03_Deformacao

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ECV 107
Resistência dos Materiais I
Prof.: Maila Pereira
CAPÍTULO 03
Deformação
3 - Deformação
3.1 Deformação Específica Normal
• Considere a barra BC, de comprimento L e com seção transversal uniforme de 
área A que está presa em B. Ao aplicar uma força P à extremidade C, a barra 
se alongará.
L

 
• A deformação específica normal em uma barra sob 
carregamento axial e definida como a deformação 
por unidade de comprimento da barra:
 = deformação total da barra 
(alongamento/ encurtamento)
L = comprimento inicial da barra
• Para um elemento de área variável a deformação específica é dada por:
0x
lim
x


 



 = deformação do elemento
x= comprimento inicial do elemento
3 - Deformação
3.1 Deformação Específica Normal
• Unidade: a deformação específica é uma quantidade adimensional. Por 
exemplo: uma barra de comprimento L = 0,600 m com seção transversal 
uniforme, que sofre uma deformação  = 150 10-6 m terá uma deformação 
específica de :
6
6150 10 250 10
0 6
m / m
L ,



  
• A deformação específica também pode ser expressa em termos percentuais, 
assim, a deformação de 250 10-6 encontrada acima pode ser escrita como 
0,025%
3 - Deformação
3.2 Diagrama Tensão - Deformação
• O diagrama tensão-deformação é traçado a partir de dados obtidos do ensaio de 
tração ou compressão de um corpo-de-prova padrão.
• P = carga aplicada. 
• A0 = área original.
•  = variação no comprimento.
• L0 = comprimento original.
• Utilizando os dados registrados durante o ensaio, pode-se determinar a tensão 
nominal ou tensão de engenharia e a deformação nominal ou deformação de 
engenharia:
0
P
A
 
0L

 
3 - Deformação
3.2 Diagrama Tensão - Deformação
• Plotando os valores correspondentes de s e e num gráfico onde a abscissa 
corresponde às deformações e a ordenada às tensões, temos o diagrama tensão-
deformação.
• Região Elástica: 
corresponde ao trecho reto 
que se inicia na origem e 
encerra-se quando o 
material atinge a 
resistência ao escoamento 
fy. Neste trecho o material 
obedece a Lei de Hooke, 
ou seja, as tensões são 
proporcionais às 
deformações
• Fase Plástica: corresponde ao trecho do diagrama em que o material fica 
com tensão constante igual a fy, enquanto a deformação aumenta 
consideravelmente. Esse trecho é chamado patamar de escoamento.
3 - Deformação
3.2 Diagrama Tensão - Deformação
• Fase de Encruamento
(Endurecimento): após 
o escoamento, o material 
sofre um revigoramento 
que recebe o a 
denominação de 
encruamento ou 
endurecimento.
• Assim, a tensão volta a crescer com a deformação, porém sem 
proporcionalidade. O material atinge sua tensão mais elevada, 
denominada resistência à ruptura, representada por fu.
• Depois de alcançar fu, a área da seção transversal na região 
central do corpo de prova começa a se reduzir rapidamente 
(estricção) e ocorre uma queda no valor da força de tração 
aplicada, até o rompimento do material. 
3 - Deformação
3.3 Lei de Hooke
• A maioria das estruturas de engenharia são projetadas para sofrerem pequenas 
deformações. Essas estruturas se enquadram na região elástica do diagrama tensão 
deformação, onde existe uma relação linear entre tensões e as correspondentes 
deformações, logo:
E 
• E = constante de proporcionalidade 
denominada módulo de elasticidade ou módulo 
de Young. 
• E = propriedade mecânica que indica a rigidez 
do material.
• No diagrama tensão-deformação, o módulo de 
elasticidade representa a inclinação da reta na 
região elástica.
3 - Deformação
3.4 Deformação de elementos sob carregamento axial
E 
• Considere a barra homogênea BC, de comprimento L seção transversal 
uniforme de área A submetida a uma força axial centrada P. Se a tensão 
normal média s estiver dentro da região elástica, então:
• Sabe-se que:
L

 
• Logo:
PL
AE
  Deformação axial 
(alongamento/ encurtamento)
• A equação acima é válida se:
• A barra é homogênea E = constante
• Seção transversal uniforme de área A
• Força P aplicada em suas extremidades
P
A
 
