APOSTILA CÁLCULO I

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1 
 
Atividades Revisão 
 
Questão 01: Fatore as seguintes expressões: 
a) =− 44 yx b) =− 16x2 
 
 
c) =++ 3223 abb2aba d) =+−
4
1
xx2 
 
 
e) =−+ 12xx2 f) =+− 96xx2 
 
 
 
Questão 02: Simplifique: 
a) =
−
+−
9x
96xx
2
2
 b) =
+−
+−
96xx
65xx
2
2
 
 
 
 
 
 
 
c) =
−
+−
16x
168xx
2
2
 d) =
+
−
bxax
xbxa
22
22
 
 
 
 
 
 
e) 38
57
55
55
−−
−
⋅
⋅
= f) 37
328
98
236
−−
−
⋅
⋅⋅
= 
 
 
 
 
2 
 
Questão 03: Transforme em radical. 
a) 2
3
x = b) 4
3
v = c) 
2
1
2
−





 u
= d) 3
2−
w = 
 
 
Questão 04: Resolva: 
a) ( ) =+ 33x 2 b) ( ) =+ 2m 5 
 
 
c) =− 





2
t
t
1
 d)
2
3
2
3
2
23 







+
−
xx
 
 
 
Questão 05: Faça um esboço dos gráficos abaixo: 
a) ( ) 3xxf = b) ( ) 2xxf = c) ( ) 24 xxf −= 
 
 
 
 
 
 
d) ( ) xxf = e) ( ) xxf = f) ( ) xxf 2= 
 
 
 
 
g) ( ) 42 += xxf h) ( )
2
x
xf = i) ( )
2
1
−=xf 
 
 
 
 
j) ( )



>+
≤−
=
0 se ,12
0 se ,1 2
xx
xx
xf , esboce o gráfico e calcule f(-2) e f(1). 
 
3 
 
Questão 06: Converta de graus para radianos. 
a) 315°= b) 120°= c) 45°= d) 60°= 
 
 
Questão 07: Converta de radianos para graus. 
a) 
6
5pi
 rad = b) 2 rad = c) 
2
3pi
rad = d)
4
7pi
rad = 
 
Questão 08: Associe a função com o gráfico correspondente. 
1. ( ) 2
2
1
+= xxf ( ) 2. ( ) 29 xxf −= ( ) 
3. ( ) 24 xxf −= ( ) 4. ( ) xxxf −= 3 ( ) 
 
 
Questão 09: Simplifique cada expressão. Escreva suas respostas sem expoentes negativos. 
a) 32200 − b) ( )( )2233 43 abba c) 
2
2
1
2
32
3
3
−
−










yx
yx
 
 
 
Respostas das Atividades de Revisão 
Questão 01 
a) ( )( ) 



 +−+ 22 yxyxyx b) ( )( )44 +− xx c) ( )2baab + 
d) ( )221−x e) ( )( )43 +− xx f) ( )23−x 
 
 
4 
 
Questão 02 
a) 
3
3
+
−
x
x
 b) 
3
2
−
−
x
x
 c) 
4
4
+
−
x
x
 d) 
x
ba −
 e) 95 f) 1616 3.2 
 
 
Questão 03 
a) 3x b) 4 3v c) 
u
2
 d) 
3 2
1
w
 
 
Questão 04 
a) 8365427 23 +++ xxx b) 25102 ++ mm 
 
c) 2
2 12
t
t +− d) 
3
4
3
4
4
1
3
1
9
x
x
++ 
 
Questão 06 
a) 
3
5pi
 b) 
3
2pi
 c) 
4
pi
 d) 
3
pi
 
 
 
Questão 07 
a) 150° b) 114,6° c) 270° d) 315° 
 
 
Questão 08 
1 – b 2 – d 3 – a 4 - c 
 
 
Questão 09 
a) 26 b) 7548 ba c) 79y
x
 
5 
 
 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
Vamos analisar o comportamento da função f definida por ( ) 22 +−= xxxf para valores de x próximos de 2. Para isso, vamos fazer o 
esboço do gráfico e completar a tabela com os valores de f(x) para valores de x próximos de 2, mas não iguais a 2. 
 
 
x 1 1,5 1,8 1,9 1,95 1,99 1,995 1,999 2 2,001 2,005 2,01 2,05 2,1 2,2 2,5 3 
f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- + 
6 
 
Da tabela e do gráfico de f, vemos que, quando x estiver próximo de 2 (de qualquer 
lado), f(x) tenderá a 4. De fato, observa-se que podemos tornar x tão próximo de 2 quanto 
quisermos que f(x) se aproxima de 4. Expressamos isso, dizendo que o “limite da função 
( ) 22 +−= xxxf quando x tende a 2 é igual a 4”. A notação para isso é: 
( ) 42lim 2
2
=+−
→
xx
x
 
Em geral, usamos a seguinte notação: ( ) Lxf
ax
=
→
lim que deve ser lida assim: “f(x) 
tende a L quando x tende a a”. 
Ao procurar o limite de f(x) quando x tende a a não consideramos o que acontece em 
x = a. Na realidade, f(x) não precisa sequer estar definida quando x = a. O que importa é 
como f está definida próximo de a. 
A figura abaixo, mostra os gráficos de três funções que têm o mesmo limite L, embora 
f(a) é diferente de L (caso b) ou f(a) não está definida (caso c), pois não importa o que 
acontece em x = a. 
 
Vejamos outro exemplo: 
Estimar o valor de 
1
1lim 21
−
−
→ x
x
x
. 
 
x 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 1,5 
f(x) 
 
Analisando a tabela pode-se afirmar que: 
 
 
1
1lim 21
−
−
−→ x
x
x
= e 
1
1lim 21
−
−
+→ x
x
x
= 
 
Portanto, conclui-se que: 
1
1lim 21
−
−
→ x
x
x
= 
 
- + 
7 
 
Graficamente: 
 
Agora, analise o limite da função ( )





=
≠
−
−
=
1 x se ,2
1 xse ,
1
1
2x
x
xg graficamente. 
1
1lim 21
−
−
−→ x
x
x
= e 
1
1lim 21
−
−
+→ x
x
x
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa nova função g, tem o mesmo limite quando x tende a 1, tanto pela esquerda como 
pela direita. 
Isso comprova o que dissemos anteriormente: Ao procurar o limite de f(x) quando x 
tende a a não consideramos o que acontece em x = a. Na realidade, f(x) não precisa sequer 
estar definida quando x = a. O que importa é como f está definida próximo de a. 
Além disso, para que exista o limite de f(x) quando x tende a a é necessário que 
o limite à esquerda de a seja igual ao limite pela direita de a. 
 
 ( ) ( ) ( ) LxfLxfLxf
axaxax
===
+− →→→
lim e lim se, somente e se ,lim
f(1) = 
8 
 
Atividades sobre Limites 
 
Questão 1: Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Encontre, se existir: 
a) ( )xf
x −→3
lim = b) ( )xf
x +→3
lim = c) ( )xf
x 3
lim
→
= 
 
 
d) ( )xf
x −∞→
lim = e) ( )xf
x +∞→
lim = f) ( )xf
x 4
lim
→
= 
 
 
 
 
Questão 2: Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Encontre, se existir: 
a) ( )xf
x +−→ 2
lim = b) ( )xf
x −−→ 2
lim = 
 
c) ( )xf
x 2
lim
−→
= d) ( )xf
x +∞→
lim = 
 
 
 
 
Questão 3: Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Encontre, se existir: 
a) ( )xf
x +→0
lim = b) ( )xf
x −→0
lim = c) ( )xf
x 0
lim
→
= 
 
 
d) ( )xf
x +∞→
lim = e) ( )xf
x −∞→
lim = f) ( )xf
x 2
lim
→
= 
 
 
9 
 
Questão 4: Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
Encontre, se existir: 
a) ( )xf
x +→2
lim = b) ( )xf
x −→2
lim = c) ( )xf
x 2
lim
→
= 
 
 
d) ( )xf
x +∞→
lim = e) ( )xf
x −∞→
lim = f) ( )xf
x 1
lim
→
= 
 
 
 
Questão 5: Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Encontre, se existir: 
a) ( )xf
x +→1
lim = b) ( )xf
x −→1
lim = c) ( )xf
x 1
lim
→
= 
 
 
d) ( )xf
x +∞→
lim = e) ( )xf
x −∞→
lim = 
 
 
 
 
Questão 6: Para a função f(x) encontre os limites, se existirem. 
 a) ( )xf
x 0
lim
→
= b) ( )xf
x −→3
lim = c) ( )xf
x +→3
lim = 
 
 
d) ( )xf
x 3
lim
→
= e) ( )3f = 
 
 
10 
 
Questão 7: Para a função f(x) encontre os limites, se existirem. 
 a) ( )xf
x 1
lim
→
= b) ( )xf
x −→3
lim = c) ( )xf
x +→3
lim = 
 
 d) ( )xf
x 3
lim
→
= e) ( )3f = f) ( )xf
x −−→ 2
lim = 
 
 g) ( )xf
x +−→ 2
lim = h) ( )xf
x 2
lim
−→
= i) f(-2)= 
 
 
 
 
 
Questão 8: Para a função f(x) encontre os limites, se existirem. 
a) ( )xf
x 1
lim
→
= b) ( )xf
x −→3
lim = c) ( )xf
x +→3
lim = d) ( )xf
x 3lim
→
= e) ( )3f = 
f) ( )xf
x −−→ 2
lim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 9: Para a função f(x) encontre os limites, se existirem. 
a) ( )xg
x 6
lim
−→
= b) ( )xf
x −→0
lim = c) ( )xf
x +→0
lim = d) ( )xf
x 4
lim
→
= 
 
e) As equações das assíntotas verticais. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Questão 10: Para a função g(x) encontre os limites, se existirem. 
a) ( )xg
x −→2
lim = b) ( )xg
x +→2
lim = c) ( )xg
x 2
lim
→
= 
 
 
d) ( )xg
x −→5
lim = e) ( )xg
x +→5
lim = f) ( )xg
x 5
lim
→
= 
 
g) g(5)= 
 
Questão 11: Para a função f(x) encontre os limites, se existirem. 
 
