aula_9-_analise_de_investimentos_-_parte_1

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Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 9 
Análise de Investimentos – Parte 1 
 
Slide 1 EEIMVR 
 Objetivo da aula: apresentar os principais métodos de avaliação econômica de 
projetos de investimentos. 
 A avaliação econômica de projetos emprega um conjunto de metodologias 
para analisá-los quantitativamente de modo a identificar a sua atratividade sob o 
ponto de vista econômico, visando maximizar o valor agregado e o retorno do 
capital para o investidor. 
 Uma decisão financeira é caracterizada pela existência de mais de uma 
alternativa de investimento, as quais são representadas por fluxos de caixa 
com entradas e saídas de caixa diferenciadas quanto ao valor e ao período. 
 Para um projeto ser viável econômico-financeiramente , sua rentabilidade deve 
superar o custo de capital ou custo de oportunidade do capital, ou seja, 
deve ser mais rentável do que outras alternativas de investimento de risco similar. 
 Os métodos mais usados para avaliar/comparar diferentes fluxos de caixa 
(alternativas de investimentos) são: valor presente líquido, taxa interna de retorno, 
taxa interna de retorno modificada, índice de rentabilidade, índice de lucratividade, 
payback e payback descontado. 
 
Conceitos 
Fundamentos da Engenharia 
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Slide 2 EEIMVR 
 O valor presente líquido (VPL) ou net present value (NPV) é igual à soma dos valores 
presentes de todas as entradas e saídas de caixa, descontando-se uma taxa de juros “i”, 
que corresponde ao custo de capital, também chamada de custo de oportunidade ou 
taxa mínima de atratividade (TMA). 
 Para um fluxo de entradas e saídas de caixa desiguais ao longo de um horizonte de tempo 
n, o valor presente líquido pode ser calculado através da fórmula abaixo: 
Valor Presente Líquido 
 Onde: FCn = fluxo de caixa no período n 
 i = taxa de juros 
 n = prazo 
 
 Valor presente líquido positivo significa que o fluxo de caixa agrega valor e é 
atrativo do ponto de vista econômico-financeiro. 
 VPL negativo indica que o fluxo de caixa destrói valor, e não é atrativo. 
 VPL igual a zero indica indiferença para realizar ou não o investimento. 
 
n
n
iiii )(1
FC
)(1
FC
)(1
FC
)(1
FC
FCVPL
3
3
2
2
1
1
0







 ... 
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Slide 3 EEIMVR 
 A taxa interna de retorno (TIR) ou internal rate of return (IRR) mede a rentabilidade do 
fluxo de caixa. 
 O cálculo da TIR não é direto, pois não existe uma fórmula específica para tal. Na verdade, 
a TIR é a taxa de juros (i) que iguala o VPL de um fluxo de caixa a zero. 
Taxa Interna de Retorno 
 Onde: FCn = fluxo de caixa no período n 
 TIR = taxa interna de retorno 
 n = prazo 
 
 VPL positivo significa que o projeto agrega valor, ou seja, o investimento está sendo 
remunerado a uma taxa de retorno (TIR) superior ao custo de capital (i). 
 VPL negativo indica que o projeto destrói valor, pois o investimento está sendo 
remunerado a uma taxa de retorno (TIR) inferior ao custo de capital (i). 
 VPL igual a zero indica indiferença para realizar ou não o projeto, pois o investimento está 
sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) igual ao custo de capital (i). 
 
n
n
TIR)(1
FC
TIR)(1
FC
TIR)(1
FC
TIR)(1
FC
FC0
3
3
2
2
1
1
0







 ... 
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Slide 4 EEIMVR 
 O Índice de Rentabilidade (IR) é definido pelo quociente entre o valor presente dos 
fluxos de caixa positivos (entradas de caixa) e o módulo do valor presente dos fluxos de 
caixa negativos (saídas de caixa). 
 Se o IR for maior que 1, significa que o valor presente dos fluxos positivos é maior do 
que o módulo do valor presente dos fluxos negativos, o que leva a um VPL positivo. 
 Se o IR for menor que 1, o VPL é negativo. 
Índice de Rentabilidade 
Critérios de decisão do VPL, da TIR e do IR 
VPL TIR IR Decisão 
VPL > 0 TIR > i IR > 1 Fazer o projeto 
VPL = 0 TIR = i IR = 1 Indiferença 
VPL < 0 TIR < i IR < 1 Não fazer o projeto 
 
