Desigualdades Matemáticas

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Mestrado Profissional
em Matemática em Rede Nacional
Iniciação à Matemática
Autores:
Krerley Oliveira Adán J. Corcho
Unidade IV:
Capítulos VII e VIII
7
Desigualdades
Existem duas formas de fazer ótima Matemáti
a. A primeira é sermais esperto que todo mundo. A segunda é ser mais estúpido quetodo mundo � mas persistente. Raoul Bott
Neste capítulo estudaremos algumas desigualdades clássicas que
são usadas frequentemente na resolução de problemas matemáticos,
sendo estas aplicadas em contextos que variam desde o nível mais
simples até o mais complexo.
Uma vez que uma inequação em uma ou mais variáveis é resolvida,
o resultado dá lugar a uma desigualdade que é válida para um certo
conjunto de valores. Alguns exemplos simples de desigualdades são os
seguintes:
(a) x ≤ |x|, para qualquer −1 < x < 1;
(b) x2 < x, se x < 1;
(c) (x− y)2 ≥ 0, para quaisquer x e y reais;
(d) x
y
+ y
x
≥ 2, para quaisquer x, y > 0.
233
234 7 Desigualdades
7.1 Desigualdade Triangular
A desigualdade triangular a�rma o seguinte
Teorema 7.1 (Desigualdade Triangular). Dado um triângulo ABC o
comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos compri-
mentos dos outros dois lados, ou seja,
AB < AC + CB, AC < AB +BC e BC < BA+ AC.
A B
C
Figura 7.1: Desigualdade Triangular
Em outras palavras, a desigualdade triangular é a formulação ma-
temática da ideia intuitiva de que o caminho reto é mais curto entre
os pontos A e B.
Em analogia com a geometria plana temos uma versão da desigual-
dade triangular para números reais, que provamos a seguir.
Proposição 7.2. Sejam a e b números reais quaisquer, então
|a+ b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstração. Se a + b ≥ 0, então |a + b| = a + b ≤ |a| + |b|. Caso
contrário, se a+ b < 0, então |a+ b| = −a− b ≤ |a|+ |b|.
7.1 Desigualdade Triangular 235
Corolário 7.3. As seguintes desigualdades valem
|a− b| ≤ |a|+ |b| (7.1)
|a− b| ≥ |a| − |b|, (7.2)
|a− b| ≥
∣∣|a| − |b|∣∣ (7.3)
Demonstração. Para a primeira, escrevemos |a − b| = |a + (−b)| ≤
|a| + | − b| = |a| + |b|. A segunda desigualdade decorre de |a| =
|b+ (a− b)| ≤ |b|+ |a− b|. A última desigualdade é consequência da
segunda, trocando os papéis de a e b.
A
B
C
D
O•
•P
Figura 7.2: Problema da central de energia
Exemplo 7.4. Quatro cidades rurais, A, B, C e D, estão situadas
geogra�camente formando um quadrilátero convexo. Deseja-se cons-
truir uma central de distribuição de energia para as quatro cidades de
modo que a soma total das distâncias da central a cada uma das quatro
cidades seja a mínima possível. Onde deverá ser construída a central?
Solução. Mostraremos que a central de energia deverá ser colocada
no ponto O de intersecção das diagonais do polígono ABCD. Com
236 7 Desigualdades
efeito, considerando um ponto P , diferente de O, (veja Figura 7.2) a
desigualdade triangular nos garante que
OA+OC = AC < PA+ PC
e
OB +OD = BP < PB + PD,
de onde se segue que
OA+OC +OB +OD < PA+ PC + PB + PD,
como esperávamos.
Exemplo 7.5. Duas torres de alturas h1 e h2, respectivamente, estão
separadas a uma distância d. As torres são amarradas por uma corda
APB que vai do topo A da primeira torre para um ponto P no chão,
entre as torres, e então até o topo B da segunda torre, como na Figura
7.3. Qual a posição do ponto P que nos dá o comprimento mínimo da
corda a ser utilizada?
A
B
P
Figura 7.3: Problema das Torres
7.1 Desigualdade Triangular 237
Solução. Imaginemos que a superfície do chão é um espelho e que re-
�etimos o ponto através deste, obtendo assim o ponto B′ como mostra
a Figura 7.4.
A
B
PC D
B′
P ′
Figura 7.4: Solução geométrica do problema das torres
Consideremos o segmento AB′ que intercepta o chão no ponto P
e para nossa surpresa veri�caremos que este é o ponto que nos dá o
comprimento mínimo das cordas. Com efeito, suponhamos que existe
outro P ′ situado entre as torres que nos dá um comprimento menor
para a corda, então da Figura 7.4 é fácil ver que os triângulos BPD
e B′PD são congruentes, assim como os triângulos BP ′D e B′P ′D
também são congruentes. Logo, as seguintes igualdades seguem dire-
tamente das congruências:
BP = B′P e BP ′ = B′P ′.
Agora, usando a desigualdade triangular no triângulo AB′P ′ e as igual-
dades acima, temos que
AP ′ + P ′B = AP ′ + P ′B′ ≥ AB′ = AP + PB′ = AP + PB,
238 7 Desigualdades
chegando assim à conclusão de que AP + PB nos oferece o compri-
mento mínimo desejado.
Agora calcularemos a que distância está P da base D. Lembremos
que AC = h1, BD = h2 e CD = d e observamos que
tang(]BPD) =
h2
PD
=
h1
d− PD.
Daí tem-se PD =
dh2
h1 + h2
.
7.2 Desigualdade das Médias
De�nição 7.6. Sejam a1, a2, . . . , an−1 e an números reais positivos.
As quantidades
mh(a1, a2, . . . , an) =
n
1/a1 + 1/a2 + · · ·+ 1/an
, (7.4)
mg(a1, a2, . . . , an) = n
√
a1a2 · · · an, (7.5)
ma(a1, a2, . . . , an) =
a1 + a2 + · · ·+ an
n
, (7.6)
mq(a1, a2, . . . , an) =
√
a21 + a
2
2 + · · ·+ a2n
n
(7.7)
são chamadas, respectivamente, de média harmônica, média geomé-
trica, média aritmética e média quadrática dos números ai, i = 1, 2, . . . , n.
A seguir provaremos alguns resultados que estabelecem relações de
desigualdades entre as médias de�nidas acima.
7.2 Desigualdade das Médias 239
Proposição 7.7 (Desigualdade das Médias Aritmética e Quadrática).
Dados a1, a2, . . . , an números reais positivos tem-se
a1 + a2 + · · ·+ an
n
≤
√
a21 + a
2
2 + · · ·+ a2n
n
,
ou seja, ma(a1, a2, . . . , an) ≤ mq(a1, a2, . . . , an). Além disso, a igual-
dade vale se, e somente se, a1 = a2 = · · · = an.
Demonstração. Usando a igualdade∑
1≤i<j≤n
(ai − aj)2 = (n− 1)
n∑
i=1
a2i − 2
∑
1≤i<j≤n
aiaj (7.8)
concluímos que,
2
∑
1≤i<j≤n
aiaj ≤ (n− 1)
n∑
i=1
a2i , (7.9)
dado que o termo da esquerda em (7.8) é não negativo. Somando em
ambos os membros de (7.9) a quantidade
n∑
i=1
a2i obtemos
( n∑
i=1
ai
)2
≤ n
n∑
i=1
a2i ,
donde, dividindo por n2 e tomando a raiz quadrada, segue-se a desi-
gualdade desejada. Por último, observamos que a igualdade em (7.9)
é atingida se, e somente se,
∑
1≤i<j≤n
(ai − aj)2 = 0, o que é verdade se,
e somente se, a1 = a2 = · · · = an.
Proposição 7.8 (Desigualdade das médias Geométrica e Aritmética).
Dados a1, a2, . . . , an números reais positivos tem-se
n
√
a1a2 · · · an ≤
a1 + a2 + · · ·+ an
n
,
240 7 Desigualdades
ou seja, mg(a1, a2, . . . , an) ≤ ma(a1, a2, . . . , an). Além disso, a igual-
dade vale se, e somente se, a1 = a2 = · · · = an.
Demonstração. A prova desta desigualdade é mais técnica e exige um
pouco mais de esforço. Dividiremos a mesma em dois passos.
Passo 1. A desigualdade vale para n = 2m.
Procederemos por indução. Para n = 2 a desigualdade vale. De
fato,
(
√
a1 −
√
a2)
2 = a1 + a2 − 2
√
a1a2 ≥ 0.
Assim, a1 + a2 ≥ 2
√
a1a2 e conseqüentemente a1+a22 ≥
√
a1a2.
