por a–1. 
Daí, temos a . a–1 = a–1 . a = e.
4. Denotamos um grupo por (G, .) ou (G, +), dependendo de 
como consideramos a operação, uma multiplicação ou uma adição. 
Quando a operação estiver clara no contexto, então denotaremos o 
grupo simplesmente por G. Também, muitas vezes, denotamos o produto 
a . b simplesmente por ab.
Veja dois exemplos iniciais.
Exemplo 1
Seja (Z, +, .) o anel dos números inteiros. Então, dos axiomas 
satisfeitos pela operação de adição, temos que (Z, +) é um grupo. 
O elemento neutro é 0 e o inverso aditivo de a � Z é o elemento 
simétrico – a.
156 C E D E R J
Álgebra II | Introdução ao grupos
Exemplo 2
Seja (Zn, +, .) o anel das classes residuais módulo n. Então, dos 
axiomas satisfeitos pela operação de adição das classes residuais, temos 
que (Zn, +) é um grupo. O elemento neutro é 0 e o inverso aditivo de é 
a � Zn é o elemento simétrico – a.
Vejamos duas propriedades básicas de grupos.
Proposição 1 
Sejam G um grupo e a, b, c � G.
1. A equação a . x = b admite uma única solução em G, a saber, 
 x = a–1 . b.
2. (a . b)–1 = b–1 . a–1.
3. (Lei do Cancelamento) Se a . b = a . c, então b = c.
Se b . a = c . a, então b = c.
Demonstração
1. Observe, inicialmente, que x = a–1 . b é uma solução de 
a . x = b, pois
 a . x = a . (a–1 . b); pela defi nição de x
 = (a . a–1) . b; pelo axioma G1
 = e . b; pelo axioma G3
 = b; pelo axioma G2
 
Agora, a solução é única, pois dada qualquer solução y � G, 
temos
a . y = b � a–1 . (a . y) = a–1 . b; multiplicando por a–1
 � (a–1 . a) . y = a–1 . b; pelo axioma G1
 � e . y = a –1 . b; pelo axioma G3
 � y = a–1 . b; pelo axioma G2
 
2. Observe que b–1. a–1 satisfaz o axioma do elemento inverso 
para a . b:
(a . b) . (b–1 . a–1) = a . (b . b–1) . a–1; pelo axioma G1
 = a . e . a–1; pelo axioma G3
 = (a . e) . a–1; pelo axioma G1
 = a . a–1; pelo axioma G2
 = e; pelo axioma G3.
 
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ATIVIDADE
ATIVIDADE
Faça, como sua primeira atividade desta aula, a demonstração de 
(b–1 . a–1) . (a . b) = e.
1. Prove que (b–1 . a–1) . (a . b) = e, justifi cando cada igualdade 
usada.
________________________________________________________
________________________________________________________
_________________________________________________________
Assim, provamos que (a . b) . (b–1. a–1) = (b–1. a–1) . (a . b) = e. Logo, 
pela unicidade do elemento inverso, temos que (a . b)–1 = b–1 . a–1.
3. Temos 
 b = e . b; pelo axioma G2
 = (a–1. a) . b; pelo axioma G3
 = a–1 . (a . b); pelo axioma G1
 = a–1 . (a . c); pela hipótese
 = (a–1 . a) . c; pelo axioma G1
 = e . c; pelo axioma G3
 = c; pelo axioma G2.
 
Portanto, provamos que b = c.
2. Prove a segunda parte da lei do cancelamento, ou seja, prove 
que se b . a = c . a, então b = c.
________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
158 C E D E R J
Álgebra II | Introdução ao grupos
ATIVIDADE
Vamos ver, agora, duas defi nições muito importantes.
DEFINIÇÃO 2 (GRUPO ABELIANO)
Um grupo G é chamado de grupo abeliano (ou, grupo comutativo) 
se a . b = b . a para todo a, b � G.
Observe que se G é um grupo abeliano, então (a . b)–1 = a–1 . b–1. 
Prove isso como sua próxima atividade.
3. Prove que se G é um grupo abeliano, então (a . b)–1 = a–1 . b–1.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
_____________________________________________________________
DEFINIÇÃO 3 (GRUPO FINITO)
Um grupo G é chamado de grupo fi nito, quando G contiver um 
número fi nito de elementos. Neste caso, a ordem de G|, denotada por 
|G|, é o número de elementos de G. Quando G não é um grupo fi nito, 
dizemos que G é um grupo de ordem infi nita, ou seja, isto ocorre quando 
o grupo G contém infi nitos elementos.
Vamos aos exemplos.
Exemplo 3
 Como a operação de adição dos números inteiros é comutativa, 
então (Z, +) é um grupo abeliano. Veja que (Z, +) é um grupo de ordem 
infi nita, pois Z contém uma quantidade infi nita de elementos.
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ATIVIDADE
Exemplo 4
Como a operação de adição das classes residuais módulo n é 
comutativa, então (Zn, +) é um grupo abeliano. Veja que (Zn, +) é um grupo 
fi nito, pois Zn = {0, 1,..., n – 1} contém uma quantidade fi nita de elementos, 
a saber, (Zn, +) é um grupo de ordem n. Denotamos isso por | Zn | = n.
Exemplo 5
Observe que (Z, .) o conjunto dos números inteiros munido da 
operação de multiplicação não forma um grupo, pois o axioma G3, do 
elemento inverso, não é satisfeito. Por exemplo, o número inteiro 2 não 
possui inverso multiplicativo, isto é, não existe inteiro a tal que 2 . a = 1.
4. Prove que (Q, +) o conjunto dos números racionais munido da 
operação de adição é um grupo abeliano de ordem infi nita.
Exemplo 6
De um modo geral, se (A, +, .) é um anel, então (A, +) é um grupo 
abeliano. A correspondência entre os axiomas de anel e os de grupo é 
como segue:
A1 > G1
A3 > G2
A4 > G3
A2 > Condição de grupo abeliano
160 C E D E R J
Álgebra II | Introdução ao grupos
No entanto, em geral, (A, .) não é um grupo. E se A* = A – {0A}, 
mesmo (A*, .), em geral, não é um grupo. Como mostra o Exemplo 5, 
(Z, .) e (Z*, .) não são grupos, pois o axioma G3 não é satisfeito.
Exemplo 7
Temos que (Q*, .), o conjunto dos números racionais não-nulos 
munido da operação de multiplicação, é um grupo abeliano de ordem 
infi nita. Pois, como (Q, +, .) é um corpo, então, dos axiomas satisfeitos 
pela operação de multiplicação, temos que (Q*, .) é um grupo abeliano. 
O elemento neutro é 1 e o elemento inverso de � Q* é o elemento 
 � Q*. Como Q* é um conjunto infi nito, segue que (Q, .) é um grupo 
de ordem infi nita.
Exemplo 8
De um modo geral, se (A, +, .) é um corpo e A* = A – {0A}, então 
(A*, .) é um grupo abeliano. A correspondência entre os axiomas de anel 
e os de grupo é como segue:
A5 > G1
A7 > G2 (Veja que, e = 1A.)
Condição de corpo (todo elemento não-nulo é invertível) > G3
A6 > Condição de grupo abeliano
Observe que, mesmo que (A, +, .) seja um corpo, (A, .) não é um 
grupo. Pois, como 0A � A, então
 
 0A . 1A = 0A � 1A
e, portanto, o axioma G2 não é satisfeito.
Exemplo 9
Dado o anel (Zn, +, .), seja Z
×
n = {a ��Zn | mdc(a, n) = 1}. Então, 
(Z×n, .) é um grupo abeliano de ordem fi nita. Vamos verifi car os 
axiomas.
a
bb
a
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G1. Como (Zn, +, .) é anel, então já sabemos que a operação de 
multiplicação de classes residuais é associativa.
G2. Como 1 � Z×n, esse é o elemento neutro: a . 1 = 1 . a = a.
G3. Sabemos, da Álgebra I, que a � Zn é um elemento invertível 
se, e somente se, mdc(a, n) = 1. Portanto, todo elemento a � Zn é 
invertível.
Grupo abeliano: como a operação de multiplicação de classes 
residuais é comutativa, segue que (Z×n, .) é um grupo abeliano.
Grupo fi nito: Como Zn é um conjunto fi nito, então Z
×
n também 
é. Logo, ( Z×n, .) é um grupo fi nito.
Exemplo 10
Se p for um número primo então Z×p = {a � Zp | mdc(a, p) = 1} 
= {1,..., p – 1}. Portanto, (Z×p, .) é um grupo abeliano fi nito de ordem 
|Z×p| = p – 1.
Observação
Vamos desenvolver a notação clássica para as potências de 
a � G, onde G é um grupo. Temos:
a0 = e, o elemento neutro de G,
an = a . an–1 = an–1. a, n inteiro e n 1 1;
a–n = (a–1)n, n inteiro e n 1 1.
Nestas condições, vale que
 am+n = am . an
e
 amn = (am)n, para todos os inteiros m e n.
162 C E D E R J
Álgebra II | Introdução ao grupos
ATIVIDADES FINAIS
1. Seja G um grupo. Prove que a equação x . a = b admite uma única solução em 
G, a saber, x = b . a–1.
2. Seja G um grupo. Dado a � G, prove que (a–1)–1 = a.
R E S U M O
Nesta aula vimos a importantíssima noção de grupo. Vimos que se G for um 
conjunto não-vazio munido de uma operação binária . , então (G, .) será um 
grupo se os três axiomas:
G1. A operação for associativa: (a . b) . c = a . (b . c), para todo a, b, c � G;
G2. A operação tiver um elemento neutro: existe um elemento e � G, tal que 
a . e = e . a = a, para todo a � G;
G3. Todo elemento de G possuir um elemento inverso: para todo a � G, existe 
um a' � G, tal que, a . a' = a' . a = e.
O grupo G é abeliano se a . b = b . a para todo a, b � G. E, também, o grupo G 
é fi nito se G for um conjunto fi nito.
Vimos, também, muitos exemplos e algumas propriedades iniciais sobre os grupos.
C E D E R J 163
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1
2
 
