Tópicos de Matemática Elementar, volume 6 Polinômios by Antonio Caminha Muniz Neto

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Tópicos de Matemática Elementar: polinômios 
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Djairo Guedes de Figueiredo 
José Alberto Cuminato 
Roberto lmbuzeiro Oliveira 
Sílvia Regina Costa Lopes 
Capa 
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Distribuição e vendas 
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Estrada Dona Castorina, 110 Sala 109 - Jardim Botânico 
22460-320 Rio de Janeiro RJ 
Telefones: (21) 2529-5073 / 2529-5095 
http://www.sbm.org.br / email:lojavirtual@sbm.org.br 
ISBN 978-85-8337-101-4 
MUNIZ NETO, Antonio Caminha. 
Tópicos de Matemática Elementar:polinômios I Caminha Muniz Neto. 
-2.ed. -- Rio de Janeiro: SBM, 2016.
v.6 ; 312 p. (Coleção Professor de Matemática; 29)
ISBN 978-85-8337-101-4
1. Números Complexos. 2. Polinômios. 3. Raízes de Polinômios.
4. Fatoração de Polinômios. 1. Título.
Tópicos de 
Matemática Elementar 
Volume 6 
Polinômios 
Antonio Caminha Muniz Neto 
k 
·(k) k ( - 1 ) i Í f ( X k+ n- i) ,
1 I)xk ] = -(f(l)+ J(w) + ... + J(wP-1) ).
Plk 
p 
2ª edição 
2016 
Rio de Janeiro 
.!SBM 
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
1••�· SBM 
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
Logaritmos - E. L. Lima 
Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios -
A. C. Morgado, J. B. Pitombeira, P. C. P. Carvalho e P. Fernandez
Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) -
E. L. Lima
Meu Professor de Matemática e outras Histórias - E. L. Lima
Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios - E. L. Lima com a
colaboração de P. C. P. Carvalho 
Trigonometria, Números Complexos - M. P. do Carmo, A. C. Morgado e E. Wagner,
Notas Históricas de J. B. Pitombeira 
Coordenadas no Espaço - E. L. Lima 
Progressões e Matemática Financeira - A. C. Morgado, E. Wagner e S. C. Zani
Construções Geométricas - E. Wagner com a colaboração de J. P. Q. Carneiro.
Introdução à Geometria Espacial - P. C. P. Carvalho
Geometria Euclidiana Plana - J. L. M. Barbosa
Isometrias - E. L. Lima 
A Matemática do Ensino Médio Vol. 1 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
A Matemática do Ensino Médio Vol. 2 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
A Matemática do Ensino Médio Vol. 3 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
Matemática e Ensino - E. L. Lima
Temas e Problemas - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado
Episódios da História Antiga da Matemática - A. Aaboe
Exame de Textos: Análise de livros de Matemática - E. L. Lima
A Matemática do Ensino Media Vol. 4 - Exercicios e Soluções - E. L. Lima, P. C. P.
Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado 
Construções Geométricas: Exercícios e Soluções - S. Lima Netto
Um Convite à Matemática - D.C de Morais Filho
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 1 - Números Reais - A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - A.
Caminha 
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 3 - Introdução à Análise - A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 4 - Combinatória - A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 5 - Teoria dos Números - A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 6 - Polinômios - A. Caminha
A meus filhos Gabriel e Isabela, 
na esperança de que um dia leiam este livro. 
VI 
Sumário 
Prefácio 
Prefácio à segunda edição 
1 Números Complexos 
1.1 Definição e propriedades elementares 
1.2 A forma polar de um número complexo 
2 Polinômios 
2.1 Definições e propriedades básicas 
2.2 O algoritmo da divisão 
3 Raízes de Polinômios 
3.1 Raízes de polinômios ....... . 
3.2 Raízes da unidade e contagem .. . 
3.3 O teorema fundamental da álgebra 
3.4 Raízes múltiplas . . . . 
VII 
XI 
XIX 
1 
1 
16 
31 
32 
40 
45 
46 
63 
69 
76 
VIII 
4 Relações entre Coeficientes e Raízes 
4.1 Polinômios em várias indeterminadas 
4.2 Polinômios simétricos . 
4.3 O teorema de Newton 
5 Polinômios sobre IR 
5.1 Alguns teoremas do Cálculo 
5.2 As desigualdades de Newton 
5.3 A regra de Descartes ... 
6 Interpolação de Polinômios 
6.1 Bases para polinômios 
6.2 Diferenças finitas ... 
7 Fatoração de Polinômios 
7.1 Fatoração única em Q[X] . 
7.2 Fatoração única em Z[X] . 
7.3 Polinômios sobre Zp .... 
7.4 Irredutibilidade de polinômios 
8 Números Algébricos e Aplicações 
8.1 Números algébricos ... 
8.2 Polinômios ciclotômicos. 
8.3 Números transcendentes 
9 Recorrências Lineares 
9.1 Um caso particular importante. 
9.2 Sequências, séries e continuidade em C 
9.3 O caso geral .............. . 
10 Soluções e Sugestões 
Referências 
SUMÁRIO SUMÁRIO IX 
85 A Glossário 283 
85 
90 
101 
113 
113 
123 
127 
135 
136 
146 
155 
155 
164 
168 
178 
189 
190 
201 
209 
215 
216 
220 
234 
243 
275 
X SUMÁRIO 
Prefácio 
Esta coleção evoluiu a partir de sessões de treinamento para olim-
píadas de Matemática, por mim ministradas para alunos e professores 
do Ensino Médio, várias vezes ao longo dos anos de 1992 a 2003 e, 
mais recentemente, como orientador do Programa de Iniciação Cien-
tífica para os premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das 
Escolas Públicas (OBMEP) e do Projeto Amílcar Cabral de coopera-
ção educacional entre Brasil e Cabo Verde. 
Idealmente, planejei o texto como uma mistura entre uma iniciação 
suave e essencialmente autocontida ao fascinante mundo das competi-
ções de Matemática, além de uma bibliografia auxiliar aos estudantes 
e professores do secundário interessados em aprofundar seus conhe-
cimentos matemáticos. Resumidamente, seu propósito primordial é 
apresentar ao leitor uma abordagem de quase todos os conteúdos ge-
ralmente constantes dos currículos do secundário, e que seja ao mesmo 
tempo concisa, não excessivamente tersa, logicamente estruturada e 
mais aprofundada que a usual. 
Na estruturação dos livros, me ative à máxima do eminente mate-
mático húngaro-americano George Pólya, que dizia não se poder fazer 
XI 
XII SUMÁRIO 
Matemática sem sujar as mãos. Assim sendo, em vários pontos dei-
xei a cargo do leitor a tarefa de verificar aspectos não centrais aos 
desenvolvimentos principais, quer na forma de detalhes omitidos em 
demonstrações, quer na de extensões secundárias da teoria. Nestes ca-
sos, frequentemente referi o leitor a problemas específicos, os quais se 
encontram marcados com* e cuja análise e solução considero parte in-
tegrante e essencial do texto. Colecionei ainda, em cada seção, outros 
tantos problemas, cuidadosamente escolhidos na direção de exercitar 
os resultados principais elencados ao longo da discussão, bem como 
estendê-los. Uns poucos destes problemas são quase imediatos, ao 
passo que a maioria, para os quais via de regra oferto sugestões preci-
sas, é razoavelmente difícil; no entanto, insto veementemente o leitor a 
debruçar-se sobre o maior número possível deles por tempo suficiente 
para, ainda que não os resolva todos, passar a apreçiá-los como .corpo 
de conhecimento adquirido. 
O primeiro volume discorre sobre vários aspectos relevantes do con-
junto dos números reais e de Álgebra Elementar, no intuito de munir 
o leitor dos requisitos necessários ao estudo dos tópicos constantes dos 
volumes subsequentes. Após começar com uma discussão não axiomá-
tica das propriedades mais elementares dos números reais, são aborda-
dos, em seguida, produtos notáveis, equações e sistemas de equações, 
sequências elementares, indução matemática e números binomiais; o 
texto finda com a discussão de várias desigualdades algébricas impor-
tantes, notadamente aquela entre as médias aritmética e geométrica, 
bem como as desigualdades de Cauchy, de Chebyshev e de Abel. 
Dedicamoso segundo volume a uma iniciação do leitor à geometria 
Euclidiana plana, inicialmente de forma não axiomática e enfatizando 
construções geométricas elementares. Entretanto, à medida em que o 
texto evolui, o método sintético de Euclides - e, consequentemente, 
demonstrações - ganha importância, principalmente com a discussão 
dos conceitos de congruência e semelhança de triângulos; a partir desse 
ponto, vários belos teoremas clássicos da geometria, usualmente ausen-
SUMÁRIO XIII 
tes dos livros-texto do secundário, fazem sua aparição. Numa terceira 
etapa, o texto apresenta outros métodos elementares usuais no estudo 
da geometria, quais sejam, o método analítico de R. Descartes, a tri-
gonometria e o uso de vetores; por sua vez, tais métodos são utilizados 
tanto para reobter resultados anteriores de outra(s) maneira(s) quanto 
para deduzir novos resultados. 
De posse do traquejo algébrico construído no volume inicial e do 
aparato geométrico do volume dois, discorremos no volume três sobre 
aspectos elementares de funções e certos excertos de cálculo diferencial 
e integral e análise matemática, os quais se fazem necessários em cer-
tos pontos dos três volumes restantes. Prescindindo, inicialmente, das 
noções básicas do Cálculo, elaboramos, dentre outros, as noções de 
gráfico, monotonicidade e extremos de funções, bem como examina-
mos o problema da determinação de funções definidas implicitamente 
por relações algébricas. Na continuação, o conceito de função contínua. 
é apresentado, primeiramente de forma intuitiva e, em seguida, axio-
mática, sendo demonstrados os principais resultados pertinentes. Em 
especial, utilizamos este conceito para estudar a convexidade de gráfi-
cos - culminando com a demonstração da desigualdade de J. Jensen -
e o problema da definição rigorosa da área sob o gráfico de uma fun-
ção contínua e positiva - que, por sua vez, possibilita a apresentação 
de uma construção adequada das funções logaritmo natural e expo-
nencial. O volume três termina com uma discussão das propriedades 
mais elementares de derivadas e do teorema fundamental do cálculo, 
os quais são mais uma vez aplicados ao estudo de desigualdades, em 
especial da desigualdade entre as médias de potências. 
O volume quatro é devotado à análise combinatória. Começamos 
revisando as técnicas mais elementares de contagem, enfatizando as 
construções de bijeções e argumentos recursivos como estratégias bá-
sicas. Na continuação, apresentamos um apanhado de métodos de 
contagem um tanto mais sofisticados, como o princípio da inclusão 
exclusão e os métodos de contagem dupla, do número de classes de 
XIV SUMÁRIO 
equivalência e mediante o emprego de métricas em conjuntos finitos. 
A cena é então ocupada por funções geradoras, onde a teoria elementar 
de séries de potências nos permite discutir de outra maneira problemas 
antigos e introduzir problemas novos, antes inacessíveis. Terminada 
nossa excursão pelo mundo da contagem, enveredamos pelo estudo do 
problema da existência de uma configuração especial no universo das 
configurações possíveis, utilizando para tanto o princípio das gavetas 
de G. L. Dirichlet - vulgo "princípio das casas dos pombos" -, um 
célebre teorema de R. Dilworth e a procura e análise de invariantes 
associados a problemas algorítmicos. A última estrutura combinatória 
que discutimos é a de um grafo, quando apresentamos os conceitos bá-
sicos usuais da teoria com vistas à discussão de três teoremas clássicos 
importantes: a caracterização da existência de caminhos Eulerianos, 
o teorema de A. Cayley sobre o número de árvores rotuladas e o teo-
rema extremal de P. Turán sobre a existência de subgrafos completos 
em um grafo. 
Passamos em seguida, no quinto volume, à discussão dos conceitos 
e resultados mais elementares de teoria dos números, ressaltando-se 
inicialmente a teoria básica do máximo divisor comum e o teorema 
fundamental da aritmética. Discutimos também o método da descida 
de P. de Fermat como ferramenta para provar a inexistência de solu-
ções inteiras para certas equações diofantinas, e resolvemos também 
a famosa equação de J. Pell. Em seguida, preparamos o terreno para 
a discussão do famoso teorema de Euler sobre congruências, constru-
indo a igualmente famosa função de Euler com o auxílio da teoria mais 
geral de funções aritméticas multiplicativas. A partir daí, o livro apre-
senta formalmente o co1;ceito de congruência de números em relação a 
um certo módulo, discutindo extensivamente os resultados usualmente 
constantes dos cursos introdutórios sobre o assunto, incluindo raízes 
primitivas, resíduos quadráticos e o teorema de Fermat de caracteriza-
ção dos inteiros que podem ser escritos como soma de dois quadrados. 
O grande diferencial aqui, do nosso ponto de vista, é o calibre dos 
SUMÁRIO XV 
exemplos discutidos e dos problemas propostos ao longo do texto, boa 
parte dos quais oriundos de variadas competições ao redor do mundo. 
Finalmente, números complexos e polinômios são os objetos de 
estudo do sexto e último volume da coleção. Para além da teoria 
correspondente usualmente estudada no secundário - como a noção 
de grau, o algoritmo da divisão e o conceito de raízes de polinômios 
-, vários são os tópicos não padrão abordados aqui. Dentre outros, 
destacamos inicialmente a utilização de números complexos e polinô-
mios como ferramentas de contagem e a apresentação quase completa 
de uma das mais simples demonstrações do teorema fundamental da 
álgebra. A seguir, estudamos o famoso teorema de 1. Newton sobre 
polinômios simétricos e as igualmente famosas desigualdades de New-
ton, as quais estendem a desigualdade entre as médias aritmética e 
geométrica. O próximo tema concerne os aspectos básicos da teoria 
de interpolação de polinômios, quando dispensamos especial atenção 
aos polinômios interpoladores de J. L. Lagrange. Estes, por sua vez, 
são utilizados para resolver sistemas lineares de Vandermonde sem o 
recurso à álgebra linear, os quais, a seu turno, possibilitam o estudo 
de uma classe particular de sequências recorrentes lineares. O livro 
termina com o estudo das propriedades de fatoração de polinômios 
com coeficientes inteiros, racionais ou pertencentes ao conjunto das 
classes de congruência relativas a algum módulo primo, seguido do 
estudo do conceito de número algébrico. Há, aqui, dois pontos cul-
minantes: por um lado, uma prova mais simples do fechamento do 
conjunto dos números algébricos em relação às operações aritméticas 
básicas; por outro, o emprego de polinômios ciclotômicos para provar 
um caso particular do teorema de Dirichlet sobre primos em progres-
sões aritméticas. 
Várias pessoas contribuíram ao longo dos anos, direta ou indire-
tamente, para que um punhado de anotações em cadernos pudesse 
transformar-se nesta coleção de livros. Os ex-professores do Departa-
mento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, Marcondes 
XVI SUMÁRIO 
Cavalcante França, João Marques Pereira, Guilherme Lincoln Aguiar 
Ellery e Raimundo Thompson Gonçalves, ao criarem a Olimpíada Cea-
rense de Matemática na década de 1980, motivaram centenas de jovens 
cearenses, dentre os quais eu me encontrava, a estudarem mais Ma-
temática. Meu ex-professor do Colégio Militar de Fortaleza, Antônio 
Valdenísio Bezerra, ao convidar-me, inicialmente para assistir a suas 
aulas de treinamento para a Olimpíada Cearense de Matemática e pos-
teriormente para dar aulas consigo, iniciou-me no maravilhoso mundo 
das competições de Matemática e influenciou definitivamente minha 
escolha profissional. Os comentários de muitos de vários de ex-alunos 
contribuíram muito para o formato final de boa parte do material 
aqui colecionado; nesse sentido, agradeço especialmente a João Luiz 
de Alencar Araripe Falcão, Roney Rodger Sales de Castro, Marcelo 
Mendes de Oliveira, Marcondes Cavalcante França. Jr., Marcelo Cruz 
de Souza, Eduardo Cabral Balreira, Breno de Alencar Araripe Falcão, 
Fabrício Siqueira Benevides, Rui Facundo Vigelis, Daniel PinheiroSo-
breira, Antônia Taline de Souza Mendonça, Carlos Augusto David Ri-
beiro, Samuel Barbosa Feitosa, Davi Máximo Alexandrino Nogueira 
e Yuri Gomes Lima. Vários de meus colegas professores teceram co-
mentários pertinentes, os quais foram incorporados ao texto de uma 
ou outra maneira; agradeço, em especial, a Fláudio José Gonçalves, 
Francisco José da Silva Jr., Onofre Campos da Silva Farias, Emanuel 
Augusto de Souza Carneiro, Marcelo Mendes de Oliveira, Samuel Bar-
bosa Feitosa e Francisco Bruno de Lima Holanda. Os professores João 
Lucas Barbosa e Hélio Barros deram-me a conclusão de parte destas 
notas como alvo a perseguir ao me convidarem a participar do Pro-
jeto Amílcar Cabral de treinamento dos professores de Matemática da 
República do Cabo Verde. Meus colegas do Departamento de Mate-
mática da Universidade Federal do Ceará, Abdênago Alves de Barros, 
José Othon Dantas Lopes, José Robério Rogério e Fernanda Esther 
Camillo Camargo, bem como meu orientando de iniciação científica 
Itamar Sales de Oliveira Filho, leram partes do texto final e oferece-
SUMÁRIO XVII 
ram várias sugestões. Os pareceristas indicados pela SBM opinaram 
decisivamente para que os livros certamente resultassem melhores que 
a versão inicial por mim submetida. O presidente da SBM, professor 
Hilário Alencar da Silva, o antigo editor-chefe da SBM, professor Ro-
berto Imbuzeiro de Oliveira, bem como o novo editor-chefe, professor 
Abramo Hefez, foram sempre extremamente solícitos e atenciosos co-
migo ao longo de todo o processo de edição. Por fim, quaisquer erros 
ou incongruências que ainda se façam presentes, ou omissões na lista 
acima, são de minha inteira responsabilidade. 
Por fim e principalmente, gostaria de agradecer a meus pais, Anto-
nio Caminha M uniz Filho e Rosemary Carvalho Caminha M uniz, e à 
minha esposa Mônica Valesca Mota Caminha Muniz. Meus pais me fi-
zeram compreender a importância do conhecimento desde a mais tenra 
idade, sem nunca terem medido esforços para que eu e meus irmãos 
desfrutássemos o melhor ensino disponível; minha esposa brindou-me 
com a harmonia e o incentivo necessários à manutenção de meu ânimo 
e humor, em longos meses de trabalho solitário nas madrugadas. Esta 
coleção de livros também é dedicada a eles. 
FORTALEZA, JANEIRO de 2012 
Antonio Caminha M. Neto 
XVIII SUMÁRIO 
Prefácio à segunda edição 
A segunda edição contempla uma extensa revisão do texto e dos 
problemas propostos, tendo sido corrigidas várias imprecisões de lín-
gua portuguesa e de Matemática. A discussão sobre recorrências line-
ares foi ampliada, no que resultou o capítulo 9, inteiramente dedicado 
a elas. Nele, a solução de recorrências lineares de coeficientes constan-
tes gerais é apresentada, sendo demonstrada com o auxílio de funções 
geradoras complexas. Apesar dessa ser uma abordagem natural para 
este problema, salta aos olhos não haver tratamento adequado desse 
tema disponível em língua portuguesa. Há, ainda, uma nova seção 
no capítulo 8, versando sobre números transcendentes. Nela, a prova 
original de J. Liouville para a existência de números transcendentes é 
demonstrada. Adicionei também alguns exemplos e problemas novos, 
no intuito de melhor exercitar certos pontos da teoria, os quais não se 
encontravam adequadamente contemplados pelos problemas propostos 
à primeira edição. As sugestões e soluções aos problemas propostos 
também foram revistas e reorganizadas, tendo sido colecionadas em 
um capítulo separado, o capítulo 10. Adicionalmente, são apresenta-
das sugestões ou soluções a praticamente todos os problemas do livro. 
XIX 
XX SUMÁRIO 
Gostaria de aproveitar o ensejo para agradecer à comunidade ma-
temática brasileira em geral, e a todos os leitores que me enviaram 
sugestões ou correções em particular, o excelente acolhimento desfru-
tado pela primeira edição desta obra. 
FORTALEZA, JULHO de 2016 
Antonio Caminha M. Neto 
CAPÍTULO 1 
Números Complexos 
É um fato óbvio que o conjunto dos números reais resulta pequeno 
demais para uma descrição completa das raízes de funções polinomiais 
reais; por exemplo, a função x r-+ x2 + 1, x E IR, não as possui. Histori-
camente, afirmações simples como essa motivaram o desenvolvimento 
dos números complexos, coroado pela demonstração, por Gauss, do 
famoso teorema fundamental da álgebra. 
Neste capítulo, concentramo-nos na construção do conjunto dos 
números complexos e na discussão de suas propriedades mais elemen-
tares, postergando ao capítulo 3 a apresentação de uma demonstração 
quase completa do teorema de Gauss acima referido. 
1.1 Definição e propriedades elementares 
Conforme visto no capítulo 1 de [10], em geral pensamos no con-
junto IR dos números reais como uma reta numerada: temos uma 
1 
1 1 
2 Números Complexos 
reta qualquer ( entidade geométrica) disposta horizontalmente, na qual 
marcamos um ponto ( correspondente ao zero). A partir daí, escolhe-
mos um comprimento padrão ( que corresponderá à unidade) e duas 
regras distintas para operar dois pontos da reta ( denominadas adição 
e multiplicação de números reais), de modo a obter um terceiro ponto 
como resultado. Então, chamamos os pontos da reta de números e 
verificamos que as operações definidas gozam de várias propriedades 
úteis: comutatividade, associatividade etc. 
A discussão acima suscita a seguinte pergunta natural: haveria al-
guma forma de introduzir operações com propriedades úteis para os 
pontos de um plano? Mais precisamente, se considerarmos a reta real 
como o eixo horizontal de um plano cartesiano, haveria um modo de 
definirmos operações com os pontos desse plano, generalizando as o-
perações com os pontos da reta real? A resposta é sim e o conjunto 
resultante, que passamos a descrever, é o conjunto dos números com-
plexos. 
Considere o plano cartesiano, visto como o conjunto lR x lR dos 
pares ordenados ( a, b) de números reais. Defina em tal plano as ope-
rações EB e 8 por 
(a,b)EB(c,d) = (a+c,b+d), (a,b)8(c,d) = (ac-bd,ad+bc), (1.1) 
onde + e · denotam a adição e a multiplicação usuais de números reais. 
Podemos verificar sem dificuldade que EB e 8 são operações asso-
ciativas e comutativas e que 8 é distributiva em relação a EB, i.e., que, 
para todos a, b, e, d, e, f E JR, valem as seguintes propriedades: 
1. Associatividade de EB e®: (a, b) EB ((e, d) EB (e,!))= ((a, b) EB 
(e, d)) EB (e,!) e (a, b) 8 ((e, d) 8 (e,!))= ((a, b) 8 (e, d)) 8 (e,!). 
11. Comutatividade de EB e®: (a,b) EB (c,d) = (c,d) EB (a,b) e 
(a, b) 8 (e, d) = (e, d) 8 (a, b). 
m. Distributividade de 0 em relação a EB: (a, b)8((c, d)EB(e, !)) = 
((a, b) 8 (e, d)) EB ((a, b) 8 (e,!)) 
1.1 Definição e propriedades elementares 3 
Também é imediato verificar que (O, O) e (1, O) são, respectivamente, 
os elementos neutros de EB e 8, i.e., que 
(a, b) EB (O, O) = (a, b) e (a, b) 8 (1, O) = (a, b), 
para todos a, b E lR. Podemos ainda checar (faça isto!) que vale a 
seguinte lei de cancelamento para 8: 
(a, b) 8 (e, d) = (O, O) ==? (a, b) = (O, O) ou (e, d) = (O, O). 
Considere, agora, nossa reta real como sendo o eixo das abscissas 
' 
o que equivale a identificar cada real x com o ponto (x, O). Temos, 
então, que ver se essa identificação é boa, no sentido de os resultados 
das operações EB e 8 coincidirem com os correspondentes das operações 
usuais de adição e multiplicação de números reais. Isto se resume a 
verificarmos se 
(x, O) EB (y, O) = (x + y, O) e (x, O) 8 (y, O) = (xy, O), (1.2) 
o que é imediato fazer. 
Em palavras, as expressões acima dizem que, ao identificarmos os 
números reais com os pontos do eixo das abscissas e executarmos as 
operações EB e 8 acima definidas, obtemos os mesmos resultados que 
obteríamos se, primeiro, executássemos as operações usuais de adição 
e multiplicação com os números reais e, só então, identificássemos os 
resultados assim obtidos com os pontos do eixo das abscissas. 
Portanto, podemos considerar lR com suas operações usuais de adi-
ção e multiplicação como um subconjunto de lR x lRcom as operações 
EB e 8, definidas como em ( 1.1), e também chamar os pontos do plano 
de números, mais precisamente de números complexos. Denotamos 
o conjunto dos números complexos por C 
No que segue, vamos obter um modo mais cômodo de represen-
tar os números complexos e suas operações. Para tanto, denotare-
mos doravante por i o elemento (O, 1) do conjunto dos complexos e 
4 Números Complexos 
O denominaremos a unidade imaginária1. Denotando por ~ nossa 
identificação dos pontos do eixo das abscissas com os números reais e 
levando em conta a definição de 8, somos forçados a concluir que 
i 2 = (O, 1) 8 (O, 1) = ( O · O - 1 · 1, O · 1 + 1 · O) = ( -1, O) ~ -1. ( 1. 3) 
Veja, ainda, que 
(a, b) = (a, O) EB (O, b) = (a, O) EB ((b, O) 8 (O, 1)) ~a+ bi. (1.4) 
Doravante, denotaremos as operações EB e 8 simplesmente por + e ·, e 
escreveremos a+ bi para denotar o número complexo (a, b), não mais 
utilizando identificações. Segue, a partir de (1.4), que 
a+ bi =O{::} (a, b) = (O, O) {::}a~ b = O. 
Por outro lado, veja que, de acordo com a discussão acima, no conjunto 
(C dos números complexos a equação 
x 2 + 1 = O 
tem o número i por raiz. Como veremos ao longo deste capítulo, esse 
fato é o cerne da importância dos números complexos. 
Uma boa justificativa para podermos escrever ( a, b) E C como a+bi 
é que podemos operar com os complexos escritos na forma a+ bi como 
fazemos com números reais, lembrando que i 2 = -1: os cálculos feitos 
desse modo levam aos mesmos resultados que os cálculos feitos usando 
diretamente as definições das operações + e · de C. Senão, vejamos: 
1 As nomenclaturas imaginária e complexos têm origens históricas. Mais preci-
samente, quando os primeiros matemáticos começaram a utilizar números comple-
xos ainda sem uma definição precisa do que tais números seriam, chamaram-nos 
cor:iplexos ou imaginários exatamente pela estranheza que causara cogitar-se a 
existência de "números" cujos quadrados pudessem ser negativos. 
1.1 Definição e propriedades elementares 5 
• Cálculo de ( a, b) + ( e, d): por definição, temos ( a, b) + ( e, d) = 
(a+c, b+d). Por outro lado, operando como usualmente fazemos 
com números reais, obtemos 
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. 
Mas, como estamos escrevendo (a+c,b+d) = (a+c) + (b+d)i, 
os dois resultados coincidem. 
• Cálculo de ( a, b) · ( e, d): por definição, temos ( a, b) · ( e, d) = 
( ac - bd, ad + bc). Operando novamente como com números 
reais, temos 
(a+ bi)(c + di) = ac +adi+ bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i, 
uma vez que i 2 = -1. Mas, como estamos escrevendo ( ac -
bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i, os resultados novamente 
coincidem. 
Levando em consideração as identificações feitas acima, podemos 
escrever IR e C. Ademais, por analogia com as operações de adição 
e multiplicação dos reais, também denominaremos as operações + e · 
sobre complexos de adição e multiplicação, respectivamente. 
Prosseguindo nosso estudo, vamos introduzir em (C outras duas 
operações, semelhantes à subtração e à divisão de números reais. 
Dados z, w E C, subtrair w dez significa obter um complexo z -w 
(a diferença entre z e w) tal que z = (z - w) + w. Sendo z =a+ bi e 
w = e + di e operando como com números reais, vê-se facilmente que 
z - w = (a+ bi) - (e+ di) = (a - e)+ (b - d)i. 
Assim, sendo z 
definido por 
a+ bi e w = e+ di, o número complexo z - w, 
z - w = (a - e)+ (b - d)i, (1.5) 
6 Números Complexos 
é denominado a diferença entre z e w. 
Para z, w E C, com w -# O, dividir z por w significa obter um 
número complexo z / w ( o quociente entre z e w), tal que z = ( z / w) · w. 
Sendo z = a + bi e w = e + di e operando como quando fazemos 
racionalizações com números reais, obtemos imediatamente 
z a + bi ( a + bi) ( e - di) 
w = c+di - (c+di)(c-di) 
(ac + bd) + (bc - ad)i 
c2 + d2 
ac + bd bc - ad . ---+ 27,, c2+d2 c2+d 
Sendo z =a+ bi e w =e+ di, com w-# O, o número complexo z/w, 
definido por 
z 
w 
é o quociente entre z e w. 
ac + bd bc - ad . 
c2 + d2 + c2 + d2 i, (1.6) 
Examinando o caso particular da divisão de 1 por um número 
complexo não nulo, concluímos que todo complexo z -# O possui inverso 
em relação à multiplicação. Sendo z =a+ ib-# O, segue de (1.6) que 
tal inverso, o qual denotaremos z-1 ou 1/ z, é dado por 
1 a b . 
z- = a2 + b2 - a2 + b2 i. 
Lembre-se de que não precisamos nos preocupar em decorar as fórmu-
las acima. É só operar como quando operamos com números reais. 
A fim de simplificar muitos de nossos cálculos posteriores, intro-
duzimos, agora, a seguinte notação: para z = a + bi E C, denotamos 
por z O complexo z = a-bi e o denominamos o conjugado dez. Em 
particular, temos z = z. 
Observe ainda que, ao multiplicar z por z, obtemos como resultado 
o número real a2 + b2 : 
z. z = (a+ bi)(a - bi) = a2 - (bi)2 = a2 + b2 . 
1.1 Definição e propriedades elementares 
Denotamos JzJ = Ja2 + b2 e denominamos JzJ o módulo dez. Quando 
z E IR, é imediato que a noção de módulo de um número complexo, 
definida como acima, coincide com a noção usual de módulo de um 
número real. Note também que, em resumo, 
z =a+ bi:::} JzJ 2 = zz = a 2 + b2 . (1.7) 
Olhando os pontos do plano cartesiano como o conjunto C dos 
complexos, obtemos uma representação geométrica de C conhecida 
como o plano complexo2 . 
Im 
b 
o 
-b 
z -----,, 
/" 1 
,/' 1 
./' 1 
/ 1 ,, a 
1 
1 
1 
1 
-----4 
Re 
Figura 1.1: conjugação de números complexos. 
Os eixos horizontal e vertical do plano complexo são denominados, 
respectivamente, eixos real e imaginário. O eixo real é formado pelos 
números complexos reais (i.e., os pares ordenados (x, O)~ x), ao passo 
que o eixo imaginário é formado pelos números complexos da forma 
2também chamado plano de Argand-Gauss, em homenagem aos matemáticos 
Jean-Robert Argand e Johann Carl Friedrich Gauss. 
8 Números Complexos 
yi, onde y E IR (i.e., os pares ordenados (O, y) = (y, O) · (O, 1) ~ yi); 
tais números complexos são denominados imaginários puros. 
Ainda em relação ao plano complexo, sendo z = a+ bi = (a, b), 
segue de z = a - bi que z e z são simétricos em relação ao eixo 
real (veja a figura 1.1). Por outro lado, os números reais a e b são 
respectivamente denominados a parte real e a parte imaginária de 
z, e denotados 
a= Re(z), b = Im(z). 
É, agora, claro que 
Re(z) = z + z z - z 
2 e Im(z) = ~· (1.8) 
O resultado a seguir traz mais algumas propriedades úteis dos nú-
meros complexos. Para o enunciado do mesmo, observamos que a 
associatividade da multiplicação de números complexos garante a boa 
definição de zn, para z E CC e n EN, como z1 = z e 
n 
z=~, 
n vezes 
para n > 1. Tal definição pode ser facilmente estendida a expoentes 
inteiros n, pondo, para z E <C \ {O}, zº = 1 e 
n ( -n)-1 1 z = z =-z-n' 
para n < O inteiro. Então, uma fácil indução permite mostrar que as 
regras usuais de potenciação continuam válidas, a saber, que 
(1.9) 
para todos z,w E <C \ {O} e m,n E Z. 
Podemos, finalmente, enunciar e provar o resultado desejado. 
Lema 1.1. Se z e w são complexos não nulos quaisquer, então: 
1.1 Definição e propriedades elementares 
(a) z E IR{::} Re(z) =O{::} z = z. 
(e) zn = (zt, para todo n E Z. 
(d) lzl = 1 {::} z = l/z. 
Prova. 
(a) Seja z =a+ bi. Temos 
z E IR {::} b = O {::} a+ bi = a - bi {::} z = z. 
(b) Sendo z = a + bi e w = e+ di, temos 
e 
A partir daí, vem 
de maneira que 
z + w = (a - bi) + (e - di) 
= ( a + e) - ( b + d) i 
=z+w 
zw = (ac - bd) + (ad + bc)i 
= (ac - bd) - (ad + bc)i 
= (a-bi)(c-di) = z·w. 
z/w · w = z/w · w = z, 
z/w = z/w. 
9 
( c) Para n = O o resultado é imediato e, para n E N, segue facilmente 
de (b), por indução. Para n < O inteiro, observe inicialmente que, pelo 
item (b), temos 
1 = I = zz-1 = z · z-1 
' 
10 Números Complexos 
de sorte que z-1 = (z)-1; portanto, pondo u = z-1 , a primeira parte 
acima, juntamente com (1.9), fornece 
(d) Uma vez que (cf. (1.7)) z · z = lzl 2, concluímos que 
lzl = 1 {::} z · z = 1 {::} z = 1/ z. 
D 
Exemplo 1.2 (Espanha).Se z e w são números complexos de módulo 
1 e tais que zw #- -1, mostre que r:z: é um número real. 
Prova. Se a = t:z:, basta mostrarmos que a = a. Para tanto, note 
que, pelo lema anterior, temos 
z+w z+w 
a= 
1 + zw 1 +z · w 
z-1 + w-1 w + z 
- - -a 
- 1 + z-1w-1 - zw + 1 - · 
D 
Nosso próximo resultado dá uma interpretação geométrica bastante 
útil do módulo da diferença de dois números complexos. 
Proposição 1.3. Dados z, w E C, o número real lz - wl é igual à 
distância Euclidiana de z a w no plano cartesiano subjacente ao plano 
complexo em questão. 
Prova. Se z = a + bi, w = c + di, então 
lz - wl = l(a - c) + (b- d)il = J(a - c)2 + (b- d)2. 
Por outro lado (conforme a figura 1.2), a proposição 6.5 de [11] garante 
que a distância dez a w também é dada por J(a - c)2 + (b - d)2. D 
1.1 Definição e propriedades elementares 
Im 
z 
1 
lb-dl I 
1 
1 r---
la-cl 
w 
Re 
Figura 1.2: módulo da diferença entre dois complexos. 
11 
A desigualdade (1.10), a seguir, é conhecida como a desigualdade 
triangular para números complexos. 
Corolário 1.4. Seu, v e z são números complexos quaisquer, então 
lu - vi ::::; lu - zl + lz - vi. (1.10) 
Prova. De acordo com a proposição 1.3, o corolário diz apenas que 
qualquer lado de um triângulo (possivelmente degenerado) é menor ou 
igual que a soma dos outros dois lados, o que já sabemos ser verdadeiro 
(conforme ensina a proposição 2.26 de [11]). D 
Problemas - Seção 1.1 
1. Em relação às operações de adição e multiplicação de números 
complexos, verifique, a partir da definição, a associatividade e 
comutatividade, bem como a distributividade da multiplicação 
com respeito à adição. Verifique, ainda, que (O, O) e (1, O) são, 
12 Números Complexos 
respectivamente, seus elementos neutros e que vale a lei do can-
celamento para a multiplicação. 
2. * Para z, w E C, prove que: 
(a) lzwl = lzl · lwl. 
(b) lz + wl 2 = lzl 2 + 2Re(zw) + lwl 2 . 
3. * Use o item (b) do problema anterior para provar, para todos 
z, w E C, a validade da desigualdade lz + wl ~ lzl + lwl, a qual 
também é conhecida como a desigualdade triangular para 
números complexos. Em seguida, use essa desigualdade para: 
(a) Deduzir a validade de (1.10). 
(b) Provar que llzl - lwll ~ lz - wl, para todos z, w E C. 
4. Para z E C, prove que lzl = 1 se, e só se, existe x E IR tal que 
1-ix 
Z = l+ix' 
5. (OCM.) Sejam a e z números complexos tais que lal < 1 e az #-
1. Se 
lz-al 1-az < 1, 
prove que lzl < 1. 
Para o próximo problema, definimos uma sequência de números 
complexos como uma função f : N ---+ C. Parafraseando nossa 
discussão sobre sequências de números reais, levada a cabo em 
(12], dada uma sequência f : N ---+ C, escrevemos Zn = f(n) e 
nos referimos à sequência f simplesmente por (zn)n2'.1· 
1.1 Definição e propriedades elementares 13 
6. (Holanda.) A sequência (zk)k2'.l de números complexos é defi-
nida, para k E N, por 
Zk = II (1 + ~) , 
j=l ../] 
onde i é a unidade imaginária. Encontre todos os n E N tais que 
n 
L lzk+l - zkl = 1000. 
k=l 
7. Dados z, w E C, sejam u e v os vetores de origem O e extremi-
dades respectivamente z e w. Prove que os números complexos 
z + w e z - w são, respectivamente, as extremidades dos vetores 
u + v e u - v, com origem em O. 
Para o próximo problema, recorde que ( de acordo com a seção 4.2 
de (13]) uma relação de ordem (parcial) em X é uma relação 
j em X que é reflexiva, transitiva e antissimétrica; ademais, se 
tivermos x j y ou y j x para todos x, y E X, a relação de 
ordem j é dita total. Para exemplificar, veja que a relação j, 
definida em IR por 
x j y~x ~ y, 
é uma relação de ordem total; por outro lado, a relação j em 
N, definida (veja o capítulo 1 de (14]) por 
x j y~x I y, 
é uma relação de ordem parcial que não é total. 
8. Prove que o conjunto dos números complexos não pode ser to-
talmente ordenado. Mais precisamente, prove que não existe, 
14 
Números Complexos 
sobre <C, uma relação de ordem total~' a qual estende a relação 
de ordem usual em IR e satisfaz as condições 
o ~ z, w =} o ~ z + w' zw. 
O próximo problema generaliza a construção do conjunto dos 
números complexos, apresentando a construção do conjunto lH1 
dos quatérnios ( ou, ainda, números quaterniônicos) de Ha'-
milton3. 
9. Em lH1 = {(a, b, e, d); a, b, e, d, E IR}, defina operações EB e 8, de-
nominadas respectivamente adição e multiplicação, pondo, para 
a= (a,b,c,d) e /3 = (w,x,y,z) em lH1, 
e 
a EB /3 =(a+ w, b + x, e+ y, d+ z) 
a 8 /3 = (aw - bx - cy - dz, ax + bw + cz - dy, 
ay - bz + cw + dx, az + by - ex+ dw), 
onde + e · denotam as operações usuais de adição e multiplicação 
de números reais. Faça os seguintes itens: 
(a) Mostre que a função l: IR~ lH1, tal que 1,(x) = (x,0,0,0) 
preserva operações, no sentido de que 
1,(x) EB 1,(y) = 1,(x + y) e 1,(x) 8 1,(y) = 1,(x + y), 
para todos x, y E R 
3 Após o matemático inglês do século XIX William R. Hamilton. O conjunto 
dos quatérnios tem muitas aplicações importantes em Matemática e em Física, 
mas estas fogem ao escopo destas notas. 
1.1 Definição e propriedades elementares 15 
(b) Mostre que as funções l 1 , 1,2 , 1,3 : <C ~ lH1, tais que 1,1 ( x+yi) = 
(x, y, O, O), l2(x + yi) = (x, O, y, O) e 1,3 (x + yi) = (x, O, O, y), 
preservam operações, no sentido de que 
para todos z, w E (C e 1 :::::; j :::::; 3. 
( c) De posse dos itens (a) e (b), escrevamos, doravante, sim-
plesmente + e · para denotar EB e 8, respectivamente, x 
para denotar (x, O, O, O) e i = (O, 1, O, O), j = (O, O, 1, O) e 
k = (O, O, O, 1). Mostre que 
i 2 = j2 = k2 = -1 
ij = -ji = k,jk = -kj = i, ki = -ik = j 
(1.11) 
e 
(a, b, e, d)= a+ bi + cj + dk. 
(d) Mostre que os resultados de (a+ bi + cj + dk) + (w +xi+ 
yj + zk) e ( a + bi + cj + dk) · ( w + xi + yj + zk) são os 
mesmos que obteríamos utilizando as propriedades usuais 
da adição e da multiplicação de números reais, juntamente 
com as relações (1.11). A partir daí, conclua que: 
1. A operação + é comutativa, associativa e tem O como 
elemento neutro. 
11. A operação é associativa, distributiva em relação a +, 
tem 1 como elemento neutro mas não é comutativa. 
(e) Para a= a+ bi + cj + dk E lH1, sejam a= a - bi - cj - dj 
o conjugado de a. Mostre que, para a, f3 E lH1, temos 
a/3 = a/3. 
(f) Para a= a+bi+cj+dk E lH1, seja lal = .)a2 + b2 + c2 + d2 
a norma de a. Mostre que aa = lal 2 e la/31 = lall/31, para 
todos a, /3 E JH1. 
16 Números Complexos 
(g) Use o resultado do item anterior para deduzir a identidade 
(7.9) de [14]. 
(h) Conclua que, para todo a E IHI\ {O}, existe um único /3 E lHI 
tal que a/3 = 1. A partir daí, mostre que a lei do cancela-
mento vale em IHI, i.e., mostre que, se a, /3 E lHI forem tais 
que a/3 = O, então a = O ou /3 = O. 
10. (Japão.) Seja P um pentágono cujos lados e diagonais medem, 
em alguma ordem, li, l2 , ... , lio- Se os números lr, l~, ... , l~ 
são todos racionais, prove que lio também é racional. 
1.2 A forma polar de um número complexo 
Dado z =a+ bi E (C \ {O}, seja a E [O, 21r) a menor determinação, 
em radianos, do ângulo trigonométrico entre o semieixo real positivo 
e a semirreta que une O a z (veja a figura 1.3). 
Im 
z 
a o Re 
Figura 1.3: forma polar de um número complexo. 
Escrevendo 
z= z + . z 1 1 ( a b ·) J a2 + b2 J a2 + b2 ' 
1.2 A forma polar de um número complexo 
segue que 
a 
COSO'.=----;::::== Ja2 + b2 
de maneira que 
b 
e sena= , Ja2 + b2 
z = 1 z 1 ( cos a + i sen a) . 
17 
(1.12) 
Como sen ( a + 2k1r) = sena e cos( a + 2k1r) cosa para todo 
k E Z, a igualdade (1.12) ainda vale com a + 2k1r no lugar de a. 
Por essa razão, diremos doravante que os números da forma a + 2k1r, 
com k E Z, são os argumentos do complexo não nulo z e que a 
é o argumento principal de z. Ademais, sendo a um argumento 
qualquer dez, denominaremos a representação (1.12) de forma polar 
(ou trigonométrica) dez. Veja, ainda, que 
I cosa+ i sen ai = 1, (1.13) 
para todo a E IR. Também doravante, denotaremos o complexo cos a+ 
i sena simplesmentepor eis a. Assim, sendo a um argumento de 
z E <C, segue de (1.12) que 
z = lzl eis a. 
O exemplo a seguir traz um uso interessante, ainda que elementar, 
da noção de argumento de um número complexo. 
Exemplo 1.5. Dentre todos os complexos z tais que lz - 25il ~ 15, 
obtenha o de menor argumento principal. 
Solução. Os complexos satisfazendo a condição do enunciado sao 
aqueles situados sobre o disco fechado de centro 25i e raio 15; 
18 Números Complexos 
Im 
o Re 
destes, o de menor argumento principal é aquele z E C tal que a se-
mirreta de origem O e que passa por z tangencia tal círculo no primeiro 
quadrante cartesiano. 
Como o raio do círculo é 15, o teorema de Pitágoras, aplicado 
ao triângulo retângulo de vértices 25i, z e O, nos dá \z\ = 20. Agora, 
sendo z = a+bi, temos que a é igual à altura desse triângulo retângulo 
relativa à hipotenusa; portanto, as relações métricas em triângulos 
retângulos (proposição 4.9 de [11]) garantem que 25a = 15 · 20, de 
onde segue que a= 12. Como \z\ = 20, temos que 
202 = \z\2 = ª2 + b2 = 122 + b2 
e, daí, b = 16. Logo, z = 12 + 16i. D 
A fórmula (1.14) a seguir, conhecida como a primeira fórmula 
de de Moivre4 , estabelece as vantagens computacionais da represen-
tação polar de números complexos. 
Proposição 1.6 (de Moivre). Se z = \z\ cisa é um complexo não nulo 
e n E Z, então 
(1.14) 
4 Após Abraham de Moivre, matemático francês do século XVIII. 
1.2 A forma polar de um número complexo 19 
Prova. O caso n = O é trivial. Supondo que tenhamos provado a 
fórmula para n > O, mostremos sua validade para n < O. Para tanto, 
seja n = -m, com m E N. Dado O E IR, segue do item (d) do lema 
1.1 e de \eis O\ = 1 que 
( eis 0)-1 = eis O = cos O + i sen O = cos O - i sen O 
= cos(-0) + i sen (-0) = eis (-0). 
(1.15) 
Portanto, como estamos assumindo a validade de (1.14) com m no 
lugar de n, segue que 
zn = z-m = (\z\ eis a)-m = \z\-m( eis (ma)t1 
= \zln eis (-ma) = lzln eis (na). 
Para o caso n > O, façamos indução sobre n, sendo o caso n = 1 
trivial. Supondo o resultado válido para um certo n E N, temos 
zn+l = z · zn = lzl eis a· lzln eis (na) 
= lzln+l eis a· eis (na), 
e basta mostrarmos que cisa· eis (na)= eis (n + l)a, i.e., que 
( cos a + i sen a) ( cos (na) + i sen (na)) = cos ( n + 1) a + i sen ( n + 1) a. 
Mas, esta última igualdade é imediata a partir das fórmulas trigono-
métricas de adição de arcos (proposição 7.18 de [11]). D 
O corolário a seguir fornece a interpretação geométrica usual para 
a multiplicação de números complexos, um dos quais de módulo 1. 
Para o caso geral, referimos ao leitor o problema 1. 
Corolário 1.7. Sejam a um real dado e z E (C \ {O}. Se u é o 
vetor de origem O e extremidade z, então o ponto do plano complexo 
que representa ( eis a) · z é a extremidade do vetor obtido mediante a 
rotação trigonométrica5 deu pelo ângulo a (veja a figura 1.4). 
20 Números Complexos 
Im 
z 
z · eis a 
Re 
Figura 1.4: interpretando geometricamente a multiplicação por eis a. 
Prova. Sendo z = lzl eis O, temos da primeira fórmula de de Moivre 
que 
z · eis a = 1 z I eis O · eis a = 1 z I eis ( O + a). 
Mas, este último complexo é exatamente a extremidade do vetor ob-
tido pela rotação deu do ângulo a, no sentido trigonométrico. D 
Corolário 1.8. Se z = lzl eis a e w = lwl eis ,B são complexos não 
nulos quaisquer, então 
zw = lzwlcis (a+ ,B) e : = i1:11 · eis (a - ,B). 
Em particular, a + ,B ( resp. a - ,B) é a medida em radianos de um 
argumento para zw (resp. z/w). 
Prova. Façamos a prova para ~, sendo o outro caso totalmente aná-
logo. Para tanto, basta ver que, por (1.15), 
!._ = lzl eis a· lwl-1 eis (-,B) = fl · eis (a - ,B). 
w lwl 
5Quer dizer, giramos u de um ângulo de medida a radianos, no sentido anti-
horário se a > O e no sentido horário se a < O. 
1.2 A forma polar de um número complexo 21 
D 
Dados n EN e z E (C \ {O}, entendemos por uma raiz n-ésirna 
dez um complexo w tais que wn = z. Contrariamente ao que ocorre 
com números reais, cada complexo não nulo z tem exatamente n raízes 
n-ésimas, as quais denotaremos genericamente por zyz. A fórmula 
(1.16) a seguir, conhecida como a segunda fórmula de de Moivre 
' nos ensina a calculá-las. 
Proposição 1.9 (de Moivre). Se z = lzl cisa é um complexo não 
nulo e n é um inteiro positivo qualquer, então há exatamente n valores 
complexos distintos para a raiz n-ésima de z. Ademais, tais valores 
são dados por 
nlÍ--::::TI . (ª + 2k1r) V 141 · eis n ; O :S: k < n, k E N, 
onde vTzT é a raiz real positiva de lzl. 
Prova. Se w = reis O, então 
wn = z {::} (rcisor = lzl cisa 
{::} rn eis (nB) = lzl eis a 
{::} rn = lzl e nB =a+ 2k1r, :l k E Z. 
(1.16) 
Estas últimas duas igualdades ocorrem se, e só se, r = vizT e O = 
a+2k1r 1 k '71 p , -n-, para a gum E /L,, ortanto, havera tantas raízes n-ésimas 
de z distintas quantos forem os números eis ( a+;;krr) distintos. Mas é 
fácil ver que 
. (ª + 2k1r) . (ª + 2(k + n)1r) ClS = ClS 
n n 
e 
eis ( a +n2k1r) -=/=- eis ( a +n2l7r) 
para O :S: k < l < n, de maneira que basta considerarmos os inteiros k 
tais que O :S: k < n. D 
22 Números Complexos 
Em que pese a fórmula acima, vale frisar que nem sempre ela se 
constitui na melhor maneira de calcularmos as raízes de um certo 
índice de um número complexo; isto porque nem sempre a forma tri-
gonométrica de complexo é efetivamente útil para cálculos. Veja o que 
ocorre no exemplo a seguir. 
Exemplo 1.10. Calcule as raízes quadradas de 7 + 24i. 
Solução. Se tentarmos utilizar a segunda fórmula de de Moivre, te-
remos de começar observando que 
7 + 24i = 25 ( cos a + i sen a), 
onde a = arctg 2i. Mas, como tal arco não é um arco notável, os 
cálculos trigonométricos que teremos de fazer para utilizar. a segunda 
fórmula de de Moivre serão mais trabalhosos do que a utilização di-
reta da definição de raiz quadrada de um número complexo. Senão, 
vejamos: 
Seja 7 + 24i = ( a + bi) 2 , com a, b E IR. Desenvolvendo ( a + bi)2 e 
igualando em seguida as partes real e imaginária, obtemos o sistema 
de equações 
{ ª2 - b2 = 7 . 
ab = 12 
Elevando a segunda equação ao quadrado e substituindo a2 = b2 + 7 
no resultado, chegamos à equação (b2 + 7)b2 = 144, de sorte que 
b2 = 9. Mas, como ab = 12 > O, concluímos que a e b devem ter sinais 
iguais e, a partir daí, que os possíveis pares (a, b) são (a, b) = (3, 4) 
ou (-3, -4). Logo, as raízes quadradas procuradas são os números 
complexos ±(3+ 4i). D 
Como caso particular importante da discussão sobre raízes de nú-
meros complexos, dizemos que o número complexo w é uma raiz da 
unidade se existir um natural n tal que wn = 1. Neste caso, w é 
denominado uma raiz n-ésima da unidade. 
1.2 A forma polar de um número complexo 23 
Como 1 = eis O, a segunda fórmula de de Moivre nos diz que há 
precisamente n raízes n-ésimas distintas da unidade, as quais são 
dadas por 
. (2krr) wk = eis ---:;;- ; O :::::; k < n, k E Z. (1.17) 
Denotando w = eis 2;, segue imediatamente de (1.17) e da pri-
meira fórmula de de Moivre que as raízes n-ésimas da unidade são os 
números complexos 
1 n-1 ,w,". ,w (1.18) 
À guisa de fixação, vejamos dois exemplos. 
Exemplo 1.11. Dado n E N, ache, em função de n, as soluções da 
equação (z - ir= zn. 
Solução. Como z = O não é raiz, a equação equivale a ( 1 - ~ r = 1. 
Portanto, sendo w = eis 2;, segue da discussão acima que 1- ~ é igual 
a um dos números w, w2, ... , wn-l (note que 1 também não é raiz da 
equação dada). Como 1 - ~ = wk se, e só se, z = 1_1wk, segue que zé 
igual a um dos números complexos 
1 1 1 
1 - w' 1 - w2 ' ... ' 1 - wn-1 . 
D 
Para o que segue, recordemos ( conforme discussão que precede o 
problema 6, página 12) que uma sequência de números complexos é 
uma função f : N ---+ C, a qual será, o mais das vezes, denotada 
simplesmente por (zn)n::::1, onde Zn = f(n). Isto posto, observamos 
que a demonstração da fórmula para a soma dos n primeiros termos 
de uma PG de números reais e razão diferente de O e 1 é válida 
' 
ipsis literis,para uma PG de números complexos, i.e., uma sequência 
(zn)n::::1 de complexos, tal que Zk+l = qzk para todo k 2:: 1, onde 
q E C \ {O, 1 }. Portanto, podemos enunciar o resultado auxiliar a 
seguir. 
24 Números Complexos 
Lema 1.12. Para z E C \ {O, 1}, temos 
2 n 1 zn - 1 
l+z+z +···+z - =--
z-1 
Como corolário do lema acima, note que, se w =I 1 é uma raiz 
n-ésima da unidade, então wn = 1, de maneira que 
1 + w + w2 + · · · + wn-l = O. (1.19) 
Utilizaremos a fórmula acima várias vezes em nossas discussões pos-
teriores. 
Exemplo 1.13 (IMO). Use números complexos para provar que 
1r 27r 31r 1 
cos- - cos- +cos- = -
7 7 7 2· 
Prova. Se w = eis 2;, uma raiz sétima da unidade, então 
Re(w + w2 + w3) = cos 27r + cos 4 1r + cos 51r 
7 7 7 
21r 31r 1r 
= cos 7 -cos 7 -cos 7. 
Por outro lado, como wk · w7-k = 1 e lwkl = 1, segue do item (d) do 
lema 1.1 que 
w7-k = (wk)-1 = wk. 
Portanto, w + w2 + w3 = w6 + w5 + w4 e, daí, 
Re(w + w2 + w3) = Re(w6 + w5 + w4). (1.20) 
Por fim, segue de (1.19) que 
2 6 1 w+w + .. ·+w =-; 
daí, tomando partes reais e utilizando (1.20), obtemos 
2Re(w + w2 + w3) = Re(w + w2 + w3) + Re(w6 + w5 + w4) = -1 
1 
1 
4·\ 
!' 1.2 A forma polar de um número complexo 25 
e segue, de (1.20), que 
1r 21r 31r 1 
cos 7 - cos 7 + cos 7 = -Re(w +w2 +w3) = 2. 
D 
O próximo resultado usa a segunda fórmula de de Moivre para dar 
uma bela interpretação geométrica para as raízes n-ésimas de um 
complexo não nulo. 
Proposição 1.14. Se zé um complexo não nulo e n > 2 é um natural, 
então as raízes n-ésimas de z são os vértices de um n-ágono regular 
centrado na origem do plano complexo. 
Prova. Sendo a um argumento de z, segue da segunda fórmula de de 
Moivre que as raízes n-ésimas de z são os complexos z0 , z1 , ... , Zn-l 
tais que 
nfi":T , (ª + 2k7r) Zk = y 1~1 • ClS n , 
para O::::; k < n. 
A partir de (1.13), obtemos 
de sorte que os pontos zk estão todos situados sobre o círculo de centro 
O e raio ~ do plano complexo. Por outro lado, segue do corolário 
1.8 que 
Zk+1 = eis (21r) ' 
Zk n 
para O ::::; k < n. Então, sendo uk o vetor de origem O e extremidade 
zk, segue do corolário 1. 7 que o ângulo entre uk e uk+l, medido em 
radianos e no sentido anti-horário, é, para O::::; k < n, igual a 2:. 
A proposição decorre imediatamente desses dois fatos. D 
; 1 1 
26 Números Complexos 
Im 
Re 
Figura 1.5: disposição geométrica de raízes quartas de -1. 
Exemplo 1.15. Na figura 1.5, representamos, no plano complexo, as 
raízes quartas de -1. Observe que z1 = Jf=-Iícis i = 1J;. 
O corolário a seguir isola uma consequência importante do resul-
tado anterior. 