 
a) ( )xf
x −→3
lim = b) ( )xf
x +→3
lim = c) ( )xf
x 3
lim
→
= d) ( )3f = 
e) ( )xf
x −∞→
lim = f) ( )xf
x +∞→
lim = 
 
Questão 12: Para a função f(x) encontre os limites, se existirem. 
a) ( )xf
x −→2
lim = b) ( )xf
x +→2
lim = c) ( )xf
x 2
lim
→
= d) ( )2f = 
e) ( )xf
x −∞→
lim = f) ( )xf
x +∞→
lim = 
 
 
Questão 13: Para a função g(x) encontre os limites, se existirem. 
a) ( )xg
x −→4
lim = b) ( )xg
x +→4
lim = 
c) ( )xg
x 4
lim
→
= d) ( )4g = 
e) ( )xg
x −∞→
lim = f) ( )xg
x +∞→
lim = 
12 
 
Questão 14: Para a função g(x) encontre os limites, se existirem. 
a) ( )xg
x −→0
lim = b) ( )xg
x +→0
lim = 
c) ( )xg
x 0
lim
→
= d) ( )0g = 
e) ( )xg
x −∞→
lim = f) ( )xf
x +∞→
lim = 
 
 
Questão 15: Para a função F(x) encontre os limites, se existirem. 
a) ( )xF
x −−→ 2
lim = b) ( )xF
x +−→ 2
lim = 
c) ( )xF
x 2
lim
−→
= d) ( )2−F = 
e) ( )xF
x −∞→
lim = f) ( )xF
x +∞→
lim = 
 
 
 
Questão 16: Para a função F(x) encontre os limites, se existirem. 
a) ( )xF
x −−→ 3
lim = b) ( )xF
x +−→ 3
lim = 
c) ( )xF
x 3
lim
−→
= d) ( )3F = 
e) ( )xF
x −∞→
lim = f) ( )xF
x +∞→
lim = 
 
 
 
Questão 17: Para a funçãoφ encontre os limites, se existirem. 
a) ( )x
x
φ
−
−→ 2
lim = b) ( )x
x
φ
+
−→ 2
lim = 
c) ( )x
x
φ
2
lim
−→
= d) ( )2φ = 
e) ( )x
x
φ
−∞→
lim = f) ( )x
x
φ
+∞→
lim = 
 
13 
 
Questão 18: Para a funçãoφ encontre os limites, se existirem. 
a) ( )x
x
φ
−→4
lim = b) ( )x
x
φ
+→4
lim = 
c) ( )x
x
φ
4
lim
→
= d) ( )4φ = 
e) ( )x
x
φ
−∞→
lim = f) ( )x
x
φ
+∞→
lim = 
 
 
 
Questão 19: Para a função f(x) encontre os imites, se existirem. 
a) ( )xf
x −→3
lim = b) ( )xf
x +→3
lim = 
c) ( )xf
x 3
lim
→
= d) ( )3f = 
e) ( )xf
x −∞→
lim = f) ( )xf
x +∞→
lim = 
 
 
 
 
Questão 20: Para a função f(x) encontre os imites, se existirem. 
a) ( )xf
x −→0
lim = b) ( )xf
x +→0
lim = 
c) ( )xf
x 0
lim
→
= d) ( )0f = 
e) ( )xf
x −∞→
lim = f) ( )xf
x +∞→
lim = 
 
 
 
 
Questão 21: Para a função G encontre os imites, se existirem. 
a) ( )xG
x −→0
lim = b) ( )xG
x +→0
lim = 
c) ( )xG
x 0
lim
→
= d) ( )0G = 
e) ( )xG
x −∞→
lim = f) ( )xG
x +∞→
lim = 
 
14 
 
Questão 22: Para a função G encontre os imites, se existirem. 
a) ( )xG
x −→0
lim = b) ( )xG
x +→0
lim = 
c) ( )xG
x 0
lim
→
= d) ( )0G = 
e) ( )xG
x −∞→
lim = f) ( )xG
x +∞→
lim = 
 
 
Respostas das Atividades sobre Limites 
 
Questão 1: a) -1 b) 3 c) ∃/ d) -1 e) 3 f) 3 
 
Questão 2: a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞+ 
 
Questão 3: a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞+ e) ∞− f) 4 
 
Questão 4: a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞+ e) ∞− 
f) 1 
 
Questão 5: a) ∞+ b) 1/2 c) ∃/ d)1/2 e) ∞− 
 
Questão 6: a) 3 b) 4 c) 2 d) ∃/ e) 3 
 
Questão 7: a) 3 b) 2 c) - 2 d) ∃/ e) 1 
f) -1 g) – 1 h) – 1 i) – 3 
 
Questão 8: a) -1 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2
1 
 
Questão 9: a) 0 b) ∞+ c) ∞− d) ∞− e) x = - 5, x = 4 
e x = 0 
 
Questão 10: a) 3 b) 1 c) ∃/ d) 2 e) 2 f) 2 
g) 1,2(aprox.) 
 
Questão 11: a) -1 b) 3 c) ∃/ d) 1 e) -1 f) 3 
 
Questão 12: a) 2 b) 0 c) ∃/ d) 2 e) 0 f) 2 
15 
 
 
Questão 13: a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) ∞− f) ∞+ 
 
Questão 14: a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) ∞+ f) ∞+ 
 
Questão 15: a) 0 b) 0 c) 0 d) 3 e) ∞+ f) ∞+ 
 
Questão 16: a) 2 b) 2 c) 2 d) 3 e) ∞− f) ∞+ 
 
Questão 17: a) ∞− b) ∞+ c) ∃/ d) 1 e) 2 f) 0 
 
Questão 18: a) ∞+ b) ∞+ c) ∞+ d) indef. e) 0 f) -1 
 
Questão 19: a) ∞− b) ∞− c) ∞− d) 1 e) 1 f) 2 
 
Questão 20: a) 1 b) ∞− c) ∃/ d) -2 e) ∞+ f) ∞+ 
 
Questão 21: a) 0 b) 0 c)0 d) 0 e) ∃/ f) ∃/ 
 
Questão 22: a) 3 b) 3 c)3 d) 3 e) ∃/ f) 0 
 
 
LIMITES INFINITOS 
 
Encontre se existir, o 20
1lim
xx→
. 
 
20
1lim
xx
−→
 
 
 
 
20
1lim
xx
+→
 
 
 
-1 -0,5 -0,05 -0,01 -0,001 0 
1 4 400 10000 1000000 
0 0,001 0,01 0,05 0,5 1 
 1000000 10000 400 4 1 
16 
 
 
 
Portanto, +∞=
→ 20
1lim
xx
.I sso não significa que o símbolo de infinito é um número, nem 
que o limite existe. É apenas uma forma de expressar a não existência do limite, isto é, a 
função cresce ou decresce sem limitação quando x tende a zero. 
 Da mesma forma, 20
1lim
xx
−
→
 representado graficamente abaixo, é −∞=−
→ 20
1lim
xx
. 
 
 
ASSÍNTOTA VERTICAL 
Definição: 
Uma reta x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico de uma função f, se f(x) tende a 
mais ou menos infinito, quando x tende a a pela esquerda ou pela direita. 
Exemplo: ∞=
−
+→ 3
2lim
3 xx
 −∞=
−
−→ 3
2lim
3 xx
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSÍNTOTA HORIZONTAL 
Definição: 
Uma reta y = L é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se f(x) tende a 
L, quando x tende mais ou menos infinito. 
 
Exemplo: 
( )
xx
x
xf 1313 +=+= 
( ) 3lim =
+∞→
xf
x
 
( ) 3lim =
−∞→
xf
x
 
 
 
 
 
 
 
x = 3 é uma assíntota vertical 
y = 3 é uma assíntota horizontal 
18 
 
Técnicas para calcular Limites 
 
1ª Limite de Polinômios quando ax → 
a) 34lim 2
5
+−
→
xx
x
= 
 
2ª Limite de Funções Constantes 
a) 3lim
2→x
= b) 3lim
−∞→x
= c) 3lim
+∞→x
= d) 3lim
0→x
= 
 
3ª Limite de nx quando +∞→x ou −∞→x 
a) 52lim x
x +∞→
= b) 52lim x
x −∞→
= c) 67lim x
x
−
+∞→
= 
d) 67lim x
x
−
−∞→
= 
 
4ª Limite de Polinômios quando +∞→x ou −∞→x 
Um polinômio comporta-se como o seu termo de maior grau quando +∞→x ou −∞→x . 
a) 9247lim 35 −+−
−∞→
xxx
x
= 
b) 15174lim 38 +−+−
−∞→
xxx
x
= 
 
5ª Limite de Funções Racionais quando ax → . 
Uma função racional é a razão entre dois polinômios. 
a) 
3
45lim
3
2
−
+
→ x
x
x
= 
 
Esse método não funciona se o limite do denominador for zero. Entretanto, se o 
numerador e o denominador se aproximam de zero quando x se aproxima de a, então o 
numerador e o denominador terão um fator comum x – a, e o limite pode ser obtido 
simplificando-se os fatores comuns. 
b) 
2
4lim
2
2
−
−
→ x
x
x
= 
 
 
 
c) 
3
96lim
2
3
−
+−
→ x
xx
x
= 
19 
 
d) 
12
82lim 24
−+
+
−→ xx
x
x
= 
 
 
6ª Limite de Funções Racionais quando +∞→x ou −∞→x 
Uma função racional comporta-se como a razão entre os termos de mais alto grau no 
numerador e no denominador, quando +∞→x ou −∞→x .Atenção!! 
Essa técnica não se aplica para limites nos quais x se aproxima de um número finito a. 
a) 
86
53lim
−
+
+∞→ x
x
x
= 
 
b) 
52
4lim 3
2
−
−
−∞→ x
xx
x
= 
 
c) 
1
23lim
4
+
−
+∞→ x
x
x
= 
 
7ª Limite envolvendo radicais 
a) 2
2
0
39lim
t
t
t
−+
→
= 
 
 
 
 
 
8ª Limite de Funções definidas por partes 
a) ( )xf
x 3
lim
→
 se ( )