Atividade 1
Temos que
(b–1 . a–1) . (a . b) = b–1 . (a–1 . a) . b; pelo axioma G1
 = b–1. e . b; pelo axioma G3
 = (b–1 . e) . b; pelo axioma G1
 = b–1 . b; pelo axioma G2
 = e; pelo axioma G3.
Atividade 2
Temos
 b = b . e; pelo axioma G2
 = b . (a . a–1); pelo axioma G3
 = (b . a) . a–1; pelo axioma G1
 = (c . a) . a–1; pelo hipótese
 = c . (a . a–1); pelo axioma G1
 = c . e; pelo axioma G3
 = c ; pelo axioma G2.
Portanto, provamos que b = c.
Atividade 3
Basta observar que
 (b . a)–1 = b–1 . a–1 ; pela proposição 1.2
 = a–1 . b–1 ; pela comutatividade da operação.
 
Atividade 4
Como (Q, +, .) é um anel, então, dos axiomas satisfeitos pela operação de adição, 
temos que (Q, +) é um grupo abeliano. O elemento neutro é 0 e o inverso aditivo 
de � Q é o elemento simétrico � Q. Como Q é um conjunto infi nito, segue 
que (Q, +) é um grupo de ordem infi nita.
RESPOSTAS COMENTADAS
–a
b
a
b
164 C E D E R J
Álgebra II | Introdução ao grupos
Atividade Final 1 
Observe, inicialmente, que x = b . a–1 é uma solução de x . a = b, pois
 x . a = (b . a–1). a; pela defi nição de x
 = b . (a–1 . a); pelo axioma G1
 = b . e; pelo axiona G3
 = b; pelo axioma G2.
Agora, a solução é única, pois dada qualquer solução y � G, temos
 y . a = b � (y . a) . a–1 = b . a–1; multiplicando por a–1
 � y . (a . a–1) = b . a–1; pelo axioma G1
 � y . e = b . a–1; pelo axioma G3
 � y = b . a–1; pelo axioma G2.
Atividade Final 2 
Da equação a . a–1 = a–1 . a = e, segue que o elemento a faz o papel de um elemento 
inverso de a–1. Logo, pela unicidade do elemento inverso, segue que (a–1)–1 = a.
Pré-requisitos 
Você vai precisar dos conhecimentos 
desenvolvidos em Álgebra I ena Aula 12.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Apresentar exemplos importantes 
de grupos.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Identifi car as propriedades que caracterizam 
um grupo.
• Reconhecer exemplos importantes de grupos.
Mais exemplos de grupos 13AULA
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
166 C E D E R J
O conceito de grupo se tornou tão importante na Matemática devido à 
identifi cação dessa estrutura algébrica em tantas áreas diferentes da própria 
Matemática e de outras ciências. Nesta aula, vamos estudar exemplos 
importantes de grupos vindos de diferentes áreas da Matemática. 
Vamos iniciar retomando um exemplo da aula anterior que ressalta o 
conceito de tabela de multiplicação de um grupo. A tabela de multiplicação 
explicita todos os produtos de dois elementos do grupo e, portanto, defi ne 
completamente a operação do grupo.
Exemplo 1
Considere Z5 = {a � Z5 | mdc(a,5) =1} = {1, 2, 3, 4}. Vimos, na 
aula anterior, que (Z5, .) é um grupo abeliano fi nito de ordem 4. Sua 
tabela de multiplicação é dada pelo esquema a seguir:
INTRODUÇÃO
x
Contamos as linhas a partir da primeira linha abaixo do símbolo ? 
e contamos as colunas a partir da primeira coluna à direita de ?. Assim, 
o elemento situado na segunda linha e na terceira coluna é o valor 1, 
que representa o produto 2 . 3. Portanto, a leitura que fazemos é 2 . 3 = 1. 
Da terceira linha e quarta coluna, temos 3 . 4 = 2.
Exemplo 2
Considere Z8 = {a � Z8 | mdc(a, 8) = 1} = {1, 3, 5, 7}. Sabemos que 
(Z8, .) é um grupo abeliano fi nito de ordem 4. Sua tabela de multiplicação 
é dada pelo esquema abaixo:
Observe neste exemplo, curiosamente, que todo elemento é o seu 
próprio inverso: 1 . 1 = 1, 3 . 3 = 1, 5 . 5 = 1 e 7 . 7 = 1.
x x
x
?
1
3
5
7
1
1
3
5
7
3
3
1
7
5
5
5
7
1
3
7
7
5
3
1
x
?
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
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3
3
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2
1
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Exemplo 3
O grupo das permutações de 3 elementos: S3. Denotamos por S3 
o conjunto de todas as bijeções de {1, 2, 3}, ou seja, 
S3 = {@:{1, 2, 3} � {1, 2, 3}| @ é uma bijeção}.
Lembre-se de que uma permutação de um conjunto é, exatamente, 
uma bijeção desse conjunto. Assim, cada bijeção @:{1, 2, 3} � {1, 2, 3} 
representa uma permutação de {1, 2, 3}. Por exemplo, uma destas 
permutações tem como valores: @(1) = 2, @(2) = 3 e @(3) = 1. É usual, 
em Álgebra, representar uma permutação da seguinte forma:
@ = 
1
@(1)
2
@(2)
<
@�<�
 .
Assim, a permutação cujos valores são @(1) = 2, @(2) = 3 e @(3) = 1 
é representada por 
@ = 
1 2 3
2 3 1
 .
A operação que consideraremos em S3 é a composição de funções. 
Como a composição de duas bijeções é uma nova bijeção, essa operação 
está bem defi nida em S3. Lembre que composição de funções é defi nida da 
seguinte forma: dadas duas bijeções de S3, @, A � S3, então a composição 
@ � A: {1, 2, 3} � {1, 2, 3} é defi nida por
@ � A(i) = @ � (A(i)) para i = 1, 2, 3. 
Geralmente, denotamos @ � A simplesmente por @A e chamamos 
esta operação de uma multiplicação em S3. Dizemos que @A é o produto 
de @ por A. Por exemplo, dadas as permutações
@�= 
1 2 3
2 3 1
 e A = 
1 2 3
1 3 2
 ;
então, o produto @A é dado por
@A�= 
1 2 3
2 3 1
 
1 2 3
1 3 2
 = 
1 2 3
2 1 3
 .
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
168 C E D E R J
Caso você não tenha compreendido o resultado fi nal, lembre-
se de que, como a operação é a composição de funções, ela deve ser 
realizada da direita para a esquerda. Por exemplo, da permutação 
A temos: A:1�1 e, da permutação @ temos: @:1�2. Portanto, para a 
permutação @A temos: @A:1�1�2, ou seja, @A:1�2. Assim, o cálculo 
completo de @A�é dado por:
@A:1�1�2;
@A:2�3�1;
@A:3�2�3;
o que nos dá o resultado fi nal
@A = 
1 2 3
2 1 3
 .
1. Faça o produto inverso A@ para as permutações anteriores
@ = 
1 2 3
2 3 1
 e A = 
1 2 3
1 3 2
 .
ATIVIDADE
Você deve ter obtido o seguinte resultado:
A@ = 
1 2 3
3 2 1
 .
Observe que 
A@ = 
1 2 3
3 2 1
 ��
1 2 3
2 1 3
 = @A,
portanto, esta operação de multiplicação em S3 não é comutativa. 
O elemento neutro da operação de composição de funções é a 
função identidade. Neste caso, em S3, o elemento neutro é representado 
pela permutação
C E D E R J 169
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3
 