Agora provamos que se a desigualdade vale para n = k, então
também vale para n = 2k. Com efeito,
a1 + · · ·+ a2k
2k
=
a1+···+ak
k
+ ak+1+···+a2k
k
2
(1)
≥
k
√
a1 · · · ak + k√ak+1 · · · a2k
2
(2)
≥
√
k
√
a1 · · · ak k
√
ak+1 · · · a2k
= 2k
√
a1 · · · a2k,
onde em (1) e (2) usamos a validade da desigualdade em para n = k
e para n = 2, respectivamente. Logo, como já provamos a validade
para n = 2, é claro que vale também para n = 4, 8, . . . , 2m, . . . , como
esperávamos.
Passo 2. Dado m inteiro positivo, então a desigualdade vale para
todo n < 2m.
Para veri�car isto, de�nimos o número
L = n
√
a1 · · · an,
7.2 Desigualdade das Médias 241
e como a desigualdade vale para n = 2m, temos então que
a1 + · · ·+ an + L+ · · ·+ L︸ ︷︷ ︸
2m−n vezes
2m
≥ 2m
√
a1 · · · an · L2m−n
=
2m
√
Ln · L2m−n = L.
Portanto,
a1 + · · ·+ an + (2m − n)L
2m
≥ L,
logo
a1 + · · ·+ an ≥ 2mL− (2m − n)L = nL,
obtendo assim que
a1 + · · ·+ an ≥ nL = n n
√
a1 · · · an,
o que nos dá a desigualdade desejada.
Como para qualquer inteiro positivo n sempre existe um inteiro
positivo m tal que n < 2m, a desigualdade �ca provada para todo n.
A prova de que a igualdade só ocorre quando a1 = a2 = · · · = anpode também ser feita por indução e deixamos a cargo do leitor.
Proposição 7.9 (Desigualdade das Médias Harmônica e Geométrica).
Dados a1, a2, . . . , an números reais positivos tem-se
n
1/a1 + 1/a2 + · · ·+ 1/an
≤ n√a1a2 · · · an,
ou seja, mh(a1, a2, . . . , an) ≤ mg(a1, a2, . . . , an). Além disso, a igual-
dade vale se, e somente se, a1 = a2 = · · · = an.
Demonstração. Usando a Proposição 7.8 com os números ai substituí-
dos por 1/ai (i = 1, 2 . . . , n) vale que( n∏
i=1
1
ai
)1/n
= mg(1/a1, . . . , 1/an) ≤ ma(1/a1, . . . , 1/an) =
1
n
n∑
i=1
1
ai
.
242 7 Desigualdades
Invertendo esta última desigualdade, obtemos então
mh(a1, a2, . . . , an) ≤ mg(a1, a2, . . . , an),
concluindo-se assim a prova. Notemos que as igualdades só ocorrem
se 1/a1 = 1/a2 = · · · = 1/an equivalem as igualdades a1 = a2 = · · · =
an.
O próximo resultado resume as relações provadas, nas proposições
7.7, 7.8 e 7.9, para as médias mh, mg, ma e mq.
Teorema 7.10 (Desigualdade das Médias). Para toda coleção de nú-
meros reais positivos a1, a2, . . . , an−1 e an se veri�cam as seguintes
desigualdades:
min(a1, . . . , an) ≤ mh(a1, a2, . . . , an)
≤ mg(a1, a2, . . . , an)
≤ ma(a1, a2, . . . , an)
≤ mq(a1, a2, . . . , an) ≤ max(a1, . . . , an).
(7.10)
Além disso, em cada caso a igualdade ocorre se, e somente se, a1 =
a2 = · · · = an.
Exemplo 7.11. Num triângulo retângulo a altura relativa à hipote-
nusa é sempre menor ou igual que a metade da hipotenusa. Além
disso, a igualdade só ocorre quando o triângulo retângulo é isósceles
(ou seja, seus catetos são iguais).
Solução. Usando a Figura 7.5, temos que a hipotenusa c é dada por
c = x+ y e usando o teorema das alturas para um triângulo retângulo
7.2 Desigualdade das Médias 243
temos que h2 = xy, logo h =
√
xy. A desigualdade entre as médias
geométrica e aritmética nos dá que
h =
√
xy ≤ x+ y
2
=
c
2
,
como queríamos. Além disso, a altura é a metade da hipotenusa se, e
x y
c
h
a b
Figura 7.5: Interpretação geométrica da desigualdade das médias geo-
métrica e aritmética
somente se, a igualdade entre as médias ocorre, ou seja, quando x = y.
Então, os catetos a e b do triângulo são iguais, sendo este isósceles.
Exemplo 7.12 (Desigualdade Isoperimétrica para Triângulos). O pe-
rímetro de um triângulo de lados a, b e c é a soma p = a + b + c.
Entre todos os triângulos com perímetro �xado p o de maior área é o
triângulo equilátero.
Solução. Usando a Fórmula de Herón temos que a área de um triân-
gulo com perímetro p é dada pela expressão
A =
√
p
2
(p
2
− a)(p
2
− b)(p
2
− c),
onde a, b e c são os lados do triângulo.
Usando agora a desigualdade mg ≤ ma temos que,
A ≤
√
p
2
( p
2
−a+p
2
−b+p
2
−c
3
)3
=
p2
12
√
3
.
244 7 Desigualdades
Logo a maior área possível é p
2
12
√
3
, a qual é atingida quando
p
2
− a = p
2
− b = p
2
− c⇔ a = b = c,
ou seja, quando o triângulo é equilátero. Notemos que neste caso,
p2
12
√
3
= a
2
√
3
4
.
Exemplo 7.13 (Desigualdade Isoperimétrica para Paralelepípedos).
Entre todos os paralelepípedos com área lateral �xada A o de maior
volume é o cubo (ou seja, o paralelepípedo com todos seus lados iguais).
a
b
c
Figura 7.6: A área lateral de um paralelepípedo de lados a, b e c é dada
por AL = 2(ab+ bc+ ac).
Solução. Denotando por a, b e c as medidas das arestas do paralele-
pípedo sabemos que é a soma das áreas de todas as faces do paralele-
pípedo, ou seja,
AL = 2(ab+ ac+ bc).
Sendo V o volume do paralelepípedo e usando a desigualdade entre as
médias aritmética e geométrica temos que
V 2 = ab · ac · bc ≤
(
ab+ ac+ bc
3
)3
=
(
AL
6
)3
. (7.11)
Assim, o maior volume possível é V =
√(
AL
6
)3
, obtido quando ab =
ac = bc, consequentemente a = b = c.
7.3 Desigualdade de Cauchy-Schwarz 245
7.3 Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Teorema 7.14 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Dados a1, . . . ,
an e b1, . . . , bn números reais tem-se
|a1b1 + · · ·+ anbn| ≤
√
x21 + · · ·+ a2n
√
b21 + · · ·+ b2n (7.12)
Além disso, a igualdade só ocorre se existir um número real α, tal que
a1 = αb1, . . . , an = αbn ou b1 = αa1, . . . , bn = αan.
Demonstração. Usando a identidade de Lagrange:
n∑
i=1
a2i
n∑
i=1
b2i =
( n∑
i=1
aibi
)2
+
∑
1≤i<j≤n
(aibj − ajbi)2
temos que ( n∑
i=1
aibi
)2
≤
n∑
i=1
a2i
n∑
i=1
b2i ,
de onde se obtém diretamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se,∑
1≤i<j≤n
(aibj − ajbi)2 = 0⇐⇒ aibj − ajbi = 0, 1 ≤ i < j ≤ n,
o que é verdade se, e somente se, existe α tal que ai = αbi ou bi = αai,
com i = 1, 2, . . . , n.
Exemplo 7.15. Entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b
e hipotenusa c �xada, o que tem maior soma dos catetos s = a + b é
o triângulo isósceles.
Solução. Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que
a+ b = a · 1 + b · 1 ≤
√
a2 + b2
√
12 + 12 = c
√
2
246 7 Desigualdades
e este máximo é atingido quando a = λ · 1 e b = λ · 1 ou 1 = λ · a e
1 = λ · b. Em qualquer caso devemos ter a = b.
Exemplo 7.16 (Desigualdade de Minkowski). Dados ai, bi com 1 ≤
i ≤ n, números reais, tem-se√√√√ n∑
i=1
(ai + bi)2 ≤
√√√√ n∑
i=1
a2i +
√√√√ n∑
i=1
b2i .
Solução. Partimos da seguinte igualdade:
n∑
i=1
(ai + bi)
2 =
n∑
i=1
a2i +
n∑
i=1
b2i + 2
n∑
i=1
aibi. (7.13)
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz no lado direito de (7.13)
temos que
n∑
i=1
(ai + bi)
2 ≤
n∑
i=1
a2i +
n∑
i=1
b2i + 2
√√√√ n∑
i=1
a2i
√√√√ n∑
i=1
b2i
=
√√√√ n∑
i=1
a2i +
√√√√ n∑
i=1
b2i
2 .
