ondas_100623

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IOF1224 - Ondas e Marés
Olga Sato⇤
Departamento de Oceanografia Física, Química e Geológica
Instituto Oceanográfico - Universidade De São Paulo
São Paulo, SP
28 de junho de 2010
Sumário
1 Introdução: As ondas no oceano 3
1.1 Equações básicas do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 A Equação da Onda 10
2.1 Parâmetros da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Ondas de Gravidade de Superfície 18
3.1 A formulação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 A solução do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Variação da pressão devido ao movimento da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Órbitas das partículas na coluna d’água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Aproximação de águas profundas e águas rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.1 Aproximação de águas profundas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.2 Aproximação de águas rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 Equação das águas rasas derivadas através da aproximação hidrostática . . . . . . . 32
3.8 Velocidade de grupo e energia da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9 A energética das ondas senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10 Refração de ondas em águas rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
⇤olga.sato@usp.br
4 Ondas Internas 40
4.1 Ondas na interface entre duas camadas de profundidade infinita . . . . . . . . . . . 40
4.2 Ondas na interface entre uma camada finita e uma de profundidade infinita . . . . . 43
4.3 Ondas na interface entre uma camada rasa e uma de profundidade infinita . . . . . 46
4.4 Sumário das ondas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Fluido continuamente estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5.1 Aproximação de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5.2 Equações do movimento para um fluido continuamente estratificado . . . . 49
4.5.3 Ondas internas num fluido continuamente estratificado . . . . . . . . . . . 51
5 Ondas Influenciadas pela Rotação 58
5.1 Equações do movimento para aproximação de águas rasas . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Ondas de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.1 Órbita das partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Movimento inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Ondas de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Ondas de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Marés 76
6.1 Forças geradoras da maré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Teorias sobre as marés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.1 Teoria de maré de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.2 Teorica dinâmica da maré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Equações do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4 Análise de Marés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4.1 Análise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.2 Análise Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4.3 Método dos Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1 Introdução: As ondas no oceano
A oceanografia dinâmica pode ser definida como a parte da Oceanografia Física que se preocupa
com a descrição e quantificação das respostas do oceano à forçantes externas. Da mesma forma,
também trata das forças internas que agem diretamente sobre o interior do oceano ou daquelas que
surgem devido à ação das forçantes externas. Em teoria, as forças que agem sobre um elemento
de volume podem ser classificadas como de linha, de superfície ou de corpo. Aplicando–se a
teoria sobre a superfície dos oceanos, as forçantes são basicamente meteorológicas que podem ser
classificadas em sua origem como provenientes do:
• Gradiente de pressão atmosférica;
• Tensão de cisalhamento do vento;
• Forças de empuxo devido à variação de densidade das camadas superiores causadas por
radiação, evaporação ou precipitação.
No fundo do oceano e nas margens continentais, a ocorrência localizada de perturbações sísmicas
intermitentes forçam estas regiões do oceano. Todo o fundo do oceano está sujeito à oscilações
de pequena escala e de baixa frequência devido à maré da terra sólida. De uma maneira geral, o
interior do oceano sofre a ação das forças de corpo devido à:
• Gravidade;
• Rotação;
• Maré;
• Forças não conservativas como a fricção turbulenta.
Por sua própria natureza, a ação da maioria dessas forças é dependente do tempo. Desta forma,
a resposta do oceano será também em função do tempo. Além disso, como estas forças cobrem
uma larga gama de frequências, as respostas do oceano também serão numa larga variedade de
frequências. O espectro das frequências se estendem desde movimentos ondulatórios associados
à ondas capilares com períodos menores que 1 segundo, até ondas planetárias de baixa frequência
com períodos chegando até alguns anos.
A onda é a forma mais básica de todos os fenômenos físicos. Uma definição de ondas que seja
simples porém genérica o suficiente para ser considerada útil pode ser a seguinte: A onda é um
sinal que se propaga, tipicamente se movendo numa taxa distinta ao do movimento do meio,
(Pedlosky 2003). As ondas são o meio pelo qual uma informação é transmitida entre dois pontos
no tempo e no espaço, sem que ocorra a movimentação do meio entre esses dois pontos. A energia
e a fase da perturbação se propagam durante o movimento da onda, mas o deslocamento da matéria
é geralmente pequeno. Por motivo de simplificação, as ondas serão estudadas idealizando–se os
oceanos como um sistema linear e sem dissipação de energia mecânica.
3
Lyla
Lyla
A propagação de uma perturbação a partir de um estado de equilíbio pode ser adequadamente
representada pelo modelo linear se a velocidade da partícula devido à onda é muito menor que
a velocidade de fase da onda. Se considerarmos que:
• u= a velocidade característica do elemento de fluido na onda, e
• c= a velocidade do sinal da onda (velocidade de fase),
temos então que:
u
c
⌧ 1.
Este critério implica que a amplitude da onda é pequena comparada com o comprimento de
onda. Isto engloba quase todos os fenômenos ondulatórios encontrados no oceano. A consideração
de um sistema não dissipativo implica que as ondas não são amortecidas quando a duração da onda
é muito maior que seu período. A maior parte das ondas no oceano são suficientemente longas de
forma que suas propriedades possam ser descritas pela teoria não–dissipativa. Uma das grandes
vantagens em se adotar um modelo de onda linear é que a maioria dos modos da onda podem ser
desacoplados e classificados e estudados independentemente.
No oceano real, as ondas interagem entre si, com o fluxo médio e com sua estrutura estrati-
ficada. As ondas crescem devido à ação das forças externas ou através de processos internos de
instabilidade, e elas decaem por causa do atrito turbulento ou molecular e difusão.
Existem cinco tipos de ondas oceânicas:
1. Sonoras: A pequena compressibilidade da água permite a propagação de ondas sonoras;
2. Capilares: Em qualquer superfície de contato entre dois fluidos diferentes, como a água e o
ar, a tensão superficial age como uma força restauradora e origina ondas capilares de curto
comprimento de onda e alta frequência;3. Gravidade: Ondas geradas devido à ação restauradora da gravidade sobre as partículas de
água que são deslocadas de volta à sua posição de equilíbrio. Neste caso, temos a superfície
livre do oceano ou a superfície geopotencial interna dentro do fluido estratificado;
4. Inercial: A rotação da terra introduz a força de Coriolis que age no sentido perpendicular ao
vetor velocidade, dando origem à ondas inerciais ou giroscópicas;
5. Planetárias: A variação na vorticidade potencial de equilíbrio devido à mudanças na profun-
didade ou latitude geram oscilações lentas e de larga–escala conhecidas como ondas plane-
tárias ou de Rossby.
Esses cinco tipos de ondas geralmente ocorrem simultaneamente com as cinco forças restau-
radoras agindo também ao mesmo tempo, gerando outros tipos mais complexos de oscilações.
A importância relativa de cada força restauradora especificamente depende das propriedades do
meio, da geometria local e da frequência e comprimento de ondas das oscilações. Todos esses
4
Lyla
Lyla
Lyla
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tipos de ondas não são apenas produtos de combinações matemáticas teóricas, uma vez que elas
são comprovadamente existentes nos oceanos conforme mostram os dados observados em muitos
trabalhos encontrados na literatura.
As ondas mais conhecidas pelo público em geral e as mais extensivamente estudadas são as
ondas de gravidade curtas geradas pelo vento. Essas ondas são aquelas relacionadas com enjoo em
navio, erosão das praias e pela escavação natural dos rochedos formando maravilhosas paisagens
ao longo das costas. Existem outras ondas que, embora não sejam tão evidentes quanto essas, têm
um importante papel na dinâmica oceânica. Vamos descrevê-las.
Figura 1: Ilustração esquemática do espectro de energia da variabilidade oceânica, mostrando os diferentes
tipos de ondas que ocorrem no oceano. Fonte: LeBlond e Mysak (1978).
As ondas de superfície são aquelas que se propagam como oscilações na superfície livre do
oceano. Elas ocupam uma faixa bem larga de comprimentos de onda e frequências, conforme pode
ser observado na Figura 1. Nesta figura, da direita para esquerda, ou seja, de períodos mais curtos
para mais longos temos primeiramente as ondas capilares que são dominadas pelo efeito da tensão
superficial. Em seguida, temos uma faixa dominda pelas ondas de gravidade, primeiramente
aquelas geradas pela ação do vento, as ondas curtas com períodos de 1s e depois os marulhos
(swell) que são ondulações com períodos de 10s e geralmente são provenientes de regiões distantes.
As próximas são as ondas longas de gravidade que surgem em resposta à forçantes meteorológicas
e por terremotos. As marés são um outro tipo de onda forçada pela gravidade. Para períodos muito
5
longos, a ação da gravidade perde em importância relativa para o efeito diferencial da rotação da
Terra e as ondas de superfície se tornam ondas planetárias que se manifestam como sistemas de
correntes de larga–escala que ondulam muito lentamente.
Embora não estejam representadas na Figura 1, o interior do oceano também apresenta oscila-
ções como as que observamos na superfície do oceano. Observações no campo de temperatura e
salinidade de trabalhos encontrados na literatura indicam a atividade de ondas internas no oceano.
1.1 Equações básicas do movimento
Estudos sobre a dinâmica do oceano geralmente são baseados em descrições matemáticas inde-
pendentes do tempo de movimentos de uma camada fina de líquido estratificado (com variação de
densidade) sobre a superfície da Terra em rotação. Estes movimentos são governados pelas leis de
conservação de massa e momento, uma equação do estado e leis da termodinâmica. A descrição
preferencialmente utilizada é a Euleriana em que a velocidade~u, pressão p, densidade r, tempera-
tura T e salinidade S são tratados em função do vetor posição~r, medido no sentido para fora em
relação ao centro da Terra, e tempo t. As posições são referenciadas num sistema de coordenadas
cartesianas em rotação uniforme com a Terra com velocidade angular ~W, cuja magnitude é dada
por:
W= |~W|= 7,29 ·10�5rad/s.
A velocidade ~u neste sistema de referencial em rotação está relacionada com a velocidade
inercial (não girante) ~uin pela equação:
~uin =~u+~W⇥~r.
Se R denota o raio médio da Terra, medido a partir do centro até a superfície livre do oceano
sem perturbação, e z denota a distância vertical do oceano parado, no sentido para cima, então:
r = |~r|= R+ z. (1.1)
A posição da superfície do oceano sem perturbação é dada pela equação z= 0.