I = 
1 2 3
1 2 3
 .
Veja também que, como o conjunto {1, 2, 3} tem 3 elementos, 
então, existem 3! = 6 bijeções possíveis de {1, 2, 3}. Logo, S3 tem 6 
elementos, a saber,
S3 = 
1 2 3
1 2 3
 , 
1 2 3
2 3 1
 , 
1 2 3
3 1 2
 , 
1 2 3
1 3 2
 , 
1 2 3
3 2 1
 , 
1 2 3
2 1 3
 .
Na próxima atividade, vamos mostrar que S3 é gerada pelas duas 
permutações seguintes:
2 = 
1 2 3
2 3 1
 e B = 
1 2 3
1 3 2
 .
2. Denotando por 2 e B as duas permutações anteriores, mostre que 
a. 22 = 
1 2 3
3 1 2
 ; d. B2 = 
1 2 3
3 2 1
 ;
b. 23 = 
1 2 3
1 2 3
 = I; e. B22 = 
1 2 3
2 1 3
 ;
c. B2 = 
1 2 3
1 2 3
 = I; f. 2B = 
1 2 3
2 1 3
 = B22.
ATIVIDADE
Portanto, S3 pode ser escrito como
S3 = {I, 2, 2
2, B, B2, B22}.
Na aula anterior, vimos o conceito de grupo abeliano, ou seja, um 
G que satisfaz a propriedade comutativa: a . b = b . a para todo a, b � G. 
Vejamos, agora, o conceito de grupo não-abeliano.
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
170 C E D E R J
DEFINIÇÃO 1 (GRUPO NÃO-ABELIANO)
Um grupo G é chamado não-abeliano se G não satisfi zer a 
propriedade comutativa, ou seja, se existirem a, b ��G tais que a . b � 
b . a.
Podemos, agora, enunciar o resultado que buscamos, nosso 
primeiro exemplo de grupo não-abeliano.
Proposição 1 
Conforme as notações anteriores, S3 = {I, 2, 2
2, B, B2, B22}, munido 
da operação de composição de funções, é um grupo não-abeliano fi nito 
de ordem 6.
Demonstração
Primeiramente, observe que já que uma permutação é uma bijeção 
e a composição de duas bijeções é outra bijeção, então, a operação está 
bem defi nida. Vamos, agora, verifi car os axiomas.
G1. Como a composição de funções é associativa, então, a 
operação em S3 é associativa.
G2. O elemento neutro da composição de funções é a função 
identidade, que é representada, em S3, pela permutação I = 
1 2 3
1 2 3
 .
G3. Dada uma bijeção, o elemento inverso é representado pela 
sua função inversa.
Na Atividade 3, você será convidado a determinar o elemento 
inverso de cada elemento de S3.
Por fi m, observe que a operação em S3 não é comutativa, pois 
como vimos na Atividade 2,
B2 = 
1 2 3
3 2 1
 ��
1 2 3
2 1 3
 = 2B.
Portanto, S3 é um grupo não-abeliano.
C E D E R J 171
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3
 
3. Construa a tabela de multiplicação do grupo S3 e identifi que o elemento 
inverso de cada elemento de S3.
ATIVIDADE
Exemplo 4
Seja GL2(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 
invertíveis com elementos em R, isto é,
GL2(R) = 
a b
c d
 ; a, b, c, d � R e ad – bc � 0 .
Em GL2(R), consideramos a operação de multiplicação de 
matrizes. Do curso de Álgebra Linear, sabemos que o produto de 
matrizes invertíveis é uma matriz invertível e, portanto, a operação de 
multiplicação de matrizes está bem defi nida em GL2(R). Já sabemos, 
também, que a multiplicação de matrizes é associativa e, assim, 
o axioma da associatividade em GL2(R) já fi ca automaticamente 
satisfeito. O elemento neutro é dado pela matriz identidade,
I = 
1 0
0 1
 ,
e o elemento inverso da matriz A = 
a b
c d
 e GL2(R) é dado pela conhecida 
fórmula do seu curso de ÁlgebraLinear,
A-1 = 1
ad – bc
 
d –b
–c a
 .
Também é fácil ver que GL2(R) é um conjunto infi nito, já que 
 
a 0
0 1
 , a � 0
é um conjunto infi nito de matrizes invertíveis, pois
det 
a 0
0 1
 = a � 0.
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
172 C E D E R J
Portanto, 
a 0
0 1
 � GL2(R) para todo a � 0
Assim, temos o seguinte resultado:
Proposição 2 
GL2(R), munido da operação de multiplicação de matrizes, é um 
grupo infi nito não-abeliano.
Na próxima atividade, você irá mostrar que o grupo GL2(R) é 
não-abeliano.
4. Mostre que a operação de multiplicação de matrizes em GL2(R) não é 
comutativa. Para isso, você deverá encontrar duas matrizes A, B � GL2(R) 
tais que AB � BA.
ATIVIDADE
Exemplo 5
O grupo das simetrias do triângulo eqüilátero: D3. Vamos estudar, 
agora, um grupo formado por transformações geométricas estudadas 
no curso de Álgebra Linear II. Trata-se de um grupo de transformações 
que mantém o triângulo eqüilátero da Figura 13.1 invariante, ou seja, 
que transforma o triângulo eqüilátero nele mesmo. Vamos considerar 
que o lado BC é perpendicular ao eixo-x e a origem O é o baricentro 
do triângulo ABC. Portanto, nestas condições, as transformações do 
triângulo nele mesmo são compostas pela função identidade, por algumas 
rotações em torno da origem e por certas refl exões. Vamos descrever 
cada uma dessas transformações.
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3
 
Figura 13.1: Triângulo eqüilátero.
Vamos denotar o triângulo ABC da Figura 13.1 por C. As 
transformações que estamos procurando são da forma T: R2 � R2 com 
T(C) = C.
Inicialmente, a função identidade, I: R2 � R2, claramente 
mantém o triângulo C invariante, ou seja, I(C) = C, como ilustra a fi gura 
a seguir.
Figura 13.2: A transformação identidade.
Depois, a rotação de 120°, ou 2�/3 radianos, em torno da origem, 
também deixa o triângulo C invariante. Retomando a notação do curso 
de Álgebra Linear II, denotamos por R � R2�/3 esta rotação. Portanto, 
temos R � R2�/3 : R
2 � R2 com R(C) = C, como ilustra a Figura 13.3.
Figura 13.3: A rotação R = R2�/3. 
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
174 C E D E R J
O mesmo acontece com a rotação de 240°, ou 4�/3 radianos, 
em torno da origem. Considerando a operação de composição de 
funções, temos:
R4�/3 = R2�/3 � R2�/3 = R
2.
Assim, esta rotação satisfaz R2 = R4�/3 : R
2 � R2 com R2(C) = C. 
A Figura 13.4 ilustra essa transformação.
Figura 13.4: A rotação R2 = R4�/3.
Observe que, aplicando a rotação R = R2�/3 mais uma vez, obtemos 
a função identidade:
R3 = R2R = R4�/3 � R2�/3 = R6�/3 = R2� = I.
Outro tipo de transformação que mantém o triângulo eqüilátero 
invariante são as refl exões do plano em torno das retas mediatrizes do 
triângulo. Denotamos estas retas por r1, r2 e r3, como indica a Figura 
13.5. Observe que a reta mediatriz r1 coincide com o eixo-x.
Figura 13.5: As retas mediatrizes do triângulo eqüilátero.
C E D E R J 175
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 1
3
 
Denotamos por F:R2 � R2 a refl exão em torno do eixo-x. Assim, 
temos F(C) = C. A Figura 13.6 ilustra essa transformação.
Figura 13.6: A refl exão F em torno do eixo-x.
Observe que, aplicando a refl exão F mais uma vez, obtemos F2 = 
F � F = I. Aplicando a composição FR = F � R , obtemos exatamente a 
refl exão em torno da reta mediatriz r2, como indica a Figura 13.7.
Figura 13.7: Rotação R seguida da refl exão F.
Assim, a refl exão em torno da reta mediatriz r2 pode ser representada 
por FR2: R2 � R2 com FR(C) = C. Novamente, temos (FR)2 = I.
Figura 13.8: A refl exão FR em torno da reta mediatriz r2.
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
176 C E D E R J
Analogamente, aplicando a composição FR2 = F � R2, obtemos 
a refl exão em torno da reta mediatriz r3, como indica a Figura 13.9. 
Assim, essa refl exão satisfaz FR2 : R2 � R2 com FR2 (C) = C e (FR2)2 = I.
5. Mostre que RF = FR2 e, portanto, RF � FR. Conclua que D3 é um grupo 
não-abeliano.
ATIVIDADE
Figura 13.9: A refl exão FR2 em torno da reta mediatriz r3.
Denotamos por D3 o conjunto dessas seis simetrias do triângulo 
eqüilátero:
D3 = {I, R, R
2, F, FR, FR2}.
Assim, munindo o conjunto D3 com a operação de composição de 
funções, obtemos o grupo das simetrias do triângulo eqüilátero.
Proposição 3 
Com as notações anteriores, D3 = {I, R, R
2, F, FR, FR2}, munido 
da operação de composição de funções, é um grupo não-abeliano fi nito 
de ordem 6.
Na próxima atividade, você será convidado a mostrar que D3 é 
um grupo não-abeliano.
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 1
3
 