 Caixa) de (Saídas VP
Caixa) de (Entradas VP
IR  
 Caixa) de (Saídas VP
 VPL Caixa) de (Saídas VP
IR ou


 O Índice de Rentabilidade pode ser usado como uma medida do resultado de cada $ 
aplicado. Trata-se de um método complementar de análise, devendo ser utilizado quando 
existe limitação de capital para investimento. 
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Slide 5 EEIMVR 
 O Índice de Lucratividade (IL) é definido pelo quociente entre o Valor Presente 
Líquido e o módulo do valor presente dos fluxos de caixa negativos (saídas de caixa). 
 Se o IL for maior que 0, significa que o valor presente dos fluxos positivos é maior do 
que o módulo do valor presente dos fluxos negativos, o que leva a um VPL positivo. 
 Se o IL for igual a 0, significa que o VPL é nulo. 
 Se o IL for menor que 0, significa que o VPL é negativo. 
Índice de Lucratividade 
Critérios de decisão do VPL, da TIR, do IR e do IL 
VPL TIR IR IL Decisão 
VPL > 0 TIR > i IR > 1 IL > 0 Fazer o projeto 
VPL = 0 TIR = i IR = 1 IL = 0 Indiferença 
VPL < 0 TIR < i IR < 1 IL < 0 Não fazer o projeto 
 O Índice de Lucratividade pode ser interpretado como uma medida do lucro ou prejuízo 
gerado por unidade de investimento realizado. Trata-se de um método interessante para a 
comparação do lucro relativo de diferentes projetos de investimento. 
 
 Caixa) de (Saídas VP
VPL
IL  100
 Caixa) de (Saídas VP
VPL
(%)IL ou  1 - IRIL ou 
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Slide 6 EEIMVR 
Solução : 
 
 
 
 VPL = 120,64 
 
O cálculo da TIR não é direto, pois não existe uma fórmula específica. Lembrando: a TIR é 
a taxa de juros que zera o VPL de um fluxo de caixa, conforme mostrado abaixo: 
 
 
 
 TIR = 30,23% a.a. 
Exemplo 9.1: Uma empresa está analisando a 
possibilidade de realizar um projeto com vida útil de 5 
anos, que exigirá um investimento inicial de R$ 1.000,00. 
As estimativas de fluxos de caixa futuros encontram-se ao 
lado. Determinar o VPL, a TIR e o IR do investimento, 
sabendo-se que o custo de capital é 25% a.a.. 
 
Ano Fluxo de Caixa 
0 - 1.000,00 
1 300,00 
2 400,00 
3 500,00 
4 500,00 
5 500,00 
 
54321 25%)(1
500,00
25%)(1
500,00
25%)(1
500,00
25%)(1
400,00
25%)(1
300,00
1.000,00 VPL










 
54321 TIR)(1
500,00
TIR)(1
500,00
TIR)(1
500,00
TIR)(1
400,00
TIR)(1
300,00
1.000,00 0










Exercícios Resolvidos 
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Slide 7 EEIMVR 
Exemplo 9.1 (continuação): 
[f] REG 
1.000,00 CHS [g] CF0 
300,00 [g] CFj 
400,00 [g] CFj 
500,00 [g] CFj 
3 [g] Nj 
25 i 
[f] NPV 120,64 
[f] IRR 30,23 
Solução na HP-12C 
Solução no MS Excel 
Exercícios Resolvidos 
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Slide 8 EEIMVR 
 O VPL positivo de R$ 120,64 significa que o investimento de R$ 1.000,00 está 
sendo remunerado a 25% a.a. e, além dessa remuneração, está gerando um 
aumento de riqueza de R$ 120,64, expressa em valores atuais. 
 A TIR mede a rentabilidade do investimento (30,23% a.a.), superior à taxa de 
25% a.a., indicando também que o investimento agrega valor. 
 O IR maior do que 1 indica que o projeto deve ser realizado, uma vez que o 
valor presente das entradas de caixa é superior ao das saídas de caixa. 
 O IL de 0,12 indica que o projeto gera um lucro relativo de 12% em comparação ao 
capital investido. 
Exemplo 9.1 (continuação): 
 O Índice de Rentabilidade pode ser calculado diretamente a partir do VPL. Como só 
existe uma saída de caixa e ela está no momento inicial, o módulo do valor presente 
das saídas de caixa é igual a R$ 1.000,00. 
 O valor presente das entradas de caixa pode ser calculado pela soma do VPL e do 
módulo do valor presente das saídas de caixa. 
 
