Logica_Matemática
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Logica_Matemática


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@ribeirord
1
Autora:
Prof. Dra. Denise Candal
LÓGICA MATEMÁTICA
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS
Rafael D. Ribeiro, M.Sc.
rafaeldiasribeiro@gmail.com
http://www.rafaeldiasribeiro.com.br
AULA 1
@ribeirord
2
AULA 1
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição: Chama-se proposiçãoproposiçãoproposiçãoproposição todo conjunto 
de palavras ou símbolos que exprimem um 
pensamento de sentido completo.
Exemplo: Todo número divisível por 2 é par.
AULA 1
\ufffdPRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: 
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao 
mesmo tempo.
\ufffdPRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: 
Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, 
verifica-se sempre um destes casos e nunca um 
terceiro. ( Lógica Bivalente )
@ribeirord
3
AULA 1
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição: Chama-se valor lógicovalor lógicovalor lógicovalor lógico de uma 
proposição a verdadeverdadeverdadeverdade (V) se a proposição é 
verdeira e a falsidadefalsidadefalsidadefalsidade (F) se a proposição é 
falsa.
Toda proposição tem um, e um só, dos valores Toda proposição tem um, e um só, dos valores Toda proposição tem um, e um só, dos valores Toda proposição tem um, e um só, dos valores 
V ou F.V ou F.V ou F.V ou F.
AULA 1
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição: Chama-se proposição simplesproposição simplesproposição simplesproposição simples ou 
atômica aquela que não contém outra 
proposição como parte de si mesma. 
Notação: letras latinas minúsculas (p,q,r,s,...)\ufffd
letras proposicionais
Exemplo: Maria é insuportável.
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4
AULA 1
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição: Chama-se proposição compostaproposição compostaproposição compostaproposição composta ou 
molecular aquela formada pela combinação de 
duas ou mais proposições.
Notação: letras latinas maiúsculas (P,Q,R,S,...)\ufffd
letras proposicionais
Exemplo: Maria é insuportável e Pedro é 
irritante.
AULA 1
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição: Chamam-se conectivosconectivosconectivosconectivos palavras que 
são utilizadas para formar novas proposições 
a partir de outras. 
Os conectivos: não, e, ou, se...então, ...se e 
somente se ...
não e ou Se...então Se e somente se
~ \u2227\u2227\u2227\u2227 \u2228\u2228\u2228\u2228 \u2192 \u2194
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5
AULA 1
p
Dispositivo usado para determinar o valor lógico de 
proposições compostas a partir dos valores lógicos 
das proposições simples que a constituem.
Proposição simples
AULA 1
p
V
F
Dispositivo usado para determinar o valor lógico de 
proposições compostas a partir dos valores lógicos 
das proposições simples que a constituem.
Proposição simples
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AULA 1
PrincípioPrincípioPrincípioPrincípio: O valor lógico de qualquer proposição 
composta depende unicamente dos valores 
lógicos das proposições simples componentes, 
ficando por eles univocamente determinado.
p qProposição composta
AULA 1
PrincípioPrincípioPrincípioPrincípio: O valor lógico de qualquer proposição 
composta depende unicamente dos valores 
lógicos das proposições simples componentes, 
ficando por eles univocamente determinado.
p q
V V
V F
F V
F F
Proposição composta
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AULA 1
Negação 
Chama-se negação da proposição p,p,p,p, e 
representamos por ~p~p~p~p , a proposição que tem o 
valor lógico oposto de p.p.p.p.
p ~p
V
F
AULA 1
Negação 
Chama-se negação da proposição p,p,p,p, e 
representamos por ~p~p~p~p , a proposição que tem o 
valor lógico oposto de p.p.p.p.
p ~p
V F
F V
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AULA 1
Chama-se conjunção de duas proposições \u201c pppp e 
qqqq \u201c e representamos por \u201c pppp \u2227	\u2227	\u2227	\u2227	qqqq \u201c a proposição 
composta que será verdadeira apenas quando 
as proposições pppp e qqqq forem ambas verdadeiras 
e falsa em todos os demais casos.
p q p\u2227\u2227\u2227\u2227q
V V
V F
F V
F F
AULA 1
Chama-se conjunção de duas proposições \u201c pppp e 
qqqq \u201c e representamos por \u201c pppp \u2227	\u2227	\u2227	\u2227	qqqq \u201c a proposição 
composta que será verdadeira apenas quando 
as proposições pppp e qqqq forem ambas verdadeiras 
e falsa em todos os demais casos.
p q p\u2227\u2227\u2227\u2227q
V V V
V F F
F V F
F F F
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AULA 1
Chama-se disjunção de duas proposições pppp e qqqq
a proposição, representada por \u201cp ou q\u201d, e 
indicada por \u201c pppp \u2228	\u2228	\u2228	\u2228	qqqq \u201d, que será falsa somente 
quando as proposições pppp e qqqq forem ambas 
falsas e verdadeira em todas as demais 
situações.