(7.14)
Tomando raiz quadrada em ambos os membros de (7.14) obtemos a
desigualdade de Minkowski.
7.4 Desigualdade de Jensen
A Desigualdade de Jensen está estreitamente relacionada com o con-
ceito de convexidade, o qual explicamos a seguir.
7.4 Desigualdade de Jensen 247
De�nição 7.17. Uma função f : [α, β] → R é dita convexa se para
quaisquer a, b ∈ [α, β] e para todo λ ∈ [0, 1] satisfaz
f
(
λa+ (1− λ)b
)
≤ λf(a) + (1− λ)f(b).
x
y
•
•
a b
(a, f(a))
(b, f(b))
y = f(x)
Figura 7.7: Grá�co de uma função convexa
Geometricamente, a de�nição de convexidade signi�ca que para
cada par de pontos a e b escolhidos no intervalo [α, β] o grá�co da
função encontra-se abaixo do segmento de reta secante que junta os
pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), como mostra a Figura 7.7.
Exemplo 7.18. A função f(x) = x2 é convexa em qualquer intervalo
[α, β].
Solução. Sejam a, b ∈ [α, β] e suponhamos, sem perda de generalidade,
248 7 Desigualdades
que a < b. Então, para todo λ ∈ [0, 1] valem as desigualdades:
(λa+ (1− λ)b)2 = λ2a2 + (1− λ)2b2 + 2λ(1− λ)ab
(1)
≤ λ2a2 + (1− λ)2b2 + λ(1− λ)(a2 + b2) (7.15)
= a2[λ2 + λ(1− λ)] + b2[(1− λ)2 + λ(1− λ)]
= λa2 + (1− λ)b2,
onde na passagem (1) usamos a desigualdade ab ≤ a2+b2
2
.
Exemplo 7.19. A função f(x) = 1/x é convexa em qualquer intervalo
[α, β] com α positivo.
Solução. Sendo a, b ∈ [α, β] com a < b, para todo λ ∈ [0, 1] tem-se
1 = (λ+ (1− λ))2
= λ2 + 2λ(1− λ) + (1− λ)2
(1)
≤ λ2 +
(a
b
+
b
a
)
λ(1− λ) + (1− λ)2 (7.16)
= λ2 +
a
b
λ(1− λ) + b
a
λ(1− λ) + (1− λ)2
= λa
(λ
a
+
(1− λ)
b
)
+(1− λ)b
(λ
a
+
(1− λ)
b
)
=
(
λa+ (1− λ)b
)(λ
a
+
(1− λ)
b
)
onde na passagem (1) usamos que a/b + b/a ≥ 2 para quaisquer nú-
meros positivos a e b. De (7.16) segue-se que
1
λa+ (1− λ)b ≤ λ
1
a
+ (1− λ)1
b
,
mostrando isto a convexidade da função 1
x
.
7.4 Desigualdade de Jensen 249
Observemos que, usando a desigualdade entre as médias aritmética
e quadrática obtemos(
a1 + a2 + · · ·+ an
n
)2
≤ a
2
1 + a
2
2 + · · ·+ a2n
n
,
em outras palavras
(ma(a1, a2, . . . , an))
2 ≤ ma(a21, a22, . . . , a2n). (7.17)
Por outro lado, a desigualdade entre as médias harmônica e aritmética
nos garantem que
1
ma(a1, a2, . . . , an)
≤ ma(1/a1, 1/a2 . . . , 1/an). (7.18)
O seguinte resultado garante que as propriedades (7.17) e (7.18), satis-
feitas pelas funções convexas x2 e 1
x
, são válidas para qualquer função
convexa.
Teorema 7.20 (Desigualdade de Jensen). Seja f : [α, β] → R uma
função convexa e sejam λi ∈ [0, 1] (i = 1, . . . ,n) tais que
n∑
i=0
λi = 1.
Então, para quaisquer ai ∈ [α, β] (i = 1, . . . , n) vale
f(λ1a1 + · · ·+ λnan) ≤ λ1f(a1) + · · ·+ λnf(an). (7.19)
Observação 7.21. Observemos que, quando λ1 = λ2 = · · · = λn =
1/n, a desigualdade de Jensen nos diz que
f
(a1 + a2 + · · ·+ an
n
)
≤ f(a1) + f(a2) + · · ·+ f(an)
n
,
ou seja, f(ma(a1, . . . , an)) ≤ ma(f(a1), . . . , f(an)).
250 7 Desigualdades
Demonstração. Faremos a prova por indução. Para n = 2 a validade
decorre diretamente da de�nição. Suponhamos que dado n natural
(7.19) vale, então temos que provar a validade de
f
(n+1∑
j=1
λjaj
)
≤
n+1∑
j=i
λjf(aj). (7.20)
Notemos que
n+1∑
j=1
λjaj =
n∑
j=1
λjaj +
(
1−
n∑
j=1
λj
)
an+1
= α
n∑
j=1
λj
α
aj + (1− α)an+1,
(7.21)
onde α =
n∑
j=1
λj. Assim, usando que
n∑
j=i
λj
α
= 1 e a hipótese de indução,
obtemos
f
(n+1∑
j=1
λjaj
)
≤ αf
( n∑
j=1
λj
α
aj
)
+(1− α)f(an+1)
≤ α
n∑
j=1
λj
α
f(aj) + (1− α)f(an+1)
=
n+1∑
j=1
λjf(aj),
(7.22)
como queríamos provar.
7.5 Exercícios
1. Provar que em todo triângulo a soma dos comprimentos das
medianas é menor que o perímetro do triângulo e maior que o
semiperímetro deste.
7.5 Exercícios 251
2. Os centros de três círculos que não se intersectam estão sobre
uma reta. Prove que se um quarto círculo toca de forma tangente
os três círculos, então o raio deste é maior que pelo menos um
dos raios dos três círculos dados.
3. Dado n inteiro positivo, provar que
n∑
j=1
1
j
≥ 2n
n+ 1
.
4. A soma de três números positivos é 6. Provar que a soma de
seus quadrados não é menor que 12.
5. Determinar as dimensões do paralelepípedo de menor diagonal
possível, sabendo que a soma dos comprimentos de todas suas
arestas é 12.
6. Encontrar todas as soluções positivas do sistema de equações
não lineares x21 + · · ·+ x210 = 11
x21
+ · · ·+ 1
x210
= 100.
7. Demonstrar que, se a1, a2, . . . , an são números positivos tais que
a1a2 · · · an = 1
então
(1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) ≥ 2n.
8. Prove que a média geométrica é super-aditiva, isto é, para nú-
meros não negativos ai e bi, 1 ≤ i ≤ n, tem-se
n
√√√√ n∏
i=1
ai +
n
√√√√ n∏
i=1
bi ≤ n
√√√√ n∏
i=1
(ai + bi).
252 7 Desigualdades
Além disso, estude em que condições ocorre a igualdade.
Sugestão: Use a desigualdade entre as médias geométrica e aritmética.
9. Usar o método de indução para provar a desigualdade de Cauchy-
Schwarz.
10. Para todo λ real
n∑
i=1
(ai +λbi)
2 ≥ 0. Use este fato para dar outra
prova da desigualdade de Cauchy-Schwarz.
11. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para dar uma prova alter-
nativa da desigualdade entre as médias aritmética e quadrática
(ma ≤ mq).
12. Prove que
n∑
i=1
aibi ≤
1
2
{
n∑
i=1
a2i +
n∑
i=1
b2i
}
.
13. Prove que a4 + b4 + c4 ≥ abc(a+ b+ c).
14. Prove que se a ≥ 0, b ≥ 0 e c ≥ 0, então
(a+ b)(a+ c)(b+ c) ≥ 8abc.
15. Prove a desigualdade de Bernoulli: (1 + x)n > 1 + nx, para
qualquer x positivo e n inteiro positivo.
16. Prove que se a, b, c e d são inteiros positivos, então:
(a+ b+ c+ d)
(
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
)
≥ 16.
17. Prove que se a ≥ 0, b ≥ 0 e c ≥ 0, então
(ab+ bc+ ca) ≥ a
√
bc+ b
√
ac+ c
√
ab.
7.5 Exercícios 253
18. Prove que se x ≥ 0, então 3x3 − 6x2 + 4 ≥ 0.
Sugestão: Use a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica.
19. Prove que se x ≥ 0, então 2x+ 3/8 ≥ 4√x.
20. Sejam C1 e C2 dois círculos concêntricos de raios r1 e r2, res-
pectivamente, com r1 < r2. Sobre o círculo C1 se marcam dois
pontos P1 e P2 diametralmente opostos. Deseja-se encontrar o
ponto P sobre o círculo C2 que maximiza a soma
d(P ) = PP1 + PP2.