ATIVIDADES FINAIS
1. Construa a tabela de multiplicação do grupo D3 e identifi que o elemento inverso 
de cada elemento de D3.
2. Construa a tabela de multiplicação do grupo Z4 ? Z4, onde Z4 é o grupo multiplicativo 
dos elementos invertíveis de Z4. Depois, identifi que o elemento inverso de cada 
elemento de Z4 ? Z4.
x x x
x
Em nosso último exemplo desta aula, vamos estabelecer que o 
produto cartesiano de dois grupos também tem uma estrutura de grupo.
Exemplo 6
Sejam (G, .) e (H, *) dois grupos. Vamos considerar o produto 
cartesiano G ? H munido da seguinte operação:
(a1, b1) � (a2, b2) = (a1. a2, b1 * b2) para a1, a2 � G e b1, b2 � H.
O elemento neutro dessa operação será (eG, eH) � G ? H , onde eG 
e eH são os elementos neutros de G e H, respectivamente, e o elemento 
inverso de (a, b) � G ? H é dado por (a–1, b–1). Nessas condições, temos 
o seguinte resultado:
Proposição 4 
Com as notações anteriores, temos que (G ?�H, �) é um grupo 
chamado produto exterior de G e H.
x x
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
178 C E D E R J
Nesta aula, estudamos os grupos multiplicativos (Z5, .) e (Z8, .). Eles são grupos fi nitos 
e abelianos. Depois, estudamos o grupo {S3 = I, 2, 2
2, B, B2, B22} das permutações 
do conjunto {1, 2, 3}. Esse grupo é fi nito e não-abeliano. No exemplo seguinte, 
estudamos o grupo GL2(R) das matrizes invertíveis de ordem com elementos em R. 
Esse grupo é infi nito e não-abeliano. No exemplo seguinte, estudamos o grupo 
D3 = {I, R, R
2, F, FR, FR2} das simetrias do triângulo eqüilátero. Esse grupo também é 
fi nito e não-abeliano. Por fi m, vimos o produto exterior G ? H dos grupos G e H.
R E S U M O
x x
Atividade 1
O produto 
A@ = 
1 2 3
1 3 2
 
1 2 3
2 3 1
é dado por 
A@�: 1� 2 � 3;
A@ : 2� 3 � 2;
A@ : 3� 1 � 1.
Portanto, temos
A@ = 
1 2 3
1 3 2
 
1 2 3
2 3 1
 = 
1 2 3
3 2 1
 .
Atividade 2
Temos:
a. 22 = 2 . 2 = 
1 2 3
2 3 1
 
1 2 3
2 3 1
 = 
1 2 3
3 1 2
 ;
RESPOSTAS
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 1
3
 
b. 23 = 22 . 2 = 
1 2 3
3 1 2
 
1 2 3
2 3 1
 = 
1 2 3
1 2 3
 = I;
c. B2 = B . B = 
1 2 3
1 3 2
 
1 2 3
1 3 2
 = 
1 2 3
1 2 3
 = I;
d. B2 = 
1 2 3
1 3 2
 
1 2 3
2 3 1
 = 
1 2 3
3 2 1
 ;
e. B22 = B . 22 = 
1 2 3
1 3 2
 
1 2 3
3 1 2
 = 
1 2 3
2 1 3
 ;
f. 2B = 
1 2 3
2 3 1
 
1 2 3
1 3 2
 = 
1 2 3
2 1 3
 = B22.
Atividade 3
Queremos completar a seguinte tabela:
Efetuamos os produtos da tabela acima e identifi camos os resultados com os 
elementos de S3 = {I, 2, 2
2, B, B2, B22} . Por exemplo,
2 . B2 = 
1 2 3
2 3 1
 
1 2 3
2 2 1
 = 
1 2 3
1 3 2
 = B.
?
I
2
22
B
B2
B22
I 2 22 B B2 B22
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
180 C E D E R J
Assim, obtemos a seguinte tabela de multiplicação:
Podemos observar que os pares de elementos inversos são
I > I; 2 > 22; B > B; B2 > B2; B22 > B22.
Atividade 4
Temos de encontrar duas matrizes invertíveis que não satisfaçam a propriedade 
comutativa. Existem infi nitaspossibilidades e, como vamos apresentar aqui apenas 
uma delas, é bem provável que a sua resposta seja diferente desta. Para isso, 
considere as matrizes
A = 
1 1
0 1
 , B = 
1 0
1 1
 � GL2 (R).
Temos os seguintes produtos:
AB = 
1 1
0 1
 
1 0
1 1
 = 
2 1
1 1
e
BA = 
1 0
1 1
 
1 1
0 1
 = 
1 1
1 2
 .
Como
2 1
1 1
 � 
1 1
1 2
 ,
temos, então, que AB � BA , ou seja, essas matrizes não satisfazem a propriedade 
comutativa.
?
I
2
22
B
B2
B22
I
I
2
22
B
B2
B22
2
2
22
I
B2
B22
B
22
22
I
2
B22
B
B2
B
B
B22
B2
I
22
2
 B2
B2
B
B22
2
I
22
 B22
B22
B2
B
22
2
I
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 1
3
 
Figura 13.10: A composição RF é igual à refl exão FR2 em torno da reta mediatriz r3.
Atividade 5
Aplicando a composição RF = R F , veja que obtemos exatamente a refl exão em 
torno da reta mediatriz r3 , como mostra a Figura 13.10.
?
I
R
R2
F
FR
FR2
I R R2 F FR FR2
Portanto, temos que RF = FR2 . Como FR é a refl exão em torno da reta mediatriz 
r2 , temos refl exões diferentes FR
2 � FR . Logo, RF � FR . Em particular, como o 
par R e F não satisfaz a propriedade comutativa, isso nos diz que D3 é um grupo 
não-abeliano.
Atividade Final 1
Queremos completar a seguinte tabela:
Álgebra II | Mais exemplos de grupos
182 C E D E R J
Efetuamos os produtos da tabela acima e identifi camos os resultados com os 
elementos de D3 = {I, R, R
2, F, FR, FR2}. Para isso, você pode usar as relações R3 = I, 
F2 = I e RF = FR2 . Por exemplo, podemos calcular o produto R . FR :
R . FR = (RF)R, pois a operação é associativa;
= (FR2)R, pois RF = FR2;
= F . R3, pois a operação é associativa; 
= F . I, pois R3 = I;
= F, pois I é o elemento neutro.
Também podemos obter esse resultado geometricamente:
?
I
R
R2
F
FR
FR2
I
I
R
R2
F
FR
FR2
R
R
R2
I
FR
FR2
F
R2
R2
I
R
FR2
F
FR
F
F
FR2
FR
I
R2
R
FR
FR
F
FR2
R
I
R2
FR2
FR2
FR
F
R2
R
I
Podemos observar que os pares de elementos inversos são
I > I; R > R2; F > F; FR > FR; FR2 > FR2.
Assim, obtemos a seguinte tabela de multiplicação:
C E D E R J 183
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 1
3
 