p q p\u2228\u2228\u2228\u2228q
V V
V F
F V
F F
AULA 1
Chama-se disjunção de duas proposições pppp e qqqq
a proposição, representada por \u201cp ou q\u201d, e 
indicada por \u201c pppp \u2228	\u2228	\u2228	\u2228	qqqq \u201d, que será falsa somente 
quando as proposições pppp e qqqq forem ambas 
falsas e verdadeira em todas as demais 
situações.
p q p\u2228\u2228\u2228\u2228q
V V V
V F V
F V V
F F F
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AULA 1
Carmem é rica. p
Carmem é feliz. q
~p
~q
p\u2227\u2227\u2227\u2227qqqq
p\u2228\u2228\u2228\u2228 q
AULA 1
Carmem é rica. p
Carmem é feliz. q
Carmem é pobre. ~p
Carmem é infeliz. ~q
Carmem é rica e feliz. p\u2227\u2227\u2227\u2227qqqq
Carmem é rica ou é feliz p\u2228\u2228\u2228\u2228 q
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AULA 1
Carmem é rica. p
Carmem é feliz. q
~p\u2227\u2227\u2227\u2227qqqq
pppp\u2228\u2228\u2228\u2228~q
p\u2227\u2227\u2227\u2227~q~q~q~q
~p\u2228\u2228\u2228\u2228 q
AULA 1
Carmem é rica. p
Carmem é feliz. q
Carmem é pobre e feliz. ~p\u2227\u2227\u2227\u2227qqqq
Carmem é rica ou infeliz. pppp\u2228\u2228\u2228\u2228~q
Carmem é rica e infeliz. p\u2227\u2227\u2227\u2227~q~q~q~q
Carmem é pobre ou feliz. ~p\u2228\u2228\u2228\u2228 q
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AULA 1
Chama-se proposição condicional \u2192 uma 
proposição representada por \u201c se p então qse p então qse p então qse p então q \u201c, 
cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em 
que pppp é verdadeira e qqqq é falsa e a verdade (V) 
nos demais casos.
p q p\u2192	\u2192	\u2192	\u2192	q
V V
V F
F V
F F
AULA 1
Chama-se proposição condicional uma 
proposição representada por \u201c se p então qse p então qse p então qse p então q \u201c, 
cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em 
que pppp é verdadeira e qqqq é falsa e a verdade (V) 
nos demais casos.
p q p\u2192	\u2192	\u2192	\u2192	q
V V V
V F F
F V V
F F V
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AULA 1
Chama-se proposição bicondicional \u57d ou 
apenas bicondicional uma proposição 
representada por \u201c p se e somente se qp se e somente se qp se e somente se qp se e somente se q\u201d, cujo 
valor lógico é a verdade (V) quando p e q são 
ambas verdadeiras ou ambas falsa , e a 
falsidade (F) nos demais casos. 
p q p\u2194	\u2194	\u2194	\u2194	q
V V
V F
F V
F F
AULA 1
Chama-se proposição bicondicional \u57d ou 
apenas bicondicional uma proposição 
representada por \u201c p se e somente se qp se e somente se qp se e somente se qp se e somente se q\u201d, cujo 
valor lógico é a verdade (V) quando p e q são 
ambas verdadeiras ou ambas falsa , e a 
falsidade (F) nos demais casos. 
p q p\u2194	\u2194	\u2194	\u2194	q
V V V
V F F
F V F
F F V
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AULA 1
Carmem é rica. p
Carmem é feliz. q
p\u2192q
q\u2192p
~p\u2192q
~q\u2192~p
~p\u2192~q
AULA 1
Carmem é rica. p
Carmem é feliz. q
Se Carmem é rica então ela é feliz. p\u2192q
Se Carmem é feliz então ela é rica. q\u2192p
Se Carmem é pobre então ela é feliz. ~p\u2192q
Se Carmem é infeliz então ela é pobre. ~q\u2192~p
Se Carmem é pobre então ela é infeliz. ~p\u2192~q
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AULA 1
Carmem é rica. p
Carmem é feliz. q
p\u2194\u2194\u2194\u2194q
~q\u2194\u2194\u2194\u2194~p
AULA 1
Carmem é rica. p
Carmem é feliz. q
Carmem é rica se e somente se ela é 
feliz.
p\u2194\u2194\u2194\u2194q
Carmem é infeliz se e somente se ela é 
pobre. 
~q\u2194\u2194\u2194\u2194~p
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AULA 1
Ordem de precedência:
( mais fraco para o mais forte )
~ \u2227\u2227\u2227\u2227 e \u2228\u2228\u2228\u2228 \u2192 \u2194
AULA 1
Mário é alto. p
Mário é elegante. q
Mario é alto e elegante.
Mario é alto, mas não é elegante.
Não é verdade que Mario é baixo ou elegante.
Mario não é nem alto nem elegante.
É falso que Mario é baixo ou que não é elegante. 
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AULA 1
Mário é alto. p
Mário é elegante. q
Mario é alto e elegante.