3 - Deformação
3.4 Deformação de elementos sob carregamento axial
• Se algum dos itens não for satisfeito, a barra deverá ser dividida em partes 
componentes que satisfaçam individualmente às condições necessárias para 
aplicação da fórmula, nesse caso:

i ii
ii
EA
LP

1 1 2 2
1 1 2 2
i i
i i
PLP L P L ...
A E A E A E
     Onde i é o nº de 
componentes
• No caso de uma barra com seção variável como da figura, ou P variando com 
x, tem-se:
 
 
L
o
P x
dx
A x E
  
3 - Deformação
Exemplo 1
Determine a deformação da 
barra de aço mostrada 
submetida às forças dadas.
SOLUÇÃO:
• Divida a barra em componentes de 
acordo com a aplicação das forças.
• Aplique uma análise de corpo livre 
de cada componente para 
determinar a força interna. 
• Avaliar a deformação total da barra.
GPaE 200
3 - Deformação
Exemplo 2
Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na figura. AC
é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, BD é feito de alumínio e tem diâmetro 
de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical 
de 90 kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa
SOLUÇÃO:
• Aplique uma análise de corpo livre 
na viga AB para obter as reações 
em A e em B.
• Aplicar a reação em a no poste AC e 
a reação em B no poste BD. Essas 
forças causam deformação nos 
postes.
• Avaliar a deslocamento em F
devido às deformações e AC e BD
3 - Deformação
• Se a barra é presa em ambas as extremidades , 
como na figura, então aparecem duas reações 
axiais desconhecidas e a equação de equilíbrio de 
forças não é suficiente para determina-las. Neste 
caso a barra é denominada estaticamente 
indeterminada.
0F    1A BR R P 
3.5 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
• Quando uma barra está presa somente a uma 
extremidade e é submetida a uma força axial, a 
equação de equilíbrio de forças é suficiente para 
determinar a reação no suporte fixo. Nesse caso, 
tem-se um problema estaticamente determinado.
0 BF R P   
3 - Deformação
3.5 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
• Para resolver problemas estaticamente indeterminados é 
necessário estabelecer uma equação adicional. Essa equação 
adicional será obtida a partir das deformações que envolvem a 
geometria do problema.
• Para determinarmos as deformações é necessário 
conhecer as forças internas:
1 2 (tração) (compressão)A BP R P R 
1 1 1
1 1
2 2 2
2 2
2 2
A
B
P L R L
AE AE
P L R L
A E AE
 
 
  
    
• Neste exemplo, a deformação total é igual a zero, logo:
1 2
0
  

 
1
2
deformação em
deformação em
AC
BC




1 2 0  
3 - Deformação
3.5 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
• Logo:
1 2 0A BR L R L
AE AE
    1 2 0 2A BR L R L 
 2
1
3BA
R LR
L

• Substituindo em (1):
 
2
1
2 1 1
1 2 1
1
B
B
B B
B
B
R L R P
L
R L R L PL
R L L PL
R L PL
 
 
 

1
B
PLR
L

• Substituindo em (3):
2
A
PLR
L

3 - Deformação
3.5 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
• Tensões:
1
1
AP R
A A
    21
PL
AL
 
2
2
BP R
A A
      1
2
PL
AL
  
3 - Deformação
3.6 Método da Superposição
• Como já foi visto, uma estrutura é estaticamente 
indeterminada sempre que é vinculada por mais 
suportes do que o necessário para manter seu 
equilíbrio. Isso resulta em maisreações 
desconhecidas do que equações de equilíbrio 
disponíveis. 
• O método da superposição consiste em designar 
uma reação redundante e eliminar o suporte 
correspondente.
• Essa reação será tratada como força desconhecida 
que juntamente com as outras forças deve 
produzir deformações compatíveis com as 
restrições originais.
• A solução real do problema é obtida 
considerando-se separadamente as deformações 
provocadas pelas forças e pela reação redundante 
e somando (superpondo) os resultados
3 - Deformação
Exemplo 3:
Determine o valor das reações em A e B para a barra de 
aço com os carregamentos mostrado, assumindo que 
não existe folgas entre os apoios e a barra. 
• Resolver a reação em A pelo diagrama de corpo 
livre da barra, uma vez que se conhece a reação 
em B. 
• Exigir que os deslocamentos devido às forças e 
devido à reação redundante sejam compatíveis, ou 
seja, exigir que sua soma seja zero. 
• Resolver o deslocamento em B devido às forças 
aplicadas. 
SOLUÇÃO:
• Consideramos a reação em B como redundante e 
liberamos a barra daquele apoio. A reação Rb é 
considerada desconhecida.
• Resolver o deslocamento em B devido à reação RB. 
3 - Deformação
3.7 Problemas que envolvem mudança de temperatura
• Considere a barra homogênea AB de seção 
transversal uniforme, que se apoia livremente em 
uma superfície horizontal lisa. Se a temperatura da 
barra aumentar de t, a barra se alongara de t, 
sendo:
 