>+
≤−
=
3 xse ,13
3 xse ,52
x
x
xf 
 
 
 
 
b) ( )tg
t 0
lim
→
 se ( )



<
≥
=
0 tse 2,-t
0 tse ,2t
tg 
20 
 
9ª Limite de uma Função Exponencial 
 
Consideremos os gráficos da função ( ) xaxf = , temos: 
 
a) x
x
2lim
+∞→
= b) 
x
x






−∞→ 3
5lim = 
 
 
 
10ª Limite de uma Função Logarítmica 
 
Consideremos os gráficos da função ( ) axf xlog= , temos: 
 
 
a) ( )[ ]x
x
3loglim
+∞→
= b) ( )








+→
x
x 2
1
0
loglim = 
 
 
21 
 
Atividades sobre Técnicas para calcular Limites 
Questão 01: Encontre, se existir: 
a) 
4
16lim
2
4
−
−
→ x
x
x
= R: 8 
 
 
 
b) 
312
96lim 20 +−
−
→ xx
x
x
= R: -3 
 
 
c) 
43
56lim 2
2
1
−−
++
−→ xx
xx
x
= R: - 4/5
 
 
 
 
 
d) 
6
44lim 2
2
2
−+
+−
→ xx
xx
x
= R: 0 
 
 
 
 
e) 
52
13lim
−
+
+∞→ x
x
x
= R: 3/2 
 
f) 
4
3lim
+−∞→ yy
= R: 0 
 
g) 
12
1lim
−
+∞→ xx
= R: 0 
 
h) 
12
2lim 2 ++
−
−∞→ xx
x
x
= R: 0 
 
22 
 
i) 
3
67lim
5
+
−
+∞→ x
x
x
= R: ∞− 
 
j) 
37
6lim 3
3
+
−
+∞→ t
t
x
= R: - 1/7 
 
k) 
2
83
2 +
+
−→ t
t
t
lim = R: 12 
 
 
 
l) 
x
x
x
24
0
−+
→
lim = R: 1/4 
 
 
 
m) 
6
2lim 22
−−
+
−→ xx
x
x
= R: -1/5 
 
 
 
 
n) 
23
2lim 2
2
1 +−
−+
→ xx
xx
x
= R: -3 
 
 
 
o) 
( )
h
h
h
255lim
2
0
−−
→
= R: -10
 
 
p) 
( )
h
h
h
11lim
4
0
−+
→
= R: 4 
 
 
 
 
23 
 
q) 
( )
h
h
h
82lim
3
0
−+
→
= R: 12 
 
 
 
 
 
 
r) 
t
t
t
22lim
0
−−
→
= R: 
4
2
− 
 
 
 
 
 
s) 
3
81lim
2
9
−
−
→ x
x
x
= R: 108 
 
 
 
 
t) 
1
13
1
−
−
→ x
x
x
lim = R: 3 
 
u) 
2
164
2
−
−
→ x
x
x
lim R: 32 
 
 
 
 
v) x
x +∞→
lim R: ∞+ 
 
w) ( )x
x
−
−∞→
3lim R: ∞+ 
 
x) ( )5321lim xx
x
−+
+∞→
 R: ∞− 
24 
 
y) 
3
9lim
9
−
−
→ x
x
x
 R: 6 
 
 
 
z) 
3
lim
3
−
→ x
x
x
 R: ∃/ 
 
 
Questão 02: Encontre, se existir: 
a) 
36
6lim 26
−
+
→ y
y
y
= R: ∃/ 
 
 
b) 
4
lim 22 −−→ x
x
x
= R: ∞− 
 
 
c) 
1
1lim
4
1 −
−
+→ x
x
x
= R: 4 
 
d) ( )[ ]xx
x
4loglim 342 +→ R: 2 
 
 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES 
 
Seja c uma constante e suponha que existam os limites ( ) 1lim Lxf
ax
=
→
 e ( ) 2lim Lxg
a
= , então: 
 
1ª - Lei da soma: O limite da soma é a soma dos limites 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21limlimlim LLxgxfxgxf
axaxax
+=+=+
→→→
 
 
2ª - Lei da diferença: O limite da diferença é a diferença dos limites 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21limlimlim LLxgxfxgxf
axaxax
−=−=−
→→→
 
 
25 
 
3ª - Lei do múltiplo constante 
 ( )[ ] ( ) 1limlim cLxfcxcf
axax
==
→→
 
 
4ª - Lei do produto: O limite do produto é o produto dos limites 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21limlimlim LLxgxfxgxf
axaxax
⋅=⋅=
→→→
 
 
5ª - Lei do quociente: O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o 
limite do denominador não seja zero. 
 
( )
( )
( )
( ) 2
1
lim
lim
lim
L
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
==
→
→
→
 se 02 ≠L 
 
6ª - Lei da potência 
 ( )[ ] ( )[ ] nn
ax
n
ax
Lxfxf 1limlim ==
→→
 onde n é um número inteiro positivo 
 
7ª - cc
ax
=
→
lim 
 
8ª - ax
ax
=
→
lim 
 
9ª - nn
ax
ax =
→
lim 
 
10ª - nn
ax
ax =
→
lim onde n é um número inteiro positivo. Se n for par, supomos que 0>a . 
 
11ª - Lei da Raiz 
 ( ) ( ) nn
ax
n
ax
Lxfxf 1limlim ==
→→
 onde n é um número inteiro positivo. Se n for par, 
supomos que ( ) 0lim >
→
xf
ax
. 
 
ATIVIDADE APLICAÇÃO PROPRIEDADES DOS LIMITES 
 
Questão 01: Dado que ( ) 3lim −=
→
xf
ax
, ( ) 0lim =
→
xg
ax
e ( ) 8lim =
→
xh
ax
 encontre, se existir, o limite. 
a) ( ) ( )[ ]xhxf
ax
+
→
lim = R: 5 
 
26 
 
b) ( )[ ]2lim xf
ax→
= R: 9 
 
 
 
c) ( )3lim xh
ax→
= R: 2 
 
 
d) ( )xfax
1lim
→
= R: 
3
1
− 
 
 
e) 
( )
( )xh
xf
ax→
lim = R: 
8
3
− 
 
 
f) 
( )
( )xf
xg
ax→
lim = R: 0 
 
g) 
( )
( )xg
xf
ax→
lim = R:∃/ 
 
 
h) 
( )
( ) ( )xfxh
xf
ax
−
→
2lim = R: 
11
6
− 
 
 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DO CÁLCULO DE LIMITES 
 
Questão 01: A água de um reservatório com 100.000 litros evapora-se à taxa de 10% ao 
mês. 
a) Em quantos meses a água ficará reduzida à terça parte? Dados: 48,0
3
1log −= e 
05,09,0log −= . R: 6,9≅ meses 
b) O que acontecerá com a água ao longo do tempo? 
 
27 
 
Questão 02: Uma pediatra após estudar o crescimento médio das crianças de determinado 
município, com idades que variam de 1 a 14 anos, obteve a fórmula ( )th ⋅= 8,010log , em que 
h é a altura, em metros, e t é a idade, em anos. 
a) Baseado nesse estudo, qual a altura de uma criança de 10 anos? R: 1,3 m 
b) Se essa fórmula fosse válida para qualquer idade, qual seria a altura máxima de uma 
pessoa ao longo do tempo? 
 
Questão 03: (UFU-MG) Sabendo-se que 
3
43lim
2
=
−
+
→ mx
mx
x
 e que mx ≠ então podemos afirmar 
que: R: m = 
13
2
 
a) m é maior do que 4. b) m é menor do que – 4. c) m [ ]4,1∈ . 
d) m [ ]1,4−∈ . e) não existe m, tal que 
3
43lim
2
=
−
+
→ mx
mx
x
. 
 
Questão 04: Um fio é estendido horizontalmente, como mostra a figura. Diferentes pesos são 
pendurados no centro do fio e os deslocamentos verticais correspondentes são medidos. 
Quando o peso é excessivo, o fio se rompe. Com base nos dados da tabela a seguir, qual é o 
maior deslocamento possível deste tipo de fio? 
 
 
 
 
 
LIMITES E CONTINUIDADE 
 
Verifique se as funções representadas nos gráficos abaixo são contínuas. 
 
 
 
- Na figura a, a função f não está definida em c; 
- Nas figuras b e c, o limite de f(x) não existe quando x se aproxima de c; 
- Na figura d, o valor da função e o valor do limite em c são diferentes. 
28 
 
Portanto, as funções apresentadas não são contínuas. 
 
Definição: Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se as seguintes condições 
estiverem satisfeitas: 
 
1. f(a) está definida2. f(x) lim
ax→
 existe 
3. f(a)f(x) lim
ax
=
→
 
 
Se uma ou mais condições desta definição, não estiver satisfeita, então diremos que 
f tem uma descontinuidade no ponto x = a. 
 