Exercícios Resolvidos 
 1,12
1.000,00
120,64 1.000,00
 Caixa) de (Saídas VP
 VPL Caixa) de (Saídas VP
IR 



 0,12 1 - IRIL  
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Slide 9 EEIMVR 
 O Payback corresponde ao tempo necessário para que os fluxos de caixa positivos 
recuperem os fluxos de caixa negativos, e é normalmente expresso em anos. 
 Seu cálculo é feito a partir dos fluxos de caixa nominais e a decisão de aceitar ou não um 
projeto é tomada com base em algum prazo limite arbitrário (o período de payback 
deverá ser inferior a este limite), sem considerar o custo de capital. 
 No Exemplo 9.1, ao final de 2 anos já foram recuperados R$ 700,00 (R$ 300,00 no ano 1 e 
R$ 400,00 no ano 2), mas ainda faltam R$ 300,00 para igualar o gasto inicial de R$ 1.000,00. 
 No ano 3 ocorre uma entrada de R$ 500,00, mais do que suficiente para recuperar os R$ 
300,00 restantes. Assim, a conclusão é que o payback desse projeto é 3 anos, conforme 
mostrado abaixo pelo cálculo a partir do fluxo de caixa acumulado. 
 
Payback 
Cálculo do Payback 
Ano Fluxo de Caixa Fluxo de Caixa Acumulado 
0 - 1.000,00 - 1.000,00 
1 300,00 - 700,00 
2 400,00 - 300,00 
3 500,00 200,00 
4 500,00 700,00 
5 500,00 1.200,00 
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Slide 10 EEIMVR 
 É claro que, na prática, o fluxo de caixa de um certo ano não se concentra apenas numa 
única data do ano. 
 Assumindo que o fluxo de caixa se distribui uniformemente ao longo do ano, pode-se 
calcular o payback exato suficiente para recuperar o investimento inicial. 
 No exemplo 9.1, ao final do ano 2 ainda falta recuperar R$ 300,00, e no ano 3 ocorre uma 
entrada de caixa de R$ 500,00. 
 Na verdade, apenas uma fração desses R$ 500,00 é necessária para completar a 
recuperação dos R$ 300,00 no ano 3. 
Payback 
 0,60
500,00
300,00
ano 3º do Fração 
 Logo, o payback exato é igual a 2,60 anos. 
 A aplicação do método da payback é simples e dá um resultado de fácil interpretação: o 
tempo necessário para recuperar o capital investido. O payback mede a liquidez do 
projeto. No entanto, desconsidera o valor do dinheiro no tempo. 
 O método estabelece a comparação do valor do payback com um número previamente 
definido. Se o payback calculado for menor que o valor definido, faz-se o projeto. 
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Slide 11 EEIMVR 
 O Payback Descontado busca eliminar uma das desvantagens do payback nominal: a não 
consideração do valor do dinheiro no tempo. 
 Ele é calculado de forma similar ao payback nominal, mas calcula-se o tempo de retorno do 
capital investido a partir do valor presente dos fluxos de caixa, conforme mostrado na 
tabela abaixo para o Exemplo 9.1 (considerando o custo de capital de 25% a.a.). 
Payback Descontado 
Ano Fluxo de Caixa FC a Valor Presente 
FC a Valor Presente 
Acumulado 
0 - 1.000,00 - 1.000,00 - 1.000,00 
1 300,00 240,00 - 760,00 
2 400,00 256,00 - 504,00 
3 500,00 256,00 - 248,00 
4 500,00 204,80 - 43,20 
5 500,00 163,84 120,64 
 Ao final de 4 anos, já foram recuperados, a valor presente, R$ 956,80, mas ainda falta 
recuperar R$ 43,20 para igualar o investimento inicial de R$ 1.000,00. 
 No ano 5 ocorre uma entrada de R$ 163,84 em valor presente, mais do que suficiente para 
recuperar os R$ 43,20 restantes. 
 Portanto, o payback descontado desse projeto é 5 anos. 
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Slide 12 EEIMVR 
 Assumindo que o fluxo de caixa se distribui uniformemente ao longo do ano, pode-se 
calcular o payback descontado exato suficiente para recuperar o investimento inicial. 
 No Exemplo 9.1, ao final do ano 4 ainda falta recuperar R$ 43,20 (como visto na tabela da 
página anterior), e no ano 5 ocorre uma entrada de caixa de R$ 163,84 a valor presente. 
 Na verdade, apenas uma fração desses R$ 163,84 é necessária para completar a 
recuperação dos R$ 43,20 no ano 5. 
 0,26
163,84
43,20
ano 5º do Fração 
 Logo, o payback descontado exato é igual a 4,26 anos. 
 Observa-se que o projeto do Exemplo 9.1 tem um payback nominal de 2,60 anos e um 
payback descontado de 4,26 anos. 
 Cabe ao investidor estabelecer o payback esperado de seus projetos. 
 Se ele definisse que o payback descontado máximo aceitável fosse 4 anos, o projeto 
do Exemplo 9.1 não seria realizado, mesmo apresentando VPL positivo, TIR superior ao 
custo de capital, IR maior do que 1 e IL maior do que 0. 
Payback Descontado 
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Slide 13 EEIMVR 
 1,66 IR
14.545,45
9.606,52 14.545,45
Caixa) de (Saídas VP
 VPL Caixa) de (Saídas VP