Atividade Final 2
Temos que Z4 = {a � Z4 | mdc (a, 4) = 1} = {1, 3}. Então,
Z4 ? Z4 = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}.
Veja que a operação em Z4 ? Z4 é dada por 
(a, b) . (c, d) = (a . c, b . d).
Por exemplo,
(1, 3) . (3, 3) = (1 . 3, 3 . 3) = (3, 1).
Operando dessa forma, obtemos a seguinte tabela de multiplicação:
Como o elemento neutro de Z4 ? Z4 é (1, 1), podemos observar que cada elemento 
de Z4 ? Z4 é seu próprio inverso:
(1, 1) > (1, 1); (1, 3) > (1, 3); (3, 1) > (3, 1); (3, 3) > (3, 3).
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯
?
(1, 1)
(1, 3)
(3, 1)
(3, 3)
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
(1, 1)
(1, 1)
(1, 3)
(3, 1)
(3, 3)
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ (1, 3)
(1, 3)
(1, 1)
(3, 3)
(3, 1)
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ (3, 1)
(3, 1)
(3, 3)
(1, 1)
(1, 3)
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ (3, 3)
(3, 3)
(3, 1)
(1, 3)
(1, 1)
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
x x
x x
¯ ¯
¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
x
¯
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14AULA
Pré-requisitos 
Meta da aula 
Subgrupos 
e grupos cíclicos
Apresentar os conceitos de subgrupo e 
de subgrupo cíclico.
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Identifi car as propriedades que caracterizam um subgrupo.
• Apresentar exemplos de subgrupos.
• Identifi car as propriedades que caracterizam um grupo 
cíclico.
• Apresentar exemplos de subgrupos cíclicos.
Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis 
e ideais, desenvolvidos em Álgebra I 
e nas Aulas 12 e 13.
186 C E D E R J
Álgebra II | Subgrupos e grupos cíclicos
INTRODUÇÃO Nas duas aulas anteriores, desenvolvemos o conceito de grupo e estudamos 
vários exemplos. Você deve ter notado que vimos alguns exemplos de grupos 
contidos em outro grupo maior. Por exemplo, o grupo (Z, +), dos números 
inteiros com a operação de adição, está contido no grupo (Q, +) dos números 
racionais com a operação de adição. Da mesma forma, (Q, +) está contido em 
(R, +) que, por sua vez, está contido em (C, +). Esta é a importante noção de 
subgrupo.
É relevante observar que, quando dizemos que o grupo (Z, +) está contido 
no grupo (Q, +), queremos dizer não só que um conjunto é subconjunto do 
outro, Z ��Q, mas também que a operação de adição (+) entre dois números 
inteiros, a e b, produz o mesmo resultado a + b que na situação em que a e b 
são vistos como elementos do grupo (Q, +). Assim, não podemos dizer que o 
grupo multiplicativo (Q*, .) está contido no grupo aditivo (R, +), pois, apesar de 
Q* ��R, as operações a . b em (Q*, .) e a + b em (R, +) dão resultados diferentes 
para os mesmos a, b � Q. Por exemplo, 1 . 1 = 1 e 1 + 1 = 2. Portanto, para 
que um grupo seja um subgrupo de outro grupo, vamos exigir não só que um 
conjunto esteja contido no outro mas, também, que suas operações coincidam 
nos elementos que são comuns aos dois conjuntos. 
DEFINIÇÃO 1 (SUBGRUPO)
Sejam (G, .) um grupo e H um subconjunto não-vazio de G. 
Dizemos que H é um subgrupo de G se H, munido da operação . do 
grupo G, for um grupo, ou seja, se (H, .) for um grupo. 
Veja que a operação . já é associativa em G, logo, ela já satisfaz 
a propriedade associativa para os elementos de H. Portanto, as 
propriedades a serem satisfeitas para que H seja um subgrupo de G são 
dadas pelos seguintes axiomas.
SG1. H é fechado pela operação de G, isto é, a . b � H para todo 
a, b � H.
SG2. eG � H .
SG3. Se a � H então a-1 � H .
Se H é subgrupo de G, então denotamos H ��G e, caso contrário, 
denotamos H �G.
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Observação
Dado o grupo G, então {eG} e G são subgrupos de G, chamados 
subgrupos triviais de G. Se H é um subgrupo de G, diferente de {eG} e 
G, então dizemos que H é um subgrupo próprio de G.
Exemplo 1
Pelas nossas observações iniciais, temos a seguinte seqüência de 
subgrupos:
(Z, +) ��(Q, +) ��(R, +) ��(C, +) .
No entanto, (Q* , .) não é subgrupo de (R, +), já que a operação 
de (Q*, .) não é a mesma que a de (R, +). Mas é verdade que 
(Q*, .) ��(R*, .) ��(C*, .) .
Assim como temos critérios que facilitam verifi car se um sub-
conjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial ou se um 
subconjunto de um anel é um subanel, temos, também, um critério que 
facilita verifi car se um subconjunto de um grupo é um subgrupo. É o 
que vamos fazer a seguir.
Proposição 1 (Critério do Subgrupo)
Seja H um subconjunto não-vazio de um grupo G. Então, H é um 
subgrupo de G se, e somente se, a . b-1 � H para todo a, b � H .
Demonstração
(�) Vamos supor, inicialmente, que H é um subgrupo de G. 
Queremos provar que a . b–1 � H para todo a, b � H.
Assim, sejam a, b � H. Temos
a, b � H ����b–1 � H pela propriedade SG3 de subgrupo
��������������������a . b–1 � H pela propriedade SG1 de subgrupo,
e, assim, provamos o que queríamos, ou seja, que a . b–1 � H para todo 
a, b � H.
188 C E D E R J
Álgebra II | Subgrupos e grupos cíclicos
(	) Nossa hipótese, agora, é que a . b–1 � H para todo a, b � H. 
Queremos provar que H é subgrupo de G, ou seja, que H satisfaz as 
propriedades SG1 a SG3. Vamos provar primeiro a validade de SG2, 
depois SG3 e, por fi m, SG1.
SG2. Como H 
��, existe um elemento a � H. Daí, temos
a � H ����eG = a . a
–1 
� H pela hipótesecom b = a .
SG3. Seja x � H. Como já sabemos que eG � H, então,
x, eG � H � x
–1 = eG . x
–1 � H pela hipótese com a = eG e b = x.
SG1. Sejam x, y � H. Pela propriedade SG3, sabemos que y–1� H. 
Portanto, temos
x, y–1 � H ���x . y = x . (y–1) –1 � H pela hipótese com a = x e b = y–1.
Concluímos, assim, que H é um subgrupo de G.
Observação
Quando G for um grupo aditivo, (G, +), e H um subconjunto 
não-vazio de G, a condição a . b-1 � H se transformará em
a – b � H,
já que –b é o elemento inverso de b. Assim, nesse caso, temos
H ��G ������a – b � H para todo a, b � H .
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1. Dado o grupo aditivo (Z, +), mostre que nZ = { kn 
�k � Z } é um subgrupo 
de Z para todo inteiro n ��1 .
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ATIVIDADE
Exemplo 2
Seja D3 = {I, R, R
2, F, FR, FR2} o grupo das simetrias do triângulo 
eqüilátero visto na Aula 18. Então
H1 = {I, R, R
2} e H2 = {I, F}
são subgrupos de D3 . Isso é imediato pela aplicação do critério do 
subgrupo.
Exemplo 3
Considere o grupo (Z4, +). Vamos mostrar que H = {0, 2} é o 
único subgrupo próprio de Z4 . Se H for outro subgrupo próprio de 
Z4 = {0, 1, 2, 3}, então, teremos 1 � H ou 3 � H. Caso seja 1 � H, então, 
aplicando SG1, teremos
2 = 1 + 1 � H ; 3 = 2+ 1 � H e 0 = 3 + 1� H ,
e, portanto, teríamos H = {0, 1, 2, 3} = Z4, o que é uma contradição, já 
que H é subgrupo próprio de Z4.
Caso seja 3 � H, então, aplicando SG3, teremos
1 = –3 � H ,
e, pelo argumento anterior, teríamos novamente que H = {0, 1, 2, 3} = Z4, 
que é a mesma contradição. A conclusão, portanto, é que H = {0, 2} é o único 
subgrupo próprio de Z4.
190 C E D E R J
Álgebra II | Subgrupos e grupos cíclicos
Vamos desenvolver, agora, um importante tipo de subgrupos, que 
são os subgrupos gerados por um único elemento.
DEFINIÇÃO 2 (SUBGRUPO GERADO POR UM ELEMENTO)
Sejam (G, .) um grupo e a � G . Defi nimos as potências de a:
a0 = eG
an = an–1 . a se n � Z, n � 1
an = (a–1)–n se n � Z, n � 0 .
Denotamos por < a > o conjunto de todas as potências de a, ou 
seja,
< a > = {an 
 n � Z } .
Veremos, a seguir, que este conjunto é um subgrupo de G, 