A conservação de massa é expressa por:
∂r
∂t
+~— · (r~u) = 0, (1.2)
ou
Dr
Dt
+r~— ·~u= 0, (1.3)
onde
D
Dt
=
∂
∂t
+~u ·~—
denota a derivada seguindo o movimento.
6
Lyla
Derivada material:
Ela é descrita como a taxa de variação em relação ao tempo de alguma quantidade (tal como calor ou momento) que está sendo transportado por correntes de fluido.
Lyla
Lyla
A conservação do momento é expressa por:
rD~u
Dt
+r 2 ~W⇥~u= r[~g�~W⇥ (~W⇥~r)]�~—p+~F , (1.4)
onde:
• ~g=�gzˆ é a aceleração da gravidade (g= 9,81m · s�2) e zˆ é o versor na direção vertical;
• ~F representa a soma de todas as outras forças por unidade de volume que agem sobre o
fluido, incluindo as forças de maré, bem como as moleculares e as forças de fricção.
A magnitude da razão entre o termo da aceleração centrífuga, r~W⇥ (~W⇥~r) e a aceleração
da gravidade, r~g, é menor que 3 · 10�3 para todo o oceano e portanto o termo r~W⇥ (~W⇥~r)
será desprezado, e os efeitos da rotação no oceano se manisfestarão somente através do termo
de Coriolis, r2~W⇥~u.
O termo D~u/Dt é definido como:
D~u
Dt
=
∂~u
∂t
+~u ·~—~u. (1.5)
Vale lembrar que o termo~u ·~—~u só é válido quando se utiliza o sistema de coordenadas cartesianas.
A forma vetorial que independe das coordenadas, e portanto válido para qualquer sistema é dado
por:
~u ·~—~u= (~—⇥~u)⇥~u+ 1
2
~—(~u ·~u). (1.6)
A densidade da água do mar é dada pela equação de estado que tem a seguinte forma:
r= r(p,T,S). (1.7)
Esta relação é não–linear em p, T e S e não tem uma forma analítica simples. A forma da equação
é estabelecida através de ajuste de polinômios para uma faixa restrita de valores de T e S.
Para fechar o sistema de equações (1.3), (1.4) e (1.7) para as sete incógnitas do problema:
~u, p,r,T,S (onde~u tem três componentes), é necessário ainda mais duas equações, as de T e S.
A conservação da energia interna é dada por:
D
Dt
(rcvT ) = ~— · (kT~—T )+QT , (1.8)
onde cv representa o calor específico a volume constante, kT é a condutividade térmica e QT repre-
senta todas as fontes e sorvedouros de calor do sistema. Em particular, QT inclui o aquecimento
devido à compressão e resfriamento devido à expansão do elemento de volume, o calor produzido
mecanicamente devido ao cisalhamento entre as camadas do oceano e todas as fontes de calor na
superfície como o aquecimento solar, resfriamento por evaporação, fluxo de calor sensível para a
atmosfera e a radiação de ondas longas para o espaço.
7
Lyla
A conservação de sal pode ser expressa por uma equação análoga:
DS
Dt
= ~— · (KS~—S)+QS, (1.9)
onde KS denota o coefficiente de difusão molecular do sal e QS inclui todas as fontes e sorvedouros
de sal como por exemplo o derretimento e formação de gelo, precipitação e evaporação.
As ondas que podem se propagar no interior do oceano podem ser classificadas em duas ca-
tegorias: as ondas de alta frequência que surgem devido à pequena compressibilidade da água do
mar, e aquelas de mais baixa frequência, entre elas as ondas internas, inerciais e planetárias.
A propagação das ondas sonoras no oceano é governada por uma equação linear de onda com
velocidade de fase de c ⇡ 1,5 · 103 m/s. As ondas acústicas geralmente ocupam uma banda de
frequências entre 1 Hz e 100 kHz. Portanto, o período das ondas acústicas fica na faixaentre T =
1 a 10�5 s, e o comprimento de onda entre alguns quilômetros até 1 cm. Por outro lado, as ondas in-
ternas, inerciais e planetárias podem ter períodos variando desde minutos à meses, correspondendo
a comprimentos de onda variando desde dezenas de metros a centenas de quilômetros.
As curvas de dispersão, que são curvas que relacionam a distribuição das ondas no plano
período–comprimento de onda (veremos isso mais tarde), mostram que as ondas acústicas estão
muito separadas das outras ondas. Desta forma, somente uma interação muito pequena pode ser
esperada entre estas categorias de ondas.
Podemos então filtrar as ondas acústicas das equações que governam o movimento assumindo–
se um modelo de oceano incompressível. Assumiremos ainda que o oceano é um sistema não
difusivo, i.e., KT = 0 = KS, onde KT = kT/rcv é a difusividade térmica. De acordo com essas
suposições, não há compressão nem difusão, e consequentemente a densidade não pode mudar ao
longo de seu caminho:
Dr
Dt
= 0. (1.10)
Isso faz com que a equação da continuidade se reduza à:
~— ·~u= 0. (1.11)
Em suma, para um fluido incompressível e não–difusivo, a equação de conservação do mo-
mento (1.4), juntamente com as equações (1.10) e (1.11), originam um conjunto fechado de equa-
ções para~u, p e r. Por outro lado, para se estudar os efeitos da difusão num oceano incompressível,
as equações (1.4), (1.7)– (1.9) e (1.11) podem ser utilizadas para determinar~u, p,r,T e S.
Focaremos nossa atenção nas equações (1.4), (1.10) e (1.11). A maior parte das ondas es-
tudadas aqui serão as ondas livres que obedecem as equações de momento não forçadas e não–
dissipativas. A equação que inclui essas suposições são conhecidas como a equação de Euler para
um fluido em rotação:
rD~u
Dt
+r2~W⇥~u+~—p�r~g= 0. (1.12)
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Lyla
As equações (1.10)–(1.12) representam as equações parcias diferenciais do sistema homogêneo
e não–linear com dependência no tempo. Estas equações descrevem a taxa de variação de ~u, p e r
em termos de suas derivadas espaciais.
Devido à dependência temporal das equações e às dimensões finitas do oceano, temos que
resolver esse problema não–linear com uma condição inicial. Nesse tipo de problema, a condição
inicial (t=0) para ~u, p e r deve ser conhecida para um contorno rígido, e a componente normal da
velocidade deve ser nula:
~u ·~n= 0,
onde~n é o vetor normal ao contorno.
Na superfície do oceano sem perturbação, z = h(x,y, t), deve haver continuidade nas forças
e deslocamentos. Na ausência de viscosidade molecular e turbulenta e tensão superficial, essas
condições se expressam como:
poceano = patmos! z= h, (1.13)
e
D
Dt
(z�h) = 0! z= h. (1.14)
Como Dz/Dt = w, esta segunda condição pode ser escrita como:
w=
Dh
Dt
! z= h, (1.15)
onde w é a componente vertical da velocidade.
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2 A Equação da Onda
Na seção anterior assumimos que as ondas estudadas no oceano são idealizadas para um sistema
linear. O uso da teoria linear, para ondas de qualquer tipo, significa que consideramos as per-
turbações causadas pelas ondas pequenas, cujo produto pode ser desprezado nas equações
do movimento do fluido. Como visto nos cursos de Oceanografia Dinâmica, o produto dessas
pequenas quantidades ocorre por exemplo no termo de aceleração do elemento de fluido:
∂~u
∂t
+~u ·—~u (2.1)
onde~u é o vetor velocidade. Esta expressão por si só representa que o termo inercial é importante,
o que se aplica a praticamente todas os tipos de ondas no fluido. O termo linear ∂~u/∂t representa
a variação local de ~u num ponto fixo, enquanto que o termo não–linear ~u ·—~u descreve como a
velocidade do elemento de fluido varia por causa da variação de sua posição no espaço. Este termo
é conhecido como a variação advectiva da velocidade e envolve o produto do gradiente espacial de
~u com a componente de~u. Este termo é desprezado na teoria linear.
Antes de entrarmos no mérito sobre que forçantes físicas geram quais tipos de ondas e que
termos são importantes nas equações que governam o movimento do fluido, vamos examinar algu-
mas feições básicas sobre o movimento ondulatório. Vamos primeiramente entender a equação da
onda.
Muitas equações de ondas não–dispersivas de pequena amplitude, e portanto descritas dentro
da teoria linear, obedecem a seguinte equação:
∂2h
∂t2
= c2—2h, (2.2)
onde h é qualquer tipo de perturbação, por exemplo o deslocamento da superfície livre de um
líquido, variação da densidade num meio compressível, ou a vibração de uma corda ou membrana
e c é uma constante.
Ondas que se propagam somente na direção x podem ser descritas como:
∂2h
∂t2
= c2
∂2h
∂x2
. (2.3)
A solução mais geral desta equação pode ser escrita usando um método desenvolvido por
D’Alembert. Considere a posição de dois pontos localizados no eixo-x que podem descritas da
seguinte forma:
x1 ⌘ x� ct x2 ⌘ x+ ct,
então:
x=
x1+x2
2
t =
�x1+x2
2c
.
Calculando as derivadas parciais, temos:
∂x
∂x1
=
1
2
,
∂x
∂x2
=
1
2
,
∂t
∂x1
=� 1
2c
,
∂t
∂x2
=
1
2c
.
10
Lyla
Lyla
Lyla
Escrevendo em termos de h, temos:
∂h
∂x1
=
∂h
∂x
∂x
∂x1
+
∂h
∂t
∂t
∂x1
=
1
2
⇢
∂h
∂x
� 1
c
∂h
∂t
�
e
∂h
∂x2
=
∂h
∂x
∂x
∂x2
+
∂h
∂t
∂t
∂x2
=
1
2
⇢
∂h
∂x
+
1
c
∂h
∂t
�
.
Resolvendo simultaneamente em ∂h/∂x e ∂h/∂t temos:
∂h
∂x
=
∂h
∂x1
+
∂h
∂x2
,
e
∂h
∂t
= c
⇢
� ∂h
∂x1
+
∂h
∂x2
�
.
