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Universidade Federal Fluminense Instituto de Matema´tica e Estatı´stica Departamento de Matema´tica Aplicada Ca´lculo 3A – Lista 9 Exerc´ıcio 1: Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v) = ( v cosu, v sen u, 1− v2) com 0 ≤ u ≤ 2π e v ≥ 0. a) Identifique esta superf´ıcie. b) Encontre uma equac¸a˜o da reta normal e a equac¸a˜o do plano tangente a S em ϕ(0, 1). Soluc¸a˜o: a) As equac¸o˜es parame´tricas de S sa˜o x = v cosu y = v sen u z = 1− v2 , com 0 ≤ u ≤ 2π e v ≥ 0. Eliminando os paraˆmetros u e v, temos x2 + y2 = v2 = 1− z ou z = 1− x2 − y2 (parabolo´ide circular). b) Um vetor normal de S em ϕ(0, 1) = (1, 0, 0) e´: −→ N (0, 1) = ∂ϕ ∂u (0, 1)× ∂ϕ ∂v (0, 1) = = (−v sen u, v cos u, 0)× (cosu, sen u,−2v) ∣∣∣ (0,1) = = (0, 1, 0)× (1, 0,−2) = ∣∣∣∣∣∣ −→ i −→ j −→ k 0 1 0 1 0 −2 ∣∣∣∣∣∣ = = (−2, 0,−1) . Equac¸a˜o do plano tangente a S em ϕ(0, 1) = (1, 0, 0) Da fo´rmula [ (x, y, z)− ϕ(0, 1)] · −→N (0, 1) = 0 temos:[ (x, y, z)− (1, 0, 0)] · (−2, 0,−1) = 0 ⇒ (x− 1, y, z) · (−2, 0,−1) = 0 ⇒ ⇒ −2(x− 1)− z = 0 ⇒ 2x+ z − 2 = 0 . Equac¸a˜o da reta normal a S em ϕ(0, 1) = (1, 0, 0) Da fo´rmula [ (x, y, z)− ϕ(0, 1)] = λ−→N (0, 1), com λ ∈ R, temos:[ (x, y, z)− (1, 0, 0)] = λ(−2, 0,−1) Ca´lculo 3A Lista 9 138 com λ ∈ R que e´ a equac¸a˜o vetorial da reta normal ou x = 1− 2λ y = 0 z = −λ com λ ∈ R, que sa˜o equac¸o˜es parame´tricas da reta normal. Exerc´ıcio 2: Encontre uma representac¸a˜o parame´trica para a superf´ıcie a) S : parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que fica acima do plano z = √ 2 . b) S : parte do cilindro x2 + y2 = 4 que fica entre os planos z = −2 e y + z = 2. c) S : parte do plano x+ y + z = 2 no interior do cilindro x2 + y2 = 1. d) S : cone gerado pela semirreta z = 2y, y ≥ 0, girando-a em torno do eixo z. Soluc¸a˜o: a) O esboc¸o de S e´ a figura a seguir. x y z √ 2 √ 2 √ 2 2 2 2 φ Se (x, y, z) ∈ S enta˜o x = 2 senφ cos θ y = 2 senφ sen θ z = 2 cosφ . Da figura vemos que { 0 ≤ θ ≤ 2π cosφ = √ 2/2 ⇒ φ = π/4 . Portanto, uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por ϕ(φ, θ) = (2 senφ cos θ, 2 senφ sen θ, 2 cosφ) com (φ, θ) ∈ D : { 0 ≤ φ ≤ π/4 0 ≤ θ ≤ 2π . UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 139 b) O esboc¸o de S esta´ representado na figura a seguir. x y z S 2 2 2 −2 Se (x, y, z) ∈ S enta˜o x = 2 cos t y = 2 sen t z = z , com 0 ≤ t ≤ 2π e −2 ≤ z ≤ ≤ 2− y = 2− 2 sen t. Enta˜o uma parametrizac¸a˜o de S e´ ϕ(t, z) = (2 cos t, 2 sen t, z) com (t, z) ∈ D : { 0 ≤ t ≤ 2π −2 ≤ z ≤ 2− 2 sen t . c) O esboc¸o de S esta´ representado na figura a seguir. x y z S 2 2 2 1 1 UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 140 Se (x, y, z) ∈ S enta˜o z = 2− x− y com (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 1. Enta˜o, uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por φ(x, y) = (x, y, 2− x− y). Uma outra parametrizac¸a˜o de S e´ dada por ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, 2− r