Corolário 1.16. As raízes n-ésimas da unidade se dispõem, no plano 
complexo, como os vértices do polígono regular de n lados, inscrito no 
círculo de raio 1 centrado na origem e tendo o número 1 como um de 
seus vértices. 
Exemplo 1.17. Na figura 1. 6, temos w = eis 2; = l+;v'3, de sorte que 
os números complexos 1, w, ... , w5 são as raízes sextas da unidade. 
Os números 1, w2 e w4 são as raízes cúbicas da unidade, ao passo que 
os números w, w3 = -1 e w5 são as raízes cúbicas de -1. 
1.2 A forma polar de um número complexo 27 
lm 
1 
. w3 Re 
Figura 1.6: raízes sextas da unidade. 
Problemas - Seção 1.2 
1. Para r E lR \ {O}, definimos a homotetia de centro O e razão 
r como a função Hr : C --+ C, tal que Hr(z) = rz, para todo 
z E C. Para () E lR \ {O}, definimos a rotação de centro O 
e ângulo () como a função R0 : C \ {O} --+ C \ {O}, tal que 
Ro(z) = (cisO)z, para todo z E C \ {O}. 
(a) Seja u o vetor de origem O e extremidade z. Se w = Hr(z), 
prove que o vetor de origem O e extremidade w é ru. 
(b) Se w = reis() é um complexo não nulo, prove que, para 
todo z E C \ {O}, temos 
wz = Hr o Ro(z). 
2. (OCM.) Seja w um número complexo tal que w2 + w + 1 = O. 
1 
! ' 
28 Números Complexos 
Calcule o valor do produto 
3. Seja num natural múltiplo de 3. Calcule o valor de (1 + v'3it-
(1 - v'3it. 
4. Resolva em <C o sistema de equações 
{ 
lz1I = lz2I = lz3I = 1 
Z1 + Z2 + Z3 = Ü 
Z1Z2Z3 = 1 
5. Encontre, em função de n EN, as soluções da equação 
(1 + z) 2n + (1 - z) 2n =· O. 
6. Mostre que todas as raízes da equação (z-1)5 = 32(z+ 1)5 estão 
situadas sobre o círculo do plano complexo de raio Í e centro -i, 
7. (Irlanda.) Para cada n E N, defina an = n2 + n + 1. Dado k E N, 
prove que existem EN tal que ªk-Iak = ªm· 
8. (Romênia.) Sejam p, q E <C, com q =/=- O, tais que a equação 
x 2 + px + q2 = O tem raízes de módulos iguais. Prove que ~ E lR. 
9. Sejam z1, z2 e z3 números complexos não todos nulos. Prove que 
z1, z2 e z3 são os vértices de um triângulo equilátero no plano 
complexo se, e só se, 
2 2 2 Z1 + Z2 + Z3 = Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1, 
10. Dado n > 2 inteiro, use números complexos para provar que 
n-1 2k7r n-1 2k7r 
~cos-- = I:sen-- = O. 
L- n n 
k=O k=O 
' I; !~: ;;, ~ 1.2 A forma polar de um número complexo 29 
11. Dados n > 2 inteiro e a E IR, use números complexos para 
calcular cada uma das somas abaixo em função de n e a: 
(a) sena+ sen (2a) + sen (3a) + · · · + sen (na). 
(b) sen2a + sen2(2a) + sen2(3a) + · · · + sen2(na). 
12. Dê exemplo de um conjunto infinito 7 e <C satisfazendo as se-
guintes condições: 
(a) Para todo z E 7 existe n EN tal que zn = 1. 
(b) Para todos z, w E 7, temos zw E 7. 
13. (Croácia.) Sejam n um natural dado e A um conjunto de n 
números complexos não nulos, tendo a seguinte propriedade: se 
quaisquer dois de seus elementos ( não necessariamente distintos) 
forem multiplicados, obtemos outro elemento do conjunto. Ache 
todos os conjuntos A possíveis. 
14. Seja g : <C --+ <C uma função dada e w = eis 2;. Para cada número 
complexo dado a, prove que há uma única função f : (C --+ <C tal 
que 
f(z) + f(wz + a) = g(z), V z E <C. 
30 Números Complexos 
CAPÍTULO 2 
Polinômios 
De um ponto de vista mais algébrico, funções polinomiais reais po-
dem ser encaradas como polinômios de coeficientes reais. Conforme 
veremos a partir deste capítulo, um tal ponto de vista resulta muitís-
simo frutífero no estudo de polinômios, não somente os de coeficientes 
reais, mas também aqueles com coeficientes racionais ou, mais ge-
ralmente, complexos. Nesse sentido, em tudo o que segue, sempre 
que uma propriedade for válida para polinômios com coeficientes em 
um qualquer dos conjuntos numéricos (Ql, lR. e C, escreveremos sim-
plesmente IK para denotar tais conjuntos, salvo menção explícita em 
contrário. Nosso propósito é, pois, desenvolver os aspectos algébricos 
elementares da teoria dos polinômios sobre IK. 1 
1 Para os que já estudaram um pouco de Estruturas Algébricas, frisamos que lK 
poderia denotar um corpo qualquer de característica O. De fato, a restrição de lK 
a (Ql, ~ ou C é meramente psicológia, tendo o intuito de tornar o mais elementar 
possível a discussão subsequente. 
31 
------------~---- -
32 Polinômios 
2.1 Definições e propriedades básicas 
Colecionamos, nesta seção, as definições e notações básicas sobre 
polinômios, as quais serão fundamentais para os desenvolvimentos sub-
sequentes da teoria. 
Definição 2.1. Uma sequência (a0, a1, a2, .. . ) de elementos de IK é 
dita quase toda nula se existir n ~ -1 tal que 
Em palavras, uma sequência (ao, a1 , a2, .. . ) é quase toda nula se 
todos os seus termos, de uma certa posição em diante, forem iguais a 
zero. Por exemplo, as sequências 
(O, O, O, O, O, O, ... ) e (1, 2, 3, ... , n, O, O, O, ... ) 
são quase todas nulas; por outro lado, a sequência (1, O, 1, O, 1, ... ), 
com l's e O's se alternando indefinidamente, não é quase toda nula. 
Definição 2.2. Um polinômio sobre ( ou com coeficientes em) IK é 
uma soma formal f = f(X) do tipo 
f(X) = ªº + a1X + a2X2 + a3X3 + ... := L akxk, (2.1) 
k2:0 
onde (ao, a1, a2, .. . ) é uma sequência quase toda nula de elementos de 
IK e convencionamos Xº = 1 e X 1 = X no somatório acima. 
Ainda em relação à definição acima, cumpre observar que X é um 
símbolo qualquer. Em particular, X não representa uma variávele 
poderíamos, por exemplo, ter utilizado o símbolo O em seu lugar. 
Assumiremos ainda que os polinômios f(X) = Lk2:o akXk e g(X) = 
Lk>O bkXk sobre IK são iguais se, e só se, ak = bk, para todo k ~ O. 
Dado um polinômio f(X) = a0 + a1X + a2X 2 + a3X 3 + · · · sobre 
IK, adotamos as seguintes convenções: 
2.1 Definições e propriedades básicas 33 
i. Os elementos ai E IK são denominados os coeficientes de f. 
ii. Quando ai = O omitiremos, sempre que for conveniente, o termo 
aiXi. Em particular, como a sequência (a0, a1, a2, .. . ) é quase 
toda nula, existe um inteiro n ~ O para o qual podemos escrever 
n 
f(X) = Lªkxk. 
k=O 
iii. Quando ai = ±1, escreveremos ±Xi em vez de (±l)Xi, para O 
termo correspondente de f. 
iv. O polinômio O = O+ OX + OX2 + · · · é denominado o polinômio 
identicamente nulo sobre IK. Sempre que não houver perigo 
de confusão com O E IK, denotaremos o polinômio identicamente 
nulo sobre IK simplesmente por O. 
v. Mais geralmente ( e consoante ii.), dado a E IK, denotamos o po-
linômio a+ox +OX2+· · · simplesmente por O: e O denominamos 
o polinômio constante a; em cada caso, o contexto deixará 
claro se estamos nos referindo ao polinômio constante e igual a 
a ou ao elemento a E IK. 
Denotamos por IK[X] o conjunto de todos os polinômios sobre IK. 
Em particular, de posse do item v. acima, convencionamos também 
que 
IK e IK[X]. 
Por outro lado, as inclusões (Q e IR e C fornecem as inclusões 
(Q[X] e IR[X] e C[X]. 
Exemplo 2.3. Se f(X) = 1 + X - X 3 + \!'2X7, então f tJ. (Q[X] 
(uma vez que v'2 (f. Q) mas f E IR[X]. Já a expressão g = 1 +X+ 
x2 + x3 + x4 + - , l. A • · · · nao e um po inomio, uma vez que a sequência 
(1, 1, 1, ... ) não é quase toda nula. 
1 
r 
1 
oe:3..cc4 ______________________ =-P=ol=in=ô=m=1=·º=-s i' 2.1 Definições e propriedades básicas 35 
No que segue, vamos definir sobre IK[X] operações 
EB : IK[X] x IK[X] ----+ IK[X] e 8 : IK[X] x IK[X] ----+ IK[X], 
respectivamente denominadas adição e multiplicação. Para tanto, 
precisamos inicialmente do seguinte resultado auxiliar. 
Lema 2.4. Se (ak)k2:o e (bk)k2:o são sequências quase todas nulas de 
elementos de OC, então também são quase todas nulas as sequências 
( ak ± bk h2:o e ( ck h2:o, onde 
k 
ck = L aibj = L aibk-i· 
i+i=k i=O 
i,j2:0 
Prova. Mostremos somente que a sequência ( ck) k2:0 é quase toda nula, 
ficando o outro caso como exercício para o leitor ( veja o problema 1). 
Sejam m, n E Z+ tais que ai = O para i > n e bj = O para j > m. Se 
k > m + n e i + j = k, com i, j ~ O, então i > n ou j > m, pois, do 
contrário, teríamos k = i + j :S n + m, o que não é o caso. Mas, como 
i > n =} ai = O e j > m =} bj = O, em qualquer caso temos aibj = O, 
de sorte que 
Ck = L aibj = O. 
i+j=k 
i,j2:0 
o 
De posse do lema anterior, podemos finalmente formular as defini-
ções das operações de adição e multiplicação de polinômios. 
Definição 2.5. Dados em IK[X] os polinômios 
a soma e_º produto de f e g, denotados respectivamente por f EB g 
e f 8 g, sao os polinômios 
U EB g)(X) = L(ak + bk)Xk 
k2:0 
e 
U 8 g)(X) = Lckxk, 
k2:0 
Ainda que, em princípio, possa não parecer, a definição do produto 
de dois polinômios é bastante natural: a fórmula para o coeficiente ck 
de f 8 g é necessária se quisermos que valham a distributividade da 
operação 8 em relação à operação EB, bem como a regra usual de 
potenciação xm 8 xn = xm+n. De fato, se tais propriedades forem 
válidas, então, calculando o produto 
(ao+ a1X + a2X2 + · · ·) 8 (b0 + b1X + b2X 2 + ... ) 
distributivamente, obtemos 
para coeficiente de Xº, 
para coeficiente de X, 
aobo = L aibj 
i+j=O 
i,j2:0 
aob1 + a1bo = L aibj 
i+j=l 
i,j2:0 
aob2 + a1 b1 + a2bo = L aibj 
i+j=2 
i,j2:0 
para coeficiente de X 2 e assim por diante. 
1 ! 
36 Polinômios 
De fato, não é difícil nos convencermos ( cf. problema 3) de que, 
conforme foram definidas, as operações de adição e multiplicação de 
polinômios sobre lK gozam das seguintes propriedades: 
i. Comutatividade: f E9 g = g E9 f e f 0 g = g 0 f; 
ii. Associatividade: (! E9 g) E9 h = f E9 (g E9 h) e (! 0 g) 0 h = 
f 0 (g 0 h); 
m. Distributividade: f 0 (g E9 h) = (! 0 g) E9 (! 0 h), 
para todos f,g, h E JK[X]. 
Exemplo 2.6. Considere os polinômios de coeficientes reais f(X) = 
1 + X - v'2X2 - 4X3 e g(X) =X+ X 2, onde, como anteriormente 
convencionado, omitimos os coeficientes nulos. Então 
e 
(! EB g)(X) = 1 + 2X + (1 - v'2)X2 - 4X3 
(! 0 g)(X) = (1 + X - v'2X2 - 4X3) 0 (X+ X 2) 
= [10 (X+ X 2)] E9 [X 0 (X+ X 2)]EB 
E9 [-v'2X2 0 (X+ X 2)] E9 [-4X3 0 (X+ X 2)] 
= (X+ X2) E9 (X2 + X3) E9 ( -v'2X3 - v'2X4)EB 
E9 ( -4X4 - 4X5) 
=X+ 2X2 + (1 - v'2)X3 - (v'2 + 4)X4 - 4X5 . 
A discussão acima deixa claro que podemos relaxar nossas nota-
ções, denotando, a partir de agora, as operações de adição e multipli-
cação de polinômios sirnplesrnente por + e ·. Assim, sempre que adi-
cionarmos dois polinômios, os sinais + representarão duas operações 
diferentes: a adição de elementos de lK, efetuada sobre os coeficientes 
dos polinômios ern questão, e a adição de elementos de JK[X]. No en-
tanto, isto não deve causar confusão, urna vez que o contexto sempre 
2.1 Definições e propriedades básicas 37 
deixará claro a qual operação o sinal+ se refere. Note, ainda, que urn 
comentário análogo é válido para o sinal · de multiplicação. 
Observação 2.7. Todas as definições acima podem ser estendidas, 
aliás de maneira óbvia, para incluir polinômios de coeficientes inteiros. 
Doravante, sempre que necessário, denotaremos o conjunto de tais 
polinômios por Z[X]. 
Sendo O o polinômio identicamente nulo, ternos f + O = O + f = O 
para todo f E JK[X], i.e, o polinômio identicamente nulo é o elemento 
neutro da adição de polinômios. Por outro lado, dado f E JK[X], 
existe urn único polinômio g E JK[X] tal que f + g = g + f = O: de 
fato, sendo f(X) =ao+ a1X + a2X 2 +···,é imediato que 
g(X) = -ao - a1X - a2X 2 - · • . 
é esse único polinômio, o qual será, doravante, denotado por - f. As-
sim, 
(-!)(X)= -ao - a1X - a2X 2 - • • • 
e, para /, g E JK[X], podemos definir a diferença f - g entre f e g 
por f - g = f + ( -g). 
Para a E lK e g(X) = bo + b1X + b2X 2 + · · · E JK[X], é imediato 
verificar que 
a · g = abo + ab1X + ab2X 2 + · · . ; 
em particular, ternos 1 · g = g para todo g E JK[X], de maneira que 
o polinômio constante 1 é o elemento neutro da multiplicação de po-
linômios. 
Doravante, sempre que não houver perigo de confusão, escrevere-
mos sirnplesrnente f g para denotar o produto f · g, de f, g E JK[X]. 
Em particular, se a E JK, então af denotará o produto de a, visto 
como polinômio constante, e f. 
A definição a seguir desempenhará papel central ao longo do texto. 
~382._ ____________________ _.:=..P-=-o=lin=º=Am=iº=---' r 2.1 Definições e prnpriedades básicas 
l: 
39 
Definição 2.8. Se J(X) = a0 + a1X + · · · + anXn E IK[X] \ {O}, ,, 'l 
com an -=I O, dizemos que o inteiro não negativo n é o grau de f, e ~ 
denotamos a f = n ( lê-se "o grau de f é igual a n"). i-
Veja que só definimos grau para polinômios não identicamente nu-
los; por outro lado, 8f = O para todo polinômio constante J(X) = a, 
com a E lK \ {O}. Doravante, sempre que nos referirmos a f E 
IK[X] \ {O} escrevendo 
f ( X) = anXn + · · · + a1 X + ao 
suporemos, salvo menção em contrário, que an -=I O. Nesse caso, an 
será denominado o coeficiente líder de f. Finalmente, f será dito 
mônico quando tiver coeficiente líder 1. 
A proposição a seguir estabelece duas propriedades muito impor-
tantes da noção de grau de polinômios. 
Proposição 2.9. Para f,g E IK[X] \ {O}, temos: 
(a) au + g)::; max{8f,8g} se f + g -=I o. 
(b) f g -=I O e 8(f g) = 8f + 8g. 
Prova. Sejam a f = n e 8g = m, com 
(a) Sem -=I n, podemos supor, sem perda de generalidade, quem> n. 
Então 
(f + g)(X) =(ao+ bo) + · · · + (an + bn)Xn + bn+1xn+1 + · · · + bmXm, 
de forma que 8(! + g) = m = max{8f, 8g}. Sem= n mas f + g =f O, 
então 
(f + g)(X) =(ao+ bo) + · · · + (an + bn)Xn 
e há duas possibilidades:an + bn = O ou an + bn =f O. No pri-
meiro caso, 8(! + g) < n = max{8f, 8g}. No segundo, 8(! + g) = 
n = max{8f,8g}. Em qualquer caso, ainda teremos 8(! + g) ::; 
max{8f, 8g}. 
(b) Seja fg = co+c1X +c2X2+· · ·. Se k > m+n, vimos, na prova do 
lema 2.4, que ck = O. Portanto, se mostrarmos que Cm+n -=I O, seguirá 
que fg-# O e 8(fg) = m+n = 8f +8g. Mas, como ai= O parai> n 
e bj = O para j > m, é imediato que 
Cm+n = L aibj = anbm =f O. 
i+j=m+n i,j?_O 
Problemas - Seção 2.1 
D 
1. * Se (ak)k?.O e (bk)k?.o são sequências quase todas nulas de ele-
mentos de IK, mostre que a sequência (ak ± bk)k?.O também é 
quase toda nula. 
2. Dado n EN, execute as seguintes multiplicações de polinômios: 
(a) (X - l)(xn-1 + xn-2 +···+X+ 1). 
(b) (X+ l)(xn-1 - xn-2 + · · · - X+ 1), se n for ímpar. 
(c) (X+ l)(X2 + l)(X4 + 1) ... (X2n + 1). 
3. * Mostre que as operações de adição e multiplicação de poli-
nômios são comutativas, associativas e que a multiplicação é 
distributiva em relação à adição. 
1 
11 
r 
40 
i;;, 
6 Polinômios 
4. * Mostre que, em K[X], não há divisores de zero. Mais preci-
samente, mostre que se f,g E K[X] são tais que fg = O, então 
f = o ou g = o. 
5. (Torneio das Cidades.) Encontre pelo menos um polinômio f, 
de grau 2001, tal que J(X) + J(l - X) = 1. 
2.2 O algoritmo da divisão 
Já vimos ser possível adicionar, subtrair e multiplicar polinômios, 
sendo o resultado ainda um polinômio. E quanto à possibilidade de 
uma operação de divisão para polinômios? Bem, nem sempre será 
possível efetuá-la; em outras palavras, dados polinômios f, g E K[X], 
com g -=/:- O, nem sempre existirá h E K[X] tal que f = gh; por exemplo, 
se J(X) =X+ 1 e g(X) = X 2 então um tal polinômio h não existe, 
pois, caso existisse, deveríamos ter 
1 = of = o(gh) = og +oh= 2 + oh 
e, daí, oh= -1, o que é um absurdo. 
Apesar da discussão do parágrafo anterior, o seguinte análogo da 
divisão de inteiros, denominado o algoritmo da divisão para po-
linômios, ainda é válido. 
Teorema 2.10. Se f, g E K[X], com g -=/:- O, então existem únicos 
q, r E K[X] tais que 
f = gq + r, com r = o ou o~ or < og. (2.2) 
Prova. Mostremos, inicialmente, que há no máximo um par de po-
linômios q e r satisfazendo as condições do enunciado. Para tanto, 
sejam q1 , q2, r 1 , r 2 E K[X] tais que 
2.2 O algoritmo da divisão 41 
com ri= O ou O ~ ori < og, parai= 1, 2. Então, g(q1 - q2) = r 2 - r1 
e, se q1 -=/:- q2, o problema 4, página 40, garante que r 1 -=/:- r 2. Mas, pela 
proposição 2.9, temos 
og ~ og + o(q1 - q2) = o(g(q1 - q2)) 
= o(r1 - r2) ~ max{or1, or2} < og, 
O que é um absurdo. Portanto, q1 = q2 e, daí, r 1 = r 2. 
Façamos, agora, a prova da existência de polinômios q e r satisfa-
zendo as condições do enunciado. No que segue, sejam b o coeficiente 
líder e no grau de g, e consideremos o seguinte algoritmo: 
Algoritmo da divisão para polinômios 
1. FAÇA 
• r +-- f; m +-- of; q +-- O; 
• a+-- COEFICIENTE LÍDER DE r; 
2. ENQUANTO r -=/:- 0 OU or 2:: og FAÇA 
• r(X) +-- r(X) - ab-1 xm-ng(X); 
• q(X) +-- q(X) + ab-1 xm-n; 
• m +-- or 
• a+-- COEFICIENTE LÍDER DE r; 
3. LEIA OS VALORES FINAIS DE r E DE q. 
Provemos que o algoritmo acima realmente termina após um núme-
ro finito de repetições do laço ENQUANTO e nos dá, ao final, polinômios 
q e r como desejado. 
Ser -=/:- 0 ou or 2:: og, então a instrução do laço ENQUANTO troca 
r(X) pelo polinômio r(X) - ab-1xm-ng(X); tal polinômio, se não 
for o polinômio nulo, tem grau menor que o de r, uma vez que o 
42 Polinômios 
polinômio ab-1 xm-ng(X) tem grau m ( que é o grau de r antes da 
execução do laço) e coeficiente líder a ( que é o coeficiente líder de r 
antes da execução do laço). Assim, o algoritmo pára após um número 
finito de passos. 
Após a primeira atribuição, temos 
f(X) = g(X)q(X) + r(X), 
uma vez que, no início, q(X) = O e r(X) = J(X). Suponha, por 
hipótese de indução, que após uma certa execução do laço ENQUANTO 
tenhamos f(X) = g(X)q(X) + r(X) e que, nesse momento, r(X) =l-
O e or :2:: og. Então a próxima execução ocorre e troca r(X) por 
r(X) - ab-1 xm-ng(X) e q(X) por q(X) + ab-1 xm-n. Como 
(2.3) 
é igual a g(X)q(X) + r(X), segue da hipótese de indução que, após 
tal execução, ainda teremos (2.3) igual a f(X). D 
Nas notações do algoritmo da divisão para polinômios, dizemos que 
( o valor final de) q é o quociente e ( o valor final de) r é o resto da 
divisão de f por g. Ademais, quando r = O, dizemos que fé divisível 
por g ou, ainda, que g divide f, e denotamos g I f. 
Observação 2.11. Como o leitor pode facilmente verificar repassando 
a discussão acima, o algoritmo da divisão ainda é válido para polinô-
mios em Z[X], contanto que o coeficiente líder do polinômio divisor 
seja ±l. Mais precisamente, se f, g E Z[X], onde g =1- O tem coefici-
ente líder ±1, então q e r também têm coeficientes inteiros. No que 
segue, usaremos esta observação sem maiores comentários. 
Vejamos como o algoritmo da divisão se comporta num exemplo 
particular. Considere o problema de dividir f(X) = X4-2X2+5X +7 
por g(X) = 3X2 + 1 em Q[X]. Iniciamos o algoritmo armazenando os 
valores b = 3 e n = 2. Ao segui-lo, temos os seguintes passos: 
2.2 O algoritmo da divisão 43 
1. Fazemos as atribuições r(X) = X4 - 2X2 + 5X + 7; m = 4; 
q(X) = O; a = 1. 
2. Como nem r(X) = O nem m = 4 < n = 2, trocamos r(X) por 
r(X) - ab-1 xm-ng(X) = 
1 
= X4 - 2x2 + sx + 7 - -x4- 2(3X2 + 1) 
3 
7 2 = - 3X +5X +7, 
m por 2, q(X) por 
7 e a por - 3. 
1 1 
q(X) + ab-ixm-n =O+ -x4-2 = -X2 
3 3 
3. Como ainda não temos nem r(X) = O nem m = 2 < n = 2, · 
trocamos r(X) por 
r(X) - ab-1 xm-ng(X) = 
7 7/3 
= --X2 + 5X + 7 + -X2- 2(3X2 + 1) 
3 3 
=5X 70 + 9' 
m por 1, q(X) por 
q(X) + ab-1 xm-n = ~X2 + -7 /3 x2-2 = ~X2 - ~ 
3 3 3 9 
1 e a por 3 . 
4. Agora, ainda temos r(X) =1- O, mas m = 1 < n = 2, de modo que 
não mais voltamos para o início do loop. Simplesmente lemos 
r(X) = 5X + 79ü e q(X) = ~X2 - ~-3 9 
44 
Polinômios 
Podemos esquematizar o procedimento acima na tabela abaixo, ao 
longo da qual você deve identificar cada uma das passagens acima: 
Algoritmo da divisão para polinômios 
x4 -2X2 +5X +7 3X2 + 1 
-X4 -1/3X2 1/3X2 
-7/3X2 +5X +7 1/3X2 - 7 /9 
7/3X2 +7/9 
5X +70/9 
Problemas - Seção 2.2 
1. Se n E N, encontre o resto da divisão do polinômio ( X 2 +X+ 1 t 
pelo polinômio X 2 - X + 1. 
2. Dados m, n E N, com m > n, encontre o resto da divisão de 
X 2m + 1 por X 2n + 1. 
3. Ao dividirmos um polinômio f E Q[X] por X +2, obtemos resto 
-1; ao dividirmos f por X - 2, obtemos resto 3. Encontre o 
resto da divisão de f por X 2 - 4. 
4. Um polinômio f E IR[X] deixa resto 4 quando dividido por X+ 1 
e resto 2X + 3 quando dividido por X 2 + 1. Obtenha o resto de 
sua divisão por (X+ l)(X2 + 1). 
CAPÍTULO 3 
Raízes de Polinômios 
Na exposição que fizemos até agora da teoria de polinômios não 
tivemos, em momento algum, a intenção de substituir X por um nú-
mero. De outra forma, até o presente momento, polinômios têm sido 
para nós meramente expressões formais com as quais aprendemos a 
operar. Nesse sentido, a indeterminada X é um símbolo sem sig-
nificado aritmético, e observamos uma vez mais que poderíamos tê-lo 
substituído pelo símbolo D, por exemplo, sem problema algum. 
Remediamos o estado de coisas descrito acima neste capítulo, onde 
introduzimos o conceito de raiz de um polinômio e de função polino-
mial associada a um polinômio. Dentre os vários resultados impor-
tantes discutidos, destacamos a apresentação de uma demonstração 
completa do teorema fundamental da álgebra. Outros pontos dignos 
de nota são a discussão do critério de pesquisa de raízes racionais de 
polinômios de coeficientes inteiros e a utilização de raízes da unidade 
como marcadores de posição em certos problemas combinatórios. 
45 
46 Raízes de Polinômios 
3 .1 Raízes de polinômios 
Para continuar nosso estudo de polinômios, é conveniente conside-
rar a função polinomial associada a um polinômio. 
Definição 3.1. Para f(X)= anXn+· · ·+a1X +ao E K[X], a função 
polinomial associada a f é a função J : K --+ K dada, para x E K, 
por 
Quando f ( X) = c, note que a função polinomial associada f será 
a função constante ](x) = c, para todo x E K, justificando o nome 
constante imputado anteriormente a um polinômio de grau O. 
Definição 3.2. Seja f E K[X] um polinômio, com função polznomial 
associada f : K --+ K. Um elemento a E K é uma raiz de f se 
](a) = O. 
Por exemplo, se f(X) =X+ 1 E <C[X], é fácil ver que x = -1 é a 
única raiz de f em <C. De fato, a função polinomial associada a f é 
]:<C -t (C 
X f-----7 X + 1 ' 
de sorte que ](x) = O se, e só se, x = -1. 
A proposição a seguir é conhecida como o teste da raiz. 
Proposição 3.3. Se f E K[X] \ {O} e a E K, então: 
(a) a é raiz de f se, e só se, (X - a) 1 f(X) em K[X]. 
{b) Se a for raiz de f, então existe um maior inteiro positivo m tal 
que (X - a)m divide f. Ademais, sendo f(X) = (X - a)mq(X), 
com q E K[X], tem-se ij(a) -=1- O, onde ij : K --+ K é a função 
polinomial associada a q. 
1 
3.1 Raízes de polinômios 47 
(c) Se a 1, ... , ak forem raízes duas a duas distintas de f, então o 
polinômio (X - a 1) ···(X - ak) divide f (X) em K[X]. 
Prova. 
(a) Segue do algoritmo da divisão a existência de polinômios q, r E 
K[X] tais que 
f(X) = (X - a)q(X) + r(X), 
com r = O ou O ~ 8r < 8(X - a) = 1. Portanto, r(X) = c, um po-
linômio constante. Por outro lado, sendo J e ij as funções polinomiais 
respectivamente associadas a f e q, segue da igualdade acima que 
](a)= (a - a)ij(a) + c = e, 
i.e., f(X) = (X - a)q(X) + ](a). Assim, 
a é raiz de f {::} ](a) =O{::} f(X) = (X - a)q(X). 
(b) Sem > 8f, então (X - a)m f f(X), uma vez que 8(X - a)m = 
m > a f. Daí e do item (a), existe um maior inteiro positivo m tal que 
(X - a)m I J(X), digamos J(X) = (X - a)mq(X). Passando para 
funções polinomiais, obtemos, a partir daí, a igualdade 
](x) = (x - a)mij(x), V x E K; 
se ij(a) = O, seguiria de (a) que q(X) = (X - a)q1(X), para algum 
polinômio q1 E K[X]. Mas aí, teríamos 
contrariando a maximalidade de m. 
( c) Façamos a prova deste item para o caso k = 2 ( a prova do caso 
geral é inteiramente análoga). Como a 1 é raiz de f, pelo item (a) 
existe um polinômio g E K[X] tal que f(X) = (X - a 1)g(X). Seja 
48 Raízes de Polinômios 
g a função polinomial associada ao polinômio g. Como a 1 # a 2 e a 2 
também é raiz de f, segue da última igualdade que 
e a 2 é raiz de g. Daí, novamente pelo item (a), existe um polinômio 
h E JK[X] tal que g(X) = (X - a 2)h(X) e, assim, 
f(X) = (X - a 1)(X - a2)h(X). 
D 
O exemplo a seguir traz uma aplicação interessante do teste . da 
raiz. 
Exemplo 3.4 (União Soviética1 ). Numere as linhas e colunas de um 
tabuleiro n x n de 1 a n, respectivamente de cima para baixo e da 
esquerda para a direita. Dados 2n números reais distintos a 1, ... , an, 
b1 , ... , bn, para 1 ::S i, j ::S n escreva o número ai + bj na casa 1 x 1 
situada na linha i e na coluna j. Se os produtos dos números escritos 
nas casas das colunas do tabuleiro forem todos iguais, prove que os 
produtos dos números escritos nas casas das linhas do mesmo também 
serão todos iguais. 
Prova. Considere o polinômio 
f(X) = (X+ a1)(X + a2) ... (X+ an) E JR[X]. 
Sendo J a função polinomial associada a f, segue do enunciado a 
existência de a E lR tal que ](b1) = ](b2) = · · · = ](bn) = a. Então, 
](bi) - a = O para 1 ::S i ::S n, de modo que, pelo teste da raiz, temos 
1 A União Soviética foi um país que existiu até 1991, quando o colapso do Comu-
nismo a fez dividir-se em vários países distintos, dentre os quais citamos Azerbaijão, 
Bielorrússia, Estônia, Cazaquistão, Letônia, Lutiânia, Moldávia, Rússia, Ucrânia 
e Uzbequistão. 
3.1 Raízes de polinômios 49 
(note que tanto f ( X) - a quanto o polinômio do segundo membro na 
igualdade acima são mônicos e têm grau n). Portanto, 
de forma que os produtos dos números em cada linha são iguais a 
(-1r-1a. D 
Como corolário do teste da raiz, explicitamos a seguir um algo-
ritmo bastante simples para a obtenção do quociente da divisão de 
um polinômio mônico f E JK[X] por X - a, onde a é uma raiz de 
f. Tal algoritmo é conhecido na literatura como o algoritmo de 
Horner-Ruffini, e é baseado no resultado a seguir. 
Proposição 3.5 (Horner-Ruffini). Seja 
um polinômio mônico sobre JK. Se a E lK é uma raiz de f e 
g(X) = xn-I + bn-2Xn-2 + · · · + bo E JK[X] 
é o quociente da divisão de f(X) por X - a, então 
bn-i-1 
bo 
a+ ªn-1 
abn-2 + ªn-2 
(3.1) 
Prova. Por uniformidade de notação, faça bn-I = 1. Temos inicial-
50 Raízes de Polinômios 
mente que 
n-1 
f(X) = (X - a)g(X) = (X - a) L bn-1-ixn-l-i 
i=O 
n-1 n-1 
~ b xn-i ~ b xn-1-i 
~ n-1-i - ~ a n-1-i 
i=O i=O 
n-1 n-2 
bn-lxn + I: bn-1-ixn-i - I: abn-1-ixn-l-i - aba 
i=l i=O 
n-1 n-1 
xn + I: bn-1-ixn-i - I: abn-ixn-i - aba 
i=l i=l 
n-1 
xn + I:(bn-1-i - abn-i)xn-i - aba. 
i=l 
Comparando a última expressão acima para f com aquela do enun-
ciado, concluímos que 
bn-1-i - abn-i = ªn-i, 
para 1 ~ i ~ n - 1. Obtemos, assim, o sistema de equações 
bn-1 1 
bn-2 - abn-1 ªn-1 
bn-3 - abn-2 ªn-2 
bn-i-1 - abn-i ªn-i 
b0 - ab1 ª1 
-ab0 ªº' 
o qual, por sua vez, equivale às relações do enunciado ( a última equa-
ção do sistema acima pode ser desprezada, pois representa somente a 
condição de compatibilidade advinda da suposição de que a seja raiz 
de!). D 
3.1 Raízes de polinômios 51 
A discussão acima pode ser resumida na tabela a seguir, na qual 
colocamos os coeficientes de f ( que não o coeficiente líder 1) na pri-
meira linha e calculamos, da esquerda para a direita e a começar pelo 
coeficiente líder bn-1 = 1, os sucessivos coeficientes de g na segunda 
linha. 
Algoritmo de Horner-Rufinni 
bn-1 = 1 a · 1 + ªn-1 a · bn-2 + ªn-2 
"--v---" 
bn-2 bn-3 
Observe que cada coeficiente de g, que não o líder, é igual ao 
produto do coeficiente à sua esquerda por a, somado ao coeficiente 
de f situado acima deste. 
Exemplo 3.6. Verifique que v'2 é raiz do polinômio f(X) = X 5 -
5X4 + X 3 - 5X2 - 6X + 30 e encontre, com o auxílio do algoritmo de 
H orner-Rufinni, o quociente da divisão de f por X - v'2. 
Solução. Montemos a tabela do algoritmo de Horner-Rufinni pondo 
n = 5 e a4 = -5, a3 = 1, a 2 = -5, a 1 = -6, a0 = 30 na primeira 
linha. Começando com b4 = 1 na primeira casa da segunda linha, 
obtemos sucessivamente b3 = v'2 · 1 - 5, b2 = v'2b3 + 1 = 3 - 5\/'2, 
b1 = v'2b2 - 5 = -15 + 3v'2 e b0 = v'2b1 - 6 = -15\/'2. 
-51 1 1 -5 1 -6 1 30 
1 v'2 · 1- 5 3 - 5v'2 -15 + 3v'2 -15v'2 
Por fim, como -ab0 = -v'2( -15v'2) = 30 = a0 , segue que v'2 é 
realmente raiz de f e o quociente da divisão de f por X - v'2 é 
X 4 + ( v'2 - 5)X3 + (3 - 5v'2)X2 + ( -15 + 3v'2)X - 15\/'2. D 
li 
il 
11: 
11 
1, 
1 
1 
52 Raízes de Polinômios 
Nas notações do teste da raiz, se f(X) = (X - a)mq(X), com 
ij(a) -=I= O, dizemos que m é a multiplicidade de a como raiz de f. 
Em particular, a é uma raiz simples de f se m = 1 e múltipla se 
m > 1. 
Exemplo 3.7. Sendo f(X) = X 3 - 7X2 + 16X - 12 um polinômio 
de coeficientes reais, temos que 2 é raiz dupla e 3 é raiz simples de f, J 
uma vez que f(X) = (X - 2)2(X - 3). i 
1 Mais adiante neste capítulo, estudaremos em detalhe o problema 
de examinar se um polinômio f com coeficientes em K possui ou não 
raízes múltiplas. Por ora, precisaremos no máximo saber o que vem a 
ser uma tal raiz. Devemos notar, todavia, que já temos uma maneira 
de saber se um elemento a E K é ou não raiz múltipla de um polinômio 
não nulo f: basta dividir f por (X - a)2 (o que pode ser feito com 
duas aplicações sucessivas do algoritmo de Horner-Rufinni) e verificar 
se a divisão é exata. Teremos mais a dizer sobre isso mais adiante. 
Outro corolário interessante do algoritmo da divisão é o fato de 
um polinômio não identicamente nulo não poder ter mais raízes do 
que seu grau. Observe que permitimos raízes múltiplas no resultado 
a seguir. 
Corolário 3.8. Se f E K[X] \ {O}, então f possui no máximo 8f 
raízes em K,contadas de acordo com suas multiplicidades. 
Prova. Façamos indução sobre o grau de f. Se 8f = O, então existe 
c E K \ {O} tal que f ( X) = c. Daí, a função polinomial associada j 
é a função constante xi---+ c, e segue que o número de raízes de f é O, 
igual a seu grau. 
1 
1 
f 
1 
l 
t 
i 
t Seja, agora, f um polinômio de grau positivo e suponha a afirma- l 
ção do enunciado válida para todos os polinômios não nulos de graus ~ 
t menores que a f. Se f não tiver raízes em K, nada há a fazer. Se- i 
não, seja a E K uma raiz de f e (de acordo com o teste da raiz) mo f 
l 
3.1 Raízes de polinômios 53 
maior natural tal que J(X) = (X - a)mq(X), para algum polinômio 
q E K[X]. Como 
8q = 8f - m < 8f, 
segue da hipótese de indução que q tem no máximo 8q raízes em K, 
contadas de acordo com suas multiplicidades. Agora, se /3 -=I= a é raiz 
de J, temos 
O= }(/3) = (/3 - a)mij(/3) 
e, daí, /3 é raiz de q. Portanto, o número de raízes de f é igual a m 
(a multiplicidade de a) mais o número de raízes de q, e segue, por 
hipótese de indução, que f possui no máximo 
m+8q = 8f 
raízes em K. D 
Utilizamos frequentemente o corolário acima em uma das formas 
a seguir. 
Corolário 3.9. Se f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 E K[X] admite 
pelo menos n + 1 raízes distintas em K, então f é identicamente nulo, 
i. e.' an = ... = ªº = o. 
Prova. Se f E K[X] \ {O}, então, pelo corolário anterior, f teria no 
máximo n raízes em K. D 
Corolário 3.10. Sejam f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 e g(X) 
bmXm+· · ·+b1X +bo polinômios sobre K, com m 2: n. Se J(x) = g(x) 
para ao menos m + 1 valores distintos x E K, então f = g, i. e, m = n 
e ai = bi, para O ~ i ~ n. 
Prova. Basta aplicar o corolário anterior ao polinômio f - g, notando 
que a função polinomial associada a tal polinômio é f - g. D 
1·; 
! 
54 Raízes de Polinômios 
Se F é o conjunto das funções de JK em JK, então o último corolário 
acima garante que a aplicação 
JK[X] 
f 
--+ F 
c---7 j ' (3.2) 
que associa a cada polinômio f E JK[X] sua função polinomial J E F, 
é injetiva. Em outras palavras, ele afirma que dois polinômios sobre JK 
só terão funções polinomiais iguais quando eles mesmos forem iguais2 • 
Graças a esse fato, doravante vamos denotar por f tanto um ele-
mento de JK[X] (i.e., um polinômio com coeficientes em JK) quanto a 
função polinomial associada a tal elemento. Em particular, quando 
escrevermos f(X), estaremos nos referindo ao polinômio f; quando 
escrevermos f ( x), estaremos nos referindo ao elemento de JK, imagem 
de x E JK pela função polinomial associada a f. O contexto esclarecerá 
eventuais confusões. 
Observação 3.11. O corolário 3.10 garante que os coeficientes de um 
polinômio f E JK[X] são determinados pelos valores f(x), com x E JK. 
Posteriormente, estudaremos em detalhe o problema de como obter 
um polinômio em JK[X] que assuma valores prescritos em um número 
finito de elementos x E JK dados. 
Os dois exemplos a seguir ilustram usos típicos dos corolários 3.9 
e 3.10. 
Exemplo 3.12 (Moldávia). Obtenha todos os polinômios f E JR[X] 
tais que f (O) = O e 
f ( x 2 + 1) = f ( x) 2 + 1, V x E R 
2Conforme veremos na seção 7.3, ao desenvolvermos a teoria de polinômios 
sobre Zp, onde p E Zé primo, o fato de K ser infinito nos casos presentemente sob 
consideração é imprescindível para a injetividade de (3.2). 
3.1 Raízes de polinômios 55 
Solução. Defina a sequência (un)n>o por u0 = O e Un+l = u~ + 1, 
para n ~ 1. Se g(X) = X, então f(u 0 ) = O = g(u0 ) e, supondo 
J(uk) = g(uk), temos também 
f(uk+I) = f(u% + 1) = f(uk) 2 + 1 
= g( uk)2 + 1 = u% + 1 
= g(uk+I)· 
Portanto, por indução temos f(un) = g(un), para todo inteiro 
não negativo n. Mas, como os valores dos termos Un são dois a dois 
distintos, concluímos que f e g coincidem em uma quantidade infinita 
de valores distintos, e segue do corolário 3.10 que f = g, i.e., f(X) = 
X. D 
Exemplo 3.13 (Hong Kong). Sejag(X) = X 5 +X4 +X3 +X2 +X+l. 
Calcule resto da divisão de g(X12) por g(X). 
Solução. Pelo algoritmo da divisão, existe q, r E JR[X] tais que 
g(X12 ) = g(X)q(X) + r(X), 
com r = O ou O :::;; 8r :::;; 4. Tomando w = eis 2; e fazendo x = wk nas 
funções polinomiais correspondentes, com 1 :::;; k:::;; 5, obtemos 
para 1 :::;; k:::;; 5. 
Agora, como w12k = eis (4k1r) = 1, temos g(w 12k) = g(l) = 6. Por 
outro lado, para 1 :::;; k :::;; 5, o lema 1.12 fornece 
w6k 1 
g(wk) = w5k + w4k + w3k + w2k + wk + 1 = - = O. 
wk -1 
Assim, (3.3) se reduz a r(wk) = 6, para 1 :::;; k :::;; 5, de sorte que o 
polinômio r - 6 tem pelo menos cinco raízes distintas. Mas, como 
r - 6 = O ou 8(r - 6) :::;; 4, segue do corolário 3.8 quer - 6 = O. D 
56 Raízes de Polinômios i 
O corolário a seguir garante que a imagem da função polinomial 
associada a um polinômio não constante é um conjunto infinito. 
Corolário 3.14. Se f E K[X] \ K, então a imagem Im (!) da função 
polinomial associada a f é um subconjunto infinito de K. 
Prova. Suponha o contrário, i.e, que Im (!) = { a 1 , ... , ak} C K. 
Então, para todo x E K, teríamos f ( x) E { a 1, ... , ak}. Mas, como K 
é um conjunto infinito, existiriam 1 :s; i :s; k e elementos dois a dois 
distintos x1 , x2 , . • . E K tais que 
Portanto, f(X) - ai seria um polinômio não identicamente nulo (lem-
bre-se de que f é não constante) com uma infinidade de raízes distintas, 
o que é uma contradição. D 
Exemplo 3.15 (Canadá). Ache todos os polinômios não constantes 
f E Q[X] que satisfazem a relação f(J(X)) = f(X)k, onde k é um 
inteiro positivo dado. 
Solução. É fácil ver (conforme problema 1) que, para todo x E Q, 
temos f(J(x)) = f(x)k. De outro modo, f(y) = yk, para todo y E 
Im (!). Mas, o corolário 3.14 garante que Im (!) é um subconjunto 
infinito de Q, de sorte que o corolário 3.10 garante que f(X) = Xk. D 
Terminamos esta seção estudando o problema de pesquisa de raí-
zes racionais de polinômios de coeficientes inteiros. O item (a) da 
proposição a seguir · traz o resultado central, conhecido na literatura 
como o critério de pesquisa de raízes racionais de polinômios de 
coeficientes inteiros. 
Proposição 3.16. Sejam n > 1 inteiro, f(X) = anXn+, · ·+a1X +ao 
um polinômio de coeficientes inteiros e p e q inteiros não nulos primos 
entre si. Se f(!) = O, então: 
3.1 Raízes de polinômios 57 
(a) PI ao e q 1 ªn· 
(b) Se f for mônico, as possíveis raízes racionais de f são inteiras. 
(c) (p- mq) 1 f(m), para todo m E Z. Em particular, (p-q) 1 f(l) 
e (p+q) 1 f(-1). 
Prova. 
(a) A partir de f(~) = O, obtemos prontamente 
e, daí, 
{ 
aoqn = p(-anpn-l_,,.-a1qn-l) 
ªnPn = q( -an-lPn-l - · · · - aoqn-l) . 
Portanto, p I aoqn e q I anpn. Mas, uma vez que p e q são primos entre 
si, o item (a) da proposição 1.21 de [14] garante que p I a0 e q I an, 
como queríamos provar. 
(b) Imediato a partir de (a). 
(c) Como f(!) = O, temos f(m) = f(m) - f(!) ou, ainda, 
Portanto, 
qnf(m) = qn(anmn + · · · + a1m + ao) - (anpn + · · · + a1pqn-l + aoqn) 
= an((mqr - pn) + '' · + a1qn-1(mq - p) = (mq - p)r, 
para algum r E Z, onde utilizamos o item (a) do problema 2.1.18 
de [10] na última igualdade acima. Os cálculos acima garantem que 
(mq - p) 1 qn f(m). A partir daí, para concluir que (mq - p) 1 f(m), 
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58 Raízes de Polinômios 
é suficiente, novamente pelo item (a) da proposição 1.21 de [14], mos-
trarmos que mdc ( mq - p, qn) = 1. Para tanto, basta aplicarmos o 
item (b) da proposição 1.21 e o corolário 1.22 de [14] para obter 
mdc(p,q) = 1 =} mdc(mq-p,q) = 1 =} mdc(mq-p,qn) = 1. 
O resto é imediato. D 
A proposição anterior pode, por vezes, ser aplicada para garantir 
a irracionalidade de números reais. Vejamos alguns exemplos. 
Exemplo 3.17. Prove que o número V 2 + J 2 + J2 é irracional. 
Prova. Se a = J2 + J2 + J2, então a 2 - 2 = J2 + J2 e, daí,.· 
(a2 - 2)2 = 2 + J2. Logo, ((a2 - 2) 2 - 2) 2 = 2, de maneira que a é 
raiz do polinômio mônico de coeficientes inteiros . 
f(X) ((X2 - 2) 2 - 2) 2 - 2 
(X4 - 4X2 + 2) 2 - 2. 
Portanto, se a E Q,segue dos itens (a) e (b) da proposição anterior 
que a EN e a 1 /(O)= 2, de modo que a= 1 ou 2. Mas, como 
1 <a< J2 + J2+2 = 2, 
chegamos a uma contradição. D 
Exemplo 3.18. Prove que tg 10º é irracional. 
Prova. Denotemos a= tg 10º. Aplicando a proposição 7.18 e oco-
rolário 7.19 de [11], obtemos sucessivamente 
tg 30º _ tg 20º + tg 10º 
1 - tg 20º · tg 10° 
__.1g_ + a 3,..., - ,...,3 1-a2 u; u; 
- 2 -
1- 2a 1- 3a2 
1-a2 
3.1 Raízes de polinômios 59 
Mas, como tg 30º = ,/3, segue que 
(3a - a 3) 2 1 
(1 - 3a2) 2 3 
ou, ainda, 
3a6 - 27a4 + 33a2 - 1 = O. 
Portanto, tg 10º é raiz do polinômio de coeficientes inteiros /(X) = 
3X6-27X4 +33X2 -1, e basta mostrar que o mesmo não possui raízes 
racionais. Para tanto, note inicialmente que, pela proposição 3.16, as 
possíveis raízes racionais de f são ±1 ou ±!; entretanto, calculando 
diretamente /(±1) e/(±!) concluímos que nenhum desses números é 
igual a O, conforme desejado. D 
Exemplo 3.19 (Iugoslávia3). Ache todos os racionais positivos a ::; 
b ::; e tais que os números 
1 1 1 
a + b + e, - + - + - e abc 
a b e 
sejam todos inteiros. 
Solução. Se f(X) = (X - a)(X - b)(X - e), então a, b e e são as 
raízes de f, ademais racionais. Por outro lado, 
J(X) = X 3 - (a+ b + c)X2 + (ab + bc + ca)X - abc, 
com 
ab + bc + ca = abc ( 1 + i + ~) E Z. 
Segue, então, que f E Z[X]. Mas, como fé mônico, o critério de pes-
quisa de raízes racionais aplicado a f garante que a, b e e são inteiros. 
Por fim, uma vez que a, b e c são positivos, as condições do enunciado 
3 Atê a década de 1990, Bósnia e Herzegovina, Croácia, Eslovênia, Kosovo, 
Macedônia, Montenegro e Sérvia compunham um único país, a Iugoslávia. 
60 Raízes de Polinômios 
garantem que basta encontrarmos todos os a ~ b ~ e naturais para os 
quais i + t + ~ também seja natural. Este é um problema simples, o 
qual será deixado ao leitor; as únicas soluções são os ternos 
(a, b, e)= (1, 1, 1), (1, 2, 2), (3, 3, 3), (2, 4, 4) ou (2, 3, 6). 
D 
Problemas - Seção 3.1 
1. * Mostre que a definição usual de função composta de duas fun-
ções de lK em JK, quando aplicada a polinômios f, g E JK[X] de 
graus respectivamente m e n, produz um polinômio em JK[X], 
de grau mn. Denotando tal polinômio também por f o g, mostre 
ainda que a função polinomial associada ao mesmo coincide com 
a função composta J o g, onde J e g denotam, respectivamente, 
as funções polinomiais associadas a f e g. 
2. * Sejam a, b e r números racionais, onde r > O é tal que .jr é 
irracional. Faça os seguintes itens: 
(a) Para k E N fixado, mostre que existem ak, bk E Q tais que 
(a± b.Jrl = ak ± bkvr· 
(b) Se f E Q[X] \ {O}, prove que f(a + b.jr) = O {::} f(a -
b.jr) = o. 
3. Uma das raízes do polinômio X 4 + aX3 + X 2 + bX - 2 é 1- J2. 
Encontre as demais raízes, sabendo que a e b são ambos racionais. 
4. Sejam dados a, b E JK, sendo a=/=- O. Para f E JK[X] \ {O}, prove 
que o resto da divisão de f por aX + b é igual a f ( - ~). 
3.1 Raízes de polinômios 61 
5. Existe um polinômio f E li [ X], tal que f ( sen x) = cos x para 
todo real x? Justifique sua resposta. 
6. Seja a =/=- br um número complexo. Prove que o polinômio X 2 + 1 
divide o polinômio 
f(X) =(cosa+ Xsenaf - cos(na) - sen(na)X. 
7. (Canadá.) Seja f um polinômio não nulo e de coeficientes intei-
ros. Se f(O) e f(l) são ímpares, prove que f não possui raízes 
inteiras. 
8. (Canadá.) Prove que não existem x, y e z inteiros não nulos em 
PA, tais que x5 + y5 = z5 . 
9. Mostre que, dado n EN, existe um único polinômio4 fn tal que 
fn(2cosfJ) = 2cos(nfJ), 
para todo () E R Mostre ainda que: 
(a) fi(X) = X, h(X) = X 2 - 1 e, para k 2:: 1 inteiro, 
Ík+2(X) = Xfk+1(X) - Ík(X). 
(b) f n é mônico, de coeficientes inteiros e grau n. 
( c) f n ( z + ~) = zn + };, , para todo z E CC \ {O}. 
10. Encontre todos os a E Q para os quais cos( mr) E Q. 
11. (BMO.) Param E Z, prove que o polinômio 
X 4 - 1994X3 + (1993 + m)X2 - llX + m 
não possui duas raízes inteiras distintas. 
40s polinômios f n de que trata este problema são conhecidos na literatura como 
os polinômios de Chebyshev, em homenagem ao matemático russo do século 
XIX Pafnuty L. Chebyshev. 
62 Raízes de Polinômios 
12. (AIME.) Encontre todos os reais a e b tais que X 2 -X -1 divide 
ax11 + bX16 + 1. 
13. (Moldávia.) Seja n > 4 um natural dado e p um polinômio .. ,.· ..• • .•. _:··· 
mônico, de grau n e com n raízes inteiras distintas, uma das 
quais igual a O. Calcule o número de raízes inteiras e distintas 
do polinômio p(p( X)). 1 
t 
1 
[ 
14. (Áustria-Polônia.) Seja f(x) = ax3 + bx2 +ex+ d um polinômio 
de coeficientes inteiros e grau 3. Prove que não é possível achar 
3.2 Raízes da unidade e contagem 63 
3.2 Raízes da unidade e contagem 
Nesta curta seção, paramos momentaneamente a apresentação da 
teoria geral de polinômios para ilustrar o papel das raízes da unidade 
como ferramenta de contagem. Uma vez que a aplicabilidade de ar-
gumentos algébricos em Combinatória é muitíssimo mais ampla do 
que conseguiremos mostrar aqui, recomendamos ao leitor a excelente 
referência [55] para uma abordagem abrangente. 
Comecemos examinando, no exemplo a seguir, como utilizar nú-
quatro primos distintos p1 , p2 , p3 e p4 para os quais Í meros complexos como marcadores. 
1 
15. (Canadá.) Seja p(X) = xn + an_ 1xn-1 + · · · + a 1X+ a0 um 
polinômio de coeficientes inteiros, e suponha que existam inteiros 
distintos a, b, e e d tais que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5. Prove J_._; 
que não existe inteiro m tal que p( m) = 8. l 
16. Ache todos os valores k E N tais que o polinômio X 2 +X+ 1 
divide o polinômio X 2k + 1 +(X+ 1)2k. 
Para o exemplo a seguir, lembre-se ( cf. parágrafo anterior ao 
problema 1.4.11 de [13]) de que um multiconjunto é uma coleção l 
{ { a1,{a{2 , ... , an}} de}}eleme{n{tos não neces}s}ariamente distintos, ( 
com a1, a2 , ... , an = b1, b2 , ... , bm se m = n e cada 1·.• •... · 
elemento aparecer uma mesma quantidade de vezes em cada um 
deles. 
1 17. Sejam { { a1, a2, ... , an}} e { {b1, b2, ... , bn}} dois multiconjuntos 
1 
l 
distintos, cada um dos quais formado por inteiros positivos. Se 
l 
' t. 
prove que n é uma potência de 2. 
l 
Exemplo 3.20. Em um círculo há n > 1 lâmpadas igualmente espa-
çadas. Inicialmente, exatamente uma delas está acesa. Uma operação 
permitida sobre o estado das lâmpadas é escolher um divisor positivo d 
de n, tal que d< n, e mudar o estado de J lâmpadas igualmente espa-
çadas, contanto que o estado inicial de todas elas seja o mesmo. Existe 
uma sequência de operações que deixe todas as n lâmpadas acesas? 
Prova. Não. Por contradição, suponha, sem perda de generalidade, 
que o círculo é o círculo unitário do plano complexo e que as lâmpa-
das estão posicionadas nos pontos 1, w, ... , wn-1, onde w = eis 2;. 
Suponha ainda ( também sem perda de generalidade) que a lâmpada 
inicialmente acesa está posicionada em 1. 
Para k 2: O, seja ak a soma dos números complexos associados às 
lâmpadas acesas imediatamente antes da ( k + 1 )-ésima operação, de 
sorte que a0 = 1. Na (k + 1)-ésima operação, escolhemos lâmpadas 
posicionadas em 
para algum par (l, d) de inteiros tais que O ~ l <de d I n, com d< n. 
64 Raízes de Polinômios 
Mas, uma vez que wn = 1, temos 
ªk+i = ak ± (wz + wl+d + wz+2d + ... + wz+(~-1)a) 
wz+(~-1)a. wª _ wl 
ak ± d = ak, 
w -l 
e segue que ak = 1, para todo k ~ O. 
Por fim, se após m operações todas as lâmpadas resultassem acesas, 
teríamos 
am = 1 + w + · · · + wn = o, 
o que é uma contradição. D 
Agora, dados m, n,p E N, consideremos a tarefa de construir um 
retângulo m x n utilizando peças 1 x p. Contando quadradinhos 1 x 1, 
obtemos uma condição necessária óbvia para que a construção pro-
posta seja possível: p deve dividir mn. Por outro lado, é claro que, 
se p dividir m ou n, então tal construção é sempre possível: sendo, 
por exemplo, m = pk, com k E N, podemos montar nosso retângulo 
m x n justapondo k retângulos p x n, cada um dos quais construído 
empilhando n peças1 x p. O fato interessante é que a recíproca da 
discussão acima é verdadeira, i.e., só será possível montar nosso re-
tângulo se p dividir m ou n. Esse é o conteúdo do teorema a seguir, 
devido ao matemático americano David Klarner5 . 