254 7 Desigualdades
8
Polinômios
A 
oisa mais bela que podemos 
ontemplar é o mistério. Isto é afonte da verdadeira arte e 
iên
ia. Albert Einstein
8.1 Operações com Polinômios
A necessidade de estudar equações polinomiais aparece em problemas
práticos da humanidade desde épocas muito remotas. Indícios arque-
ológicos indicam que os babilônicos já tinha o domínio de técnicas de
resolução de algumas equações do primeiro grau e do segundo grau,
apresentadas em forma de problemas cotidianos. Contudo, o grande
avanço teórico no estudo das equações polinomiais só se iniciou com o
Renascimento na Europa. No início do século XVI, Vièti introduziu o
uso de letras para representar quantidades desconhecidas.
Na mesma época, um outro grande desa�o estava perturbando as
mentes matemáticas de toda a Europa, em especial as da Itália. A
solução explícita utilizando as operações elementares (soma, subtra-
ção, multiplicação, divisão, radiciação e potenciação) da equação do
255
256 8 Polinômios
terceiro grau não era conhecida e muitos dos melhores matemáticos
da época trabalharam neste problema, destacando-se entre eles Ni-
colo Fontana, o Tartaglia (gago, em italiano). A história da solução
desta equação está repleta de intrigas, disputas e acusações, envol-
vendo Tartaglia e Cardano. Hoje os historiadores atribuem a Tarta-
glia a primazia na descoberta da solução da equação do terceiro grau
como conhecemos. É desta época também a solução da equação do
quarto grau, atribuída a Ludovico Ferrari.
Entretanto, apesar dos muitos esforços empreendidos na direção de
encontrar a solução geral da equação do quinto grau, mais de 200 anos
se passaram sem nenhum sucesso. Até que em 1824, o matemático
norueguês Niels Abel mostrou que é impossível resolver as equações de
grau cinco em sua forma geral. Ou seja, nem todas as equações de grau
cinco podem ser resolvidas com as operações elementares. Mais ainda,
em 1830 o matemático francês Evariste Galois descobriu um método
que determina quando uma equação de grau qualquer é resolúvel com
as operações elementares, encerrando um belíssimo capítulo do estudo
das equações polinomiais e da Matemática.
Neste capítulo iremos estudar um pouco mais formalmente os poli-
nômios e suas propriedades.
De�nição 8.1. Um polinômio na variável x é uma expressão do tipo
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
onde a0, a1, . . . , an são números. Se an 6= 0, dizemos que n é o grau
do polinômio e a0, a1, . . . , an são seus coe�cientes. O coe�ciente an é
chamado de coe�ciente líder do polinômio.
Observação 8.2. Não se de�ne o grau do polinômio nulo, que tem
todos os coe�cientes iguais a zero.
8.1 Operações com Polinômios 257
Por exemplo,
• p(x) = 3x− 1 é um polinômio de grau 1;
• q(x) = 4x3 + 7x+ 1 é um polinômio de grau 3;
• t(x) = π
2
x4 é um monômio de grau 4;
• v(x) = −π
2
x4 + 5x2 + 1 é um polinômio de grau 4;
• u(x) = 7 é um polinômio de grau 0.
Uma equação polinomial de grau n, ou simplesmente uma equação
de grau n, é uma sentença p(x) = 0, onde p(x) é um polinômio de
grau n com coe�cientes reais. Por exemplo, 2x−1 = 0 é uma equação
do primeiro grau, enquanto −x5 + 4x3 + 5x− 1 = 0 é uma equação de
grau 5. Note que nem todos os coe�cientes precisam ser diferentes de
zero.
Para obtermos o valor do polinômio p(x) = anxn + an−1xn−1 +
· · ·+a1x+a0 no número real r, devemos substituir x por r para obter
o número real
p(r) = anr
n + an−1r
n−1 + · · ·+ a1r + a0.
Por exemplo, o valor do polinômio p(x) = 4x3 − 7x+ 1 em 2 é p(2) =
4 · 23 − 7 · 2 + 1 = 19.
Dizemos que um número real r é uma raiz para a equação
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0
se o valor de p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 em r é zero, ou
seja, se r veri�ca
anr
n + an−1r
n−1 + · · ·+ a1r + a0 = 0.
258 8 Polinômios
Por exemplo, 5 é raiz da equação:
2x− 10 = 0.
Uma das vantagens dos polinômios sobre outros objetos matemá-
ticos é que podemos de�nir as operações de soma de polinômios e
multiplicação de polinômios. Com estas operações, o conjunto dos po-
linômios possui muitas propriedades similares à dos números inteiros,
tornando prático o seu uso.
Vamos de�nir agora o que signi�ca a soma de dois polinômios.
Para isso, vamos começar somando dois monômios e depois estender
nossa de�nição para polinômios em geral.
Para somar dois monômios de mesmo grau p(x) = akxk e q(x) =
bkx
k somamos seus coe�cientes,obtendo o polinômio t(x) = p(x) +
q(x) = (ak+bk)x
k. Em geral, para somar o polinômio p(x) = a0+a1x+
a2x
2 + · · ·+ anxn com o polinômio q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm, onde
n ≤ m devemos somar todos os monômios de mesmo grau, obtendo o
polinômio:
t(x) = p(x) + q(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cmxm
onde, ci = ai + bi para 0 ≤ i ≤ n e ci = bi para i > n.
Por exemplo, sendo
• p(x) = 3x− 1,
• q(x) = 4x3 + 7x+ 1,
• t(x) = π
2
x4,
• v(x) = −π
2
x4 + 5x2 + 1
8.1 Operações com Polinômios 259
temos que
• p(x) + q(x) = 4x3 + (3 + 7)x− 1 + 1 = 4x3 + 10x,
• v(x) + t(x) = (π
2
− π
2
)x4 + 5x2 + 1 = 5x2 + 1.
A seguir, enumeramos algumas propriedades simples e importantes
da soma de polinômios que decorrem da de�nição dada e das propri-
edades análogas válidas para os números reais.
1. Associatividade. Dados polinômios p(x), q(x) e t(x), vale
(p(x) + q(x)) + t(x) = p(x) + (q(x) + t(x))
2. Elemento neutro. Se 0 denota o polinômio nulo e p(x) é um
polinômio qualquer, então
0 + p(x) = p(x).
3. Elemento simétrico. Se p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn é um
polinômio, então o polinômio q(x) = −a0 − a1x − · · · − anxn
satisfaz:
p(x) + q(x) = 0.
4. Comutatividade. Se p(x) e q(x) são polinômios, então
p(x) + q(x) = q(x) + p(x).
Note que os números inteiros possuem propriedades similares para
a operação de soma de números inteiros. Vamos agora de�nir o produto
de dois polinômios. Para isso, vamos primeiramente de�nir o produto
de dois monômios, como já �zemos no caso de soma de polinômios.
260 8 Polinômios
Se n,m são números naturais, de�nimos o produto dos monômios
p(x) = anx
n e q(x) = bmxm como:
p(x)q(x) = anbmx
n+m.
Tendo isto em mente, para efetuarmos o produto do polinômio de
grau n, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn pelo polinômio q(x) =
b0 + b1x+ · · ·+ bmxm de grau m, com n ≤ m, devemos:
• Completamos a escrita de p(x) e de q(x) até o termo n + m
colocando ak = 0 para k > n e bk = 0 para k > m;
• De�nimos
t(x) = p(x)q(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cn+mxn+m
onde, ci = a0bi +a1bi−1 + · · ·+ai−1b1 +aib0 para 0 ≤ i ≤ n+m.
Apesar de parecer complicada, a de�nição não é tão difícil de ser
aplicada. Para tentar visualizar o processo de multiplicação de dois
polinômios vamos pensar que os monômios são seres alienígenas vin-
dos do distante planeta de Algebrum e possuam mãos. Quando dois
monômios se encontram, invariavelmente eles apertam as mãos e desse
aperto aparece o produto desses monômios.
Assim, para multiplicar os polinômios p(x) e q(x), que são forma-
dos por dois grupos de monômios, devemos escolher o primeiro monô-
mio de p(x) e fazê-lo apertar a mão de cada um dos monômios de
q(x), somando os monômios obtidos. Após isso, tomamos o segundo
monômio de p(x) e fazemos ele apertar a mão de cada um dos monô-
mios de q(x), somando os monômios obtidos aos monômios anteriores.
Repetimos o processo até o último monômio de p(x).