 
Para calcular o Índice de Rentabilidade (IR), é necessário 
determinar o módulo do valor presente das saídas de caixa, 
e portanto é preciso calcular o valor presente do 
investimento de R$ 5.000,00 no ano 1. 
Exemplo 9.2: Um empreendedor fez uma projeção de fluxo de 
caixa de um novo projeto para sua empresa e está interessado 
em determinar sua viabilidade através do VPL, da TIR, do IR, do 
payback e do payback descontado. O custo de oportunidade é 
10% a.a.. 
Solução : Cálculo na HP-12C: VPL=9.606,52 e TIR=29,32% a.a. 
 
 
 
Ano Fluxo de Caixa 
0 - 10.000,00 
1 - 5.000,00 
2 7.000,00 
3 8.000,00 
4 9.000,00 
5 10.000,00 
[f] REG 
10.000,00 CHS [g] CF0 
5.000,00 CHS [g] CFj 
7.000,00 [g] CFj 
8.000,00 [g] CFj 
9.000,00 [g] CFj 
10.000,00 [g] CFj 
10 i 
[f] NPV 9.606,52 
[f] IRR 29,32 
[g] END 
5.000,00 CHS FV 
0,00 PMT 
10 i 
1 n 
PV 4.545,45 
Portanto, o módulo do VP das 
saídas de caixa é a soma de 
R$10.000,00 e R$4.545,45, 
totalizando R$ 14.545,45. 
O cálculo do IR é então feito 
conforme mostrado abaixo: 
Exercícios Resolvidos 
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Slide 14 EEIMVR 
Exemplo 9.2 (continuação): 
 O payback do projeto é exatamente 3 anos, período no qual é recuperado 
integralmente o investimento de R$ 15.000,00 (R$ 10.000,00 no ano 0 e R$ 
5.000,00 no ano 1). 
Ano Fluxo de Caixa 
Fluxo de Caixa 
Acumulado 
0 - 10.000,00 - 10.000,00 
1 - 5.000,00 - 15.000,00 
2 7.000,00 - 8.000,003 8.000,00 0,00 
4 9.000,00 9.000,00 
5 10.000,00 19.000,00 
Exercícios Resolvidos 
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Econômica 
 