Exemplo 01: Para as funções apresentadas a seguir: 
2
42
−
−
=
x
x
f(x) 




=
≠
−
−
=
2xse3,
2xse,
2x
(x)g 
 
 
2
4
x 




=
≠
−
−
=
2xse4,
2xse,
2x
(x)h 
 
 
2
4
x 
a) Faça um esboço do gráfico; 
b) Encontre o limite quando x tende a 2; 
c) Analise se são contínuas em x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Exemplo 02: Seja RR:f → definida por 



=
>−
≤+
5xse2x,16
5xse1,x
f(x) 
 
 
. Verifique se f é contínua no 
ponto a = 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades sobre Limites e Continuidade 
Questão 01: Para as funções abaixo: Encontre os limites laterais e bilaterais quando x = a, se 
eles existirem. Encontre f(a) e diga se f(x) é contínua ou descontínua em x = a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) c) 
d) e) f) 
30 
 
Questão 02: Para as funções abaixo, descreva o limite em x = a na notação de limite 
apropriado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03: Para a função f abaixo, encontre: 
a) ( )xf
x −→2
lim = b) ( )xf
x +→2
lim = c) ( )xf
x 2
lim
→
= d) f(2) = 
 
e) ( )xf
x −∞→
lim = f) ( )xf
x +∞→
lim = 
 
 
 
 
Questão 04: Use os gráficos de f e g, apresentados a seguir, para achar os limites que 
existam. Se os limites não existirem, explique por quê. 
a) ( ) ( )[ ]xgxf
x
+
−→2
lim 
b) ( ) ( )[ ]xgxf
x
+
→0
lim 
c) ( ) ( )[ ]xgxf
x
+
+→0
lim 
d) ( ) ( )[ ]xgxf
x
+
−→0
lim 
e) 
( )
( )xg
xf
x +→ 1
lim
2
 
f) 
( )
( )xf
xg
x
+
→
1lim
2
 
 
 
a) b) c) d) 
31 
 
Questão 05: Suponha que f e g são funções contínuas tais que f(2) = 1 e 
( ) ( )[ ] 134lim
2
=+
→
xgxf
x
. Encontre: 
a) ( )xg
x 2
lim
→
= b) g(2) = 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES DE REVISÃO DE CONTEÚDOS 
 
Questão 01. Encontre, se existir: 
a) 
34
12lim 2
2
3 ++
−−
−→ xx
xx
x
 R: 
2
7
 b) 
2
8lim
3
2 +
+
−→ h
h
h
 R: 12 
 
 
c) 
82
4lim 22
−−
−
−→ zz
z
z
 R:∃/ d) 635lim 23
2
−+
−→
xx
x
 R: - 34 
 
 
e) ( )
x
xx
x 164
3lim
3
2
8
−
+
→
 R: 232 + f) 
23
52lim 2
2
++
−
−∞→ xx
x
x
 R: 
3
2
 
 
 
g) 
23
52lim 4
2
++
−
+∞→ xx
x
x
 R: 0 h) 
23
52lim 2
3
++
−
+∞→ xx
x
x
 R: ∞ 
 
 
i) 
1
1lim
1
−
−
→ h
h
h
 R: 
2
1
 j) 
3
lim
3 −+→ x
x
x
 R: ∞ 
 
32 
 
Questão 02: Use o gráfico para determinar cada limite, quando existir: 
2.1 
 a) ( )xf
x −→2
lim = b) ( )xf
x +→2
lim = c) ( )xf
x 2
lim
→
= d) ( )xf
x −→0
lim = 
e) ( )xf
x +→0
lim = f) ( )xf
x 0
lim
→
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 
a) ( )xf
x −→2
lim = b) ( )xf
x +→2
lim = c) ( )xf
x 2
lim
→
= d) ( )xf
x −→0
lim = 
e) ( )xf
x +→0
lim = f) ( )xf
x 0
lim
→
= g) Determine f(2). 
f) Para que valor de x a função é descontínua? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
DERIVADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generalizando temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, numa reta a inclinação ou taxa de variação é sempre constante não 
importando os pontos escolhidos para calcular a variação. 
Agora responda: em uma curva a taxa de variação também permanece constante? 
 
Vejamos como se comporta a inclinação da reta tangente sob a função 2xy = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 
y 
6 
-3 
Inclinação 
negativa 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a inclinação da reta tangente, sempre precisamos de dois pontos. Em uma 
curva, dois pontos determinam uma reta secante. Veja: 
 
Inclinação 
nula 
Inclinação 
positiva 
35 
 
Para calcular a inclinação da reta tangente, faz-se necessário diminuir a distância entre 
esses dois pontos até que a inclinação da reta secante seja igual à inclinação da reta tangente. 
Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generalizando temos: 
 
 
36 
 
Definição de derivada como um limite: ( ) ( )
h
xfhxf
xf
h
)(lim
0
'
−+
=
→
 
 
Exemplo: Calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico da função 2xy = em x = 4 usando 
a definição de limite. Após, encontrar a expressão que fornece a inclinação da reta tangente à 
qualquer ponto sob a parábola 2xy = . 
37 
 
( ) )( função da derivada' xfxf = 
 
 
 
 
( ) ( ) =→= xfxxf '2 
 
( ) ( ) =→= xfxxf '3 
 
( ) ( ) =→= xfxxf '4 
 
( ) ( ) =→= xfxxf '5 
 
( ) ( ) =→= xfxxf n ' 
 
 
Notações para derivada 
( ) ( ) ( ) ( ) yDxfDxDfxf
dx
d
dx
dyyxf xx ====== '' 
 
REGRAS PARA OBTENÇÃO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
1ª - Regra da Potência 
a) 
x
y 1= 
 
 
 
b) ( ) 





−=
− 2
1
3txf 
 
 
 
c) ( ) 743 213 +−= xxxg 
 
 
 
d) uuuuy 38
2
74 3
1
43
−+−= − = 
( ) ( ) =→= xfxxf ' 
38 
 
2ª – Derivada de uma Função Constante 
0' =→= ycy 
a) ( ) 2=xf 
 
 
b) ( )
4
1
−=xf 
 
 
 
 
3ª – Regra da Soma e da Diferença 
* ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgdx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
+=+ * ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgdx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
−=− 
 
a) [ ]5610412 3458 +−+−+ xxxxxdxd = 
 
b) ( ) 743 2
1
3 +−= xxxf = 
 
 
 
4ª – Regra da Cadeia 
a) ( ) ( ) oente
base
xxxf
exp523 187
→
−+=
44 344 21 = 
 
 
 
 
b) ( )
9
4
3 783 





++−=
x
xxxf = 
 
 
 
 
y = 2 
x 
y 
39 
 
 
c) ( ) ( )3 459 37164
1
−+−
=
xxx
xf = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) ( ) ( )5 323 93
4
−
−
=
tt
tg = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) ( ) 21 xxg −= = 
40 
 
Atividades Derivadas – Lista 1 
Questão 01: Encontre a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( ) 2rrf pi= b) ( ) 1063 2 −+= xxxf 
 
 
c) ( ) bawwf += 2 d) ( ) 3
2
114 −−= xxf 
 
 
e) ( ) 54 53 xxxf += 
 
 
f) ( ) 64 22
1
x
xxf += 
 
 
g) 74xy = h) 123xy −= 
 
i) 123 8 ++= xxy j) 





+=
2
12xy 
 
k) dcxbxaxy +++= 23 com a, b, c, d constantes 
 
l) xxy 23 8 +−= − 
 
 
m) ( ) 73 1xxxf +=
− 
 
 
 
 
 
n) ( ) ( )22 13 += xxf 
41 
 
o) ( ) 21xxf = p) 
3 2xy = 
 
 
 
q) 5
2−
= xy r) ( ) 3
3
4
rrv pi= 
 
 
 
s) ( ) ( )316xxf = t) 3 xy = 
 
 
 
 
u) 3 23 4 xxy −= v) 5
2
xxy += 
 
 
 
 
 
w) 33 2 2 ttu += x) 5 26 += xyQuestão 02: Encontre ( )3'f , se ( ) ( )53103 xxf −= . 
 
 
 
 
Questão 03: Se 3
10
x
y = , então ( )5,0'y é? 
 
 
 
42 
 
Questão 04: Se ( ) 12 += xxg , então ( )4'g é: 
 
 
 
 
 
Questão 05: Se ( ) ( )753 xxg −= , então ( )80,'g é: 
 
 
 
 
 
Questão 06: Se 3
50
t
y ,= , então ( )1'y é: 
 
 
 
 
Questão 07: Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado: 
a) ( ) 22xxxf −= , (1,-1) b) ( ) ttth 33 += , (1,4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ( ) 1+= xxg , (8,3) 
 
 
 
43 
 
Respostas Lista 1 
Questão 01: 
a) ( ) rrf ' pi2= b) ( ) 66 += xxf ' 
 
c) ( ) awwf 2=' d) ( ) 4' 2
3
x
xf = 
 
e) ( ) 65 2512 xxxf −−=
' f) ( ) 73 122 xxxf −=
' 
 
g) 628xy =' h) 1136xy −=' 
 
i) 224 7 += xy ' j) 2='y 
 
k) cbxaxy ++= 23 2' l)
xx
y 1249
' += 
 
m) ( ) 84' 73 xxxf −
−
= n) ( ) xxxf 1236 2' += 
 
o) ( ) 32xxf −=
' p)
33
2
x
y =' 
 
q)
5 7
'
5
2
x
y −= r) ( ) 24 rrv ' pi= 
 
s) ( ) 228812 xxf .' = t)
3 2
'
3
1
x
y = 
 
u) 
3
3'
3
2
3
4
x
xy −= v)
5 3
'
5
21
x
y += 
 
w) t
t
u 3
3
2
3
' += x) ( )5 4
'
265
6
+
=
x
y 
 
44 
 
Questão 02: - 45 
 
Questão 03: - 480 
 
Questão 04: 
3
1
 
 
Questão 05: - 35 
 
Questão 06: - 1,5 
 
Questão 07: a) 23 +−= xy b) 26 −= xy c) 
3
5
6
+=
xy 
 
5ª – Regra do Produto 
uvvuy
vuy
⋅+⋅=
⋅=
''' 
a) Se ( )( )xxxy +−= 32 714 encontre 'y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se ( ) ( )( )53 214 xxxg −= encontre ( )xg ' . 
 