Teorema 3.21 (Klarner). Sejam m, n, p naturais dados. Se puder-
mos cobrir um tabuleiro m x n usando peças 1 x p, sem sobras ou 
superposições de peças, então p deve dividir m ou n. 
Prova. Suponha que possamos cobrir o tabuleiro como se pede e no-
temos inicialmente que p :S max { m, n}. Particione o tabuleiro em m 
linhas 1 x n e n colunas 1 x m, numerando as linhas de cima para baixo, 
de 1 a m, e as colunas da esquerda para a direita, de 1 a n ( como em 
5 Cf. [36]. Contudo, a demonstração apresentada difere da original. 
3.2 Raízes da unidade e contagem 65 
urna matriz m x n). Em seguida, escreva, na casa do tabuleiro situada 
à linha i e coluna j, o número complexo wi+í, onde w = eis 21r. p 
Calculemos, agora, a soma dos números escritos nas casas do tabu-
leiro de duas maneiras distintas (eis aqui uma contagem dupla!). Por 
um lado, tal soma é claramente igual a 
onde utilizamos o lema 1.12 na igualdade acima; por outro, como esta-
mos supondo ser possível cobrir o tabuleiro como pedido, os números 
escritos no mesmo podem ser agrupados em conjuntos de p números, 
correspondentes às p casas horizontais ou verticais cobertas por cada 
peça 1 x p utilizada. Tais conjuntos de p números dão origem a somas 
de um dos tipos 
ou 
wi+j + w(i+l)+í + · · · + w(i+p-l)+í, 
conforme a peça 1 x p seja respectivamente horizontal ou vertical. 
Novamente pelo lema 1.12 e pela primeira fórmula de de Moivre, cada 
uma de tais somas é igual 
·+· 1 .. wP - 1 
wi 3 (1 + w + · · · + wP- ) = wi+J · = O 
w-l 
e, portanto, a soma de todos os números escritos no tabuleiro deve 
também ser igual a O. Então, segue de (3.4) que (wn - l)(wm -1) = O 
ou, ainda, que 
. 2mr . 2m1r 
ClS -- = 1 OU ClS -- = 1. 
p p 
Por fim, é imediato, a partir de tais igualdades, que p divide n ou 
m. D 
66 Raízes de Polinômios 
O teorema a seguir traz urna ferramenta algébrica bastante útil em 
várias situações combinatórias, sendo conhecida corno a fórmula de 
multiseção. 
Teorema 3.22. Para f E C[X] \ {O}, denote por ak o coeficiente de 
Xk em f. Se p é um número primo e w -=/:- 1 é uma raiz p-ésima da 
unidade, então 
1 L ak = -(f(l) + f(w) + · · · + f(wP- 1)). 
Plk p 
(3.5) 
Prova. Corno f(X) = Lf2_o ajXj, ternos 
k=O k=O j20 j20 k=O 
p-1 
(3.6) 
= LªjLWjk. 
j20 k=O 
Note agora que, se p I j, então wjk = 1 para todo k, de sorte que 
I:,~;:~ wjk = p. Por outro lado, se p f j, então o itern ( a) da proposição 
6.3 de [14] garante que {O, j, 2j, ... , (p - l)j} é urn SCR6 módulo p. 
Portanto, ainda nesse caso, ternos 
L
p-I .k Lp-1 k wP - 1 
w3 = w = = O, 
w-1 
k=O k=O 
e (3.6) fornece 
p-1 p-1 
Lf(wk) = Lªj Lwjk = LªPz]p 
k=O j20 k=O l20 
=p Lªpl =p Lªk· 
l20 plk 
6Recorde que um sistema completo de restos (abreviado SCR) módulo pé um 
conjunto {a0, a1 , ... , ap-I} de números inteiros tais que, a menos de uma permu-
tação, tenhamos aj = j (modp), para O:::; j:::; p - 1. 
3.2 Raízes da unidade e contagem 67 
D 
Exemplo 3.23 (Polônia). Para cada inteiro positivo n, calcule, em 
Junção de n, o valor da soma 
Solução. Seja 
f(X) =(X+ 1)" = t. (~)x• 
Sendo w = eis 2;, raiz cúbica da unidade, ternos 1 + w + w2 = O e 
segue, da fórmula de rnultiseção aplicada a f, que 
(n) 1 L = 3 (f(l) + J(w) + f(w 2)) 
3lk k 
Note agora que, se 3 1 n, então wn = 1 e, daí, w2n + wn = 2; se 
3 f n, então wn = w ou w2 , de sorte que w2n + wn = w2 + w = -1. 
Portanto, 
"(n) = { (2n + 2(-lr)/3, se 3 I n 
"fu' k (2n + (-lr+l)/3, se 3 f n 
D 
68 Raízes de Polinômios 
Problemas - Seção 3.2 
1. Prove a seguinte extensão do teorema de Klarner: dados números 
naturais m, n, p e q tais que 1 < q ~ min { m, n, p}, podemos 
particionar um tabuleiro m x n x p usando peças 1 x q se, e só 
se, q dividir m, n ou p. 
2. Podemos generalizar ainda mais o teorema de Klarner como se-
gue (veja [36]): dados m1, ... , mn EN, seja 
o conjunto das sequências (x1, ... , Xn) de inteiros positivos tais 
que 1 ~ Xk ~ mk, para 1 ~ k ~ n. Um bloco de dimen-
sões (1, ... , l,p) em A é um subconjunto de A formado por p 
sequências (x11 , ... , X1n), ... , (xp1, ... , x11n) satisfazendo a se-
guinte condição: existe 1 ~ k ~ n tal que: 
(a) x 1j = x2j = · · · = Xpj, para todo 1 ~ j ~ n, j -=/:- k. 
(b) ( xlk, x 2k, ... , Xpk) é uma sequência de p inteiros consecuti-
vos. 
Dizemos que o conjunto A pode ser particionado em blocos de 
tamanho ( 1, ... , 1, p) se A puder ser escrito como a união dis-
junta de blocos desse tipo. Prove que tal é possível se, e só se, p 
dividir um dos números m1, ... , mn. 
3. (Rússia.) Desejamos particionar o conjunto dos naturais de qua-
tro algarismos em conjuntos de quatro números cada, de modo 
que a seguinte propriedade seja satisfeita: os quatro números de 
cada conjunto têm os mesmos algarismos em três posições e, na 
posição restante, seus algarismos são consecutivos (por exemplo, 
uma possibilidade para os quatro números de um conjunto po-
deria ser 1265, 1275, 1285 e 1295). Prove que não existe uma tal 
partição. 
3.3 O teorema fundamental da álgebra 69 
4. Seja num natural dado e, para O~ k ~ 2n, seja ak o coeficiente 
de Xk na expansão de f(X) = (1 + X + X 2t. Calcule, em 
função de n, o valor da soma 
5. * Generalize a fórmula de multiseção do seguinte modo: dados 
f E C[X] \ {O}, p primo ímpar e O ~ r ~ p - 1 inteiro, se w -=/:- 1 
é uma raiz p-ésima da unidade, então 
p-1 
L ak = 1 LW(p-l)rj f(wí), 
k:r (modp) j=O 
onde ak denota o coeficiente de Xk em f. 
6. Calcule, em função de n, o valor da soma 
(~) + (~) + (;) + (~) + .... 
3.3 O teorema fundamental da álgebra 
Como caso particular do corolário 3.9, todo polinômio de coefici-
entes complexos e grau n possui no máximo n raízes complexas. Por 
outro lado, o polinômio f(X) = X 2 -2 E Q[X] tem coeficientes racio-
nais mas não admite raízes racionais; da mesma forma, o polinômio 
g(X) = X 2 + 1 E IR[X] tem coeficientes reais mas não admite raízes 
reais. Em ambos os casos, o fato de tais polinômios não admitirem 
raízes em Q ou IR se deve a deficiências de tais conjuntos numéricos, 
no sentido de que, neles, não é possível realizarmos certas extrações 
de raízes. 
Em sua tese de doutoramento, em 1799, o matemático alemão Carl 
F. Gauss mostrou, contrariamente aos casos examinados acima, que 
70 Raízes de Polinômios ·. 
todo polinômio sobre C admite raízes também em C. Esse é o conteúdo 
do teorema a seguir, conhecido na literatura como o teorema fun-
damental da álgebra. A demonstração que apresentamos é devida ·• 
a Jean-Baptiste le Rond d'Alembert, matemático francês do século. 
XVIII. 
Teorema 3.24 (Gauss). Todo polinômio f E C[X] \ (C possui ao: 
menos uma raiz complexa. 
Prova. Por comodidade de notação, escrevamos f(z) = anzn + · · · + 
a1z + a0 para denotar a função polinomial associada a f; sem perda 
de generalidade, podemos supor a0 =/:- O. 
Para z =/:- O, a desigualdade triangular para números complexos nos, 
dá 
li( )1 1 ln 1 ªn-1 ªn-2 . ao I z = z an+--+--+···+-
z z2 zn 
> lzln (lanl _ lan-. 11 _ lan-21 _ ... _ laol) . 
- lzl lzl 2 lzln 
Portanto, para 
temos lan-k 1 < ~ de sorte que lzlk 2n ' 
Mas, como lzl > n 2~:11, temos lanllzln > 2nlaol e, daí, IJ(z)I > 
nlaol ~ laol· 
Em resumo, denotando por R o segundo membro de (3.7), concluí-
mos que 
lzl > R =} IJ(z)I > laol = lf(O)I. 
3.3 O teorema fundamental da álgebra 71 
Agora, na seção 9.2 mostraremos (veja o corolário 9.20) que existe 
zo E C tal que I zo 1 ~ R e 
lf(zo)I = min{lf(z)I; z E C, lzl ~ R}. 
Portanto, segue do que fizemos acima que 
· lf(zo)I = min{IJ(z)I; z E C}. 
Por contradição, suponha que f(z0 ) =/:- O e mostremos que existe 
h E C tal que lf(zo+h)I < lf(zo)I. Para tanto, comecemos observando 
que é imediato que existem Co, c1, ... , Cn E C, independentes de h e 
tais que 
f ( Zo + h) = ao + a1( Zo + h) + · · · + an ( Zo + h r 
= Co + C1h + ' · · + Cnhn; 
ademais, c0 = f(zo) =/:- O e Cn = an =/:- O. Tome o menor 1 ~ k ~ n, tal 
que ck =/:- O. Então, fazendo di = ~~ para O~ j ~ n, temos 
~ 11 + dkhkl + ldk+lhk+l + ·'' + dnhnl 
= 11 + dkhkl + ldkhkl I dk+l h + · · · + dn hn-kl. 
dk dk 
Agora, estimativas análogas às que fizemos com o auxílio de (3.7), nos 
permitem escolher r > O tal que lhl ~ r =} 1 d::1 h + · · · + thn-kl < !· 
Então, 
lhl < r =} lf(zo + h)I < 11 + d hkl + !ld hkl - lf(zo)I - k 2 k · 
Seja dk = seis a e faça h = reis (:1. A primeira fórmula de de 
Moivre nos dá 
lf(zo + h) I k . 1 k --- < 11 + sr c1s(a + kO)I +-sr· 
lf(zo)I - 2 ' 
72 Raízes de Polinômios 
portanto, escolhendo () E lR. de modo que a + k() = 1r (i.e., tomando 
() = 1r,/x), obtemos 
lf(zo + h)I 
lf(zo)I 
~ 11 + srk cis1rl + ~srk 
1 
= ll - srkl + 2srk 
1 k 
= 1- -sr < 1 
2 ' 
sempre que srk < 1, i.e., O< r < {jf. Com um tal r (e, logicamente, 
com oh correspondente), temos lf(zo + h)I < IJ(zo)I. D 
Uma consequência imediata do teorema fundamental da álgebra é 
dada pelo corolário a seguir. 
Corolário 3.25. Se f (X) = anXn + · · · + a1X + a0 é um polinômio 
de coeficientes complexos e grau n 2: 1, então existem n números 
complexos z1, ... , Zn tais que 
f(X) = an(X - z1) ... (X - Zn)· (3.8) 
A expressão acima é a forma fatorada do polinômio f. 
Prova. Façamos a prova por indução sobre o grau n de f, sendo o 
caso n = 1 imediato. Suponha, pois, n > 1 e o corolário válido para 
todo polinômio de coeficientes complexos e grau n - 1. 
Se z1 E C é uma raiz de f, o teste da raiz garante a existência de 
um polinômio g, também de coeficientes complexos, tal que f(X) = 
(X - z1)g(X). Note que g tem grau n - 1 e coeficiente líder an; 
portanto, por hipótese de indução existem z2 , ... , Zn E C tais que 
g(X) = an(X - z2) ... (X - zn)· Logo, f(X) = (X - z1)g(X) 
an(X - z1)(X - z2) ... (X - Zn) e nada mais há a fazer. D 
Uma variante do corolário acima é dada pelo resultado a seguir. 
3.3 O teorema fundamental da álgebra 73 
Corolário 3.26. Se f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 é um polinômio 
de coeficientes complexos e grau n 2: 1, então, dado a E C, existem 
zi, ... , Zn E (C tais que f(zk) = a, para 1 ~ k ~ n. 
Prova. Aplique o corolário anterior ao polinômio g(X) = f(X) -
a. D 
Voltando ao caso geral, seja f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 um 
polinômio não nulo com coeficientes em K. Se existirem elementos 
a 1, ... , an E K para os quais 
também diremos que tal expressão é a forma fatorada de f sobre K. 
Uma vez que alguns dos a/s podem aparecer repetidos, se consi-
derarmos apenas os ai distintos concluímos, após uma possível ree-
numeração dos mesmos, que existem 1 ~ m ~ n e k1, ... , km inteiros 
positivos tais que 
com k1 + · · · + km = n e a 1 , ... , am elementos dois a dois distintos de 
K 
Exemplo 3.27. Dado n > 1 um natural, faça os seguintes itens: 
(a) Obtenha a forma fatorada do polinômio f(X) = xn-l + xn-2 + 
···+X+l. 
(b) Se A1A2 ... An é um polígono regular de n lados inscrito num 
círculo de raio 1, calcule o valor do produto A1A2 · A1A3 · ... · 
A1An. 
Solução. 
(a) Uma vez que 
(X - l)f(X) = (X - l)(xn-l + xn-2 +···+X+ 1) = xn -1, 
74 Raízes de Polinômios 
as raízes complexas de f são precisamente as raízes n-ésimas da uni-
dade distintas de 1. Por (1.18), tais raízes são os números complexos 
w, w2, ... , wn-l, onde w = eis 2;. Logo, a forma fatorada de f é 
f(X) = (X - w)(X - w2 ) ... (X - wn-1). 
(b) Suponha, sem perda de generalidade, que o círculo de raio 1 que 
circunscreve o polígono A1A2 ... An é o círculo unitário centrado na 
origem do plano complexo e que A1 = 1 e A2 = w, onde w = eis 27!". n 
Então, Aj = wj-l para 1 ::; j ::; n, de sorte que 
-- -- -- 2 n-1 
A1A2 · A1A3 · ... · A1An = 11- wlll - w I · .. 11- w I 
= 1(1 - w)(l - w2) ... (1 - wn-1)1 
= IJ(l)I = n. 
D 
Problemas - Seção 3.3 
1. Prove que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundo 
grau ainda é válida para calcular as raízes complexas de aX2 + 
bX + e, com a, b, e E C, sendo a-=/:- O. 
2. * Se f E JR[X] \ {O} e z E (C \ JR, prove que f(z) = O {::} 
f(z) = O. Conclua, a partir daí, que todo polinômio não nulo 
de coeficientes reais possui um número par de raízes complexas 
não reais. 
3. Dê um exemplo para mostrar que o resultado do problema an-
terior não é mais válido caso f tenha coeficientes não reais. 
3.3 O teorema fundamental da álgebra 75 
4. * Prove que todo polinômio de coeficientes reais e grau ímpar 
tem um número ímpar de raízes reais. Em particular, um tal 
polinômio sempre tem pelo menos uma raiz real. 
5. * Sejam f E CQ[X] um polinômio de grau n e a -=/:- O uma raiz 
complexa de f. Dado m E Z, prove que existem b0 , b1, ... , bn-l E 
CQ tais que 
(3.9) 
6. Seja f(X) = anXn + an_1xn-1 + · · · + a1X + a0 um polinômio 
de coeficientes complexos e grau n 2:: 1. Se z E (C é uma raiz de 
f, prove que 
lzl :S max { 1, ~:I}, 
onde A= max{laol, la1I, ... , lan-11}. 
7. * Seja f(X) = anXn + an_1xn-1 + · · · + a1X + a0 um polinômio 
de coeficientes inteiros tal que an 2:: 1, e k > 2 um inteiro tal que 
lail :S k, para O :Si < n. Se zé uma raiz complexa de f, prove 
que Re(z) < 1 + l 
8. Um polinômio f sobre (C da forma f(X) = aX4 + bX3 + cX2 + 
bX + a, com a -=/:- O, é denominado recíproco de quarto grau. 
Calcule suas raízes e, em seguida, formule e resolva o problema 
análogo para polinômios de grau seis. 
9. (Canadá.) Seja f um polinômio de grau n, tal que J(k) = k!i, 
para todo inteiro O ::; k ::; n. Calcule f ( n + 1). 
10. Suponha que as raízes complexas do polinômio X 3 + pX2 + qX + 
r sejam todas reais e positivas. Mostre que tais raízes são os 
comprimentos dos lados de um triângulo se, e só se, p3 - 4pq + 
8r > O. 
1 
1 .. 
76 Raízes de Polinômios 
11. Para n > 2 inteiro, prove que 
1r 21r 31r ( n - 1 )1r n 
sen - sen - sen - ... sen = --. 
n n n n 2n-1 
12. Dado um inteiro positivo m, prove que: 
(a) 
(b) 
1r 21r (m-l)1r _ ,jm 
sen 2m sen 2m ... sen ~ - 2m-l · 
1r 21r m1r _ v'2m+ 1 
sen 2m+l sen 2m+l ... sen 2m+l - ~· 
13. (Romênia.) Encontre todos os polinômios não constantes p, de 
coeficientes reais e tais que p(X2) = p(X)p(X - 1). 
3.4 Raízes múltiplas 
Seja f um polinômio de coeficientes complexos. No que segue, 
convencionamos dizer que z E C é raiz de multiplicidade zero de f 
se z não for raiz de f. Queremos, nesta seção, encontrar um critério 
que nos permita decidir se z é ou não raiz múltipla de f e, caso o 
seja, calcular sua multiplicidade. Para tanto, precisamos da definição 
a seguir. 
Definição 3.28. Para um polinômio f (X) = anXn + · · · + a1X + a0 E 
C[X], definimos a derivada f' E C[XJ de f como o polinômio 
J'(X) = nanxn-l + (n - l)an-2xn-2 + · · · + 2a2X + a1 
se of > O. Senão, definimos f' = O. 
A regra para a obtenção da derivada de um polinômio é bastante 
simples: a derivada de um polinômio constante é o polinômio iden-
ticamente nulo; a derivada de um polinômio de grau n ~ 1 é obtida 
apagando seu termo constante e efetuando, para 1 :s; k :s; n, a troca 
de monômios 
3.4 Raízes múltiplas 77 
A proposição a seguir lista as principais propriedades básicas de 
derivadas de polinômios. 
Proposição 3.29. Para !1, ... , Ík E C[X] e a1, ... , ak E C, temos: 
(a) (~:=1 adi)'= ~:=l adI. 
(b) (n:=11i)' = ~:=11i ... 1: ... Ík· 
Prova. 
(a) Imediato, por indução sobre k ~ 1. (Observe que os casos iniciais 
são k = 1 e k = 2.) 
(b) Considere, primeiro, dois polinômios f e g dados por 
Omitindo X quando conveniente, segue de (a) que 
Por outro lado, 
m 
i=O 
m m 
- ~ . ·b·Xj+i-1 + ~ . ·b·Xj+i-1 - L.....J Jª1 i L.....J ia] i 
Í=Ü Í=Ü 
m m 
i=O i=l 
,,, 
i 
78 Raízes de Polinômios 
Portanto, voltando à expressão anterior para (! g )', obtemos 
n 
(Jg)' = L[(aiXi)'g + aiXig'] 
j=O 
= (t(aiXi)') g + (t aixi) g' 
J=O J=O 
= (taixi)' g + fg' 
J=O 
= f'g + fg', 
onde utilizamos novamente o item (a) na penúltima igualdade. Por 
fim, a extensão para k polinômios li, ... , fk é imediata porindução. 
. D 
Corolário 3.30. Dados g E C[X] e n E N, se f(X) = g(X)n, então 
f'(X) = ng(X)n-1g'(X). Em particular, se f(X) = (X - a)n, então 
f'(X) = n(X - ar-1 . 
Prova. Fazendo k = n e li=···= fn = g no item (b) da proposição 
anterior, obtemos 
n 
J'(X) = Lg(xr-1g'(X) = ng(xr-1g'(X), 
i=l 
O caso particular segue daí, pondo g(X) = X - a. D 
A proposição a seguir vincula a multiplicidade de uma raiz de um 
polinômio às derivadas do mesmo. 
Proposição 3.31. Seja f um polinômio não nulo de coeficientes com-
plexos e z um complexo dado. 
( a) Se z for raiz de multiplicidade m ~ 1 de f, então z é raiz de 
multiplicidade m - 1 de f'. 
3.4 Raízes múltiplas 79 
(b} Se z for raiz de f e for raiz de multiplicidade m-1 de f', então 
z é raiz de multiplicidade m de f. 
Prova. 
(a) Seja f(X) = (X - z)mg(X), com g(z) =J O. O item (b) da propo-
sição anterior e seu corolário nos dão 
J'(X) ~ m(X - z)m-lg(X) + (X - z)mg'(X) 
= (X - z)m-1 [mg(X) + (X - z)g'(X)]. 
Portanto, sendo h(X) = mg(X)+(X-z)g'(X), temos h(z) = mg(z) =J 
O e f'(X) = (X - z)m-1h(X). Pela definição, segue que z é raiz de 
multiplicidade m - 1 de f'. 
(b) Seja f(X) = (X -z)kg(X), com g(z) =J O e k ~ 1. Pelo item (a), a 
multiplicidade de a como raiz de f' é k- l, de modo que k-1 = m-1 
e, daí, k = m. D 
Corolário 3.32. Se z E (C e f E C[X] \ {O}, então z é raiz múltipla 
de f se, e só se, f(z) = f'(z) = O. 
Prova. Imediata, a partir da proposição anterior. D 
Exemplo 3.33. Prove que, para todo inteiro positivo n, o polinômio 
x2 xn 
l+X+-+ .. ·+-
2! n! 
não tem raízes múltiplas. 
Prova. Seja f (X) = 1 +X+ ~t + · · · + -:~, e suponha que f tem uma 
raiz múltipla z. Então, pelo corolário anterior, temos f(z) = f'(z) = O. 
Agora, uma vez que f(X) = f'(X) +-:~,seguiria daí que 
zn 
o = f ( z) = f' ( z) + -, ' n. 
i.e., z = O. Mas, como f(O) = 1 =J O, chegamos a uma contradição. D 
80 Raízes de Polinômios 
A fim de refinar o corolário anterior precisamos, inicialmente, ge-
neralizar a definição 3.28. 
Definição 3.34. Para f E C[X] \ {O}, definimos a k-ésima derivada 
de f, denotada J(k), por 
j(k) { f, se k = O 
= (J(k-I))', se k ~ 1 
Segue da definição acima que J(l) = (!(0 ) )' f'; daí, J(2) = 
(j(1l)' = (!')', de sorte que denotamos J(2) = f". Analogamente, 
sempre que conveniente, denotamos j(3) = f"', etc. 
Se a f = n e O :S k :S n, então uma fácil indução garante que 
a J(k) S n - k; em particular, a f(n) = O e, daí, j(n+l) = f(n+ 2) = · · · = 
o. 
Corolário 3.35. Se z E (C e f E C[X] \ {O}, então z é raiz de 
multiplicidade m ~ 1 de f se, e só se, 
f(z) = · · · = j(m-1l(z) = O e j(ml(z) -1- O. 
Prova. Suponha, primeiro, que z seja raiz de multiplicidade m de f. 
Repetidas aplicações do item (a) da proposição 3.31 nos dão, por um 
lado, 
f(z) = · · · = f(m-ll(z) = O 
e, por outro, que z é raiz de multiplicidade zero de f(m), 1.e., que 
f(m)(z) -1- O. 
Reciprocamente, suponha a condição do enunciado satisfeita e se-
jam k E N e g E C[X] tais que J(X) = (X - z)kg(X), com g(z) -1- O. 
Novamente pelo item (a) da proposição 3.31, para O :S j :S k temos 
que z é raiz de multiplicidade k - j de JU). Em particular, 
J(z) = · · · = j(k-I)(z) = O e j(kl(z) -1- O. 
3.4 Raízes múltiplas 81 
Agora 
f(z) = · · · = J(m-l)(z) =O=* k S m 
e 
D 
Nosso propósito, no restante desta seção, é mostrar que, se f E 
C[X] \ {O} tem grau n e z E C, então f é totalmente determinado 
pelos valores j(k)(z), para O :S k :S n. Antes, contudo, precisamos de 
mais duas consequências da proposição 3.31. 
Corolário 3.36. Seja f E C[X] tal que f = O ou a f :S n. Se z E (C 
é tal que f(z) = · · · = f(n)(z) = O, então f = O. 
Prova. Se f -1- O, o corolário anterior garante que z é raiz de multi-
plicidade pelo menos n + 1 de f. Mas, como a f :S n, chegamos a uma 
contradição. D 
Corolário 3.37. Sejam f, g E C[X] \ {O}, com af, ag :S n. Se existe 
z E (C tal que 
J(z) = g(z), ... , J(nl(z) = g(n)(z), 
então f = g. 
Prova. Basta aplicar o corolário anterior a f - g, notando ( a partir 
da definição 3.34 e por indução sobre k ~ 1) que 
D 
O resultado a seguir é conhecido como a fórmula de Taylor para 
polinômios, sendo uma consequência imediata do corolário acima. 
11, n 
82 Raízes de Polinômios .: 
Teorema 3.38. Se z E <C e f E <C[X] \ {O} tem grau n, então 
j(I)(z) f(n)(z) 
f(X) = f(z) + l! (X - z) + · · · + n! (X - zr. (3.10) '. 
Prova. Defina 
f'(z) f(n)(z) 
g(X) = f(z) + 11(X - z) + · · · + n! (X - zr. 
Como f =/= O, segue do corolário 3.36 que ao menos um dentre os 
números f(z), f'(z), ... , f(n)(z) é não nulo; portanto, g =!= O. Por , 
outro lado, é imediato verificar que, para O :::; k :::; n, temos 
e, daí, que 
n (j) 
g(k\X) = L ~ (z) (X - z)i-k 
j=k (J - k)! 
f(z) = g(z), f'(z) = g'(z), ... , j(n\z) = g(n)(z). 
Mas, como f e g têm graus menores ou iguais a n, segue do corolário 
anterior que f = g. D 
Exemplo 3.39. Seja f E JR[X] \ {O} e a E :IR tal que f(a) = O · 
e J(k)(a) ~ O, para todo k ~ 1. Prove que f não possui raízes no 
intervalo ( a, +oo). 
Prova. Pela fórmula de Taylor, temos 
f'(a) f(n)(a) 
f(X) = 11(X - a)+···+ n! (X - ar, 
onde n = 8f. Mas, como f =/= O, ao menos uma das derivadas J(k)(a), 
para 1 ::S k ::S n, é positiva. Assim, sendo x > a um número real e 
f(j)(a) > O, temos 
f(x) = f'(a) (x - a)+ ... + f(n)(a) (x - ar 
1! n! 
(j) 
~ f . ~a) ( X - a )i > O. 
J. 
D 
3.4 Raízes múltiplas 83 
Problemas - Seção 3.4 
1. Ache todos os valores inteiros de a para os quais o polinômio 
f(X) = X 3 _:_ aX2 + 5X - 2 possui raízes múltiplas. 
2. * Generalize parcialmente o item (a) da proposição 3.31, mos-
trando que, se f, g E <C[X] são tais que g(X)2 1 /(X), então 
g(X) 1 f'(X). 
3. * Para z1, ... , Zn E <C, seja f(X) = (X - z1) ... (X - Zn)· Prove 
que, para z E <C \ {z1, ... , Zn}, temos 
f'(z) _ n _l_ 
f(z) - ~ z-z·· 
J=l J 
4. * Generalize o problema anterior provando que, se li, ... , Ík E 
<C[X], f =li ... Ík e z E <C não é raiz de f, então 
f'(aj fl(aj fl(aj --=--+ .. ·+--
f(z) f1(z) Ík(z)' 
5. (Estados Unidos.) Para cada conjunto não vazio e finito S de 
números reais, sejam a(S) e 1r(S), respectivamente, a soma e o 
produto de seus elementos. Prove que 
'""" a(S) 2 ( 1 1) L.....J - = n + 2n - 1 + - + · · · + - ( n + 1). 
1r(S) 2 n 
0-#SCln 
6. Prove o seguinte teorema de Gauss: se f(X) = anXn + · · · + 
a1X +ao é um polinômio de grau maior que 1 e coeficientes com-
plexos, então as raízes de f' estão contidas no menor polígono 
convexo (possivelmente degenerado) do plano complexo que tem 
as raízes de f como vértices. 
84 Raízes de Polinômios 
7. * Se fé um polinômio de coeficientes inteiros e grau n e a E Z, 
JUl (a) '71 Ü . prove que -j,- E u..,, para ::::; J ::::; n. 
8. Seja f um polinômio de coeficientes inteiros e p um primo que 
não divide seu coeficiente líder. Sem é um natural tal que 
f(m) - O (modp) e J'(m) t O (modp), 
prove que, para todo k EN, existe mk EN tal que 
CAPÍTULO 4 
Relações entre Coeficientes e Raízes 
Nosso propósito neste capítulo é formalizar e provar algumas rela-
ções importantes entre as raízes de um polinômio em uma indetermi-
nada, resultados estes denominados genericamente de relações entre 
coeficientes e raízes de um polinômio. Também, discutimos um im-
portante teorema de Newton sobre polinômios simétricos, o qual se 
revelará de importância central para a discussão do capítulo 8. 
Para o que segue, lembre-se de que lK denota Q, IR ou C. 
4.1 Polinômios em várias indeterminadas 
Fixado n EN, um polinômio f a n indeterminadas sobre lK é 
uma soma de monômios do tipo 
85 
86 Relações entre Coeficientes e Raízes 
onde ai1 .. . in E K e ii, ... , in variam em Z+, sendo ai1 ... in = O para 
quases todas (i.e., para todas, exceto um número finito de) sequências 
(ii, ... , in) de inteiros não negativos. Nesse caso, escrevemos 
f = /(Xi, X2, ... 'Xn) = L ªi1 ... inxf1 ... x~n. 
i1, .. ,,in~O 
O grau de um polinômio f como acima é o maior valor possível para 
a soma ii + · · · + in, tal que ªii.,.in =/; o. 
Denotamos porOC[Xi, ... , Xn] o conjunto dos polinômios a n inde-
terminadas sobre K. Sobre tal conjunto definimos, de maneira óbvia, 
operações 
e 
respectivamente denominadas adição e multiplicação, as quais se 
reduzem às operações de adição e multiplicação sobre K[X] quando 
n = 1 e continuam gozando das mesmas propriedades dessas opera-
ções. Por exemplo, se /(Xi, X2) = X;+ XiX2 + X? e g(Xi, X2) = 
Xf - v'2XiX2, então 
e 
/(Xi, X2) + g(Xi, X2) = x; + (1 - v'2)XiX2 + Xf + xg 
/(Xi,X2) · g(Xi,X2) = Xf-v'2XfX2 +xtx2 -v'2X;X? 
+ x:xg- J2xixi. 
Dado f E K[Xi, ... , Xn], podemos considerar f como um polinômio 
em Xi, com coeficientes em K[Xi, ... , Xi, ... , Xn], onde usamos o cir-
cunflexo A sobre Xi para indicar que todas as indeterminadas, menos 
Xi, estão presentes. Por exemplo, seja 
4.1 Polinômios em várias indeterminadas 87 
um polinômio em K[Xi, X2, X 3]; escrevendo 
consideramos f como um polinômio em X3 , cujos coeficientes estão 
em K[Xi, X2]. 
Se/, g E K[Xi, ... , Xn] são dados por 
/(Xi, X2, ... 'Xn) = L ªi1, .. inxf1 ... x~n 
i1, ... ,in~O 
e 
g(Xi,X2, ... ,Xn) = L bi1 ... inxf1 .. . x~n, 
i1, ... ,in~O 
dizemos que f e g são iguais quando ai1 ... in = bi1 ... in, para todas as 
escolhas possíveis de índices ii, ... , in E Z+. 
Fixados Xi, X2 ... , Xn E K, definimos o elemento /(xi, x2, ... , Xn) E 
Kpor 
i1, ... ,in 
A proposição a seguir nos dá uma relação entre tais elementos de K e 
a noção de igualdade de polinômios em várias indeterminadas. 
Proposição 4.1. Sejam f,g E K[Xi, ... ,Xn]· Se Ai, ... ,An C K 
são conjuntos infinitos, então 
Prova. Se f = g, é claro que /(xi, X2, ... , Xn) = g(xi, X2, ... , Xn), 
para todos xi, x2, ... , Xn E K e, em particular, para Xi E Ai, x2 E A2, 
··., Xn E An. 
Reciprocamente, suponhamos que esta última condição seja satis-
feita e provemos que f = g usando indução sobre o número n de 
1111 li 
88 Relações entre Coeficientes e Raízes 
indeterminadas. Já temos a validade da proposição para n = 1, pelo 
corolário 3.10. Por hipótese de indução, suponha o resultado válido 
para polinômios em n - 1 indeterminadas e escreva 
com Íi, 9i E OC[X2 , ••• , Xn] para todos OS i S m, OS j S p. 
Fixados x2 E A2, ... , Xn E An, temos por hipótese de indução que 
para todo x1 E A1 , i.e., que 
m p 
Lfi(x2,···,xn)x{ = L9i(x2,····,xn)x{, 
j=O j=O 
para todo x1 E A1. Como o conjunto A1 é infinito, aplicando o coro-
lário 3.10 aos polinômios 
e 
m 
J(X1, X2, ... , Xn) = L fi(x2, · · ·, Xn)Xf 
j=O 
p 
g(X1, X2, ... , Xn) = L 9i(x2, ... , Xn)Xf, 
j=O 
concluímos que m = p e 
(4.2) 
para Os j s m. Mas, como os elementos X2 E A2, ... , Xn E An fixados 
foram escolhidos arbitrariamente, concluímos que (4.2) é válida para 
todos x2 E A2, ... , Xn E An· Portanto, pela hipótese de indução segue 
que Íi = gi para OS j S m, e (4.1) garante que f = g. D 
4.1 Polinômios em várias indeterminadas 89 
Observação 4.2. Doravante, ao lidarmos com polinômios f em duas 
indeterminadas, escreveremos em geral f(X, Y) em vez de f(X1 , X2). 
Uma notação análoga será usada para polinômios f em três indeter-
minadas: escreveremos f(X, Y, Z) em vez de f(X1, X2 , X3). 
Exemplo 4.3. Escreva o polinômio (X+ Y + z)3 - (X3 + y3 + z3) 
como produto de polinômios de grau 1. 
Solução. Fixe Y, z E JR.*, com y =/:- z, e considere o polinômio em X 
g(X) = f(X, Y, z) = (X+ y + z)3 - X3 - (y3 + z3). 
Uma vez que 
f(-y, Y, z) = (-y + y + z)3 - ((-y)3 + y3 + z3) = O, 
temos pelo teste da raiz que o polinômio f(X, y, z) (em X) é divisível 
por X - ( -y) = X+ y. Analogamente, f é divisível por X+ z e, como 
âg = 2, o item ( c) da proposição 3.3 garante que 
f(X, y, z) = a(X + y)(X + z), 
sendo a E lR. a determinar. Avaliando a igualdade acima em O, obtemos 
ayz = f(O, y, z) = (y + z)3 - (y3 + z3) = 3yz(y + z), 
de forma que a= 3(y + z). Logo, 
f(X, y, z) = 3(y + z)(X + y)(X + z) 
e, daí, f(x, y, z) = 3(y+z)(x+y)(x+z), para todos x E JR. e y, z E JR.*, 
com y =/:- z. Pela proposição 4.1, segue então que 
f(X, Y, Z) = 3(Y + Z)(X + Y)(X + Z). 
D 
90 Relações entre Coeficientes e Raízes 
Problemas - Seção 4.1 
1. * Se f E JK[X1, ... , Xn] é não nulo, prove que existem conjuntos 
infinitos A1, ... , An C lK tais que f(x1, ... , Xn) =/:- O, para todos 
X1 E A1, ... , Xn E An, 
2. Faça os seguintes itens: 
(a) Prove que o polinômio (X - Y)5 + (Y - Z) 5 + (Z - X)5 é. 
divisível pelo polinômio (X - Y)(Y - Z)(Z - X). 
(b) Fatore o polinômio (X - Y)5 + (Y - Z) 5 + (Z - X)5. 
3. Fatore o polinômio (X+ Y + Z) 5 - X5 - Y5 - Z 5 como produto . 
de três polinômios de grau 1 e um polinômio de grau 2. 
4.2 Polinômios simétricos 
O objeto de estudo dessa seção é isolado na definição a seguir. 
Definição 4.4. Um polinômio f E JK[X1, ... , Xn] é simétrico quando 
f(X1, X2,,,,, Xn) = f(Xu(l), Xu(2), · · ·, Xu(n)), 
para toda permutação a de ln. 
Para entender melhor a definição acima, considere os polinômios 
f,g E JK[X, Y], dados por 
f (X, Y) = X 2 + Y2 - XY +X+ Y e g(X, Y) = X 3 + Y3 - X. 
O primeiro é simétrico mas o segundo não, uma vez que 
f(Y, X) = Y2 + X 2 - Y X+ Y +X= f(X, Y), 
mas 
g(Y, X)= Y3 + X 3 - Y =/:- g(X, Y). 
4.2 Polinômios simétricos 91 
Um certo conjunto de polinômios simétricos, ditos elementares, 
merece especial atenção. Explicitamos tais polinômios na definição a 
seguir. 
Definição 4.5. Para O ~ j ~ n, o j-ésimo polinômio simétrico 
elementar em Xi, ... , Xn, denotado Sj = sj(X1, ... , Xn), é definido 
como 
se j = O 
se 1 ~ j ~ n 
No caso n = 3, por exemplo, temos 
s0 = 1, s1 = X+ Y + Z, s2 = XY + Y Z + X Z, s3 = XY Z. 
Para um natural n qualquer, não é difícil provar que Sj é de fato 
simétrico. Por outro lado, a importância dos polinômios simétricos 
elementares reside na proposição a seguir, sendo as relações (4.3) co-
nhecidas como as relações de Girard1 entre coeficientes e raízes de 
um polinômio. 
Proposição 4.6. Se f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 E JK[X] \ lK 
se fatora completamente sobre JK, com raízes a 1 , ... , an, então, para 
1 ~ j ~ n, temos 
( ) _ ( )i ªn-j Sj a1,,,,,an - -1 --. 
an 
(4.3) 
Prova. Por simplicidade de notação, denote sj(a1, ... , an) simples-
mente por si(ai)· Escrevendo f(X) = an(X -a1)(X -a2) ... (X -an) 
e expandindo os parênteses, obtemos 
Igualando os coeficientes correspondentes nessa expressão para f e 
naquela do enunciado, obtemos o resultado desejado. D 
1 Após Albert Girard, matemático francês do século XVII. 
92 Relações entre Coeficientes e Raízes 
A fim de ilustrar o que a proposição acima diz e o que ela não 
diz, considere as raízes complexas a, f3 e I do polinômio f(X) =::: 
X 3 - 2X2 + 1. Pelas relações de Girard, temos 
Porém, vale observar que tais relações não trazem informação sufici-
ente para calcularmos a, {3 e 1 ; de fato, ao tentarmos resolver o sistema 
formado pelas igualdades acima, recaímos nas equações polinomiais . 
f(a) = O, f(f3) = O e J(r) = O. Senão, vejamos: multiplicando ambos 
os membros da segunda relação por a, obtemos 
substituindo nessa igualdade f3 + 1 por 2 - a e a/31 por -1, segue que 
a 2 ( 2 - a) - 1 = O. 
Nas notações da proposição acima, nos referimos a s j ( a 1, ... , an) E 
lK como a j-ésima soma simétrica elementar das raízes de f. Sem-
pre que ct1, ... , ctn estiverem subentendidos e não houver perigo de 
confusão com o polinômio simétrico elementar s . = s . (X X ) J J 1, · · ·, n , 
denotaremos a soma simétrica elementar sj(a1 , ... , an) simplesmente 
por si. 
Apresentamos, a seguir, uma série de exemplos que ilustram ava-
riedade de situações em que podemos empregar as relações de Girard. 
Exemplo 4. 7. Seja f(X) = xn+an_1xn-1+an_2xn-2+. +a1X +ao 
um polinômio de coeficientes reais, tal que a;._1 < 2an_2. Prove que f 
tem ao menos duas raízes complexas não reais. 
Prova. Por contradição, suponha que a;._1 < 2an_2 mas ao menos 
n - 1 dentre as raízes complexas de f sejam reais. Como f tem 
coeficientes reais, o resultado do problema 2, página 74, garante que 
4 2 Polinômios simétricos 
~ 
93 
todas as raízes complexasde f são reais. Mas, se ct1, ... , ctn E IR são 
tais raízes, as relações de Girard fornecem 
n 
Lªi = -ªn-1 e 
i=l 
A partir daí, temos 
n 
Lªl= 
i=l 
L ªiªj = ªn-2· i<j 
O que nos fornece a contradição desejada. D 
Exemplo 4.8. Sejam a, b e c números reais não nulos, tais que a+ 
b + c = O. Prove que 
ª5 + b5 + c5 
5 
Prova. Se f(X) = (X-a)(X-b)(X -e), então a condição a+b+c = O 
garante que f(X) = X 3+sX -t, onde s = ab+ac+bc e t = abc. Mas, 
como f(a) = O, temos a3 = -sa + t e, analogamente, b3 = -sb + t 
e c3 = -se+ t. Somando membro a membro essas três igualdades e 
usando novamente a condição a+ b +e= O, obtemos 
a3 + b3 + c3 = -s(a + b +e)+ 3t = 3t. 
Para manipular adequadamente a soma a5 + b5 + c5 , comece multipli-
cando ambos os membros das igualdades a3 = -sa + t, b3 = -sb + t e 
c3 = -sc+t respectivamente por a2, b2 e c2 ; em seguida, some membro 
a membro os resultados para obter 
ª5 + b5 + c5 = -s(a3 + b3 + c3) + t(a2 + b2 + c2). 
Substituindo, na igualdade acima, a expressão para a3 + b3 + c3 obtida 
no parágrafo anterior e observando que 
a2 + b2 + c2 =(a+ b + c) 2 - 2(ab + ac + bc) = -2s, 
1: 
94 Relações entre Coeficientes e Raízes 
chegamos à igualdade 
a5 + b5 + c5 = -s · 3t + t(-2s) = -5st. 
A igualdade do enunciado é, agora, óbvia. o 
Exemplo 4.9. As raízes do polinômio f(X) = X 3 - 7X2 + 14X - 6 
são os comprimentos dos lados de um triângulo. Calcule a área do 
mesmo. 
Solução. Sejam a, becas raízes de f e A a área do triângulo tendo 
tais raízes por lados. A fórmula de Herão para a área de triângulos 
(proposição 7.30 de [11]) nos dá 
A2 = p(p - a)(p - b)(p - c), 
onde pé o semi-perímetro do triângulo. Por outro lado, pelas relações 
de Girard, temos 
de maneira que 
Usando agora a forma fatorada de f, temos 
e, daí, 
f ( X) = ( X - a) ( X - b) ( X - c) = X 3 - 7 X 2 + 14X - 6 
f (;) = (;-a) (;- b) (;- c) 
= G) 3 - 7 G) 2 + 14 G) -6 
1 
8 
4.2 Polinômios simétricos 95 
Logo, 
A2 =;. f (;) =;. t = t6' 
de sorte que A= vJ. o 
Exemplo 4.10 (Romênia). Sejam a, b, c e d números reais tais que 
a=J4-\!'5-a, b=V4+~, 
c = V 4 - v'5 + c e d = V 4 + v'5 + d. 
Calcule os possíveis valores do produto abcd. 
Solução. Veja que a2 = 4-\!'5-a, de sorte que (a2 -4)2 = 5-a ou, 
ainda, a4 -8a2 +a+ll = O. Analogamente, obtemos b4 -8b2+b+ll = 
O, de maneira que a e b são raízes do polinômio 
f(X) = X 4 - 8X2 +X+ 11. 
Do mesmo modo, concluímos que c e d são raízes do polinômio X 4 -
8X2 - X + 11 e segue, daí, que -c e -d também são raízes de f. 
Portanto, a, b, -c e -d são todos raízes de f e, se soubermos que 
tais raízes são duas a duas distintas, concluiremos que elas são todas 
as raízes do polinômio f; daí, as relações de Girard nos darão 
abcd = ab(-c)(-d) = 11. 
Para o que falta, se tivéssemos, por exemplo, a = b, teríamos 
v' 4 - \!'5-a = J 4 + v'5 - a e, assim, a = 5. Mas, como 5 -/:-
v' 4 - y'5-=s, temos a -/:- b. Analogamente, provamos que c -/:- d; 
por fim, como -c, -d < O < a, b, nada mais há a fazer. O 
Exemplo 4.11 (Romênia). Se x1 , x2 , ... , Xn são reais positivos tais 
que X1X2 ... Xn = 1, prove que 
n 1 
~ < 1. 
L....tn-l+x·-
i=I J 
l"I:'. 
1; 
96 Relações entre Coeficientes e Raízes 
Prova. Seja p(X) = (X+ x1) ... (X+ Xn)· Pelo problema 3, página ·. 
83, temos 
p'(x) = t 1 
p(x) i=l x+xi 
para x =/:- -xi, ... , -xn. Portanto, queremos mostrar que 
p'(n - 1) < 1. 
p(n -1) -
Para o que falta, para 1 ~ i ~ n, seja ai= si(x1 , ... , xn) ai-ésima 
soma simétrica elementar de x1, ... , Xn, e faça a0 = 1. Então, temos 
n n-1 
p(X) = L ajxn-j e p(X) = L(n - j)ajxn-j-I, 
j=O j=O 
de sorte que basta mostrar que 
n n-1 
L ªi(n - 1r-j ~ L(n - j)ain - 1r-j-1 
j=O j=O 
ou, ainda, 
n-1 
L ªi(j - 1)(n - 1r-j-l + ªn ~ nao(n - 1r-1 - ao(n - ir. 
j=l 
Finalmente, queremos provar que 
n 
Lªiu-1)(n-1r-j-l ~ (n -1r-1 . 
j=l 
Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, temos 
4.2 Polinômios simétricos 97 
de modo que basta mostrarmos que 
t (.~) (j - l)(n - 1r-j-l ~ (n -1r-1 . 
j=l J 
Afirmamos que tal desigualdade é, de fato, uma igualdade. De 
fato, a igualdade 
x" = ex -1+ 1r = t, (:)ex -1)"-' 
nos dá, por derivação, 
nxn-• = Í:(n - k) (:) (X - 1)"_,_, 
k=O 
Avaliando as funções polinomiais correspondentes em x = n, vem que 
nn = Í:(n - k) (~) (n - 1r-k-l 
k=O 
= ~[(n -1) - (k-1)] (:) (n - 1)"_,_, 
=É(~) (n -1r-k - Í:(k-1) (~) (n-1r-k-l_ 
k=O k=O 
Por outro lado, 
de forma que 
t, G) (n-1r-· = ~ (:)cn-1)"-· 
- Í:(k - 1) (~) (n - ir-k-1. 
k=O 
i', 
! ., 
]i ! 
ir: 
:: 
11:•. 
98 Relações entre Coeficientes e Raízes . 
Após efetuar os cancelamentos óbvios, chegamos à igualdade 
ou, ainda, a 
t,<k- l)(~)(n -1r-•-1 = o. 
Por fim, a partir daí, obtemos 
que é precisamente a igualdade desejada. 
Problemas - Seção 4.2 
1. Sejam f, g eh polinômios não nulos em K[X1 , ... , Xnl, tais que '. 
f e g são simétricos e f = gh. Prove que h é simétrico. ' 
2. * Um polinômio f E K[X1 , ... , Xn] é denominado homogêneo 
de grau k quando 
para todo t E K. Obtenha, a menos de multiplicação por cons-
tantes, todos os polinômios simétricos e homogêneos de grau 2 
em JR[X, Y, Z]. 
3. Para f E K[X1, ... , Xn], seja g E K[X1, ... , Xn] o polinômio 
definido por 
1 
g(X1, · · ·, Xn) = I L f(Xu(l), '. · ·, Xu(n)), n. 
(T 
4.2 Polinômios simétricos 99 
onde CJ varia sobre todas as n! permutações de ln. Prove que g 
é um polinômio simétrico, denominado a simetrização de f, e 
que g = f se f for simétrico . 
• 
4. (Croácia.) Se a, b e e são reais dois a dois distintos satisfazendo 
o sistema de equações 
{ 
a3 = 3b2 + 3c2 - 25 
b3 = 3c2 + 3a2 - 25 
c3 = 3a2 + 3b2 - 25 
calcule os possíveis valores do produto abc. 
5. Dados a, b, e E C, explicite, em função de a, b e e, os coeficientes 
de um polinômio mônico de grau três cujas raízes complexas 
sejam os cubos das raízes complexas do polinômio X 3 + aX2 + 
bX+c. 
6. Dado o polinômio p(x) = X 3 - X 2 +X+ 1, pede-se: 
(a) Mostrar que p tem três raízes distintas, duas das quais são 
complexas e não reais. 
(b) Obter o polinômio mônico de terceiro grau cujas raízes são 
os cubos das raízes de p. 
7. ( OBM.) Sabendo que o polinômio f ( X) = X 3 + pX + q tem três 
raízes reais distintas, prove que p < O. 
8. (Romênia.) Sejam a, b e e complexos não nulos, tais que 
1 1 1 
a + b + e = - + - + - = O. 
a b e 
Se n for um inteiro positivo, mostre que an + bn + cn = O se, e 
só se, 3 f n. 
1. 
100 Relações entre Coeficientes e Raízes 
9. (Hong Kong.) Sejam a3, a4 , ... , a100 números reais, sendo a100 f. , 
O. Prove que nem todas as raízes do polinômio / 
f(X) = a100X100 + a99X99 + · · · + a3X3 + 3X2 + 2X + 1 
são reais. 
10. Considere todas as retas que encontram o gráfico da função poli- , 
nomial real f(x) = 2x4 +7x3 +3x-5 em quatro pontos distintos 
(xi,Yi), para 1::; i::; 4. Prove que o número Hx1 +x2 +x3+x4 ) ;, 
independe da reta considerada e calcule seu valor. 
11. (Moldávia.) No plano cartesiano, um círculo intersecta a hipér- : 
bole de equação xy = 1 em quatro pontos distintos. Prove que 
o produto das abscissas dos pontos de interseção é sempre igual 
a 1. 
12. (Canadá - adaptado.) Sejam a, b e e as raízes complexas do 
polinômio X 3 - X 2 - X - 1. 
(a) Prove que a, b e e são duas a duas distintas. 
(b) Se, para cada n EN, pusermos 
mostre que Sk+3 = Sk+2 + Sk+l + Sk, para todo k E N. 
(c) Conclua que Sn E Z, para todo n EN. 
13. (BMO - adaptado.) Para números reais x e y tais que xy =/:- -1, 
defina 
l+x+y 
X*Y = 
l+xy 
4.3 O teorema de Newton 101 
(a) Dados n 2: 2 reais positivos x1 , x2, ... , Xn, mostre que 
81 + 83 +···+Si 
X1 * (x2 * (· · · * Xn) · · ·) = --------
. 1 + S2 + 84 + · · · + Sp 
onde i e p são, respectivamente, o maior ímpar e o maior 
par menores ou iguais a n e Sj é a j-ésima soma simétrica 
elementar de X1, X2, ... , Xn· 
(b) Se J(X) = (X+ x1)(X + x2) ... (X+ xn), use o resultado 
do item (a) para mostrar que 
14. Seja n > 1 inteiro. Obtenha todas as soluções reais do sistema 
x1 + x2 + · · · + x~= n 
15. Seja f(X) = xn + ªn-1xn-l + · · · + a1X + 1 um polinômio de 
coeficientes reais não negativos e raízes reais. Prove que f(x) 2: 
(x + lt, para todo real X 2: Ü. 
16. (Irlanda.) Dado n E N, ache todos os polinômios J(X) 
anXn + · · · + a1X + a0 satisfazendo as seguintes condições: 
4.3 
(a) ai E {-1, 1}, para O::; j::; n. 
(b) Todas as raízes de f são reais. 
O teorema de Newton 
Ainda sobre polinômios simétricos, note que f(X, Y, Z) = X 4 + 
Y4 + Z 4 é simétrico mas não é um dos polinômios simétricos em X, 
1' 
102 Relações entre Coeficientes e Raízes 
Y e Z que chamamos elementares. Contudo, sendo si = si(X, Y, Z), 
s2 = s2(X, Y, Z) e s3 = s3 (X, Y, Z), podemos escrever 
f(X, Y, Z) = (x2 + y2 + z2)2- 2(x2y2 + x2z2 + y2z2) 
= [ (X + Y + Z) 2 - 2(XY + X Z + Y Z)] 2 
onde 
- 2 [(XY + XZ + YZ) 2 - 2XYZ(X + Y + Z)] 
= (s~ - 2s2 ) 2 - 2(s~ - 2sis3) 
= sf - 4s~s2 + 2s~ + 4sis3 
= g (si, s2, s3)' 
g(X, Y, Z) = X 4 - 4X2Y + 2Y2 + 4X z. 
Assim, nesse caso particular, fomos capazes de expressar o polinômio 
simétrico f(X, Y, Z) = X 4 + Y4 + Z4 como um polinômio nos polinô-
mios simétricos elementares em X, Y e Z. 
Conforme veremos nesta seção, tal possibilidade não é acidental. 
Mais precisamente, provaremos a seguir um resultado usualmente atri-
buído ao matemático e físico inglês Isaac Newton, conhecido na litera-
tura como o teorema fundamental dos polinômios simétricos. 
No que segue, K inclui a possibilidade K = .Z. Seguimos, essenci-
almente, a exposição de [27]. 
Teorema 4.12 (Newton). Se f = f(Xi, ... , Xn) E K[Xi, ... , Xn] é 
simétrico, então existe g E K[Xi, ... , Xn] tal que 
f(Xi, ... , Xn) = g(si, ... , sn), 
onde si, ... , sn E K[Xi, ... , Xn] são os polinômios simétricos elemen-
tares em Xi,· . . ,Xn. 
Para a prova do teorema anterior, precisamos introduzir alguns 
conceitos preliminares. Inicialmente, vamos ordenar os monômios 
4.3 O teorema de Newton 103 
de K[Xi, ... , Xn] da seguinte maneira: dadas duas n-uplas distin-
tas (ii, ... , in) e (ji, ... , Jn) de inteiros não negativos e monômios 
ª(i)Xf1 ••• X!n e b(i)Xf1 ••• Xtn em K[Xi, ... , Xn], definimos 
a X i1 Xin -< b xi1 Xin (i) i · · · n (j) i · · · n 
~ 
:3 l :::; k :::; n; { ~l = j'. se l < k . 
1,k < )k 
(4.4) 
Neste caso, dizemos que bu)Xf1 ••• Xtn é maior do que ª(i)Xt1 ••• x:;,,. 
Em geral, nos referiremos à ordenação acima como a ordem le-
xicográfica dos monômios de K[Xi, ... , Xn]· Em particular, para 
f E K[Xi, ... , Xn], seu termo líder é o monômio máximo (i.e., maior 
que todos os demais) em relação à ordem lexicográfica. Note ainda 
que, em K[X], tem-se 1 -< X -< X 2 -< · · ·, de modo que a noção de 
termo líder em mais de uma indeterminada generaliza a noção usual 
em uma indeterminada, dada pelo grau de um monômio. 
Exemplo 4.13. Se f = st1 ••. s~n, onde si E K[Xi, ... , Xn] é o 
i-ésimo polinômio simétrico elementar, então f tem termo líder 
De fato, uma vez que 
a definição de ordem lexicográfica garante que seu termo líder é 
i.e., 
104 Relações entre Coeficientes e Raízes 
De posse do conceito de ordem lexicográfica, a chave para a prova 
do teorema de Newton se encontra no seguinte resultado auxiliar. 