Derivando novamente, desta vez em relação à x1 e x2, e repetindo o processo, teremos:
∂2h
∂x2
=
∂2h
∂x21
+2
∂2h
∂x1∂x2
+
∂2h
∂x22
(2.4)
∂2h
∂t2
= c2
⇢
∂2h
∂x21
�2 ∂
2h
∂x1∂x2
+
∂2h
∂x22
�
(2.5)
que substituindo na equação (2.3) implica em:
∂2h
∂x1∂x2
= 0 (2.6)
A solução da equação (2.6) pode ser obtida a partir de argumentos baseados em uma inspeção
cuidadosa desta equação. Qualquer função de x1 e x2 cuja derivada cruzada é zero, na diferenciação
parcial de x1, deve gerar uma função de x1 somente, de forma que na diferenciaça parcial em
relação à x2, seja zero. O mesmo argumento é válido se começarmos com x2.
A função mais genérica que obedece ao argumento anterior é:
h(x1,x2) = f (x1)+g(x2) (2.7)
ou retomando as variáveis originais:
h(x, t) = f (x� ct)+g(x+ ct). (2.8)
Esta é a solução geral da equação de onda (2.3) que combina duas soluções. Vamos examinar a
primeira parte:
h= f (x� ct), (2.9)
11
onde f é uma função arbitrária representando um onda plana que se propaga na direção x. Esta
onda é longitudinal pois o seu campo de velocidade~u= (u,v,w):
u= f 0(x� ct), v= w= 0, (2.10)
é paralelo à direção de propagação.
A função f (x�ct) representa uma onda se propagando na direção positiva de x com velocidade
c. Para entender, vamos primeiramente analisar no tempo inicial, t = 0, onde f (x� ct) se torna
f (x). Num tempo t mais tarde, a distância x percorrida pela onda precisa ser maior para que o valor
do argumento (x� ct) seja mantida pois a forma da função f (x� ct) deve ser a mesma, Figura 2.
Ou seja, a forma de f (x� ct) é a mesma que f (x), porém deslocada de uma distância ct ao longo
do eixo-x. Desta forma, a velocidade de propagação de uma onda da forma f (x� ct) ao longo do
eixo positivo de x é c. Como ela se move, é chamada de onda progressiva.
Figura 2: Ilustração esquemática do deslocamente de uma perturbação em dois tempos distintos. Fonte:
Kundu (2002).
Como mostrada anteriormente, a equação (2.9) não é a única solução da equação de onda (2.3)
que depende de duas variáveis, x e t. A outra solução é:
h= g(x+ ct), (2.11)
que representa uma onda plana que se propaga na direção negativa de x. O seu campo de velocidade
satisfaz à:
u= g0(x+ ct), v= w= 0. (2.12)
A solução geral da equação da onda (2.3) é dada pela soma das equações (2.9) e (2.11):h= f (x� ct)+g(x+ ct), (2.13)
A equação (2.13) é conhecida como a solução de d’Alembert, que teoriza que qualquer função da
combinação (x± ct) é também solução da equação de onda. Isso pode ser verificado a partir da
substituição da equação (2.13) na equação (2.3).
12
Que informações são fornecidas pela solução da equação da onda (2.13)? Primeiramente, que
c deve ter uma dimensão. Qual? Se x tem unidades de comprimento (L) e t de tempo, T , para que
o argumento (x± ct) faça sentido, c deve ter unidades de velocidade, LT�1.
f e g podem ser qualquer tipo de função, mas como equação (2.13) deve ser solução de equa-
ção (2.3), ela deve ser duas vezes diferenciável em relação à x e t.
13
2.1 Parâmetros da onda
Nesta parte do capítulo sobre a equação de onda, vamos discutir sobre alguns de seus conceitos e
definições matemáticas. Uma boa representação das ondas na superfície do oceano pode ser uma
função senoidal simples, conforme ilustrado na Figura 3.
Figura 3: Definição dos termos de uma onda senoidal.
Apresentamos aqui algumas definições importantes para o tratamento de uma onda senoidal:
• Altura da onda (h): distância vertical da onda entre a crista e o cavado;
• Amplitude (a): Na física, a metade da altura (h) é definida como a amplitude. Esta distância
representa o deslocamento máximo do movimento oscilatório da superfície na vertical, para
cima ou para baixo do nível médio;
• Comprimento de onda (l):Distância horizontal entre duas cristas, ou dois cavados;
• Período (T ): O tempo decorrido para a passagem de duas cristas, ou dois cavados, através
de um ponto fixo;
• Velocidade (c): A velocidade que uma determinada parte da onda passa por um ponto fixo.
É determinada através da relação c = lT . Por curiosidade, o símbolo c vem de celeridade.
Observação: A altura h é independente de c,l ou T , mas é limitada pela sua quebra que
ocorre quando processos não lineares se tornam mais importantes.
De acordo com um princípio estabelecido por Fourier, qualquer perturbação arbitrária pode ser
decomposta em componentes senoidais de diferentes comprimentos de onda e amplitudes. Por este
motivo, é interessante que estudemos ondas senoidais que tenham a seguinte forma:
h= a sin

2p
l
(x� ct)
�
. (2.14)
14
O argumento 2p(x� ct)/l é a fase da onda. Os pontos da onda que têm os mesmos valores,
têm a fase constante, por exemplo, todos os pontos que caem sobre as cristas da onda. h varia entre
±a, a amplitude da onda. O parâmetro l é conhecido como comprimento de onda pois o valor de
h em (2.14) é o mesmo para x=±l. Ao invés de l é mais comum utilizarmos o número de onda
definido como:
k ⌘ 2p
l
, (2.15)
que é o número completo de ondas num comprimento 2p. Este parâmetro pode ser pensado como
uma ”frequência espacial” (rad/m). A equação (2.14) pode ser reescrita como:
h= a sink (x� ct). (2.16)
O período T deve ser o tempo para que uma onda propague um comprimento de onda:
T =
l
c
. (2.17)
O número de oscilações num ponto por unidade de tempo é a frequência, dada por:
n= 1
T
. (2.18)
Claramente c= ln. E portanto:
w= 2pn= kc (2.19)
é a frequência circular, também conhecida como a ”frequência radiana” pois é a taxa de mudança
de fase (em radianos) por unidade de tempo. A velocidade de propagação da onda está relacionada
com k e w por:
c=
w
k
(2.20)
que é chamado de velocidade de fase pois é a taxa pela qual a fase da onda (crista ou cavado) se
propaga. Mais tarde veremos que a velocidade de fase da onda não é a velocidade de propagação
de um grupo de ondas.
Em termos de w e k, a onda da equação (2.14) pode ser reescrita como:
h= a sin(kx�wt). (2.21)
Até agora consideramos somente ondas que se propagam na direção x. Para uma onda senoidal
tridimensional, podemos generalizar equação (2.21) como:
h= a sin(kx+ ly+mz�wt) = a sin(~K ·~x�wt), (2.22)
onde ~K = (k, l,m) é um vetor conhecido como o vetor número de onda cuja magnitude é dada por
K2 = k2+ l2+m2. É fácil de mostrar que o comprimento de onda em equação (2.22) é:
l= 2p
K
, (2.23)
15
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Figura 4: Onda se propagando no plano xy. Na parte superior é mostrado como a contribuição das compo-
nentes da velocidade de fase nas duas direções são adicionadas para dar a resultante c, paralela à direção de
propagação da onda.
que está ilustrado na Figure 4 em duas dimensões. A magnitude da velocidade de fase é c= w/K
e a direção de propagação é ~K. Podemos então escrever a velocidade de fase como um vetor:
~c=
w
K
~K
K
, (2.24)
onde ~K/K representa o vetor unitário na direção ~K.
Da Figura 4 se torna também claro que a velocidade de fase, ou seja, a velocidade de propaga-
ção das linhas de fase constante, nas três direções cartesianas são:
cx =
w
k
, cy =
w
l
, cz =
w
m
. (2.25)
As equações acima mostram que cada uma das componentes da velocidade de fase, cx,cy, e cz é
maior que a resultante c = w/K. Claramente, as componentes do vetor velocidade de fase ~c não
obedecem a regra da adição de vetores. O método para se obter~c das componentes cx e cy é mos-
trado no topo da Figura 4. Esta peculiaridade na regra da adição da velocidade de fase se reflete
no fato que as linhas de fase parecem se propagar mais rapidamente nas direções x e y e não na
direção de propagação da onda. Observe que se a linha das cristas deve se propagar constante-
mente, a distância percorrida ao longo do eixo x e y é maior para um mesmo tempo, portanto a
velocidade de fase deve ser maior nas componentes do que em relação à direção de propagação da
onda. Veremos mais tarde que as componentes da velocidade de grupo~cg, diferentemente do que
acontece com a velocidade de fase, obedecem à regra da adição de vetores.
16
Até o momento, assumimos a existência das ondas por si só, sem a presença de um fluxo
médio. Se sobrepusermos as ondas sobre um campo de fluxo médio ~U , então a velocidade de fase
observada será:
~co =~c+~U . (2.26)
Fazendo o produto escalar da equação acima pelo vetor número de onda ~K e utilizando a equa-
ção (2.24), teremos:
~co ·~K =~c ·~K+~U ·~K.
Manipulando–a:
wo = w+~U ·~K, (2.27)
onde wo é a frequência observada num determinado ponto e w é a frequência intrínseca medida
por um observador se movendo com o fluxo médio. Aqui se torna aparente que a frequência da
onda é modificada por uma quantidade ~U · ~K devido ao fluxo médio. Esta variação é conhecida
como efeito Doppler, uma mudança na frequência da onda por causa do movimento relativo entre
o observador e a fonte da onda. A equação (2.27) fica mais fácil de entender se considerarmos uma
situação em que a frequência intrínseca w é zero e que o fluxo médio tenha uma peridiocidade na
direção x de comprimento de onda 2p/k. Se este padrão senoidal é traduzido na direção x numa
velocidade ~U , então a frequência observada num ponto fixo será wo =Uk.
17
Lyla
Lyla
3 Ondas de Gravidade de Superfície
Nesta parte do curso iremos discutir sobre ondas de gravidade que se propagam sobre a superfície
livre de um oceano com profundidade uniforme H. Esta profundidade pode ser grande ou pequena
em relação ao comprimento de onda l dessas ondas.
Como já vimos discutindo desde o começo do curso, assumimos que a amplitude a da onda é
pequena quando comparada com l e também comparada com a profundidade da camada de líquido
no oceano. Ou seja, a/l⌧ 1 e a/H⌧ 1.
• A condição a/l⌧ 1 implica que a inclinação da superfície do oceano devido à passagem da
onda é pequena;
• A condição a/H ⌧ 1 implica que a profundidade instantânea causada pela passagem da
onda não é muito diferente comparada com a profundidade sem perturbação do oceano.