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Slide 15 EEIMVR 
 0,45
6.147,12
2.749,81
ano 4º do Fração anos 3,45 exato descontado  payback 
Exemplo 9.2 (continuação): 
 Para determinar o payback descontado, nota-se que ainda falta recuperar R$ 2.749,81 ao 
final de 3 anos, a valor presente. Assim, o payback descontado do projeto é 4 anos. 
 Assumindo que os fluxos de caixa se distribuem uniformemente ao longo do ano, pode-se 
calcular o payback descontado exato. 
 No ano 4 ocorre uma entrada de caixa de R$ 6.147,12 a valor presente, sendo necessária 
apenas uma fração desse valor para recuperar totalmente os R$ 2.749,81 que ainda faltam. 
Ano Fluxo de Caixa FC a Valor Presente 
FC a Valor Presente 
Acumulado 
0 - 10.000,00 - 10.000,00 - 10.000,00 
1 - 5.000,00 - 4.545,45 - 14.545,45 
2 7.000,00 5.785,12 - 8.760,33 
3 8.000,00 6.010,52 - 2.749,81 
4 9.000,00 6.147,12 3.397,31 
5 10.000,00 6.209,21 9.606,52 
Exercícios Resolvidos 
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Slide 16 EEIMVR 
Exemplo 9.2 (continuação): 
Conclusões: 
 O VPL positivo de R$ 9.606,52 significa que o investimento de R$ 15.000,00 
(R$ 10.000,00 no ano 0 e R$ 5.000,00 no ano 1) está sendo remunerado a 10% 
a.a. e, além dessa remuneração, está gerando um aumento de riqueza de R$ 
9.606,52, expressa em valores atuais. Portanto, isso indica que o novo projeto da 
empresa é atrativo e viável, e deve ser realizado. 
 A taxa interna de retorno mede a rentabilidade do investimento (29,32% a.a.), 
superior à taxa de 10% a.a. (custo de oportunidade), indicando também que o 
investimento agrega valor, e conseqüentemente é viável. 
 O Índice de Rentabilidade (IR) igual a 1,66 indica que o projeto deve ser 
realizado, uma vez que o valor presente das entradas de caixa é superior ao 
módulo do valor presente das saídas de caixa. 
 O tempo de retorno do projeto é 3 anos (payback nominal) ou 3,45 anos 
(payback descontado). 
Exercícios Resolvidos 
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Slide 17 EEIMVR 
 O método da Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM) procura eliminar duas 
desvantagens do método da TIR: (i) a premissa de que todos os fluxos de caixa positivos 
são reinvestidos à taxa interna de retorno do projeto; (ii) respostas múltiplas (mais de um 
resultado para a TIR) em fluxos de caixa com mais de uma mudança de sinal. 
 O método da TIR considera que todos os fluxos de caixa positivos são reinvestidos com a 
TIR do projeto, o que só é válido se a taxa do projeto e o custo de oportunidade forem 
iguais. Caso contrário, os resultados são menos confiáveis, levando a erros de avaliação. 
 Quando o fluxo de caixa apresenta mais de uma mudança de sinal, o cálculo da TIR é mais 
complexo, uma vez que não existe uma fórmula específica. A TIR é a taxa de juros que zera 
o VPL de um fluxo de caixa, e portanto ela é obtida através da resolução de um 
polinômio de grau igual ao número de períodos do fluxo de caixa. 
 Assim, a TIR corresponde a uma das n raízes da equação de grau n que representa o valor 
presente líquido. No entanto, as únicas raízes que têm sentido econômico para a TIR são as 
que apresentam valores reais positivos. A regra de sinal de Descartes garante que os fluxos 
de caixa com apenas uma mudança de sinal têm apenas uma raiz real positiva. 
 Quando existe mais de uma mudança de sinal no fluxo de caixa, pode existir mais de uma 
raiz real positiva. A regra é que, para n mudanças de sinal, podem existir até n raízes reais e 
positivas. 
Taxa Interna de Retorno Modificada 
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Slide 18 EEIMVR 
 Pela TIRM, os fluxos negativos são trazidos a valor presente e os fluxos positivos 
são levados a valor futuro para o último período do fluxo. 
 As saídas e entradas de caixa passam a se concentrar nos instantes inicial e final, 
tornando direto o cálculo da taxa interna de retorno, já que só ocorre uma 
mudança de sinal no fluxo modificado (o qual é equivalente ao fluxo de caixa 
original). 
 