 
 
 
 
 
45 
 
6ª – Regra do Quociente 
2
''
'
v
uvvuy
v
uy
⋅−⋅
=
=
 
a) ( )
1
1
4
2
+
−
=
x
x
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( )
6
2
3
2
+
−+
=
x
xx
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas Sucessivas 
Se ( ) 2423 234 +−+−= xxxxxf , calcular a derivada de ordem cinco. 
( ) 2423 234 +−+−= xxxxxf 
 
 
46 
 
Atividades Derivadas – Lista 2 
 
Questão 01: Encontre a derivada das funções apresentadas abaixo: 
a) ( ) ( ) 





−+=
4
1263 2 xxxf b) ( ) ( )( )4323 287 −− +−+= xxxxxf 
 
c) ( ) ( )( )417 +−= xxxf d) ( ) ( )( )45 213 xxxf −−= 
 
e) ( ) ( )( )11 +−= xxxf f) ( ) ( )cbxaxxf ++= 27 
 
g) ( ) ( )( )uaauuf 24 2 −−= h) ( )
13
42
−
+
=
x
x
xf 
 
i) ( )
1
1
+
−
=
t
t
tf j) ( )
1
153 2
−
−+
=
t
tt
tf 
 
k) ( )
2
2 2
−
−
=
t
t
tf l) ( ) 25
4
x
x
xf
−
−
= 
 
m) ( )
22
75
−
+
=
x
x
xf n) ( ) ( )
bt
at
tf
−
−
=
2
 
 
Questão 02: Nos itens abaixo, calcule 
dx
dy
 quando x = 1. 
a)
3
12
+
−
=
x
xy b)
5
14
2
−
+
=
x
xy c) ( )123 5 +




 +
=
−x
x
xy 
 
Questão 03: Nos itens abaixo, calcule a derivada de segunda ordem: 
a) xxxy +−= 23 57 b) 3212 2 +−= xxy c) 
x
xy 1+= 
d) ( )( )xxxy +−= 32 735 
 
 
Questão 04: Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação 22 t+=l , onde 
a variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no 
tempo t = 2. 
47 
 
Questão 05: Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de 
água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por 
( ) ( )28050 ttV −= . Determinar: 
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas 
de escoamento. 
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas do escoamento. 
 
 
48 
 
Folha para resolução de questões
49 
 
Respostas Lista 2 
Questão 01: 
a) ( ) 12
2
318 2' +−= xxxf b) ( ) 5432' 32481415 xxxxxf ++−
−
= 
 
c) ( ) 2714' += xxf d) ( ) 348' 43027 xxxxf ++−= 
 
e) ( ) xxf 2' = f) ( ) baxxf 714' += 
 
g) ( ) aauuuf 2824 2' ++−= h) ( ) ( )2
'
13
14
−
−=
x
xf 
 
i) ( ) ( )2
'
1
2
+
=
t
tf j) ( ) ( )2
2
'
1
463
−
−−
=
t
tt
tf 
 
k) ( ) ( )2
2
'
2
24
−
−+−
=
t
tt
tf l) ( ) ( )22
2
'
5
58
x
xx
xf
−
−+−
= 
 
m) ( ) ( )2
'
22
24
−
−=
x
xf n) ( ) ( )2
22
'
22
bt
aabbtt
tf
−
−+−
= 
 
Questão 02: a) 
16
7
 b) 
8
13
− c) – 29 
 
Questão 03: a) 1042'' −= xy b) 24'' =y c) 3
''
2
x
y = d) xxy 96700 3'' −= 
 
Questão 04: 48 unid. área/unid. tempo 
 
Questão 05: a) – 7500 l /hora b) – 7200 l /hora c) 38.750 l 
 
 
50 
 
REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO 
 
1. cy = 0=′y 
 
2. 
nxy = 1 −=′ nxny 
 
3. )(xfcy ⋅= )(xfcy ′⋅=′ 
 
4. vuy ±= vuy ′±′=′ 
 
5. vuy ⋅= uvvuy ⋅′+⋅′=′ 
 
6. 
v
uy = [ ]2v
uvvuy ⋅
′
−⋅′
=′ 
 
7. [ ]nxfy )(= [ ] )()( 1 xfxfny n ′⋅=′ − 
 
8. 
uay = uaay u ′⋅⋅=′ ln 
 
9. 
uey = uey u ′⋅=′ 
 
10. ( )uy alog= 
au
uy
ln⋅
′
=′ 
 
11. )ln( xy = 
x
y 1=′ 
 
12. ( )uy ln= 
u
uy
′
=′ 
 
13. ( )useny = uuy ′⋅=′ )cos( 
 
14. ( )uy cos= uuseny ′⋅−=′ )( 
 
15. ( )utgy = uuy ′⋅=′ )(sec2 
 
16. ( )ugy cot= uuy ′⋅−=′ )(seccos 2 
 
17. ( )uy sec= ( ) ( ) uutguy ′⋅⋅=′ sec 
 
51 
 
18. ( )uy seccos= ( ) ( ) uuguy ′⋅⋅−=′ cotseccos 
 
19. ( )useny 1−= ( )21 u
uy
−
′
=′ 
 
20. ( )uy 1cos−= ( )21 u
uy
−
′
−=′ 
 
21. ( )utgy 1−= ( )21 u
uy
+
′
=′ 
 
22. ( )ugy 1cot −= ( )21 u
uy
+
′
−=′ 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
* )xcos(
)xsen()x(tg = * )xsen(
)xcos()x(gcot = * 1)x(gcot)x(tg = 
 
* 1)x(eccos)xsen( = * 1)xsec()xcos( = * )xcos(
1)xsec( = 
 
* )xsen(
1)x(eccos = * 1)x(cos)x(sen 22 =+ * )x(sec1)x(tg 22 =+ 
 
* )x(eccos1)x(gcot 22 =+ * )xcos()xsen(2)x2sen( = * )x(tg1
)x(tg 2)x2(tg 2
−
= 
 
* 1)x(cos2)x(sen21)x(sen)x(cos)x2cos( 2222 −=−=−= 
 
52 
 
Atividades Derivadas – Lista 3 
Questão 01: Encontre a derivada das funções apresentadas abaixo: 
a) ( ) xxexf = b) ( ) ( )tttf −⋅= 1 
 
c) ( ) 21 x
e
xf
x
+
= d) ( ) ( )xtgxxf ⋅= 2 
 
e) 
( )
( )x
xseny
cos1+
= f) ( )xy sec= , encontre 





4
''
piy 
 
g) ( )xsen
dx
d 2 h) ( )12 +xtg
dx
d
 
 
i) ( )( ) 85 cot1 −⋅+ xgx
dx
d
 j) ( )( )xsen
dx
d
cos1+ 
 
k) ( )wt
dt
d
sec , onde w é constante l) ( )9cos 2 +x
dx
d
 
 
m) ( ) ( )24xtgxf = n) ( ) ( )xxf 5cos4= 
 
o) ( ) 





= 2
1
x
senxf p) ( ) ( )72sec2 xxf = 
 
q) ( ) ( )xxf 5cos= r) ( )xsenxy 523= 
 
s) 





=
x
xy 1sec5 t) ( )( )xy coscos= 
 
u) 
3
12
5






+
−
=
x
xy v) ( )23xseny = , encontre ''y 
 
w) ( ) ( )xsenxxy 25cos −⋅= x) ( ) ( )3xsenxf = 
 
y) ( )xseny 3= 
53 
 
Folha para resolução de questões 
54 
 
Folha para resolução de questões55 
 
Respostas – Lista 3 
Questão 01: 
a) ( ) ( )xexf x += 1' b) ( ) t
t
tf
2
3
2
1
'
−= 
 
c) 
( )
( )22
2
'
1
1
x
xey
x
+
−
= d) ( ) ( ) ( )xxxtgxxf 22' sec2 ⋅+⋅= 
 
e) ( )xy cos1
1
'
+
= f) 23
4
''
=




piy 
 
g) ( )x
dx
d 2cos2= h) ( )1sec2 22 +⋅= xx
dx
d
 
 
i) 
( ) ( )
( )( ) 





⋅+
⋅+⋅−
= 95
254
cot1
seccos8cot40
xgx
xxxgx
dx
d
 
 
j) 
( ) ( )( )
( ) ⋅+
+⋅−
=
x
xxsen
dx
d
cos12
cos1cos
 
 
k) 
( ) ( )
wt
wttgwtw
dt
du
2
sec ⋅⋅
= l) ( )92 2 +⋅−= xsenx
dx
d
 
 
m) ( ) ( )22' 4sec8 xxxf ⋅= n) ( ) ( ) ( )xxsenxf 4' cos20 ⋅⋅−= 
 
o) ( ) ( )3
2
'
1cos2
x
x
xf −= p) ( ) ( ) ( )7726' sec28 xtgxxxf ⋅⋅= 
 
q) ( ) ( )( )x
xsex
xf
5cos2
55
'
−
= r) ( ) ( ) ( )xxsexxxsenxy 5cos51053 322' ⋅+= 
 
s) 





⋅





−





=
x
tg
x
x
x
xy 11sec1sec5 34' t) ( )[ ] ( )xsenxseny ⋅= cos' 
56 
 
u) 
( )
( )4
2
'
12
533
+
−
=
x
xy v) ( ) ( )222'' 3363cos6 xsenxxy −= 
 
w) ( ) ( ) ( )xsenxsexxxy 2555cos' −⋅−= x) ( ) ( )32' cos3 xxxf ⋅= 
 
y) ( ) ( ) ( )xxsenxf cos3 2' ⋅= 
 
 
É POSSÍVEL UMA FUNÇÃO DEIXAR DE SER DIFERENCIÁVEL? 
 
A derivada de uma função é definida naqueles pontos onde o limite existe. Esses pontos 
são chamados de pontos de diferenciabilidade para f, e os pontos onde o limite não existe 
são chamados de pontos de não diferenciabilidade para f. 
Geometricamente, os pontos de diferenciabilidade de f são aqueles onde a curva y = 
f(x) tem uma reta tangente e os pontos de não diferenciabilidade são aqueles onde a curva 
não tem reta tangente. Os pontos de não diferenciabilidade mais comumente encontrados 
podem ser classificados como: 
 
Picos Pontos de descontinuidade Pontos de tangência vertical 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA: Se f for diferenciável em a, então f é contínua em a. 
 
A recíproca deste teorema é verdadeira? 
É falsa, pois há funções que são contínuas, mas não são diferenciáveis. Por exemplo, a função 
f(x) = |x|, é contínua em x = 0, mas não é diferenciável em x = 0. Observe o gráfico: 
57 
 
 
 
Atividades 
 
Questão 01: Indique qual(is) do(s) gráfico(s) abaixo, apresentam pontos de não 
diferenciabilidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 02: Esboce o gráfico da derivada da função cujo gráfico é dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
58 
 
Questão 03: Encontre a expressão da função f(x) que representa o gráfico abaixo. Após faça 
a sua derivada e represente-a no mesmo sistema cartesiano. 
 