cos θ − r sen θ) com (r, θ) ∈ D : { 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2π . d) O esboc¸o de S e´ esta´ representado na figura a seguir. x y z C Uma parametrizac¸a˜o de C e´ dada por x(t) = 0 y(t) = t z(t) = 2t com t ≥ 0. Se (x, y, z) ∈ S enta˜o (x, y, z) pertence a` circunfereˆncia de raio y(t) = t e de centro (0, 0, z(t)) = (0, 0, 2t). Enta˜o x = t cos θ y = t sen θ z = 2t com t ≥ 0 e θ ∈ [0, 2π]. Assim, uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por ϕ(t, θ) = (t cos θ, t sen θ, 2t) com (t, θ) ∈ D : t ≥ 0, θ ∈ [0, 2π]. Exerc´ıcio 3: a) Encontre uma parametrizac¸a˜o para a superf´ıcie obtida girando-se o c´ırculo (x− a)2+ z2 = r2, com 0 < r < a, em torno do eixo z (esta superf´ıcie e´ chamada toro). b) Encontre um vetor normal a` esta superf´ıcie. UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 141 Soluc¸a˜o: a) Inicialmente vamos parametrizar o c´ırculo que esta´ no plano xz. Temos que { x(t) = a+ r cos t y(t) = r sen t , com 0 ≤ t ≤ 2π. Seja (x, y, z) ∈ S. Temos x = x(t) cos θ y = y(t) sen θ z = z(t) com 0 ≤ t ≤ 2π e 0 ≤ θ ≤ 2π. Enta˜o, uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por ϕ(θ, t) = ( (a + r cos t) cos θ, (a + r cos t) sen θ, r sen t ) com 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ t ≤ 2π. Um vetor normal a` S e´ dado por −→ N (θ, t) = ∂ϕ ∂θ (θ, t)× ∂ϕ ∂t (θ, t) onde ∂ϕ ∂θ = (− (a+ r cos t) sen θ, (a+ r cos t) cos θ, 0) ∂ϕ ∂t = (−r sen t cos θ,−r sen t sen θ, r cos t) . Logo: −→ N (θ, t) = ∣∣∣∣∣∣ −→ i −→ j −→ k −(a + r cos t) sen θ (a+ r cos t) cos θ 0 −r sen t cos θ −r sen t sen θ r cos t ∣∣∣∣∣∣ = = ( r(a+ r cos t) cos θ cos t, r(a+ r cos t) sen θ cos t, r(a+ r cos t) sen t ) = = (a+ r cos t)(r cos θ cos t, r sen θ cos t, r sen t) . Exerc´ıcio 4: Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 4, com 0 ≤ z ≤ 5, delimitada pelos semiplanos y = x e y = 2x, com x ≥ 0. a) Obtenha uma parametrizac¸a˜o de S. b) Calcule a a´rea de S. Soluc¸a˜o: O esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue. UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 142 x y z S θ = arctg 2 θ = pi/4 y = x y = 2x 2 2 5 Adotando as coordenadas cil´ındricas θ e z como paraˆmetros temos S : ϕ(θ, z) = (2 cos θ, 2 sen θ, z) com (θ, z) ∈ D : { 0 ≤ z ≤ 5 π/4 ≤ θ ≤ arctg 2 . b) Temos: A(S) = ∫∫ D ∣∣∣∣ϕθ × ϕz∣∣∣∣ dθdz onde ϕθ × ϕz = ∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k −2 sen θ 2 cos θ 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2 cos θ, 2 sen θ, 0) e ∣∣∣∣ϕθ × ϕz∣∣∣∣ = √4 cos2 θ + 4 sen2 θ = √4 = 2 . Enta˜o: A(S) = ∫∫ D 2 dθdz = 2 ∫ arctg 2 pi/4 ∫ 5 0 dzdθ = 10 ∫ arctg 2 pi/4 dz = = 10 ( arctg 2− pi 4 ) u.a. Exerc´ıcio 5: Seja a superf´ıcie S parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4, interior ao cone z = √ x2 + y2 3 . UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 143 a) Parametrize S usando coordenadas cartesianas como paraˆmetros. b) Parametrize S usando coordenadas polares como paraˆmetros. c) Parametrize S