chamado subgrupo gerado por a. Dizemos, também, que a é um 
gerador de <a>.
Quando G for um grupo aditivo, (G, +), então as potências de a 
serão, na verdade, os múltiplos de a:
0a = 0G
na = (n–1) a + a se n � Z, n � 1
na = (–n)(–a) se n � Z, n � 0 ,
e o subgrupo gerado por a se escreve como
< a > = {na 
 n � Z }.
Proposição 2 (O subgrupo gerado por a)
Sejam (G, .) um grupo e a ��G. Então < a > é um subgrupo de G.
Demonstração
Vamos aplicar o critério do subgrupo. Sejam an , ak ��< a > dois 
elementos, então
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an . (ak)–1 = an . a–k = an–k ��< a > ,
o que prova que < a > é um subgrupo de G. 
Exemplo 4
Dado o grupo (Z, +), então nZ = {kn 
 k � Z = < n >}. Em particular, 
2Z = < 2 >. Veja, também, que Z = < 1 > .
Exemplo 5
Considere o grupo (Z4, +) do Exemplo 3. Então H = {0, 2} = < 2 >. 
Veja aqui, também, que Z4 = < 1 > .
Grupos, como Z ou Z4, que são gerados por apenas um elemento, 
são muito importantes e têm uma nomenclatura especial.
DEFINIÇÃO 3 (GRUPO CÍCLICO)
Um grupo G é chamado grupo cíclico se = G = < a > para algum 
a � G, ou seja, G é gerado por um elemento. Neste caso, dizemos que 
a é um gerador de G.
Observação
Se G é um grupo cíclico, então o gerador de G, isto é, o 
elemento a � G tal que G = < a >, em geral, não é único. Por exemplo, 
Z4 =< 1 > e Z4 = < 3 >.
Exemplo 6
Considere o grupo (Zn, +), onde n � 1 é um inteiro. Então Zn = < 1 >, 
e, portanto, Zn é um grupo cíclico.
192 C E D E R J
Álgebra II | Subgrupos e grupos cíclicos
2. Determine se os grupos multiplicativos ( Zx5 , . ) e ( Z
x
8 , . ) são grupos cíclicos. 
Caso algum deles seja um grupo cíclico, determine seus geradores.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________
ATIVIDADE
Para terminar esta aula, vamos enunciar um resultado que diz, 
no fundo, que todo grupo cíclico é uma cópia de (Z, +) ou uma cópia 
de algum (Zn, +). Para isso precisamos defi nir o conceito de ordem de 
um elemento.
DEFINIÇÃO 4 (ORDEM DE UM ELEMENTO)
Seja G um grupo e seja a � G . Se o subgrupo < a > for fi nito, 
então dizemos que a ordem de a, denotada por ord(a), é o número de 
elementos de < a >, ou seja, é igual à ordem de < a > . Agora, se < a > for 
um grupo infi nito, então dizemos que a ordem de a é infi nita.
Observação
1. Para o elemento neutro e de um grupo G, temos < e > ={e} 
e, portanto, ord(e) = 1. Para qualquer outro elemento a ��G 
(a 
�e), temos ord(a) = ��1�.
2. Se G é um grupo cíclico com gerador a, G = < a >, então 
ord(a) = 
G
�.
Exemplo 7
Considere o grupo aditivo Z4 = {0, 1, 2, 3}. Pela observação 
anterior, já sabemos que ord(0) = 1�. Agora,
< 1 > = {0, 1, 2, 3} = Z4 ; < 2 > = {0, 2,} ; < 3 > = {0, 1, 2, 3} = Z4 ,
de onde concluímos que
ord(1) = 4 ; ord(2) = 2 ord(3) = 4
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3. Determine a ordem dos elementos dos grupos multiplicativos ( Zx5 , . ) 
e ( Zx8 , . ).
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________
ATIVIDADE
Podemos enunciar, agora, o resultado mais importante deste 
capítulo.
TEOREMA 1 
Seja G um grupo e seja a � G.
1. Se a for um elemento de ordem fi nita n, então n será o menor 
inteiro positivo que satisfaz an = eG . Mais ainda, < a > = {e, a, 
a2, ..., a n–1 }.
2. Se a for um elemento de ordem infi nita, então an 
�eG para 
todo inteiro n 
�0. Mais ainda, < a > = {..., a–2, a–1 , e, a, a2, ...} 
e todas as potências de a serão distintas.
CARACTERIZAÇÃO DOS GRUPOS CÍCLICOS
Futuramente vamos defi nir o conceito de isomorfi smo de grupos de 
modo muito semelhante ao que foi feito para os isomorfi smos de espaços 
vetoriais e para os isomorfi smos de anéis. Isso signifi ca que dois grupos 
serão isomórfi cos quando um for uma cópia algébrica do outro.
Assim, se G for um grupo cíclico com gerador a, ou seja, G = < a > , 
então o teorema anterior diz que teremos dois casos a considerar:
1. Se a for um elemento de ordem fi nita n, então G = {e, a, a2, ..., 
an–1} e G será isomórfi co a Zn.
2. Se a for um elemento de ordem infi nita, então G = {..., a–2, a–1 , e, 
a, a2, ...}, com todas as potências de a distintas, e G será isomórfi co a Z.
Observação
Como conseqüência da caracterização dos grupos cíclicos, temos 
que todo grupo cíclico é abeliano.
194 C E D E R J
Álgebra II | Subgrupos e grupos cíclicos
No entanto, a recíproca é falsa, ou seja, nem todo grupo abeliano 
é um grupo cíclico. Por exemplo, o grupo multiplicativo Zx8 , é abeliano, 
mas, como você provou na Atividade 2, ele não é um grupo cíclico.
ATIVIDADES FINAIS
1. Determine se o grupo multiplicativo Zx7 = {a � Z7 
�mdc (a, 7) = 1} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
é cíclico.Caso seja, determine seus geradores.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2. Determine se o grupo S3, das permutações de 3 objetos, é cíclico. Caso seja, 
determine seus geradores.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
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Nesta aula, vimos o conceito de subgrupo. Vimos que um subconjunto não-vazio 
H de um grupo G é um subgrupo de G se satisfi zer os seguintes axiomas:
SG1. H é fechado pela operação de G, isto é, a . b ��H para todo a, b ��H.
SG2. eG ��H .
SG3. Se a ��H então a–1 ��H .
Depois, vimos o conceito de um subgrupo gerado por um elemento a ��G, que 
o subconjunto < a > = {an | n ��Z} � G. Vimos que a ordem do elemento a ��G é a 
ordem do subgrupo < a >. Em seguida, vimos que um grupo G é um grupo cíclico 
se existir a ��G tal que G = < a >. Nesse caso, dizemos que o elemento a é um 
gerador do grupo G. 
Por fi m, vimos o importante teorema que diz que se G é um grupo e a ��G, 
então:
1. Se a for um elemento de ordem fi nita n, então n será o menor inteiro positivo 
que satisfaz an = eG . Mais ainda, < a > = {e, a, a
2, ..., an–1};
2. Se a for um elemento de ordem infi nita, então an 
 eG para todo inteiro n 
�0. Mais 
ainda, < a > = {..., a–2,, a–1, e, a, a2,...} e todas as potências de a serão distintas.
R E S U M O
Atividade 1
Pelo critério do subgrupo, basta verifi car que a – b ��nZ para todo a, b ��nZ. Como 
a, b ��nZ, então existem k, m ��Z tais que a = kn e b = mn. Assim,
a – b = kn – mn = (k – m)n � nZ ,
e, portanto, nZ é um subgrupo de Z.
RESPOSTAS COMENTADAS
196 C E D E R J
Álgebra II | Subgrupos e grupos cíclicos
Atividade 2
Vamos considerar, inicialmente, Zx5 = {a � Z5
�mdc(a, 5) = 1} = {1, 2, 3, 4}. Considerando 
as potências de 2 ��Zx5, temos:
(2)1 = 2; (2)2 = 4; (2)3 = 3; (2)4 = 1,
o que mostra que Zx5 = < 2 >, ou seja, Z
x
5 é um grupo cíclico. Mais ainda, não só o 
elemento 2 é um gerador de Zx5, o elemento 3 também é, pois
(3)1 = 3; (3)2 = 4; (3)3 = 2; (3)4 = 1,
e, portanto, Zx5 = < 3 > . Mas, 4 não é gerador de Z
x
5 , pois
(4)1 = 4; (4)2 = 1; (4)3 = 4; (4)4 = 1; ...,
ou seja, < 4 > = {1, 4}, que é um subgrupo próprio de Zx5.
No caso de Zx8 = { a � Z8
�mdc(a, 8) = 1} = {1, 3, 5, 7}, temos
(3)1 = 3; (3)2 = 1; (3)3 = 3; (3)4 = 1; ...,
(5)1 = 5; (5)2 = 5; (5)3 = 5; (5)4 = 1;...,
e
(7)1 = 7; (7)2 = 7; (7)3 = 7; (7)4 = 1,... .
Portanto, temos
< 3 > = {1, 3} , < 5 > = {1, 5} e < 7 > = {1, 7},
ou seja, todos subgrupos próprios de Zx8. Assim, Z
x
8 não é um grupo cíclico.
Atividade 3
Considere Zx5. Já sabemos que ord(1) = 1. Agora, dos cálculos feitos na atividade 
anterior, temos
< 2 > = {1, 2, 3, 4} = Zx5; < 3 > = {1, 2, 3, 4} = Z
x
5; < 4 > = {1, 4} ,
de onde concluímos que
ord(2) = 4; ord(3) = 4 e ord(4) = 2.
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4
 