 = coeficiente de 
 dilatação térmica / C


 T T L  
• Sendo e = deformação específica térmica
como , então:T
L

 
T  
• Neste caso não há tensão térmica pois a barra se dilata livremente
3 - Deformação
3.7 Problemas que envolvem mudança de temperatura
• Considere a mesma barra homogênea AB de 
comprimento L e seção transversal uniforme, 
colocada entre dois apoios fixos como na figura. Se 
a temperatura da barra aumentar em t, a 
deformação da barra será t = 0. No entanto os 
apoios exercerão forças iguais a P nas extremidades 
da barra para impedir sua deformação.
• Esse problema é estaticamente indeterminado, logo sua solução será:
3 - Deformação
3.7 Problemas que envolvem mudança de temperatura
• Solução de (b): calcular a 
deformação devido à variação 
de temperatura, sem a reação 
redundante P.
 T T L  
• Solução de (c): calcular a 
deformação devido a reação 
redundante P.
P
PL
AE
  
• Deformação total: 0 
 
 
0
0
T P
PLT L
AE
PL T L
AE
 


 
  
    P AE T 
(Compressão)
• Tensão na barra:
P AE T
A A



   
E T   
3 - Deformação
Exemplo 4
Determine os valores da tensão nas partes AC e 
CB da barra de aço mostrada na figura quando a 
temperatura da barra for de – 15°C, sabendo 
que os apoios rígidos estão ajustados quando a 
temperatura estiver a + 20°C. Use os valores E 
= 200 GPa e a = 12 x 10 -6 /°C para o aço.
3 - Deformação
3.8 Coeficiente de Poisson
• Quando um corpo deformável é submetido a uma 
força de tração axial haverá um alongamento ao 
longo do eixo da barra e uma contração na outras 
direções, assim a deformação específica na 
direção do eixo será:
(Lei de Hooke)xx E

 
• Se o material é homogêneo e isotrópico, ou seja, se o material apresenta as 
mesmas características físicas e mecânicas em todas as direções, tem-se:
(deformação específica lateral)y z 
• A relação entre a deformação específica lateral e a deformação axial é denominada 
de Coeficiente de Poisson:
y z
x x
 

 
  
• A expressão tem sinal negativo porque um alongamento longitudinal 
(deformação +) provoca uma contração lateral (deformação - ). O coeficiente de 
Poisson é positivo e adimensional
3 - Deformação
3.8 Coeficiente de Poisson
• A condição de deformação específica da 
barra submetida a um carregamento axial fica 
definida pelas seguintes relações:
x
x E

  xy z E

  
• Note que, embora haja deformação específica ey e ez, as tensões nessas direções 
são zero:
0y z  
3 - Deformação
Exemplo 5:
Observa-se que uma barra de 500 mm de 
comprimento e 16 mm de diâmetro, feita de 
um material homogêneo e isotrópico, 
aumenta no seu comprimento em 300 mm e 
diminui em seu diâmetro em 2,4 mm quando 
submetida a uma força axial de 12 kN. 
Determine o módulo de elasticidade e o 
coeficiente de Poisson do material.
3 - Deformação
3.9 Lei de Hooke Generalizada: Carregamento Multiaxial
• Até agora o objeto de estudo se tratava de elementos 
delgados carregados ao longo do eixo perpendicular à seção 
transversal.
• Considere o elemento estrutural em forma de cubo, submetido 
as cargas que atuam nas direções dos três eixos coordenados. 
As tensões sx, sy e sz são todas diferentes de zero. 
• Suponha que as arestas do cubo tenham comprimento unitário 
(L = 1). Sob o carregamento multiaxial dado, o elemento se 
deformará transformando-se em um paralelepípedo retangular 
de lados iguais a:
1
1
1
x
y
z