8.1 Operações com Polinômios 261
Deste modo, se p(x) = x2 + 2x − 3 e q(x) = −x2 + 5x + 1, para
obter p(x)q(x) fazemos:
p(x)q(x) = −x4 + 5x3 + x2 − 2x3 + 10x2 + 2x+ 3x2 − 15x− 3
= −x4 + 3x3 + 14x2 − 13x− 3.
Observe que com a de�nição de multiplicação de polinômios dada
acima, o coe�ciente c0 é igual a a0b0. Do mesmo modo, o coe�ciente
do termo xn+m é cn+m = anbm. Como p(x) tem grau n (isto é, an 6= 0)
e q(x) tem grau m (bm 6= 0), o coe�ciente cn+m = anbm 6= 0. Logo,
o polinômio p(x)q(x) tem grau n + m. Com isso, demonstramos o
seguinte fato:
Proposição 8.3. Se o polinômio p(x) tem grau n e o polinômio q(x)
tem grau m, então o polinômio p(x)q(x) tem grau n+m.
Um caso particular interessante é quando multiplicamos um núme-
ro c, que podemos considerar como sendo um polinômio de grau zero
q(x) = c, por um polinômio p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn. Neste caso,
nós obtemos o polinômio
cp(x) = ca0 + ca1x+ · · ·+ canxn.
Do mesmo modo em que podemos veri�car as propriedades da
soma de polinômios a partir das propriedades similares dos números
reais, podemos também veri�car as propriedades abaixo sobre a mul-
tiplicação de polinômios. Deixamos essa veri�cação como exercício.
1. Associatividade. Dados polinômios p(x), q(x) e t(x), vale
(p(x)q(x))t(x) = p(x)(q(x)t(x))
262 8 Polinômios
2. Elemento neutro. Se 1 denota o polinômio constante e p(x) é
um polinômio qualquer, então
1p(x) = p(x).
3. Comutatividade. Se p(x) e q(x) são polinômios, então
p(x)q(x) = q(x)p(x).
4. Distributividade. Se p(x), q(x) e t(x) são polinômios, então
(p(x) + q(x))t(x) = q(x)t(x) + p(x)t(x).
Note que, assim como nos inteiros, a propriedade de existência de
elementos inversos para a multiplicação de polinômios não vale. De
fato, podemos veri�car que se p(x) é um polinômio de grau n maior ou
igual a um, então não existe um polinômio q(x) tal que p(x)q(x) = 1.
De fato, suponha por absurdo, que exista q(x) um polinômio com grau
m ≥ 0 tal que
p(x)q(x) = 1.
Então, utilizando a Proposição 8.3 temos que o grau de p(x)q(x) é
n + m que é maior ou igual que um. Como o grau do polinômio
constante 1 é zero, temos que a igualdade acima não pode valer, onde
chegamos a um absurdo.
Em resumo, os únicos polinômios que podem ter inversos com res-
peito à operação de multiplicação são os polinômios constantes não
nulos. Esta é mais uma das semelhanças entre os inteiros e os polinô-
mios.
8.2 Algoritmo de Euclides 263
8.2 Algoritmo de Euclides
Diremos que um polinômio a(x) divide o polinômio b(x) se existir q(x)
tal que b(x) = q(x)a(x).
Por exemplo, o polinômio a(x) = x2 + x + 1 divide o polinômio
x3 − 1 pois
(x− 1)(x2 + x+ 1) = x3 − 1.
Devido à Proposição 8.3, se o polinômio a(x) divide o polinômio
não nulo b(x), então o grau de a(x) é menor ou igual ao grau de b(x).
Agora, vamos enunciar um fato que vale para os inteiros e que vale
também para os polinômios e que será de grande utilidade. Pedimos
que o leitor releia o algoritmo de Euclides, estudado no Capítulo 3.
No conjunto dos polinômios, ainda vale
Teorema 8.4 (Algoritmo de Euclides). Sejam a(x) e b(x) dois polinô-
mios com coe�cientes reais, b(x) 6= 0. Então, existem polinômios com
coe�cientes reais q(x) e r(x), com r(x) = 0 ou grau de r(x) menor
que o grau de b(x) tais que:
a(x) = b(x)q(x) + r(x).
Além disso, q(x) e r(x) estão determinados de modo único.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro a unicidade. De fato, assuma
que
a(x) = b(x)q1(x) + r1(x) = b(x)q2(x) + r2(x),
com r1 e r2 de graus menores que o grau de b. Assim,
b(q1 − q2) = r2 − r1.
264 8 Polinômios
Consequentemente, q1 = q2, já que caso contrário, o polinômio b(q1 −
q2) teria grau pelo menos igual ao grau de b e o polinômio r2− r1 tem
grau menor que o grau de b.
Vamos agora mostrar a existência. Os passos da prova são idênticos
a prova do algoritmo de Euclides para números inteiros, demonstrado
no Capítulo 3. De fato, a ideia é reduzir o grau do dividendo até
que ele se torne menor que o do divisor e a divisão se torne imediata.
Note que se a tem grau menor que b, então tomamos o resto com
sendo r = a e o quociente como sendo q = 0. Suponhamos que
a(x) = anx
n+ · · ·+a1x+a0 tenha grau n e b(x) = bmxm+ · · ·+b1x+b0
tenha grau m e que n > m. De�na
c1(x) = a(x)−
an
bm
xn−mb(x).
Observe que o grau de c1 é no máximo n− 1. Se c1 puder se dividido
por b, digamos com c1(x) = b(x)q(x) + r(x), com grau de r(x) menor
que o grau de b(x), então
a(x) = b(x)
an
bm
xn−m + c1(x) = b(x)(
an
bm
xn−m + q(x)) + r(x).
Logo, reduzimos o problema de dividir o polinômio a(x) por b(x) pelo
problema de dividir o polinômio c1(x) por b(x), com c1(x) de grau
menor que a(x). Repetimos o processo, utilizando c1 no lugar de a(x),
obtendo o polinômio c2(x) de grau menor que o de c1(x). Como a cada
passo reduzimos o grau do dividendo em pelo menos uma unidade, ao
�m de no máximo n −m passos, obteremos um polinômio com grau
menor que o grau de b(x), que é claramente divisível por b(x). Proce-
dendo como antes, achamos q(x) e r(x) tais que a(x) = b(x)q(x)+r(x)
e r(x) com grau menor que o grau de b(x).
8.2 Algoritmo de Euclides 265
Por exemplo,se a(x) = 10x3 − 3x + 2 e b(x) = x2 + 1, tomando
q(x) = 10x e r(x) = −13x+ 2 temos que
10x3 − 3x+ 2 = (x2 + 1)10x+ (−13x+ 2).
Note que o grau de r(x) = −13x + 2 é menor que o grau de b(x) =
x2 + 1.
Se na expressão do polinômio p(x) decidimos substituir a variável
x por um número real s, estaremos avaliando o polinômio p(x) em s
e denotamos este número por p(s).
Por exemplo, se p(x) = x2 + 3x + 1, então substituindo x por 2,
temos que
p(2) = 22 + 3 · 2 + 1 = 11
e fazendo x = −3
p(−3) = (−3)2 + 3 · (−3) + 1 = 1.
Quando p(s) = 0 dizemos que s anula o polinômio não nulo p(x),
ou ainda, que s é uma raiz do polinômio p(x).
Por exemplo, para p(x) = x3 − 8, temos que 2 é uma raiz de p(x)
já que p(2) = 23 − 8 = 0.
Um fato muito importante que é consequência do algoritmo de
Euclides é o seguinte teorema:
Teorema 8.5. Se s é uma raiz do polinômio p(x), então o polinômio
x− s divide p(x). Reciprocamente, se x− s divide p(x), então s é raiz
de p(x).
Demonstração. Primeiramente, assuma que x − s divida p(x). Neste
caso, existe um polinômio q(x) tal que p(x) = q(x)(x− s). Avaliando
266 8 Polinômios
o polinômio p(x) em s, temos que:
p(s) = q(s)(s− s) = q(s) · 0 = 0.
Logo s é uma raiz de p(x).
Para provar que se s é uma raiz de p(x) então x − s divide p(x),
vamos utilizar o algoritmo da divisão, com a(x) = p(x) e b(x) = x− s.
Neste caso, temos que existem q(x) e r(x) de modo que r(x) = 0 ou o
grau de r(x) é menor que o grau de x− s e além disso vale
p(x) = q(x)(x− s) + r(x).
Observe que, com as condições do resto r(x), podemos escrever que
r(x) = c ∈ R. Então, p(x) = q(x)(x−s)+c e 0 = p(s) = q(s)·0+c = c.
Portanto, r(x) = 0 e p(x) = q(x)(x− s), isto é, x− s divide p(x).
A proposição anterior nos permite determinar o número máximo
de raízes reais de um polinômio não nulo. De fato, vamos mostrar.