 
Questão 04: O gráfico da f’(x) está esboçado abaixo. Analisando o gráfico, qual deve ser o 
grau da função f(x)? 
 
 
Questão 05: Associe as funções representadas graficamente em 1, 2, 3, e 4 com os gráficos 
de suas derivadas a, b, c, d. 
 
 
 
 
59 
 
Questão 06: Cada figura abaixo mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D. 
Em que pontos do domínio a função é: 
a) derivável? 
b) contínua, mas não derivável? 
c) nem contínua nem derivável? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades Derivadas – Lista 4 
 
Questão 01: Determinar a equação da reta tangente à curva ( ) 42 −= xxf no ponto P (3,5) 
fazendo a representação gráfica. 
 
Questão 02: Determinar a equação da reta tangente à curva ( ) 29 xxg −= no ponto P (1,8) 
fazendo a representação gráfica. 
 
Questão 03: Determinar a equação da reta tangente à curva ( ) 12 −= xxf em x = 5. 
 
Questão 04: Determinar a equação da reta tangente à curva ( )
4
12
2
−
=
x
xh em x = 1. 
 
Questão 05: A posição de uma partícula é dada pela equação, ( ) ttttfs 96 23 +−== onde t é 
medido em segundos, e s em metros. 
a) Encontre a velocidade no instante t. 
b) Qual é a velocidade depois de 2s? E depois de 4s? 
c) Em que instante a partícula está em repouso? 
Figura 2 Figura 1 
60 
 
Questão 06: No instante t = 0 um corpo inicia seu movimento em linha reta. Sua posição no 
instante t é dada por ( ) 216 ttts −= . Determinar: 
a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2,4]; 
b) a velocidade do corpo no instante t = 2; 
c) a aceleração média no intervalo [0,4]; 
d) a aceleração no instante t = 4. 
 
Questão 07: Dadas as funções ( ) xxf 25 −= e ( ) 13 2 −= xxg , determinar: 
a) ( ) ( )11 '' gf + b) ( ) ( )202 '' −− gf c) ( ) ( )22 'ff − 
 
d) ( )[ ] ( ) ( )00
2
10 '
2
' ggg ++ e) 












−





2
5
2
5
2
5
'
'
g
f
f 
 
Questão 08: Determinar a derivada das funções: 
a) 132
2
3 −+= xxy b) 






−
+
=
1
1
x
x
ey c) ( ) ( )2232 13 xxxy −⋅+= para ( )1'y 
 
Questão 09: A equação da reta tangente ao gráfico de ( )xfy = no ponto (2,5) é 13 −= xy . 
Determine ( )2'f . 
 
Questão 10: Dado que ( ) 13 −=f e que ( ) 53' =f , encontre uma equação para a reta tangente 
ao gráfico de ( )xfy = no ponto onde x = 3. 
 
Questão 11: Seja bxaxy += 2 . Encontrar os valores de a e b, sabendo que a tangente à 
curva no ponto (1,5) têm inclinação igual a 8. 
 
61 
 
Folha para resolução de questões 
62 
 
Respostas Lista 4 
 
Questão 01: y = 6x -13 
 
Questão 02: y = -2x + 10 
 
Questão 03: 
3
4
3
+=
xy 
 
Questão 04: 
3
4
3
8
−−= xy 
 
Questão 05: a) ( ) 9123 2 +−= tttv b) R: - 3m/s e 9m/s c) R: t = 1 s e t = 3s 
 
Questão 06: a) 10 u.v. b) 12 u.v. c) -2 u. a. d) -2 u.a. 
 
Questão 07: a) 4 b) 8 c) 3 d) – 1 e) 
15
2
 
 
Questão 08: a) ( )343ln3 132' 2 +⋅⋅= −+ xy xx b) ( )2
1
1
'
1
2
−
−
⋅=






−
+
x
ey
x
x
 c) 0 
 
Questão 09: 3 
 
Questão 10: 165 −= xy 
 
Questão 11: a = 3 e b = 2 
 
DERIVADA IMPLÍCITA 
 
Em algumas aplicações as variáveis estão relacionadas por uma equação em vez de 
uma função. Nesses casos, ainda é possível determinar a taxa de variação de uma variável em 
relação à outra utilizando a técnica da derivação implícita. Como um exemplo, considere a 
equação: 422 =+ yx 
63 
 
 O gráfico dessa equação é o círculo dado na figura abaixo. Este gráfico não é o gráfico 
de uma função, pois, por exemplo, há dois pontos no gráfico de coordenadas x igual a 1. (As 
funções devem satisfazer o teste da reta vertical). 
 
 
 
 
Considerando o gráfico: 
a) Use derivação implícita para calcular 
dx
dy
. 
b) Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico no ponto de abcissa 1 e - 1. 
64 
 
Atividades Derivadas – Lista 5 
Questão 01: Utilizando derivação implícita, calcule 
dx
dy
: 
a) 122 =− yx R: 
y
xy =' 
 
b) xxy =− 25 3 R: 4
'
5
61
y
xy += 
 
c) 2244 xyxy −=− R: 
( )
( )12
12
2
2
'
−
−
=
yy
xxy 
 
d) xyyx +=+ 32 22 R: 2
'
61
41
y
xy
−
−
= 
 
e) 5=xy R: 
x
yy −=' 
 
f) ( ) 82 5 =+yx R: ( )
x
yy
5
2
'
+
−= 
 
g) 14 223 =− xyx R: 
x
y
yxyx
xy
y
2
34
2
38
22
2
'
−=
−
= 
 
h) 3333 yxyx =+ R: ( )( )32
32
'
1
1
xy
yxy
−
−
= 
 
i) 322 =+ xyyx R: ( )( )yxx
yxyy
2
2
'
+
−−
= 
 
j) 162 =yx R: 
x
y
3
−k) 5332 =−+ xxyyx R: 22
3
3
23
xyx
xyy
+
−−
 
65 
 
l) 324060 4
1
4
3
=yx R: 
x
y3−
 
 
 
Questão 02: Uma escada de 10 m de comprimento está encostada numa parede. 
 
 
a) Encontre uma equação relacionando x e y. 
b) Se o pé da escada tiver sendo puxado ao longo do solo à taxa de 3 metros por segundo, 
quão rápido o alto da escada está escorregando para baixo, ao longo da parede, no instante 
em que o pé da escada estiver a 8 m da parede? R: - 4 m/s 
 
Questão 03: A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se 
bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3.000 L/min? R: 2
3
rpi
− 
 
10 
x 
y 
66 
 
Atividades Derivadas – Lista 6 
 
Questão 01: Encontre a derivada: 
a) ( )1ln 3 += xy b) ( )( )xseny ln= 
 
c) ( ) ( )xxf ln= d) ( )( )xseny += 2log10 
 
e) 





−
+
2
1ln
x
x
dx
d
 f) ( )xy 2ln= 
 
g) ( )( )2ln xy = h) ( )xy −= 2ln 
 
i) ( ) ( )( )θθ cosln=f j) ( ) ( )4log 23 −= xxf 
 
k) ( ) xxf ln= l) ( ) ( )xxxf ln⋅= 
 
m) ( ) ( )xexf x ln⋅= n) ( ) 1log3 += ssf 
 
Questão 02: Um líquido goteja num recipiente. Após t horas, há 2
1
5 tt − litros no recipiente. 
Qual a taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em l/h, quando t = 16 horas? 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03: Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa na qual a 
área A da superfície da mancha varia em relação ao raio r do círculo. 
 
 
67 
 
Questão 04: Vemos a seguir o gráfico da função f com domínio restrito. Determine os pontos 
em que a reta tangente é horizontal. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
Questão 05: A figura representa o gráfico de ( ) ( )xsenxxf +=
2
1
 para pipi 22 ≤≤− x . 
Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, e D. 
 
 
69 
 
Folha para resolução de questões 
70 
 
Respostas – Lista 6 
 
Questão 01: 
a) 
1
3
3
2
'
+
=
x
xy b) ( )xgy cot' = 
 
c) ( ) ( )xxxf ln2
1
'
= d) 
( )
( )( ) ( )10ln2
cos
'
xsen
xy
+
= 
 
e) ( )( )212
5
−+
−
=
xx
x
dx
d
 f) 
x
y 1' = 
 
g) 
( )
x
xy ln2' = h) ( )xy −−= 2
1
' 
 
i) ( ) ( )θθ tgf −=' j) ( ) ( ) ( )3ln4
2
2
'
−
=
x
x
xf 
 
k) ( )
x
xf
2
1
'
= l) ( ) ( )
x
x
xf
2
2ln
'
+
= 
 
m) ( ) ( ) 





+=
x
xexf x 1ln' n) ( ) ( ) ( )3ln12
1
'
+
=
s
sf 
 
Questão 02: 4, 875 l/h 
 
Questão 03: ( ) rrA ' pi2= 
 
Questão 04: a) 




 2;
4
pi
 e 





− 2;
4
5pi
 b) 





− 2;
4
3pi
 e 




 2;
4
7pi
 
 
Questão 05: A = (-4,2; -1,2) B = (-2,1; -1,9) C = (2,1; 1,9) D = (4,2;1,2) 
 
 
 
71 
 
ATIVIDADES DE REVISÃO DE CONTEÚDOS 
 
Questão 01. Encontre as derivadas das funções abaixo: 
a) ( ) ( )xexf x 3cos2 ⋅= R: ( ) ( ) ( )( )xsenxexf x 333cos22' −= 
 
b) ( ) 





−= uuf
2
cos
pi
 R: ( ) 





−= usenuf
2
'
pi
 
 
c) ( ) ( ) ( )θθθ 2cos2 2 senf ⋅= R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22' cos2cos24 θθθθθθ +−= sensenf 
 
d) ( ) xexf = R: ( )
x
e
xf
x
2
'
= 
 
e) Encontre a derivada de ordem 6 da função ( ) ( )xsenxf −= . R: ( ) ( )xsenxf =6 
 
f) ( ) 3 2 45 +−= xxxf R: ( ) ( )3 22
'
453
110
+−
−
=
xx
x
xf 
g) ( )
6
2
2 1






−=
z
zzg R: ( ) 