Taxa Interna de Retorno Modificada 
 1
PV
FV
TIRM - n 
0 1 2 n 3 4 5 
FV 
PV 
0 1 2 n 3 4 5 
FV 
PV 
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Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
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Análise de Investimentos – Parte 1 
 
Slide 19 EEIMVR 
Exemplo 9.3: Uma empresa de petróleo está analisando um 
projeto de exploração em um país emergente. A projeção do 
fluxo de caixa anual encontra-se ao lado, expresso em milhões de 
R$. O investimento adicional no final do projeto refere-se ao 
compromisso da empresa com o governo do país em reconstituir 
o ecossistema. Determinar o VPL e a TIR do projeto, sabendo 
que o custo de oportunidade de capital é estimado em 10% a.a.. 
Solução : 
 
 
 
Ano Fluxo de Caixa 
0 - 400,00 
1 200,00 
2 240,00 
3 300,00 
4 340,00 
5 - 700,00 
[f] REG 
400,00 CHS [g] CF0 
200,00 [g] CFj 
240,00 [g] CFj 
300,00 [g] CFj 
340,00 [g] CFj 
700,00 CHS [g] CFj 
10 i 
[f] NPV 3,14 
[f] IRR “ERROR” 
 Ao contrário dos Exemplos 9.1 e 9.2, a HP-12C não encontra 
diretamente a TIR, pois o cálculo é mais complexo quando 
existe mais de uma mudança de sinal do fluxo de caixa. 
 No presente Exemplo, ocorrem duas mudanças de sinal: de 0 
para o 1º ano e do 4º para o 5º ano. Logo, podem existir duas 
TIR positivas. 
 É preciso fornecer à calculadora um valor de taxa próximo do 
valor da TIR procurada. Como o custo de oportunidade é 10% 
a.a., serão aleatoriamente consideradas duas estimativas 
iniciais próximas: 5% a.a. e 15% a.a.. 
 Nesse caso, são usadas as funções [RCL] [g] [R/S]. 
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Econômica 
 
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Slide 20 EEIMVR 
Exemplo 9.3 (continuação): 
 Como esperado, o fluxo de caixa apresenta duas taxas internas 
de retorno: 5,76% a.a. e 14,28% a.a.. 
 Para usar a rotina e as funções [RCL] [g] [R/S], é preciso 
conhecer os valores aproximados das TIRs. 
 Assim, são calculados os VPLs para diferentes custos de capital, 
e avaliados os dados numa tabela ou gráfico (veja a tabela 
abaixo), para facilitar a definição das estimativas para TIR. 
 
 
[f] REG 
400,00 CHS [g] CF0 
200,00 [g] CFj 
240,00 [g] CFj 
300,00 [g] CFj 
340,00 [g] CFj 
700,00 CHS [g] CFj 
10 i 
[f] NPV 3,14 
[f] IRR “ERROR” 
5 [RCL] [g] [R/S] 5,76 
15 [RCL] [g] [R/S] 14,28 
 Analisando os dados à esquerda, pode-se 
observar que existe uma TIR entre 5% 
a.a. e 7,5% a.a, pois o VPL passa de 
negativo (- 1,43) a positivo (2,22). 
i (% a.a.) VPL (106 R$) 
0,00 % - 20,00 
2,50 % - 8,54 
5,00 % - 1,43 
7,50 % 2,22 
10,00 % 3,14 
12,50 % 1,92 
15,00 % - 0,99 
17,50 % - 5,19 
20,00 % - 10,40 
 Além dela, uma outra TIR ocorre entre 12,5% a.a. e 15% a.a., 
onde o VPL passa de positivo (1,92) para negativo (- 0,99). 
 Essa análise dos dados da tabela à esquerda permite definir as 
estimativas de 5% a.a. e de 15% a.a. para a TIR, que foram 
usadas no cálculo com a HP-12C (tabela ao alto, do lado direito). 
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Slide 21 EEIMVR 
Exemplo 9.3 (continuação): 
 Uma outramaneira de se analisar os dados de VPL em função do custo de capital, de modo 
a identificar estimativas para a TIR, seria através de gráfico (conforme mostrado abaixo). 
 