Proposição 8.6. O número máximo de raízes reais do polinômio não
nulo p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 é n.
Demonstração. Digamos que s0 < s1 < s2 < · · · < sk sejam raízes
distintas do polinômio p(x). Observe que podemos utilizar a Propo-
sição 8.5 para garantir que existe um polinômio não nulo q1(x) tal
que
p(x) = q1(x)(x− s0).
Assim, pela Proposição 8.3, o grau de q1(x) deve ser igual a n − 1.
Note que p(si) = q1(si)(si−s0). Como para todo i = 1, 2, . . . , k temos
que si > s0 com p(si) = 0, temos que, necessariamente, q1(si) = 0.
Assim, em particular, temos que q1(s1) = 0. Logo, podemos aplicar
8.2 Algoritmo de Euclides 267
a proposição novamente para obter que existe um polinômio não-nulo
q2(x) tal que
q1(x) = q2(x)(x− s1).
Assim, como o grau de q1(x) é n − 1, pela Proposição 8.3, o grau de
q2(x) deve ser igual a n− 2.
Novamente, temos que q1(si) = q2(si)(si − s1), si > s1 e p(si) = 0
para todo i = 2, . . . , k. Disto segue que, necessariamente, q2(si) = 0,
se i = 2, 3, . . . , k. Assim, temos que q2(s2) = 0.
Logo, podemos repetir esse argumento para obter um polinômio
q3(x) de grau n−3, de modo que s3, s4, . . . , sk são raízes de q3(x). Re-
petindo o argumento, encontramos uma sequência q1(x), q2(x), q3(x), . . .
com graus no máximo n − 1, n − 2, n − 3, . . . o que nos leva a con-
cluir que não podemos repetir esse argumento mais que n vezes, já
que os graus dos polinômios q1(x), q2(x), q3(x), . . . estão diminuindo.
Ou seja, não podemos ter mais que n raízes para o polinômio p(x), o
que conclui a prova.
Alertamos que, apesar da Proposição 8.6 nos garantir que existem
no máximo n raízes reais de um polinômio de grau n não nulo, existem
polinômios que não possuem raízes reais. Por exemplo, p(x) = x2 + 1
não possui raízes rais, já que x2 ≥ 0 para todo número real x.
Uma consequência da Proposição 8.6 é a seguinte:
Proposição 8.7. Se dois polinômios p(x) e q(x) de grau n avaliados
em n+ 1 números r1, r2, . . . , rn+1 coincidem, isto é, p(ri) = q(ri) para
i = 1, 2, 3, . . . , n+ 1, então p(x) e q(x) são iguais.
Demonstração. Considere o polinômio t(x) = p(x) − q(x). Observe
que se t(x) é não-nulo, o grau de t(x) é no máximo n, já que p(x)
268 8 Polinômios
e q(x) têm graus iguais a n. Observe ainda que t(ri) = 0, já que
p(ri) = q(ri) e
t(ri) = p(ri)− q(ri) = 0.
Logo, t(x) tem grau no máximo n e mais de n raízes, contradizendo a
Proposição 8.6.
No Exercício 23 faremos uma aplicação interessante dessa propo-
sição, propondo que você prove que dados números reais a1, a2, . . . ,
an+1 e r1, r2, . . . , rn+1, então existe um único polinômio de grau n tal
que p(ri) = ai.
8.3 Sempre Existem Raízes de um Polinômio?
Pode parecer frustrante o fato de que um polinômio com coe�cientes
reais pode não possuir raízes reais. Por exemplo, quando tentamos
aplicar a fórmula de Bhaskara à equação x2 + 1 = 0, encontramos
∆ = −4 e, consequentemente, se fosse possível escrever as soluções,
elas se escreveriam como
x1 =
√
−4
2
e
x2 = −
√
−4
2
É claro que as expressões acima não têm sentido no conjunto dos
números reais, pois não existe número cujo quadrado seja −4, ou seja,
não é possível extrair a raiz quadrada de −4. Isso tirou o sono de
várias gerações de matemáticos. Desde Herón de Alexandria há dois
mil anos atrás, os matemáticos encontram expressões como a do tipo
acima, envolvendo raízes de números negativos.
8.3 Sempre Existem Raízes de um Polinômio? 269
A primeira reação da comunidade matemática foi rejeitar esses
números complexos e simplesmente desconsiderar raízes de números
negativos. Porém, já no século XVI, Cardano se deu conta de que os
números complexos surgem naturalmente quando desejamos resolver
uma equação do terceiro ou quarto grau, mas relutava quanto ao seu
uso, dizendo que esses números eram �tão sutis, quanto inúteis�.
No século seguinte, motivado pela sugestão de Albert Girard que
uma equação de grau n possui n raízes, Reneé Descartes observou que
os números reais eram insu�cientes para representar todas essas raízes
e utilizou o termo imaginárias para as raízes que não são reais.
A notação tradicional i =
√
−1 só veio a ser introduzida um século
mais tarde, com Leonard Euler, que também é o pai do termo número
complexo. Euler e o matemático francês Jean D'Alambert �zeram apli-
cações dos números complexos a problemas práticos, como projeção
de mapas e hidrodinâmica. Euler e Lagrange, grandes matemáticos
da história da humanidade, tentaram mostrar a a�rmação de Girard,
de que uma equação de grau n possui n raízes, mas sem sucesso. A
primeira prova correta de tal teorema só apareceu no �nal do século
XVIII com os trabalhos de Gauss.
8.3.1 Números Complexos e Raízes de Polinômios
O conjunto dos números complexos, denotado pela letra C, é o con-
junto das expressões
C = {x+ iy;x, y ∈ R},
onde i satisfaz i2 = −1. Costuma-se denotar i por
√
−1. Destacamos
que i é meramente um símbolo que nos ajudará a de�nir as operações
de soma e de multiplicação de números complexos. Essas operações
270 8 Polinômios
terão as mesmas propriedades que as operações de números reais, como
associatividade, comutatividade, elemento neutro, etc. Por exemplo,
são números complexos 2− 3i, 3 + i e −3i.
Vamos de�nir a soma e multiplicação de números complexos. Da-
dos dois números complexos a+ bi e c+ di de�nimos a soma como:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ b) + (c+ d)i
e de�nimos a multiplicação como
(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (bc+ ad)i
Por exemplo, se tomamos os números 2− 3i e 3 + 4i então
(2− 3i) + (3 + 4i) = 5 + i
e
(2− 3i)(3 + 4i) = (2 · 3− (−3 · 4)) + (−3 · 3 + 2 · 4)i = 18− i.
Aqui nós estamos considerando 0 + 3i = 3i e 3 + 0 · i = 3. Isso
nos permite colocar os números reais dentro do conjunto dos números
complexos, considerando cada número real r como sendo um número
complexo da forma r + 0 · i.
Fica para o leitor a veri�cação de que valem as propriedades de
associatividade, comutatividade, etc. O elemento neutro da soma é o
elemento 0 + 0 · i que simplesmente denotaremos por 0. Do mesmo
modo, o elemento neutro da multiplicação é 1+0 ·i, que será denotado
por 1. O leitor curioso pode achar mais informaçõessobre números
complexos e soluções de equações algébricas em [5] ou [13].
8.3 Sempre Existem Raízes de um Polinômio? 271
Assim, dado um número complexo z faz sentido avaliar o polinômio
(de coe�cientes complexos ou reais) p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · +
a1x+ a0 em z, obtendo o número complexo
p(z) = anz
n + an−1z
n−1 + · · ·+ a1z + a0.
Por exemplo, se p(x) = x2 + 4, então 2i e −2i são raízes deste
polinômio, já que:
p(2i) = (2i)2 + 4 = −4 + 4 = 0.
e
p(−2i) = (−2i)2 + 4 = 4i2 + 4 = −4 + 4 = 0.
Note que p(x) não possui nenhuma raiz real, mas possui duas raízes
complexas. Como já mencionamos, a grande vantagem em utilizar os
números complexos em vez dos números reais é que, dado um polinô-
mio qualquer com coe�cientes complexos, ele sempre tem uma raiz
complexa. Isso foi o assunto da tese de doutorado do Príncipe da
Matemática, Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Teorema 8.8 (Teorema Fundamental da Álgebra). Todo polinômio
não constante com coe�cientes complexos de grau n possui exatamente
n raízes complexas, contadas com multiplicidade.
Uma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra foge do
objetivo deste livro. Podem ser dadas várias demonstrações diferen-
tes desse teorema, utilizando diversas teorias matemáticas avançadas.
Uma demonstração desse teorema pode ser achada em [13].