Estas condições são muito importantes para que possamos linearizar as equações do problema.
Outras suposições que devemos levar em consideração:
1. A frequência das ondas é maior que a frequênciade Coriolis, e portanto as ondas não são
afetadas pela rotação da terra;
2. Efeitos de tensão superficial são desprezíveis (na água este efeito só é importante para com-
primentos de onda menores que 7 cm);
3. Assume–se que a viscosidade do fluido é pequena de forma que os efeitos viscosos estão
confinados em camadas limite e não afetam significantemente a propagação de ondas;
4. O movimento é gerado a partir do repouso, como por exemplo no caso da ação do vento ou
uma pedra caindo na superfície da água.
De acordo com o teorema de circulação de Kelvin, ignorando–se os efeitos de viscosidade,
forças de Coriolis e estratificação, o fluxo resultante é irrotacional, e permanecerá irrotacio-
nal.
3.1 A formulação do problema
Considere o caso em que as ondas se propagam na direção x somente, e que o movimento é bidi-
mensional no plano-xz, Figure 5.
18
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Figura 5: Esquema da onda de superfície no oceano de profundidade uniforme.
A coordenada vertical z é medida em relação à superfície livre sem perturbação e aponta para
cima. O deslocamento da superfície livre é h(x, t). Como o movimento é irrotacional, podemos
definir um potencial de velocidade f como:
u⌘ ∂f
∂x
w⌘ ∂f
∂z
. (3.1)
Substituindo–os na equação da continuidade (1.11):
∂u
∂x
+
∂w
∂z
= 0, (3.2)
teremos a equação de Laplace:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂z2
= 0. (3.3)
A equação de Laplace não tem uma solução oscilatória; é a condição de contorno na superfície,
onde a força restauradora age, que permite a solução com propagação de ondas. Vamos examinar
as condições de contorno.
As condições de contorno devem ser satisfeitas na superfície livre e no fundo do oceano. A
condição no fundo é que a velocidade normal deve ser nula, para que nao haja fluxo atravessando
o fundo do oceano, ou seja:
w=
∂f
∂z
= 0 ! z=�H. (3.4)
Na superfície livre, a condição de contorno cinemática diz que uma partícula do fluido nunca
deve deixar a superfície, ou seja:
Dh
Dt
= wh ! z= h, (3.5)
onde D/Dt = ∂/∂t+u(∂/∂x) e wh é a componente vertical do fluido na superfície. Podemos entao
reescrever essa mesma condição da seguinte forma:
∂h
∂t
+u
∂h
∂x
����
z=h
=
∂f
∂z
����
z=h
. (3.6)
19
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Para ondas de pequena amplitude, ambas u e h são pequenas. Então, o termo quadrático
u(∂h/∂x) é uma ordem de magnitude menor que os outros termos da equação anterior. Podemos
simplificá–la para:
∂h
∂t
=
∂f
∂z
����
z=h
. (3.7)
Podemos simplificar esta relação ainda mais argumentando que o lado direito da equação pode
ser determinada em z = 0 ao invés da superfície livre, uma vez que a altura da onda é pequena
conforme a suposição inicial do problema. Para obter essa simplificação, expandimos ∂f/∂z em
série de Taylor.
Relembrando a expansão em série de Taylor, ao expandirmos uma função em f (x) em torno de
x= a, teremos:
f (x) = f (a)+ f 0(a)(x�a)+ f
00(a)
2!
(x�a)2+ f
(3)(a)
3!
(x�a)3+ ...+ f
(n)(a)
n!
(x�a)n+ ...
Fazendo a expansão em série de Taylor em torno de z= 0 para o nosso caso, teremos:
∂f
∂z
����
z=h
=
∂f
∂z
����
z=0
+h∂
2f
∂z2
+ ...' ∂f
∂z
����
z=0
. (3.8)
Em primeira ordem, ∂f/∂z pode ser dado por:
∂h
∂t
=
∂f
∂z
! z= 0. (3.9)
Além da condição cinemática na superfície, existe ainda a condição dinâmica que diz que a
pressão logo abaixo da superfície livre deve ser igual à pressão ambiente, desprezando–se a tensão
superficial. Assumindo que a pressão ambiente é nula, a condição é:
p= 0! z= h. (3.10)
Como feito anteriormente, esta condição será simplificada para o caso de ondas de pequena
amplitude. Como o movimento é irrotacional, a equação de Bernoulli é válida:
r∂f
∂t|{z}
pressão
devido
à onda
+
r
2
(u2+w2)| {z }
pressão devido
à energia ciné-
tica
+ p|{z}
pressão
total
+ rgz|{z}
pressão hi-
drostática
= F(t). (3.11)
20
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
O princípio de Bernoulli afirma que para um fluxo sem viscosidade, um aumento na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou uma diminuição na energia potencial do fluido
v^2/2+rop+gh=cte
A função F(t) pode ser absorvida em ∂f/∂t redefinindo–se f. Desprezando os termos não–lineares
(u2+w2) para ondas de pequena amplitude, a forma linear da equação de Bernoulli se torna:
∂f
∂t
+
p
r
+gz= 0. (3.12)
Substituindo–a na condição de contorno de superfície (3.10) temos:
∂f
∂t
+gh= 0 ! z= h. (3.13)
Como anteriormente, para ondas de pequena amplitude, o termo ∂f/∂t pode ser determinado para
z= 0 ao invés de z= h, dando:
∂f
∂t
=�gh ! z= 0. (3.14)
3.2 A solução do problema
Recapitulando, o problema que temos que resolver se resume na solução da equação de Laplace:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂z2
= 0 (3.15)
sujeita a seguintes condições de contorno:
∂f
∂z
= 0 ! z=�H, (3.16)
∂f
∂z
=
∂h
∂t
! z= 0, (3.17)
e
∂f
∂t
=�gh ! z= 0. (3.18)
Para resolver este problema, vamos assumir a solução mais simples que é da forma senoidal
com o número de onda k e frequência w em que:
h= a cos(kx�wt). (3.19)
Uma motivação para se assumir ondas em formas senoidais é que na prática, pequenas per-
turbações na água tendem a tomar uma forma senoidal logo após a sua formação (a menos que a
camada de água seja muito rasa). Um segundo motivo, e mais conveniente, é que qualquer per-
turbação arbitrária pode ser decomposta em várias componentes senoidais através da análise de
Fourier, e a resposta do sistema para uma pequena perturbação arbitrária é a soma das respostas de
várias componentes senoidais.
Podemos observar que como h na equação (3.19) depende de (kx�wt), as condições (3.9)
e (3.14) mostram que f também deve ser função de seno de (kx�wt). Para resolver esta equação,
21
Lyla
Por que só esse termo é não linear? Porque depende de “x” e “z”?
Ele tirou F(t) e foi parar onde????
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Pressão em superficie é zero e z=eta
Lyla
3.16) Condição no fundo
3.17) Condição cinemática pra sfc
3.18) Condição dinâmica pra sfc
consideramos uma solução obtida através de separação de variáveis da equação de Laplace, ou
seja:
f= F(z) sin(kx�wt), (3.20)
onde F(z) e w(k) devem ser determinados.
Substituindo a equação (3.20) na equação de Laplace (3.3), temos:
∂2 f
∂z2
� k2 f = 0 (3.21)
cuja solução geral é:
F(z) = A ekz+B e�kz. (3.22)
A potencial de velocidade é então:
f= (A ekz+B e�kz)sin (kx�wt). (3.23)
As constantes A e B são determinadas pelas condições de contorno (3.4) e (3.9). A partir da
condição (3.4) temos que:
B= A e�2kH . (3.24)
Antes de aplicarmos a condição (3.9) na forma linearizada, vamos explorar o que aconteceria
se aplicassemos em z= h. Da equação (3.23) temos:
∂f
∂z
����
z=h
= k(A ekh�B �kh) sin(kx�wt), (3.25)
Aqui podemos ver que ekh ' e�kh ' 1 se kh⌧ 1 é válido para pequenas inclinações da super-
fície livre. Isto é o que efetivamente estamos considerando quando aplicamos as condições de
contorno (3.9) e (3.14) para z = 0 ao invés de z = h, que foi justificado anteriormente através da
expansão em série de Taylor.
A aplicação da equação (3.19) e (3.23) na condição de velocidade na superfície (3.9) dá:
k (A�B) = aw. (3.26)
As constantes A e B podem ser determinadas pelas equações (3.24) e (3.26) como:
A=
a w
k (1� e�2kH) B=
a w e�2kH
k (1� e�2kH) .
O potencial de velocidade (3.23) pode ser determinada como:
f= aw
k
cosh k (z+H)
sinh kH
sin (kx�wt), (3.27)
22
e portanto as componentes da velocidade são:
u= aw cosh k (z+H)
sinh kH
cos (kx�wt),
w= aw sinh k (z+H)
sinh kH
sin (kx�wt), (3.28)
A equaçãode Laplace foi resolvida utilizando–se somente a condição cinemática. Este é um
procedimento típico para fluxos irrotacionais. A substituição das equaçãoes (3.19) e (3.27) na
condição (3.14) teremos:
w =
p
gk tanh kH. (3.29)
A velocidade de fase c= w/k está relacionada com o tamanho da onda pela relação:
c =
r
g
k
tanh kH =
r
gl
2p
tanh
2pH
l
(3.30)
Esta relação mostra que a velocidade de propagação de uma componente da onda depende do
seu número de onda. As ondas cuja velocidade c é função do número de onda k são chamadas de
dispersivas pois as ondas com diferentes comprimentos se propagam com velocidades diferentes
e portanto se dispersam ou se separam. Isto significa que ondas de diferentes comprimentos de
onda, geradas na mesma região, irão se propagar com velocidades diferentes e se dispersar. O
termo dispersão é proveniente da óptica que significa que a luz pode ser separada em diferentes
cores pois a velocidade da luz num meio depende do comprimento de onda. A relação expressa
em (3.29), onde w é função de k é conhecida como a relação de dispersão pois expressa a natureza
do processo dispersivo.
O efeito da dispersão no oceano pode ser observado quando ocorre uma tempestade em algum
local distante. Como as ondas mais longas (com k pequeno) se propagam mais rapidamente, estas
são as primeiras a chegar e podem até preceder as ondas de comprimento menor geradas pela
mesma tempestade em até 1 a 2 dias. O fato de que ondas de diferentes comprimentos se separam e
chegam em tempos diferentes explica por que os marulhos (“swell”) são tão regulares comparados
com as ondas produzidas localmente pelo vento.