+





−= 32
2' 12121
z
z
z
zzg 
 
h) ( )
3
76
43






−
+
=
t
t
ts R: ( ) ( )( )4
2
'
76
43135
−
+−
=
t
t
ts 
 
i) ( ) ( )212sec += zzg R: ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )481212sec 22' +⋅+⋅+= zztgzzg 
 
j) ( ) ( )ssgsh 2cot 3 −= R: ( ) ( ) ( )ssssh 2seccos23 322' −⋅+−= 
 
Questão 02. Encontrar a equação da reta tangente à curva 
43
12
−
+
=
x
xy no ponto de abcissa 
x = - 1. R: 
49
411 −−
=
xy 
72 
 
Questão 03. Em que pontos o gráfico da função xxxy 2
2
3
3
1 23 +−= tem tangente 
horizontal? R: 





3
2
,2 e 





6
5
,1 
 
Questão 04: Use derivação implícita para determinar a inclinação do gráfico no ponto dado: 
a) 54 23 −=− xy ; x = 3, y = 1 R: ( )
2
11,3' =y 
b) 23 =xy ; 
4
1
−=x , y = - 2 R: ( )
3
82,4
1'
−=−−y 
 
Questão 05: Suponha que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se 
espalhe em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que 
velocidade a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 pés? 
R: spésspés /754/ 240 22 ≅pi 
 
Questão 06: Encontre a derivada das funções: 
a) ( ) ( )xsenxxf 3−= R: ( ) ( )xxf cos31' −= 
 
b) ( ) ( ) ( )xtgxsenxf 10+= R: ( ) ( ) ( )xxxf 2' sec10cos += 
 
c) ( ) ( )tttg cos3 ⋅= R: ( ) ( ) ( )tsenttttf 32' cos3 −= 
 
d) ( ) ( ) ( )θθθ θ geh cotseccos ⋅+= 
 
R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )θθθθθ θ 2' seccoscotcotseccos −+−= gegh 
 
e) ( ) ( )( )θ
θθ
sec1
sec
+
=f R: ( ) ( ) ( )( )[ ]2
'
sec1
sec
θ
θθθ
+
=
tgf 
73 
 
Folha para resolução de questões 
74 
 
Problemas de Otimização e a Aplicação da Derivada – Lista 7 
 
Otimização é nome dado ao processo utilizado para tornar ótimo, como por exemplo, 
minimizar os custos e maximizar os lucros. 
 
Questão 01: Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m, cuja área é a 
maior possível. Escreva uma expressão para a área desse retângulo em função do 
comprimento. Qual é a maior área possível? Faça um esboço do gráfico. R: 2 625 m 
 
Questão 02: Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 cm por 30 
cm, destacando-se quadrados iguais dos 4 cantos e dobrando-se os lados, conforme mostra a 
figura. Qual é o tamanho dos lados dos quadrados para se obter uma caixa com o maior 
volume? Qual é este volume? Faça um esboço do gráfico. R: 
3
10
 3726mV ≅ 
 
 
Questão 03: Um fazendeiro tem 2400 m de cerca e quer cercar um campo retangular que 
está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as 
dimensões do campo que tem a maior área? Qual é essa área? Faça um esboço do gráfico. 
R: 600 x 1200 2000.720 mA = 
 
Questão 04: Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha medindo 40 cm 
de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se quadrados iguais dos 4 cantos e dobrando-
se os lados, conforme mostra a figura. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite 
construir uma caixa de volume máximo. R: x = 7,47 cm V = 3 6.937,57 cm 
 
75 
 
Questão 05: Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 3 375 cmpi . O 
custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por 2cm e o custo do 
material usado para a parte curva é de 5 centavos por 2cm . Se não há perda de material, 
determine as dimensões que minimizem o custo do material. R: r = 5 cm h = 15 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06: Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o 
seu volume seja 3 2500 m . O material da base vai custar R$ 1.200,00 por 2m e o material dos 
lados R$ 980,00 por 2m . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material 
seja mínimo. R: x =15,983 m y = 9,785 m 
 
Questão 07: A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo. Sabendo que o perímetro da 
janela é de 714 cm, calcule as dimensões x e y que permitem uma maior entrada de luz. 
Adote 14,3=pi . R: x = y = 100 cm. 
 
76 
 
Questão 08: O custo e a receita total com a produção e comercialização de um produto são 
dados por: qqC 2,2600)( += ; 2006,010)( qqqR −= . Encontrar a quantidade q que maximiza o 
lucro com a venda desse produto. R: q = 650 unidades 
 
Questão 09: Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o 
comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume 33m . Para gastar a menor quantidade de 
material possível na fabricação das caixas, qual devem ser suas dimensões? 
R: largura = m
2
6
; altura = m
2
6
. 
 
Questão 10: Um recipiente de base quadrada, lados verticais e aberto em cima, deve ser feito 
com 90 2m de material. Encontre as dimensões do recipiente com o maior volume. 
R: 30 m e 
2
30
m 
 
Questão 11: Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por 
um córrego reto no quarto lado. Encontre as dimensões do campo com área máxima que pode 
ser cercado com 1.000 m de cerca. 
R: 500m x 250m 
 
Questão 12: Uma lata cilíndrica, aberta em cima, deve conter 3500cm de líquido. Encontre a 
altura e o raio que minimizam a quantidade de material necessário para confeccioná-la. 
R: r = 3
500
pi
cm e h = 3
500
pi
cm 
Questão 13: Um campo deve ter o formato de um triângulo retângulo, com a hipotenusa ao 
longo de um rio reto e uma cerca delimitando os dois catetos do campo. Encontre as 
dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com 1.000 metros lineares de cerca. 
R: 500m x 500m 
 
Questão 14: Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos 
devem receber uma cerca reforçada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto os dois lados 
restantes recebem uma cerca padrão de R$ 2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno 
de maior área que pode ser cercado com R$ 6.000,00? R: 500m x 750m 
 
Questão 15: Encontre as dimensões do retângulo com área máxima que pode ser inscrito em 
um círculo com raio de 10 cm. R: 210200 = cm e 210200 = cm 
77 
 
Questão 16: Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto 
deve conter 180.000 metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais 
as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca, se não há necessidade de 
cerca ao longo do rio? R: 300m x 600m 
 
78 
 
Folha para resolução de questões
79 
 
Aplicação da Derivada à construção de gráficos de funções polinomiais – Lista 8 
 
Questão 01: Utilize a derivada para traçar os gráficos das funções abaixo: 
a) ( ) 196 23 ++−= xxxxf 
b) ( ) 2159 23 −+−= xxxxg 
c) ( ) 418
2
9
3
1 23
−+−= xxxxh 
d) ( ) 29
3
1 3 +−= xxxf 
 
Questão 02: Construa o gráfico da função ( ) 617112 23 +++= xxxxf , sabendo que suas 
raízes são 






−−− 3,2,
2
1
. 
 
Questão 03: Para a função ( ) xxxxf 223 −+= : 
a) encontre as raízes; 
b) encontre o ponto de máximo e o ponto de mínimo; 
c) trace o gráfico; 
 
 
80 
 
REGRA DE L’HÔPITAL E AS FORMAS INDETERMINADAS PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
 
A Regra de L’hôpital converte uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞∞ , em um 
novo limite envolvendo derivadas. 
 
A aplicação da regra segue três passos: 
 
1º Verifique se o lim f(x)/g(x) é uma forma indeterminada. Se não for, então a regra 
de L’hôpital não pode ser usada. 
 
2º Faça a derivada separadamente de f e g. 
 
3º Ache 
( )
( )xg
xf
'
'
lim . 
Exemplo 1: 
2
4lim
2
2
−
−
→ x
x
x
= 
 
 
 
Exemplo 2: 
( )
x
x
x
cos1lim
0
−
→
= 
 
 
Exemplo 3: 
( )
x
xsen
x
2lim
0→
= 
 
 
CUIDADO: Aplicar a Regra de L’hôpital para limites que não estão na forma indeterminada 
pode conduzir a resultados incorretos. Observe o exemplo: 
3
2
6
2
6lim
0
==
+
+
→ x
x
x
 
Logo o limite não é uma forma indeterminada do tipo 0/0. Entretanto, se ignorarmos isto e 
aplicarmos a regra de L’hôpital, chegaremos à seguinte conclusão errônea. 
1
1
1lim
2
6lim
00
==
+
+
→→ xx x
x
 
 
 
81 
 
Atividades Regra de L’hôpital – Lista 9 
 
Questão 01: Em cada parte, confirme se o limite é uma forma indeterminada e calcule-o 
usando a regra de L’hôpital. 
a) 
( )
( )x
xsen
x cos
1lim
2
−
→pi
 R: 0 b) 30
1lim
x
e x
x
−
→
 R: ∞+ 
 
c) 
( )
20
lim
x
xtg
x→
 R: ∞ d) 
( )
20
cos1lim
x
x
x
−
→
 R: ½ 
 
e) ( )
x
sen
x
x 1lim
3
4−
∞→
 R: 0 f) 
xx e
x
+∞→
lim R: 0 
g) 
82
4lim 2
2
2
−+
−
→ xx
x
x
 R: 2/3 h) 
73
52lim
+
−
∞→ x
x
x
 R: 2/3 
 
 
i) 
( )
1
lnlim
1
−
→ x
x
x
 R: 1 j) ( )xsen
e x
x
1lim
0
−
→
 R: 1 
 
 
k) 
( )
θ
θ
θ
tg
0
lim
→
 R: 1 l) 
( )
pipi −→ x
xsen
x
lim R: -1 
 
 
m) 
( )
x
x
x
lnlim
+∞→
 R: 0 n) 
( )
( )xtg
xsen
x 0
lim
→
 R: 1 
 
 
o) 
1
1lim 3
2
1
−
−
→ x
x
x
 R: 2/3 p) 
2
44lim 2
2
2
−−
+−
→ xx
xx
x
 R: 0 
 
 
q) 
xxx
xx
x 57
6lim 23
2
0 ++
+
→
 R: 6/5 r) 
34
1lim 2
2
1 ++
−
−→ xx
x
x
 R: -1 
 