Lema 4.14. Se f E OC[X1, ... , Xn] é simétrico e ª(a)Xf1 ••• X~n é 
seu termo líder, então 
Prova. Se a 1 é o maior expoente que comparece em algum monômio 
de f, então, como f é simétrico, existe em f um monômio contendo 
Xf1 • Se ª(i)Xi1 •.• X~n é um monômio de f tal que i1 < a1, segue da 
definição da ordem lexicográfica que tal monômio não é o termo líder . 
de f. Portanto, o termo líder contém Xf1 • 
Agora, dentre todos os monômios de f contendo Xf1 , selecione 
um com expoente máximo em alguma das indeterminadas X 2 , ••• , Xn, 
digamos expoente a 2 . Novamente por ser f simétrico, existe um tal 
monômio de f contendo Xf1 Xf2 • Ademais, pela escolha de a 1 temos 
a 1 2: a 2. Por outro lado, se ª(i)Xf1 X~2 ••• X~n é monômio de f tal 
que i 2 < a 2 , então, novamente pela definição de ordem lexicográfica, 
tal monômio não é o termo líder de f, de modo que o termo líder de f 
contém Xf1 Xf2 • Por fim, repetindo esse argumento mais n - 2 vezes, 
obtemos o resultado desejado. D 
Podemos, finalmente, apresentar a prova do teorema de Newton. 
Prova do teorema 4.12. Tome f E OC[X1, ... ,Xn] simétrico, com 
termo líder ª(a)Xf1 ••• X~n. Pelo lema anterior, temos a 1 2: · · · 2: ªn· 
Por outro lado, pelo exemplo 4.13, o polinômio simétrico 
também tem termo líder ª(a)Xf1 •.• X~n, de modo que o polinômio si-
métrico f - g tem termo líder ª(f3)Xf1 ••• X~n, com ª(f3)Xf1 ••• X~n -< 
ª(a)Xf1 ••• X~n na ordem lexicográfica. Mas, como OC[X1, ... , Xn] con-
tém somente um número finito de monômios mônicos e menores que 
4.3 O teorema de Newton 105 
a(a)Xf1 ••• X~n em relação à ordem lexicográfica, um número finito de 
repetições do algoritmo acima nos dá f-g = l(s1, ... , sn), para algum 
polinômio l E OC[X1, ... , Xn]· Assim, o mesmo ocorre com f. D 
Vale frisar que o teorema de Newton é, primordialmente, um te-
orema de existência. De fato, é possível provar que, para polinômios 
simétricos em geral; o algoritmo descrito na prova do teorema de New-
ton não termina em tempo polinomial (i.e., mesmo com o auxílio de 
um computador não conseguimos, para um polinômio simétrico gené-
rico em n indeterminadas, expressá-lo, em tempo finito, como um po-
linômio nos polinômios simétricos elementares em n indeterminadas). 
Todavia, mostraremos, no exemplo a seguir que a mera existência as-
segurada pelo teorema de Newton pode ser bastante útil. Para outra 
aplicação interessante, veja a seção 8.1. 
Exemplo 4.15 (Miklós Schweitzer). Seja f E Z[X] um polinômio 
não constante e w = eis 2;, onde n > 1 é um inteiro. Prove que 
f(w)f(w 2) ... J(wn-l) E Z. 
Prova. Considere o polinômio g E Z[X1, ... , Xn-i] dado por 
Se cr é uma permutação de In-I, então 
e, daí, 
{cr(l),cr(2), ... ,cr(n-1)} = {1,2, ... ,n-1} 
g(Xu(l), · · ·, Xu(n-I)) = f(Xu(I))f(Xu(2)) · · · f(Xu(n-I)) 
= f(X1)f(X2) ... f(Xn-1) 
= g(X1, ... , Xn-1). 
(: 
'.( ' i '1•' ,,, 
106 Relações entre Coeficientes e Raízes 
Assim, g é simétrico e o teorema de Newton garante a existência 
de um polinômio h E Z[X1, ... , Xn-1] tal que g(X1, ... , Xn-1) -
h(s1, ... , Bn-1), i.e., 
onde Sj é o j-ésimo polinômio simétrico elementar em X1, ... , Xn-l· 
Substituindo Xi por wi na igualdade acima, obtemos 
f (w)f (w2) ... f (wn-l) = h(s1 (w, ... , wn-l ), ... , Bn-1(w, ... , wn-l )); 
portanto, a fim de mostrar que f(w)f(w 2) •.. f(wn- 1) E Z, é suficiente 
mostrar que siw, ... , wn-l) E Z, para 1 :::; j :::; n - 1. 
Para o que falta, basta observar que 
xn - 1 = (X - l)(X -w)(X - w2) ... (X - wn-1) 
= (X - l)(xn-i + xn-2 +···+X+ 1), 
de sorte que 
xn-l + xn-2 +···+X+ 1 = (X - w)(X - w2 ) ... (X - wn-1) 
n-1 
- "(-l)j ·( 2 n-l)xn-1-j - L.....J s1 W,W , ... ,W . 
j=O 
Assim, temos que 
·( 2 n-1) _ (-l)j ,..,., s1 w, w , ... , w - Eu...,, 
conforme desejado. D 
A discussão que antecede o exemplo anterior sugere que, quando 
quisermos expressar efetivamente um dado polinômio simétrico como 
um polinômio nos polinômios simétricos elementares, teremos, via de 
regra, de recorrer a argumentos ad hoc. Nesse sentido, terminamos 
esta seção discutindo um exemplo relevante, para o qual precisamos 
da seguinte consequência do algoritmo de Horner-Rufinni. As identi-
dades ( 4.5) a seguir são conhecidas como as identidades de Horner-
Ruffini. 
4.3 O teorema de Newton 107 
Lema 4.16 (Horner-Rufinni). Seja 
f(X) = xn - s1xn-i + · · · + (-1r-1sn-1X + (-ltsn 
um polinômio não constante sobre C. Se z é uma raiz complexa de f 
e 
g(X) = xn-i + b1xn-2 + · · · + bn-1 
é o quociente da divisão de f(X) por X - z, então 
n-1 n-2 + + ( l)n...:..1 Z - S1Z · · · - Bn-1 
(4.5) 
Prova. Nas notações do enunciado, as recorrências (3.1) se escrevem 
Resolvendo o sistema linear acima sucessivamente para b2 , ... , bn-I, 
obtemos uma a uma as relações do enunciado. D 
As relações contidas na proposição a seguir nos fornecerão recor-rências para expressar o polinômio simétrico 
como um polinômio nos polinômios simétricos elementares em X 1 , X 2 , 
... , Xn. As fórmulas dos itens (a) e (b) a seguir são respectivamente 
108 Relações entre Coeficientes e Raízes 
denominadas primeira e segunda identidades de Jacobi2 . Para uma 
outra prova das mesmas, veja o problema 2, página 242. 
Proposição 4.17 (Jacobi). Para Z1, ... 'Zn E e, se Si= si(z1, ... 'Zn) 
é ai-ésima soma simétrica elementar de z1 , ... , Zn e O"k = zf+· · ·+z~, 
então: 
(a) O"n+k = I:7=1(-l)j-lSjO"n+k-j, para k 2:: l. 
(b) Sk+1 = kii E;~i(-l)í-1sk+1-jO"j, para 1::; k::; n -1. 
Prova. 
(a) Seja 
f(X) = (X - z1) ... (X - zn) = Xn - s1Xn-l + ·: · + (-lts~. (4.6) 
Como zi é raiz de f, temos 
para 1 ::; i ::; n e, daí, 
z~+n - s z~+n-l + · · · + (-l)n-ls z~+l + (-l)ns z~ = O 
. i 1 i n-1 i n i • 
Somando as igualdades acima para 1 ::; i ::; n, obtemos 
igualdade equivalente à do enunciado. 
(b) Segue de (4.6) que 
J'(X) = nxn-l - (n- l)s1xn-2 + · · · + (-1r-1sn-1· (4.7) 
2 Após o matemático alemão do século XIX Carl G. J. Jacobi. 
4.3 O teorema de Newton 109 
Por outro lado, para z E CC \ {z1 , ... , zn}, segue do problema 3, 
página 83, que 
f'(z) = f(z) + ... + f(z) . 
Z - Z1 Z - Zn 
Sendo Í} E C[X] tal que f(X) = (X - Zj)i}(X), digamos 
segue que 
n n 
J'(z) = L i}(z) = L(zn-l + b1jZn-2 + · · · + bn-1,j) 
j=l j=l 
= nzn-l + (t b1j) zn-2 + · · · + (t bn-1,j) . 
J=l J=l 
Mas, como a igualdade acima é válida para todo z E CC \ {z1 , ... , Zn}, 
segue do corolário 3.10 que 
f'(X) = nxn-t + (t. b,;) xn-, + · · · + (t. bn-1,;) . (4.8) 
• 
Por fim, igualando os coeficientes correspondentes em (4.7) e (4.8) 
e substituindo as identidades (4.5), obtemos 
n 
(-lt+l(n - k - l)sk+l = L bk+l,j 
j=l 
n 
~( k+l k ( l)k+l ) = L.....J Zj · - S1Zj + · · · + - Sk+l 
j=l 
= ªk+i - s1ak + · · · + (-1t+1nsk+1, 
de maneira que 
D 
110 Relações entre Coeficientes e Raízes 
O corolário a seguir também é devido a Jacobi. 
Corolário 4.18 (Jacobi). Para cada inteiro k ~ 1, sejam sk o k-ési-
mo polinômio simétrico elementar em X1 , ... , Xn e <J"k = Xf+· · +X~. 
Então: 
(a} <J"n+k = I:7=1(-l)i-lsj<J"n+k-j, para k ~ 1. 
(b} sk+l = kll I:7~t(-l)i-1sk+1-j<J"j, para 1::::; k::::; n-1. 
Prova. Avaliando ambos os membros de (a) e (b) em z1, ... , Zn E 
(C obtemos, pela proposição anterior, igualdades verdadeiras. Como 
(C é um conjunto infinito, a proposição 4.1 garante a igualdade dos 
polinômios correspondentes. D 
Problemas - Seção 4.3 
1. Se f E Z[X] é um polinômio mônico, de grau n ~ 1 e raízes 
complexas z1, ... , Zn, prove que zt + · · · + z~ E Z, para todo 
k ~ 1 inteiro. 
2. Se a1, ... , an, b1, ... , bn são números complexos tais que 
k k bk bk 
ª1 + · · · + an = 1 + · · · + n, 
para 1 ::::; k ::::; n, mostre que { a1, ... , an} = {b1, ... , bn}· 
3. (Japão - àdaptado.) Sejam n, k EN, com 2::::; k::::; n, e a1 , ... , ak 
números reais tais que 
a1 + · · · + ak n 
a~+···+ a~ n 
4.3 O teorema de Newton 111 
4. Sejam m EN, w = cos ! + i sen ! e z1, ... , Zn números comple-
xos tais que 
f(X) = (X - z1)(X - z2) ... (X - zn) 
é um polinômio de coeficientes inteiros. 
(a) Se g(X) . TI::~1 f(wiX), prove que 
g(X) = (Xm - zf) ... (Xm - z;:1'). 
(b) Use as identidades de Jacobi para mostrar que o polinômio 
g do item (a) tem coeficientes inteiros. 
( c) Conclua que, se z E C é raiz de um polinômio não nulo f 
de coeficientes inteiros, então existe um polinômio não nulo 
h, também de coeficientes inteiros, tal que zm é raiz de h. 
5. (OBM.) 
(a) Se n EN, prove que há somente um número finito de po-
linômios mônicos, de grau n e coeficientes inteiros, tais que 
todas as suas raízes complexas têm módulo 1. 
(b) Seja f E Z[X] \ Z um polinômio mônico, tal que todas as 
suas raízes complexas têm módulo 1. Prove que todas as 
raízes complexas de f são raízes da unidade. 
112 Relações entre Coeficientes e Raízes • 
CAPÍTULO 5 
Polinômios sobre :IR 
Neste capítulo, revisitamos alguns dos teoremas clássicos do Cál-
culo, estudados em [12), para polinômios de coeficientes reais, tendo 
como ferramenta principal o teorema fundamental da álgebra. Como 
aplicação dos mesmos, provaremos as desigualdades de Newton, as 
quais generalizam a desigualdade entre as médias aritmética e geomé-
trica de n números reais positivos, e a regra de Descartes, que relaciona 
o número de raízes positivas de um polinômio de coeficientes reais ·ao 
número de trocas de sinal de seus coeficientes não nulos. 
5.1 Alguns teoremas do Cálculo 
Nosso primeiro resultado dá uma condição suficiente para a exis-
tência de raízes reais num intervalo. Para a prova do mesmo, precisa-
mos do seguinte resultado auxiliar. 
113 
I·:. 
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11 
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114 
Lema 5.1. Se f E R[X] \ {O} é mônico e não tem raízes reais, então 
existem polinômios 9, h E R[X] tais que f = 92 + h2 • Em particular,··. 
J(x) > O para todo x E R. 
Prova. Pelo problema 2, página 7 4, existem números complexos não 
reais z1 , ... , zk tais que 
k 
f(X) = II (X - Zj)(X - Zj)· 
j=l 
Agora, se Zj = ai + ibi, com ai, bi E R, então 
(X - zi)(X - zi) = (X - ai - ibi)(X - ai+ ibi) 
= (X - ai)2 - (ibi)2 
= (X - ai)2 + bJ, 
a soma dos quadrados de dois polinômios de coeficientes reais ( um t 
deles constante). 
Basta, agora, aplicar várias vezes um argumento similar à identi- · 
dade de Euler (7.7) de [14]: para 91 , 92, h1 , h2 E R[X], temos 
Para o que falta, segue da primeira parte que 
f(x) = 9(x)2 + h(x)2 ~ O, 
para todo x E ~; mas, como f não tem raízes reais, a desigualdade 
acima deve ser estrita, para todo x E R. D 
O resultado a seguir é o teorema do valor intermediário para poli-
nômios, sendo conhecido na literatura como o teorema de Bolzano1. 
1 Após Bernhard Bolzano, matemático alemão do século XIX. 
5.1 Alguns teoremas do Cálculo 115 
Teorema 5.2 (Bolzano). Se f E R[X] e a < b são reais tais que 
J(a)J(b) < O, então existe e E (a, b) tal que f(c) = O. 
Prova. Supondo, sem perda de generalidade, que fé mônico e f(a) < 
O< J(b), segue da última parte do lema anterior que f tem ao menos 
uma raiz real. Sejam, pois, a1 ::; · · · ::; ak as raízes reais de f, repetidas 
de acordo com suas multiplicidades. Se 9 E ~[X] é tal que 
f(X) = 9(X)(X - a1) ... (X - ak), 
então 9 é mônico e não possui raízes reais, de sorte que, novamente 
pelo lema anterior, 9(x) > O para todo x E R. 
Por contradição, suponha que não há raiz de f no intervalo ( a, b) 
e considere três casos separadamente: 
(i.) ak < a: temos 
J(a) = 9(a)(a - a1) ... (a - ak) > O, 
uma contradição. 
(ii.) b < a1 : segue de f(b) > O que 
e, daí, k é par (uma vez que 9(b) > O e b - ai < O, para 1 ::; i ::; k). 
Por outro lado, segue de f(a) < O que 
9(a)(a- a1) ... (a - ak) < O 
e, daí, k é ímpar (uma vez que 9(a) > O e a - ai < O, para 1 ::; i::; k). 
Portanto, chegamos a umá contradição. 
116 Polinômios sobre lR . ' 
(iii.) a1 < a < b < a1+1, para algum 1 ~ l < k: chegamos a um 
absurdo de modo análogo ao item anterior. (Por exemplo, 
O< f(a) = g(a) (a - a1) ... (a - ai) (a - a1+1) ... (a - ak) 
.._,.,,. ....... ~~--~~--·--~~----~~-->O >0 <0 · 
implica k - l par.) 
D 
Exemplo 5.3 (Moldávia). Sejam f, g E JR[X], cada um dos quais 
possuindo ao menos uma raiz real. 
(a) Prove que existe a E lR tal que f(a) 2 = g(a)2. 
{b) Se f(l +X+ g(X)2) = g(l +X+ J(X)2), mostre que f = g. 
Prova. 
(a) Sejam a e (3 raízes de f e g, respectivamente. Podemos supor, sem 
perda de generalidade, que a~ (3. Se g(a) = O ou J(f3) = O, nada há 
a fazer. Senão, temos 
J(a)2 - g(a)2 = -g(a)2 < O e f(f3)2 - g(f3)2 = f(f3)2 > O, 
de sorte que o teorema de Bolzano, aplicado ao polinômio J(X) 2 -
g(X)2, garante a existência de a E (a, (3) tal que J(a) 2 - g(a)2 = O. 
(b) Sendo a E lR como no item (a), defina uma sequência (un)n:2:1 
pondo u0 = a e, para cada n ~ 1, Un+l = 1 + Un + g(un)2. Pelo item 
(a), temos f(u1) = g(u1). Suponha, por hipótese de indução, que 
f(uk) = g(uk), para um certo inteiro k ~ 1. Então, nossas hipótesesgarantem que 
J(uk+i) = f(l + uk + g(uk)2) 
= g(l + Uk + f(uk)2) 
= g(l + Uk + g( Uk)2) 
= g(uk+i)· 
5.1 Alguns teoremas do Cálculo 117 
Assim, temos f ( un) = g( un) para todo inteiro n ~ 1. Mas, como 
para todo n ~ 1, segue do corolário 3.10 que f = g. D 
No que segue, estabelecemos para polinômios o teorema do valor 
médio de Lagrange2 . 
Teorema 5.4 (Lagrange). Sejam f E JR[X] \ {O} e a< b reais dados. 
Então existe a < e < b tal que 
J'(c) = J(b) - J(a). 
b-a 
Prova. Provemos primeiro que, se f(a) = f(b) = O, então existe a< 
e< b tal que f'(c) = O. Podemos supor, sem perda de generalidade, 
que f não tem outras raízes no intervalo ( a, b). De fato, se f possuir 
uma infinidade de raízes em (a, b), temos f = O, pelo corolário 3.9; 
se f possuir um número finito de raízes em ( a, b), digamos a1 < a2 < 
· · · < ak, trocamos b por a1 . 
Se existissem a < e < d < b tais que f(c)f(d) < O, o teorema de 
Bolzano garantiria a existência de uma raiz de f no intervalo ( a, b), o 
que é um absurdo. Portanto, f tem sinal constante em ( a, b). Supo-
nha, sem perda de generalidade, que J(x) > O para x E (a, b), e sejam 
respectivamente k e l as multiplicidades de a e b como raízes de f. 
Então, existe g E JR[X] tal que 
f(X) = (X - at(x - b)1g(X), 
com g(a), g(b) -1- O. Agora, 
a< e< b =* J(c) >O=* (e - at(c - b)1g(c) >O=* (-1)1g(c) > O. 
2 Após Joseph Louis Lagrange, matemático franco-italiano do século XVIII. 
li,; 
' ·1''' j '.,·,, l,1 
! 
118 Polinômios sobre ~ 
Consideremos o caso em que l é par ( o caso em que l é ímpar é 
análogo), de sorte que g(c) > O, para todo e E (a, b). Se g(a) < O, 
o teorema de Bolzano garantiria a existência de a < d < ª1b tal que 
g(d) = O, de modo que f(d) = O, o que, por sua vez, é um absurdo. 
Logo, g(a) > O e, analogamente, g(b) > O. Então, temos 
J'(X) = k(X - at-1(X - b)1g(X) + l(X - a)k(X - b}1-1g(X) 
+ (X - at(X - b}1g'(X) 
= (X - at-1(X - b}1-1h(X), 
onde 
h(X) = (k(X - b) + l(X - a))g(X) + (X - a)(X - b)g'(X). 
Basta, pois, então mostrarmos que existe e E ( a, b) tal que· h( e) = 
O. Mas, como 
h(a)h(b) = -kl(a - b)2g(a)g(b) < O, 
o teorema de Bolzano liquida a questão. 
Para o caso geral, seja 
fi(X) = f(X) - J(a) - (f(b) - f(a)) (X - a). 
b-a 
Como fi(a) = J1(b) = O, o que fizemos acima garante a existência de 
e E (a, b) tal que Jf(c) = O. Por fim, resta observar que 
D 
Conforme frisamos em [12], o caso f(a) = f(b) = O do teorema 
anterior precedeu a versão geral de Lagrange, tendo sido provado pelo 
matemático francês do século XVII Michel Rôlle e sendo conhecido na 
literatura como o teorema de Rôlle. 
5.1 Alguns teoremas do Cálculo 119 
Corolário 5.5 (Rôlle). Se f E R[X] \ {O} e a < b são reais tais que 
J(a) = f(b) = O, então existe a< e< b tal que f'(c) = O. 
Ilustramos a utilização do teorema de Rôlle no exemplo a seguir. 
Exemplo 5.6. Seja f(X) =ao+ a1X + · · · + ªn-1xn-1 + anXn um 
polinômio de coeficientes reais, tal que 
ªº a1 ªn-1 ªn - + - + ... + - + -- = o. 
1 2 n n+l 
Prove que f possui pelo menos uma raiz no intervalo (O, 1). 
Prova. É imediato que f = g', onde 
g(X) = aoX + a1 x2 + ... + ªn-1 xn + ~xn+i. 
2 n n+ 1 
Mas, como g(O) = g(l) = O, o teorema de Rôlle garante a existência 
de a E (O, 1) tal que f(a) = g'(a) = O. D 
Uma consequência importante do teorema do valor médio é o es-
tudo da primeira variação (i.e., crescimento ou decrescimento) de po-
linômios, conforme ensina o corolário a seguir. 
Corolário 5. 7. Sejam f E R[X] \ {O} e I e R um intervalo. 
(a) Se f'(x) > O para todo x E J, então f é crescente em I. 
(b) Se f'(x) < O para todo x E J, então f é decrescente em I. 
Prova. Façamos a prova do item (a), sendo a prova do item (b) aná-
loga. Para a < b em I, o teorema do valor médio garante a existência 
de e E ( a, b) ( e, portanto, e E J) tal que 
J(b) - f(a) = J'(c) > O. 
b-a 
Em particular, f(b) > f(a). D 
120 Polinômios sobre lR. 
Exemplo 5.8. Prove que, para todo inteiro positivo n, o polinômio 
x2 xn 
l+X+-+···+-
2! n! 
tem no máximo uma raiz real. 
Prova. Sendo fn = 1 +X+ ~t + · · · + :~, mostremos que (i) fn não 
tem raízes reais se n é par, e (ii) fn tem exatamente uma raiz real se 
n é ímpar. 
(i) Supondo n par, temos limlxl-t+oo fn(x) = +oo. Portanto, segue 
do teorema de Weierstrass (o teorema 4.31 de [12]) a existência de · 
x0 E R tal que fn assume seu valor mínimo em x0. Suponha, por con-
tradição, que fn(x0 ) ~ O. Então, pelo resultado do problema 3, temos 
xn ( ) xn f~(xo) = O e, como fn(xo) = f~(xo) + n~, segue que O 2: Ín Xo · = ~-
Como n é par, a única maneira de não termos uma contradição a par-
tir dessa última relação é que seja O = fn(x0 ) = 5t-. Mas aí, deveria n. 
ser fn(O) = O, o que é um absurdo. 
(ii) Supondo n ímpar, segue do problema 4, página 75, que fn tem um 
número ímpar de raízes reais; por outro lado, segue do exemplo 3.33 · 
que f n não tem raízes múltiplas. Suponha, então, que .fn tem pelo 
menos três raízes reais distintas, digamos a < b < e. Então, o teorema 
do valor médio garante a existência de a E (a, b) e /3 E (b, e) tais que 
f~(a) = f~(/3) = O. Mas, como f~ = fn-1 e n-1 é par, o caso anterior 
nos fornece uma contradição. D 
Problemas - Seção 5.1 
1. Se f E Z[X] é um polinômio não constante e m é um inteiro 
positivo tal que m > 1 + Re( z), para toda raiz complexa z de f, 
prove que IJ(m)I > 1. 
5.1 Alguns teoremas do Cálculo 121 
2. * Prove, para polinômios de coeficientes reais e com os métodos 
desta seção, o teorema de permanência do sinal: se f E 
R[X] é tal que f(a) > O para algum a E R, então existe r > O 
tal que f(x) > O para todo x E (a - r, a+ r). 
3. * Dado f E R[X] \R, sejam a E R e r > O tais que 
f(a) = min{f(x); x E (a - r, a+ r)}. 
Prove que f'(a) = O. 
4. Seja f(X) = X 5 -2X4 + 2. Prove que f possui exatamente três 
raízes reais. 
5. * Dado f E R[X] \ R com coeficiente líder positivo, prove que 
existe n0 E N tal que 
u > v >no::::} f(u) > f(v) > O. 
6. Prove que não existe polinômio f E Z[X], tal que f(n) seja 
primo para todo inteiro não negativo n. 
7. (Leningrado3 .) Decida se existem quatro números reais distintos 
a, b, e e d tais que, para quaisquer dois deles, x e y digamos, 
tenhamos 
x10 + xg y + ... + xyg + y10 = 1. 
8. Os reais positivos a1, a2, a3 e a4 são tais que a1 ~ a2 ~ a3 ~ a4 
e a1 a2a3a4 = 1. Se À é uma raiz real do polinômio 
prove que À > a2. 
3 A cidade russa de São Petesburgo mudou seu nome para Leningrado durante 
a existência da União Soviética. 
122 Polinômios sobre lR 
9. (Leningrado.) Sejam a, b, e, d e e números reais tais que O 
polinômio aX2 + ( e - b )X + ( e - d) = O tem uma raiz real maior 
que 1. Prove que o polinômio aX4 + bX3 + cX2 + dX + e = O 
tem ao menos uma raiz real. 
10. (Áustria-Polônia.) Dados números reais a 1, ... , an, prove que 
n 
~ a·a· LJ_i_J >O 
·· 1i+j-' i,J= 
com igualdade se, e só se, a 1 = · · · = an = O. 
11. Seja J(X) = X 3 - 3X + 1. Calcule o número de raízes reais 
distintas do polinômio f (! (X)). 
12. (Suécia.) Seja f E JR[X] um polinômio de grau n. Se J(x) 2: O 
para todo x E JR, mostre que 
f(x) + J'(x) + J"(x) + · · · + j(n)(x) 2: O, 
para todo x E lR. 
13. Dois matemáticos A e B disputam o seguinte jogo: é dado um 
polinômio de grau par maior ou igual a 4, 
f(X) = X 2n + a2n-1X2n-I + · · · + a1X + 1, 
onde a1, ... , a2n-1 são números reais não especificados. Os joga-
dores, começando por A, alternam-se especificando os coeficien-
tes de f, até que festeja completamente determinado. No final, 
A ganha se nenhuma raiz de f for real e B ganha caso contrário. 
Encontre uma. estratégia ganhadora para B. 
14. No começo de uma aula, o professor escreveu no quadro negro 
um polinômio de grau 3. A partir daí, os alunos, um por vez, 
vinham ao quadro e perfaziam uma das seguintes operações com 
o polinômio deixado pelo aluno anterior: 
5.2 As desigualdades de Newton 123 
(a) Adicionavam ao polinômio sua derivada. 
(b) Subtraíam do polinômio sua derivada. 
Ao final da aula, o polinômio inicial apareceu novamente no qua-dro negro. Prove que ao menos um dos alunos cometeu um erro. 
15. (OIM.) São dados números reais a1, a2, ... , an, tais que O < 
a1 < a2 < · · · < ªn· Se f : lR \{-ai, ... , -an} -+ lR é a função 
tal que 
5.2 
n 
f(x) = ~ ; , 
LJ X a· 
j=l J 
para x =/=- -a1, ... , -an, prove que o conjunto {x E JR; J(x) 2: 1} 
pode ser escrito como a união de n intervalos limitados, dois a 
dois disjuntos e cuja soma de comprimentos é igual a a1 + a2 + 
.. ·+an. 
As desigualdades de Newton 
Nesta seção, apresentamos um conjunto de desigualdades que re-
fina a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (provada 
na seção 7.2 de [10]). Para tanto, precisamos inicialmente do resultado 
auxiliar a seguir. 
Lema 5.9. Se f E JR[X] \ {O} tem k raízes reais, então f' tem pelo 
menos k - 1 raízes reais. Em particular, se todas as raízes de f forem 
reais, então todas as raízes de f' também serão reais. 
Prova. Podemos supor k > 1. Sejam a 1 < · · · < a1 as raízes reais dis-
tintas de f, com multiplicidades respectivamente iguais a m1, ... , m 1, 
de tal modo que m 1 + · · · + m 1 = k. Então, já vimos na proposição 
3.31 que cada ai é raiz de multiplicidade mi - 1 de f'. Por outro lado, 
111 
124 Polinômios sobre lR 
pelo teorema de Rôlle, entre ai e ai+l há pelo menos mais uma raiz 
real de f', de modo que contabilizamos ao menos 
(m1 - 1) + .. · + (mz - 1) + (l - 1) = k - 1 
raízes reais para f'. O resto é imediato. D 
Para o que segue, dados n > 1 reais positivos a 1, a2 , ... , an e 
O ::; i ::; n, denotaremos simplesmente por Si ( aj) a i-ésima soma 
simétrica elementar de a1, ... , an e por Hi ( aj) a média aritmética das 
(7) parcelas que compõem Si(aj), i.e., 
H,(a;) ~ (7 r S,(a;) 
O teorema a seguir é frequentemente creditado. a Isaac Newton. 
Teorema 5.10. Nas notações acima, para 1 ::; i < n temos 
ocorrendo a igualdade para algum i se, e só se, a1 = a2 = · · · = an. 
Prova. Façamos indução sobre o número n > 1 de reais positivos. 
Para n = 2, queremos mostrar que Hf (a1, a2) 2: H0 (a1 , a2)H2(a1, a2) 
ou, ainda, que 
( ª1 + ª2)
2 
2 2: ª1ª2· 
Mas isto é apenas a desigualdade entre as médias aritmética e geomé-
trica, na qual a igualdade ocorre se e só se a 1 = a2 . 
Suponha, por hipótese de indução, que as desigualdades de Newton 
são válidas para n - 1 reais positivos quaisquer, ocorrendo a igualdade 
em uma qualquer delas se e só se os n - 1 números forem todos iguais. 
Agora, consideremos n 2: 3 reais positivos a 1 , a2 , ... , an, e seja 
J(X) = (X+ a1) ... (X+ an)· 
5.2 As desigualdades de Newton 125 
O lema anterior garante a existência de n-1 reais positivos b1, ... , bn-l 
tais que 
J'(X) = n(X + b1) ... (X+ bn-1), 
de modo que 
~J'(X) = xn-1 + (n ~ 1)H1(bj)xn-2 + · · · + (~ = ~)Hn-1(bj)· 
Por outro lado, f(X) = I:~=o (7)Hi(aj)xn-i fornece 
e segue, daí, que 
Hi(a1, ... , an) = Hi(b1, ... , bn-1), 
para O ::; i ::; n - 1. Pela hipótese de indução, para 1 ::; i ::; n - 2 
temos 
que 
H;(aj) = H;(bj) 2: Hl_1(bj)Hf+1(bj) = Hl_1(aj)Hf+1(aj)· (5.1) 
Resta somente provar que H;,_1(aj) 2: Hn_ 2(aj)Hn(aj) ou, ainda, 
[ (n: J 1 t, a, â, . . a{ > 
> [ (n: 2r ta, · â, .â; · · ·ªnl [ (:f a, a.] . 
Sendo P = a 1 ... an, provar a desigualdade acima equivale a provar 
que 
( )
2 
1 n P 2P P 
; L ~ 2: n(n-1) L a·a· 
i=l i i<j i J 
126 Polinômios sobre lR. 
ou, ainda, que 
( )
2 
n 1 1 
(n-1) ~- ~2n~-. 
~ a· ~ a·a· 
i=l i i<j i J 
Fazendo ai = ;i , queremos mostrar que 
onde a última desigualdade é simplesmente a desigualdade entre as 
médias quadrática e aritmética dos a/s (veja o problema 7.3.3 de [10] 
ou, ainda, o teorema 6.63 de [12]). 
Quanto à igualdade, se H;,_1 (aj) = Hn(ai)Hn_2(aj), então, pelo 
que fizemos acima, temos a 1 = · · · = an e, daí, a1 = · · · = ªn· 
Por outro lado, se Hf(ai) = Hi_1(ai)Hi+I(ai) para algum 1 :::;; i :::;; 
n - 2, éntão (5.1) nos dá Hf (bj) = Hi-i(bi)Hi+I(bi)· A condição de 
igualdade na hipótese de indução garante, agora, que b1 = · · · = bn-I 
e, a partir daí, é imediato que a1 = · · · = ªn· D 
O corolário a seguir, usualmente imputado ao matemático escocês 
do século XVIII Colin McLaurin, traz o refinamento prometido da 
desigualdade entre as médias. 
5.3 A regra de Descartes 127 
Corolário 5.11 (McLaurin). Para n > 1 reais positivos a1 , a2 , .•. , an, 
temos 
H1(ai) ~ J H2(aj) ~ 1 H3(aj) ~ · · · ~ ~ Hn(aj), 
com igualdade em ao menos uma de tais desigualdades se, e só se, 
todos os ai forem iguais. 
Prova. Escreva Hi para Hi(ai)· As desigualdades de Newton nos 
dão Hf ~ HoH2 = H2 e H? ~ H1H3. Logo, Ht ~ H? ~ H1H3, de 
modo que H't ~ H3 e, daí, H? ~ H1H3 ~ H!13 H3 = Hi/3. Assim, 
H > H1/2 > Hl/3. 
1 - 2 - 3 
Suponha que já mostramos que 
H > H1/2 > Hl/3 > ... > Hl/k 
1_ 2 - 3 - - k , 
para algum k < n. Então, 
k-1 2 ~ 
Hk ~ Hk-1Hk+1 ~ Hk k Hk+I, 
2-( k-1) l!!±.! 
o que nos dá Hk k ~ Hk+l ou, ainda, Hk k ~ Hk+l· Essa última 
desigualdade equivale a Ht1k ~ Ht(~+I). 
Para a igualdade, suponha que Ht/k = Ht(~+I). Então, temos 
Hf = Hk-lHk+l pois, do contrário, teríamos 
k-1 2 ~ 
Hk > Hk-1Hk+1 ~ Hk k Hk+I, 
2-( k-1) l!!±.! 
de sorte que Hk k > Hk+l ou, ainda, Hk k > Hk+I, o que é uma 
contradição. Assim, a condição para igualdade nas desigualdades de 
Newton nos dá a1 = · · · = ªn· D 
5.3 A regra de Descartes 
O resultado principal desta seção relaciona o número de raízes posi-
tivas de um polinômio de coeficientes reais ao número de mudanças de 
l:i 1\, 
I'''' 
128 
Polinômios sobre IR 
sinal de seus coeficientes não nulos. Dentre os resultados demonstra-
dos anteriormente neste capítulo, sua prova utiliza somente o teorema 
de Bolzano e, portanto, poderia ter sido dada logo após o mesmo; 
contudo, adiamos sua discussão a fim de privilegiar a exposição dos 
resultados mais básicos, apresentados anteriormente. 
Comecemos com o lema combinatório abaixo, o qual pode ser fa-
cilmente demonstrado, por indução por exemplo. 
Lema 5.12. Em relação ao alfabeto { +, -}, sejam A o conjunto das 
palavras finitas com sinais inicial e final distintos e B o conjunto das 
palavras finitas com sinais inicial e final iguais. Para cada palavra · 
finita a, seja v( a) o número de pares de sinais consecutivos e distintos 
em a. Então: 
(a) a E A~ v(a) - l(mod 2). 
(b) a E B ~ v(a) - O(mod 2). 
Precisamos, agora, da definição a seguir. 
Definição 5.13. Seja 
um polinômio não constante de coeficientes reais, com kn > kn-1 > 
· · · > k1 > k0 2:: O e aj #- O para O ~ j ~ n. Defina a sequência 
VJ = (an, O:n-1, ... , 0:1, ao) pondo, para cada inteiro O~ j ~ n, 
. _ { +, se aj > O ªJ - . - se a·<Ü 
' J 
A variação de f, denotada V(f), é o número de pares de sinais con-
secutivos distintos em v1. 
Para nossos propósitos, o resultado a seguir é crucial. 
5.3 A regra de Descartes 129 
Lema 5.14. Seja g um polinômio não constante de coeficientes reais 
e c ~ O ~m real dado. Se J(X) = (X - c)g(X), então V(f) - V(g) é 
um inteiro positivo ímpar. 
Prova. Façamos indução sobre og. 
(a) og = 1:
2 
é claro que podemos supor g mônico. Se g(X) = X, então 
f(X) = X - cX, de modo que V(f) - V(g) = 1. Suponha, agora, 
g(X) = X - a, onde a> O. Então, f(X) = X 2 - (a+ c)X + ca, de 
modo que V(f)-V(g) = 2-1 = 1. O caso g(X) = X +a onde a> o 
é igualmente fácil: f(X) = X 2 + (a - c)X - ca e, co~o -ca < o'. 
seg~e d~ lema ~ .. 12 que V(f) é ímpar. Portanto, V(f) - V(g) = V(f), 
um mteiro positivo ímpar. 
(b) Suponha o resultado válido para todo polinômio g tal que f)g < n 
onde n > 1 é inteiro, e tome um polinômio g de grau n. Dado u~ 
polinômio qualquer h, denotaremos, sempre que necessário por a e 
(3 . ' h 
h respectivamente o coeficiente líder de h e o coeficiente do termo de 
h de menor grau. Assim, 
com r 2:: s. Há três casos a considerar: 
• Todos os coeficientes de g são positivos: supondo novamente ( e 
sem perda de generalidade) g mônico, seja g(X) = xn + ... + 
aXl, com l < n. Então, 
f(X) = (X - c)g(X) = xn+i + ... - caXz 
' 
com ca < O; pelo lema 5.12 concluímos que V(f) é ímpar e, daí, 
que V(!) - V(g) = V(!) é positivo e ímpar. 
• Existem polinômios u e v tais que g = u + v, com 
u(X) = auXr + · · · + f3uX8, v(X) = avXP + ... + f3vXq, 
130 
com n = r 2'.: s, p 2'.: q e p + 1 < s. Então, 
(X - c)g(X) = (X - c)u(X) + (X - c)v(X) 
= (auxr+l + ... - cf3uX8 ) 
+ ( avXP+l + · · · - cf3vXª), 
uma vez que p + 1 < s. Distingamos, agora, dois subcasos: 
avf3u > O e avf3u < O. No primeiro deles, temos V(g) = V(u) + 
V(v). Porém, (-cf3u)av < O, de modo que, por (5.2), 
V(!) = V((X - c)g) = V((X - c)u) + V((X - c)v) + 1. 
Pela hipótese de indução ( em princípio u tem grau r = n; con-
tudo, s > 1 implica que podemos aplicar a hipótese de indução '. 
a w(X) = auxr-s + · · · + f3u, uma vez u(X) = X 8 w(X).), segue 
que 
V(!) 2'.: (1 + V(u)) + (1 + V(v)) + 1 > V(g) + 1 
e, módulo 2, 
V(!) - (1 + V(u)) + (1 + V(v)) + 1 _ V(g) + 1. 
No segundo subcaso, avf3u < O, temos 
V(g) = V(u) + V(v) + 1 
e, por (5.2), 
V(!)= V((X - c)g) = V((X - c)u) + V((X - c)v). 
Usando novamente a hipótese de indução, obtemos 
V(!) 2'.: (1 + V(u)) + (1 + V(v)) = V(g) + 1 
e, módulo 2, 
V(!)= (1 + V(u)) + (1 + V(v)) = V(g) + 1. 
5.3 A regra de Descartes 131 
• g(X) = anXn + an_1xn-1 + · · · + akXk, com an, . .. , ak i= O e 
nem todos positivos: escreva 
g = 9o - 91 + · · · + ( -1 )t 9t, 
tal que cada gi = aiXki + · · · + /3iX1i (ki 2'.: li) tem todos os 
coeficientes positivos e, parai< t, li= ki+l + 1. Então V(g) = t 
e 
(X - c)g = (X - c)go - (X - c)g1 + · · · + (-ll(X - c)gt 
= (X - c)(aoXkº + · · · + /30X10 ) 
- (X - c)(a1Xk1 + · · · + /31Xli) + · · · 
+ (-l)t(X - c)(atXkt + · · · + f3tX1t) 
= a0Xko+l + · · · - (a1 + c/3o)X10 + · · · + (a2 + c/31)Xli 
+ · · · - (a3 + c/32)X12 + · · · + (-l)t(at + cf3t-1)X1t-i 
+ ... + (-l)t+lC/3tXlt. 
Assim, pelo lema 5.12, há um número ímpar (e, daí, pelo menos 
um) de pares de coeficientes consecutivos de sinais contrários em 
cada um dos t + 1 intervalos com reticências acima, de forma que 
V(!)= V((X - c)g) 2'.: t + 1 = V(g) + 1; 
segue também da observação acim que, módulo 2, 
V(!)= V((X - c)g) _ t + 1 = V(g) + 1. 
D 
De posse do lema anterior, podemos enunciar e provar o resultado 
do teorema a seguir, o qual é conhecido como a regra de Descartes4 
para polinômios de coeficientes reais. 
4 Após René Descartes, matemático e filósofo francês do século XVII, conhecido 
como o pai da Geometria Analítica. 
132 
Teorema 5.15. Seja f um polinômio não constante de coeficientes 
reais. Se R+(f) denota o número de raízes positivas de f, então 
V(f) - R+U) é um inteiro par e não negativo. 
Prova. Façamos indução sobre o grau de f. 
Se & f = 1 suponhamos, sem perda de generalidade, que f é 
mônico. Se J(X) = X ou J(X) = X + a, com a > O, então 
V(f) - R+(f) = O - O = O. Se J(X) = X - a, com a > O, en-
tão V(f) - R+U) = 1-1 = O. 
Suponha, agora, o teorema válido para todo polinômio de grau 
menor que n, onde n > 1 é inteiro, e seja 
um polinômio de grau n. Há dois casos a considerar: 
• R+(f) = O: nesse caso, basta mostrar que V(f) é par. Como 
f (O) = a0 e f ( x) tem o sinal de an para todo real x suficiente-
mente grande (por uma estimativa análoga àquela que precede 
3. 7)), o fato de que R+ (!) = O garante, via teorema de Bolzano, 
que anao > O; daí, o lema 5.12 garante que V(f) é par. 
• R+U) > O: tomando uma raiz positiva e de f, existe um po-
linômio não constante g tal que f(X) = (X - c)g(X). O lema 
5.14 garante a existência de um inteiro ímpar e positivo J, tal 
que 
V(f) - R+(f) = (V(g) + I) - (R+(g) + 1) 
= (V(g) - R+(g)) + (I - 1). 
Como, pela hipótese de indução, V(g) - R+(g) é par e não ne-
gativo, segue que V(f) - R+(f) é também par e não negativo. 
D 
5.3 A regra de Descartes 133 
Corolário 5.16. Se f é um polinômio não constante de coeficientes 
reais e R_(J) é o número de raízes negativas de f, então V(f (-X))-
R-U) é par e não negativo. 
Prova. Imediata, a partir do teorema 5.15, juntamente com o fato de 
que a E R_(J) se, e só se, -a E R+(f). D 
Exemplo 5.17. Sejam ao, a1, ... , ªn-l reais não negativos e não todos 
nulos. Calcule o número de raízes positivas do polinômio 
X n xn-1 X - ªn-1 - · · · - a1 - ao. 
Solução. Se f denota o polinômio do enunciado, a regra de Descartes 
garante que V(f) -R+(f) é não negativo e par. Mas, como V(f) = 1, 
é imediato que R+ (!) = 1. D 
Problemas - Seção 5.3 
1. Para cada n E N, seja an uma raiz real positiva do polinômio 
xn - xn-l - xn-2 - • • • - X - 1. Mostre que, para todo tal n, 
temos 
1 1 
2 - -- < a < 2 - -. 2n-l - n - 2n 
2. (Leningrado.) O polinômio de terceiro grau e coeficientes reais 
aX3 + bX2 + cX + d tem três raízes reais distintas. Calcule o 
número de raízes reais do polinômio 
4(aX3 + bX2 + cX + d)(3aX + b) - (3aX2 + 2bX + c)2. 
! i I': . 
li,I 
k 
li' 
134 Polinômios sobre lR 
CAPÍTULO 6 
Interpolação de Polinômios 
O corolário 3.10 garante que há, no máximo, um polinômio de grau 
n que assume valores predeterminados em n + 1 valores complexos 
distintos da variável. O que não sabemos ainda é se um tal polinômio 
realmente existe. Por exemplo, há um polinômio f de coeficientes 
racionais, grau 3 e satisfazendo as condições f(ü) = 1, f(l) = 2, 
f(2) = 3 e f(3) = O? Estudaremos, aqui, técnicas que possibilitam 
responder essa pergunta, técnicas essas denominadas genericamente 
de interpolação de polinômios. Em especial, discutiremos a classe 
dos polinômios interpoladores de Lagrange, os quais serão, por sua 
vez, utilizados para resolver sistemas lineares de Vandermonde sem o 
recurso aos métodos da Álgebra Linear. A seu turno, o conhecimento 
das soluções de um tal sistema nos possibilitará estudar, na seção 9.1, 
uma classe particular importante de sequências recorrentes lineares, 
estendendo parcialmente o material da seção 4.3 de [10]. 
135 
136 Interpolação de Polinômios 
6.1 Bases para polinômios 
Para o que segue, lembre-se de que K representa um qualquer dos 
conjuntos numéricos (Q, IR ou C. Precisamos, inicialmente, estabelecer 
uma convenção útil. 
Notação 6.1. Para n E N e 1 ~ i, j ~ n, definimos o delta de 
Kronecker1 por 
ô·. = { 1, se i = j . 
iJ O, se i =f. j 
A vantagem da notação acima vem do fato de podermos usá-la 
como um marcador de posições, no seguinte sentido: dados n E N 
e uma sequência (b1, ... , bn) em K, temos 
para 1 ~ i ~ n. 
n 
I:Ôijbj = bi, 
j=l 
Agora, sejam dados n EN e elementos dois a dois distintos a1 , a2 , 
... , ande K. Para 1 ~ i ~ n, definimos o polinômio Li E K[X] por 
II X - ªi (X -ª1) (x=;,i) (X -ªn) Li(X) = = . . . . . . , 
a· - a· a· - a1 a· - a· a· - a l:$j:$n i J i i i i n 
#i 
onde o sinal '"' sobre um fator indica que o mesmo está ausente do 
produto considerado. Tais polinômios Li são os polinômios inter-
poladores de Lagrange para o conjunto {a1 , ... , an}· 
É imediato verificar que, para todos 1 ~ i, j ~ n, tem-se 
1 Após o matemático alemão do século XIX Leopold Kronecker. 
6.1 Bases para polinômios 137 
Essa propriedade permite, como veremos no teorema a seguir, cons-
truir polinômios que assumam valores pré-fixados em elementos dis-
tintos de K também pré-fixados; tal resultado é conhecido como o 
teorema de interpolação de Lagrange. 
Teorema 6.2 (Lagrange). Dados n EN e a1 , ... , an, b1 , ... , bn E K, 
com a1, ... , an dois a dois distintos, existe exatamente um polinômio 
f E K[X], de grau menor que n e tal que f(ai) = bi, para 1 ~ i ~ n. 
Mais precisamente, tal polinômio é 
n 
f(X) = L bjLj(X), (6.1) 
j=l 
onde os Li são os polinômios interpoladores de Lagrange para o sub-
conjunto { a1, ... , an} de K. 
Prova. A unicidade segue do corolário 3.10. Por outro lado, tomando 
f como em (6.1), basta mostrarmos que 8f < n e f(ai) = bi, para 
1 ~ i ~ n. 
Como 8Li = n - 1 para 1 ~ j ~ n e o grau de uma soma de 
polinômios (sempre que tal soma for não nula) não ultrapassa o maior 
dentre os graus das parcelas, é imediato que 8 f < n. Para o que falta, 
basta ver que 
n n 
j=l j=l 
D 
Uma maneira equivalente de formular o resultado acima é dada 
pelo corolário a seguir.Corolário 6.3. Sejam n E N e a1 , ... , an elementos dois a dois dis-
tintos de K. Se f E K[X] \ {O} satisfaz 8f < n, então 
n 
J(X) = L f(ai)Li(X). 
i=l 
138 Interpolação de Polinômios 
Prova. De fato, definindo 
n 
g(X) = L J(ai)Li(X), 
i=l 
temos âf, âg < n e, pela demonstração do teorema anterior, g(ai) = 
f(ai), para 1 :::;; i :::;; n. Segue novamente do corolário 3.10 que g = 
f. D 
Colecionamos, a seguir, dois exemplos de aplicação dos polinômios 
interpoladores de Lagrange. 
Exemplo 6.4. Encontre um polinômio f E (Q[X] tal que J(l) = 12, 
f(2) = 2, f(3) = 1, f(4) = -6 e f(5) = 4. 
Solução. Explicitemos, primeiramente, os polinômios interpoladores 
de Lagrange para o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}: 
X - j (X - 2) (X - 3) (X - 4) (X - 5) 
Li(X) = II 1- j = 1- 2 1- 3 1- 4 1- 5 
1$j$5 
#1 
= _!_(X4 - 14X3 + 71X2 - 154X + 120), 
24 
II X - j (X - 1) ·(x -3) (X - 4) (X - 5) L2 (X) = 2 - j = 2 - 1 2 - 3 2 - 4 2 - 5 
1$j$5 
#2 
= -~(X4 - 13X3 + 59X2 - 107X + 60), 
X - j (X - 1) (X - 2) (X - 4) (X - 5) 
L3 (X) = II 3 - j = 3 - 1 3 - 2 3 - 4 3 - 5 
1$j$5 
#3 
= !(X4 - 12X3 + 49X2 - 78X + 40), 
4 
6.1 Bases para polinômios 139 
e 
L4(X) = II X - ! = (X - 1) (X - 2) (X - 3) (X - 5) 
4-J 4-1 4-2 4-3 4-5 
1$j$5 
#4 
= -~(X4 -11X3 + 41X2 - 61X + 30) 
L5(X) = II X - ! = (X - 1) (X - 2) (X - 3) (X - 4) 
5-J 5-1 5-2 5-3 5-4 
1$j$5 
#5 
= 2
1
4 (X4 - 10X3 + 35X2 - 50X + 24). 
Portanto, de acordo com o corolário anterior podemos tomar 
f(X) = 12L1(X) + 2L2 (X) + L3 (X) - 6L4(X) + 4L5(X) 
= 19 x 4 _ 55 x3 + 233 x 2 _ 775 x + 86_ 
12 3 4 6 
D 
Exemplo 6.5. Seja f um polinômio mônico, de coeficientes reais e 
grau n, e sejam xi, x2 , ... , Xn+1 inteiros dois a dois distintos. Prove 
que existe 1 :::;; k:::;; n + 1 tal que lf(xk)I 2::: ;l. 
Prova. Pela fórmula de interpolação de Lagrange, temos 
Comparando os coeficientes líderes nos dois membros da igualdade 
acima, obtemos 
' 1 
140 Interpolação de Polinômios 
Agora, se M = max{IJ(xk)I; 1 $ k $ n + 1} e Pi= ni-1- .(xj - xi) 
temos ,J ' 
n+l f( ) n+l n+l 
1= L~ $Llf(~j)I $ML-l. 
j=l PJ j=l IPJ I j=l IPj I 
Mas, como E7~[ /~/ é simétrico em relação a x1 , x 2 , .•. , Xn+i, pode-
mos supor (após reenumerar os x/s, se necessário) que x1 < x2 < 
· · · < Xn+I · Assim, 
IPil = (xj - x1) ... (xj - Xj-1)(xj+l - Xj) ... (xn+I - xj) 
2 [(j - 1) ... 2 · 1][1 · 2 ... (n + 1 - j)] 
= (j - l)!(n + 1 - j)! = :' . 
C-1) 
De posse das estimativas acima, obtemos finalmente 
n+l n+l , 
l$ML-l $ML!(.n )=2nM 
i=l IPil i=l n! J - 1 n! 
ou, o que é o mesmo M > n! 
l - 2n· o 
A seguir, mostramos como utilizar polinômios interpoladores de 
L_agran~e para resolver certos tipos de sistemas lineares de equações, 
ditos sistemas de Vandermonde2 , os quais encontrarão utilidade 
na seção 9 .1. 
Proposição 6.6 (Vandermonde). Dados elementos a1, a2, ... , an, 
ª1, a2, · · ·, an de K, sendo a1, a2, ... , an dois a dois distintos o 
sistema linear de· equações ' 
X1 + X2 + · · · + Xn - G1 
a1x1 + a2x2 +···+a x ,..,2 n n , uc 
a~x1 + a22x2 + · · · + a2x n n a3 (6.2) 
af-1x1 + a~-1x2 + · · · + a~-lXn = an 
~-::-~~~~~~~~-
2 Alexandre-Theóphile Vandermonde, matemático francês do século XVIII. 
6.1 Bases para polinômios 141 
admite uma única solução em K. Em particular, se a 1 = · · · = an = O, 
então X1 = · · · = Xn = Ü. 
Prova. Se J(X) = Co + c1X + · · · + Cn-1xn-l E K[X], então, multi-
plicando as equações do sistema respectivamente por c0 , c1, ... , Cn-1 
e somando os resultados, obtemos 
Agora, fixado 1 $ i $ n, o teorema 6.2 nos permite escolher unica-
mente c 0 , c1, ... , Cn-1 em K (i.e., escolher !) de modo que f(a 1) = --. · · = f(ai) = · · · = f(an) = O e f(ai) = 1. Portanto, a igualdade 
acima garante que deve ser 
e a arbitrariedade do 1 $ i $ n escolhido termina a demonstração. O 
Uma limitação dos polinômios interpoladores de Lagrange para um 
subconjunto finito de K vem do fato de que, com eles, só geramos o 
conjuto dos polinômios de graus menores que o número de elementos 
do conjunto em questão. Remediamos essa situação com a seguinte 
definição mais geral. 
Definição 6.7. Uma base para K[X] é uma sequência3 (!o, li, h, .. . ) 
de elementos de K[X] satisfazendo a seguinte condição: para todo 
f E K[X], existem únicos n E Z+ e a0 , ... , an E K tais que 
f(X) = aofo(X) + · · · + anfn(X). 
Exemplo 6.8. Uma maneira simples de construir uma base para K[X] 
é tomar uma sequência (!0 , J1 , h, .. . ) de K[X] tal que 8fi = j, para 
3Formalmente, uma sequência (IJ)i?.O em IK[X] ê uma função <I>: Z+-+ IK[X], 
tal que ÍJ = <I>(j), para j ~ O. 
142 Interpolação de Polinômios 
j 2::: O. Para mostrar que um tal sequência é realmente uma base para 
OC:[X], temos de provar as duas afirmações a seguir: 
(i) Se a0 , a1, ... , an e b0 , b1, ... , bn são elementos de OC: tais que 
então ai = bi, para O :::::; i :::::; n. 
(ii) Para todo f E IK[X], existem n EN e a0 , a1, ... , an E OC:, tais que 
f(X) = aofo(X) + aif1(X) + · · · + anfn(X). 
Deixamos ao leitor a verificação de que a validade das afirmações dos 
itens (i) e (ii) acima é realmente equivalente ao fato de que tal sequên-
cia de polinômios é uma base ( veja o problema 1). 
Como caso particular do exemplo acima, note que a sequência 
(1,x,x2,x3 , ... ) 
é uma base para IK[X] (como, aliás, já sabíamos). 
No que segue, construímos, a partir dos números binomiais, uma 
base bastante útil para IK[X]. Para tanto, precisamos da definição a 
segmr. 
Definição 6.9. Para k E Z+, definimos o k-ésimo polinômio bi-
nomial (~) por (~) = 1, (~) = X e, para k > 1, 
(~) = t,x(x -1) ... (X - k + 1). 
Como aplicação do exemplo 6.8, afirmamos que a sequência dos 
polinômios binomiais é uma base para IK[X]. Para tanto, basta mos-
trarmos que as condições dos itens (i) e (ii) são satisfeitas. A verifica-
ção da validade da condição (i) segue, como no exemplo 6.8, do fato 
6.1 Bases para polinômios 143 
de que a G) = k, para todo k E Z+. Quanto a ( ii), basta mostrarmos 
que, para todo n E Z+, existem a0 , a1, ... , an E OC: tais que 
(6.3) 
Sem apelar diretamente para o resultado do exemplo supracitado, fa-
çamos indução sobre n 2::: O. Para n = O e n = 1, a validez de (6.3) 
segue da definição de polinômio binomial. Suponha agora que, para 
um certo k E N, existam a0 , a1, ... , ak E OC: satisfazendo (6.3) quando 
n = k. Então, 
e, para terminar, basta ver que 
( ~) X = -;, X ( X - 1) ... ( X - j + 1) ( X - j + j) 
J J. 
1 
= --:,X(X - 1) ... (X - j + l)(X - j) 
J. 
+ ~1X(X - 1) ... (X - j + 1) 
J. 