3.3 Variação da pressão devido ao movimento da onda
É possível medir os parâmetros de uma onda através de sensores de pressão colocados no fundo
do oceano ou em alguma outra profundidade mais conveniente. Para tanto, seria necessário então
saber o quão fundo as flutuações no campo da pressão relacionadas com a passagem da onda
penetram na coluna d’água. Para determinarmos a pressão, recorreremos à equação linearizada de
Bernoulli:
∂f
∂t
+
p
r
+gz= 0. (3.31)
23
Lyla
Lyla
Lyla
Lyla
Se definirmos uma perturbação na pressão como sendo:
p0 ⌘ p + rgz, (3.32)
esta é a variação da pressão partindo–se da pressão sem perturbação de�rgz. Então, a equação de
Bernoulli se torna:
p0 =�r∂f
∂t
. (3.33)
Substituindo–a na equação (3.27) teremos:
p0 =
raw2
k
cosh k (z+H)
sinh kH
cos (kx�wt), (3.34)
que utilizando–se a relação de dispersao (3.29), se torna:
p0 = rgacosh k (z+H)
cosh kH
cos (kx�wt), (3.35)
Podemos ver então que a perturbação na pressão decai com a profundidade na coluna d’água.
Para saber se essa pressão pode ser detectada por um sensor, devemos descobrir qual a razão da
profundidade pelo comprimento de onda dessa onda.
3.4 Órbitas das partículas na coluna d’água
Para examinar o caminho que um elemento de volume descreve na coluna d’água ao “sentir” a pas-
sagem de uma onda, devemos utilizar a descrição Lagrangeana. Vamos assumir que a coordenada
de uma partícula é (x0+x,z0+z), partindo–se de um ponto de repouso em (x0,z0), Figure 6.
Figura 6: Órbita de uma partícula de fluido em torno de uma posição média centrada em (x0,z0).
24
Lyla
Na descrição Lagrangeana, podemos utilizar essa posição média como referência para identifi-
car a partícula e escrever x(x0,z0, t) e z(x0,z0, t). As componentes da velocidade para esta situação
é dada por:
u=
∂x
∂t
w=
∂z
∂t
(3.36)
Para ondas de amplitude pequena, a variação da posição da partícula também deve ser pequena,
e portanto a velocidade da partícula deve ser aproximadamente igual à velocidade do fluido em
torno de sua posição média (x0,z0) para cada instante, e descrita pelas equações (3.28) aplicadas
em (3.36). Isto gera as seguintes relações:
∂x
∂t
= aw cosh k (z0+H)
sinh kH
cos (kx0�wt),
∂z
∂t
= aw sinh k (z0+H)
sinh kH
sin (kx0�wt).
Integrando–as no tempo, temos:
x=�a cosh k (z0+H)
sinh kH
sin (kx0�wt),
z= a sinh k (z0+H)
sinh kH
cos (kx0�wt). (3.37)
Podemos eliminar (k x0�w t) utilizando sin2x+ cos2x= 1:
x2
a
cosh k(z0+H)
sinh kH
�2 + z2
a
sinh k(z0+H)
sinh kH
�2 = 1, (3.38)
que representa a equação de uma elipse.
Tanto o semi–eixo maior, a cosh k(z0+H)/sinh kH, como o semi–eixo menor, a sinh k(z0+
H)/sinh kH, diminuem com a profundidade, e o eixo menor desaparece quando z0 =�H, Figura 7.
A distância entre os focos da elipse permanecem constantes com a profundidade. As equações em
(3.37) mostram que a fase do movimento (i.e., o argumento do termo senoidal), é independente de
z0. Isto significa que as partículas do fluido numa coluna vertical apresentam a mesma fase. Ou
seja, se uma partícula no topo do da coluna d’água está na parte superior de sua órbita, então todas
as partículas no mesmo x0, estão na parte de cima de suas próprias órbitas.
25
Figura 7: Órbita das partícula na coluna d’água durante a passagem de uma onda no caso de um oceano (a)
profundo e (b) raso.
3.5 Aproximação de águas profundas e águas rasas
A análise feita na seção anterior, sobre a órbita das partículas, é aplicável para qualquer magnitude
de l em relação à profundidade da coluna d’água H. Simplificações interessantes podem ser
obtidas se utilizarmos as condições que consideram um oceano de águas rasas, H/l⌧ 1, ou um
oceano de águas profundas, H/l� 1, em relação ao comprimento de onda da onda em questão.
A expressão para a velocidade de fase é dada pela equação 3.30:
c =
s
gl
2p
tanh
✓
2pH
l
◆
(3.39)
Vamos agora ver como fica esta equação se utilizarmos as condições acima.
3.5.1 Aproximação de águas profundas
Primeiramente, vamos ver como são os gráficos das funções hiperbólicas, uma vez que tanh é
utilizada na expressão da relação de dispersão, Figure 8.
26
Figura 8: Gráfico das funções hiperbólicas.
Através do gráfico, podemos notar que a função tanh x tende a 1, conforme se varia o valor
de x, ou seja tanh x! 1 para x! •. Podemos ver também que não precisamos avançar tanto no
valor de x para que esta função chegue no seu valor limite. Vamos fazer algumas estimativas desta
função:
Tabela 1: Determinação da função tanh(x) para alguns valores.
x tanh (x)
1.0 0.7616
1.5 0.9051
1.75 0.9414
2.0 0.9640
3.0 0.9951
4.0 0.9993
5.0 0.9999
Ou seja, podemos fazer a aproximação H/l� 1 na equação (3.30) e assumirmos que o termo
com a tanh é igual a 1 sem estarmos cometendo um erro muito grande nesta suposição. De fato, se
27
tomarmos x= 1.75, ou seja, 2pH/l= 1.75, veremos que se H > 0.28l, a aproximação para águas
profundas já é válida, com uma precisão de 3% no cálculo da velocidade de fase. A velocidade de
fase e a relação de dispersão para este caso se tornam:
c =
r
gl
2p
=
r
g
k
, (3.40)
e
w =
p
gk, (3.41)
As ondas neste caso são classificadas como ondas de águas profundas, se a profundidade for maior
que 28% do comprimento de onda. Pelo mesmo motivo, essas ondas também são conhecidas como
ondas curtas de gravidade. A equação (3.40) mostra ainda uma característica interessante sobre
essas ondas: quanto mais longas forem as ondas no oceano fundo mais rápido elas se propagam.
O período dominante das ondas de gravidade de superfície geradas pelo vento é de ⇡ 10 s, que
a partir da relação de dispersão (3.29) podemos estimar que o comprimento de onda dominante de
⇡ 150 m. A profundidade típica da plataforma continental é⇡ 100 m e no oceano aberto é⇡ 4 km.
Podemos constatar que as ondas dominantes no oceano, mesmo sobre a plataforma continental, se
comportam como ondas de águas profundas e não sentem o efeito do fundo do oceano até chegarem
perto da praia. Isto já não é verdade para ondas de gravidade geradas por marés ou terremotos, pois
elas têm comprimentos de onda de centenas de quilômetros.Na seção anterior mostramos que a órbita das partículas em ondas de gravidade de pequena
amplitude descrevem elipses, equação (3.38). Para H > 0.28l, os semi–eixos da elipse têm a se
tornarem iguais a a ekz.
As funções hiperbólicas podem ser definidas como funções exponenciais que são mais fáceis
de serem manipuladas matematicamente:
cosh (z) =
(ez+ e�z)
2
, sinh (z) =
(ez� e�z)
2
Para o caso da aproximação de águas profundas, kH > 1.75 :
cosh k(z + H)
sinh kH
' sinh k(z + H)
sinh kH
' ekz
Portanto, para as ondas de águas profundas, as órbitas podem ser descritas por:
x = �a ekz0sin (kx0�wt)
z = a ekz0cos (kx0�wt)
28
As órbitas são descritos por círculos, como na Figure (7a), cujo raio na superfície é a, a amplitude
da onda. As componentes da velocidade são:
u=
∂x
∂t
= aw ekzcos (kx�wt) (3.42)
e
w=
∂z
∂t
= aw ekzsin (kx�wt) (3.43)
onde os índices x0 e z0 foram omitidos. O vetor velocidade gira no sentido horário para uma
onda que se propaga na direção positiva de x e com frequência w, enquanto que sua magnitude
permanece inalterada em aw ekz0 .
Para águas profundas, a variação de pressão devido à presença de uma onda decai exponencial-
mente com a profundidade, chegando a 4% da magnitude de superfície numa profundidade de l/2.
Um sensor colocado no fundo não consegue detectar as ondas de gravidade cujo comprimento de
onda for menor que duas vezes a profundidade da camada de água. Estes sensores agem como
“filtros de passa baixa”, mantendo as ondas mais longas e eliminando as mais curtas. Sensores
colocados no fundo podem ser utilizados para detectar tsunamis e marés, porém as ondas geradas
por vento ou marulhos não aparecerão nos registros.
3.5.2 Aproximação de águas rasas
Com o auxílio novamente da Figura 8, podemos ver que tanh (x)' x quando x! 0. ParaH/l⌧ 1,
temos que:
tanh
2pH
l
' 2pH
l
.
de forma que a velocidade de fase na equação (3.30) se simplifica para:
c =
p
g H. (3.44)
Para que a aproximação tenha um precisão de pelo menos 3% no cálculo da velocidade de fase, se
H < 0.07l.
As ondas de superfície neste caso são denominadas de ondas de águas rasas se a profundidade
do oceano for < 7% do comprimento de onda. Note que a definição de águas rasas é então pro-
veniente de uma relação entre a profundidade do oceano e o comprimento de onda da onda que
se propaga na superfície. Analogamente ao que foi proposto para as ondas de águas profundas,
as ondas de águas rasas são também conhecidas como ondas longas de gravidade. Não obstante,
a profundidade da água deve ser realmente rasa para que as ondas se comportem como ondas de
águas rasas. Isso é consistente com a discussão de que ondas de águas profundas não necessaria-
mente precisam se propagar em um oceano tão fundo para que o efeito do fundo não seja sentido.
Contrariamente com o que foi visto nas ondas de águas profundas, a velocidade de fase das on-
das de águas rasas, equação (3.44), é independente do comprimento de onda e aumenta com a
profundidade.