 
TIR = 14,28 % 
Custo de Capital 
(% a.a.) 
V
a
lo
r 
 P
re
s
e
n
te
 
L
íq
u
id
o
 (
1
0
6
 R
$
) 
 0,00 
- 5,00 
- 10,00 
- 15,00 
2,50 5,00 7,50 10,00 12,50 
- 20,00 
15,00 17,50 20,00 
TIR = 5,76 % 
Exercícios Resolvidos 
i (% a.a.) VPL (106 R$) 
0,00 % - 20,00 
2,50 % - 8,54 
5,00 % - 1,43 
7,50 % 2,22 
10,00 % 3,14 
12,50 % 1,92 
15,00 % - 0,99 
17,50 % - 5,19 
20,00 % - 10,40 
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Slide 22 EEIMVR 
Exemplo 9.3 (continuação): 
 
 
 No Microsoft Excel, a função TIR (ou IRR) tem dois 
argumentos: o campo de valores do fluxo de caixa e um 
campo de estimativa. 
 O campo de “estimativa” representa um número que se 
estima ser próximo da TIR, que pode ser omitido ou não. 
Se a estimativa for omitida, o Excel considera o valor 0,1 
(10%). 
 Quando existe mais de uma mudança de sinal no fluxo 
de caixa, o campo de “estimativa” deve ser usado para 
calcular as outras TIRs. 
 No Exemplo atual, se o campo de “estimativa” for 15% 
a.a. (ou omitido), a TIR encontrada pelo Excel será 
14,28% a.a.. 
 Caso a estimativa seja 5% a.a., a TIR encontrada pelo 
Excel será 5,76% a.a.. 
 
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Exemplo 9.3 (continuação): 
 
 
 O projeto do presente Exemplo tem um VPL positivo (R$ 3,14 milhões), 
significando que os investimentos de R$ 400,00 milhões (ano 0) e R$ 700,00 milhões 
(ano 5) estão sendo remunerados a 10% a.a. e, além dessa remuneração, estão 
gerando um aumento de riqueza de R$ 3,14 milhões, expressa em valores atuais. 
 A análise de viabilidade econômica do projeto realizada pela TIR leva a uma 
inconsistência, pelo fato de existirem duas TIRs: a menor (5,76% a.a.) é inferior 
ao custo de capital, recomendando a não-realização do projeto; por outro lado, a 
maior (14,28% a.a.) é superior ao custo de capital, indicando que o projeto é 
atrativo. 
 Quando existe um fluxo de caixa com mais de uma mudança de sinal, o método 
da taxa interna de retorno não deve ser utilizado diretamente. Nesses casos, o 
recomendado é trabalhar com a taxa interna de retorno modificada (TIRM), 
trazendo a valor presente os fluxos negativos e levando a valor futuro (para o último 
período) os fluxos positivos. 
 As saídas e entradas de caixa passam a se concentrar nos instantes inicial e final, 
tornando o cálculo da taxa de retorno direto. 
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Slide 24 EEIMVR 
Exemplo 9.3 (continuação): Cálculo do valor presente dos fluxos negativos e do 
valor futuro dos fluxos positivos, utilizando o custo de capital de 10% a.a.. 
 
 
Ano Fluxo de Caixa PV (Negativos) FV (Positivos) 
0 - 400,00 - 400,00 
1 200,00 292,82 
2 240,00 319,44 
3 300,00 363,00 
4 340,00 374,00 
5 - 700,00 - 434,64 
Soma - 834,64 1.349,26 
Exercícios Resolvidos 
0 1 2 3 4 5 
FV 
PV 
0 1 2 3 4 5 
FV 
PV 
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Slide 25 EEIMVR 
Exemplo 9.3 (continuação): O fluxo de caixa modificado apresenta apenas uma 
mudança de sinal, possibilitando o cálculo direto do VPL e da TIR. 
 