Seja, agora, Zx8 = {1, 3, 5, 7}. Já sabemos que ord(1) = 1. Também, dos cálculos 
feitos na atividade anterior, temos
< 3 > = {1, 3} , < 5 > = {1, 5} e < 7 > = {1, 7},
de onde concluímos que
ord(3) = 2; ord(5) = 2 e ord(7) = 2.
Observe que, como os elementos 3, 5 e 7 são seus próprios inversos em Zx8, 
então eles são de ordem 2.
Atividade Final 1
Calculando as potências dos elementos de Zx7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6,} e aplicando 
o Teorema 1, obtemos
(2)1 = 2; (2)2 = 4; (2)3 = 1 ������ord(2) = 3;
(3)1 = 3; (3)2 = 2; (3)3 = 6; (3)4 = 4; (3)5 = 5; (3)6 = 1 ������ord(3) = 6
(4)1 = 4; (4)2 = 2; (4)3 = 1 ������ord(4) = 3
(5)1 = 5; (5)2 = 4; (5)3 = 6; (5)4 = 2; (5)5 = 3; (5)6 = 1 ������ord(5) = 6
e
(6)1 = 6; (6)2 = 1; ������ord(6) = 2
Portanto, como Zx7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um grupo de ordem 6 e temos dois 
elementos também de ordem 6, então segue que Zx7 é um grupo cíclico com
Zx7 = < 3 > = < 5 >,
ou seja, Zx7 tem os geradores 3 e 5.
Atividade Final 2
Na Aula 18, vimos que S3 = {I, ����
2
�����������
2} com
��= 1 2 3
2 3 1
 e �� 1 2 3
1 3 2
��
198 C E D E R J
Álgebra II | Subgrupos e grupos cíclicos
Pelos cálculos, também feitos naquela aula, e aplicando o Teorema 1, temos
(�)1�= 1 2 3
2 3 1
 ; �2 =� 1 2 3
3 1 2
������
3 =� 1 2 3
1 2 3
�= I ������ord(�) = 3��
(�2)1�= 1 2 3
3 1 2
 ; (�2)2 =� 1 2 3
2 3 1
�����(�2)3 =� 1 2 3
1 2 3
�= I ������ord(�) = 3��
(�)1�= 1 2 3
1 3 2
 ; �2 =� 1 2 3
1 2 3
�= I ������ord(�) = 2��
(��)1�= 1 2 3
3 2 1
 ; (��)2 =� 1 2 3
1 2 3
�= I ������ord(��) = 2��
e
(��2)1�= 1 2 3
2 1 3
 ; (��2)2 =� 1 2 3
1 2 3
�= I ������ord(��2) = 2��
Como S3 é um grupo de ordem 6 e todos os seus elementos têm ordem menor 
que 6, então segue que S3 não é um grupo cíclico.
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REQUISITOS�
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!PRESENTAR�O�4EOREMA�DE�,AGRANGE�
E�SUAS�CONSEQàÐNCIAS��
!O�lNAL�DESTA�AULA��VOC�DEVER�SER�CAPAZ�DE�
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SOBRE�GRUPOS�DAS�!ULAS����A����
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DETERMINA ÎO�DE�TODOS�OS�SUBGRUPOS��DE�UM�GRUPO�'��5MA�FORMA�DE�ENCARAR�
ESSE�PROBLEMA�SERIA�CONSIDERAR�TODOS�OS�SUBCONJUNTOS�DE�'�QUE�CONTENHAM�O�
ELEMENTO�NEUTRO�E��ENTÎO��VERIlCAR�SE�SATISFAZEM�AS�CONDI ÜES�DE�SUBGRUPO��.O�
ENTANTO��ESTA�ABORDAGEM�NÎO�Ï�NADA�PRÉTICA��0OR�EXEMPLO��SE�UM�GRUPO�'�TIVER���
ELEMENTOS��ENTÎO�O�NÞMERO�DE�SUBCONJUNTOS�CONTENDO�O�ELEMENTO�NEUTRO�SERÉ�
���������*É�SE�'�TIVER����ELEMENTOS��ENTÎO�O�NÞMERO�DE�SUBCONJUNTOS�CONTENDO�
O�ELEMENTO�NEUTRO�SERÉ�����������3E�'�FOSSE�UM�GRUPO�INlNITO��ENTÎO�TERÓAMOS�
QUE�LEVAR�EM�CONSIDERA ÎO�UMA�INlNIDADE�DE�SUBCONJUNTOS�DE�'�
.O�ENTANTO��QUANDO�O�GRUPO�'�FOR�lNITO��TEREMOS�UM�IMPORTANTE�RESULTADO�QUE�
PERMITIRÉ�REDUZIR�ENORMEMENTE�O�NÞMERO�DE�SUBCONJUNTOS�DE�'�QUE�PODEM�
SER�SUBGRUPOS��4RATA
SE�DO�4EOREMA�DE�,AGRANGE��QUE�AlRMA�QUE�SE�(�FOR�UM�
SUBGRUPO�DO�GRUPO�lNITO�'��ENTÎO�A�ORDEM�DE�(�DIVIDIRÉ�A�ORDEM�DE�'��.O�
CASO�DE�O�GRUPO�'�TER���ELEMENTOS��ENTÎO�BASTA�CONSIDERAR�OS�SUBCONJUNTOS�
CONTENDO�A�UNIDADE�COM���������E���ELEMENTOS��QUE�SÎO�OS�DIVISORES�DE����#OMO�
OS�SUBCONJUNTOS�DE���E���ELEMENTOS��NESSE�CASO��SÎO�OS�SUBGRUPOS�TRIVIAIS��ENTÎO�
BASTA�CONSIDERAR�OS�SUBCONJUNTOS�CONTENDO�A�UNIDADE�COM���E���ELEMENTOS��
$ENTRE�ESSES�ESTARÎO�OS�DEMAIS�CANDIDATOS�A�SUBGRUPOS�DO�GRUPO�'��6EJA�QUE��
ASSIM��REDUZIMOS�ENORMEMENTE�A�BUSCA�INICIAL�
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SE�DE�QUE�O�NÞMERO�DE�SUBCONJUNTOS�CONTIDOS�NUM�
CONJUNTO�COM�N�ELEMENTOS���N�
0OR�EXEMPLO��O�CONJUNTO�!���[A��B]��POSSUI��������SUBCONJUNTOS�
A�SABER�[A]��[B]��[A��B]�E�&��ONDE�&��O�CONJUNTO�VAZIO�
/BSERVE�QUE�NO�CASO�DE�'�SER�UM�GRUPO�COM���ELEMENTOS��O�
NÞMERO�DE�SUBCONJUNTOS�CONTENDO�O�ELEMENTO�Ï����n��������������
POIS�O�ELEMENTO�NEUTRO��COMUM�EM�TODOS�OS�SUBCONJUNTOS�
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���3E���FOR�UM�GRUPO�lNITO�COM�N�NÊrʘ��E��>ʍÊ���ENTÎO�>˜ÊrÊi��
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����4EOREMA�DE�%ULER	�3E�˜�����FOR�INTEIRO�E�“`V­>]ʘ®ÊrÊ£��ENTÎO�>J­˜®Êy���­“œ`ʘ®�
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!TIVIDADE�&INAL��
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PORTANTO��PELO�#OROLÉRIO����TEMOS���> 	J­˜®Ê������O�QUE�SIGNIlCA�QUE�>J­˜®Êy�£­“œ`ʘ®�
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!PRESENTAR�OS�CONCEITOS�DE�CLASSES�LATERAIS�
�ESQUERDA�E�CLASSES�LATERAIS��DIREITA��SUAS�
PROPRIEDADES��E�O�CONCEITO�DE�GRUPO�QUOCIENTE�
!O�lNAL�DESTA�AULA��VOC�DEVER�SER�CAPAZ�DE�
s�)DENTIlCAR�E�CALCULAR�CLASSES�LATERAIS�
s�)DENTIlCAR�EM�QUE�CONDI ÜES�UMA�OPERA ÎO�SE�TORNA�BEM�DElNIDA�NO�
CONJUNTO�DAS�CLASSES�LATERAIS��ESQUERDA�
s�)DENTIlCAR�AS�CARACTERÓSTICAS�DE�UM�GRUPO�QUOCIENTE�
� 6OC�VAI�PRECISAR�DOS�CONHECIMENTOS�
SOBRE�GRUPOS�DAS�!ULAS����A����
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­LGEBRA�))��\��#LASSES�LATERAIS�E�O�GRUPO�QUOCIENTE
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DOS� TEOREMAS�MAIS� IMPORTANTES�DA� TEORIA�DOS�GRUPOS�E�AlRMA�QUE�A�ORDEM�
DE�TODO�SUBGRUPO�DIVIDE�A�ORDEM�DO�GRUPO�lNITO��0ARA�PROVAR�O�4EOREMA�DE�
,AGRANGE��FOI�PRECISO�INTRODUZIR�O�CONCEITO�DE�CLASSE�LATERAL�DE�UM�GRUPO��-AIS�PRECISAMENTE��VIMOS�OS�CONCEITOS�DE�CLASSE�LATERAL��ESQUERDA�E�CLASSE�LATERAL��
DIREITA��.A�DEMONSTRA ÎO�DO�4EOREMA�DE�,AGRANGE�FOI�NECESSÉRIO�TRABALHAR�APENAS�
COM�AS�CLASSES�LATERAIS��ESQUERDA��.O�ENTANTO��UM�DOS�OBJETIVOS�DESTA�AULA��A�
CONSTRU ÎO�DOS�GRUPOS�QUOCIENTES�QUE�DESEMPENHAM��EM�TEORIA�DOS�GRUPOS��
UM�PAPEL�ANÉLOGO�AOS�ANÏIS�QUOCIENTES�EM�TEORIA�DOS�ANÏIS��.A�CONSTRU ÎO�DOS�
GRUPOS�QUOCIENTES�SERÉ�NECESSÉRIO�LIDAR�COM�SUBGRUPOS�EM�QUE�AS�CLASSES�LATERAIS�
Ì�ESQUERDA�E�Ì�DIREITA�SÎO�IGUAIS��%STES�SUBGRUPOS�SÎO�CHAMADOS�DE�SUBGRUPOS�
NORMAIS�E�SERÎO�NOSSO�OBJETO�DE�ESTUDO�NA�PRØXIMA�AULA�
6AMOS�INICIAR�REVENDO�OS�CONCEITOS�DE�CLASSE�LATERAL��ESQUERDA�E��DIREITA�
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!TIVIDADE��
5SANDO�A�TABELA�DE�MULTIPLICA ÎO�DE�-Î��CONTIDA�NO�%XEMPLO����VAMOS�CALCULAR�
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3UBGRUPOS�NORMAIS
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QUOCIENTES�DE�UM�GRUPO�DADO��
!O�lNAL�DESTA�AULA��VOC�DEVER�SER�CAPAZ�DE�
s�!PLICAR�A�CONCEITUA ÎO�DOS�SUBGRUPOS�NORMAIS�
s�$ETERMINAR�AS�CONDI ÜES�PARA�QUE�UM�DADO�SUBGRUPO�SEJA�NORMAL�
s�#ONSTRUIR�O�GRUPO�QUOCIENTE�6OC�VAI�PRECISAR�DOS�CONHECIMENTOS�
SOBRE�GRUPOS�DAS�!ULAS����A����
6OC�VAI�PRECISAR�DOS�CONHECIMENTOS�SOBRE�
GRUPOS�DAS�!ULAS����A����
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GRUPO�'�QUE�SATISFAZ�A�CONDI ÎO�
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%STES� SUBGRUPOS� SÎO� ESPECIAIS� PORQUE�� NESSE� CASO�� PODEMOS� DEl�NIR� UMA�
OPERA ÎO�BINÉRIA�NO�CONJUNTO�DAS�CLASSES�LATERAIS�
DEl�NIDA�POR
TORNANDO�O�CONJUNTO�'�.�NUM�GRUPO��CHAMADO�GRUPO�QUOCIENTE�
!�NECESSIDADE�DA� CONDI ÎO� } }� �� PARA� TODO� } � �� APARECEU�PARA�
QUE�PUDÏSSEMOS�RESOLVER�O�PROBLEMA�DA�AMBIGàIDADE�DA�REPRESENTA ÎO�DAS�
CLASSES�LATERAIS��/�PROBLEMA�CONSISTE�NO�FATO�DE�QUE�EXISTEM�MUITAS�FORMAS�DE�
SE�ESCREVER�A�CLASSE�LATERAL�A.��0OR�EXEMPLO��UMA�OUTRA�FORMA�DE�SE�ESCREVER�
ESTA� CLASSE� LATERAL� Ï� AX.� PARA� QUALQUER� Ý  �� !LIÉS�� VOCÐ� PODE� PROVAR�
ISTO�NA�!TIVIDADE���
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 – £ ��
.ESSE�CASO��TEREMOS
> L � �SE��E�SOMENTE�SE�� > L 
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!SSIM��TEMOS
0ORTANTO��PROVAMOS�QUE� > >Ý 
 – £ ­ ® �E��CONSEQàENTEMENTE��QUE��A.���AX.�PARA�
TODO�X∈.�
!TIVIDADE��
3EJA�H∈(�UM�ELEMENTO�QUALQUER��6AMOS�PROVAR�QUE�… >�> 
£ ��#OMO��EXISTE�… �£  �
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2 % 3 5-/
.ESTA�AULA�ESTUDAMOS�UMA�CLASSE�ESPECIAL�DE�SUBGRUPOS�DE�UM�GRUPO����SÎO�OS�
CHAMADOS�SUBGRUPOS�NORMAIS��MAIS�PRECISAMENTE��DIZEMOS�QUE�UM�UM�SUBGRUPO� �
Ï�NORMAL�EM���SE�} } ÊrÊ ‡£ �PARA�TODO�} � ��OU��EQUIVALENTEMENTE��SE�} }� �
PARA�TODO� } � �
%STES�SUBGRUPOS�SÎO�IMPORTANTES�POIS��NESSE�CASO��O�CONJUNTO�DAS�CLASSES�LATERAIS�
DE� �EM����UM�GRUPO��CHAMADO�DO�GRUPO�QUOCIENTE�DE���E�QUE�FOI�DENOTADO�
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DO�GRUPO�'��#OMO� -Î È� ��OS�SUBGRUPOS�DE� -Î Ó
Ó£� [ ]] ] ] ] ]α α β βα βα �SØ�PODEM�
TER�ORDEM���������OU����!SSIM��TEMOS�AS�SEGUINTES�POSSIBILIDADES�
3E� � � £��O�SUBGRUPO�SØ�PODE�SER�O�SUBGRUPO�TRIVIAL��£ £� [ ]Æ
3E� � � Ó��COMO�3��TEM�TRÐS�ELEMENTOS�DE�ORDEM����A�SABER�� β βα βα] ]
Ó��ENTÎO�OS�
SUBGRUPOS�DE�ORDEM���SÎO�� �Ó � O ] Pβ ��� �Î � O ] Pβα �E�� �{ � O ] Pβα
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GRUPO�E�SUAS�PROPRIEDADES�BÉSICAS�
!O�lNAL�DESTA�AULA��VOC�DEVER�SER�CAPAZ�DE�
s�2ECONHECER�E�CONCEITUAR�UM�HOMOMORlSMO�DE�GRUPOS�
s�!PRESENTAR�E�DEMONSTRAR�VÉRIAS�PROPRIEDADES�DOS�HOMOMORlSMOS�
DE�GRUPOS�
s�!PRESENTAR�E�CALCULAR�IMPORTANTES�EXEMPLOS�DE�HOMOMORlSMOS�
DE�GRUPOS�
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GRUPOS�DAS�!ULAS����A����
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NA�!ULA���ESTUDAMOS�O�CONCEITO�DE�HOMOMORlSMO�DE�ANÏIS�E�MUITAS�DE�SUAS�
PROPRIEDADES��#OMO�ACONTECEU�NAQUELA�AULA��EM�QUE�VIMOS�TAMBÏM�O�CONCEITO�
DE�ISOMORlSMO�DE�ANÏIS��VEREMOS�AQUI�O�CONCEITO�DE�ISOMORlSMO�DE�GRUPOS��
/S�ISOMORlSMOS�SÎO�MUITO�IMPORTANTES�PORQUE�ELES�PERMITEM�A�IDENTIlCA ÎO�
ENTRE�GRUPOS�APARENTEMENTE�MUITO�DIFERENTES��,EMBRE�QUE�UM�HOMOMORlSMO�
DE�ANÏIS�Ï�UMA�FUN ÎO�ENTRE�DOIS�ANÏIS�QUE�PRESERVA�AS�OPERA ÜES�DESTES�ANÏIS��
!NALOGAMENTE��UM�HOMOMORlSMO�DE�GRUPOS�Ï�UMA�FUN ÎO�ENTRE�DOIS�GRUPOS�
QUE�PRESERVA�A�OPERA ÎO�DESTES�GRUPOS��6AMOS�ÌS�DElNI ÜES�
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QUE�ˆ}��Ï�INJETORA��%NTÎO��COMO�ˆ}Ê\Ê�ÊÊ→ÊÊ��Ï�UM�HOMOMORlSMO�BIJETOR��TEMOS�
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Álgebra II
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264 C E D E R J
Aulas 6 a 11
Aulas 12 e 13
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro:IMPA, 1999. (Projeto 
Euclides-IMPA.)
IEZZ, Gelson et al. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: Atual, 1993. v. 6. 
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Álgebra: um curso introdutório. [s.l: s.n.], 2004. 
(Projeto Euclides - IMPA.)
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. (Projeto 
Euclides-IMPA.)
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. (Projeto 
Euclides-IMPA.)
IEZZ, Gelson et al. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: Atual, 1993. v. 6. 
Aula 14
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Álgebra: um curso introdutório. [s.l: s.n.], 2004. 
(Projeto Euclides - IMPA.)
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. (Projeto 
Euclides-IMPA.)
Aula 15
9 7 8 8 5 7 6 4 8 3 1 4 4
ISBN 85 -7648 -314-9