29
Para determinar a órbita das partículas das ondas de águas rasas, substituiremos as seguintes
aproximações na equação (3.37):
cosh k(z+H)' 1
sinh k(z+h)' k(z+H)
sinh kH ' kH
Desta forma, a variação na posição da partícula da equação (3.37) será:
x = � a
kH
sin(kx�wt)
z = a
⇣
1+
z
H
⌘
cos(kx�wt).
Estas equações representam elipses achatadas, Figura 7b, com o semi–eixo maior que é inde-
pendente da profundidade, a/kH, e o semi–eixo menor, a(1+ z/H), que decresce linearmente até
zero no fundo do oceano. As velocidades são dadas por:
u =
∂x
∂t
=
aw
kH
cos(kx�wt)
w =
∂z
∂t
= aw
⇣
1+
z
H
⌘
sin(kx�wt).
onde podemos notar que a componente vertical é muito menor que a componente horizontal.
Essa é uma consequência muito importante da aproximação de águas rasas. As velocidades na
camada tendem a ser basicamente horizontais.
As variações da pressão a partir de um estado sem perturbação pode ser obtido da equa-
ção (3.35):
p0 = r g a cos(kx�wt) = r g h, (3.45)
onde a equação (3.19) foi utilizada para expressar a pressão em termos de variação da altura da
superfície.
Esta equação mostra que a variação da pressão é independente da profundidade e se iguala
à pressão hidrostática causada pela variação da altura da superfície devido à passagem da onda.
Ou seja, o campo de pressão para o caso de ondas de águas rasas é completamente hidrostático.
As acelerações verticais do fluxo na vertical são desprezíveis pois o campo das velocidades ver-
ticais é pequeno. Por estas razões, as ondas de águas rasas são também conhecidas como ondas
hidrostáticas. Sensores de pressão colocados no fundo do oceano conseguem detectar essas ondas.
3.6 Dispersão
A relação entre w e k, ou equivalentemente entre comprimento de onda e período, é chamado de re-
lação de dispersão. Como vimos anteriormente, a sua dedução procede diretamente da solução das
30
equações do movimento, Seção 3.2. A relação de dispersão para ondas de gravidade de superfície
é:
w =
p
gk tanh kH. (3.46)
Para entender melhor esta equação, mostramos no gráfico abaixo como varia a velocidade de
fase em função da profundidade H para alguns comprimentos de onda, de 10 m até 1 km, Figura 9.
Do lado esquerdo do gráfico podemos observar uma variação linear, que corresponde à região do
campo de ondas onde a aproximação de águas rasas, c=
p
gH, parece ser apropriada.
Figura 9: Velocidade de fase em função da profundidade para vários comprimentos de onda. Fonte: Pond
e Pickard (1983).
Vamos ver como varia a velocidade de uma onda cujo comprimento de onda é 200 m. Até
uma profundidade de 10 m, onde H = l/20, a onda acompanha a linha reta inclinada, seguindo a
equação para águas rasas. A partir dessa profundidade, a velocidade se curva até atingir um valor
constante de c = 17.7m.s�1 em ⇡ 100 m, ou seja, H = l/2. Estes limites são aproximados mas
mostram que as aproximações são adequadas para determinar a relação de dispersão das ondas de
gravidade de superfície. Essas aproximações são feitas para simplificar a resolução matemática
das equações envolvidas, preservando o aspecto físico do problema.
Um ponto interessante a se notar a respeito das ondas de águas profundas, ou as ondas curtas,
é que sua velocidade de fase depende do comprimento de onda e portanto do período. Por este
motivo são chamadas de dispersivas. Este termo se refere à separação das ondas em relação à sua
posição ao longo da direção de propagação, e não separação na direção, embora isso possa ocorrer
também.
31
Para as ondas curtas, a velocidade das ondas mais longas é maior do que as mais curtas. Isto
pode ser claramente constatado na Figura 9. Consequentemente, se ondas de diferentes compri-
mentos de onda são geradas simultaneamente, as mais longas se propagarão na frente das mais
curtas e serão detectadas primeiro num ponto distante. Além disso, as ondas mais curtas tendem a
perder energia mais rápido por atrito devido à fricção e desaparecem antes que as mais longas. Por
isso, elas tendem a não se propagar grandes distâncias.
3.7 Equação das águas rasas derivadas através da aproximação hidrostática
Considere um fluido homogêneo de densidade r em repouso sobre uma bacia de profundidade
constante H, por exemplo um lago com o fundo plano. No estado de equilíbio, a solução das
equações será que as velocidades são iguais a zero e a pressão será determinada pela pressão
hidrostática, dada por:
p0(z) =�g r z (3.47)
onde r é a densidade, g a aceleração da gravidade. Assumimos ainda que a densidade para valores
de z> 0 é desprezível, ou seja, a densidade da atmosfera.
Uma perturbação introduzida na superfície do fluido gerará uma pequena variação da superfície
livre dada por:
z= h(x,y, t). (3.48)
Por conveniência, definimos uma perturbação na pressão, p0 como:
p=�g r z+ p0 (3.49)
Neste caso, asequações da continuidade e do movimento para um fluido inviscido, homogêneo
e sem rotação são:
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= 0, (3.50)
r∂u
∂t
=�∂p
0
∂x
, r∂v
∂t
=�∂p
0
∂y
, (3.51)
e
r∂w
∂t
=�∂p
0
∂z
. (3.52)
A pressão no oceano satisfaz a equação hidrostática:
∂p
∂z
=�r g. (3.53)
Vamos mostrar que esta condição pode conduzir a simplificações no tratamento das equações
que resultam no mesmo que quando aplicamos o limite de k H ! 0 nas soluções mais gerais das
ondas de gravidade de superfície que deduzimos anteriormente.
32
Para um fluido homogeneo, a equação (3.53) implica que as perturbações na pressão satisfazem
à:
∂p0
∂z
= 0 (3.54)
e a condição de contorno na superfície:
p0 = r g h. (3.55)
Usando estas condições, as equações do movimento se tornam:
∂u
∂t
=�g∂h
∂x
, (3.56)
e
∂v
∂t
=�g∂h
∂y
. (3.57)
Como podemos ver, a variação temporal das correntes não dependem da profundidade. Isto
simplifica a equação da continuidade que agora pode ser integrada em relação à profundidade,
utilizando as condições equação (3.4) e (3.9). O resultado é:
∂h
∂t
+H
✓
∂u
∂x
+
∂v
∂y
◆
= 0 (3.58)
A quantidade (∂u/∂x+∂v/∂y) é chamada de divergência horizontal pois mostra a divergência dos
termos horizontais da velocidade.
Esta equação da continuidade pode ser também deduzida se considerarmos por argumentos
simples de conservação de momento para uma coluna de fluido sobre um elemento de área, con-
forme Figura 10.
Figura 10: Fluxo de massa para uma coluna de fluido de área dxdy para quando as componentes horizontais
da velocidade u e v são independentes da profundidade.
33
Suponha que (u, v) é a velocidade do centro do elemento e h é a elevação da superfície nesse
ponto. Como (u, v) é independente da profundidade, a taxa de fluxo de massa através da seção
central, normal ao eixo x será ru multiplicado pela área (H+h)dy da seção. A diferença entre o
que sai pela face da direita e o que entra pela esquerda será:
dxdy∂ru(H+h)
∂x
.
Fazendo o mesmo para os dois outros lados e igualando à taxa de variação total de massa
r(H+h)dxdy temos:
∂h
∂t
+
∂[(H+h)u]
∂x
+
∂[(H+h)v]
∂y
= 0 (3.59)
Esta equação é válida para perturbações grandes também, contanto que as velocidades sejam
independentes da profundidade. Mas se as perturbações forem pequenas, equação (3.58) se reduz
à equação linear:
∂h
∂t
+
∂(H u)
∂x
+
∂(H v)
∂y
= 0 (3.60)
e se torna equação (3.58) se a profundidade H é constante.
Podemos reduzir a equação (3.58) para uma variável dependente h somente que pode ser obtida
usando as equações da continuidade e do momento. O resultado é:
∂2h
∂t2
=
∂
∂x
✓
g H
∂h
∂x
◆
+
∂
∂y
✓
g H
∂h
∂y
◆
. (3.61)
No caso particular de profundidade constante, podemos ainda escrever:
∂2h
∂t2
= c2
✓
∂2h
∂x2
+
∂2h
∂y2
◆
⌘ c2—2h (3.62)
onde c2 = g H que é exatamente a velocidade de fase deduzida para a aproximação de águas rasas,
equação (3.44). Esta equação mostra que a aproximação hidrostática conduz ao mesmo resultado
que a aproximação de ondas longas.
3.8 Velocidade de grupo e energia da onda
No oceano real, mesmo considerando os “comportados” marulhos, as ondas não são compostas
por puros senos, mas sim por uma soma de ondas senoidais que envolve uma variedade de compri-
mentos de onda, e períodos e amplitude correspondentes. Isto significa que não necessariamente
um grupo de ondas se propaga com a velocidade de fase da onda. De fato, elas não se propagam
com a velocidade de fase como se fosse uma onda só.
Para mostrar que um grupo de ondas tem uma velocidade de propagação diferente da de fase,
vamos considerar um caso simples onde um grupo é formado pela combinação de duas ondas,
34
h1 e h2. Por simplicidade, vamos assumir que ambas as ondas têm a mesma amplitude a, e com
comprimentos de ondas e frequências ligeiramente diferentes, e que se propagam simultaneamente
numa mesma região do oceano.
h1 = a cos(k1x�w1t) h2 = a cos(k2x�w2t)
k1 = k+Dk k2 = k�Dk
w1 = w+Dw w2 = w�Dw
Dk = k1� k2
2
⌧ k = k1+ k2
2
e
Dw = w1�w2
2
⌧ w = w1+w2
2
Então podemos escrever:
h1 = a cos[(kx�wt)+(Dkx�Dwt)]
h2 = a cos[(kx�wt)� (Dkx�Dwt)]
Usando a relação trigonométrica cos(a±b) = cosa cosb ⌥ sina sinb, podemos mostrar que:
h = h1+h2 = 2 a cos(kx�wt) cos(Dkx�Dwt). (3.63)
A equação (3.63) mostra uma combinação de ondas, uma onda de frequência maior (cos(kx�
wt) cuja amplitude é modulada por um termo de frequência menor, (cos(Dkx�Dwt), Figura 11.