= (j + 1) (j : 1) + j ( ~). 
(6.4) 
Ainda que o conceito de base de polinômios, conforme formulado 
nesta seção, não se aplique ao conjunto dos polinômios de coeficientes 
inteiros, uma rápida revisão da discussão acima estabelece o seguinte 
resultado mais geral. 
Proposição 6.10. Se f E IK[X] \ {O} é um polinômio de grau n, então 
existem únicos a0 , a1, ... , an E OC: tais que 
Ademais, se f E Z[X], então podemos tomar a0 , a1, ... , an E Z. 
144 Interpolação de Polinômios,. 
Prova. É suficiente provar que os coeficientes a0 , a1, ... , an em (6.3) 
são inteiros. Argumentando novamente por indução, suponha que tal 
afirmação é verdadeira quando n = k. Então, os cálculos subsequentes -
a (6.4) fornecem 
com ª-1 = ak+l = O. Portanto, ai E Z, para O :::;; j :::;; k + 1, de forma 
que j(ai-l + ai) E Z, para O :::;; j :::;; k + 1, completando o passo de 
indução. D 
Vejamos um exemplo interessante de aplicação das ideias discutidas 
acima. 
Exemplo 6.11. Seja f E JR[X] um polinômio de grau n e suponha 
que J(O), f(l), ... , f(n) sejam inteiros. Prove que f(x) é inteiro para 
todo inteiro x. 
Prova. Pela proposição acima, existem a0 , a1, ... , an E lR tais que 
(6.5) 
Portanto, para O :::;; k :::;; n fixado, temos 
f(k) = tªi (~) (k) = t (~)ai 
j=O J j=O J 
6.1 Bases para polinômios 145 
(uma vez que (J)(k) = O se j > k). Agora, aplicando o lema 2.12 de 
[13], concluímos que 
para O:::;; k:::;; n. Mas, uma vez que (1)(x) E Z para todo x E Z (veja 
O problema2), segue de (6.5) que f(x) E Z, para todo x E Z. D 
Problemas - Seção 6.1 
1. * Termine a discussão do exemplo 6.8. 
2. * Para k E Z+, prove que (1)(x) E Z, para todo x E Z. 
3. (Estados Unidos.) Seja f um polinômio de grau n, tal que J(k) = 
(nt1)-1 para O :::;; k :::;; n. Calcule f (n + 1). 
4. (Canadá.) Seja f um polinômio de grau n, tal que f(k) = k!l 
para todo inteiro O :::;; k :::;; n. Calcule f ( n + 1). 
5. Seja n um natural dado. 
(a) Mostre que O, -1, -2, ... , -n são raízes do polinômio 
f(X) = t(-l)i(~)x(X+l) ... (x+J) ... (X+n)-n!. 
j=O J 
(b) Conclua, a partir de (a), que, para todo k EN, tem-se 
n .(n) 1 n! 
~(-l)J j k+j = k(k+l) ... (k+n)" 
i 
,:1 , , li 
·I:,, 
;!, 
1 
1 
':I 
•'!' 
146 Interpolação de Polinômios 
( c) Use o item (b) para calcular, em função de n, o valor da 
soma I: 1 
k2::l k(k + 1) ... (k + n)" 
6. Dados números reais dois a dois distintos a, b, c e d, resolva O 
sistema de equações 
ax1 + a2x2 + a 3x3 + a4x4 1 
bx1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 1 
CX1 + c 2X2 + C3X3 + C4X4 1 
dx1 + d2x2 + d3x3 + d4x4 1 
7. (Estados Unidos.) Sejam n > 3 inteiro e p, Po, Pi, ... , Pn-2 , 
polinômios tais que 
n-2 
LXipi(Xn) = (xn-i + xn-2 +···+X+ l)p(X). 
j=O 
Prove que X - 1 divide Pi(X), para O :Si :S n - 2. 
8. (Leningrado.) Uma sequência finita a1 , a2, ... , an é p-balanceada 
se todas as somas da forma 
forem, para k = 1, 2, ... , p, iguais entre si. Prove que, se n = 50 
e a sequência (aih~i90 for p-balanceada para p = 3, 5, 7, 11, 
13 e 17, então todos os seus termos são iguais a zero. 
6.2 Diferenças finitas 
Outra técnica de interpolação útil, mas um tanto mais elaborada, 
é a das diferenças finitas. Esboçamos os rudimentos da mesma nesta 
seção. 
6.2 Diferenças finitas 147 
Definição 6.12. Sejam h um número real e f: lR-+ lR uma função 
dada. Para k 2:: O inteiro, definimos a k-ésima diferença finita de 
f com incremento h. como a função D.~f : lR -+ JR, dada por: 
(a} D.if =f. 
(b} (b.if)(x) = (D.hf)(x) = f(x + h) - f(x), para todo x E JR. 
(c} D.~f = D.h(D.~-1!), se k 2:: 2. 
A fim de que tal definição tenha utilidade, precisamos das propri-
edades de D.~f contidas na proposição a seguir. 
Proposição 6.13. Nas notações da definição anterior, dados h E lR 
e f, g : lR -+ JR, temos que: 
(a) Se f é constante, então D.hf = O. 
(b) Se a e b são constantes reais, então D.h ( af + bg) = aD.hf + bD.hg. 
(c) D.h(f g) = (b.hf)(g + D.hg) + f D.h9· 
(d} D.~f = D.~-1(b.hf), para todo k EN. 
(e) Se k 2:: O e x E JR, então 
k 
(b.~f)(x) - ~(-1); G)t(x+ (k- j)h). 
Prova. 
(a) Para x E JR, temos D.hf(x) = f(x + h) - f(x) = O, uma vez que f 
é constante. 
(b) Para x E JR, temos 
(b.h(af + bg))(x) = (af + bg)(x + h) - (af + bg)(x) 
= a(f(x + h) - f(x)) + b(g(x + h) - g(x)) 
= a(b.hf)(x) + b(D.hg)(x). 
148 Interpolação de Polinômios 
(c) Façamos indução sobre k 2:: 1, sendo o caso k = 1 imediato. Su-
ponha, por hipótese de indução, que a fórmula valha para um certo 
k EN. Para k + 1, temos: 
J(x + (k + l)h) = f(x + kh) + (ô.1f)(x + kh) 
k 
= f(x +kh) + ~ G) (Á~-;(,:l!.f))(x) 
k k 
= ~ G) (À~-; J)(x) + ~ G) (Á~+H f)(x) 
= t G) (À!-; f)(x) + (,:l~+l J)(x) 
k 
+ ~ G) (Á~-(i-1) f)(x). · 
Agora, executando uma troca de índices na última soma acima e uti-
lizando a relação de Stifel, obtemos f(x + (k + l)h) sucessivamente 
igual a 
t G) (À:-; f)(x) + (,:l~+l f)(x) +te: 1) (,:lH f)(x) 
= (,:l:+1 f)(x) + t ( G) +e; 1)) (Át+l)-(j+l) f)(x) + (Áincx) 
= I: k ~ 1 (ô.~+1-j f)(x). k+l ( ) 
j=O J 
(d) Façamos indução sobre k 2:: 1, sendo o caso k = 1 imediato a 
partir da definição 6.12. Suponha, por hipótese de indução, o resultado 
verdadeiro quando k = l 2:: 1. Para k = l + 1, aplicando sucessivamente 
a o item (c) da definição 6.12, a hipótese de indução e novamente o 
6.2 Diferenças finitas 149 
item (c) da definição 6.12 (desta feita à função ô.hf, no lugar de!), 
obtemos 
ô.~+lf = ô.'fi(ô.~f) = ô.h(ô.~-l(ô.hf)) = ô.~(ô.hf). 
(e) Façamos indução sobre k 2:: O. Se k = O ex E JR, então 
t,(-1); G)f(x) = (-l)ºG)f(x) = f(x) = (,:lif)(x). 
Suponhamos, agora, que a fórmula valha quando k = l 2:: O, e 
provemos sua validade para k = l + 1. Para x E JR, aplicando sucessi-
vamente o item (c) da definição 6.12 e a hipótese de indução, obtemos 
(ô.1+1 f)(x) = ô.h(ô.~f)(x) = (ô.~f)(x + h) - (ô.~f)(x) 
= t.(-1); G) f(x +h + (l - j)h) 
l ·(l) - ~(-1)3 j f(x + (l - j)h) 
= f(x + (l + l)h) 
+ t.(-1); (e: 1) - e~ 1)) f(x + (l+ 1 - j)h) 
- t.(-1); G)1cx + (l - j)h) 
1 (l 1) = ~(-l)i : f(x + (l + 1- j)h) 
- t.(-1/ e~ 1)f(x + (l + 1- j)h) 
l . (l) - ~(-1)3 j f(x + (l - j)h), 
n·'''"' 
'ii-;i'1· 
,1' 
li 
J! 
i:l,1 
:11 ' 
:! 
150 Interpolação de Polinômios 
onde utilizamos a relação de Stifel (6.2) de [10] na penúltima igualdade 
acima. Portanto, 
t,!+1 f(x) = t{-1); e: 1)1<x + (l + 1- j)h) - {-1)1+1 f(x) 
+ t{-li G) f(x + (l - j)h) 
l ·(l) , I)-1)1 . f(x + (l - j)h) 
j=O J 
= t{-1); e: 1)t<x + (l + 1- j)h) 
l ·(l) + L(-1)1 . f(x + (l - j)h) 
j=O J 
l ·(l) - ~(-1)3 j f(x + (l - j)h) 
= t{-1); e: 1)1<x + (l + 1- j)h) 
D 
Dentre as propriedades de diferenças finitas elencadas na proposi-
ção acima, a que encontra uso mais frequente em problemas de inter-
polação é a do item (e), principalmente quando combinada com o pró-
ximo resultado. Note que a proposição anterior se refere a diferenças 
finitas de funções em geral, ao passo que o que segue é especificamente 
relacionado a diferenças finitas de polinômios. 
Proposição 6.14. As k-ésimas diferenças finitas, com incremento 
h, de um polinômio de coeficientes reais e grau k são todas iguais entre 
6.2 Diferenças finitas 151 
si, ao passo que as l-ésimas diferenças, com l > k, são todas iguais 
a zero. 
Prova. Para x E IR, temos 
(!J.hf)(x) = f(x + h) - f(x), 
e este é o valor do polinômio !J.hf(X) := f(X +h)- f(X) para X= x. 
Agora, observe que !J.hf(X) tem grau k -1. Portanto, argumentando 
por indução sobre o grau de um polinômio, segue do item ( d) da 
proposição anterior que !J.~f = 1J.t-1(/J.hf) tem grau O, de sorte que é 
constante. Logo, !J.~f(X) = O para l > k. D 
Conforme ficará patente nos dois exemplos a seguir, a principal 
utilidade das fórmulas para diferenças finitas discutidas acima é o fato 
de as mesmas nos permitirem calcular diretamente o valor que um 
polinômio assume em um ponto que não os de interpolação, caso tais 
pontos de interpolação sejam os termos de uma progressão aritmética. 
Exemplo 6.15. Seja f E lR[X] um polinômio de grau m 2:: 1, tal que 
f(j) = ri para O:::; j :::; m, onde r é um real positivo dado. Calcule os 
possíveis valores de f ( m + 1). 
Solução. Ponha h = 1 e escreva !J.k f para denotar !J.tf. O item (e) 
da proposição 6.13 garante que 
k 
1:,• f(x) = ~{-1); G) f(x + k - j) 
para todo x E R Mas, uma vez que a f = m, a proposição anterior 
nos dá, então, 
ri 
11 i,I 
'11 1 
152 Interpolação de Polinômios 
Portanto, 
m+l ( ) /(m+l) = ~{-l)i+' m;l /{m+l-j) 
= rm+l - I:(-l)j (m ~ l)rm+l-j 
j=O J 
= rm+l - (r - l)m+1, 
onde utilizamos a fórmula de expansão binomial de (r - l)m+l na 
última igualdade acima. D 
A solução do próximo exemplo utiliza livremehte alguns concei-
tos e resultados básicos de Teoria dos Números, os quais podem ser 
encontrados em [14]. 
Exemplo 6.16. Seja f um polinômio de grau 1992, tal que f(j) = 2i 
para 1 ~ i ~ 1993. Calcule o resto da divisão de f (1994) por 1994. 
Solução. Combinando o item (e) da proposição 6.13 com a proposi-
ção 6.14, e escrevendo novamente l::1k f para denotar l::1tf, temos 
1993 
O= t.1993 /(1) = ~(-1)' ( 19t) /{1994- j). 
Portanto, 
1993 ( ) /{1994) = ~(-l)i+l 1~93 21994-j 
1993 
= (19:3) 2'"' _ 2 ~ ( -1 )' (1~93) 21993-j 
= 21994 - 2(2 - 1)1993 = 21994 - 2. 
6.2 Diferenças finitas 153 
Para o que falta, note inicialmente que 997 é primo ( utilize o crivo 
de Eratóstenes, por exemplo). Portanto, o pequeno teorema de Fermat 
garante que 2996 1 ( mod 997), de sorte que 
21992 = (2996 )2 - 1 (mod 997). 
A partir daí, é imediato que 
f(1994) = 21994 - 2 = 22 - 2 -2 (mod 997). 
Assim, temos o sistema linear de congruências 
{ !(1994) O (mod2) 
!(1994) - 2 (mod 997) 
o qual possui, pelo teorema chinês dos restos, uma única solução, 
módulo 2 · 997 = 1994. Mas, como 2 é claramente uma solução, segue 
que 
!(1994) - 2 (mod 1994). 
D 
Problemas - Seção 6.2 
1. Prove que, para todo polinômio f E IR[X], temos 
k 
f(x + kh) = ~ G) (L'.~-; f)(x), 
para todos h, x E IR e todo k 2:: O. 
2. (Canadá.) Seja f um polinômio de grau n, tal que f(k) = k!l 
para todo inteiro O ~ k ~ n. Calcule f ( n + 1). 
154 Interpolação de Polinômios 
3. (Estados Unidos.) Seja f um polinômio de coeficientes reais e 
grau n, tal que J(k) = (nt1)-1, para O S k S n. Calcule os 
possíveis valores de f(n + 1). 
4. Um polinômio f, de grau 990, é tal que J(k) = Fk para 992 S 
k:::;; 1982, onde Fk é o k-ésimo número de Fibonacci. Prove que 
f (1983) = F19s3 - 1. 
,•,tf i:·. 5. Seja f um polinômio de coeficientes reais, tal que: 
(a) f(l) > f(O) > O. 
(b) f(2) > 2f(l) - f(O). 
(c) f(3) > 3f(2) - 3f(l) + f(O). 
(d) J(n + 4) > 4f(n + 3) - 6f(n + 2) + 4f(n + 1) - J(n) para 
todo n EN. 
Prove que J(n) > O, para todo n EN. 
CAPÍTULO 7 
Fatoração de Polinômios 
O algoritmo da divisão para polinômios fornece uma noção de divi-
sibilidade em IK[X] quando IK = Q, li ou <C, a qual goza de proprieda-
des análogas àquelas da noção correspondente para números inteiros. 
É, então, natural perguntar se, assim como em Z, temos em IK[X] 
polinômios primos, os quais forneçam algum tipo de fatoração única, 
com propriedades similares às da fatoração única de inteiros. Nosso 
propósito neste capítulo é fornecer respostas precisas a tais questões, 
as quais encompassarão também polinômios com coeficientes em Zp 
(p primo). Referimos o leitor à introdução do capítulo 1 de [10] ou, 
mais geralmente, ao capítulo 1 de [14), para uma revisão dos conceitos 
correspondentes em Z. 
7.1 Fatoração única em (Q[X] 
Ao longo desta seção, IK denota Q, li ou <C. 
155 
r.1 ····.1·· 
;·, ' 
. ' 
i: 
156 Fatoração de Polinômios 
Dizemos que dois polinômios f, g E IK[X] \ {O} são associados 
(em IK[X]) se existir a E lK \ {O} tal que f = ag. Por exemplo, os 
polinômios de coeficientes reais 
1 
f(X) = 4X2 - 2X + 1 e g(X) = 2\/'2X2 - v'2X + v2 
são associados em IR[X], uma vez que f = \129 e v2 E IR\ {O}. 
Se f, g E IK[X] \ {O} são dados, dizemos que um polinômio p E 
IK[X] \ {O} é um divisor comum de f e g quando p I f, g. Note que 
f e g sempre têm divisores comuns: os polinômios constantes e não 
nulos sobre IK, por exemplo. 
Definição 7.1. Dados f, g E IK[X] \ {O}, dizemos que d E IK[X] \ {O} é 
um máximo divisor comum de f e g, e denotamos d= mdc (!, g), 
se as duas condições a seguir forem satisfeitas: 
(a) d I f, g em IK[X]. 
(b) Se d' E IK[X] \ {O} divide f e g em IK[X], então d' 1 d em IK[X]. 
O próximo resultado, também conhecido como o teorema de Bé-
zout1 para polinômios, garante a existência de um mdc para dois 
polinômios não nulos sobre IK, o qual é único a menos de associação 
(i.e., a menos de multiplicação por elementos não nulos de IK). Para 
o enunciado do mesmo, dado f E IK[X] denotamos por fIK[X] o con-
junto dos múltiplos de f em IK[X], i.e., 
flK[X] = { af; a E IK[X]}. 
Teorema 7.2. Sejam f, g E IK[X] \ {O}. Se 
S = {af + bg; a,b E IK[X]}, 
então existe um polinômio d E IK[X] \ {O} satisfazendo as seguintes 
condições: 
1 Após 'Etienne Bézout, matemático francês do século XVIII. 
7.1 Fatoração única em Q[X] 157 
( a) S = dlK[X]. Em particular, d I f, g em IK[X]. 
(b) Todo polinômio em IK[X] \ {O} que divide f e g também divide 
d. 
Ademais, tal polinômio d é único, a menos de associação. 
Prova. 
(a) Se d E S \ {O} é tal que 
ad = min{ ah; h E S \{O}}, 
afirmamos inicialmente que S = dlK[X]. De fato, sendo d= a0f +b0g, 
com a0 , b0 E IK[X], e c E IK[X], então 
cd = (cao)f + (cbo)g E S, 
i.e., dlK[X] e S. Reciprocamente, tome h E S, digamos h = af + bg, 
com a, b E IK[X]. Pelo algoritmo da divisão, temos h = dq + r, com 
q, r E IK[X] e r = O ou O ::; ar < ad. Mas, se r # O, então ar < ad e 
r = h - dq = ( af + bg) - ( aof + bog )q 
= (a - aoq)f + (b - boq)g E S, 
uma contradição à minimalidade do grau de d em S. Logo, r = O e, 
daí, h = dq E dlK[X]. 
Para a segunda parte do item (a), basta ver que f, g E S = dlK[X], 
de forma que, em particular, f e g são múltiplos de d em IK[X]. 
(b) Seja d1 E IK[X] \ {O} um polinômio que divide f e g, digamos 
f = dif1 e g = d191, com f1, 91 E IK[X]. Se a, b E IK[X], então 
af + bg = (af1 + bg1)d1 E d1IK[X]. 
Mas, como af +bg é um elemento genérico do conjunto S, segue então 
que 
d E dlK[X] =Se d1IK[X]; 
,r 
. J 
1 
1 
:~·· i. 
: 1 
'!.] 
• 1 
158 Fatoração de Polinômios 
em particular, d é um múltiplo de d1, conforme desejado. 
A última afirmação é deixada como exercício para o leitor ( veja O 
problema 1). O 
Graças à parte de unicidade do teorema de Bézout, doravante con-
vencionamos que o mdc de dois polinômios não nulos sobre K é sem-
pre mônico. Por outro lado, continuando a paráfrase com a noção de 
mdc em Z, dizemos que dois polinômios f, g E K[X] \ {O} são primos· 
entre si, ou relativamente primos, quando mdc (!, g) = 1. Isto 
posto, temos a seguinte consequência do teorema anterior. 
Corolário 7.3. Se f, g E K[X] \ {O}, então f e g são primos entre si. 
se, e só se, existem polinômios a, b E K[X] tais que af + bg = 1. 
Prova. Se mdc (!, g) = 1, a existência de a, b E .K[X] como no enun-
ciado segue do teorema de Bézout. Reciprocamente, se d= mdc (!, g) 
e existem a, b E K[X] tais que af + bg = 1, então, novamente pelo 
teorema de Bézout, temos que 1 E dK[X], i.e., d é um divisor do 
polinômio constante 1. Mas, uma vez que d é mônico, segue que 
d= 1. o 
Corolário 7.4. Sejam f, g E K[X] \ {O} primos entre si eh E K[X] \ 
{O} tal que âh < â(f g). Então, existem a, b E K[X] tais que a= O ou 
âa < âg, b = O ou âb < âf e af + bg = h. 
Prova. Pelo corolário anterior, existem a1 , b1 E K[X] tais que aif + 
b1g = 1. Daí, fazendo a2 = a1h e b2 = b1h, temos a2f + b2g = h. 
Agora, pelo algoritmo da divisão, temos a2 = gq + a, com a = O ou 
O~ âa < âg. Assim, 
h ~ (gq + a)f + b2g = af + (qf + b2)g 
e, fazendo b = qf + b2, temos h = af + bg, com a= O ou âa < âg. 
Por fim, como bg = h - af, se b #- O, temos 
âb + âg = â(bg) = â(h - aí) ~ âh < â(f g) = âf + âg, 
7.1 Fatoração única em Q[X] 159 
de sorte que âb < âf. D 
A definição a seguir é central para o restante deste capítulo . 
Definição 7.5. Um polinômio p E K[X] \ K é irredutível sobre 
][{ se p não puder ser escrito como produto de dois polinômios não 
constantes e com coeficientes em K. Um polinômio p E K[X] \ K que 
não é irredutível é dito redutível sobre K. 
Em geral, é útil refrasear a condição de irredutibilidade contrapo-
sitivamente; assim, um polinômio p E K[X] \ K é irredutível se, e só 
se, a seguinte condição for satisfeita: 
p = gh, com g, h E K[X] ==} g E K ou h E K. (7.1) 
A fim de dar um sentido mais concreto ao conceito de polinômio 
irredutível, vejamos dois exemplos simples. 
Exemplo 7.6. É imediato, a partir de (7.1), que todo polinômio p E 
K[X] de grau 1 é irredutível; de fato, sendo p = gh, com g, h E K[X], 
segue da proposição 2.9 que âg+âh = âp = 1 e, daí, âg = O ou âh = O, 
í.e., g ou h é constante. Por outro lado, pelo teorema fundamental 
da álgebra (o teorema 3.24), os polinômios irredutíveis em C[X] são 
precisamente aqueles de grau 1. 
Exemplo 7. 7. Se p E JR[X] é irredutível sobre JR, então âp = 1 ou 2. 
De fato, de acordo com o problema 2, página 74, um número complexo 
z é raiz de p se, e só se, z também o for. Consideremos, pois, dois 
casos separadamente: 
( a) âp 2:: 3 e p tem pelo menos uma raíz real, a digamos: pelo teste 
da raíz (proposição 3.3) temos p(X) = (X - a)h(X), para algum 
h E JR[X] de grau 2, e p é redutível sobre JR. 
160 Fatoração de Polinômios 
(b) 8p 2': 3 e p tem duas raízes não reais conjugadas, digamos z e z: 
novamente pelo teste da raiz, temos p(X) = (X -z)(X -z)h(X), paraalgum polinômio h E C[X] de grau pelo menos 1. Mas, se z =a+ bi 
e g(X) = (X - z)(X - z), então 
g(X) = (X - a - bi)(X - a+ bi) = (X - a)2 + b2 E II[X]. 
Portanto, aplicando o algoritmo da divisão à divisão de p por g, con-
cluímos que h E II[X]. Assim, p = gh, com g, h E II[X] \ II, e p é 
redutível sobre II. 
Graças ao exemplo acima, doravante consideraremos a noção de ir-
redutibilidade de polinômios somente para polinômios sobre Q. Nesse 
sentido, um argumento análogo ao do item (a) do último exemplo 
acima permite concluir que, se p E Q[X] tem grau 2 ou 3, então p é 
irredutível sobre Q se, e só se, não tiver raízes em (Q (veja o problema 
3). 
Voltando ao conceito geral de polinômio irredutível, note que, se 
p E Q[X] \ Q é irredutível, então os únicos divisores de p ( em Q[X]) 
são os polinômios constantes e aqueles associados a p. Temos, pois, o 
seguinte resultado importante. 
Proposição 7.8. Seja p E Q[X] \ Q irredutível. Se !1, ... , Ík E Q[X] \ 
{O} são tais que p I fi ... Ík, então existe 1 :::::; i :::::; k tal que p I Íi· 
Prova. Por indução, basta mostrarmos que, se p I f g, com f, g E 
Q[X] \ {O}, então p I f ou p I g. Se p f f, afirmamos inicialmente que 
mdc (f,p) = 1; de fato, se d= mdc (f,p), então d I p, de forma que 
d E Q ou d é associado a p em Q[X]. Mas, se d for associado a p, 
então segue de d I f que p I f, o que é uma contradição. Logo, d E (Q 
e, daí, d= 1. 
Agora, pelo corolário 7.3, existem polinomios a, b E Q[X] tais que 
af + bp = 1, de sorte que 
a(f g) + (bg)p = g. 
7.1 Fatoração única em Q[X] 161 
Como p 1 (f g), segue da igualdade acima e do problema 4 que p I g, 
conforme desejado. D 
No que segue, mostraremos que todo polinômio f E Q[X] \ Q 
pode ser escrito unicamente, a menos de associação, como o produto 
de um número finito de polinômios irredutíveis. Mais precisamente, 
mostraremos que: 
(i) Existem polinômios irredutíveis p1, ... ,Pk E Q[X] \ Q tais que 
f = P1 .. ·Pk· 
(ii) Se q1, ... , q1 E Q[X] \ Q são também irredutíveis e tais que f = 
q1 ... q1, então k = l e, a menos de uma reordenação, Pi e qi são 
associados em Q[X]. 
Comecemos examinando a parte de existência. 
Proposição 7.9. Todo polinômio f E Q[X] \ Q pode ser escrito como 
produto de um número finito de polinômios irredutíveis sobre Q. 
Prova. Façamos indução sobre 8f, sendo o caso 8f = 1 imediato 
(já vimos que, nesse caso, f é irredutível). Por hipótese de indução, 
suponha o resultado verdadeiro para todo polinômio em Q[X] \ Q de 
grau menor que n, e tome f E Q[X] \ Q tal que a f = n. Se f for 
irredutível, nada há a fazer. Senão, podemos escrever f = gh, com 
g, h E Q[X]\Q. Logo, 8g, 8h < n, e a hipótese de indução garante que 
g e h podem ambos ser escritos como produtos de um número finito de 
polinômios irredutíveis sobre Q, digamos g = P1 ... Pi eh = Pi+l ... Pk· 
Então f = gh = P1 ... PiPi+l ... Pk, um produto finito de polinômios 
irredutíveis sobre Q. D 
O próximo resultado garante a validade da parte de unicidade ( a 
menos de associação) da representação de um polinômio não constante 
sobre Q como produto de polinômios irredutíveis. 
162 Fatoração de Polinômios 
Proposição 7.10. Se Pi, ... ,Pk, q1, ... , qz E Q[X] \ Q são irredutí-
veis e tais que p1 ... Pk = Q1 ... qz, então k = l e, a menos de uma 
reordenação, Pi e Qi são associados sobre Q. 
Prova. Se k = 1, temos p1 = q1 ... qz, e a irredutibilidade de p1 
garante que l = 1. Analogamente, l = 1 ::::} k = 1. Suponha, pois, 
k, l > 1; como Pk I q1 ... qz, a proposição 7.8 garante a existência de 
1 ::;; j ::;; l tal que Pk I qj. Suponha, sem perda de generalidade, j = l. 
Como qz é irredutível e Pk ~ Q, a única possibilidade é que Pk e q1 
sejam associados, digamos Pk = uq1, com u E Q \ {O}. Então 
com q~ = Qi para 1 ::;; i < l - 2 e qf-1 = uq1_ 1 , todos irredutíveis sobre 
Q. 
Por indução sobre max{k, l}, temos k-l = l-l e, a menos de uma 
reordenação, Pi associado a q~ para 1 ::;; i ::;; l - 1. Portanto, a menos 
de uma reordenação, Pi e Qi são também associados sobre Q. D 
Resumimos as duas proposições acima dizendo que, em Q[X], te-
mos fatoração única. Assim como em Z, se f E Q[X] \ Q é tal que 
f = P1 · · ·Pk, 
com p1 , ... ,Pk E Q[X] \ Q irredutíveis, então, reunindo os fatores Pi 
iguais a menos de associação, obtemos 
(7.2) 
com q1, ... , qz E Q[X]\Q irredutíveis e dois a dois não associados, e a 1, 
... , a1 EN. A expressão (7.2) (também única a menos de associação) 
é a fatoração canônica de f em Q[X], e q1 , ... , qz são os fatores 
irredutíveis de f em Q[X]. 
Fatoração única em Q[X] 163 
Problemas - Seção 7 .1 
1. * Complete a prova do teorema 7.2. 
2. Sejam f, g E Q[X] \ Q polinômios tais que 
onde Pi, ... ,Pk, Q1, ... , Ql e r 1 , ... , rm são polinômios mônicos e 
irredutíveis, dois a dois não associados, e ai, a~, (3j, f3; E N. 
Prove que 
mdc (!, g) = p]1 .. ·Pl/, 
com 'Yi = min{ ai, [3i}, para 1 ::;; i::;; k. 
3. * Se p E Q[X] é um polinômio de grau 2 ou 3, prove que p é 
irredutível sobre Q se, e só se, p não tiver raízes em Q. 
4. * Se J, g, h E Q[X] \ {O} são tais que f I g, h, prove que f divide · 
ag + bh, para todos a, b E Q[X]. 
5. Se f E JR[X] \ lR tem grau maior que 1, prove que f pode ser 
escrito, de maneira única a menos de associação, como produto 
de um número finito de polinômios irredutíveis sobre R 
6. O objetivo deste problema é estabelecer a existência de decom-
posições de quocientes de polinômios em frações parciais. Para 
tanto, sejam dados f, g E K[X] \ {O}. 
(a) Se 8 f < og e g = gf 1 ••• g~k é a fatoração canônica de 
g em polinômios irredutíveis de K[X], prove que existem 
polinômios J1, ... , Ík em K[X], tais que Íi = O ou ofi < 
o(g;j), para 1 ::;; j ::;; k, e 
k 
t = L 1j" 
g j=l gj 
164 
7.2 
Fatoração de Polinômios 
(b) Se 9 é irredutível sobre K e k 2: 1 é inteiro, prove que 
existem polinômios q, r 1, ... , rk E K[X], com rj = O ou 
arj < 89, tais que 
k f ~r-
k = q+ L.....J --2. 
9 j=l 9J 
Fatoração única em Z[X] 
Estudamos, na seção anterior, o problema de fatoração única para 
polinômios com coeficientes racionais. Nesta seção, estendemos a aná-
lise de tal problema a polinômios com coeficientes inteiros. Nesse 
sentido, a definição a seguir se revelará crucial. 
Definição 7.11. Se f E Z[X] \ {O}, o conteúdo e(!) de f é o mdc 
de seus coeficientes não nulos. Se e(!) = 1, dizemos que f é um 
polinômio primitivo em Z[X]. 
Por simplicidade de notação, se f 
Z[X] \ {O}, denotamos 
e(!) = mdc (ao, ... , an)· 
O lema a seguir, cuja prova deixamos ao leitor (veja o problema 
1), estabelece duas propriedades úteis do conceito de conteúdo de um 
polinômio de coeficientes inteiros. 
Lema 7.12. 
(a) Se f E Z[X] \ {O} e a E Z \ {O}, então c(af) = lal · e(!). Em 
particular, existe 9 E Z[X] \ {O} primitivo tal que f = c(J)9. 
(b) Se f E Q[X] \ {O}, então, a menos de multiplicação por -1, 
existem únicos a, b E Z\ {O} primos entre si e 9 E Z[X] primitivo 
tais que f = (a/b)9. 
7.2 Fatoração única em Z[X] 165 
A importância do conceito de conteúdo de um polinômio de coe-
ficientes inteiros reside no papel chave que o mesmo desempenha no 
estudo de polinômios irredutíveis sobre Z, a começar pela definição 
dos mesmos. • 
Definição 7.13. 2 Um polinômio p E Z[X] \ Z é irredutível sobre 
Z se p for primitivo e não puder ser escrito como produto de dois 
polinômios não constantes em Z[X]. Um polinômio primitivo p E 
Z[X] \ Z que não é irredutível é dito redutível sobre Z. 
Novamente, é útil refrasear a condição de irredutibilidade de poli-
nômios de coeficientes inteiros contrapositivamente, de modo que um 
polinômio primitivo p E Z[X] \ Z é irredutível se, e só se, a seguinte 
condição for satisfeita: 
p = 9h, com 9, h E Z[X] =} 9 = ±1 ou h = ±1. (7.3) 
A proposição a seguir é conhecida como o lema de Gauss. 
Proposição 7.14 (Gauss). Para f, 9 E Z[X] \ Z, temos que: 
(a) c(f 9) = c(f)c(9). Em particular, f9 é primitivo se, e só se, f e 
9 o forem3 . 
(b) Se f é primitivo, então f é irredutível em Z[X] se, esó se, o 
for em Q[X]. 
(c) Se f e 9 forem primitivos e associados em Q[X], então f = ±9. 
Prova. 
(a) Pelo lema 7.12, se f = c(f)f1 e 9 = c(9)91, então f1,91 E Z[X] são 
primitivos e f 9 = c(f)c(9)f191, de modo que c(f 9) = c(f)c(9)c(J1g1). 
2 Apesar da definição que adotamos aqui para polinômios em Z[X] irredutí-
veis ser ligeiramente mais restritiva que a usualmente encontrada na literatura 
( conforme [28], por exemplo), ela será suficiente para nossos propósitos. 
3Para uma outra prova, veja o problema 7, página 178. 
' 1 
166 Fatoração de Polinômios 
Portanto, basta mostrarmos que f 191 é primitivo, ou, o que é o mesmo, 
que 
f, 9 primitivos {:} f 9 primitivo. 
Se f não for primitivo, existe p E Z primo tal que p divide todos os 
coeficientes de f. Então, p divide todos os coeficientes de f 9, e f 9 não 
é primitivo. Analogamente, se 9 não for primitivo, então f 9 também 
não é primitivo. 
Reciprocamente, suponha que J(X) , amXm + · · · + a1X + ao e 
9(X) = bnXn + · · · + b1X + b0 são primitivos mas f9 não o é. Tome 
p E Z primo tal que p divide todos os coeficientes de f 9, e sejam. 
k, l 2:: O os menores índices tais que p f ak, bz ( tais k e l existem, uma 
vez que f e 9 são primitivos). Denotando por ck+l o coeficiente de 
Xk+l em f9, segue que 
Ck+l = · · '+ ak-2bl+2 + ªk-lbl+l + akbl + ak+lbl-1 + ak+2bl-2 + ... · 
Agora, como p I ck+l e p I a0 , ... , ªk-1, bo, ... , bz-1, a igualdade acima 
garante que p I akbl, o que é uma. contradição. 
(b) A implicação ~) é clara. Reciprocamente, tome f E Z[X] \ Z 
primitivo e suponha que f é redutível em Q[X], digamos f = 9h, com 
9, h E Q[X] \ (Q. Pelo lema 7.12, podemos tomar a, b, c, d E Z\ {O} tai& 
que 9 = (a/b)91 eh= (c/d)h1 , com 91 , h1 E Z[X] primitivos. Então, 
bdf = b9 · dh = a91 · ch1 = ac91h1. 
Mas, como 91h1 é primitivo pelo item (a), tomando conteúdos na igual-
dade acima obtemos lbdl · c(f) = lacl. Logo, : = ±c(f) E Z, e segue 
novamente da igualdade acima que f = ±c(f)91h1 , i.e., fé redutível 
emZ[X]. 
(c) Se f = (a/b)9, com a, b E Z \ {O}, então bf = a9 e, tomando 
conteúdos, obtemos lbl · c(f) = lal · c(9). Mas, uma vez que c(f) = 1 
e c(9) = 1, segue que lal = lbl, de sorte que a/b = ±1. D 
7.2 Fatoração única em Z[X] 167 
Podemos, finalmente, enunciar e provar um celebrado resultado de 
Gauss, o qual se constitui, para polinômios de coeficientes inteiros, no 
análogo das proposições 7.9 e 7.10. 
Teorema 7.15 (Gauss). Todo polinômio primitivo f E Z[X] \ Z pode 
ser escrito como produto de um número finito de polinômios irredutí-
veis em Z[X]. Ademais, tal maneira de escrever f é única a menos de 
uma reordenação dos fatores e de multiplicação de alguns dos mesmos 
por -1. 
Prova. Mostremos primeiramente a existência da fatoração em irre-
dutíveis: vendo f como polinômio em (Q[X], segue da proposição 7.9 
a existência de polinômios irredutíveis p1, ... ,Pk E (Q[X] \ (Q tais que 
f ..:_ P1 .. ·Pk· Escreva Pi= (adbi)qi, com ai, bi E Z \ {O} relativamente 
primos e Qi E Z[X] \ Z primitivo. Como Qi também é obviamente 
irredutível em Q[X], segue do item (b) do lema de Gauss que Qi é. 
irredutível em Z[X]. Sendo a = a1 ... ak e b = b1 ... bk, temos então 
que 
f = (a/b)q1 ... Qk· 
Mas, como q1, ... , Qk são todos primitivos, o item (a) do lema de Gauss 
garante que q1 ... Qk também é primitivo. Assim, tomando conteúdos 
na igualdade acima, obtemos 
Portanto, segue que a/b = ±1 e, daí, f = q1 ... Qk, um produto de 
polinômios irredutíveis de Z[X]. 
A prova da parte de unicidade do enunciado é essencialmente idên-
tica à prova da proposição 7.10, uma vez que provemos o seguinte: se 
p, f, 9 E Z[X] \ Z são tais que p é irredutível e p I f 9 em Z[X], então 
p I f ou p 19 em Z[X]. Para tanto, note inicialmente (novamente pelo 
item (b) do lema de Gauss) que p também é irredutível em (Q[X] e, 
assim sendo, já sabemos que p I f ou p 1 9 em Q[X]. Se p I f em (Q[X] 
168 Fatoração de Polinômios 
(o outro caso é análogo), existe li E Q[X] tal que f = liP· Tomando 
a, b E Z tais que li= (a/b)h, com Í2 E Z[X] \ Z primitivo, temos 
bf = bf1P = af2p. 
Agora, p e Í2 primitivos implica (uma vez mais pelo item (a) do lema 
de Gauss) em Í2P primitivo e, tomando conteúdos na igualdade acima, 
obtemos lbl · c(f) = lal · c(f2p) = lal. Portanto, a/b = ±e(!) E Z, de 
maneira que fi E Z[X] e p I f em Z[X]. D 
Problemas - Seção 7.2 
1. * Prove o lema 7.12. 
2. * Seja f E Z[X] um polinômio mônico e não constante. Se fé 
redutível sobre Q, prove que existem polinômios mônicos e não 
constantes g, h E Z[X], tais que f = gh. 
7.3 Polinômios sobre Zp 
Vimos, à seção 6.2 de [14], que, para p primo, o conjunto Zp das 
classes de congruência módulo p pode ser munido com operações de 
adição, subtração, multiplicação e divisão bastante similares às suas 
análogas em C. Tal semelhança faz com que praticamente todos os 
conceitos e resultados sobre polinômios estudados até o momento con-
tinuem válidos no conjunto Zp[X] dos polinômios com coeficientes em 
Zp. 
Nosso propósito aqui é comentar explicitamente algumas seme-
lhanças e diferenças entre polinômios sobre Zp e sobre K, com K = Q, 
R ou C, deixando ao leitor a tarefa de checar que todos os demais 
resultados e definições para K[X] apresentados no texto (exceto por 
7.3 Polinômios sobre Zp 169 
aqueles das seções 3.3 e 6.2 e do capítulo 5) são válidos ipsis literis 
para Zp[X]. Aproveitamos também para deduzir, com o auxílio de 
polinômios sobre Zp, alguns resultados de teoria dos números e com-
binatória não acessíveis pelos métodos de que dispomos até o presente 
momento. Em particular, demonstramos a existência de raízes pri-
mitivas módulo p, completando, assim, a discussão da seção 7.2 de 
[14]. 
Dado /(X)= anxn+· · ·+a1X +ao E Z[X], denote por f E Zp[X] 
o polinômio 
(7.4) 
onde a0 , a1, ... , "an denotam, respectivamente, as classes de congruên-
cia de a0 , a1 , ... , an, módulo p. 
A correspondência f r-+ f define uma aplicação 
1rP: Z[X] 
f 
a qual é obviamente sobrejetiva, sendo denominada a projeção de 
Z[X] sobre Zp[X]. Para f, g E Z[X], é imediato verificar que 
f (X) = g(X) em Zp[X] 
t 
:3h E Z[X]; f(X) = g(X) + ph(X) em Z[X]. 
Equivalentemente, denotando 
pZ[X] = {ph; h E Z[X]}, 
temos 
f = O {:} f E pZ[X]. 
Estendemos as operações de adição e multiplicação de Zp a ope-
rações homônimas+,· : Zp[X] x Zp[X] --+ Zp[X] pondo, para/, g E 
Z[X], 
1 + g = f + g e f · g = fg. 
170 Fatoração de Polinômios 
Deixamos a cargo do leitor a verificação da boa definição da adição e 
da multiplicação de Zp[X], a qual pode ser feita de maneira análoga 
à verificação da boa definição das operações de Zp ( de acordo com a 
seção 6.2 de [14); veja também o problema 1, página 177). 
Assim como em Z[X] 1 dizemos que um polinômio f E Zp[X) \ {Õ} 
como em (7.4) tem grau n se <in-=/=- Õ, i.e., se p f ªn· Mais geralmente, 
se f E Z[X] \pZ[X], então]-=/=- Õ e 8f ~ 8f. 
Os dois exemplos a seguir utilizam a multiplicação de polinômios 
em Zp [ X) para provar propriedades interessantes de números binomi-
ais. 
Exemplo 7.16. Se p é um número primo e k é um inteiro positivo, 
prove que (~k) é múltiplo de p, para 1 ~ j < pk. 
Prova. Pelo exemplo 1.41 de [14), já sabemos que (X+ I)P =XP+ I 
em Zp[X). Por hipótese de indução, suponha que, para algum l EN, 
tenhamos provado que 
em Zp[X). Então, aplicando sucessivamente o caso inicial e a hipótese 
de indução, obtemos 
(X+ I/+1 =(XP+ Ii = (XPi +I = XPl+l + I. 
Por outro lado, também temos 
de modo que, para 1 ~ j < pk, temos (~k) = Õ; daí, p divide o número 
binomial (~k). D 
Exemplo 7.17 (Romênia). Prove que o número de coeficientes bino-
miais ímpares na n-ésima linha do triângulo de Pascal é uma potência 
de 2. 
7.3 Polinômios sobre Zp 171 
Prova. Seja (de acordo com o exemplo 5.12 de [10)) 
a representação binária de n, onde O ~ a0 < a1 < · · · < ªk· Pelo 
exemplo 7.16, temos em Z2 [X) que 
(X+ It =(X+ I)2ªk (X+ I)2ªk-1 ... (X+ I)2ª0 
= (X2ªk + I)(X2ªk-1 + I) ... (X2ª0 + I). 
(7.5) 
Sendo S o conjunto dos númerosformados a partir de somas de 
potências distintas de 2, escolhidas dentre as potências 2ªk, 2ªk-i, ... , 
2ª1 e 2ªº, temos pelo princípio fundamental da contagem e pela unici-
dade da representação binária de naturais, que ISI = 2k+1; por outro 
lado, efetuando os produtos da última expressão de (7.5), obtemos 
(X+It=Lxm, (7.6) 
mES 
uma soma com exatamente 2k+1 parcelas. Mas, uma vez que a fórmula 
de expansão binomial fornece 
(7.7) 
comparando as expressões (7.6) e (7.7), concluímos que exatamente 
2k+1 dentre os números binomiais da forma (;) ( os quais compõem a 
n-ésima linha do triângulo de Pascal) são tais que (;) -=/=- Õ, i.e., são 
~~ffi. D 
Para definir a função polinomial associada a um polinômio f E 
Zp[X] temos que ter alguns cuidados. Note inicialmente que, se f E 
Z[X] e a, b E Z são tais que a = b (modp), então o item (e) da 
proposição 5.6 de [14) garante que 
f(a) f(b) (modp); 
172 Fatoração de Polinômios 
por outro lado, se f = g em Zp[X], vimos acima que existe h E Z[X] 
tal que f(X) = g(X) + ph(X). Portanto, para a E Z, temos 
f(a) = g(a) + ph(a) g(a) (modp). 
Dado f E Zp[X], os comentários acima permitem definir a função 
polinomial associada f : Zp --+ Zp pondo, para a E Z, 
!(a) = g(a), (7.8) 
onde g E Z[X] é qualquer polinômio tal que f = g. Obviamente, a 
imagem de f é um conjunto finito, uma vez que o próprio Zp o é. . 
Doravante, sempre que não houver perigo de confusão, escreveremos 
(7.8) simplesmente como 
](a) = f(a). 
O exemplo a seguir mostra que, contrariamente ao que ocorre com 
polinômios sobre (Q, lR. ou C, a função polinomial associada a um 
polinômio não nulo em Zp[X] pode ser identicamente nula. Em parti-
cular, não é mais válido que dois polinômios sobre Zp só terão funções 
polinomiais iguais quando forem eles mesmos iguais. 
Exemplo 7.18. O polinômio f(X) = XP - X E Zp[X] é claramente 
um elemento não nulo de Zp[X]. Por outro lado, denotando por f : 
ZP--+ ZP a função polinomial associada ao mesmo, temos pelo pequeno 
teorema de Fermat (veja {14]) que 
](a) = aP - a= aP - a = õ, 
para todo a E Zp. Assim, f é a função identicamente nula. 
Sejam dados f E Z[X] e a E Z. Como na seção 3.1, dizemos que 
a E Zp é uma raiz de f se f(a) = Õ. Uma rápida inspeção da prova 
do teste da raiz mostra que o mesmo continua válido em Zp[X]. Em 
particular, obtemos, a partir do exemplo acima, o seguinte resultado 
importante. 
7.3 Polinômios sobre Zp 173 
Proposição 7.19. Em Zp[X], temos 
XP- 1 - I = (X - I)(X - 2) ... (X - (p-1)). 
Prova. Como I, 2, ... , p - 1 são raízes de xp-I _ I em Zp (novamente 
pelo pequeno teorema de Fermat), o item (c) da proposição 3.3 ga-
rante que xp-l - I é divisível em Zp[X] pelo polinômio (X - I)(X -
2) ... (X - (p - 1)). Mas, como ambos tais polinômios são mônicos e 
têm grau p - 1, segue que 
xp-i - I = ( X - I) ( X - 2) ... ( X - (p - 1)). 
D 
Em Zp[X], as definições e resultados da seção 7.1 mantém-se com-
pletamente. Em particular, podemos enunciar o seguinte teorema, 
cuja prova é totalmente análoga às provas das proposições 7.9 e 7.10. 
Teorema 7.20. Se p E Z é primo, então todo polinômio f E Zp[X] \ 
Zp pode ser escrito, de maneira única a menos de reordenação e asso-
ciação, como produto de um número finito de polinômios irredutíveis 
sobre Zp[X]. 
Como primeira aplicação do resultado acima, provamos, a seguir, 
a existência de raízes primitivas módulo p.4 Para o enunciado e prova 
do mesmo, sugerimos ao leitor rever o material da seção 7.2 de [14]. 
Teorema 7.21. Se p é um primo ímpar e d é um divisor positivo de 
p - 1, então a congruência 
xp-I - 1 - O (modp) (7.9) 
tem exatamente r.p(d) raízes de ordem d, duas a duas incongruentes 
módulo p. Em particular, p possui raízes primitivas. 
4Para comodidade do leitor, recordamos que um inteiro a, não divisível por um 
primo p, é denominado uma raiz primitiva módulo p se p - 1 for o menor inteiro 
positivo k satisfazendo a congruência ak = 1 (modp). 
174 Fatoração de Polinômios 
Prova. Para d divisor positivo de p - 1, seja N(d) o número de raí-
zes da congruência (7.9), com ordem d e duas a duas incongruentes, 
módulo p. Uma vez que as raízes da congruência (7.9) são os inteiros 
1, 2, ... ,p- l e (pela proposição 7.2 de [14]) cada um de tais números 
. tem ordem igual a um divisor de p - 1, concluímos que 
L N(d) =p-1. 
O<dl(p-1) 
Portanto, se mostrarmos que N(d) :S cp(d), seguirá da proposição 3.11 
de [14] que 
p- l = L N(d):::;; L cp(d) =p- l 
O<dl(p-1) O<dl(p-1) 
e, daí, que N(d) = cp(d), para todo divisor positivo d de p - 1. 
Seja, então, d um divisor positivo de p - 1. Se N(d) = O, é claro 
que N(d) :::;; cp(d). Senão, seja a um inteiro de ordem d, módulo p; 
então, as classes I, a, ... , a:J,-1 E Zp são raízes duas a duas distintas 
do polinômio Xd - I E Zp[XJ. Por outro lado, o corolário 3.8 garante 
que tal polinômio possui no máximo d raízes em Zp, de sorte que suas 
raízes são exatamente I, a, ... , a:J,-1 . Portanto, se a E Z for uma 
raiz de ordem d de (7.9), então a E ZP é raiz de Xd - I E Zp[X], de 
sorte que a E {I, a, ... , a;d-l }. Assim, as raízes de ordem d de (7.9) 
são exatamente os elementos de ordem d do conjunto {1, a, ... , ad-l} 
e, daí, 
N(d) = #{O :S k :S d - 1; ordp(ak) = d}. 
O item (c) da proposição 7.5 de [14] conta o número de elementos do 
segundo membro acima: como ordp(a) = d, temos 
7.3 Polinômios sobre Zp 
portanto, 
#{O :S k :S d - 1; ordp(ak) =d}= 
=#{O:::;; k:::;; d-1; mdc(d,k) = 1} 
= cp(d) . 
175 
Assim, N(d) = O ou cp(d) e, em qualquer caso, temos N(d) :S cp(d), 
conforme desejado. 
Para o que falta, basta notar que N(p - 1) = cp(p - 1), ou seja, 
há exatamente cp(p - 1) inteiros, dois a dois incongruentes, módulo 
p, e com ordem p - 1 = cp(p), módulo p; de outro modo, há exata-
mente cp(p-1) raízes primitivas, módulo p, duas a duas incongruentes, 
módulo p (veja que este resultado concorda com a proposição 7.8 de 
[14]). D 
Terminamos esta seção exibindo mais uma aplicação da teoria de 
polinômios sobre Zp à Teoria dos Números. 
Exemplo 7.22 (Miklós-Schweitzer). Se p > 3 é um primo tal que 
p = 3 (mod4), prove que 
II (x2 + y2 ) _ 1 (modp). 
l~x/y~p;l 
Prova. Em tudo o que segue, salvo menção em contrário os índices 
dos produtórios apresentados variam de 1 a P;1. 
Se P denota o produto do primeiro membro, então 
t',,\' .;,·,: 
176 Fatoração de Polinômios 
Agora, para 1 ::; k ::; P;1, denote por ck o inverso de k, módulo p. 
Módulo p, tem-se 
De fato, a primeira congruência é imediata e, para a segunda, basta 
observar que { ( ckx )2; 1 ::; x ::; P;1} é um conjunto de P;1 resíduos qua-
dráticos dois a dois incongruentes, módulo p; portanto, {(ckx)2; 1 ~ 
x < p-l} = {x2 · 1 < x < p-l} módulo p. 
-2 ' - -2' 
Segue então que, módulo p, 
l'.::.! 2 2 p- 2 2 p- 2 2 ( 1)2 ( 1)2 E.::! 2 2 .1 . 2 . .. . . - 2- P = 1 . 2 . .. . . - 2- (II (x + 1)) 
ou, ainda, 
p-1 
29 P - (Il(x2 + 1))-2 
Sejam a uma raiz primitiva, módulo p, e Q = f1(x2 + 1). Uma vez 
que { a 2\ 1 ::; k ::; P;1 } é um conjunto de P;1 resíduos quadráticos 
dois a dois incongruentes, módulo p, temos { a 2\ 1 ::; k ::; P;1 } = 
{x2 ; 1::; x::; P;1 }, módulo p, de sorte que 
(7.10) 
A fim de calcular o resíduo de Q, módulo p, seja f E Z[X] definido 
por 
de maneira que 
p-1 
Q (-1)-2 f(-1) _ -f(-l) (modp) 
(aqui, utilizamos o fato de que p = 3 (mod4) na segunda congruência 
acima). 
7.3 Polinômios sobre Zp 177 
Agora, observe que 
f(X2) = (X-a)(X-a2) ... (X-a~)(X +a)(X +a2) ... (X +a9). 
Para 1 ::; i,j ::; P;1 , se ai= -ai (modp), então a 2i a 2i (modp), e 
segue de a ser uma raiz primitiva, módulo p, que 2i = 2j ou, ainda, 
i = j; mas, assim sendo, teríamos ai -ai (modp), o que é um 
absurdo. Então, o conjunto { ±a, ±a2, .•• , ±a9} é um SCI5 , módulo 
p, de sorte que coincide, módulo p, com {1, 2, ... ,P - 1}. Portanto, 
denotando por] E Zp[X] a imagem de f pela projeção de Z[X] sobre 
Zp[X], temos 
](X2) = (X - I)(X - 2) ... (X - p- 1) = XP- 1 - I 
e, daí, 
- p-1 -f (X) = x-2 - 1. 
Mas, comop 3 (mod4), segue que 
Q = -1(-I) = -(-I)9 - I = 2, 
i.e., Q = 2 (modp). 
Por fim, substituindo essa informação em (7.10), obtemos a con-
gruência 29 P - 29 (modp) e, a partir dela, P 1 (modp). D 
Problemas - Seção 7.3 
1. * Fixado um primo p, verifique a boa definição das operações 
de adição e de multiplicação de Zp[X]. Mostre também que 
tais operações são associativas e comutativas, possuem elementos 
neutros respectivamente iguais a Õ e I e que a multiplicação é 
distributiva em relação à adição. 
5Recorde que um sistema completo de invertíveis (abreviamos SCI), módulo p, 
ê um conjunto { a 1 , a 2 , •.. , ap-l de inteiros tais que, a menos de uma permutação, 
temos ªi = j (modp). 
178 Fatoração de Polinômios 
2. * Se f E Z[X] e a E Z é raiz de f, prove que a E Zp é raiz de 
f E Zp[X]. Em particular, conclua que, se a1, ... , ak E Zp são 
as raízes de f, então existe 1 ~ j ~ k tal que a - ªi (modp). 
3. Ache, se houver, as raízes em Z3 do polinômio X 2 - 2X + I E 
Z3[X]. 
4. Fatore X 2 + 3 em Z1[X]. 
5. Mostre que o polinômio f (X) = X 3 -15X2 + lOX - 84 não tem 
raízes racionais. 
6. * Se p E Zé primo e f E Z[X], prove que J(XP) = J(X)P. 
7. * Use a projeção 1r : Z -+ Zp para provar que, se f, g E Z[X] \ Z 
são polinômios primitivos (conforme a definição 7.11), então fg 
também o é. 
8. * Seja p 2:: 3 primo e, para 1 ~ j ~ p-1, seja sj(l, 2, ... ,p-1) 
a j-ésima soma simétrica elementar dos números 1, 2, ... , p - 1. 
Prove que: 
(a) Para 1 :$ j~ p- 2, temos sj(l, 2, ... ,P - 1) - O (modp). 
(b) sp_1(1, 2, ... ,P - 1) - -1 (modp). 
9. * Se a, f! e e são as raízes complexas do polinômio X 3 -3X2 + 1, 
mostre que, para todo n E N, a soma an + bn + cn é inteira e 
deixa resto 1 quando dividida por 17. 
7.4 Irredutibilidade de polinômios 
Até o momento, não temos à disposição modo algum de.determinar 
se um dado polinômio é ou não irredutível. É claro que, em exemplos 
práticos, pode-se, às vezes, utilizar para tal fim o método direto, qual ' 
Z.4 Irredutibilidade de polinômios 179 
seja, escrever um polinômio dado f ( digamos em Z[X]) como produto 
de dois outros g e h e, resolvendo ó sistema de equações resultante 
nos coeficientes de g e h, obter uma fatoração para f ou chegar a 
uma contradição. A seguir, exemplificamos tal procedimento (veja, 
também, os problemas 1 e 2). 
Exemplo 7.23. Prove que f(X) = X 4+10X3+5X +1993 é irredutível 
sobre Q. 