272 8 Polinômios
8.4 Exercícios
1. Calcule o quociente e o resto da divisão de p(x) por q(x) para
os polinômios p(x) e q(x) dados:
(a) p(x) = 3x3 − 2x+ 1 e q(x) = −7x− 1;
(b) p(x) = x5 − 1 e q(x) = x− 1;
(c) p(x) = 3x5 − 2x3 + 1 e q(x) = x2 + x+ 1
2. Encontre os valores de A e B de forma que
x+ 1
x2 − x =
A
x
+
B
x− 1 .
3. Se os polinômios x2−x+4 e (x−a)2+(x+b) são iguais, encontre
a+ b.
4. Quais os valores de a e b que tornam iguais os polinômios
P1(x) = x
2 − x− 6 e P2(x) = (x+ a)2 − b?
5. A divisão de P (x) por x4 + 1 tem quociente x + 2 e resto 1.
Encontre o polinômio P (x).
6. Qual o resto da divisão do polinômio x100 por x+ 1?
7. Determine o resto da divisão do polinômio p(x) pelo polinômio
g(x) = x, onde p(x) = (x− 1)(x− 2) . . . (x− n) + b .
8. Mostre que xn − 1 é divisível por x− 1 para todo n ≥ 1.
9. Faça os seguintes itens:
(a) encontre o quociente da divisão de xn+1 − 1 por x− 1;
8.4 Exercícios 273
(b) utilize a divisão anterior para calcular a soma 1 + x+ x2 +
x3 + · · · + xn dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica de razão x.
10. Determine o valor de a para que o polinômio P (x) seja divisível
por x− a, onde P (x) = x3 + (1− a)x2 + (1 + a)x− 1.
11. Mostre que o polinômio P (x) = x100 − 2x50 + 1 é divisível por
x2 − 1.
12. Mostre que o resto r(x) da divisão do polinômio p(x) por x− s
é r(x) = p(s).
Dado o polinômio p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
de�nimos a derivada de p(x) como sendo o polinômio:
p′(x) = nanx
n−1 + (n− 1)an−1xn−2 + · · ·+ 2a2x+ a1.
Por exemplo, a derivada do polinômio x5 é o polinômio 5x4 e a
derivada do polinômio x3+5x2+2x−1 é o polinômio 3x2+10x+2.
13. Usando as informações do Exercício 12, calcule:
(a) a derivada dos polinômios:
(i) x+ 1;
(ii) x4 + 3;
(ii) 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn.
(b) Sabendo que p(0) = 1, calcule também o polinômio p(x)
cuja derivada é
(i) x4.
(ii) −x2 + 1.
274 8 Polinômios
(ii) x3 + 2x2 + 3.
(c) Prove que se p(x) e q(x) são polinômios, então
(i) (p+ q)′(x) = p′(x) + q′(x)
(ii) (pq)′(x) = p′(x)q(x) + p(x)q′(x)
Sugestão: Faça primeiro para monômios.
De�nimos uma raiz múltipla de um polinômio p(x) como sendo
uma raiz a tal que (x − a)2 divide p(x). Caso a seja uma raiz
que não é raiz múltipla, dizemos que ela é raiz simples.
14. Mostre que a é raiz múltipla de um polinômio p(x) se, e somente
se, a é raiz de p(x) e de p′(x).
Sugestão: Use o exercício anterior.
15. Para quais valores de n ∈ N tem-se que
(a) 1 + x2 + x4 + . . .+ x2n−2 é divisível por 1 + x+ . . .+ xn−1?
(b) 1 + x3 + x6 + . . .+ x3n−3 é divisível por 1 + x+ . . .+ xn−1?
(c) Generalize.
16. (a) Resolva a equação 20x3 − 30x2 + 12x − 1 = 0, sabendo-se
que
1
2
é uma de suas raízes.
(b) Uma raiz da equação x3−(2a+1)x2+a(a+2)x−a(a+1) = 0
é a+ 1, ache as outras duas.
17. Ache os possíveis valores de a ∈ Z para que o polinômio
a2x4 + 4x3 + 4ax+ 7
seja divisível por x+ 1.
8.4 Exercícios 275
Um polinômio com coe�cientes reais não constante p(x) é dito ir-
redutível se p(x) = a(x)b(x), então a(x) ou b(x) são polinômios
constantes. Quando p(x) não for irredutível, diremos simples-
mente que ele é redutível. Os polinômios irredutíveis desempe-
nham papel análogo no conjunto dos polinômios ao dos números
primos em Z.
18. Prove que todo polinômio de grau 1 é irredutível.
19. Prove que se f(x) é um polinômio de grau ≥ 2 e possui uma raiz
real, então f(x) é redutível.
20. Mostre que todo polinômio f(x) de grau ímpar ≥ 3 é redutível.
Um polinômio com coe�cientes inteiros não constante p(x) é dito
irredutível sobre Q se p(x) = a(x)b(x) com a(x) e b(x) polinômios
com coe�cientes racionais, então a(x) ou b(x) são polinômios
constantes.
Um teorema importante que descreve uma condição para um
polinômio ser irredutível sobre Q é o conhecido critério de Ei-
senstein, que diz:
Teorema 8.9 (Critério de Eisenstein). Seja f(x) = a0 + a1x +
· · ·+ anxn um polinômio com coe�cientes inteiros. Suponha que
exista um primo p tal que:
(a) p - an;
(b) p | a0, p | a1, . . . , p | an−1;
(c) p2 - a0.
Então, f(x) é irredutível sobre Q.
276 8 Polinômios
Para uma prova desse resultado veja o livro [2]. Faça os seguintes
problemas:
21. Mostre que os seguintes polinômios f(x) são irredutíveis sobre
Q.
Sugestão: Use o critério de Eisenstein.
(a) f(x) = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x+ 2;
(b) f(x) = x6 + 15;
(c) f(x) = x4 + 10x3 + 20x2 + 30x+ 22.
22. Determine quais dos polinômios abaixo são irredutíveis sobre Q.
Sugestão: Use o critério de Eisenstein.
(a) x3 − x+ 1
(b) x3 + 2x+ 10
(c) x4 − x+ 1
O problema a seguir trata do polinômio de interpolação de La-
grange.
23. Demonstre a proposição a seguir:
Polinômio de Interpolação de Lagrange. Sejam ai, bi em
R, i = 1, 2, . . . , n, com os ai′s dois a dois distintos e os bi′s nem
todos nulos. Considere os polinômios
pi(x) = bi
(x− ai) · · · (x− ai−1)(x− ai+1) · · · (x− an)
(ai − a1) · · · (ai − ai−1)(ai − ai+1) · · · (ai − an)
8.4 Exercícios 277
para i = 1, 2, . . . , n. Então, o polinômio
p(x) =
n∑
i=1
pi(x)
é o único polinômio de grau menor que n, tal que p(ai) = bi,
para todos i = 1, 2, . . . , n.
24. Determine o polinômio p(x) de grau 7 tal que
p(1) = p(2) = · · · = p(7) = 8 e p(0) = 1.
278 8 Polinômios
A
Apêndice: Funções
Estamos acostumados a expressões cotidianas que retratam uma
relação entre grandezas, como por exemplo, o quanto João ganha é
função do que ele trabalha, ou ainda a distância que percorremos é
uma função da velocidade e do tempo que viajamos. Essas e outras
expressões ilustram a noção de função como uma relação entre grande-
zas de dois conjuntos dados. Matematicamente, a noção de função foi
melhor entendida muito recentemente, com os avanços teóricos ocorri-
dos no �nal do século XIX e início do século XX. Entretanto, o seu uso
como instrumento e os estudos para tornar sua de�nição um objeto
claro são bem antigos e datam pelo menos desde o início do cálculo
diferencial, onde a noção de função era por vezes entendida como sua
expressão analítica. O entendimento dessa noção foi crucial para o
avanço da Matemática e é importante que o estudante de Matemática
tenha claro seu signi�cado.
Para iniciar a discussão um pouco mais formalmente da noção
de função, vamos de�nir intuitivamente uma função como um objeto
matemático composto de três ingredientes: um conjunto não vazio A,
279
280 A Apêndice: Funções
chamado de domínio da função, um conjunto não vazio B, chamado
de contradomínio da função e uma correspondência, que associa a
cada elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo
conjunto. O trio domínio, contradomínio e correspondência damos o
nome de função. Para simpli�car o seuuso, foi criada uma notação
que empacota todos os três ingredientes. Denotamos uma função por
f : A→ B
x→ f(x)
para indicar que A é o domínio, B é o contradomínio e que se x é
um elemento de A então a ele associaremos o elemento f(x) de B.
É importante não confundir uma função com sua expressão analítica,
quando esta é dada. Para caracterizar uma função, precisamos dar
seus três ingredientes: domínio, contradomínio e correspondência, e
não somente a correspondência y = f(x).