usando coordenadas esfe´ricas como paraˆmetros. d) Calcule a a´rea de S. Soluc¸a˜o: a) De x2 + y2 + z2 = 4 e z = √ x2 + y2 3 , temos x2 + y2 + x2 + y2 3 = 4 donde x2 + y2 = 3. Logo, a intersec¸a˜o e´ a circunfereˆncia x2 + y2 = 3 e ocorre no plano z = 1. Assim, o esboc¸o de S esta´ representado na figura a seguir. x y z S D α √ 3 √ 3 1 2 2 2 Temos S : ϕ(x, y) = ( x, y, √ 4− x2 − y2 ) , com (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 3. b) Usando as coordenadas polares, temos x = r cos θ, y = r sen θ, e z = √ 4− r2, com 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Logo, temos S : ϕ(r, θ) = = (r cos θ, r sen θ,√4− r2), com (r, θ) ∈ D : 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π. c) As coordenadas esfe´ricas sa˜o: ρ, φ e θ. Em S, temos que ρ = 2. Logo, x = 2 sen φ cos θ, y = 2 senφ sen θ e z = 2 cosφ. Temos tgα = √ 3/1, donde α = π/3. Assim, S pode ser definida por: S : ϕ(φ, θ) = (2 senφ cos θ, 2 senφ sen θ, 2 cosφ) com (φ, θ) ∈ D : { 0 ≤ φ ≤ π/3 0 ≤ θ ≤ 2π . UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 144 d) Usando o item (c), temos que dS = ρ2 sen φ dφdθ = 4 senφ dφdθ. Temos que, A(S) = ∫∫ S dS = ∫∫ D 4 senφ dφdθ = 4 ∫ pi/3 0 ∫ 2pi 0 sen φ dθdφ = = 8π ∫ pi/3 0 sen φ dφ = 8π [− cosφ]pi/3 0 = 8π ( 1− 1 2 ) = 4π u.a. Exerc´ıcio 6: Seja a superf´ıcie S parte do cone z2 = x2 + y2 que se encontra dentro do cilindro x2 + y2 ≤ 2y, fora do cilindro x2 + y2 ≤ 1 e acima do plano xy. a) Parametrize S usando coordenadas cartesianas. b) Parametrize S usando coordenadas polares. c) Calcule a a´rea de S. Soluc¸a˜o: a) O esboc¸o de S esta´ representado na figura a seguir. x y z D S 1 2 2 x y D α 1 2 ( − √ 3/2 , 1/2 ) (√ 3/2 , 1/2 ) Adotando x e y como paraˆmetros, temos S : ϕ(x, y) = ( x, y, √ x2 + y2 ) , com (x,y) ∈ D. b) Adotando r e θ como paraˆmetros, temos x = r cos θ, y = r sen θ e z = √ x2 + y2 = r. Vamos descrever D em coordenadas polares. UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 145 Temos tgα = (1/2)/( √ 3/2), donde α = π/6. Logo, π/6 ≤ θ ≤ 5π/6. De x2 + y2 = 2y, temos r2 = 2r sen θ, donde r = 2 sen θ. Logo, 1 ≤ r ≤ 2 sen θ. Enta˜o, temos S : ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, r), com 1 ≤ r ≤ 2 sen θ e π/6 ≤ θ ≤ 5π/6. c) De (a) temos que S e´ dada por S : z = √ x2 + y2, com (x, y) ∈ D. Enta˜o: A(S) = ∫∫ D √ 1 + (zx) 2 + (zy) 2 dxdy = = ∫∫ D √ 1 + ( x√ x2 + y2 )2 + ( y√ x2 + y2 )2 dxdy = = ∫∫ D √ 1 + x2 + y2 x2 + y2 dxdy = √ 2 ∫∫ D dxdy = = √ 2 ∫ 5pi/6 pi/6 ∫ 2 sen θ 1 r drdθ = √ 2 ∫ 5pi/6 pi/6 [ r2 2 ]2 sen θ 1 dθ = = √ 2 2 ∫ 5pi/6 pi/6 ( 4 sen2 θ − 1) dθ = √2 2 [ 4 2 ( θ − sen 2θ 2 ) − θ ]5pi/6 pi/6 = = √ 2 2 [ θ − sen 2θ]5pi/6 pi/6 = √ 2 2 [( 5pi 6 − sen 5pi 3 ) − ( pi 6 − sen pi 3 )] = = √ 2 2 ( 2pi 3 + 2 sen pi 3 ) = √ 2 2 ( 2pi 3 + √ 3 ) u.a. Exerc´ıcio 7: Considere o parabolo´ide S = { (x, y, z) ∈ R3; z = x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 1} . a) Parametrize S usando coordenadas cartesianas. b) Parametrize S usando coordenadas