Prova. Pelo lema de Gauss, é suficiente mostrar que f não pode ser 
escrito como produto de dois polinômios não constantes e de coefi-
cientes inteiros. Para tanto, observe inicialmente que 1993 é primo 
(pelo critério de Eratóstenes, por exemplo);_ portanto, pelo critério de 
pesquisa de raízes inteiras, as possíveis raízes inteiras de f são ±1 ou 
±1993, e uma verificação direta garante que f não possui raízes in-
teiras. Resta, pois, descartarmos a possibilidade de fatoração de f na 
forma 
f(X) = (X2 + aX + b)(X2 + cX + d), 
com a, b, e, d E Z. Se tal ocorrer, então, desenvolvendo o produto do 
segundo membro e igualando os coeficientes obtidos aos corresponden-
tes do primeiro membro, ~btemos o sistema de equações 
a+c=lO 
ac+b+d=O 
ad+bc=5 
bd = 1993 
A quarta equação, juntamente com a primalidade de 1993 e a sime-
tria da fatoração de f, nos fornecem as possibilidades essencialmente 
distintas (b, d) = (1, 1993) ou (-1, -1993). Portanto, a primeira e a 
terceira equações fornecem um dos sistemas de equações 
{ a+c=lO 
a+ 1993c = 5 
{ a+c= 10 ou . 
a+ 1993c= -5 
180 Fatoração de Polinômios 
Por fim, é imediato verificar que nenhum de tais sistemas possui solu-
ções inteiras. D 
Conforme atestam os cálculos executados no exemplo acima, a ve-
rificação, pelo método direto, de que um polinômio f E (Q[X] dado 
é irredutível sobre (Q esbarra em dificuldades computacionais consi-
deráveis, mesmo no caso em que f tem coeficientes inteiros e grau 
pequeno. Faz-se, pois, necessário desenvolvermos técnicas apropriadas 
ao tratamento de questões ligadas à irredutibilidade de polinômios. 
Nesse sentido, comecemos com o seguinte resultado. 
Proposição 7.24. Sejam f E Z[X] primitivo e mônico e p E Z primo. 
(a) Se f E Zp[X] é irredutível em Zp[X], então f é. irredutível em 
Z[X]. 
{b) Se J(X) (X - a)f1(X), com ] 1 E Zp[X] irredutível, então 
ou f é irredutível em Z[X] ou f tem uma raiz a E Z tal que 
a - a (modp). 
Prova. 
(a) Por contraposição, suponha f(X) = g(X)h(X), com g, h E Z[X] \ 
Z mônicos. Então, ](X)= g(X)h(X), com ãg = 8g e 8h = 8h. 
(b) Suponha f redutível, digamos J(X) = g(X)h(X), com g, h E 
Z[X] \ Z mônicos. Então, ãg = 8g, 8h = 8h e 
(X - a)f1 (X) = g(X)h(X). 
Mas, uma vez que ] 1 é irredutível em Zp[X], segue do teorema 7.20 
que g ou h deve ser associado a X - a e, daí, que 8g = 1 ou 8h = 1. 
Suponha, sem perda de generalidade, que 8g = 1. Então, g(X) = 
X - a e g (logo, f) tem uma raiz a E Z. Por fim, é claro que a = a. O 
7.4 Irredutibilidade de polinômios 181 
Exemplo 7.25. Seja p E Z primo e k EN tais que p 5(mod6) e 
kp+ 1 é primo. Prove que f(X) = X 3 +pX2+pX +kp+ 1 é irredutível 
emZ[X]. 
Prova. Projetando em Zp[X], temos 
](X) = X 3 + I = (X+ T)(X2 - X+ I). 
Afirmamos inicialmente que - I é a única raiz de f em Zp. De 
fato, se ](a) = O, então a3 = -I e, daí, a3 = -1 (modp); assim, 
a6 _ 1 ( mod p), de maneira que 
ordp(a) J mdc (6,p - 1) = 2, 
i.e., ordp(a) = 1 ou 2. Mas, como ordp(a) = 1 ==> a = I, o qual 
não é raiz de], devemos ter ordp(a) = 2. Então, a2 1 (modp) e 
a "t=- 1 (modp), de sorte que a - -1 (modp) ou, ainda, a= -I. 
Segue da afirmação acima que X 2 - X+ I não tem raízes em Zp [X] 
e, portanto, é irredutível em Zp[X]. A proposição anterior assegura, 
então, que ou f é irredutível em Z[X] ou f tem uma raiz a E Z tal 
que a - -1 (modp). Mas, pelo critério de pesquisa de raízes racionais 
(proposição 3.16), uma raiz a de f deve dividir kp + 1, que é primo, 
de forma que a = -1 ou a = -( kp + 1). Testando tais possibilidades, 
obtemos uma contradição. D 
Observação 7.26. Fixado p E N, estabeleceremos na seção 8.2 a 
existência. de infinitos k E Z tais que kp + 1 seja primo. 
O teorema a seguir e, mais precisamente, seu corolário, o critério 
de Eisenstein, se constitui em poderoso aliado na tarefa de garantir 
a irredutibilidade de certos polinômios. 
Teorema 7.27 (Eisenstein). Seja f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 
um polinômio de grau n 2: 1 e com coeficientes inteiros. Sejam ainda 
p E Z primo e 1 ::; k < n inteiro tais que: 
1 
! 
1 
1 
182 Fatoração de Polinômios 
(a) p I ao,al,···,ªk· 
(b) p2 fao epfan. 
Se f = gh, com g, h E Z[X], então ao menos um dentre g eh tem 
grau maior ou igual a k + 1. 
Prova. Se f(X) = g(X)h(X), com g(X) = brXr + · · · + b0 e h(X) = 
c8 X 8 + · · · + co polinômios em Z[X], então an = brcs e ao = boc0 . 
Portanto, 
P f an '* P f brCs =* p f br e p f C8 , 
de maneira que, em Zp[X], temos ](X) = g(X)h(X), com ãg = âg = 
r e âh = âh = s. Ademais, se X I g(X) e X I h(X) em Zp[X], 
então p I bo e p I Co em Z, de sorte que p2 1 b0c0 = a0 , o que é um , 
absurdo. Portanto, em Zp[X], o polinômio X divide no máximo um 
dos polinômios g ou h, e segue de , 
g(X)h(X) = J(X) = cinXn + · · · + ak+1Xk+1 
= (anxn-k-1 + ... + ªk+1)Xk+1 
que Xk+1 1 g(X) ou Xk+1 i h(X). Logo, r ~ k + 1 ou s ~ k + 1. D 
Corolário 7.28 (Eisenstein). Seja f(X) = anXn+· · ·+a1X +ao um 
polinômio de grau n ~ 1 e com coeficientes inteiros. Se existe p E Z 
primo tal que p I ao, a1, ... , ªn-1, p2 f ao e p f an, então f é irredutível 
em (Q[X]. 
Prova. Pelo teorema anterior, se f(X) = g(X)h(X), com g, h E 
Z[X], então âg ~ n ou âh ~ n, de maneira que h ou g é constante. 
Assim, f não pode ser escrito como o produto de dois polinômios não 
constantes de coeficientes inteiros, e segue do lema de Gauss que f é 
irredutível em (Q[X]. D 
Colecionamos, no exemplo a seguir, uma aplicação clássica do co-
rolário acima, a qual será reobtida, por outros métodos e em maior 
generalidade, na seção 8.2. 
7.4 Irredutibilidade de polinômios 183 
Exemplo 7.29. Se p E Z é primoe f E Z[X] é o polinômio definido 
por 
f(X) = xp-l + xp-2 + ... + x + 1, 
então f é irredutível sobre (Q. 
(7.11) 
Prova. Observando, inicialmente, que f(X) = g(X)h(X) se, e só se, 
f(X + 1) = g(X +l)h(X + 1), concluímos ser suficiente provar que 
f(X + 1) é irredutível em Q[X]. Mas, como (X - l)f(X) = XP - 1, 
temos 
Xf(X + 1) =(X+ l)P - 1 
= XP + (f) XP-1 + ... + ~ ~ l) X 
e, daí, 
f(X + 1) = xp-l + (f )xp-2 + · · · + (P ~ 1). 
Agora, lembre-se ( conforme exemplo 1.41 de [14]) de que p 1 (f), para 
1 :S k :S p - 1, de modo que podemos aplicar o critério de Eisenstein 
com o primo p para concluir pela irredutibilidade de f(X + 1) em 
({]~. D 
Em que pese a teoria desenvolvida acima, frequentemente estabe-
lecemos a irredutibilidade de um certo polinômio por intermédio de 
métodos ad hoc. Vejamos alguns exemplos. 
Exemplo 7.30 (Romênia). Seja f E Z[X] um polinômio mônico de 
grau n ~ 1, tal que f(O) = 1. Se f tiver pelo menos n - 1 raízes 
complexas de módulo menor que 1, prove que f será irredutível em 
(Q[X]. 
Prova. Pelo lema de Gauss, basta mostrar que f é irredutível em 
Z[X]. Suponha, pois, f = gh, com g, h E Z[X] \ Z. Sem perda de 
generalidade, podemos supor g e h mônicos. De g(O)h(O) = 1, temos 
184 Fatoração de Polinômios 
g(O), h(O) = ±1. Por outro lado, pelas relações de Girard (vide a 
proposição 4.6), o módulo do produto das raízes complexas de fé igual 
a 1, de modo que, pelas hipóteses do enunciado, f tem exatamente uma 
raiz complexa de módulo maior que 1. Portanto, um dos polinômios g 
ou h, digamos g, tem somente raízes complexas de módulo menor que 
1. Mas, uma vez que g é mônico e lg(O)I = 1, temos, novamente pelas 
relações de Girard, que o módulo do produto das raízes de g é igual a 
1, o que é uma contradição. D 
Observação 7.31. Polinômios f E Z[X] satisfazendo as condições 
do lema acima podem ser facilmente construídos. Por exemplo, seja 
f (X) = anXn + an_1xn-1 + · · · + a1X + ao E Z[X] tal que 
Se lzl = 1, então 
lf(z) - ªn-1Zn-ll = lanZn + ªn-2Zn-2 + · · · + a1z + aol 
:::; lanl + lan-21 + · · · + la1I + laol 
< lan-11 = lan-1Zn-ll· 
Em particular, f não se anula sobre o círculo lzl = 1 do plano com-
plexo, e um teorema da teoria de funções analíticas f : (C --+ C ( o 
teorema de Rouché - veja a seção Vl.4 de f 50}, por exemplo) garante 
que f possui exatamente n - 1 raízes complexas de módulo menor que 
1. 
Exemplo 7.32. Sejam n > 1 um inteiro ímpar e a 1 , ... , an inteiros 
dados, dois a dois distintos. Prove que o polinômio 
f(X) = (X - a1)(X - a2) ... (X - an) - 1 
é irredutível em Q[X]. 
7.4 Irredutibilidade de polinômios 185 
Prova. Pelo lema de Gauss, basta mostrar que f não pode ser escrito 
como produto de dois polinômios não constantes e de coeficientes intei-
ros. Suponha, por contradição, que fosse f = gh, com g e h polinômios 
mônicos, de coeficientes inteiros e não constantes. Como 
e g(ai), h(ai) E Z, deve ser g(ai) = 1 e h(ai) = -1, ou vice-versa; em 
qualquer caso, temos g(ai) + h(ai) = O. Agora, defina li = g + h. 
Como g e h são mônicos, li não é identicamente nulo. Então, 
ali:::; max{ag, ah}< af = n, 
de maneira que li admite, no máximo, a li < n raízes distintas. Mas, 
como li(ai) = O para 1:::; i:::; n, chegamos a uma contradição. D 
Problemas - Seção 7.4 
1. Use o método direto, descrito no início desta seção, para provar 
que o polinômo X 4 - X 2 + 1 é irredutível em Z[XJ. 
2. * Também com o auxílio do método direto, mostre que o poli-
nômio f(X) = X 5 - X 4 - 4X3 + 4X2 + 2 é irredutível sobre 
Q. 
3. Um polinômio de coeficientes reais é dito positivamente redutí-
vel se puder ser expresso como produto de dois polinômios não 
constantes, cujos coeficientes não nulos são reais positivos. Seja 
f um polinômio de coeficientes reais tal que, para algum n E N, 
o polinômio f(Xn) é positivamente redutível. Mostre que f é 
positivamente redutível. 
i I 
ti''';; ' 
.. ~1fo ~. ·, 
l! 
186 Fatoração de Polinômios 
4. Sejam n > 1 inteiro e a1, ... , an inteiros positivos dados, dois a 
dois distintos. Prove que o polinômio 
J(X) = (X - a1)(X - a2) ... (X - an) + 1 
é redutível em Q[X] somente nos seguintes casos: 
(a) f(X) = (X - a)(X - a - 2) + 1. 
(b) f(X) = (X - a)(X - a - l)(X - a - 2)(X - a - 3) + 1. 
5. Sejam p um primo ímpar, f(X) = 2XP-l - 1 e g(X) = (X -
l)(X -2) ... (X -p+l). Prove que ao menos um dos polinômios 
f(X) - g(X) ou J(X) - g(X) +pé irredutível em Z[X]. 
6. (IMO.) Prove que o polinômio de coeficientes inteiros xn + 
5xn-1 + 3 é irredutível em Z[X]. 
7. Sejam p E Z primo e f(X) = a2n+1X2n+1 + · · · + anXn + · · · + 
a1X + a0 um polinômio de coeficientes inteiros satisfazendo as 
seguintes condições: 
· (a) p2 1 ao, a1, ... , ªn· 
(b) PI an+l, an+2, · · ·, a2n· 
(c) p3 I ao ep{a2n+1· 
Mostre que f não pode ser escrito como o produto de dois po-
linômios não constantes e de coeficientes inteiros. 
8. (Romênia.) Seja p E Z um número primo. Se f(X) = anXn + 
an_1xn-1+· · ·+a1X +ao é um polinômio de coeficientes inteiros, 
com laol = p e tal que lanl + lan-11 + · · · + la1I < p, prove que f 
é irredutível sobre Q. 
7.4 Irredutibilidade de polinômios 187 
9. (Romênia.) Seja f(X) = anXn+· · ·+a1X +ao um polinômio não 
constante de coeficientes inteiros. Se I ao I > I a1 I + I a2 I + · · · + 1 an I 
e v'faoT < ../íaJ + 1, prove que f não pode ser escrito como 
o produto de dois polinômios não constantes e de coeficientes 
inteiros. 
10. (Romênia.) Seja N = A1 UA2 U · · · UAk uma partição do conjunto 
dos números naturais em k conjuntos não vazios. Dado m EN, 
prove que existe 1 :S j :S k tal que podemos construir infinitos 
polinômios f satisfazendo as seguintes condições: 
(a) 8f = m. 
(b) Os coeficientes de f pertencem ao conjunto Ai. 
(c) f não pode ser escrito como o produto de dois polinômios 
não constantes de coeficientes inteiros. 
11. * Sejam f um polinômio de coeficientes inteiros e grau n, e z1, 
... , Zn as raízes complexas de f. 
(a) Se Re(zi) < O para 1 :Si :S n, prove que todos os coeficien-
tes de f têm um mesmo sinal. 
(b) Prove o teorema de Pólya-Szegõ 6 : suponha que existe 
m E Z tal que f(m) é primo, f(m-1) =I- O em> !+Re(zi), 
para 1 :S i :S n. Então, f não pode ser escrito como produto 
de dois polinômios não constantes e de coeficientes inteiros. 
12. (BMO.) Sejam n > 1 inteiro e ao, a1, ... , ªn-1, an naturais tais 
que an =I- O e O :S ai :S 9, para O :S i :S n. Se f (10) é primo, 
prove que f é irredutível sobre Z. 
6 Após os matemáticos húngaros do século XX George Pólya e Gábor Szegõ. 
188 Fatoração de Polinômios 
CAPÍTULO 8 
Nú meros Algébricos e Aplicações 
Neste capítulo, invertemos o ponto de vista adotado no capítulo 
3. Mais precisamente, fixamos um número complexo z e examina-
mos o conjunto dos polinômios f E C[X] tais que f(z) = O. Como 
subproduto de nossa discussão, damos uma prova distinta da apresen-
tada em [26] para o fechamento, em relação às operações aritméticas 
usuais, do conjunto dos números complexos que são raízes de polinô-
mios não nulos e de coeficientes racionais. Por outro lado, a análise 
do caso em que z E (C é uma raiz ri-ésima da unidade nos leva ao 
estudo dos polinômios ciclotômicos e permite dar uma prova parcial 
de um famoso teorema de Dirichlet sobre a infinitude de primos em 
progressões aritméticas. 
189 
!.1 
190 Números Algébricos e Aplicações 
8.1 Números algébricos 
Um número complexo a é dito algébrico sobre (Q se existir um 
polinômio f E (Q[X] \ {O} tal que f(a) = O. Um número complexo 
que não é algébrico sobre (Q é dito transcendente sobre (Q. 
É possível provar ( e o faremos na seção 8.3) que nem todo número 
complexo é algébrico, i.e., que o conjunto dos números transcendentes 
é não vazio. Por outro lado, é claro que todo racional r, sendo raiz do 
polinômio X - r E (Q[X] \ {O}, é algébrico sobre (Q. Colecionamos, a 
seguir, alguns exemplos menos triviais de números algébricos sobre (Q. 
Exemplo 8.1. Sejam r E (Q~ e n EN. Se w é uma raiz n-ésima da 
unidade, então y'rw é algébrico sobre(Q, uma vez que tal número é 
raiz do polinômio não nulo de coeficientes racionais X"" - r. 
Poderíamos definir, aliás de modo óbvio, o que se entende por um 
número complexo a ser algébrico sobre R Contudo, esse não é um 
conceito interessante, uma vez que todo complexo é algébrico sobre JR. 
De fato, dado um complexo não real a = a + ib, temos que a é raiz 
do polinômio não nulo 
f(X) = (X - (a+ bi))(X - (a - bi)) 
= X 2 - 2aX + (a2 + b2 ) E JR[X]. 
Por essa razão, sempre que considerarmos um número algébrico sobre 
(Q, diremos simplesmente que se trata de um número algébrico. 
Se um complexo a for algébrico, o conjunto 
Aa = {f E (Q[X] \ {O}; f(a) = O} 
é, por definição, não vazio. Então, também é não vazio o conjunto 
de inteiros não negativos {&J; f E Aa}, de modo que existe Pa E Aa 
mônico e de grau mínimo. Temos, pois, a definição a seguir. 
8.1 Números algébricos 191 
Definição 8.2. Dado a algébrico sobre (Q, um polinômio Pa E (Q[X] \ 
{O}, mônico, de grau mínimo e tendo a por raiz é denominado um 
polinômio minimal de a. 
A proposição a seguir e seus corolários colecionam as propriedades 
mais importantes de polinômios minimais de números algébricos. 
Proposição 8.3. Se a é algébrico sobre (Q e Pa é um polinômio mi-
nimal de a, então: 
{a) Pa é irredutível sobre (Q. 
{b) Se f E (Q[X] é tal que f(a) = O, então Pa I f em (Q[X]. 
Em particular, Pa é unicamente determinado por a. 
Prova. 
(a) Se fosse Pa = f g, com f e g não constantes e de coeficientes racio-
nais, então f e g teriam graus menores que o grau de Pa e ao menos 
um deles teria a por raiz, uma contradição à minimalidade do grau de 
Pa· Logo, Pa é irredutível sobre (Q. 
(b) Pelo algoritmo da divisão, existem polinômios q, r E (Q[X] tais que 
f(X) = Pa(X)q(X) + r(X), 
com r = O ou O::; &r < OPa· Ser=/:- O, então 
r(a) = f(a) - Pa(a)q(a) = O, 
com &r < &pa, novamente contradizendo a minimalidade do grau de 
Pa· Logo, r = O e, daí, Pa I f em (Q[X]. 
Por fim, se Pa e qª são polinômios minimais de a, segue do item 
(b) que Pa I Qa e Qa I Pa em (Q[X]. Mas, como Pa e Qa são ambos 
mônicos, temos Pa = Qa· D 
192 Números Algébricos e Aplicações 
Graças à proposição anterior, dado a E C algébrico, podemos nos 
referir a Pa como o polinômio minimal de a. 
Corolário 8.4. Se a E C é algébrico e f E Q[X] \ {O} é um polinômio 
mônico, irredutível e tal que f(a) = O, então f = p0 • 
Prova. Pela proposição anterior, Pa divide f em Q[X]. Mas, como f 
é irredutível, deve existir um racional não nulo e tal que f = cp0 • Por 
fim, como f e Pa são mônicos, devemos ter e = 1. D 
Corolário 8.5. Se f E Q[X] \ Q é irredutível, então f não possui. 
raízes múltiplas. 
Prova. Podemos supor, sem perda de generalidade, que fé mônico. 
Se algum a E C fosse raiz múltipla de f, então a proposiçãb 3.31 
garantiria que a também seria raiz da derivada f' de f. Mas, como 
f E Q[X] \ {O} é mônico e irredutível, o corolário 8.4 garantiria que f 
é o polinômio minimal de a. Portanto, teríamos, pela proposição 8.3, 
que f I f' em Q[X], contradizendo a desigualdade âf > âf'. D 
Colecionamos, agora, alguns exemplos de aplicação da proposição 
8.3 e de seus corolários. 
Exemplo 8.6. Sejam f um polinômio não constante de coeficientes 
racionais e a um número real tal que a 3 - 3a = f(a) 3 - 3f(a) = -1. 
Prove que, para todo inteiro positivo n, tem-se 
onde j(n) denota a composição de f consigo mesmo, n vezes. 
Prova. Se g(X) = X 3 - 3X + 1, então âg = 3 e, pelo critério de 
pesquisa de raízes racionais (a proposição 3.16), g não tem raízes ra-
cionais. Portanto, pelo problema 3, página 163, g é irredutível sobre 
Q. Daí, o corolário 8.4 garante que g é o polinômio minimal de a. 
8.1 Números algébricos 193 
Por outro lado, como estamos supondo que o polinômio g o f tam-
bém tem a por raiz, a proposição 8.3 garante que g divide g o f em 
Q[X], digamos (g o f)(X) = g(X)u(X), para algum u(X) E Q[X]. 
Por fim, suponha que tenhamos provado que g(J(k) (a)) = O para 
algum k ~ 1. Então 
g(Jk+1(a)) = (g o f)(fk(a)) = g(fk(a))u(fk(a)) = O, 
e nada mais há a fazer. D 
O exemplo 7.29, em conjunção com o corolário 8.4, garante imedi-
atamente que, se p é primo e w = eis 21r, então o polinômio minimal 
p 
de w é 
Pw(X) = xp-l + XP-2 +···+X+ 1. 
O próximo exemplo utiliza este fato para dar uma bela prova alterna-
tiva do exemplo 6.4 de [14], devida ao matemático búlgaro N. Nikolov. 
Exemplo 8.7 (IMO). Seja pum primo ímpar. Calcule quantos sub-
conjuntos de p elementos do conjunto {l, 2, ... , 2p} são tais que a 
soma de seus elementos é divisível por p. 
Solução. Se w = eis ~, então wP = 1 e segue, daí, que 
p p 
(XP -1)2 = Il(X -wi) Il(X -wi) 
j=l j=l 
p 2p 
= Il(X -wi) II (X -wi) 
j=l j=p+l 
2p 
= Il(X -wi). 
j=l 
Calculando o coeficiente de XP em ambos os membros da igualdade 
acima e lembrando que pé ímpar, concluímos que 
2= (8.1) 
194 Números Algébricos e Aplicações 
onde a soma acima se estende a todos os subconjuntos de p elementos, 
{j1, ... ,jp}, de I2p = {1, 2, ... , 2p}. 
Por outro lado, se, para O ~ k ~ p-1, denotarmos por ck o número 
de conjuntos de p elementos {j1 , ... , }p} C I2p, tais que }1 + · · · + )p == 
k (modp), então wP = 1 garante que o segundo membro de (8.1) é 
igual a E1:~ ckwk, de sorte que 
p-1 
LCkWk = 2. 
k=O 
Segue do que fizemos acima que w é raiz do polinômio de coefici-· 
entes inteiros f(X) = E1:~ ckXk - 2. Note ainda que Cp-1 # O, uma 
vez que o conjunto 
{ p-lp+l. } 1,p-1,2,p- 2,3,p- 3, ... , -2-, -2-, 2p- l 
tem p elementos e a soma dos mesmos é congruente a p - 1, módulo 
p. Portanto, 8 f = p - 1. 
Mas, como o polinômio minimal de w é Pw(X) = XP- 1+· · ·+X +1, 
o item (b) da proposição 8.3 garante que f é um múltiplo inteiro de 
Pw, digamos f = CPw, com e E N. Em particular, comparando os 
coeficientes de ambos os membros dessa igualdade, concluímos que 
c0 - 2 = c1 = · · · = Cp-1 = e. 
A fim de calcular o valor de e, note que Co + c 1 + · · · + cp-1 é igual 
ao número de subconjuntos de p elementos de I 2p, de maneira que 
. (2p) pc + 2 = Co + C1 + · · · + Cp-1 = p · 
Logo, 
c0 = e+ 2 = ~ ( (;) - 2) + 2. 
D 
8.1 Números algébricos 195 
Exemplo 8.8 (Romênia). Seja f E Z[X] um polinômio mônico, de 
grau ímpar maior que 1 e irredutível sobre Q. Suponha ainda que: 
(a) f(O) é livre de quadrados. 
(b) As raízes complexas de f têm módulo maior ou igual a 1. 
Prove que o polinômio F E Z[X], dado por F(X) =J(X3), também é 
irredutível sobre Q. 
Prova. Por contradição, suponha que F é redutível sobre Q. Então, 
segue do problema 2, página 168, a existência de polinômios g, h E 
Z[X], mônicos, não constantes e tais que F = gh. Como 8F = 38f e 
8f é ímpar, segue que 8F também é ímpar. Portanto, o problema 4, 
página 75, garante que F admite uma raiz real a. 
Podemos supor, sem perda de generalidade, que a é raiz de g e que 
g é irredutível sobre Q. De fato, se a for raiz de g mas g for redutível 
sobre Q, basta tomar o fator mônico e irredutível de g que tem a por 
raiz, utilizando em seguida o resultado do problema 2, página 168, 
para concluir que tal fator irredutível tem coeficientes inteiros. 
Nas condições do parágrafo anterior, sabemos que g é o polinômio 
minimal de a sobre Q. Agora, se w é uma raiz cúbica de 1, com w # 1, 
então 
O= F(a) = f(a 3 ) = f((aw)3) = F(aw) = g(aw)h(aw). 
Temos, pois, de distinguir dois casos: 
(i) g(aw) = O: como (pelo problema 2, página 74) as raízes não reais 
de um polinômio de coeficientes reais ocorrem aos pares complexo-
complexo conjugado, temos que aw = aw2 também é raiz de g. Agora, 
agrupando na expressão de g os monômios com expoentes das formas 
3k, 3k + 1 e 3k + 2, podemos escrever 
(8.2) 
196 Números Algébricos e Aplicações 
com a, b e e de coeficientes inteiros. Logo, 
e 
a(ci) + ab(o?) + a2c(ci) = g(a) = O, 
a(a3 ) + awb(a3 ) + a:2w2c(a:3) = g(aw) = O, 
a( o:3) + aw2b( a 3) + a:2wc( a:3) = g( aw2) = O. 
Considerando as três igualdades acima como um sistema linear de 
equações em a(o:3 ), b(o:3 ) e c(a3), não é difícilmostrar que a(a3 ) === 
b(a3 ) = c(a3 ) = O. Assim, sendo p o polinômio minimal de a 3 sobre. 
(Q, segue da proposição 8.3 que p divide a, b e e em (Q[X] e, portanto 
(novamente pelo problema 2, página 74), em Z[X]. Segue de (8.2) que 
p(X3 ) divide g(X). Mas, como g é mônico e irredutível, concluímos 
que g(X) = p(X3 ). Agora, sendo g um polinômio em X\ segue 
novamente de (8.2) que b, e = O e, daí, que 
f(X 3 ) = F(X) = g(X)h(X) = a(X3 )h(X). 
Tal igualdade, por sua vez, implica que h também deve ser um po-
linômio em X 3, digamos h(X) = l(X3 ), com l E Z[X]. Finalmente, 
temos f(X 3 ) = a(X3 )l(X3 ) e, daí, f = gl, com 89, 8l 2 1. Mas isto 
contraria a irredutibilidade de f. 
(ii) h(aw) = O: como no item (i), concluímos que h(aw2 ) = O. Seja, 
ainda como acima, 
com a, b .e e de coeficientes inteiros. Então, 
e 
8.1 Números algébricos 197 
Multiplicando a primeira dessas igualdades por w e subtraindo a 
segunda do resultado, obtemos 
a(a3 ) - a 2c(a3) = O. 
Mas, como g é o polinômio minimal de a sobre (Q, invocando nova-
mente a proposição 8.3, concluímos que g divide a(X3 ) - X 2c(X3) em 
Q[X] e, logo, em Z[X] (pela observação 2.11, uma vez que g E Z[X] e 
é mônico). Fazendo X= O, concluímos que g(O) deve dividir a(O) em 
Z. Sendo a(O) = g(O)m, com m E Z, segue que 
f(O) = g(O)h(O) = g(O)a(O) = g(0)2m. 
Uma vez que f(O) é livre de quadrados, segue que g(O) = ±1. 
Portanto, sendo z1, ... , Zk as raízes complexas de g, segue das relações 
de Girard que 
(8.3) 
Por outro lado, como 
segue do item (b) do enunciado que lzJI 2 1 e, portanto, lzil 2 1, 
para 1 ::; j ::; k. Coligindo tal informação com (8.3), concluímos que 
lzil = 1, para 1 ::; j ::; k. Em particular, !ai = 1 e, sendo a real, 
devemos ter a= ±1, de sorte que a:3 = ±1. Mas, como fé irredutível 
sobre (Q e f(a 3 ) = O, terímos f(X) = X± 1, contrariando o fato de 
que af > 1. D 
O restante desta seção é destinado a apresentar uma demonstração 
de que o conjunto dos números complexos algébricos é fechado para 
as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (por um 
divisor algébrico não nulo). Começamos com o seguinte resultado. 
Teorema 8.9. Se a, /3 E C \ {O} são algébricos, então a+ /3 também 
o é. 
198 Números Algébricos e Aplicações 
Prova. Sejam a = a 1 , ... , am as raízes complexas de Pa e (3 == 
(31, ... , f3n aquelas de Pf3, de modo que 
m n 
p0 (X) = II (X - ai) e p13(X) = II (X - f3j)· 
i=l j=l 
Defina 
m n m 
f(X, X1, .. ,, Xm) = II II (X - xi - f3j) = IIp13(X - Xi) 
i=l j=l i=l 
mn-1 
= xmn + L Ík(X1, ·,, ,Xm)Xk, 
k=O 
para certos polinômios fo, ... , Ímn-1 E Q[X1, ... , Xm] (uma vez que 
Pf3 E (Q[X]). 
Se a é uma permutação de Im, então 
m m 
f(X,Xcr(l),". ,Xcr(m)) = IIp13(X -Xcr(i)) = IIp13(X - Xi) 
i=l i=l 
ou, ainda, 
mn-1 mn-1 
xmn + L Ík(Xu(l),,,,, Xcr(m))Xk = xmn + L fk(X1,,, ·, Xm)Xk. 
k=O k=O 
Portanto, temos 
Ík(Xcr(i), ·, ·, Xcr(m)) = Ík(X1, · · ·, Xm), 
para todos O ~ k · ~ mn - 1 e a, de sorte que Ík é um polinômio 
simétrico em X 1 , ... , Xm, para O~ k ~ mn - 1. 
O teorema de Newton 4.12 garante, então, a existência de um 
polinômio gk E Q[X1, ... , Xm] tal que 
Ík(X1,,,,, Xm) = gk(s1, · ·,, Sm), 
8.1 Números algébricos 199 
onde s1, ... , Sm E (Q[X1, ... , Xm] são os polinômios simétricos elemen-
tares em X1, ... , Xm. Em particular, 
uma vez que 
Assim, se h(X) = f(X, a1, ... , am), então, por um lado, 
mn-1 
h(X) = xmn + L Ík(a1,,,,, am)Xk E Q[XJ 
k=O 
e, por outro, 
m m n 
h(X) = IIP13(X - ai)= II II (X - ai - f3i)· 
i=l i=l j=l 
Logo, h é um polinômio não nulo de coeficientes racionais tal que 
~ ' 
h( a + /3) = O, o que garante que a + f3 é algébrico. D 
Observação 8.10. Suponha que Pa,Pf3 E Z[XJ. Então, nas no-
tações da demonstração acima, temos s1(ai), ... , sm(ai) E Z, e 
Ík E Z[X1, ... , Xml, para O ~ k ~ mn - 1. Portanto, segue nova-
mente do teorema de Newton que gk E Z[X1, ... , Xm] e, daí, que 
para O ~ k ~ mn - 1. Portanto, h E Z[X] e segue do problema 4 que 
Pa+f3 E Z[X]. 
Para mostrar que o conjunto dos números algébricos é fechado para 
produtos e quocientes, precisamos do seguinte resultado auxiliar. 
Lema 8.11. Se a#- O é algébrico, então a-1 e a 2 também o são. 
1 
''' ! '' 
i 
200 Números Algébricos e Aplicações 
Prova. Seja /(X)= anXn + ªn-1xn-1 + · · · + a1X + a0 E (Q[X] \ Q 
tal que ao =/= O e f(a) = O. Então, g(X) = a0 Xn + a1xn-1 + · · · + 
an_1X + an é um polinômio não constante de coeficientes racionais, e ~ 
é imediato verificar que g( a-1) = O. 
Para a 2 , observe que existem polinômios u e v de coeficientes ra-
cionais, não ambos nulos e tais que 
f(X) = u(X2) + Xv(X2). 
Sendo h(X) = u(X)2 - X v(X)2, temos h E Q[XJ \ {O} e 
h(a2) = u(a2)2 - a 2v(a2)2 
= (u(a2) - av(a2))(u(a2) + av(a2)) 
= (u(a2) - av(a2))f(a) = O. 
D 
Teorema 8.12. Se a, f3 E C\ {O} são algébricos, então af3 e J também 
o são. 
Prova. Pelo lema anterior, a 2 e {32 são algébricos. Mas, como já 
sabemos que a+ f3 é algébrico, segue novamente do lema anterior que 
( a + {3) 2 também o é. Agora, uma vez que 
duas aplicações do teorema 8.9, juntamente com o resultado do pro-
blema 1, garantem que af3 é algébrico. 
Para o que falta,, observe que J = a · ! , com ! algébrico (pelo 
lema anterior). Portanto, a primeira parte acima garante que j é 
algébrico. D 
8.2 Polinômios ciclotômicos 201 
Problemas - Seção 8.1 
1. * Se r é um racional não nulo e a =/= O é um complexo algébrico, 
prove diretamente (i.e., sem recorrer ao teorema 8.12) que ra 
também é algébrico. 
2. Dado n EN, prove que cos 21r é um número algébrico. , n 
3. Sejam p primo e n EN. Prove que o polinômio minimal de -f:(fJ 
é f (X) = xn - p. 
4. * Seja a E (C algébrico. Se existe f E Z[X] \ Z mônico e tal que 
J(a) = O, prove que Pa E Z[XJ. 
5. (a) Sejam a, b e e inteiros positivos. Prove que: 
(i) y'a + vb + ye é raiz de um polinômio mônico e de 
coeficientes inteiros. 
(ii) Se y'a+ vb+ ye (j_ Z, então y'a+ vb+ Jc é irracional. 
(b) Generalize os itens (i) e (ii) para vb1 + vb2 + · · · + vbn, 
onde b1 , b2, ... , bn são inteiros positivos. 
6. (OBM.) Prove que o polinômio J(X) = X 5 -X4 -4X3 +4X2 +2 
não admite raízes da forma {fr, onde ré um racional e n > 1 é 
um natural. 
7. Dê uma prova análoga à do teorema 8.9 para mostrar que af3 é 
algébrico sempre que a e f3 o são. 
8.2 Polinômios ciclotômicos 
A teoria de polinômios sobre Zp, p primo, nos permite apresentar 
algumas das propriedades elementares de uma classe muito importante 
de polinômios, conhecidos como ciclotômicos. Como subproduto do 
202 Números Algébricos e Aplicações 
estudo que faremos aqui, mostraremos que os polinômios ciclotômi-
cos são exatamente os polinômios minimais das raízes complexas da 
unidade. 
Sendo n um natural e Wn = eis 2:, consideraremos, no que se-
gue, as raízes n-ésimas da unidade da forma w~, com 1 ~ k ~ n e 
mdc (k, n) = 1. Tais raízes são ditas primitivas, e é imediato que 
há exatamente cp( n) de tais raízes, onde cp : N --+ N é a função de 
Euler. Dados m, n E N, sempre que não houver perigo de confusão 
denotaremos seu mdc escrevendo simplesmente ( m, n). 
Definição 8.13. Para n E N, o n-ésimo polinômio ciclotômico 
é o polinômio 
1>n(X) = II (X - w~). (8.4) 
l<k<n 
(k-:-nF=1 
Segue da definição acima que 1>n é momco e 81>n = cp(n). A 
proposição a seguir coleciona outras propriedades elementares de 1>n. 
Proposição 8.14. Para n EN, temos: 
(a) xn - 1 = I1o<dln 1>d(X). 
(b) 1>n E Z[X]. 
(e) 1>n(O) = 1, para n > 1. 
Prova. 
(a) Observe inicialmente que 
II 1>d(X) = II 1>njd(X) = II II (X - W~jd) 
O<dln O<dln O<dln l~k~n/d 
(k,n/d)=l 
= II II (X - w~k). 
O<dln 19~n/d 
(k,n/d)=l 
8.2 Polinômios ciclotômicos 203 
Agora, como cada inteiro 1 ~ m ~ n pode ser escrito de modo único 
como m = dk, com o < d I n e (k, ~n = 1 (tal d é d = (m, n)), a 
última soma acima é claramente igual a 
n 
II (X - wfi) = xn - 1. 
j=l 
(b) Façamos indução sobre n EN, notando inicialmente que 1>1(X) = 
X -1 E Z[X], por definição. Seja, agora, n > 1 natural e suponha,por 
hipótese de indução, que 1>m E Z[X], para todo inteiro 1 ~ m < n. 
Se 
g(X) = II 1>d(X), 
l<d<n 
dln 
temos que g E Z[X] e, pelo item (a), xn - 1 = 1>n(X)g(X). Mas, 
como g é mônico (pois já sabemos que cada 1>m o é), segue da obser-
vação 2.11 que 1>n E Z[X]. 
(e) Novamente por indução, temos primeiramente 
de modo que 1>2 (X) = X + 1 e 1>2 (0) = 1. Seja, agora, n > 1 e 
suponha, por hipótese de indução, que 1>m(O) = 1 para todo inteiro 
2 ~ m < n. Então, nas notações da prova de (b), temos 
g(O) = 1>1(0) II 1>d(O) = (-1) II 1>d(O) = -1, 
l<d<n 
dln 
e segue de xn - 1 = 1>n(X)g(X) que 
l<d<n 
dln 
-1 = 1>n(O)g(O) = -1>n(O), 
como desejado. D 
i! 
! 
204 Números Algébricos e Aplicações 
Corolário 8.15. Se p é primo, então 
<I>p(X) = xp-l + xp-2 + ... + x + 1. 
Prova. O item (a) da proposição anterior garante que 
de sorte que 
o 
O exemplo 7.29 mostrou que <I>P é irredutível sobre (Ql, de sorte 
que <I>P é o polinômio minimal de wP. No que segue, nosso objetivo 
é generalizar este fato, provando que, para todo n E N, o polinômio 
minimal Pwn de Wn coincide com o n-ésimo polinômio ciclotômico <I>n. 
Precisamos, inicialmente, do seguinte resultado auxiliar. 
Lema 8.16. Sejam f, g E Z[X] e p E N um número primo. Se 
g E Zp[X] \ Zp e g2 17 em Zp[X], então g I f' em Zp[X]. 
Prova. Se h E Z[X] é tal que f(X) = g(X)2"Fi(X) em Zp[X], sabemos 
que existe um polinômio l E Z[X] tal que 
f(X) = g(X) 2h(X) + pl(X) 
em Z[X]. Derivando ambos os membros dessa igualdade, obtemos 
J'(X) = 2g(X)g'(X)h(X) + g(X)2h'(X) + pl'(X) 
em Z[X] e, daí, 
f'(X) = g(X)(2 g'(X)h(X) + g(X)h'(X)) 
D 
8.2 Polinômios ciclotômicos 205 
Para o próximo resultado, lembre-se de que, se w é uma raiz n-é-
sima da unidade, então a proposição 8.3 garante que seu polinômio 
minimal Pw divide xn - 1 em Q[ X]. Em particular, segue do problema 
4, página 201, que Pw E Z[X]. 
Proposição 8.17. Sejam n, p E N tais que p é primo e p f n. Se w é 
uma raiz n-ésima da unidade, então Pw(X) = PwP(X). 
Prova. Seja ( = wP. Como w e ( são ambos raízes de xn - 1, o item 
(b) da proposição 8.3 garante que Pw(X) e Pç(X) dividem xn - l. Por 
contradição, suponha que Pw(X) # Pc;(X). Então, a irredutibilidade 
de tais polinômios garante, via teorema 7.15, que Pw(X)pc;(X) divide 
xn - 1 em Z[X], digamos 
xn - 1 = Pw(X)pc;(X)u(X). (8.5) 
Se g(X) = Pç(XP), então 
g(w) = Pc;(wP) = Pc;(() = o 
e, daí, Pw divide g em Z[X]. Seja v E Z[X] tal que Pw(X)v(X) = g(X). 
Em Zp[X], temos pelo problema 6, página 178, que 
e o teorema 7.20 garante a existência de um polinômio mônico e irre-
dutível h E Zp[X] tal que h(X) 1 Pw(X),Pc;(X) em Zp[X]. Segue de 
(8.5) que h(X) 2 1 (Xn - I) em Zp[X], e o lema anterior garante que 
h(X) 1 nxn-l em Zp[X]. Mas, como h é mônico e n # O, aplicando no-
vamente o teorema 7.20 obtemos 1 ::S: l ::S: n-1 tal que h(X) = xt em 
Zp[X]. Logo, h(X) f (Xn-I) em Zp[X], o que é uma contradição. D 
Chegamos finalmente ao resultado desejado. 
Teorema 8.18. Se Wn = eis 2;, então Pwn 
<I>n E Z[X] é irredutível sobre Q[X]. 
<I>n. Em particular, 
206 Números Algébricos e Aplicações 
Prova. Tome k E N tal que k > 1 e mdc (k, n) = 1, e seja k === 
PI ... pz, com PI, ... , pz primos que não dividem n. Repetidas aplica-
ções da proposição anterior nos dão 
Em particular, os cp(n) números w!, com 1 ::; k::; n e mdc (k, n) = 1, 
são raízes distintas de Pwn, de maneira que 
Mas, como <I>n é mônico de coeficientes inteiros e tem Wn por raiz, a 
definição de polinômio minimal garante que Pwn = <I>n· D 
Terminamos esta seção provando um caso particular do teorema 
de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas. Esse teorema 
afirma que uma progressão aritmética não constante e infinita de nú-
meros naturais contém uma infinidade de números primos, contanto 
que sua razão e seu primeiro termo sejam relativamente primos. Em 
que pese o teorema de Dirichlet ser uma generalização natural do te-
orema de Euclides da infinitude dos primos ( este último provado na 
seção 1.3 de (14]), as provas conhecidas desse resultado estão fora do 
alcance da maior parte dos currículos de graduação em Matemática. 
Todavia, a teoria de polinômios ciclotômicos desenvolvida acima nos 
permite apresentar uma demonstração elementar do teorema de Di-
richlet, no caso particular em que o primeiro termo da progressão é 
igual a 1. 
Teorema 8.19 (Dirichlet). Se n EN, então a PA l, 1 +n, 1 + 2n, ... 
contém infinitos números primos. 
Prova. Sejam PI, ... ,Pk primos quaisquer e <I>n o n-ésimo polinô-
mio ciclotômico. Como <I>n é mônico, escolhendo um inteiro y su-
ficientemente grande, temos <I>n(ynpI .. ·Pk) > 1. Agora, fazendo 
8.2 Polinômios ciclotômicos 207 
a = ynpI ... Pk temos, módulo a, que 
<I>n(a) <I>n(O) = 1 (moda). 
Seja, então, <I>n(a) = aq + 1 = ynpI ... pkq + 1. Se p for um fator 
primo de <I>n(a), temos p =/:.PI, ... ,Pk e mdc (p, n) = l. Portanto, se 
provarmos que p _ 1 (mod n), seguirá que pé um primo em nossa PA, 
diferente de PI, ... , Pk. 
Para o que falta, note que mdc (p, a) = 1, de modo que podemos 
considerar t := ordp(a). Como p 1 <I>n(a) e <I>n(a) 1 (an - 1) (pois 
<I>n(X) 1 (Xn - 1) em Z[X]), vem que an 1 (modp) e, daí, t I n. 
Se mostrarmos que t = n, seguirá das propriedades da ordem e de 
ap-I - 1 (modp) que n 1 (p - 1) ou, o que é o mesmo, p _ 1 (mod n). 
Se e E {a,a + p}, segue de at _ 1 (modp) que ct 1 (modp). 
Suponha, por contradição, que t < n. A proposição 8.14, juntamente 
com o fato de que t I n, nos dá 
O<dln O<d<n dln 
= <I>n(c)h(c) IJ <I>d(c) 
O<dlt 
= <I>n(c)h(c)(ct - 1), 
onde h E Z[X] é um polinômio apropriado. Mas, como e a (modp), 
segue que 
<I>n(c) - <I>n(a) O (modp), 
de maneira que 
cn - 1 = <I>n(c)h(c)(ct - 1) - O (modp2). 
Por outro lado, 
1 
!' ! 
li' 
l! 
: 1 
! 
! 
1 
' 
11 
'i' 
1 ., 
:1 
'I 
208 Números Algébricos e Aplicações 
e (pelos cálculos acima) tanto (a+pt-1 quanto an-1 são múltiplos de 
p2 . Portanto, olhando a última igualdade acima módulo p2 , concluímos 
que 
o que é um absurdo. D 
Para uma discussão autocontida da prova do caso geral, sugerimos 
ao leitor as referências [37] ou [51). 
Problemas - Seção 8.2 
1. Sendo p primo e k natural, calcule explicitamente o polinômio 
<I>pk· 
2. Se n > 1 é um inteiro par, mostre que <I>2n(X) = <I>2n(-X). 
3. Se m e n são naturais distintos, prove que <I>m e <I>n não têm 
fatores não constantes comuns em C[X]. 
4. Se n > 1 é natural e d é o produto dos fatores primos distintos 
de n, mostre que 
<I>n(X) = <I>d (xnfd). 
5 O . t { 1 1 1 1 } t, , . - "t 't" . conJun o , 2, 3, 4, . . . con em vanas progressoes an me 1-
6. 
7. 
cas. Prove que, dado k > 2 inteiro, esse conjunto contém uma 
progressão de k termos que não está contida em uma progressão 
de k + 1 termos do conjunto. 
Sejam a, n EN, sendo a> 1 e n ímpar. Prove que a congruência 
xn - a (modp) tem solução para uma infinidade de primos p. 
Seja a EN não quadrado perfeito. Prove que há infinitos primos 
p tais que a não é resíduo quadrático, módulo p. 
8.3 Números transcendentes 209 
8. Sejam a, b E Z tais que, para cada n E N, existe um inteiro e 
para o qual n 1 (c2 +ac+b). Prove que a equação x2 +ax+b = O 
tem raízes inteiras. 
8.3 Números transcendentes 
Como foi dito no início da seção 8.1, números transcendentes são 
precisamente os números complexos que não são raízes de polinômio 
não nulo algum com coeficientes racionais. Contudo, até esse ponto 
nem mesmo sabemos se tais números existem. 
Uma maneira possível de estabelecer a existência de números trans-
cendentes (mesmo reais) é começar mostrando que o conjunto A dos 
números algébricos (reais) é enumerável, i.e., que seus elementos po-
dem ser listados como os termos de uma sequência (xn)n~l, de modo 
que A= {x1,x2,x3 , ... }; então, mostra-se que o conjunto lR não é 
enumerável, de forma que lR \ A é necessariamente não vazio. Não 
seguiremos esse caminho aqui, uma vez que ele requeriria que desen-
volvêssemos os resultados básicos sobre conjuntos enumeráveis, bem 
comoque estabelecêssemos a não enumerabilidade do conjunto dos 
reais, e isso nos desviaria bastante do fio condutor deste volume. Para 
o leitor interessado, sugerimos [26] ou (39). 
Em vez de seguir a estratégia delineada no parágrafo anterior, apre-
sentamos a construção (explícita) do primeiro número transcendente 
descoberto, devida ao matemático francês do século XIX J. Liouville. 
Nossa apresentação segue o maravilhoso clássico (19). 
Para o que segue, dizemos que um número algébrico a tem grau 
n se seu polinômio minimal Pa tem grau n; em particular, se n > 1, 
então é claro que a é irracional. . Precisamos introduzir mais uma 
nomenclatura: dizemos que uma propriedade P(k), dependente de um 
natural k, é verdadeira para todo k suficientemente grande se existe 
k0 E N tal que P(k) é verdadeira sempre que k > k0 ; ademais, se 
1 ! 
1 ! 
'i ! 
210 Números Algébricos e Aplicações 
um valor específico de k0 for irrelevante no contexto sob discussão, 
escreveremos simplesmente que P(k) é verdadeira para todo k » 1. 
Estamos finalmente em posição de enunciar e provar o teorema de 
Liouville. 
Teorema 8.20 (Liouville). Seja a E C um número algébrico de grau 
n > 1. Se (Pk)k?.l e (qk)k?.l são sequências de inteiros não nulos tais 
1. Pk t-que Imk---++oo qk = a, en ao 
la_Pkl > _1 qk q~+l' (8.6) 
para todo k » 1. 
Prova. Seja ak = Pk. Como ak ~ a, temos que qk ~ +oo. Como 
qk 
a é algébrico de grau n > 1, existe f E Z[X] \ {O} de grau n e tal que 
f(a) = O, digamos, 
f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 , 
com a0,a1, ... ,an E Z. 
Agora, observemos que 
1 
n 
j=l 
1 n . . 
::::; I I · "'"""" 1 ªi 1 · 1 a{ - aJ 1, ak-a ~ j=l 
onde utilizamos a desigualdade triangular na última passagem acima. 
Portanto, um pouco de álgebra elementar fornece 
I a
fk(a_ka) 1 Ln ia{ - ail ::::; lail. 1 1 ak-a j=l 
n 
= L lail ·lati+ a{-2a + ... +ai-li· 
j=l 
(8.7) 
8.3 Números transcendentes 211 
k 
Como ak --+ a, temos lak - ai < 1 para todo k » 1. Utilizando 
a desigualdade triangular, concluímos que 
(8.8) 
para todo k » 1 e, daí, (8. 7) e (8.8) fornecem 
1:.(~·~1 = t. la;l(la,IH + la,l;-,lal + · · · + lalH) 
n 
::::; L lail ( (1 + lal)j-l + (1 + lal)1-2lal + · · · + lalj-l) 
j=l 
n 
< LJlail((l + la1)1-1, 
j=l 
para todo k » 1, onde 
n 
e== I:j1aj1((1 + 1a1f-1 
j=l 
depende somente de a, e não de k. 
Então, para todo k » 1 (escolhido de forma tal que lak - ai < 1), 
temos 
k 
Agora, uma vez que qk --+ +oo, temos lak - ai < 1 e qk > C para 
todo k » 1, de forma que -01 > _1._ e, portanto, qk 
I Pk 1 1 a - - > -lf(ak)I, qk qk 
para todo k » 1. 
Como passo final, observe que se f(ak) = O, então teríamos f(X) = 
(X - ak)g(X) para algum g E Z[X] \ {O} de grau n-1. Como a=/= ak 
212 Números Algébricos e Aplicações 
(pois a é irracional), concluímos que a seria raiz de g contrad· d 
f t d 1. A • , 1zen O O a O o po mom10 minimial de a ter grau n Logo f( ) .../.. 0 . · , ªk r e, assim 
1/(ak)I =an(::)n +···+a1 (::) +ao 
1 
= qk lanPk + · · · + a1pkqk-l + a0qkl 
>__!_ 
- qk 
Finalmente, combinando essa última desigualdade com a ant . 
a ela, obtemos (8.6). enor · D 
- O exemplo a seguir, também devido a Liouville, traz uma aplica-
çao engenhosa do teorema anterior à construça-o de n· u' m . t d , eros rans-
cen e~tes. Para u~a apreciação adequada do mesmo, o leitor precisa 
p~~smr uma relativa familiaridade com manipulações aritméticas de 
senes convergentes, no nível do capítulo 3 de [12]. 
Exemplo 8.21 (Liouville). Se ª1 a2 a3 ... E {1 2 3 9} t-, l ' ' ' , , , · · · , , en ao o 
numero rea 
ª1 a2 a3 
a=-+-+ + 1011 1021 1031 . . . . 
é trancendente. 
Prova. Suponha que a fosse algébrico de grau n > 1 ('""' , 1 t . . . . , '-" e c aramen e 
irracional - veJa o problema 1). Para k 2:: 1, seja 
k 
L a· p ªk = _J = _k_ 
. 10il 10kl' 
J=l 
com Pk EN. Então, por um lado, segue do teorema de Liouville que 
la- akl > 1 
(10k1r+l' 
8.3 Números transcendentes 
213 
para todo k » 1. Por outro, 
""°" a· 1 1 la - akl = LJ l~il < 10(k+I)I · 9, 999 ... = 10(k+I)l-l' 
j>k 
Portanto, para k » 1 teríamos 
1 1 
10(k+l)l-l > ( 10kl) n+I 
e, daí, (k + 1)! - 1 < k!(n + 1). Contudo, essa última desigualdade 
equivale a 
k!(k - n) < 1, 
que é falsa para k 2:: n + 1. 
Finalmente, uma vez que a hipótese de que a é algébrico leva 
a uma contradição, não temos alternativa além de concluir que a é 
transcendente. D · 
Terminamos recordando que, em [12], mostramos que os números 
e e 1r são irracionais. Contudo, métodos mais refinados de Análise real 
permitem mostrar que tais números são transcendentes. Ambos tais 
fatos foram estabelecidos ainda no século XIX, sendo devidos ao ma-
temático francês C. Hermite e ao matemático alemão F. Lindemann, 
respectivamente. Para o leitor interessado, recomendamos [26]. 
Exemplo 8.22. Admitindo a transcendência dos números e e 1r, os 
teoremas 8.9 e 8.12 permitem justificar a transcendência de vários 
números complexos. Por exemplo, o número 1r + v'2 é transcendente, 
posto que, se fosse algébrico, teríamos 
1í = (1r + v'2) - v'2, 
também algébrico, por ser uma diferença entre dois números algébri-
cos. 
1 
! 
1' 
214 Números Algébricos e Aplicações 
Problemas - Seção 8.3 
1. Prove que o númbero a do Exemplo 8.21 é irracional (esse fato 
foi utilizado na discussão do exemplo). 
2. Assumindo a transcendência de e e de 1r, prove diretamente (i.e., 
sem apelar para o teorema 8.9) que os números 1r + J2 e e+ .J3 
também são transcendentes. 
3. Se a E C é transcendente e n EN, prove que y'a e an também 
são transcendentes. 
CAPÍTULO 9 
Recorrências Lineares 
Neste capítulo final, completamos o trabalho iniciado na seção 4.3 
de [10], mostrando como resolver uma recorrência linear de coeficientes 
constantes e ordem qualquer. Precisamos, inicialmente, de duas defi-
nições, as quais se revelarão centrais para tudo o que segue. 
Definição 9.1. Uma sequência (an)n2'.l é dita recorrente linear, se 
existirem um inteiro positivo k e números complexos u 0 , ... , uk-I, nem 
todos nulos, tais que 
(9.1) 
para todo n ~ 1. 
O natural k é denominado a ordem da recorrência linear e a equa-
ção (9.1) é a relação de recorrência ou, simplesmente, a recorrên-
cia satisfeita pela sequência. Neste caso, (an)n2'.l é também denomi-
nada uma recorrência linear de ordem k. 
215 
216 Recorrências Lineares 
Dados a1, ... , ak E C, é imediato verificar que há exatamente uma 
sequência (an)n2'.l satisfazendo (9.1) e tal que ªi = ai, para 1 :::; j:::; k. 
Portanto, uma recorrência linear de ordem k fica totalmente deter-
minada quando conhecemos a relação de recorrência linear por ela 
satisfeita e os valores de seus k primeiros termos. 
Definição 9.2. Seja ( an)n2'.l uma sequência satisfazendo a recorrência 
linear 
an+k = Uk-lan+k-1 + · · · + Uoan, 
para n 2: 1, onde uo, ... , uk-l são números complexos dados, nem 
todos nulos. O polinômio característico de ( an)n2'.l é o polinômio 
f E C[X] dado por 
"(9.2) 
9.1 Um caso particular importante 
Discutimos, inicialmente, o caso em que as raízes do polinômio 
característico da recorrência são duas a duas distintas; apesar da li-
mitação envolvida, este caso é bem mais simples que o caso geral e 
encontra muitas aplicações interessantes. O resultado de interesse é o 
conteúdo do teorema a seguir. 