Figura 11: Elevação da superfície para um grupo de ondas composto por duas ondas senoidais simples.
Esta figura foi elaborada para t = 0 e Dk/k = 1/20, e representa um ciclo completo do envelope
cos(Dkx�Dwt), cuja amplitude sai de zero, passa por uma região com uma soma de amplitudes
de h1 e h2 e volta novamente a zero num “comprimento do grupo” de p/Dk.
Podemos observar que para um tempo fixo, ao ir de zero até chegar ao próximo zero do en-
velope, Dkx varia de p de forma que o que chamamos de “comprimento do grupo” é p/Dk. Da
mesma forma, se fizermos a análise para um ponto fixo, Dwt varia p entre dois zeros consecutivos
do envelope, e vemos que o “período do grupo” é p/Dw.
35
Definimos uma velocidade de grupo, cg, que é a velocidade que o grupo de ondas se propaga,
baseado na relação “comprimento do grupo/período do grupo”, i.e., cg = Dw/Dk. No limite em
que Dw e Dk! 0 a velocidade de grupo cg= dw/dk que pode ser estimada através da equação 3.29.
Calculando a derivada, podemos mostrar que:
cg =
c
2

1+
2kH
sinh 2kH
�
(3.64)
Se aplicarmos as simplificações feitas anteriormente para ondas longas (águas rasas) e curtas
(águas profundas) teremos:
• para kH⌧ 1, sinh 2kH! 2kH podemos mostrar que cg = c ;
• para kH� 1, sinh 2kH� 2kH podemos mostrar que cg = c/2 .
A energia da onda se propaga com a velocidade de grupo. Isso pode ser entendido intuitiva-
mente através da Figura 11. No ponto x = x2, a amplitude da onda é zero e portanto a energia
da onda é também zero, enquanto que no ponto x = x1, a amplitude é máxima e a energia deve
também ser máxima. Com a passagem do tempo, o grupo se propaga para a direita e a região de
máximo de energia irá de x1 até x2 na velocidade ditada pela velocidade de grupo. Esta é portanto
a velocidade que a energia se propaga também.
Por suas características, o vetor velocidade de grupo, ~cg, apresenta informações mais impor-
tantes sobre a onda do que a velocidade de fase, ~c. A velocidade de grupo aponta a direção para
onde as ondas se propagam. No caso de ondas de gravidade de superfície, ~cg e~c vão para a mesma
direção. Porém para o caso de ondas internas e a maioria das ondas planetárias, elas apontam em
direções diferentes.
3.9 A energética das ondas senoidais
A energia das ondas de gravidade de superfície pode ser separada em duas componentes: a cinética
devido ao movimento das partículas e a potencial gravitacional associada ao deslocamento vertical.
As componentes da energia são estimadas através de médias em um período ou um comprimento
de onda. Embora nem sempre válida para todas as ondas, em geral as energias cinética e potencial
médias são iguais e a energia total por unidade de área é:
E =
rga2
2
=
rgh2
8
(3.65)
Para calcular a quantidade de energia associada a uma onda, devemos começar considerando
a energia potencial de uma onda progressiva nos moldes da equação (3.19). A energia potencial
de uma onda equivale ao trabalho necessário para deformar a superfície do mar para um perfil de
onda. A energia potencial depende somente da variação da superfície e não tem conexão com o
36
movimento da água que ocorre abaixo da superfície. A energia potencial para um comprimento de
onda, entre x= 0 até x= l, é:
PE =
Z l
0
r g
2
h2 dx. (3.66)Considerando que a área horizontal de uma onda de comprimento l e largura unitária na direção
y, a energia potencial por unidade de área será:
PE =
r g
2l
Z l
0
h2 dx (3.67)
onde a densidade do fluido foi considerada constante.
Se introduzirmos a definição da onda conforme a equação (3.19) na equação (3.67) e sabendo
que l= 2p/k, temos:
PE =
r g a2
4p
Z 2p/k
0
cos2(kx�w t)k dx. (3.68)
Para resolver a integral de cos2x, usar a identidade trigonométrica:
cos2a= 1
2
(1+ cos2a).
Então, teremos: Z 2p/k
0
cos2kx dx=
1
2
Z
(1+ cos 2kx) dx
Z 2p/k
0
cos2kx dx=
1
2

x+
1
2k
sin 2kx
�2p/k
0
=
p
k
.
Substituindo na equação (3.68), teremos:
PE =
r g a2
4
. (3.69)
A determinação da energia cinética pode ser mais facilmente feita para o caso de ondas em
águas profundas. Por definição, a energia cinética depende do quadrado da velocidade (V):
1
2
rV 2 = r
2
(u2+w2).
Desta forma, a energia cinética por unidade de área é dada por:
KE =
1
l
Z l
0
Z h
�H
1
2
r(u2+w2) dx dz. (3.70)
As velocidades na aproximação de águas profundas são descritas pelas equações (3.42) e
(3.43). Substituindo e fatorando teremos:
KE =
1
l
Z l
0
Z h
�H
1
2
ra2w2e2kz[cos2(kx�w t)+ sin2(kx�w t)] dx dz.
como sin2a+ cos2a⌘ 1 e ainda considerando que a densidade é constante, temos o seguinte:
KE =
r a2w2 k
4p
Z 2p/k
0
Z h
�H
e2kz dx dz.
37
Integrando:
KE =
r a2w2
4 k
(e2kh� e�2kH).
No limite de águas profundas, H! •,e�2kH ! 0 e KE se torna:
KE =
r a2w2
4 k
e2kh =
r a2 k
4
w2
k2
e2kh =
r a2 k
4
c2e2kh.
Mas para aproximação de águas profundas, c2 = g/k, o que dá:
KE =
r g a2
4
e2kh.
Utilizando a suposição de oscilações de pequena amplitude, 2kh⌧ 1, então, e2kh ⇡ 1 e finalmente
temos:
KE =
r g a2
4
. (3.71)
A determinação da energia cinética para águas intermediárias e rasas pode ser feita através deste
método. Porém, as integrais serão mais complicadas.
A energia total de uma onda será a soma das componentes potencial e cinética que será obtida
através da adição das equações (3.69) e (3.71):
E = PE+KE =
r g a2
2
(3.72)
Como numa onda senoidal a amplitude é a metade da altura total da onda (h), temos então:
E =
1
8
r g h2[J.m�2] (3.73)
3.10 Refração de ondas em águas rasas
Iremos discutir qualitativamente o fenômeda da refração no caso de ondas de águas rasas. Para
tanto, precisamos considerar um fundo inclinado, como no caso de uma praia, com linhas de nível
de profundidade paralelas à linha da costa.
38
Figura 12: Esquema de refração de onda de gravidade de superfície na aproximação de águas rasas ao
se aproximar da costa através de uma praia inclinada. As linhas unindo as cristas das ondas tendem a se
aproximar pararelas à costa.
Vamos assumir que as ondas se propagam em direção à costa, vindo de uma região de oceano
profundo, originalmente com as cristas inclinadas em relação à linha da costa. Ao chegarem mais
próximas à costa, as ondas começam a sentir o efeito do fundo e ao atingirem uma profundidade
apropriada, elas se tornam ondas de águas rasas. A frequência destas ondas não mudam ao longo
do seu caminho, porém a velocidade de propagação, c =
p
gH e o comprimento de onda, l, se
tornam menores. Consequentemente, as linhas das cristas que são perpendiculares em relação à
direção local de c tendem a se tornar paralelas à costa. Este é o motivo pelo qual as ondas que
chegam em direção à praia sempre parecem que suas cristas estão alinhadas com a linha da costa.
Um exemplo interessante de refração de onda ocorre quando uma onda de águas profundas cu-
jas cristas sejam alinhadas se aproximam a uma ilha, Figura 13. Assume–se que as águas profundas
se tornam mais rasas próximo à ilha, e os contornos de profundidade são círculos concênntricos
ao redor da ilha. A Figura 13 mostra que as ondas sempre chegam em direção à ilha, mesmo na
região de “sombra” marcada com a letra A.
Figura 13: Refração de onda de gravidade de superfície ao se aproximar de uma ilha. As linhas das cristas
são mostradas como linhas contínuas. As linhas sempre “chegam” em direção à ilha, mesmo no ponto A.
Fonte: Kundu (2002).
A inclinação do caminho da onda num meio não–homogêneo é chamado de refração da onda.
No nosso caso, o meio não–homogêneo se refere à variação da profundidade H. O termo é em-
prestado novamente da óptica, que naquele caso, a inclinação do caminho do raio de luz se deve à
mudanças da densidade do meio em que se propaga.
39
4 Ondas Internas
Até aqui desenvolvemos a teoria sobre ondas que se propagam sobre a superfície livre de um fluido.
Essas ondas são as que ocorrem na interface entre o oceano e a atmosfera. Mas as ondas também
podem se desenvolver em superfície de interface entre dois líquidos imiscíveis de diferentes densi-
dades no interior do oceano. Estas ondas são conhecidas como ondas internas porque a diferença
na densidade é justamente o que impulsiona uma força restauradora baseada na gravidade ou pres-
são hidrostática (causada pela gravidade), se o fluido for deslocado verticalmente. Regiões onde
apresentam grandes gradientes de densidade podem sem, por exemplo:
• Termoclina em águas oceânicas, onde a diferença na densidade é majoritariamente causada
pela temperatura devido ao aquecimento por radiação solar;
• Haloclina em regiões costeiras, onde a densidade muda por causa do efeito da salinidade;
• Fjords, onde a água doce do rio avança sobre as águas oceânicas.
Essa situação pode ser idealizada considerando–se um fluido menos denso r1 sobre um fluido de
densidade maior r2, Figura 14.
Figura 14: Esquema ilustrativo de ondas internas se propagando na interface entre dois líquidos com pro-
fundidade infinita. Fonte: Kundu (2002).
Obviamente, os movimentos não ficam limitados somente na interface, mas podem se estender
através da água, para cima e para baixo. Para as ondas de gravidade de superfície, a densidade do
ar é tao pequena comparada com a da água que ela pode ser ignorada. Por isso a densidade do ar
não aparece nas equações das ondas que estudamos até o momento. Para o caso das ondas internas,
a densidade dos dois fluidos são aproximadamente iguais.