3 - Deformação
• Usando o Princípio (método) da Superposição , temos:
3.9 Lei de Hooke Generalizada: Carregamento Multiaxial
1º) provoca 
2º) provoca 
3º) provoca 
x x x
x x y z
y y y
y y x z
z z z
z z x y
E E E
E E E
E E E
  
   
  
   
  
   
    
    
    
Logo:
yx z
x
yx z
y
yx z
z
E E E
E E E
E E E
 

 

 

  
   
   
Lei de Hooke Generalizada
3 - Deformação
• OBS.: O Princípio (método) da Superposição é usado desde que as 
condições seguintes sejam satisfeitas:
3.9 Lei de Hooke Generalizada: Carregamento Multiaxial
1. Cada efeito está linearmente 
relacionado com a força que o 
produz
•Regime elástico
•Lei de Hooke
2. A deformação resultante de 
determinada força é pequena e 
não afeta as condições de 
aplicação de outras forças
• Lembrar que:
   
   
tração expansão
compressão contração
 
 
 
 
3 - Deformação
O bloco da figura está submetido a uma pressão uniforme em todas as suas 
faces. Sabendo que a variação no comprimento da aresta AB é – 0,03 mm, 
determine:
a) A variação no comprimento das outras arestas.
b) A pressão p aplicada às faces do bloco.
Suponha E = 200 Gpa e n = 0,29
Exemplo 6:
3 - Deformação
• Considere o bloco submetido ao estado de tensão. Se as 
deformações permanecem pequenas, as tensões de 
cisalhamento (txy, tyz, tzx, tyx, tzy e txz) não afetam as 
deformações específicas normais. No entanto, as tensões 
de cisalhamento tenderão a deformar o elemento cúbico, 
transformando-o em um paralelepípedo oblíquo.
3.10 Deformação de Cisalhamento
• Seja o elemento cúbico de 
lado unitário submetido às 
tensões de cisalhamento txy e 
tyx. O elemento se deforma 
mantendo o comprimento 
dos lados. 
• Dois ângulos formados pelas quatro faces sob tensão são reduzidos de 
para , enquanto que os outros dois são aumentados de para . 
O ângulo gxy (expressos em radianos) define a Deformação de 
cisalhamento correspondente às direções x e y. 
2

2 xy


2

2 xy


3 - Deformação
3.10 Deformação de Cisalhamento
• Onde G é o Módulo de Rigidez ou Módulo de elasticidade transversal do 
material, sendo G expresso em Pa (Mpa, GPa)
• Assim como a tensão normal e a deformação específica normal se relacionam 
(s= E e) a tesão de cisalhamento e deformação de cisalhamento também se 
relacionam pela Lei de Hooke para tensão e deformação de cisalhamento.
xy xyG 
(lembrar que a Lei de Hooke é válida para tensõesque não ultrapassam o regime 
de proporcionalidade, ou seja para o regime elástico – pequenas deformações)
• Considere agora os cubos das figuras sujeitos as tensões mostradas, para 
valores de tensões dentro do regime elástico, tem-se:
yz yzG 
zx zxG 
Onde G é a mesma constante
3 - Deformação
3.10 Deformação de Cisalhamento
• Para o estado de tensão definido pela figura e desde que nenhuma tensão 
ultrapasse o limite de proporcionalidade, obtemos as equações representando a 
Lei de Hooke generalizada para uma material isotrópico e homogêneo
yx z
x
yx z
y
yx z
z
xy yz zx
xy yz zx
E E E
E E E
E E E
G G G
 

 

 

  
  
  
   
   
  