Teorema 9.3. Seja ( an)n2'.1 uma sequência satisfazendo, para todo 
n 2: 1, a relação de recorrência 
onde uo, ... , uk-1 são números complexos dados, nem todos nulos. 
Se as raízes complexas z1 , z2, ... , zk do polinômio característico de 
(an)n2'.1 são todas distintas e ªi = ªi para 1 :::; j :::; k, então 
9.1 Um caso particular importante 
onde x 1 , ... , Xk é a solução do sistema de Vandermonde 
X1 + X2 + · · · + Xk 
zix1 + Z2X2 + · · · + ZkXk 
Z~X1 + Z~X2 + · · · + Z~Xk 
217 
(9.3) 
Prova. Como z1 , z2 , .•• , Zk são dois a dois distintos, a proposição 6.6 
garante a existência de uma única solução x1 , x2, ... , xk do sistema 
(9.3). Podemos, pois, definir a sequência (bn)n2'.l pondo 
b n-1 n-1 +n-1 w > 1 n = Z1 X1 + Z2 X2 · · · + Zk Xk, V n _ . 
Então, para 1 :::; j :::; k, o sistema (9.3) fornece 
Por outro lado, sendo f o polinômio característico de (an)n2'.I, segue 
da definição dos bi 's que 
bn+k - Uk-lbn+k-1 - """ - Uobn = 
k k k 
"""'zi:i,+k-lx · - uk 1 """'zi:i,+k-2x · - · · · - u0 """'zi:i-1x · L.....!J J -L.....tJ J L.....!J J 
j=l j=l j=l 
k 
L z7-1xi(zj - Uk-1zJ-1 - · · · - uo) 
j=l 
k 
L z7-1xif(zi) = O. 
j=l 
Portanto, a sequência (bn)n2'.l satisfaz a mesma recorrência linear 
que (an)n2'.l e seus k primeiros termos coincidem, respectivamente, com 
os k primeiros termos da sequência (an)n2'.l· Logo, uma fácil indução 
garante que an = bn para todo n 2: 1, conforme desejado. D 
: 
! 
i 
'. 'i 
218 Recorrências Lineares 
O exemplo a seguir mostra que não necessariamente precisamos co-
nhecer explicitamente as raízes do polinômio característico para apli-
car o resultado do teorema anterior a fim de obter informações rele-
vantes acerca do comportamento de uma dada recorrência linear. 
Exemplo 9.4 (Crux). Seja A 1A 2A 3A4 o quadrado de vértices A1 = 
(O, 1), A2 = (1, 1), A3 = (1, O) e A4 = (O, O). Para cada n 2:: 1, 
seja An+4 o ponto médio do segmento AnAn+l · Prove que, quando 
n ---+ +oo, a sequência de pontos An converge para um ponto A e 
calcule as coordenadas de tal ponto. 
Prova. Para cada n 2:: 1, seja An(xn, Yn)· A condição do enunciado, 
juntamente com a fórmula para as coordenadas do ponto médio de um 
segmento (veja o corolário 6.2 de [11]), garante que 
2Xn+4 = Xn+1 + Xn, Y n 2:: 1, 
valendo uma recorrência análoga para a sequência (Yn)n::::i· 
O polinômio característico da recorrência acima é 
f(X) = 2X4 - X - 1 = (X - l)g(X), 
onde g(X) = 2X3 + 2X2 + 2X + 1. Se a, b e c são as raízes complexas 
de g, segue das relações de Girard que 
a+b+c= -1 e ab+ac+bc= 1. (9.4) 
Portanto, 
a2 + b2 + c2 =(a+ b + c)2- 2(ab + ac + bc) = (-1)2- 2 · 1 = -1 < O, 
de sorte que, pelo exemplo 4.7 e problema 2, página 74, podemos 
supor que a é real e b e c são complexos não reais, conjugados. Em 
particular, a, b e c são dois a dois distintos e, como 1 não é raiz de g, 
9.1 Um caso particular importante 219 
o teorema 9.3 garante a existência de constantes reais A, B, C e D 
tais que 
Xn = Aan-l + Bbn-l + Ccn-l + D, Y n 2:: l. (9.5) 
Para sabermos o que ocorre quando n ---+ +oo, note inicialmente 
que g(-l)g(O) = -1 < O e, assim, o teorema de Bolzano 5.2 garante 
que -1 < a < O. Portanto, as relações (9.4) fornecem 
1 = a(b + c) + bc = a(-1 - a)+ bb, 
de modo que lbl2 = a(a + 1) + 1 < 1. Mas, como lbl = lei, segue que 
lbl = lei < 1. Então, a relação (9.5), juntamente com o resultado do 
exemplo 9.8, garante que 
lim Xn = D. 
n--++oo 
A fim de calcular o valor de D, recorde que X1 = X4 = O e X2 = 
x3 = 1. Portanto, fazendo sucessivamente n = 1, 2, 3 e 4 em (9.5), 
obtemos o sistema linear 
A+B+C+D 
Aa+Bb+Ce+Dd 
Aa2 + Bb2 + Cc2 + Dd2 
Aa3 + Bb3 + Ce3 + Dd3 
1 
o 
o 
1 
Multiplicando as três últimas equações por 2 e somando membro a 
membro as quatro igualdades resultantes, chegamos a 
Ag(a) + Bg(b) + Cg(e) + 7D = 3. 
Mas, uma vez que a, b e e são as raízes de g, segue que 7 D = 3 ou, 
ainda, D=~· 
De modo análogo, provamos que limn--++oo Yn = ~ e, assim, 
D 
1 
ii 
ti 
I: 
1: 1 
220 Recorrências Lineares 
Problemas - Seção 9.1 
1. Seja A1A2A3 o triângulo do plano cartesiano de vértices A1(0, O), 
A2 (1, O) e A3 (!,O). Para cada n 2: 1, seja An+3 o baricentro do 
triângulo AnAn+1An+2· Se An(Xn, Yn), mostre que Xn ---+ 1~ e 
Yn---+ 1 quando n---+ +oo. 
2. Se a é a maior raiz positiva do polinômio X 3 - 3X2 + 1, mostre 
que os números l a1788 J e l a1988 J são, ambos, múltiplos de 17. 
9.2 Sequências, séries e continuidade em CC 
Nesta seção, estendemos algumas definições e resultados dos capí-
tulos 3 e 4 de [12] a funções com valores complexos. Observamos que 
o material aqui apresentado (mais precisamente, o teorema 9.19) foi 
utilizado na prova do teorema fundamental da álgebra, na seção 3.3, 
e será de fundamental importância para a discussão do material da 
seção 9.3. 
Dados a E C e R > O, denotamos por D(a; R) o disco aberto de 
centro a e raio R, i.e., o subconjunto de (C dado por 
D(a; R) = {z E C; lz - ai < R}. 
Analogamente, o disco fechado de centro a e raio R é o subconjunto 
D(a; R) de C, dado por 
D(a; R) = {z E C; lz - ai ::; R}. 
Um conjunto U C (C é aberto se, para todo a E U, existir R > O 
tal que D(a; R) e U. Um conjunto F e (C é fechado se Fc = C\F for 
aberto. É imediato que 0 e (C são subconjuntos abertos de (C (no caso 
de 0, não há como a condição exigida pela definição não ser satisfeita, 
uma vez que não existe z E 0); portanto, (C = C\0 e 0 = C\C também 
são fechados. Colecionamos, a seguir, um exemplo menos trivial. 
9.2 Sequências, séries e continuidade em C 221 
Exemplo 9.5. Para todos a E (C e R > O o disco aberto D(a; R) é 
um conjunto aberto e o disco fechado D( a; R) é um conjunto fechado. 
Prova. Escolhido arbitrariamente z E D(a; R), seja r = R - lz - ai. 
Então, r > O e afirmamos que D(z; r) C D(a; R) (veja a figura 9.1), o 
que será suficiente para garantir que D(a; R) é aberto. 
Figura 9.1: todo disco aberto é um conjunto aberto. 
Para o que falta, tome w E D(z; r). Pela desigualdade triangular, 
temos 
lw - ai = l(w - z) + (z - a)I ::; lw - zl + lz - ai 
::; r + lz - ai = R 
e, daí, w E D(a; R). Mas, como tal sucede com todo w E D(z; r), 
concluímos que D(z; r) e D(a; R), conforme desejado. 
Para a segunda parte, é suficiente mostrar que U = (C \ D(a; R) é 
aberto. Para tanto, tome z E U e seja r = lz - ai - R. Então, r > O 
e, como no primeiro caso, mostramos facilmente que w E D(z; r) =?-
w EU, de sorte D(z; r) e U. Logo, Ué, realmente, aberto. D 
222 Recorrências Lineares 
Voltemo-nos, agora, às sequências de números complexos, 
<lendo, às mesmas, o conceito de convergência. 
Definição 9.6. Dizemos que uma sequência (zn)n~I em <C converge 
para um limite z E <C, e denotamos Zn --+ z ou limn-++oo Zn = z, se a 
seguinte condição for satisfeita: 
',!E > O, :l no E N; n > no =} 1 Zn - z 1 < E. 
Heuristicamente, o cumprimento da condição estipulada pela de-
finição acima significa que, à medida que n --+ +oo, os termos Zn se 
aproximam cada vez mais de z. Realmente, a definição dada estipula 
que a sequência (zn)n~I converge para z E <C se, dado arbitrariamente 
um raio E > O, existir um índice n0 E N tal que os termos Zn, para 
n > n 0 , pertençam todos ao disco aberto D(z; e). 
Para o que segue, definimos uma subsequência (znk)k~1 de uma 
sequência (zn)n~I como a sequência obtida pela restrição de (zn)n~I 
a um subconjunto infinito { n 1 < n2 < n 3 < · · · } de índices; de um 
ponto de vista mais rigoroso, (znk)k~I é a sequência f o g : N --+ <C, 
onde f : N --+ <C e g : N --+ N são dadas por J(n) = Zn, para todo 
n EN, e g(k) = nk, para todo k EN. 
O resultado a seguir encerra duas propriedades fundamentais do 
conceito de convergência de sequências de números complexos. O item 
(a) do mesmo garante que os termos de uma sequência convergente não 
podem se aproximar de dois limites distintos. 
Lema 9. 7. Seja (zn)n>I uma sequência em <C. 
(a) Se Zn--+ z e Zn--+ w, então z = w. 
(b) Se (znk)k~I é uma subsequência de (zn)n>I e Zn --+ z, então 
Znk --+ z. 
9.2 Sequências, séries e continuidade em (C 223 
Prova. 
(a) Se z -=J. w, então E= lz - wl > O. Mas, como ! ainda é positivo e 
Zn--+ z e Zn --+ w, existem naturais n1 e n2 tais que lzn - zl < ! para 
n > n1 e I Zn - w 1 < ! para n > n2. Portanto, tomando um índice 
n > n1 , n2 e aplicando a desigualdade triangular, obtemos 
lz - wl = l(z - Zn) + (zn - w)I :=::; lz - Znl + lzn - wl 
E E 
< 2 + 2 =E= lz - wl, 
o que é uma contradição. Logo, z = w. 
(b) Dado E> O, a convergência de (zn)n~I para z garante a existência 
de no EN tal que lzn - zl < E, para n > no. Agora, como n1 < n2 < 
n3 < · · ·, existe k0 E N tal que k > k0 =} nk > n0 . Portanto, para 
tais valores de k, temos lznk - zl < E, de sorte que (znk)k~Itambém 
converge para z. D 
Graças ao item (a) do lema anterior, se uma sequência (zn)n~I em 
(C converge para z E <C, diremos, doravante, que zé o limite de (zn)n>I· 
Para os propósitos destas notas, um dos exemplos mais importan-
tes de sequência convergente é o isolado a seguir. A esse respeito, veja 
também o problema 2. 
Exemplo 9.8. Se lzl < 1 e Zn = zn, para todo n ~ 1, então (zn)n>I 
converge para O. 
Prova. Inicialmente, observe que lzn - OI = lznl = lzln. Agora, se 
(an)n~I é a sequência de números reais dada por an = lzln, para n ~ 1, 
então o exemplo 3.3 de [12] garante que an--+ O. Portanto, dado E> O, 
existe n0 E N tal que O ::::; an < E, para n > no. Assim, para n > no, 
temos lzn - OI = an < E, de sorte que Zn--+ O. D 
Dada uma sequência (zn)n~I de números complexos, podemos es-
crever Zn = Xn + iyn, para todo n ~ 1, com Xn, Yn E IR. O próximo 
224 Recorrências Lineares 
resultado relaciona a convergência da sequência (zn)n2':l em (C com as 
convergências das sequências (xn)n2:1 e (Yn)n2:1 em IR. 
Lema 9.9. Seja (zn)n2:1 uma sequência de números complexos, com 
Zn = Xn + iyn, para todo n 2: 1, onde Xn, Yn E IR. Então, (zn)n>i 
converge em C se, e só se, (xn)n2:1 e (Yn)n2:1 convergem em IR. Ad~-
mais, se Xn --+ a e Yn --+ b, para certos a, b E IR, então Zn --+ z, onde 
z =a+ ib. 
Prova. Suponha, primeiramente, que Zn --+ z, onde z =a+ ib, com 
a, b E IR, e seja dado E > O. Corno 
ternos fxn - af, fYn - bf < E se fzn - zf < E. Mas, corno Zn--+ z, existe 
no E N tal que n > no =} f zn - zf < E. Então, para cada um de 
tais n, ternos realmente que f xn - af, f Yn - bf < E, o que estabelece as 
convergências desejadas. 
Reciprocamente, suponha que Xn --+ a e Yn --+ b, e seja dado E > O. 
Corno 
teremos fzn - zf < E se fxn - af, fYn - bf < f Mas, corno Xn --+ a 
e Yn --+ b, existem n1, n2 E N tais que n > n1 =} fxn - af < ~ e 
n > n2 =} fYn - bf < f Se no= rnax{n1,n2}, então, para n > n0 , 
ternos fxn - af, fYn - bf < ~ e, daí, f zn - zf < E, o que estabelece a 
convergência desejada. D 
Precisamos, agora, da definição a seguir. 
Definição 9.10. Uma sequência (zn)n2':l em (C é de Cauchy se, dado 
E > O, existir n0 E N tal que 
m, n > no =} fzm - Znf < E. 
9.2 Sequências, séries e continuidade em <C 225 
Se (zn)n2':l é urna sequência convergente em C, então (zn)n2':l é de 
Cauchy. De fato, se Zn --+ z e E > O é dado, então existe n0 E N tal 
que fzn - zf < ~' para todo n > no. Portanto, param, n > n0 , segue 
da desigualdade triangular para números complexos que 
E E 
lz - z f < f z - zf + lz - z f < - + - = E. m n _ m n _ 2 2 
Reciprocamente, ternos o seguinte resultado. 
Proposição 9.11. (C é completo. Mais precisamente, se (zn)n>l é 
uma sequência de Cauchy em C, então (zn)n2:i converge. 
Prova. Seja Zn = Xn +iYn, com (xn)n2:1 e (Yn)n2:1 sequências de núme-
ros reais. Dado E > O, torne n 0 E N corno na definição de sequência de 
Cauchy. Corno fxm - Xnl ~ fzm - Znf, segue que (xn)n2:1 é de Cauchy 
em IR. Portanto, o teorema 3.16 de [12] garante que (xn)n2':l é con-
vergente, para x E IR, digamos. Analogamente, existe y E IR tal que 
Yn--+ y. Portanto, sendo z = x+iy, segue do lema 9.9 que Zn --+ z. D 
Corno no caso real ( tratado no capítulo 3 de [12]), dada urna 
sequência (zn)n2:1 de números complexos, definimos a série1 Lk2':l zk 
corno sendo a sequência (sn)n2:1, tal que sn = E;=l Zk, para todo 
n EN. Também corno lá, dizemos que sn é a n-ésima soma parcial 
da série, e que a série converge se existir o limite s := lirnn-++oo sn; 
adernais, nesse caso dizemos que sé a soma da série em questão. Em 
símbolos, escrevemos 
n 
~ Zk = lirn ~ Zk, 6 n-Hoo6 
k2':1 k=l 
caso o limite do segundo membro exista. 
Ilustramos, a seguir, o exemplo de urna série convergente que será 
de importância fundamental na próxima seção. 
1Por vezes, consideraremos uma sequência (zn)n>o de números complexos e a 
série correspondente Ek~o Zk· 
,I 
,' 
226 Recorrências Lineares 
Exemplo 9.12. Se a E C\ {O}, mostre que, para z E D(O; 1!1), temos 
Prova. Pelo lema 1.12, a n-ésima soma parcial da série do enunciado 
é 
n 1 ( )n+l 
"'(azt = - az 
L...,; 1 - az 
1 (azr+l 
1- az 1- az 
k=O 
Agora, para z E D(O; 1!1 ), temos lazl < 1, de sorte que, pelo exemplo 
9.8, temos (azr-+ O quando n-+ +oo. Portanto, segue da igualdade 
acima que, para z E D(O; 1!1), 
n 1 (azr+l· 1 
"'(azt = lim "'(azt = - lim -·-
L...,; n--++oo L...,; 1 - az n--++oo 1 - az 1 - az . 
k~O k=O 
D 
Também de fundamental importância é o conceito de série abso-
lutamente convergente, i.e., uma série Lk~o ak tal que a série real 
Lk>O lakl converge. Para n E N, sejam sn = L~=l ak e tn = L~=l lakl, 
de ~rte que a sequência (tn)n~I converge. A desigualdade triangular 
para números complexos fornece, para m > n inteiros, 
m m 
lsm~snl = L ak ~ L lakl =tm-tn. 
k=n+l k=n+l 
Agora, vimos no capítulo 3 de [12) que, como (tn)n~I converge, temos 
(tn)n~l de Cauchy; portanto, dado E > O, existe ko E N tal que m > 
n > ko =} tm - tn < E. Logo, também temos lsm - snl < E para 
m > n > k0 , de sorte que (sn)n~o também é de Cauchy. Como vimos 
na proposição 9.11 que toda sequência de Cauchy em (C é convergente, 
o argumento acima prova o resultado a seguir. 
9.2 Sequências, séries e continuidade em C 227 
Proposição 9.13. Em C, toda série absolutamente convergente é con-
vergente. 
Antes de continuar, precisamos entender o que vem a ser uma 
função contínua definida e tomando valores em um subconjunto de C. 
Definição 9.14. Dado um subconjunto não vazio X de C, dizemos 
que uma função f : X -+ C é contínua se a seguinte condição for 
satisfeita: para toda sequência (zn)n~I de pontos de X, se Zn -+ z, 
com z E X, então f(zn)-+ f(z). 
A proposição a seguir nos permitirá construir um exemplo de fun-
ção contínua de nosso interesse. 
Proposição 9.15. Se f, g : X -+ C são funções contínuas, então 
f + g, fg: X-+ C também são contínuas. 
Prova. Seja dada uma sequência (zn)n~I em X, tal que Zn-+ z, com 
z E X. Observe inicialmente que, pela desigualdade triangular para 
números complexos, 
l(f + g)(zn) - (! + g)(z)I = l(f(zn) - f(z)) + (g(zn) - g(z)I 
~ lf(zn) - f(z)I + lg(zn) - g(z)I. 
Agora, dado E> O, como f(zn) -+ f(z) e g(zn) -+ g(z), existe n0 EN 
tal que 
é 
n >no=} lf(zn) - f(z)I, lg(zn) - g(z)I < 2. 
Portanto, também para n > n0 , segue dos cálculos acima que 
é é 
l(f + g)(zn) - (! + g)(z)I ~ 2 + 2 = E 
e, daí, (! + g)(zn) -+ (! + g)(z). 
228 Recorrências Lineares 
Para f g, e aplicando duas vezes a desigualdade triangular para 
números complexos, obtemos 
l(f g)(zn) - (f g)(z)I = lf(zn)g(zn) - f(z)g(z)I 
:::; lf(zn) - f(z)llg(zn)I + lf(z)llg(zn) - g(z)I 
:::; lf(zn) - f(z)llg(zn) - g(z)I 
+ lf(zn) - f(z)llg(z)I + lf(z)llg(zn) - g(z)I. 
Como antes, dado E > O, tome n0 E N tal que n > n0 implique 
lf(zn) - f(z)I < min { /%, 3(lg(z;I + l)} 
e 
lg(zn) - g(z)I < min { li, 3(lf(z;I + l)}. 
Então, para n > n0 , segue dos cálculos acima que 
l(f g)(zn) - (f g)(z)I :::; li· li+ 3(lg(z;I + 1) · lg(z)I 
e, daí, (f g)(zn)-+ (f g)(z). 
E 
+ lf(z)I · 3(lf(z)I + 1) 
E E E 
<-+-+-=E 3 3 3 
D 
Exemplo 9.16. Dados n EN e ao, a1, ... , ªn-l, an E CC, com an -=/:- O, 
a função polinomial f : CC -+ CC, tal que 
para z E CC, é contínua. 
Prova. Evidentemente, as funções constantes e a função z M z são 
contínuas. Portanto, aplicando várias vezes a segunda parte da propo-
sição anterior, concluímos que, para O :::; k :::; n, a função z M akzk é 
9.2 Sequências, séries e continuidade em C 229 
contínua. Agora, aplicando várias vezes a primeira parte da proposição 
anterior, concluímos que a soma de tais funções, quando k varia de O a 
n, também é contínua. Mas tal soma é, precisamente, a função f. D 
Voltemo-nos, agora, á discussão de séries de potências em CC. Uma 
série de potências em CC é uma série da forma 1:\:::::o akzk, onde 
( an)n:::::o é uma sequência dada de números complexos. 
Admita que a sequência ( -elía,Jh:::::o é limitada, digamos v1a,J < l, 
para todo k ~ O e algum l > O. Então, lakzkl:::; (lz)k para k ~ O, de 
sorte que, pelo exemplo 9.12, a série Lk>o lakzkl converge em D(O; R), 
onde R = f. A proposição anterior g;rante, então, que a série de 
potências Lk:::::o akzk converge em D(O; R). Abreviaremos a situação 
descrita até aqui dizendo que D(O; R) é um disco de convergência para 
a série de potências em questão. Nosso próximo resultado garante que 
a função f: D(O; R) -+ CC assim definida é contínua. Por uniformidade 
de notação, convencionamos que Lk:::::o akzk = a0 para z = O. 
Proposição 9.17. Se D(O; R) é um disco de convergência para a série 
de potências Lk>o akzk, então a função f : D(O; R) -+ CC, dada para 
z E D(O; R) por f (z) = Lk:::::o akzk, é contínua. 
Prova. Sejam z, w E D(O; R) tais que lw - zl < HR - lzl). Então, 
lwl < r, onde r = !(R + lzl) e, para k EN, 
lwk - zkl = lw - zl lwk-l + wk-2z + ... + wzk-2 + zk-ll 
:::; lw - zl(lwlk-l + lwlk-2lzl + · · · + lwllzlk-2 + lzlk-l) 
:::; lw - zl(rk-l + rk-2. r + ... + r. rk-2 + rk-1) 
= krk-llw - zl. 
230 Recorrências Lineares 
Portanto, mantida a restrição acima sobre w, segue do problema 4 que 
lf(w) - f(z)I Lªkwk - Lªkzk = Lªk(wk - zk) 
k20 k20 k20 
Lªk(wk - zk) ::; L iakllwk - zkl 
k21 k21 
::; ~ (L klaklrk) lw - zl. 
k21 
Agora, fixe um real e tal que 1 < e < ~ ( tal é possível, uma vez 
que r < R). Como {/i'a,;f < ti. para k ~ O e 1;/k -+ 1 ( de acordo com o 
exemplo 3.12 de [12]), existe k0 EN tal que {lkía,J < fz, para k > k0. 
D~, . 
L klakirk < L (~) k ==e< +oo, 
k2ko k2ko 
uma vez que O< ~ < 1. Fazendo C' = E!:1 klaklrk, segue que 
lf(w) - f(z)I ::; ~ (tklaklrk) lw - zl + ~ (L klaklrk) lw - zl 
k=l k>ko 
C' C 
::; -lw - zl + -lw - zl. 
r r 
Em resumo, mostramos que 
1 
lw - zl < 2(R- lzl) =* IJ(w) - f(z)I < Alw - zl, 
para alguma constante positiva A. Mas, sendo esse o caso, o problema 
7 mostra que Zn-+ z =* f(zn) -+ f(z), e a arbitrariedade dez garante 
a continuidade de f. D 
O corolário a seguir mostra que, se uma função f : D(O; R) -+ C 
for dada por uma série de potências, então tal série é única. 
9.2 Sequências, séries e continuidade em C 231 
Corolário 9.18. Sejam Í:k>o akzk e Í:k>O bkzk séries de potências 
convergentes no disco aberto- D(O; R). s; Í:k>o akzk = Ek>o bkzk, 
para todo z E D(O; R), então ak = bk, para todo-k ~ O. -
Prova. Avaliando a igualdade Ek2o akzk = Ek2o bkzk para z = O, 
obtemos a0 = b0. Então, cancelando a0 = b0 em ambos os mem-
bros da igualdade Í:k>O akzk = Í:k>O bkzk, obtemos Í:::k>l akzk = 
Í:::k>l bkzk, para z E D(O; R) e, daí, E~>l akzk-l = Í:::k>l bk~k-l, para 
z E -D(O; R) \ {O}. Mas, como ambos os-membros da última igualdade 
definem funções contínuas em D(O; R), concluímos que Ek>l akzk-l = 
Ek21 bkzk-l, para z E D(O; R). Então, avaliando essa última igual-
dade em z = O, obtemos a1 = b1 . Prosseguindo dessa maneira, mos-
tramos indutivamente que ak = bk, para todo k ~ O. D 
Terminamos esta seção com um resultado que estende, para fun-
ções contínuas f: D(a; R) -+ C, o teorema 3.14 de [12]. 
Teorema 9.19 (Weierstrass). Se f : D(a; R) -+ C é uma função 
contínua, então existem Zm e ZM em D(a; R), tais que 
lf(zm)I = min{lf(z)I; z E D(a; R)} 
e 
lf(zM)I = max{lf(z)I; z E D(a; R)}. 
Prova. Seja (zn)n21 uma sequência em D(a; R) tal que 
J(zn)-+ sup{jf(z)I; z E D(a; R)} 
(aqui, em princípio não excluímos a possibilidade de que tal sup seja 
+oo). Ponha Zn = Xn + iyn, com Xn, Yn E R Como lznl ::; R para 
todo n ~ 1, temos I Xn 1, 1 Yn 1 ::; R, para todo n ~ 1. Pelo teorema 
4.31 de [12], podemos tomar um subconjunto infinito N1 e N, tal que 
(xn)nENi converge para um certo x E R Daí, podemos tomar um 
segundo subconjunto infinito N2 e N1 , tal que (Yn)nEN2 converge para 
i i 
232 Recorrências Lineares 
um certo y E R Mas, como (xn)nEl"b é uma subsequência de (xn)nENu 
temos que (xn)nEN2 ainda converge para x. 
Fazendo ZM = x+iy, segue do lema 9.9 que (zn)nEN2 converge para 
ZM, Portanto, segue do problema 1 que lzMI ::; R, i.e., ZM E D(a; R). 
Invocando agora a continuidade de f, temos que 
f(zM) = lim f(zn) = sup{l/(z)I; z E D(a; R)}. 
n--++oo 
nEN2 
Em particular, sup{l/(z)I; z E D(a; R)} = max{l/(z)I; z E D(a; R)}. 
A prova da primeira parte do teorema é análoga e será deixada 
como exercício para o leitor. D 
Corolário 9.20. Se f : C --+ C é uma função polinomial, então, dado 
R > O, existem Zm e ZM em D(a; R), tais que 
1/(zm)I = min{l/(z)I; z E D(a; R)} 
e 
lf(zM)I = max{l/(z)I; z E D(a; R)}. 
Prova. O exemplo 9.16 e o problema 6 garantem que 1/1 : C --+ 
[O, +oo) é uma função contínua. Portanto, também é contínua a fun-
ção 1/1 : D(a; R) --+ [O, +oo). Basta, agora, aplicar o teorema de 
Weierstrass. D 
Problemas - Seção 9.2 
1. * Se (zn)n~1 é uma sequência em C convergindo para z E C, 
prove que (zn)n~l é limitada, i.e., que existe M > O tal que 
lznl < M, para todo n 2: 1. Ademais, se lznl ::; R, para todo 
n 2: 1, mostre que lzl :SR. 
9.2 Sequências, séries e continuidade em C 233 
Para o próximo problema, dizemos que uma sequência de núme-
ros complexos é divergente se não for convergente. 
2. Se lzl > 1 e Zn = zn, para todo n 2: 1, mostre que a sequência 
(zn)n~l é divergente. 
3. * Se (zn)n~l e (wn)n~l são sequências em C, convergindo respec-
tivamente para z e w, prove que: 
(a) Se a E C, então azn--+ az. 
(b) Zn ± Wn --+ Z ± W. 
(c) ZnWn--+ ZW. 
(d) Se Wn,W # O, então Zn/Wn--+ z/w. 
4. * Se a, b E C e Lk~l zk e Lk~l wk são séries convergentes de 
números complexos, mostre que Lk~1(azk+bwk) também é con-
vergente, com 
5. * Se 0 # X e Y e C e f: Y--+ C é uma função contínua, prove 
que /1x : X --+ C também é contínua. 
6. * Se 0 # X e C e f: X--+ C é uma função contínua, prove que 
1/1 : X--+ [O, +oo) também é contínua. 
7. * Seja 0 # X e C e f : X --+ C uma função satisfazendo a 
seguinte condição: para z E X, existem A, B > O ( em princípio 
dependendo de z), tais que 
w E X, lw - zl < B => lf(w) - f(z)I < Alw - zl. 
Mostre que f é contínua. 
1 
234 Recorrências Lineares 
8. * Se a E <C \ {O} em EN, mostre que, para z E D(O; 1~1), temos 
1 L (n + m -1) n n = az 
(1 - az)m m - 1 · 
n2'.0 
9.3 O caso geral 
De posse do material da seção anterior, podemos finalmente nos 
voltar à discussão do caso geral de (9.1), i.e., aquele em que as raízes 
complexas do polinômio característico (9.2) não são necessariamente 
distintas. Para tanto, nos valeremos da teoria de funções geradoras 
(discutida no capítulo 3 de [13]), adequadamente estendida a séries de 
potências sobre C. 
O resultado fundamental é dado pelo teorema a seguir. 
Teorema 9.21. Seja (an)n21 uma sequência satisfazendo, para n 2: 1, 
a recorrência linear 
onde u0, ... , uk-I são números complexos dados, com u0 =/:- O. Sejam 
z1 , ... , z1 as raízes duas a duas distintas do polinômio característico 
(9.2) de (an)n21, com multiplicidades respectivamente iguais a m 1, ... , 
mz. Então, para n 2: 1 temos 
onde p1, ... ,Pz E <C[X] são polinômios de graus menores ou iguais a 
m 1 - 1, ... , mz - 1, respectivamente, os quais são totalmente deter-
minados pelos valores de a 1, ... , ak. 
Prova. Afirmamos, inicialmente, que existe uma constante R0 > O 
tal que lanl S Rn, para todos n 2: 1 e R > Ro. De fato, se lanl S Rn 
9 .3 O caso geral 
para 1 S n < m, com m > k, então 
laml = luk-Iªm-1 + · · · + U1am-k+l + Uoam-kl 
S luk-tllam-11 + · · · + lu1llam-k+1I + luollam-kl 
S luk-1IRm-l + · · · + lu1IRm-k+l + luolRm-k 
= Rm-k(luk-1IRk-I + · · · + lu1IR + luol). 
235 
Portanto, se g(X) = Xk - luk-1IXk-I - · · · - lu1IX - luol e Ro > O 
for tal que g(R) > O para R > Ro, então, para cada um de tais R's, 
temos pelos cálculos acima que 
laml S Rm-k(luk-1IRk-I + · · · + lu1IR + luol) 
s Rm-k. Rk = Rm. 
Basta, pois, escolhermos, de início, Ro > O tal que la1I, ... , lakl S Ro 
e g(R) > O, para todo R > R0. 
Agora, fixe R > R0 e seja 
F(z) = LªnZn. 
n21 
Como lanl S Rn para n 2: 1, o teste da comparação garante a con-
vergência de F no disco aberto D(O; i) do plano complexo. Sejam 
f(X) = Xk - uk_1xk-I - · · · - u1X - u0 o polinômiocaracterístico 
de (an)n21 e h(X) = -uoXk -u1xk-l _ ... -Uk-lx + 1 seu recíproco 
(âh = k, uma vez que u0 =/:- O). Para z E D(O; Ji), temos 
h(z)F(z) = -(f UjZk-j) (Lanzn) + LªnZn 
j=O n21 n21 
k-1 
= - L L Ujanzn+k-j + L anzn 
j=O n21 n21 
k-1 
= - L L Ujªn-k+jZn + L anZn. 
j=O n2'.k-j+l n21 
236 Recorrências Lineares 
Para j 2'.: 2, escreva 
k-1 
L Ujan-k+jZn 
n2::k-j+l 
L Ujan-k+jZn + L Ujan-k+jZn 
n=k-j+l n2::k 
e analogamente para I:n2::l anzn. Obtemos 
h(z)F(z) L Uoan-kZn - L U1an-k+1Zn 
n2::k+l n2::k 
-f ( f Ujan-k+jZn + L Ujan:.....k+jZn) · 
j=2 n=k-j+l n2::k 
k-1 
+ LªnZn + LªnZn 
n=l n2::k 
= - L Uoan-kZn - L U1ªn-k+1Zn 
n2::k+l n2::k 
k-1 
- L L Ujªn-k+jZn + L anzn 
j=2 n2::k n2::k 
k-1 k-1 k-1 
- L L Ujan-k+jZn + LªnZn. 
j=2 n=k-j+l n=l 
Mas, como 
k-1 k-1 
L L Ujan-k+jZn = L L Ujan-k+jZn' 
j=2 n2::k n2::k j=2 
9.3 O caso geral 237 
segue de (9.1) que 
-f L Ujan-k+jZn + L anZn = L (- f Ujan-k+j + an) Zn 
j=2 n2::k n2::k n2::k j=2 
(-f Ujaj + ak) Zk + L (- f Ujan-k+j + an) Zn 
j=2 . n2::k+l j=2 
- (- f Ujaj + ak) zk + L ( Uoan-k + u1an-k+1) zn. 
j=2 n2::k+l 
Portanto, 
h(z)F(z) L Uoan-kZn - L U1an-k+1Zn 
n2::k+l n2::k 
+ (- f Ujaj + ak) zk + L (uoan-k + u1an-k+1) zn 
j=2 n2::k+l 
k-1 k-1 k-1 
- L L Ujan-k+jZn + LªnZn 
j~n=k~+l n=l 
( ª• - t u;a;) z• - t n=t+l u;a..-k+;Z" + ~ a,.z", 
de sorte que 
h(z)F(z) = zp(z) 
para z E D(O; i), onde p E C[X] é um polinômio não nulo, de grau 
ap::; k - 1. 
Como h(O) = 1 =!= O, aumentando R, se necessário, podemos supor 
que h(z) =!= O para z E D(O; ~). Por outro lado, como 
temos 
1 1 1 
238 Recorrências Lineares 
de sorte que 
F(z) = zp(z) 
(1 - z1z)m1 ••• (1 - zzz)mi' (9.6) 
para z E D(O; fi)· 
Agora, observe que 
Portanto, aplicando à igualdade (9.6) a fórmula de decomposição em 
frações parciais (conforme o problema 6, página 163), concluímos pela 
existência, para 1 :S j :S l e 1 :S ni :S mi, de constantes djnj , unica-
mente determinadas pelos coeficientes de p (e, portanto, por a1 , a2 , 
... , ak e uo, ui, ... , Uk-i), tais que 
para z E D(O; fi)· 
l mj d· 
F(z) = z "°' "°' ( Jnj ) . , ~~ 1-z·z n1 
j=l nj=l .1 
(9.7) 
Mas, ser= min{-h, 1; 11 , ••• , 1;z1 }, então o resultado do problema 8, 
página 234, garante que 
__ 1_ = "°' (n+nj - l)z"!'zn 
(1-z·z)nj ~ n·-1 3 ' .1 n~O .1 
para 1 :S j :S l, 1 :S ni :S mi e z E D(O; r). Portanto, segue de (9.7) 
que, para lzl < r, 
9.3 O caso geral 239 
Uma vez que an é o coeficiente de zn na série que define F, segue 
da última igualdade acima e do corolário 9.18 que 
_ ~ ~ d. (n + ni - 2) "!'_1 
an - ~ ~ Jnj n. - 1 z.1 
j=l nj=l .1 
onde 
l mj =;; (n?:.; l)! (n + n; - 2){n + n; - 3) ... (n + l)nz;-1 
l 
= LPi(n - l)zy-1 , 
j=l 
p;(X) = ~ (n::; l)! (X+ n; - l){X + n; - 2) ... (X+ l)z;-1 
= Cj,mj-lxmrl + · · · + Cj1X + Cjo, 
um polinômio de grau menor ou igual a mi - 1. D 
A fim de apresentar uma aplicação relevante do teorema anterior, 
precisamos da seguinte definição. 
Definição 9.22. Sejam dados uma sequência (an)n~l e um inteiro 
m > 1. Dizemos que ( an)n~l é uma 
(a) PA de ordem 1 se (an)n~l for uma PA. 
(b) PA de ordem m se a sequência (bn)n~l for uma PA de ordem 
m - 1, onde bn = an+l - an, para n 2:: 1. 
O lema a seguir caracteriza PA's de ordem m por meio de uma 
recorrência linear que generaliza a recorrência satisfeita pelas PA's 
ordinárias. 
· I 
. i 
240 Recorrências Lineares 
Lema 9.23. Uma sequência (an)n:2'.:l é uma PA de ordem m se, e só 
se, 
(m+l) (m+l) ( )m+l(m+l) O an+m+l - l an+m + · · · + -1 m + l an = O, 
(9.8) 
para todo n 2 1. 
Prova. Inicialmente, seja (an)n:2::1 uma PA de ordem m. Sem = 1, 
então (an)n:2'.:l é uma PA e (9.8) se reduz a an+2 - 2an+l + an = O para 
n 2 1, relação que sabemos ser sempre satisfeita por uma PA. Por 
hipótese de indução, suponha que (9.8) é válida quando m = k - 1. 
Para m = k, a sequência (bn)n:2::1, dada por bn = ªn+i - an é, por 
definição, uma PA de ordem k - 1. Portanto, segue da hipótese de 
indução que 
para todo n 2 1, ou, ainda, 
(~) (an+k+l - an+k) - (~) (an+k - an+k-1) + · · · 
· · · + (-ll (:) (an+l - an) = O, 
para todo n 2 1. Mas, isso é o mesmo que 
(9.10) 
A partir daí, a relação (9.8) para m = k segue da relação de Stifel, 
. (k) (k+l) (k) - (k+l) Juntamente com o fato de que O = 0 e k - k+l · 
9.3 O caso geral 241 
Reciprocamente, seja (an)n:2::1 uma sequência para a qual vale (9.8). 
Se m = 1, então ªn+2 - 2an+l + an = O para n 2 1, de sorte que 
(an)n:2::i é uma PA. Por hipótese de indução, suponha que a validade 
de (9.8) para m = k - 1 acarreta que (an)n:2::1 é uma PA de ordem 
k - 1. Considere, então, uma sequência ( an)n:2::1 que satisfaz (9.8) para 
m = k, i.e., tal que 
(k; 1)an+k+l - .(k; 1)an+k + · · · + (-ll+l (:: ~)an = O, 
para n 2 1. Então, utilizando a relação de Stifel, juntamente com 
as igualdades (k't1) = (~) e (!!~) = (!), reobtemos sucessivamente as 
relações (9.11), (9.10) e (9.9), para n 2 1. Portanto, segue da hipótese 
de indução que a sequência (bn)n:2'.:l é uma PA de ordem k-1, de sorte 
que, por definição, (an)n:2::1 é uma PA de ordem k. D 
Podemos, finalmente, apresentar a aplicação prometida do teorema 
9.21. 
Exemplo 9.24. Se (an)n:2'.:l é uma PA de ordem m, então (9.8) vale 
para todo n 2 1, de sorte que o polinômio característico de (an)n:2::1 é 
f(X) = (m; l)xm+i _ (m t l)xm + ... + (-l)m+l (:: ~) 
= (X - l)m+l. 
Pelo teorema 9.21, existem constantes ao, ai, ... , am tais que 
an =ao+ a1(n - 1) + · · · + am(n - l)m, 
para todo n 2 1. Avaliando a relação acima para n = 1, obtemos 
ªº = a1; avaliando-a para n = 2, ... ' m + 1, obtemos ai, ... ' am 
como soluções do sistema linear de equações 
a1 +a2 + · · · + am 
2a1 + 22a2 + · · · + 2mam 
,. ~·li ri ·~:;, 
1 
i 
I' 
11 
! 
,1 
I· 
1 
1, 
1 
11 
I'! 
lJ 
242 Recorrências Lineares 
Observe que o fato de um tal sistema linear de equações sempre admitir 
uma única solução é uma decorrência imediata do teorema 9. 21. 
Problemas - Seção 9.3 
1. Seja k um natural dado e ( an)n~l uma sequência tal que 
1 
an = 2(an-k + an+k), 
para todo natural n > k. Use o teorema 9.21 para mostrar que 
k 
an = L)Aj + (n - l)Bj)wi-1., 
j=l 
para todo n ~ 1, onde w = eis 2;. 
2. Prove as identidades da proposição 4.17 com o uso de funções 
geradoras. 
CAPÍTULO 10 
Soluções e Sugestões 
Seção 1.1 
2 
3. 
4. 
Para o item (b), escreva lz + wl 2 = (z + w)(z + w) e use o resultado 
do item (b) do lema 1.1, juntamente com 1.8. 
Para o item (a), aplique a desigualdade lz + wl ::S lzl + lwl, com u- z 
no lugar de z e z - v no lugar de w. Para o item (b), observe que a 
desigualdadeemquestãoéequivalentea-lz-wl ::S lzl-lwl ::S lz-wl; 
em seguida, para obter a desigualdade lzl - lwl ::S lz - wl, aplique a 
desigualdade lz + wl ::S lzl + lwl, escrevendo z - w no lugar dez. 
Se z tem a forma do enunciado, use o item (a) do problema 2 para 
concluir que lzl = 1. Reciprocamente, suponha que lzl = 1. Imponha 
que z = t;t;, com w E C, para obter w = i t;:!; em seguida, use os 
itens (b) e (d) do lema 1.1, juntamente com o fato de que lzl = 1, 
para concluir que w E R 
243 
244 Soluções e Sugestões 
5. Desenvolva ambos os membros da desigualdade lz - al2 < 11 - azl2, 
utilizando o resultado do item (b) do problema 2. 
6. Note inicialmente que Zk+l = Zk ( 1 + k). Em seguida, calcule 
lzkl em função de k utilizando produtos telescópicos. Por fim, veja 
- -3.ki_ que Zk+l - Zk - v'k+i. 
7. Revise a definição de adição e subtração de vetores, no capítulo 8 de 
[11]. 
8. Suponha que uma tal ordem total exista e chegue a uma contradição. 
9. As verificações dos itens (a) a (e) são longas, mas elementares. Quanto 
ao item (f), a primeira parte é imediata a partir da definição da mul-
tiplicação em lHI; para a segunda parte, basta utilizar a igualdade 
la,812 = a,Ba,B, juntamente com o resultado do item (e). O item (g) 
segue da segunda parte de (f). Finalmente, se a E lHI \ {O}, então 
a · ~ = 1; daí, se a,B = O e a =/:- O, então 
o= 1:i2 (a,B) = c:i2ª) ,B = 1 ·,B = ,8. 
Por fim, se a,B = 1, então a,8- a~ = O ou, ainda, a (,a - 1:i2 ) = O; 
mas, como a =/:- O, segue que ,B = ~ ( aqui, escrevemos a - ,B para 
denotar a+ (-,8), onde -,8 = (-w) + (-x)i + (-y)j + (-z)k se 
,B=w+xi+yj+zk). 
10. No plano complexo, sejam a, b, e, d e e os números associados aos 
vértices de P e suponha, sem perda de generalidade, que l10 = lb-cl, 
Em seguida, use um argumento geométrico para mostrar que podemos 
supor que d = O e e = 1. Em seguida, observe que as condições do 
enunciado equivalem a que lal2, lbl 2, lcl2, la - 112, lb - 112, lc - 11 2, 
la - bl 2 e la - cl2 sejam todos racionais. Conclua, com o auxílio do 
problema 2, que Re(a), Re(b), Re(c), Re(ab) e Re(ac) são racionais 
e, também, que Im(a)2 = lal2 - Re(a)2 é racional. Como 
Re(ab) = Re(a)Re(b) - Im(a)Im(b) 
= Re(a)Re(b) + Im(a)Im(b), 
245 
deduza que Im(a)Im(b) é racional; analogamente, Im(a)Im(c) tam-
bém é racional. Agora, como (novamente pelo problema 2) lb- cl 2 = 
lbl 2 + lcl 2 - 2Re(bc), basta mostrarmos que Re(bc) é racional. Para 
tanto, veja que 
Re(bc) = Re(b)Re(c) + Im(b)Im(c), 
de sorte que basta mostrarmos que Im(b)Im(c) é racional. Para o que 
falta, escreva 
I (b)I ( ) = Im(a)Im(b) · Im(a)Im(c) 
m me Im(a)2 . 
Seção 1.2 
1. Adapte, ao presente caso, a prova do corolário 1. 7. 
2. Comece observando que w + t = -1 e w3k = 1, w3k+l = w e w3k+2 = · 
w2, para todo k E Z. 
3. Ponha 1 ± y'3i em forma polar e use a primeira fórmula de de Moivre. 
4. Conjugue a segunda equação para obter z1 + z2 + z3 = O. Em seguida, 
use a primeira equação e o item (d) do lema 1.1 para concluir que 
1.. + 1.. + 1.. = O e, daí, que z1z2 + z1z3 + z2z3 = O. Por fim, observe 
Zl Z2 Z3 
que Ü = z1(z1z2 + Z1Z3 + z2z3) = z?(z2 + Z3) + 1 = -zr + 1, valendo 
identidades análogas para z2 e z3. 
5. Adapte, ao presente caso, a solução do exemplo 1.11. Para tanto, 
comece mostrando que a equação dada equivale a ( t:: rn = -1. 
6. Adapte, ao presente caso, a solução do exemplo 1.11, consoante a 
sugestão dada ao problema anterior. 
7. Escreva an = (n - w)(n - w2), com w = eis 2;. Em seguida, recorde 
que l+w+w2 = O, de maneira que (k- l-w)(k-w2) = (k+w2)(k-
w2) = k2-w e, analogamente, (k-l-w2)(k-w) = (k+w)(k-w) = 
k2 -w2. 
T 
1 
1 
1 
.i 
. 1' 
li, 
246 
8. 
9. 
10. 
Soluções e Sugestões 
Pondo w2 = p2 - 4q2, use a fórmula de Báskara para mostrar que 
as raízes têm módulos iguais se, e só se, Re(pw) = O; em seguida, 
substitua p = reis a, q = seis f3 e w = t eis 'Y em w2 = p2 - 4q2, com 
r, s, t E lR+, e conclua que ia - f31 é um múltiplo inteiro de 1r. 
Fazendo z2 = z; + z1 e Z3 = z; + z1, mostre que podemos supor z1 = O; 
em seguida, fazendo zi = wz; e zl = wz;, mostre que podemos supor 
'-1 Z2 - . 
Se w = eis 2;, use a primeira fórmula de de Moivre para calcular as 
partes real e imaginária do primeiro membro de (1.19). 
11. Para o item (a), adapte a sugestão dada ao problema anterior. Faça 
o mesmo quanto ao item (b), utilizando também a fórmula sen 2x = 
!(1 - cos(2x)). 
12. Para k E N fixado, o conjunto das raízes n-ésimas da unidade é um 
subconjunto finito de C satisfazendo as condições (a) e (b). 
13. Comece utilizando a finitude de A para mostrar que todos os seus 
elementos são raízes da unidade. Em seguida, se z E A e zk = 1 para 
algum natural k, mostre que k I n. 
14. Opere duas vezes a substituição z t-+ wz+a na condição do enunciado. 
Seção 2.1 
2. Para o item (c), lembre-se de que, de acordo com o exemplo 5.12 
de [10], todo número natural pode ser escrito, de maneira única a 
menos de uma reordenação, como uma soma de potências de 2, com 
expoentes inteiros não negativos e dois a dois distintos. 
4. Por contraposição, mostre que se f,g E K[X] \ {O}, então fg #- O. 
Para tanto, escreva f(X) = I::,k aiXi e g(X) = I:"J=l bjXi, com 
ak, bl #- O, e examine o coeficiente de Xk+l em f g. 
247 
5. Se g(X) = f(X) +!,então g(X) + g(l - X)= O ou, ainda, g(X) = 
-g(l - X). Fazendo g(X) = (X - a)2ºº1, devemos ter (X - a)2ºº1 = 
-(1 - X - a)2ºº1 = (X+ a - 1)2001 . Basta, pois, escolher a de tal 
. . 1 
forma que a= 1 - a, 1.e., a= 2. 
Seção 2.2 
1. Comece escrevendo X 2 +X+ 1 = (X2 - X+ 1) + 2X. 
2. Comece observando que 
x2m -1 = (X2m-1 + l)(X2m-1 -1) 
= (X2m-l + l)(X2m-2 + l)(X2m-2 - 1) = •. • ' 
de sorte que X 2n + 1 divide X 2m - 1. 
3. Escreva f(X) =(X+ 2)q1(X) - 1 = (X - 2)q2(X) + 3, com q1, q2 E 
Q[X]. Em seguida, se q1(X) = (X - 2)q(X) + r, então f(X) = 
(X2 -4)q(X) +(X+ 2)r -1. Use a parte de unicidade do algoritmo 
da divisão para concluir que r = 1. 
4. Escreva f(X) =(X+ l)(X2 + l)q(X) + (aX2 + bX + e), para certos 
a, b, e E lR. Em seguida, mostre que os restos das divisões de aX2 + 
bX + e por X + 1 e X 2 + 1 são respectivamente iguais aos polinômios 
a - b + e e bX + ( e - a). 
Seção 3.1 
1. Inicialmente, mostre que é suficiente considerar o caso em que f é da 
forma f(X) = axn, para algum a E K \ {O}, e g não é constante. 
Para o que falta, use o corolário 3.14 . 
' ! 
248 Soluções e Sugestões 
2. Para o item (a), use a fórmula do binômio de Newton; para (b), 
escreva J(X) = cnXn + · · · + c1X + Co e use (a) para concluir pela 
existência de racionais A e B tais que f(a ± byr) =A± Byr. Em 
seguida, aplique o resultado do problema 1.3.3 de (10]. 
3. Use o resultado do problema anterior para concluir que o polinômio 
dado é divisível por X 2 - 2X - 1. 
4. Use o algoritmo da divisão. 
5. Comece observando que, se um tal f existir, então f(y) 2 = 1 - y2, 
para todo O ~ y ~ 1 e, daí, para todo y E lR. Em seguida, conclua 
que 8 f = 1 e chegue a uma contradição. 
6. Use o teste da raiz para ±i. 
7. Se a fosse uma raiz inteira de f, use a condição f(O) ímpar, junta-
mente com o critério de pesquisa de raízes racionais, para concluir que 
a seria ímpar. Em seguida, mostre que se x for ímpar, então f ( x) e 
f(l) têm paridades iguais, de sorte que f(a) seria ímpar e, portanto, 
não poderíamos ter f(a) = O. 
8. Sendo r a razão da PA, escreva x = y - r e z = y + r e conclua 
que o polinômio X 5 -10X4 - 20X2 - 2 tem a raiz racional x/r. Em 
seguida, aplique o critério de pesquisa de raízes racionais para chegar 
a uma contradição. 
9. Uma vez que {2 cos O; O E JR} = [-2, 2], o qual é um conjunto infinito, 
o corolário 3.10 garante que há, no máximo, um polinômio fn satis-
fazendo a condição do enunciado. Agora, para o item (a), é imediato 
verificar que fi ( X) = X e ( com o auxílio de um pouco de trigonome-
tria) h(X) = X 2 - 1 satisfazem as condições do enunciado. Para o 
que falta, seja Un)n?.1 a sequência de polinômios tal que fi(X) = X, 
h(X) = X 2 -1 e Ík+2(X) = Xfk+1(X) - fk(X), para k ~ 1 inteiro. 
Suponha, por hipótese de indução, que Jj(2cos0) = 2cos(j0), para 
1 ~ j ~ k + 1 e todo O E JR. Com um pouco de trigonometria, é 
imediato verificar que 
2cos0 · 2cos(k + 1)0 - 2cos(k0) = 2cos(k + 2)0 
ou, o que é o mesmo, 
Ík+2(2 cos O) = 2 cos O· Ík+1 (2 cos O) - fk(2 cos O) 
= 2 cos O· 2 cos(k + 1)0 - 2 cos(kO) 
= 2cos(k + 2)0, 
249 
para todo O E lR. Por fim, (b) e (c) seguem imediatamente de (a), 
por indução sobre n EN. 
10. Sejam m, n,p, q E Z, tais que n, q i- O e cos(~n') = ~- Use o resultado 
do problema anterior para mostrar que fn(~) = 2(-l)m e, daí, que 
? é raiz de um polinômio mônico e de coeficientes inteiros. Por fim, 
como?= 2cos(~1r) E [-2,2], conclua que!= 0,±! ou ±1. 
11. Suponha que o polinômio em questão possui uma raiz inteira, r diga-
mos, de sorte que 
r4 -1994r3 + (1993 + m)r2 - llr + m = O. 
Examinando tal igualdade módulo 2, conclua que m e r são pares. 
Suponha, agora, que a e b sejam raízes inteiras distintas do polinômio 
em questão. Então, subtraindo membro a membro as igualdades 
a4 - 1994a3 + (1993 + m)a2 - lla + m = O 
e 
b4 - 1994b3 + (1993 + m )b2 - llb + m = O, 
e fatorando a - b do resultado, obtenha 
(a+ b)(a2 + b2) - 1994(a2 + ab + b2) + (1993 + m)(a + b) = 11 
e chegue a uma contradição. 
1 
!I 
250 Soluções e Sugestões 
12. SejaX2-X-1 = (X-u)(X-v). Pelo teste da raiz, basta encontrar-mos todos os a e b tais que au17 + bu16 + 1 = O e av17 + bv16 + 1 = O. 
Multiplicando a primeira relação por u 16, a segunda por v16 e sub-
16 16 n n 
traindo os resultados, obtenha a= u u=~ . Agora, defina Xn = uu=~ 
e mostre que x1 = x2 = 1 e Xn+2 = Xn+l + Xn, para todo n EN, de 
sorte que a sequência (xn)n~l é a sequência de Fibonacci. Conclua, 
a partir daí, que a == 987 e calcule o valor de b de modo análogo. 
13. Escreva p(X) = X(X - a2) ... (X - an), com a2, ... , an inteiros não 
nulos e dois a dois distintos. Para d E Z, mostre que p(p( d)) = O 
se, e só se, d = ai para algum 1 :S i :S n ou p(d) = ai, para algum 
2 :S i :S n. Neste último caso, temos d # O; ademais, escrevendo 
a= ai, mostre que existe q E Z* tal que d(d- a)q = a. Conclua que 
dq + 1 = -1 e, daí, que d = ~. Por fim, deduza, a partir daí, que 
(d- a2) ... (d- an) = 2, e use o fato de ser n > 4 para chegar a·uma 
contradição. 
14. Há dois casos essencialmente distintos, quais sejam, f(p1) = f(p2) = 
f (p3) = 3 e f (p4) = -3, ou f (p1) = f (p2) = 3 e f (p3) = f (p4) = -3. 
No primeiro caso, mostre que f(X) = a(X -p1)(X -p2)(X-p3)+3 
e use, em seguida, a condição f(p4) = -3, juntamente com o fato de 
os pi's serem primos e distintos, para chegar a uma contradição. No 
segundo caso, mostre que J(X) = a(X - P1)(X - p2)(X - q) + 3 e 
calcule J(O) para concluir que q = a!~:2 ; use, em seguida, as condições 
f(p3) = f(p4) = -3 para chegar a uma contradição. 
15. Use o teste da raiz para concluir que p(X) = 5 + (X -a)(X -b)(X -
c)(X - d)q(X), para algum polinômio q E Z[X]; em seguida, faça 
x = m nas funções polinomiais correspondentes e chegue a uma con-
tradição. 
16. Se w = eis 2;, então w e w2 são raízes cúbicas da unidade e as raízes 
de X 2 + X + 1; use tais fatos para examinar para quais k E N temos 
w2k + 1 + (w + 1)2k = O e, analogamente, para w2 no lugar de w. 
17. Comece definindo f (X) = I:r=l Xªi e g(X) = I:r=l Xb;; em seguida, 
251 
use as condições do enunciado para mostrar que 1 é raiz de f - g e 
que (!(X)+ g(X))(f(X) - g(X)) = f(X2) - g(X2). 