 
82 
 
s) 
1
2lim
0
−
→ xx e
x
 R: 2 t) 
( )
2
lim
0
−+
−
−→ xxx ee
xxsen
 R: 0 
 
 
u) 2lim x
e x
x ∞→
 R: ∞+ v) 3
3
22
55lim
x
x
x
−
−
−∞→
 R: 5/2 
 
 
w) 2
2
22
5lim
xx
xx
x
−−
+−
+∞→
 R: -1/2 x) 
33
326lim 34
32
3 +−−
−+−
→ xxx
xxx
x
 R:-11/26
 
 
83 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
COMO CALCULAR UMA INTEGRAL INDEFINIDA 
Qual é a função que tem a derivada igual a 2x? 
( )∫ dxx2 
( ) 2x de indefinida integralou daantideriva a é 2 2xdxx =∫ 
xx
dx
d
xx
dx
d
2100
21
2
2
=+
=+
 
( ) C2 2 +=∫ xdxx 
 
REGRA GERAL PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS 
( ) Cxdxx +=∫ 22 
C3 32 +=∫ xdxx 
C
n
xadxxa
n
n +
+
⋅
=⋅
+
∫ 1
1
 
 
Exemplo: 
 
∫ 





−+ dxxx
2
12 24 = 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
Qual é a área da figura representada abaixo da reta y = 2 - x? 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
84 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE INTEGRAÇÃO 
 
1. cxdx +=∫ 
 
2. ∫∫ = dx )x(fadx )x(f a , onde “a” é uma constante (a ∈ ℜ) 
 
3. [ ] ∫∫∫∫ +++=+++ dx )x(fcdx )x(fcdx )x(fcdx )x(fc)x(fc)x(fc nn2211nn2211 KK , 
 
onde c1, c2, ..., cn são constantes 
4. c
1n
xdxx
1n
n +
+
=
+
∫ , 1n −≠ 
 
5. c)xcos(dx )xsen( +−=∫ 
 
6. c)xsen(dx )xcos( +=∫ 
 
85 
 
7. c)x(tgdx )x(sec2 +=∫ 
 
8. cedxe xx +=∫ 
 
9. c)aln(
adxa
x
x +=∫ 
 
10. c)xsec(lnc)xcos(lndx )x(tg +=+−=∫ 
 
11. c)xsen(lndx )x(gcot +=∫ 
 
12. c)x(tg)xsec(lndx )xsec( ++=∫ 
 
13. c)x(gcot)x(eccoslndx )x(eccos +−=∫ 
 
14. c)x(tgdx )x(secdx )x(cos
1 2
2 +== ∫∫ 
 
15. c)x(gcotdx)x(eccosdx)x(sen
1 2
2 +−== ∫∫ 
 
16. c)xsec(dx )x(tg)xsec( +=∫ 
 
17. c)x(eccosdx )x(gcot)x(eccos +−=∫ 
 
18. c
a
x
arctg
a
1
ax
dx
22 +=+∫
 
 
19. c
a
x
arcsen
xa
dx
22
+=
−
∫ 
20. c
a
xsecarc
a
1
axx
dx
22
+=
−
∫ 
 
21. cxlndx 
x
1
+=∫ 
 
86 
 
Atividades Integrais – Lista 1 
Questão 01: Calcular as integrais: 
a) ∫ 3x
dx
 R: C
x
+− 22
1
 
 
b) ( ) dxtt∫ −+ 21329 R: Ctt +−
23 3 
 
c) ( ) dxx∫ − 22 32 R: Cxxx ++− 9454 3
5
 
 
d) dxxx∫ ⋅
3 R: Cx +9
9
2
 
 
e) dx
x
xx
∫
−+
4
25 12
 R: C
xx
x ++− 3
2
3
12
2
1
 
 
f) dxxx
x
∫ + 3
1
 R: Cxx ++ 5
15
22 
 
g) dxx∫
8 R: Cx +
9
9
 
 
h) dxx∫ 7
5
 R: Cx +7 12
12
7
 
 
i) dx
x
∫ 32
1
 R: C
x
+− 24
1
 
 
j) ( )duuu∫ +− 723 R: Cuuu ++− 74 2
4
 
 
K) ( )dxxx∫ + 31 R: Cxx ++ 52
52
 
 
87 
 
l) ( ) dxxx∫ − 23
1
2 R: Cxxx ++− 3 103 73 4
10
3
7
123 
 
m) dt
t
t
∫
−
3
321
 R: Ct
t
+−− 2
2
1
2 
 
88 
 
Atividades Integrais – Lista 2 
Questão 01: Encontre a integral indefinida. 
a) dxx∫
− 4
3
 R: Cx +44 
 
b) dxx∫ 3 R: Cx +
3 4
4
3
 
 
c) ( )dxxx∫ ++ 163 R: Cxxx +++ 24 341
 
d) ( )dxxx∫ + 421 R: Cxx ++ 26 2131 
 
e) ( )( )dttt∫ +− 221 R: Ctttt ++−+− 23141 234 
 
f) ( ) dxx∫ − 22 R: Cxxx ++− 43821 32 
 
g) 
( )
( )dxxsen
xsen
∫
−
21
 R: sec (x) + C 
 
h) dxxx∫ R: Cx +
5
5
2
 
i) ( ) ( )( )dxxsenx∫ − 2cos R: sen (x) + 2cos (x) + C 
 
Questão 02: Calcule a integral definida. 
a) ( )dxxx∫ −−10 2321 R: -1 
 
b) ( )dxxx∫ +−21 2 345 R: 326 
 
89 
 
c) ( )dxex x∫
−
−
0
1
2 R: 
e
12 +−
 
d) ( )dyyyy∫ +−10 59 32 R: 1519 
 
e) dt
tt∫






−
3
1 42
11
 R: 
81
28
 
 
f) dx
x
x
∫ 





 +2
1
2 1
 R: 
( )
5
2236 −
 
 
g) ( )duuuu∫ +10 3 R: 3529 
 
h) dx
x∫
4
1
5
 R: 52 
 
i) ( ) dxx∫
−
+
0
1
31 R: 
4
1
 
 
j) ( ) θθpi
pi
d∫ 3
6
2seccos R: 
3
32
 
 
k) dx
x
xxe
∫ 





 ++
1
2 1
 R: 
2
122 −+ ee
 
 
l) dx
x
∫ 




5,1
1,0 2
10
 R: ...33,93≅ 
 
m) Calcular a área limitada pela curva 4)( 2 −= xxf e o eixo x. Faça um esboço do gráfico 
para representar a área a ser calculada. R: 32/3 u.a. 
 
90 
 
Folha de resolução de questões 
91 
 
Aplicações do cálculo de Integral – Lista 3 
 
Questão 01: Faça um esboço da região e utilize uma integral definida para encontrar a área 
sob a curva y = f(x), acima do intervalo dado, e verifique a sua resposta, usando uma fórmula 
adequada de geometria. 
a) f(x) = x [0,5] R: 12,5 u.a. 
b) f(x) = 5 [3,9] R: 30 u.a. 
c) f(x) = x + 3 [-1,2] R: 10,5 u.a. 
 
Questão 02: Calcule a área da região sombreada: 
a) R: 9/2 u.a. b) R: 22/3 u.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03: Calcule a área da região entre as curvas 2xy = e y = x + 6, fazendo um esboço 
da área da região a ser calculada. R: 
6
125
 u.a. 
 
Questão 04: Calcular a área da região limitada pelas curvas 642 2 +−= xxy e 
122 ++−= xxy , de x = 1 até x = 2. R: 3 u.a. 
R: 1/2 + 1/2= 1 
92 
 
Folha de resolução de questões 
93 
 
Cálculo de áreas entre curvas utilizando Integral – Lista 4 
 
Questão 01: Encontrar a área da região hachurada representada nas figuras a seguir: 
a) R: 16(1+ln(4)) 
 
 
b) R: ln(2) 
 
 
 
Questão 02: Encontrar a área da região limitada pela curva y = sen(x) e pelo eixo dos x de 0 
até pi2 . Faça a representação gráfica da região. R: 4 u.a. 
 
Questão 03: Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = x e 3xy = fazendo a 
representação gráfica. R: 1/2 u.a. 
 
Questão 04: Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = x + 1 e 12 −= xy fazendo 
a representação gráfica. R: 9/2 u.a. 
 
Questão 05: Calcular a área da região limitada pelas curvas y – x = 6, 03 =− xy e 
2y + x = 0. R: 22 u.a. 
 
94 
 
Questão 06: Esboce a região entre as curvas e encontre a área. 
a) y = x, y = 4x, y = - x + 2 R: 3/5 u.a. 
b) xxxy 34 23 +−= ; y = 0, x = 0, x = 3 R: 37/12 u.a. 
 
Questão 07: Encontrar a área da região sob a curva y = f(x) no intervalo dado. Faça um 
esboço da região de integração: 
a) 3)( xxf = , no intervalo [2,3] R: 65/4 u.a. 
b) xxf =)( , no intervalo [1,9] R: 52/3 u.a. 
c) xexf =)( , no intervalo [1,3] R: ee −3 u.a. 
 
Cálculo da posição e da velocidade através da Integral 
 
( ) ( )tstv '= ( ) ( ) ( )tstvta ''' == 
( )ts é uma antiderivada de ( )tv ( )tv é uma antiderivada de ( )ta 
( ) ( )∫= dttvts ( ) ( )∫= dttatv 
 
Questão 08: A figura mostra as curvas velocidade versus tempo para dois carros movendo-se 
ao longo de uma pista reta, começando na mesma reta e acelerando a partir do repouso. 
a) Qual é a distância entre os carros após 60 s? R: 1800 pés 
b) Qual é a distância entre os carros após t segundos, onde 600 ≤≤ t ? 
 
 
 
Questão 09: Uma partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para 
encontrar a função posição da partícula. 
a) ( ) 32 −= ttv ; s(1) = 5 R: 732 +− tt 
b) ( ) ( )tta cos= ; ( ) 22 =piv ; ( ) 02 =pis R: ( ) 2cos pi−+− tt 
95 
 
Folha de resolução de questões 
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Folha de resolução de questões