Ano 
Fluxo de Caixa 
Modificado 
0 - 834,64 
1 0,00 
2 0,00 
3 0,00 
4 0,00 
5 1.349,26 
[f] REG 
834,64 CHS [g] CF0 
0,00 [g] CFj 
4 [g] Nj 
1.349,26 [g] CFj 
10 i 
[f] NPV 3,14 
[f] IRR 10,08 
 O fluxo modificado apresenta VPL igual ao do fluxo original (R$ 3,14 milhões), ou 
seja, os fluxos são diferentes mas são equivalentes à taxa de 10% a.a.. 
 A taxa interna de retorno do fluxo modificado é a TIRM (10,08% a.a.). 
 1
PV
FV
TIRM - n 
3,14
10%)(1
1.349,26
834,64 VPL
5
 

 a.a. % 10,08 1
834,64
1.349,26
TIRM  - 5 
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Slide 26 EEIMVR 
Exemplo 9.3 (continuação): O Microsoft Excel tem uma função que calcula 
diretamente a TIRM a partir do fluxo de caixa original, poupando o trabalho de 
construção do fluxo de caixa modificado. 
Versão em Inglês Versão em Português 
MIRR (Value; FinRate; ReinvRate) MTIR (Valores; TaxaFin; TaxaReinv) 
 O método da taxa interna de retorno modificada pode ser mais genérico e 
realista, permitindo que as parcelas recebidas (positivas) sejam levadas a valor 
futuro a uma taxa (“taxa de reinvestimento”) que pode ser diferente da 
taxa usada para trazer a valor presente as parcelas negativas (“taxa de 
financiamento”). 
 A utilização de taxas diferentes deve ser feita quando a empresa vislumbrar 
reaplicações das entradas de caixa a uma taxa (“taxa de reinvestimento”) 
diferente do custo para obtenção dos recursos (“taxa de financiamento”). 
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Slide 27 EEIMVR 
Exemplo 9.3 (continuação): Cálculo da TIRM no Microsoft Excel 
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Slide 28 EEIMVR 
Exercícios Propostos 
Mês Fluxo de Caixa 
0 - 750,00 
1 - 500,00 
2 0,00 
3 0,00 
4 100,00 
5 200,00 
6 300,00 
7 300,00 
8 300,00 
9 400,00 
1: Um estudante está analisando a possibilidade de fazer um projeto de 
investimento, cujo fluxo de caixa previsto é mostrado na tabela abaixo. 
Determinar sua viabilidade através do VPL, TIR, IR, payback e payback 
descontado, sabendo-se que o custo de capital é 1% a.m.. 
 
 
 
 
 
 
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Slide 29 EEIMVR 
Exercícios Propostos 
Ano Fluxo de Caixa 
0 - 5.000,00 
1 1.000,00 
2 2.000,00 
3 3.000,00 
4 4.000,00 
5 5.000,00 
2: Uma empresa está analisando a viabilidade de um 
projeto com vida útil de 5 anos (tabela ao lado), que 
exigirá um investimento de R$ 5.000,00. Determinar o 
VPL, TIR, IR, payback e payback descontado, 
sabendo-se que o custo de oportunidade é 10% a.a.. 
3: Um empreendedor fez uma projeção de fluxo de 
caixa (tabela ao lado) de um novo projeto para a sua 
empresa e está interessado em determinar sua 
viabilidade através do VPL, TIR, IR, payback e payback 
descontado. Ajude-o nessa análise de viabilidade, 
sabendo que o custo de oportunidade é 12% a.a.. 
4: Um aposentado está pensando em investir num 
novo projeto de investimento, com fluxo de caixa 
previsto na tabela ao lado. Determinar o VPL, TIR, IR, 
payback e payback descontado, sabendo-se que o 
custo de capital é 1% a.m.. 
 
 
Ano Fluxo de Caixa 
0 - 18.000,00 
1 - 3.000,00 
2 5.000,00 
3 7.000,00 
4 10.000,00 
5 14.000,00 
Mês Fluxo de Caixa 
0 - 1.500,00 
1 - 1.000,00 
2 750,00 
3 1.250,00 
4 1.500,00 
5 0,00 
6 1.750,00 
Fundamentos da Engenharia 
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Slide 30 EEIMVR 
Exercícios Propostos 
AnoFluxo de Caixa A Fluxo de Caixa B 
0 - 4.000,00 1.000,00 
1 25.000,00 - 3.000,00 
2 - 25.000,00 2.500,00 
5: Determinar a taxa interna de retorno de cada um dos fluxos de caixa abaixo.