4.1 Ondas na interface entre duas camadas de profundidade infinita
Por simplicidade, assumiremos inicialmente que os fluidos tem profundidade infinita. Desta forma,
permitiremos que somente as soluções que decaem exponencialmente a partir da interface sejam
40
válidas. Por conveniência, vamos utilizar a notação complexa para representar as equações de
onda. Se z descreve as oscilações da interface onde z = a cos(kx�wt), utilizando–se a notação
complexa, ela será:
z = ¬a ei(kx�wt),
onde ¬ significa “a parte real de” e i =
p�1. Comumente omitimos o símbolo ¬ e escrevemos
simplesmente:
z = a ei(kx�wt). (4.1)
Devemos então lembrar que estamos utilizamos somente a parte real da equação. Estaremos “car-
regando” uma parte imaginária juntamente com a equações do problema que não tem significado
físico nenhum. A grande vantagem desta notação é que simplifica muito a solução das equações,
uma vez que a diferenciação de exponenciais é muito mais fácil do que a de funções trigonométri-
cas.
No presente caso, teremos que resolver as equações de Laplace, equação 3.3, para ambas as
camadas, que devem respeitar as condições de continuidade de p e w na interface. As equações
são:
∂2f1
∂x2
+
∂2f1
∂z2
= 0.
∂2f2
∂x2
+
∂2f2
∂z2
= 0. (4.2)
que devem obedecer as seguintes condições de contorno:
f1! 0 z! • (4.3)
f2! 0 z!�• (4.4)
∂f1
∂z
=
∂f2
∂z
=
∂z
∂t
z= 0 (4.5)
r1
∂f1
∂t
+r1gz= r2
∂f2
∂t
+r2gz z= 0 (4.6)
A equação 4.5 considera que a velocidade vertical em ambos os lados do fluido é devido à variação
da profundidade da interface. A equação 4.6 consideraque a pressão deve obedecer a continuidade
através da interface, logo a relação é obtida pela equação de Bernoulli.
Como foi feita para as ondas de superfície livre, as condições de contorno são linearizadas
e aplicadas em z = 0 ao invés de z = z. Similarmente, as condições (4.3) e (4.4) ditam que as
soluções para as equações em (4.2) sejam da forma:
f1 = A e�kzei(kx�wt)
f2 = B ekzei(kx�wt)
Note que para a equação de f1 a solução só depende de e�kz pois ekz não é permitido no fluido
superior onde z é positivo e portanto este termo iria para o infinito. Analogamente, a solução
proporcional à e�kz não é permitido no fluido inferior. As constantes A e B podem ser complexas.
41
Como na seção 3.2, as constantes são determinadas a partir da condição cinemática (4.5),
dando:
A = �B = iwa
k
.
E a condição de contorno dinâmica, 4.6, dá a relação de dispersão:
w =
s
gk
✓
r2�r1
r2+r1
◆
= e
p
gk, (4.7)
onde e2 ⌘ (r2� r1)/(r2+ r1) é um número pequeno se a diferença de densidade entre os dois
líquidos for pequena. Pequenas diferenças na densidade podem ser relevantes para processos geo-
físicos. Considere que uma diferença de 10�C pode fazer com que a densidade das camadas da
superfície do oceano diminua de 0,03%. A equação (4.7) mostra que as ondas na interface entre
dois líquidos de espessura infinita se propagam como se fossem ondas de superfície de oceano
profundo. Veja a semelhança desta equação com a equação 3.41, onda w é proporcional a
p
gk
porém com a frequência muito menor devido ao fator e.
Como esperado, a equação (4.7) se reduz para o caso das ondas de gravidade de superfície para
águas profundas se r1 = 0, ou seja, w=
p
gk, conforme deduzido na equação (3.41).
A energia cinética do campo de ondas pode ser determinado integrando r(u2+w2)/2) sobre a
região de z=±•. A partir disto, a energia cinética média por unidade de área horizontal é:
Ek =
1
4
(r2�r1)ga2. (4.8)
A energia potencial pode ser calculada determinando–se a taxa de trabalho realizado na defor-
mação de uma superfície plana para um superfície na forma de uma onda. A Figura 15 mostra
que essa deformação envolve a transferência da coluna A de densidade r2 para a posiçao B, uma
simultânea transferência da coluna B de densidade r1 para a posição A, e integrando o trabalho
sobre meio comprimento de onda pois essa troca forma um comprimento de onda completo.
Figura 15: Cálculo da energia potencial para um fluido de duas camadas. O trabalho realizado para trans-
ferir o elemento A para B é igual ao peso de A vezes o deslocamento vertical do seu centro de gravidade.
Fonte: Kundu (2002).
A energia potencial por unidade de área horizontal é:
Ep =
1
l
Z l/2
0
r2gz2dx� 1l
Z l/2
0
r1gz2dx
42
=
g(r2�r1)
2l
Z l/2
0
z2dx= 1
4
(r2�r1)ga2.
A energia total da onda por unidade de área horizontal é:
E = Ek+Ep =
1
2
(r2�r1)ga2. (4.9)
em comparação com a equação (3.65), a equação acima mostra que a amplitude das ondas internas
é geralmente muito maior do que as de ondas de superfície para uma mesma energia utilizada para
gerar as ondas.
As componentes da velocidade horizontal para as duas camadas são:
u1 =
∂f1
∂x
=�wae�kzei(kx�wt)
u2 =
∂f2
∂x
= waekzei(kx�wt)
que mostram que as velocidades nas duas camadas são opostas, Figura 14. Portanto, na interface
entre as duas camadas há uma descontinuidade na velocidade tangencial.
A existência de ondas internas em oceano com descontinuidade na densidade explica um fenô-
meno interessante nos fiordes da Noruega. Percebia–se que os navios eram sujeitos à fortes forças
de arrasto ao entrar nesses fiordes. Bjerknes, um oceanógrafo norueguês, explicou que isso era
causado por ondas internas na interface das camadas geradas pelo próprio movimento do navio,
Figura 16.
Figura 16: O fenômeno conhecido como “água morta” (do inglês dead water) nos fiordes Noruegueses.
4.2 Ondas na interface entre uma camada finita e uma de profundidade
infinita
Como um segundo exemplo de onda interna que se propaga na interface de descontinuidade de
densidade de um fluido, consideremos o caso em que uma camada com espessura não infinita
43
está sobre uma camada de fluido com profundidade infinita. O caso anterior, o de duas camadas
infinitas, é um caso particular do exemplo que estudaremos agora. O fato de ter uma superfície
livre no presente exemplo, permite a presença de um modo extra de onda de superfície. Torna–se
evidente que nesta presente configuração haverá dois modos de oscilação, um modo que inclui a
onda da superfície e a da interface que estariam em fase e um segundo modo em que a onda se
propaga em direção contrária, Figura 17.
Figura 17: Modo de propagação de ondas internas em um fluido com descontinuidade de densidade for-
mando uma camada finita sobre uma camada de profundidade infinita. Fonte: Kundu (2002).
Considerando H a espessura da camada superior a tomando a origem na posição média da
superfície livre, Figura 17, podemos escrever as equações de Laplace, (4.2):
∂f1
∂x
+
∂f1
∂z
= 0
∂f2
∂x
+
∂f2
∂z
= 0
Para este caso, as condições de contorno são:
f2! 0 z!�• (4.10)
∂f1
∂z
=
∂h
∂t
z= 0 (4.11)
∂f1
∂t
+gh= 0 z= 0 (4.12)
∂f1
∂z
=
∂f2
∂z
=
∂z
∂t
z=�H (4.13)
r1
∂f1
∂t
+r1gz= r2
∂f2
∂t
+r2gz z=�H (4.14)
44
Assumimos novamente que as oscilações da superfície livre são da forma:
h= a ei(kx�wt) (4.15)
e as da interface:
z= b ei(kx�wt) (4.16)
Como anteriormente, tomaremos somente a parte real da equação. Os potenciais de velocidade
devem ser então:
f1 = (A ekz+B e�kz) ei(kx�wt) (4.17)
f2 = C ekz ei(kx�wt) (4.18)
A equação (4.18) deve satisfazer (4.10). As condições (4.11), (4.12) e (4.13) são utilizadas
para determinar as constantes em termos da amplitude:
A = � ia
2
⇣w
k
+
g
w
⌘
(4.19)
B =
ia
2
⇣w
k
� g
w
⌘
(4.20)
C = � ia
2
⇣w
k
+
g
w
⌘
� ia
2
⇣w
k
� g
w
⌘
e2kH (4.21)
b =
a
2
✓
1+
gk
w2
◆
e�kH +
a
2
✓
1� gk
w2
◆
ekH (4.22)
Substituindo na equação (4.14) poderemos determinar a relação de dispersão w(k). Após algu-
mas manipulações algébricas, teremos a seguinte expressão:✓
w2
gk
�1
◆⇢
w2
gk
[r1 sinh kH+r2 cosh kH]� (r2�r1) sinh kH
�
= 0 (4.23)
Esta equação tem duas soluções que serão discutidas abaixo.
Uma possível solução da equação 4.23 é:
w2 = gk
que se reduz ao mesmo caso que uma onda de gravidade de superfície para aproximação de águas
profundas. Para este caso a equação 4.22 se reduz à:
b = a e�kH
que mostra que existe uma relação direta entre a amplitude da superfície e a da interface, porém
reduzida por um fator e�kH . Além disso, essa equação mostra que o movimento das superfícies
estão em fase. Conforme indicado acima, esta solução se assemelha ao caso de ondas de superfície
para oceano profundo, só que neste caso, o movimento decai com e�kz em relação à superfície
45
livre. Este modo é conhecido como modo barotrópico porque as superfície na vertical se movem
juntamente, com as superfícies de pressão e densidade constante se coincidindo.
A outra raiz da equação (4.23) é:
w2 = gk(r2�r1)sinh kH
r2 cosh kH+r1 sinh kH
(4.24)
que se reduz à equação (4.7) se kH ! •. Substituindo (4.24) em (4.22) podemos mostrar após
algumas manipulações que:
h = �z
✓
r2�r1
r1
◆
e�kH (4.25)
mostrando que h e z têm sinais opostos e que o deslocamento da interface é muito maior que o
deslocamento da superfície livre se a diferença entre as densidades for pequena. Este modo é co-
nhecido como modo baroclinico ou interno porque as superfícies de pressão e densidade constante
não coincidem na vertical. Pode ser mostrado que o sinal da velocidade horizontal u troca de sinal
através da interface.
Este caso demonstra que a diferença de densidade é capaz