Onde as constantes E, G e n se relacionam da seguinte forma:
 2 1
EG



3 - Deformação
Exemplo 7:
Um bloco retangular de material com 
módulo de rigidez G = 620 Mpa é 
colado a duas placas rígidas horizontais. 
A placa inferior é fixa, enquanto a placa 
superior está submetida a uma força 
horizontal P. Sabendo que a placa 
superior se desloca 1 mm sob a ação da 
força, determine a) a deformação de 
cisalhamento média no material e b) a 
força P que atua na placa superior.
SOLUÇÃO:
• Determinar a deformação de 
cisalhamento.
• Use a definição de tensão de 
cisalhamento para encontrar a força P.
• Aplicar a lei de Hooke para tensão e 
deformação de cisalhamento para 
encontrar a tensão de cisalhamento 
correspondente.
3 - Deformação
3.11 Princípio de Saint - Venant
• Como já foi visto, a tensão s em uma barra de área A e submetida a um 
carregamento axial P é: P
A
 
• Essa tensão é uma tensão média calculada em uma seção afastada da 
extremidade da barra. Como no regime elástico as deformações se relacionam 
com a tensao pela Lei de Hooke, para a situação descrita, as deformações 
serão uniformes.
E 
• No caso de uma força aplicada à barra por 
meio de placas rígidas (a força aplicada no 
centróide), também havará deformações 
uniformes (figura). Haverá um encurtamento 
da barra na direção axial e uma expansão nas 
outras duas direções, no entanto, as seções 
permanecerão planas e todos os elementos se 
deformarão da mesma maneira.
3 - Deformação
3.11 Princípio de Saint - Venant
• Por outro lado, se as forças forem concentradas, os elementos nas 
vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das forças sofrem 
grandes deformações, e portanto grandes deformações específicas, 
assim esses elementos estão submetidos a grandes tensões, enquanto os 
cantos não são tão afetados pelo carregamento.
• No entanto, à medida que se considera elementos cada vez mais 
distantes das extremidades há uma uniformização das deformações 
específicas e das tensões. E 
• Pela figura pode-se observar que a uma 
distância b de qualquer extremidade (b = 
largura da placa) a distribuição de 
tensões é aproximadamente uniforme e 
igual a smed .
• Princípio de Saint-Venant:
A distribuição de tensão pode ser 
independente da aplicação da carga, 
exceto nas imediações dos pontos de 
aplicação da mesma.
3 - Deformação
• Quando um componente estrutural contém uma descontinuidade (furo ou 
mudança brusca na seção transversal) ocorrem valores altos de tensões 
localizados próximos das descontinuidades. Nesse caso a tensão máxima será:
3.12 Concentração de Tensão
max medk 
• Onde k é o coeficiente de 
concentração de tensão e 
depende apenas das 
propriedades geométricas 
do componente estrutural:
• P/ furos: r/D
• P/ arredondamentos: r/d e D/d
• smed é a tensão normal média calculada na seção crítica (mais estreita) da 
descontinuidade.
• Os valores de k são calculados no regime elástico, logo esse procedimento é válido 
somente quando smax não excede o limite de proporcionalidade.
3 - Deformação
3.12 Concentração de Tensão
2r/D
3 - Deformação
3.12 Concentração de Tensão
3 - Deformação
3.13 Deformações plásticas
• Até agora, nos estudos de tensão e deformação, considerou-se o comportamento 
do material envolvido dentro do regime elástico (relação tensão-deformação 
linear), em outras palavras, considerou-se que a tensão de proporcionalidade do 
material nunca seria ultrapassada.
• Para materiais frágeis essa suposição 
é perfeitamente aceitável, pois 
entram em colapso sem escoarem
• Para materiais dúcteis, se as tensões 
em qualquer parte do corpo 
excederem a tensão de escoamento, 
ocorrerão deformações plásticas.
3 - Deformação
3.13 Deformações plásticas
• Considere o diagrama tensão-deformação de um material elastoplástico ideal:
• Se a tensão do material s for menor 
que a tensão de escoamento sE, o 
material tem comportamento elástico 
e obedece a Lei de Hooke.
• Quando s atinge sE, o material 
começa a escoar e continua 
deformando plasticamente sob 
carregamento constante.
• Se o carregamento é removido, o descarregamento ocorre ao longo da reta CD 
paralela a AE.
• O segmento de reta AD representa a deformação específica correspondente à 
deformação plástica resultante do carregamento e descarregamento do corpo de 
prova.