Exemplo A.1. Seja a função f de�nida de modo que o seu domínio
é o conjunto dos números naturais e o contradomínio é o conjunto dos
números naturais, e a correspondência é tal que a cada número natural
n associamos o seu quadrado n2. Observe que podemos denotar isso
compactamente por:
f : N→ N
n→ n2
Veja também que se dermos simplesmente a expressão analítica
x → x2 ou y = x2 para nossa função, ela não estaria caracterizada,
pois não saberíamos qual é o domínio e o seu contradomínio.
Em alguns casos onde o domínio e o contradomínio estão �xados e
claros para o interlocutor, podemos nos referir a uma função simples-
mente invocando sua correspondência y = f(x).
281
Exemplo A.2. Considere o domínio como sendo o conjunto P for-
mado pelas pessoas do Brasil e o segundo conjunto como sendo o con-
junto L das letras do alfabeto. A correspondência será a seguinte: a
cada pessoa do Brasil, associaremos a primeira letra do seu nome.
Assim, uma pessoa chamada Mário, será associada à letra M. Em
notação de função:
f : P → L
x→ f(x)
onde f(x) é a primeira letra do nome de x.
Exemplo A.3. Considere o domínio S como sendo o conjunto dos
pontos de uma sala de aula e o contradomínio como sendo os números
reais. A cada ponto x da sala de aula associamos sua temperatura t(x)
em um dado momento, medida por um termômetro instalado na sala.
Observe que t : S → R assim de�nida é uma função, pois cada ponto
possui uma única temperatura bem de�nida no instante �xado, que é
um número real. Por outro lado, se trocarmos os papéis do domínio
e contradomínio e a cada número real associamos o ponto da sala que
tem aquela temperatura, não teremos uma função, pois pode haver
mais de um ponto com a dada temperatura ou ainda uma temperatura
que não é atingida por nenhum ponto da sala.
Exemplo A.4. Vamos agora dar outro exemplo em que não temos
uma função, isto é, cuja a nossa aparente correspondência não é de
fato uma correspondência, pois não associa a cada elemento x do do-
mínio um único elemento f(x) do contradomínio. Para tanto, �xe o
domínio como sendo o conjunto dos números reais no intervalo [0, 1]
e como contradomínio o conjunto Σ de�nido pelas sequências de ele-
mentos no conjunto {0, 1, 2, . . . , 9}. Ou seja,
282 A Apêndice: Funções
Σ =
{
(a1, a2, a3, . . . ); ai ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 9}
}
.
Cada elemento x ∈ [0, 1] possui uma expansão decimal x = 0, x1x2x3 . . . .
De�na f : [0, 1]→ Σ colocando f(x) = (x1, x2, x3, . . . ).
A princípio, parece que f de�nida desse modo é uma função. Po-
rém, olhando de perto vemos que o número 0, 1 possui mais de uma
representação na base decimal, pois 0, 1 = 0, 09999 . . . . Portanto, f
não está bem de�nida, isto é, f não associa a cada elemento de [0, 1]
um único elemento de Σ.
De�nição A.5. Dada uma função f de�nida por
f : A→ B
x→ f(x)
o conjunto imagem de f é o subconjunto f(A) do contradomínio B
formado pelos pontos y do contradomínio tais que existe algum ponto
x no domínio A tal que y = f(x). Ou seja
f(A) = {y ∈ B; existe x ∈ A tal que y = f(x)}.
A imagem de um ponto x ∈ A é o ponto f(x). De�nimos também
a restrição de f a um subconjunto A′ de seu domínio é a nova função
de�nida considerando-se o domínio como sendo o conjunto A′ e os
demais elementos os mesmos. Denotamos essa nova função por f |A′
ou ainda
f |A′ : A′ → B
x→ f(x)
No Exemplo A.2 poderíamos trocar o domínio por um de seus
subconjuntos não vazios. Por exemplo, poderíamos considerar o sub-
conjunto A de P formado pelas pessoas do Brasil que nasceram em
Alagoas.
283
De�nição via Relações
Um modo mais formal de de�nir função é usar a noção de relação
entre dois conjuntos A e B. Uma relação entre A e B é simplesmente
um subconjunto R do produto cartesiano A×B. Uma função é uma
relação R entre A e B que satisfaz duas condições:
• R é unívoca: dados x1, x2 ∈ A e y ∈ B tais que (x1, y) ∈ R e
(x2, y) ∈ R então x1 = x2;
• R é total: dado x ∈ A existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ R. de modo
que dado x ∈ A, existe um único y ∈ B tal que (x, y) ∈ R.
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
De�nição A.6. Uma função f : A→ B é dita injetora (ou injetiva)
se a seguinte propriedade vale:
Dados x, y ∈ A tais que f(x) = f(y), então x = y.
Outro modo equivalente de formular tal propriedade é usando sua
forma contrarrecíproca:
Se x, y ∈ A são tais que x 6= y, então f(x) 6= f(y).
Exemplo A.7. Por exemplo, a função f : R→ R dada por f(x) = x2
não é injetora, pois f(−1) = (−1)2 = 12 = f(1).
Por outro lado, se g : [0,+∞)→ R é dada por g(x) = x2, então g
é injetora, pois dados dois números não negativos a e b tais que g(a) =
g(b), isto é, a2 = b2, então a2 − b2 = 0, de onde (a − b)(a + b) = 0,
restando as possibilidades a = b ou a = −b. Como a e b são positivos,
temos que a = b.
284 A Apêndice: Funções
De�nição A.8. Uma função f : A → B é dita sobrejetora (ou so-
brejetiva) se a seguinte propriedade vale:
Dado y ∈ B existe x ∈ A, tal que f(x) = y.
Exemplo A.9. Por exemplo, a função f : R → R dada por f(x) =
x2 do exemplo anterior não é sobrejetora, pois não existe nenhum
número real x tal que f(x) = −1, por exemplo. Por outro lado, se
considerarmos g(x) : R → [0,+∞) dada por g(x) = x2, então g é
sobrejetora, pois dado qualquer número não negativo b, podemos tomar
a como sendo a =
√
b de modo que g(a) = a2 = b.
De�nição A.10. Uma função é dita bijetora (ou ainda bijetiva) se
ela é injetora e sobrejetora.
Por exemplo, a função f : R→ R dada por f(x) = x3 é uma função
bijetora, pois é injetora e sobrejetora, já que dado y ∈ R, existe um
único x ∈ R tal que y = x3.
Quando f : A → B é bijetora, então dado qualquer elemento y ∈
B, existe um elemento x ∈ A tal que f(x) = y (pois f é sobrejetora) e
esse elemento é único (pois f é injetora). Em outros termos, podemos
de�nir uma nova função: g : B → A associando a cada elemento y ∈ B
o único elemento x em A tal que f(x) = y. Em outras palavras,
g(y) = x, se e somente se, f(x) = y.
g é chamada de função inversa de f .
Quando existe uma bijeção f entre dois conjuntos A e B, dizemos
que A e B têm a mesma quantidade de elementos ou cardinalidade.
Para mais informações sobre funções, recomendamos a leitura de [3].
Referências Bibliográ�cas
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no Livro. Edgard Blücher.
[2] GARCIA, A. e LEQUAIN, I. (2003). Elementos de Ál-
gebra. Projeto Euclides, IMPA.
[3] LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E. e
MORGADO, A.C. (2004). A Matemática do Ensino Mé-
dio. Volume 1. Sociedade Brasileira de Matemática.
[4] LIMA, E.L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E. e
MORGADO, A.C. (2004). A Matemática do Ensino Mé-
dio. Volume 2. Sociedade Brasileira de Matemática.
[5] LIMA,E.L.; CARVALHO,P. C. P.; WAGNER,E. e
MORGADO,A.C. (2004). A Matemática do Ensino Mé-
dio. Volume 3. Sociedade Brasileira de Matemática.
[6] LIMA, E.L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER,E. e
MORGADO, A.C. (2001). Temas e Problemas. Socie-
dade Brasileira de Matemática.
[7] LIMA, E.L. (2001). Álgebra Linear. Sociedade Brasileira
de Matemática.
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tica. EDUFCG.
[9] MORGADO, A.; CARVALHO, J.; CARVALHO, P.;
FERNANDEZ, P. (1991). Análise Combinatória e Pro-
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[10] RIBENBOIM, P. (2001). Números Primos: Mistérios e
Recordes. Sociedade Brasileira de Matemática.
[11] SANTOS, J. P. O. (1993) Introdução à Teoria dos Nú-
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[12] SANTOS, J. P. O.; MELLO, M. P. e MURARI, I. T.C. (2006). Introdução à Análise Combinatória. Editora
Unicamp.
[13] SOARES, M. G. (2005). Cálculo em uma Variável Com-
plexa. Sociedade Brasileira de Matemática.