Seção 3.2 
1. Adapte, ao presente caso, a demonstração do teorema 3.21. 
2. Adapte, ao presente caso, a demonstração do teorema 3.21. 
3. Use o resultado do problema anterior. 
4. Aplique a fórmula de multiseção. 
5. Argumentemos como na prova do teorema 3.22: se f (X) = Lk~O akXk 
e S denota o segundo membro da expressão do enunciado, então 
p-1 
S = ! LW(p-l)rj LªkWjk 
p j=O k~O 
p-1 
= ! L L akw((p-l)r+k)j 
p j=O k~O 
p-1 
= ! Lªk LW(k-r)i, 
p k~O j=O 
onde utilizamos a relação wP = 1 na última igualdade. Agora, se 
k = r (modp), digamos k- r = pq, então 
p-1 p-1 p-1 
LW(k-r)j = L(wP)q = L lq = p; 
j=O j=O j=O 
se k t=, r (modp), então wk-r # 1 e, pelo lema 1.12, temos 
p-1 . w(k-r)p - 1 
~ w(k-r)J = = O. 
L....J wk-r - 1 
j=O 
252 Soluções e Sugestões 
Portanto, 
6. Use o resultado do problema anterior. 
Seção 3.3 
1. Reveja a dedução da fórmula de Báskara, em [10]. 
2. Conjugue ambos os membros da igualdade f(z) = O. Em seguida, 
escreva f(z) = anzn + · · · + a1z + ao e use os itens (b) e (e) do lema 
1.1. 
3. Para f(X) = X 2 + 2iX - 1 temos que i é raiz mas -i não é raiz. 
4. Use o corolário 3.25 e o resultado do problema 2. 
5. Se f (X) = anXn + ªn-1xn-l + · · · + a1X + ao, com an #- O, segue de 
f(a:) = O que a:n = - ªn-l · a:n-l - · · · - ~O: - ª 0 . Agora argumente 
an an an ' 
por indução para provar (3.9) para m 2:: n. Para provar (3.9) para 
m = -1, escreva a igualdade 0:-1 f(a:) = O em termos dos coeficientes 
de f; para o caso m < O geral, use novamente indução. 
6. Use a desigualdade triangular para concluir que, se lzl 2:: 1, então 
7. Se z = a: + /3i é uma raiz complexa de f tal que a: > 2, use a 
desigualdade triangular, no espírito da sugestão dada ao problema 
anterior, para concluir que lanzn + an-1Zn-l l < k1J;11:~1 ; mostre, a 
partir daí, que lzl < 1 + 1 ; 1 e, por fim, substitua z =a:+ i/3. anz an-1 
8. Para o caso de grau quatro, se z E (C é uma raiz, então z -=1- O e 
a (z2 + }2 ) +b ( z + ~) +e; faça agora a mudança de variável w = z+ ~. 
Para o caso de grau seis, raciocine analogamente. 
253 
9. Use a condição do enunciado para obter a forma fatorada do polinô-
mio g(X) =(X+ I)f(X) - X. 
10. Mostre inicialmente que, se a, b e e são tais raízes, então a hipótese 
de que a, b e e são positivos garante que a, b e e são os lados de um 
triângulo se, e somente se, (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) > O; em seguida, 
substitua a + b + e = -p no primeiro membro dessa desigualdade e 
use a forma fatorada (X - a)(X - b)(X - e) do polinômio. 
11. Assim como no exemplo 3.27, substitua X por 1 na forma fatorada de 
xn-1 + xn-2 + ... +X+ 1. Em seguida, use um pouco de trigonometria 
para mostrar que, se w = eis 2;, então II - wk 1 = 2sen k:, para 
1 S k S n. 
12. Use o resultado do problema anterior, juntamente com a relação 
sen (-rr - x) = sen x, para x E R 
13. Se z E (C for uma raiz de p, mostre que z2 e z - 1 também o são. A 
partir daí, conclua sucessivamente que lzl = 1, lz - li = 1 e z = w ou 
z = w, onde w = eis 2f. Por fim, use o resultado do problema 2. 
Seção 3.4 
1. Use o resultado do corolário 3.32, nos moldes do exemplo 3.33, para 
mostrar que 8a3 - 25a2 - I80a + 608 = O. Em seguida, conclua que 
2. 
3. 
4. 
a=4. 
Escreva f(X) = g(X)2h(X) e, em seguida, calcule f'. 
Use o item (b) da proposição 3.29 para mostrar que f'(z) = '2:j=l !~1j · 
Use o item (b) da proposição 3.29 para mostrar quer 
J'(z) = t J;(z) f(z). 
j=l Jj(z) 
254 Soluções e Sugestões 
5. Pondo f(X) = IT~=l (1 + !Xk), mostre que f(l) = n + 1. Em 
seguida, mostre que 
f (X) = 1 + L _l_xa(S) 
0-j,SCin 1r(S) 
e calcule J'(l). Por fim, calcule jg} com o auxílio do problema 
anterior. 
6. Basta mostrar que, se um semiplano qualquer do plano complexo 
contiver as raízes de f, então ele também conterá as raízes de f'. 
Por absurdo, suponha que exista uma reta r tal que um dos semi-
planos que ela determina contém uma raiz w de f', enquanto o outro 
contém as raízes de f. Seja u E C de módulo 1 e tal que o vetor u 
é perpendicular a r; se f (X) = a(X - z1) ... (X - Zn) e (} e (}j são 
respectivamente os argumentos deu e de Zj - w, use o resultado do 
problema 3 para mostrar que 
Re (t lzi - wl-1 cos(Oj - O)) = O. 
J=l 
Agora, observe que (zj - w)/u tem um argumento em (-~, ~) e use 
a igualdade acima para chegar a uma contradição. 
7. Se J(X) = E~=ockXk, com ck E Z, então J(X) = E~=ock(a+X -
a l- Expanda a expressão do segundo membro em potências de X - a 
e compare o resultado com (3.10), quando z = a. 
8. Faça indução .sobre k ~ 1. Para o passo de indução, se mk EN for tal 
que f(mk) = O (modpk) e f'(mk) f=. O (modp), faça mk+l = mk+xpk, 
com x E Z a determinar. Em seguida, use a fórmula de Taylor (3.10), 
juntamente com o resultado do problema anterior, para mostrar que 
a partir daí, mostre que é possível escolher x de forma que f(mk+I) = 
O (modpk+l). Por fim, como mk+I = mk (modp) e f' E Z[X], temos 
f'(mk+I) = J'(mk) f=. O (modp). 
255 
Seção 4.1 
1. Adapte, ao presente caso, a demonstração da proposição 4.1. 
2. Para o item (a), adapte a ideia da solução do exemplo 4.3. Para o 
item (b), comece escrevendo 
(X -Y)5 +(Y-Z)5+(Z-X)5 = (X -Y)(Y -Z)(Z-X)J(X, Y,Z), 
com f de grau 2; em seguida, use a igualdade -y5 + (y - z )5 + z5 = 
-yz(y-z)f(O, y, z) para mostrar que f(O, Y, Z) = 5(Y2 -YZ+Z2) e, 
analogamente, J(X, O, Z) = 5(X2 -XZ + Z 2 ) e J(X, Y, O)= 5(X2 -
XY + Y2). Por fim, mostre que 
J(X, Y,Z) = 5(X2 + Y 2 + Z 2 -XY -XZ- YZ). 
3. Adapte a ideia da solução do exemplo 4.3 para concluir que 
J(X, Y, Z) =(X+ Y)(X + Z)(Y + Z)g(X, Y, Z), 
com g de grau 2. Agora, use a igualdade J(O, y, z) = yzg(O, y, z) para 
mostrar que g(O, Y, Z) = Y 2 + Y Z + Z 2 e, analogamente, g(X, O, Z) = 
X 2 + X Z + Z 2 e g(X, Y, O) = X 2 + XY + Y 2 . Por fim, mostre que 
g(X, Y,Z) = X 2 + Y 2 +z2 +XY +xz + YZ. 
Seção 4.2 
1. Use a simetria de f e g para mostrar que, fixada uma permutação u 
de ln, temos h(x1, ... , Xn) = h(xa(I), ..., Xa(n)) para infinitos xi, ... , 
Xn E K. Você precisará utilizar o resultado do problema 1, página 
90, bem como o resultado da proposição 4.1. 
4. Fazendo a2 + b2 + c2 = k, temos a3 + 3a2 = 3k-25, de modo que a é 
raiz de J(X) = X 3 + 3X2 + (25- 3k); analogamente, b e e são raízes 
de tal polinômio. Agora, use as relações de Girard para concluir que 
a+ b + e = -3 e ab + ac + bc = O, de sorte que a2 + b2 + c2 = 9. 
l 
1 
'1 
!' 
, !I 
;, 1,:' !, 
!I 
256 Soluções e Sugestões 
5. Sendo z1, z2, z3 as raízes complexas do polinômio dado, o polinômio 
desejado é f(X) = (X - zf)(X - z?)(X - zi). Use as relações de 
Girard, juntamente com o resultado do exemplo 4.3, para calcular 
os coeficientes de f em termos dos complexos dados a, b e e. Por 
exemplo, sendo g(X) = X 3 + aX2 + bX + e, temos g(X) = (X -
z1)(X - z2)(X - z3) e, daí, 
zr + z? + zi = (z1 + Z2 + Z3) 3 - 3(z1 + z2)(z1 + Z3)(z2 + Z3) 
= (-a)3 - 3(-a - z3)(-a - z2)(-a - z1) 
= -a3 - 3g(-a) = -a3 + 3ab- 3c. 
6. Para o item (a), use os resultados do problema 2, página 74 e do 
exemplo 4.7; para o item (b), use o resultado do problema anterior. 
7. Adapte o argumento do exemplo 4.7. 
8. Se f(X) = (X - a)(X - b)(X - e), então f(X) = X 3 - p, onde 
p = abc "1- O; argumente, agora, como na sugestão ao problema 5, 
página 75. 
9. Aplique o resultado do exemplo 4. 7 ao polinômio g(X) = X 10º + 
2X99 + 3X98 + · · · + a98X 2 + a99X + a100 ; em seguida, mostre que as 
raízes de g são os inversos das raízes de f. 
10. Sendo ax + by = e a equação de uma reta satisfazendo as condições 
do enunciado, substitua y = -~x- ~ na equação que define o gráfico 
de f e, em seguida, use as relações de Girard para calcular o valor de 
XI + X2 + X3 + X4. 
11. Sendo (x- a)2 + (y-b) 2 = R2 a equação do círculo, substitua y = i 
na mesma, utilizando em seguida as relações de Girard para calcular 
o produto das abscissas dos pontos de interseção. 
12. Para o item (a), use o corolário 3.32. Para o item (b), use o fato de 
que a3 = a2 +a+ 1, e analogamente para b e e; para o item (c), use 
(b) e as relações de Girard. 
257 
13. Para o item (a), use indução; para o item (b), observe inicialmente 
que 
14. Faça indução sobre n > 1 para concluir que x1 = x2 = · · · = Xn = 1. 
Para o passo de indução, se 
f(X) = (X - x1)(X - x2) ···(X - Xn) 
= xn + an_1xn-l + · · · + a1X + ao, 
conclua que 
O = f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) 
= n + ªn-1n + · · · + a1n + aon = nf (1). 
15. Conclua inicialmente que as raízes de f são negativas; em seguida, 
use as relações de Girard e a desigualdade entre as médias aritmética · 
e geométrica para deduzir que ªk ~ (~), para 1 :S k :S n - 1. 
16. Sendo x1 , ... , Xn as raízes de f, use as relações de Girard para concluir 
que I:f=1 x; = 3 e I1f=1 x; = 1; então, aplique a desigualdade entre 
as médias aritmética e geométrica para concluir que n :S 3. Por fim, 
considere separadamente cada um dos casos aos quais o problema 
ficou reduzido. 
Seção 4.3 
1. Para 1 :::; k :::; n use o teorema de Newton e as relações de Girard; 
para k ~ n + 1, use o item (a) da proposição 4.17. 
2. Use o item (b) da proposição 4.17 para provar, por indução sobrei, 
que as i-ésimas somas simétricas elementares de a1, ... , an e b1, ... , 
bn coincidem, para 1 :S i :S n; em seguida, compare os coeficientes 
dos polinômios I17=1(X - ai) e I17=1(X - bj)· 
i' 
1 
., 1 
,(r 
"l; 
.i· 
11 '1 
I
r ::'; 
.: ! 
1'1 ', 
H i 
258 Soluções e Sugestões 
3. Use o item (b) da proposição 4.17 para provar, por indução sobre j, 
que Sj = (;), para 1 :::; j :::; k. 
4. Para o item (a), fatore xm-zm sobre C e use o resultado para fatorar 
g sobre C. 
5. Para o item (a), se f(X) = xn + ªn-1xn-l + · · · + a1X + a0 é 
um polinômio de coeficientes inteiros e tal que todas as suas raízes 
complexas têm módulo 1, use as relações de Girard para mostrar que 
lan-kl:::; (~), para O< k:::; n. Para o item (b), sejam a1, ... ,an 
as raízes de f. Mostre, com o auxílio do teorema de Newton, que o 
polinômio Ík(X) = (X - at) ... (X - a~k) tem coeficientes inteiros, 
para todo k ~ 1. Em seguida, use o item (a) para garantir a existência 
de naturais k < l tais que Ík = fz. Por fim, use tal igualdade para 
mostrar que ai é uma raiz da unidade, para 1 :::; i. :::; n. 
Seção 5.1 
1. Para cada raiz complexa não real z = a + bi de f, escreva o fator 
(X - z)(X - z) de f como na prova do lema 5.1. Em seguida, ponha 
f na forma fatorada e mostre que IJ(m)I-::/= O, 1. 
2. Se a < a < /3 são as raízes de f mais próximas de a, aplique o teorema 
de Bolzano a intervalos do tipo ( a, b) ou (b, a) contidos no intervalo 
(a,/3). 
3. Por contradição, suponha f' (a) > O ( o outro caso é análogo) e aplique 
o item (a) do corolário 5.7, juntamente com o resultado do problema 
anterior. 
4. Aplique o teorema de Bolzano, o corolário 5. 7 e o resultado do pro-
blema anterior, observando que f'(x) = O {::} x = O ou x = i e 
f(-1), J(i) <O< f(O). 
259 
5. Tome no maior que as maiores raízes reais de f e de f'. Use o te-
orema de Bolzano, juntamente com o fato de que f(x) > O para x 
suficientemente grande ( conforme estimativa análoga à que precede 
(3.7)) para mostrar que f(x) > O para x > no. Em seguida, use o 
corolário 5.7 para mostrar que f(u) > f(v) para u > v > no. 
6. Tome, de acordo com o problema anterior, no E N tal que u > v > 
no::::} f(u) > J(v) > O. Em seguida, sem> no é um inteiro tal que 
f(m) = p, um número primo, mostre que J(m + p2) é composto. 
7. Inicialmente, mostre que a condição do enunciado equivale a x 11 -x = 
y 11 - y. Em seguida, prove que, para qualquer e E JR, o polinômio 
f(x) = X 11 - X - e tem no máximo três raízes reais distintas; para 
tanto, você precisará utilizar os resultados do corolário 5. 7 e do pro-
blema 3, de maneira análoga àquela delineada na sugestão ao pro-
blema 4. 
8. Como À -::/= O, mostre que À é raiz do polinômio do enunciado se, e · 
só se, f(.X) = 1, onde J(X) = (X - a1)(X - a2)(X - a3)(X - a4). 
Agora, mostre que fé decrescente em (-oo, a1), de sorte que J(O) = 1 
garante que À ~ a1. Por fim, note que, se a1 :::; À :::; a2, então 
f(.X):::; o. 
9. Sejam J(X) = aX4 + bX3 + cX2 + dX + e e t > 1 tal que t 2 é 
uma raiz real de aX2 + (e - b)X + (e - d). Mostre que f(t)J(-t) = 
(bt2 + d)(l - t 2) < O e, em seguida, use o teorema de Bolzano. 
10. Faça 
e conclua que xg'(x) = f(x) 2 ~ O, para todo x ~ O. Em seguida, use 
o corolário 5.7 para concluir que g(l) ~ g(O) = O, com igualdade se, 
e só se, g for constante. 
11. Comece mostrando que f tem três raízes reais distintas a < /3 < "(, 
tais que -2 <a< -1, O< /3 < 1 e 1 < 'Y < 2. Em seguida, observe 
260 Soluções e Sugestões 
que J(f(x)) = O se, e só se, f(x) = a, /3 ou 'Y· Por fim, examine 
as quantidades de raízes reais distintas de cada um dos polinômios 
f (X) - a, f (X) - /3 e f (X) - "f. 
12. Seja g(x) = f(x) + f'(x) + f"(x) + · · · + j(n)(x) e suponha, por con-
tradição, que g assume valores negativos. Então, f i- O e a condição 
f ( x) 2: O para x E IR garante que n é par e o coeficiente líder de J 
é positivo. Portanto, limlxl----++oo f(x) = +oo, e o teorema de Wei-
erstrass (o teorema 4.31 de [121) garante a existência de x0 E IR tal 
que g assume seu valor mínimo em xo, valor este negativo. Segue do 
problema 3 que g'(xo) = O. Mas, como 
g'(xo) = f'(xo) + f"(xo) + · · · + JCn)(xo), 
temos que 
O> g(xo) = J(xo) + g'(xo) = f(xo) 2: O, . 
o que é uma contradição. 
13. Mostre inicialmente que B pode jogar de forma tal que, quando falta-
rem ser escolhidos exatamente três coeficientes, ao menos dois deles 
sejam coeficientes de termos xr, com r ímpar. Em seguida, após A 
jogar, teremos f(X) = g(X) + aXk + bX1, sendo g um polinômio 
completamente determinado, 1 ::; k, l ::; 2n - 1 inteiros distintos e a 
e b coeficientes a escolher, tais que pelo menos l é ímpar. Por fim, 
como f(2) = g(2) + 2ka+ 21b e J(-1) = g(-1) + (-l)ka-b, teremos 
f(2) + 21J(-1) = g(2) + 219(-l) + (2k + (-l)k21)a, de forma que 
B d · lh d 9C2)+219(-1) e 1 - a1 po e Jogaresco en o a = 2k+(-l)k 21 . onc ua que, apos t 
jogada de B, teremos f (2) + 21 f (-1) = O, de sorte que, pelo TVI, f 
terâ pelo menos uma raiz real, independentemente da última jogada 
de A. 
14. Sem perda de generalidade, suponha que o coeficiente líder do polinô-
mio f, originalmente escrito na lousa, é positivo, e sejam a a menor 
e /3 a maior raiz real de f. Se a < /3, mostre que f'(a) > O ou 
261 
f' (/3) > O; se f' (/3) > O ( o caso f' (a) > O é anâlogo), conclua que 
o próximo polinômio escrito na lousa ou não tem raiz no intervalo 
[/3, +oo) ou tem uma raiz em (/3, +oo). Se a = /3, de sorte que 
f(X) = (X - a)3 , mostre que f ± f' se enquadra no primeiro caso. 
15. Se bi = -ai para 1::; i::; n, mostre que a condição f(x) 2: 1 equivale 
a :f ~~ ::; O, onde q(X) = f1~=l (X - bi) e 
Mostre que p tem uma raiz x1 E (b1, +oo); em seguida, use o teorema 
de Bolzano para mostrar que p também possui uma raiz Xi em cada 
um dos intervalos (bi, bi-1), para 2 ::; i ::; n. Analisando separada-
mente os casos n par e n ímpar, mostre que a soma dos comprimentos 
dos intervalos-solução da inequação :f~~ ::; O é l~~=l Xi - ~~=l bil· 
Por fim, use as relações de Girard para mostrar que ~~=l Xi = O. 
Seção 5.3 
1. Se f denota o polinômio do enunciado e g(X) = (X - l)f(X), então 
g(X) = xn+I - 2xn + 1. Conclua, a partir da regra de Descartes, 
que g tem no mâximo duas raízes reais positivas e, daí, que f tem 
uma única raiz positiva, a qual deve ser an (alternativamente, apele 
para o exemplo 5.17). Para concluir, é suficiente, pelo teorema de 
Bolzano, mostrar que f (2 - 2n1:_i) e f (2 - 2;) têm sinais contrârios. 
Por fim, use o fato de que 1 < 2 - 2n1:_I < 2 - 2; para mostrar que é 
suficiente provar que g ( 2 - 2n1:_i) e g ( 2 - 2;) têm sinais contrârios. 
2. Se f(X) = aX3 +bX2 +cX +d, queremos calcular o número de raízes 
reais de g = 2f f" - (!')2 . Suponha, sem perda de generalidade, que 
a = 1; ademais, se a < /3 < 'Y são as raízes de f, mostre que, 
trocando g(X) por h(X) = g(X + /3), podemos supor, sem perda 
'i I 
262 Soluções e Sugestões 
de generalidade, que /3 = O e, daí, que e < O e d = O. Sob tais 
simplificações, um cálculo imediato fornece g(X) = 3X4 + 4bX3 + 
6cX2 - c2 . Basta, agora, usar a regra de Descartes para concluir que 
g tem exatamente uma raiz positiva e exatamente uma raiz negativa. 
Seção 6.1 
1. Para o item (i), use o fato de que âfj = j para concluir que an = 
bn; em seguida, argumente por indução. Para (ii), tome n = âf e 
argumente por indução sobre n; para o passo de indução, comece 
escolhendo an igual ao coeficiente líder de f. 
2. Para k = O e k = 1, o resultado é trivial. Para k 2:: 2, mostre que 
G)(x) = O se O ::; x ::; k - 1, (1)(x) = (%) se x 2:: k e (1)(x) = 
(-l)k(-xkl+k), se x < O. . 
3. Aplique o teorema de interpolação de Lagrange. 
4. Aplique o teorema de interpolação de Lagrange. 
6. Adapte, ao presente caso, a demonstração da proposição 6.6. 
7. Faça w = eis 2;; em seguida, para 1 ::; k ::; n-1 substitua x = wk nas 
funções polinomiais correspondentes a p e aos Pj 's e use o resultado 
da proposição 6.6. 
8. Para cada um dos primos p do conjunto A= {3, 5, 7, 11, 13, 17}, seja 
ap o valor comum das somas ak+ªk+p+ak+2p+· · · quando k varia de 
1 a p, e Wp = eis 2;. Se J(X) = a50X50 + · · · + a2X2 + a1X, aplique 
a versão geral da fórmula de multiseção ( dada pelo problema 5) para 
r = O, 1, ... ,P - 1, a fim de obter um sistema linear de equações do 
tipo (6.2) nas p incógnitas f(wi), O ::; j ::; p - 1. Conclua, com o 
auxílio da proposição 6.6, que a solução de tal sistema é f(l) = pap 
e f(wp) = · · · = f(w~- 1) = O, obtendo, assim, p - 1 raízes distintas e 
não nulas para f. Por fim, notando que LpEA (p - 1) = 50 e que O 
também é raiz de f, conclua que f = O. 
263 
Seção 6.2 
1. Façamos indução sobre k 2:: 1, sendo o caso k = 1 imediato. Suponha, 
por hipótese de indução, que a fórmula valha para um certo k E N. 
Para k + 1, temos: 
f(x + (k + l)h) = f(x + kh) + (fllf)(x + kh) 
k 
= f(x + kh) + ~ (;) (Ll~-j (Lllf))(x) 
k k 
= ~ G}L',~-i f)(x) + ~ G) (L'>!+l-j f)(x) 
k 
= ~ e) ( "'~-; !) (x) + (L'>~+l f)(x) 
k 
+ fi G}"':-(i-1) f)(x). 
Agora, executando uma troca de índices na última soma acima e 
utilizando a relação de Stifel, obtemos f(x+ (k+ l)h) sucessivamente 
igual a 
t G) ("'~-; f)(x) + ("':+! f)(x) + ~ C: 1) ("'•-; f)(x) 
= (fl~+l f)(x) + (flif)(x) 
+ ~ ( G) + C: 1)) ("'t+l}-(i+l} f)(x) 
= I: k ~ 1 (Ll~+l-j f)(x). k+l ( ) 
j=O J 
2. Adapte, ao presente caso, as soluções dos exemplos 6.15 e 6.15. 
3. Como âf = n, a proposição 6.14 garante que fln+l f = O, onde 
escrevemos [lk para denotar Llr Portanto, segue do item (e) da 
264 Soluções e Sugestões 
proposição 6.13 que 
n+l 
O = (~n+l f)(O) = L(-l)j (n ~ 1) f(n + 1 - j) 
j=O J 
n+l 
_ '°'( l)j (n + 1) 1 - {;r_ - j · (n~i~j) + f(n + 1) 
n+l 
= I:(-l)j + f(n + 1), 
j=l 
de maneira que 
n+l { 
f ( n + 1) = - ~ ( -1 )J = O, se n = 1 (mod2) 
1, se n = O(mod2) 
4. Use o item (e) da proposição 6.13 para obter a igualdade 
Em seguida, utilize o lema 2.12 de [13], juntamente com o resultado 
do problema 18 da seção 6.2 de [10]. 
5. As condições do enunciado garantem que (~}f)(ü) > O para O< k < 
4 - -
3 e (~if)(n) > O para todo n E N. Mostre agora que, para todo 
m EN, temos 
n-1 
(~i-1 f)(n) = L(~i f)(k) + (~i-1 f)(O) 
k=O 
e, por fim, use a fórmula acima para mostrar sucessivamente que 
(~ff)(n) > O, (~tf)(n) > O, (~if)(n) > O e f(n) = (~~f)(n) > O, 
para todo n EN. 
265 
Seção 7.1 
2. Inicialmente, mostre que Pi1 ••. Pkk divide ambos f e 9 em (Q[X]. Para 
o que falta, comece mostrando que, se h E (Q[X] é mônico e tal que 
h I f rni[X] t- h _ 81 8k 8~ 8f O J: em ~ , en ao - p1 ... Pk q1 ... q1 , com ::::; ui ::::; ai, para 
1 ::::; i ::::; k, e O::::; 8: ::::; a~, para 1 ::::; i ::::; l. 
3. Argumente por contraposição. 
5. Comece utilizando o corolário 3.25, juntamente com o problema 2, 
página 74, nos moldes do item (b) do exemplo 7.7. 
6. Para o item (a), faça indução sobre k, utilizando o corolário 7.4 para 
mostrar que existem li, Ík E JK[X] tais que t = "'l hªk-l + 4, com 
g 91 ... gk-1 gk 
li = O ou 8 f1 < 8(9f1 •.. 9~1:._11 ) e Ík = O ou 8 Ík < 8(9rk). Para 
o item (b), comece dividindo f por 9k, obtendo f = 9kq + r, com 
r = O ou O ::::; ar < 8(9k); em seguida, divida r por 9k-l e proceda 
indutivamente. 
Seção 7.2 
2. Como f é redutível sobre (Q, existem 91, h1 E Q[X] momcos, não 
constantes e tais que f = 91h1. Tome a, b, e, d E Z \ {O} tais que 
mdc (a, b) = mdc (e, d) = 1 e 91 = i9, h1 = á9, com 9, h E Z[X] 
mônicos e não constantes. Como bdf(X) = ac9(X)h(X), tome con-
teúdos e use o lema de Gauss para concluir que bd = ac. 
Seção 7.3 
2. Note primeiro que 
f(a) =O::::;, f(a) =O::::;, ](a)= O. 
A segunda afirmação é imediata. 
' 
i I 
266 Soluções e Sugestões 
5. Se a E <Q for uma possível raiz racional de f, o critério de pesquisa de 
raízes racionais garante que a E Z e a 1 84, mas ainda fornece muitas 
possibilidades para a; a fim de eliminar várias delas, projete f em 
Z3[X] e em Zs[X] para concluir, com o auxílio do problema 2, que 
a= O (mod3) e a= 4(mod5), de sorte que a= -6, -21 ou 84. 
6. Faça indução sobre âf; no passo de indução você terá de usar que 
P 1 ({) , para 1 :S k :::; p - 1. 
7. Suponha que fg não é primitivo e fixe um primo p que divide todos 
os seus coeficientes. A partir da igualdade fg = fg = Õ em Zp[X], 
conclua que f = Õ ou g = Õ. 
8. Use o resultado da proposição 7.19, juntamente com as relações de 
Girard. 
9. Mostre que, módulo 17, temos 
X 3 - 3X2 + I = (X -4)(X - 5)(X + 6). 
Em seguida, ponha Sk = ak + bk + ck, tk = 4k + 5k + (-6)k e conclua 
( com o auxílio dos métodos da seção 4.2) que 
A partir daí, mostre que sn E Z, para todo n E N, e sn = tn (mod 17). 
Seção 7.4 
1. Inicialmente, use o critério de pesquisa de raízes racionais para mos-
trar que o polinômio dado não tem raízes inteiras. Em seguida, analise 
a possibilidade X 4 - X 2 + 1 = (X2 + aX + b)(X2 + cX+ d), com 
a,b,c,d E Z. 
267 
2. Pelo lema de Gauss, basta mostrarmos que f não pode ser escrito 
como o produto de dois polinômios não constantes de coeficientes in-
teiros. Para tanto, observe inicialmente que, pelo critério de pesquisa 
de raízes racionais, f não possui raízes racionais; portanto, se f pu-
desse ser escrito como o produto de dois polinômios não constantes 
de coeficientes inteiros, deveríamos ter 
f(X) = (X2 + aX + b)(X3 + cX2 + dX + e), 
para certos a, b, e, d, e E Z. Desenvolvendo o produto do segundo 
membro acima e comparando coeficientes de mesmo grau, concluí-
mos que deveria ser be = 2, de forma que (b,e) = (1,2), (-1,-2), 
(2, 1) ou (-2, -1). Mas, verifica-se facilmente que nenhuma dessas 
possibilidades é compatível com as demais equações obtidas da com-
paração dos coeficientes. 
3. Escreva f(Xn) = g(X)h(X), com g, h E ~[X] \ lR como prescrito 
pelo enunciado e n > 1 (o caso n = 1 é trivial). Se g(X) = bkXk + 
bk+lxk+i + · · · e h(X) = ezX1 + ez+1xz+1 + · · · , com bk, ez # O, 
então, trocando g eh respectivamente por g(X) = bk + bk+lX + · · · 
e h(X) = ezXk+l + Cz+1Xk+l+l + · · · , podemos supor que g(O) # O. 
Sejam, pois, g(X) = bo + b1X + · · · e h(X) = ezX1 + cz+1xz+1 + · · · , 
com bo, ez # O. Use o fato de que f(Xn) = g(X)h(X) para mostrar 
que n l l. Em seguida, cancele os termos de grau mínimo em ambos os 
membros da igualdade f(Xn) = g(X)h(X) e argumente por indução 
sobre âf para mostrar que g(X) = g1(Xn) e h(X) = h1(Xn), para 
certos 91, h1 E ~[X]\~ como prescrito pelo enunciado. 
4. Pelo lema de Gauss, é suficiente examinar quando f = gh, com g e h 
polinômios mônicos, não constantes e de coeficientes inteiros. Adap-
tando a ideia da prova do exemplo 7.32, temos 1 = f (O) = g(O)h(O), 
de sorte que g(O) = h(O) = ±1; portanto, a1, a2, ... , an são raí-
zes duas a duas distintas do polinômio g - h. Se g - h # O, entãç:>, 
â(g-h) :S max{âg, âh} < âf = n, de sorte que g-h teria menos de 
n raízes distintas. Logo, g - h = O e, daí, f = g2 ou, ainda, 
g(X)2 - 1 = (X - a1) ... (X - an)· 
1 
! ' 
1 
268 Soluções e Sugestões 
Em particular, devemos ter n = 2k, para algum k E N. Suponha, 
sem perda de generalidade, que 
g(X)-l = (X-a1) ... (X-ak) e g(X)+l = (X-ak+1) ... (X-a2k), 
com a1 < a2 < · · · < ªk e ªk+l < ªk+2 < · · · < a2k· Então, 
e, avaliando a igualdade acima respectivamente em a1, a2, ... , ak, 
obtemos 
para 1 ::;; i ::;; k. A partir daí, conclua que, se k 2:: 3, então ao menos 
dois dos números ªk+l, ªk+2, ... , a2k seriam iguais, o que não ~ o 
caso. Por fim, analise separadamente os casos k =· 1 e k = 2 para 
obter os polinômios do enunciado. 
5. Use o critério de Eisenstein, em conjunção com o resultado do item 
(a) do problema 8, página 178. 
6. Use o teorema 7.27, em conjunção com o critério de pesquisa de raízes 
racionais (proposição 3.16). 
7. Suponha f = gh, com g, h E Z[X] \Z, e examine a igualdade J(X) = 
g(X)h(X) em Zp[X]. 
8. Pelo lema de Gauss, basta mostrar que fé irredutível em Z[X]. Por 
contradição, suponha que fosse f = gh, com g e h não constantes 
e de coeficientes inteiros e (sem perda de generalidade, uma vez que 
f(O) = p) g(O) = ±1. Use as relações de Girard para concluir que g, 
e então f, tem uma raiz complexa z de módulo menor ou igual a 1. 
Por fim, substitua a expressão de f na igualdade f(z) = O e use as 
hipóteses sobre os coeficientes de f para chegar a uma contradição. 
9. Sejam z1, ... , Zn as raízes complexas de f. Se lzj J ::;; 1, para algum 
1 ::;; j ::;; n, então 
JaoJ = Ja1Zj + · · · + anz.11 
::;; Ja1JlzjJ + · · · + JanlJziln 
::;; Ja1J + · · · + JanJ, 
269 
o que é um absurdo. Logo, JziJ > 1, para 1::;; j::;; n. Suponha, agora, 
que f = gh, com g, h E Z[X]\Z, digamos g(X) = bo+b1X + · +brXr 
e h(X) = co + c1X + · · · + c8 X 8 • Reenumerando os Zj 's, se necessário, 
podemos supor que as raízes de g são z1, ... , Zr. Então, segue das 
relações de Girard que 
Portanto, JboJ 2:: JbrJ + 1 e JcoJ ::;; JcsJ + 1, de sorte que 
JaoJ = lbolJcoJ 2:: (lbrJ + l)(Jcsl + 1) 
= lbrlJcsJ + lbrJ + lcsl + 1 
2:: lbrlJcsJ + 2,vJbrllcsl + 1 
= ( vlbrllcsl + 1)2 
=(~+1)2. 
Assim, JiaoT 2:: JfaJ + 1, o que é um absurdo. 
10. Para cada 1 ::;; i ::;; k, escolha ai E Ai; em seguida, escolha um 
primo p tal que p > a1, ... , ªk· Se A= {pq; q E N e p f q}, mostre 
que existe 1 ::;; j ::;; k tal que A n Aj é infinito. Por fim, aplique o 
critério de Eisenstein para mostrar que todo polinômio f de grau m, 
com coeficiente líder ªi e demais coeficientes em A n Aj satisfaz a 
condição ( c). 
11. Para o item (a), use um argumento àquele da prova do lema 5.1. 
Para o item (b), suponha que f = gh, com g, h E Z[X] \ Z. Então, 
segue de (a) que todos os coeficientes de g1(X) = g (X+ m - !) 
têm um mesmo sinal. Portanto, g2(X) := 91(-X) tem coeficientes 
270 Soluções e Sugestões 
não nulos e de sinais alternados, de sorte que 192 ( x) 1 < 191 ( x) 1 para 
todo x > O e, daí, 9 (-x + m - !) < 9 (x + m - !), para todo x > 
O; em particular, l9(m - 1)1 < l9(m)I. Conclua que l9(m)I ~ 2 e, 
analogamente, lh(m)I ~ 2. Por fim, use o fato de que f(m) é primo 
para chegar a uma contradição. 
12. Combine o teorema de Pólya-Szegõ, dado pelo problema anterior, com 
o resultado do problema 7, página 75. 
Seção 8.1 
1. Se f(X) = anXn+. · ·+a1X +ao E Q[X]\Q tem a por raiz, examine 
o polinômio 
(X) ªnxn an n-1 a1 [ ] \ 9 = - + -X +···+-X+ ao E Q X Q. rn rn-1 r 
2. Pela primeira fórmula de de Moivre, temos ( cos 2; + i sen 2; )n = 1. 
Em seguida, desenvolva o binômio e utilize a relação fundamental 
da trigonometria para obter um polinômio não nulo, de coeficientes 
racionais e tendo cos 2; por raiz. 
3. Use o critério de Eisenstein 7.28. 
4. Use primeiro o teorema de Gauss 7.15 para mostrar que existe 9 E 
.Z[X] \ .Z, irredutível sobre .Z e tal que 9(a) = O. Conclua, com o 
auxílio do lema de Gauss 7.14 que 9 também é irredutível sobre Q e, 
daí, que 9 = Pa· 
5. Para o item (i), aplique duas vezes a observação 8.10, juntamente com 
o fato de que P..,ra(X) = X - y'a ou X 2 - a, conforme y'a E N ou 
./a~ N (e analogamente para P,/b e P,jc)· Para o item (ii), use (i) e 
o critério de pesquisa de raízes racionais. 
271 
6. Pelo problema 2, página 185, fé irredutível sobre Q. Suponha, agora, 
que existam a e b inteiros primos entre si e n > 1 natural tais que 
f(a) = O, onde a= v'fTI. Seja 
9(X) = bXn - a= b(X - a)(X - aw) ... (X - awn-l), 
onde w = eis 2;. Pelo corolário 8.4, temos que f = Pai portanto, o 
item (b) da proposição 8.3 garante que f divide 9 em Q[X] e, daí, 
em .Z[X] (uma vez que f E .Z[X] e fé mônico). Portanto, segue do 
problema 2, página 7 4, que existem 1 :'.S k < l :'.S n - 1 tais que 
Examinando o termo independente de f, segue que -a5 = 2 e, daí, 
a = - ~- Mas, como h(X) = X 5 + 2 é irredutível (pelo critério de 
Eisenstein) e h(a) = O, deveríamos ter f = h, o que é um absurdo. 
7. Se a= a1, ... , am são as raízes de Pa e (3 = f31, ... , f3n são as raízes 
de PfJ, o candidato natural a analisar é 
h(X)= I1 (X-ai(3j)=(a1···ªmtfIPfJ(~ix). 
l<i<m i=l 
1~}3:;n 
Agora, observe que a1 ... am = ±pa(O) E Q. 
Seção 8.2 
1. Use o item (a) da proposição 8.14 para n = pk-l e n = pk. 
2. Uma raiz típica de <I>2n é w = eis 2;;, tal que 1 :'.S k :'.S 2n e 
mdc (k, 2n) = 1. Use, agora, o fato de que -w também é dessa 
forma para concluir que -w também é raiz de <I>2n· Conclua, pois, 
que <I>2n(X) é o produto de fatores do tipo (X - w)(X + w). 
272 Soluções e Sugestões 
3. Se <I>m e <I>n tivessem um fator não constante comum em C[X], então 
eles seriam idênticos, como polinômios minimais de uma qualquer de 
suas raízes comuns. Sendo <I>m = <I>n = f, seguiria do item (a) da 
proposição 8.14 que J2 dividiria xmn - 1, o que é um absurdo. 
4. Primeiramente, veja que, com n e d como no enunciado, temos <p(n) = 
<p(d) · ~' de forma que o<I>n = of, onde f(X) = <I>d(xnfd). Agora, 
se w = eis 2~71"' com 1 :s; k :s; d e mdc(k,d) = 1, e rJ E (C é uma 
raiz ~-ésima de w, mostre que rJ é uma raiz primitivan-ésima da 
unidade. Conclua, por fim, que <I>n e f têm as mesmas raízes. 
5. Pelo teorema de Dirichlet, escolha d EN tal que 1 + kd = p, um nú-
. E ºd ºd PA 1 l+d l+(k-l)d mero pnmo. m segm a, cons1 ere a (p-l)!, (p-l)!, ... , (p-l)! . 
6. A versão geral do teorema de Dirichlet garante que a PA ( n + 2, 2n + 
2, 3n + 2, ... ) contém infinitos primos. Sendo p = kn + 2 > a um 
qualquer deles e g uma raiz primitiva módulo p, segue do fato de 
{g, g2 , .•. , gP-1} ser um SCR módulo p a existência de um inteiro 
1 :s; t :s; p - 1 tal que gi = a ( mod p). Agora, aplique o teorema de 
Bézout para garantir a existência de naturais u e v tais que nu = 
t + (p - l)v, de sorte que (gur = a (modp). 
7. Considere, inicialmente, o caso em que a é ímpar. A condição do enun-
ciado garante a existência de naturais b e t e primos ímpares distintos 
q1, ... , qt para os quais a= b2q1 ... qt; portanto, pela proposição 7.23 
de [14], basta garantirmos a existência de infinitos primos p para os 
quais ( ~) ... (;) = -1. Pela lei da reciprocidade quadrática, tal 
relação equivale a 
ÍI (p.) = (-l)l+(p;1)(8/), 
j=l q] 
onde s = I:;~=l qj. Aplique, agora, o teorema dos primos de Dirichlet, 
escolhendo p = 4kq1 ... qt + 1. 
8. Faça D. = a2 - 4b. Multiplicando ambos os membros da equação 
dada por 4 e completando quadrados, mostre que as hipóteses do 
273 
problema garantem que a congruência x 2 = D. (mod n) tem solução, 
para todo n E N. Se D. não for quadrado perfeito, escreva D. = af32 , 
com a, f3 E Z e lal > l. Use, então, o resultado do problema anterior 
para chegar a uma contradição. 
Seção 8.3 
1. Prove que a expansão decimal de a não é periódica. 
2. Supondo que tais números fossem racionais, deduza que 1r e e seriam 
algébricos, exibindo polinômios com coeficientes racionais que teriam 
tais números como raízes. 
3. Se ya fosse algébrico, então várias aplicações do teorema 8.12 garan-
tiriam que o mesmo sucederia com ( va) = a. Se an fosse algébrico, 
e f E (Q[X] \ {O} fosse tal que f(a) = O, construa g E (Q[X] \ {O} tal 
que g(a) = O. 
Seção 9.1 
l. Use a relação (6.3) de [11] para estabelecer a recorrência satisfeita 
pelas sequências (xn)n=:,:1 e (Yn)n=:,:1- Em seguida, adapte a solução do 
exemplo 9.4 a esse caso. 
2. Se f(X) = X 3 - 3X2 + 1, comece mostrando que f tem raízes reais 
a > b > e, tais que - 160 < e < - 150 , 160 < b < 1~ e O < bn + cn < 1, 
para todo inteiro n 2 2. Se an = an + bn + cn para n 2 1, mostre 
que a1, a2, a3 E Z e ªk+3 = 3ak+2 - ak, para k 2 1; em seguida 
conclua, a partir do que fizemos acima, que l an J = an - l. Por fim, 
use a recorrência linear satisfeita pela sequência (an)n>l para mostrar 
que ªk+17 = ak (mod 17); alternativamente, apele para o problema 9, 
página 178. 
274 Soluções e Sugestões 
Seção 9.2 
1. Para a segunda parte, suponha que lzl > R e faça E = lzl - R. Use a 
condição de convergência para garantir a existência de n E N tal que 
lzn - zl < E e deduza, daí, que lznl > R, o que é uma contradição. 
2. Use o resultado do problema anterior. 
3. Adapte os argumentos delineados na prova da proposição 9.15. 
4. Aplique o resultado dos itens (a) e (b) do problema anterior à sequên-
cia das somas parciais de I:k21 (azk + bwk)· 
6. Comece observando que, se (zn)n21 é uma sequência em X tal que 
Zn--+ z, com z E X, então, pela desigualdade triangular, 
IIJ(zn)l - lf(z)II ~ lf(zn) - f(z)I. 
7. Veja inicialmente que, se (zn)n21 é uma sequência em X, tal que Zn--+ 
z, então lzn - zl < B para todo índice n suficientemente grande; daí, 
I f ( Zn) - f ( z) 1 ~ AI Zn - z 1, também para todo índice n suficientemente 
grande. Agora, mostre que a convergência de (zn)n21 para z acarreta 
a convergência de (f(zn))n21 para J(z). 
8. O caso m = 1 é o conteúdo do exemplo 9.12. Param= 2 e lzl < for, 
segue, daí, que 
Por indução, se 
= L ak+lzk+l 
k,l20 
1 '°' (n + m -2) n n 
(1 - az)m-l = L.....t m - 2 a z ' 
n20 
Referências 275 
então 
1 1 1 
onde utilizamos o teorema das colunas do triângulo de Pascal na 
última igualdade acima. 
Seção 9.3 
2. Nas notações do enunciado da proposição 4.17, ponha J(X) = ITi=l (1+ 
ZjX) = I:"J=o SjXi; em seguida, calcule f' de duas maneiras distin-
tas, e.g., diretamente e com o auxílio da fórmula para ~(~i, dada no 
problema 3, página 83. Por fim, compare, nos casos k < n e k ~ n, o 
coeficiente de xk-l em ambas as expressões para f'. Você precisará 
utilizar o resultado do exemplo 9.12. 
276 Referências 
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me II: Geometria Euclidiana Plana, Segunda edição. Sociedade 
Brasileira de Matemática. 
[12] CAMINHA, A. (2013). Tópicos de Matemática Elementar, Volu-
me III: Introdução à Análise, Segunda edição. Sociedade Brasi-
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[13] CAMINHA, A. (2016). Tópicos de Matemática Elementar, Vo-
lume IV: Combinatória, Segunda edição. Sociedade Brasileira de 
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CAPÍTULO A 
Glossário. 
AIME: American lnvitational Mathematics Examination. 
APMO: Asian-Pacific Mathematical Olympiad. 
Áustria-Polônia: Olimpíada de Matemática Austro-Polonesa. 
BMO: Balkan Mathematical Olympiad. 
Baltic Way: Baltic Way Mathematical Contest. 
Crux: Crux Mathematicorum, periódico de problemas da Sociedade 
Canadense de Matemática. 
IMO: lnternational Mathematical Olympiad. 
283 
284 Glossário 
Israel-Hungria: Competição Binacional Israel-Hungria. 
Miklós-Schweitzer: The Miklós-Schweitzer Mathematics Competi-
tion (Hungria). 
NMC: Nordic Mathematical Contest. 
OBM: Olimpíada Brasileira de Matemática. 
OCM: Olimpíada Cearense de Matemática. 
OBMU: Olimpíada Brasileira de Matemática para Universitários. 
OCS: Olimpíada de Matemática do Cone Sul. 
OIM: Olimpíada Ibero-americana de Matemática. 
OIMU: Olimpíada Ibero-americana de Matemática Universitária. 
ORM: Olimpíada Rioplatense de Matemática. 
Putnam: The William Lowell Mathematics Competition (Estados 
Unidos). 
Torneio das Cidades: The Tournament of the Towns, olimpíada 
intermunicipal mundial de Matemática. 
Índice Remissivo 
Adição de polinômios, 34 
Algoritmo 
da divisão para polinômios, 40 
de Horner-Ruffini, 49 
de Horner-Rufinni, 106 
Argumento principal de um com-
plexo, 17 
Argumentos de um complexo, 17 
Bézout 
Etienne, 156 
teorema de, 156 
Base, 141 
Bolzano 
Bernhard, 114 
teorema de, 114 
Chebyshev 
Pafnuty, 61 
polinômios de, 61 
Coeficiente líder, 38 
Complexo 
argumento principal de um, 17 
argumentos de um, 17 
conjugado, 6 
forma polar de um, 17 
forma trigonométrica de um, 
17 
módulo de um, 7 
plano, 7 
raiz de um, 21 
Complexos 
adição de, 5 
desigualdade triangular para, 
11, 12 
diferença de, 6 
multiplicação de, 5 
números, 3 
quociente de, 6 
Conjugado 
de um complexo, 6 
285 
286 ÍNDICE REMISSIVO ÍNDICE REMISSIVO 287 
de um quatérnio, 15 Elemento neutro, 37 identidades de, 106 Número 
Conjunto aberto, 220 
Fórmula Identidades 
algébrico, 190 
Conteúdo de um polinômio, 164 algébrico, grau de um, 209 
Convergência de uma série, 225 de de Moivre, primeira, 18 de Horner-Ruffini, 106 imaginário puro, 8 
de de Moivre, segunda, 21 de Jacobi, 110 
transcendente, 190 de Moivre de multiseção, 66 Indeterminada, 45 
Números complexos, 3 Abraham, 18 de Taylor, 81 
Newton primeira fórmula de, 18 Fatoração canônica, 162 Jacobi 
Isaac, 102 segunda fórmula de, 21 Forma polar, 17 Carl G. J., 108 
teorema de, 102 Derivada Forma trigonométrica, 1 7 identidades de, 108, 110 
de um polinômio, 76 Função teorema de, 108 
Norma de um quatérnio, 15 
propriedades da, 77 contínua, 227 Kronecker Ordem 
Descartes polinomial, 46, 172 delta de, 136 de uma recorrência, 215 
regra de, 131 
Leopold, 136 lexicográfica, 103 
René, 131 Gauss 
Desigualdade Carl F., 69 Lagrange Pólya, George, 187 
entre as médias, 126 lema de, 165 polinômios interpoladores de, Pólya-Szego, teorema de, 187 
triangular, 11, 12 teorema de, 70, 83 136 PA 
Desigualdades de McLaurin, 127 Girard, relações de, 91 teorema de interpolação de, 137 de ordem 1, 239 
Diferença Grau, 38 Lema de Gauss, 165 de ordem m, 239 
de polinômios, 37 de um número algébrico, 209 Limite de uma sequência, 222 Parte imaginária, 8 
finita, 147 de um polinômio, 86 Lindemann, Ferdinand, 213 Parte real, 8 
Dirichlet, teorema de, 206 propriedades do, 38 Liouville Plano complexo, 7 
Disco exemplo de, 212 Polinômio Hamilton a n indeterminadas, 85 aberto, 220 Joseph, 209 
fechado, 220 
quatérnios de, 14 
teorema de, 210 binomial, 142 
William R., 14 característico, 216 Divisor 
comum, 156 
Hermite, Charles, 213 Módulo de um complexo, 7 ciclotômico, 202 
Homotetia, 27 McLaurin coeficiente líder de um, 38 comum, máximo, 156 
centro de, 27 Colin, 126 conteúdo de um, 164 
Eixo razão de, 27 desigualdades de, 127 derivada de um, 76 
imaginário, 7 Horner-Ruffini Multiconjunto, 62 forma fatorada de um, 72, 73 
real, 7 algoritmo de, 49, 106 Multiplicação de polinômios, 34 grau de um, 38, 86 
288 
homogêneo, 98 
irredutível, 159, 165 
mônico, 38 
primitivo, 164 
raiz de um, 46 
recíproco, 75 
redutível, 159, 165 
simétrico, 90 
simétrico elementar, 91 
simetrização de um, 99 
ÍNDICE REMISSIVO 
Michel, 118 
teorema de, 118 
Raízes, soma simétrica elementar 
das, 92 
Raiz 
n-ésima da unidade, 22 
n-ésima de um complexo, 21 
da unidade, 22 
de um polinômio, 46 
múltipla, 52 
variação de um, 128 multiplicidade de uma, 52 
Polinômios primitiva da unidade, 202 
adição de, 34, 86 simples, 52 
algoritmo da divisão para, 40 teste da, 46 
associados, 156 Raiz primitiva, 173 
de Chebyshev, 61 da unidade, 202 
diferença de, 37 Recorrência 
iguais, 32 linear, 215 
igualdade de, 87 ordem de uma, 215 
interpoladores de Lagrange, 136 relação de, 215 
multiplicação de, 34, 86 Relação 
primos entre si, 158 
quociente de, 42 
relativamente primos, 158 
Projeção sobre Zp[X], 169 
Quatérnio 
conjugado de um, 15 
norma de um, 15 
Quatérnios, 14 
Quociente de polinômios, 42 
Rôlle 
de ordem parcial, 13 
de ordem total, 13 
Relações de Girard, 91 
Resto, 42 
Rotação, 27 
ângulo de, 27 
centro de, 27 
Série 
absolutamente convergente, 226 
convergência de uma, 225 
ÍNDICE REMISSIVO 
de potências, 229 
soma de uma, 225 
soma parcial de uma, 225 
SCI, 177 
SCR, 66 
Sequência 
convergente, 222 
divergente, 233 
limite de uma, 222 
recorrente linear, 215 
subsequência de uma, 222 
Sistema de Vandermonde, 140 
Subsequência, 222 
Szegõ, Gábor, 187 
Teorema 
de Bézout, 156 
de Bolzano, 114 
de Dirichlet, 206 
de Gauss, 70, 83 
de interpolação de Lagrange, 
137 
de Jacobi, 108 
de Liouville, 210 
de Newton, 102 
de Pólya-Szegõ, 187 
de permanência do sinal, 121 
de Rôlle, 118 
do valor médio, 117 
fundamental da álgebra, 70 
fundamental dos polinômios si-
métricos, 102 
Unidade imaginária, 4 
Vandermonde 
Alexandre-Theóphile, 140 
sistema de, 140 
289 
Variação de um polinômio, 128 
.!ISBM 
(continuação dos títulospublicados) 
Treze Viagens pelo Mundo da Matemática· C. Correia de Sa e J. Rocha (editores) 
Como Resolver Problemas Matemáticos · T. Tao 
Geometria em Sala de Aula · A. C. P. Rellmeister (Comitê Editorial da RPM) 
Números Primos, amigos que causam problemas - P. Ribenboim 
Manual de Redação Matemática· D.C de Morais Filho 
COLEÇÃO PROFMAT 
Introdução à Álgebra Linear · A. Refez e C.S. Fernandez 
Tópicos de Teoria dos Números. C. G. Moreira, F. E Brochero e N. C. Saldanha 
Polinômios e Equações Algébricas · A. Refez e M.L. Villela 
Tópicos de Historia de Matemática - T. Roque e J. Bosco Pitombeira 
Recursos Computacionais no Ensino de Matemática · V. Giraldo, P. Caetano e F. 
Mattos 
Temas e Problemas Elementares - E. L. Lima, P. C. Pinto Carvalho, E. Wagner e 
A. C. Morgado 
Números e Funções Reais · E. L. Lima 
Aritmética · Abramo Refez 
Geometria · A. Caminha 
Avaliação Educacional · M. Rabelo 
Geometria Analítica · J. Delgado, K. Frensel e L. Crissaff 
Matemática Discreta· A. Morgado e P.C.P. Carvalho 
Matemática e Atualidade · Volume 1 . C. Rousseau e Y. Saint-Aubin 
COLEÇÃO INICIAÇÃO CIENTÍFICA 
Números Irracionais e Transcendentes· D. G. de Figueiredo 
Números Racionais e Irracionais · I. Niven 
Tópicos Especiais em Álgebra· J. F. S. Andrade 
COLEÇÃO TEXTOS UNIVERSITÁR10S 
Introdução à Computação Algébrica com o Maple · L. N. de Andrade 
Elementos de Aritmética · A. Refez 
Métodos Matemáticos para a Engenharia · E. C. de Oliveira e M. Tygel 
Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies · M. P. do Carmo 
Matemática Discreta· L. Lovász, J. Pelikán e K. Vesztergombi 
Álgebra Linear: Um segundo Curso . R. P. Bueno 
.!ISBM 
(continuação dos títulos publicados) 
Introdução às Funções de uma Variável Complexa · C. S. Fernandez e N. C. 
Bernardes Jr. 
Elementos de Topologia Geral · E. L. Lima 
A Construção dos Números · J. Ferreira 
Introdução à Geometria Projetiva· A. Barros e P. Andrade 
Análise Vetorial Clássica - F. Acker 
Funções, Limites e Continuidade· P. Ribenboim 
Fundamentos de Análise Funcional· D. Pellegrino, E. Teixeira e G. Botelho 
Teoria dos Números Transcendentes · D. Marques 
Introdução à Geometria Hiperbólica · O modelo de Poincaré · P. Andrade 
Álgebra Linear: Teoria e Aplicações · T. P. de Araújo 
COLEÇÃO MATEMÁTICA APLICADA 
Introdução à Inferência Estatística · R. Bolfarine e M. Sandoval 
Discretização de Equações Diferenciais Parciais· J. Cuminato e M. Meneguette 
COLEÇÃO OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA 
Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1 ª a 8ª - E. Mega, R. Watanabe 
Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 9ª a 16ª . C. Moreira, E. Motta, 
E. Tengan, L. Amâncio, N. C. Saldanha e P. Rodrigues 
21 Aulas de Matemática Olímpica· C. Y. Shine 
Iniciação à Matemática: Um Curso com Problemas e Soluções - K. I. M. Oliveira e 
A. J. C. Fernández 
Olimpíadas Cearenses de Matemática 1981-2005 Nível Fundamental - E. 
Carneiro, O. Campos e M.Paiva 
Olimpíadas Cearenses de Matemática 1981-2005 Nível Médio. E. Carneiro, O. 
Campos e M.Paiva 
Olimpíadas Brasileiras de Matemática · 17° a 24ª · C. G. T. de A. Moreira, C. Y. 
Shine, E. L. R. Motta, E. Tengan e N. C. Saldanha 
COLEÇÃO FRONTEIRAS DA MATEMÁTICA 
Fundamentos da Teoria Ergódica · M.Viana e K. Oliveira 
Tópicos de Geometria Diferencial · A. C. Muniz Neto 
Formas Diferenciais e Aplicações · M. Perdigão do Carmo