cil´ındricas. c) Calcule a a´rea de S. Soluc¸a˜o: O esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue. a) Adotando x e y como paraˆmetros temos S : ϕ(x, y) = (x, y, x2 + y2), com (x, y) ∈ D : x2+y2 ≤ 1. b) Adotando r e θ como paraˆmetros temos S : ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, r2), com (r, θ) ∈ D :{ 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2π . UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 146 x y z S D−1 1 1 c) Como S e´ gra´fico de z = f(x, y) = x2 + y2, (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 1, enta˜o: A(S) = ∫∫ D √ 1 + (zx)2 + (zy)2 dxdy = ∫∫ D √ 1 + 4x2 + 4y2 dxdy . Usando coordenadas polares, temos x2 + y2 = r2, dxdy = rdrdθ e Drθ : { 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2π . Enta˜o: A(S) = ∫∫ Drθ √ 1 + 4r2 r drdθ = ∫ 1 0 ∫ 2pi 0 ( 1 + 4r2 )1/2 r dθdr = = 2π ∫ 1 0 ( 1 + 4r2 )1/2 r dr . Fazendo u = 1 + 4r2 temos du = 8rdr (ou rdr = du/8). Para r = 0 temos u = 1 e para r = 1 temos u = 5. Enta˜o: A(S) = 2π ∫ 5 1 u1/2 du 8 = 2pi 8 · 2 3 [ u3/2 ]5 1 = pi 6 (5 √ 5− 1) u.a. Observac¸a˜o: Usando a parametrizac¸a˜o encontrada em (b) temos A(S) = ∫∫ D ∣∣∣∣ϕr × ϕθ∣∣∣∣ drdθ . Enta˜o, calculamos as derivadas parciais ϕr e ϕθ, o produto vetorial ϕr×ϕθ e sua norma e em seguida a integral. Exerc´ıcio 8: Determine a a´rea da porc¸a˜o S do cilindro x2 + y2 = 1 entre os planos z = y e z = 2y. Soluc¸a˜o: O esboc¸o de S esta´ representado na figura a seguir. UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 147 x y z S1 S2 1 1 Temos S = S1∪S2, donde A(S) = A(S1)+A(S2) = 2A(S1) por simetria. A superf´ıcie S1 e´ a porc¸a˜o de S acima do plano xy e e´ dada por S1 : ϕ(t, z) = = (cos t, sen t, z) com (t, z) ∈ D : { 0 ≤ t ≤ π sen t ≤ z ≤ 2 sen t . Temos ϕt × ϕz = ∣∣∣∣∣∣ −→ i −→ j −→ k − sen t cos t 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ = (cos t, sen t, 0) donde, ‖ϕt × ϕz‖ = 1. Como A(S1) = ∫∫ D ‖ϕt × ϕz‖ dtdz enta˜o A(S1) = ∫∫ D dtdz = ∫ pi 0 ∫ 2 sen t sen t dzdt = ∫ pi 0 (2 sen t− sen t) dt = = ∫ pi 0 sen t dt = [ − cos t ]pi 0 = 2 . Logo: A(S) = 2 · 2 = 4 u.a. UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 148 Exerc´ıcio 9: Calcule a a´rea da superf´ıcie do cone z = √ x2 + y2 que esta´ entre o plano xy e o plano z − y 2 = 1. Soluc¸a˜o: De z = √ x2 + y2 e z − y 2 = 1 temos que: x2 + y2 = ( 1 + y 2 )2 ⇒ x2 + y2 = 1 + y + y 2 4 ⇒ x2 + 3 4 y2 − y = 1 ⇒ ⇒ x2 + 3 4 ( y2 − 4 3 y + 4 9 ) = 1 + 1 3 ⇒ x2 + 3 4 ( y − 2 3 )2 = 4 3 ⇒ ⇒ x 2 4/3 + (y − 2/3)2 16/9 = 1 . Assim, o esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue. x y z S D−2/3 2/3 1 2 Temos S : z = √ x2 + y2, com (x, y) ∈ D : x 2 4/3 + (y − 2/3)2 16/9 ≤ 1. Enta˜o: A(S) = ∫∫ D √ 1 + (zx)2 + (zy)2 dxdy onde zx = x√ x2 + y2 zy = y√ x2 + y2 . UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 149 Logo: A(S) = ∫∫ D √ 1 + x2 x2 + y2 + y2 x2 + y2 dxdy = ∫∫ D √ 1 + 1 dxdy = = √ 2A(D) = √ 2πab onde a = 2/ √ 3 e b = 4/3. Portanto: A(S) = √ 2π 8 3 √ 3 = 8pi √ 6 9 u.a. Exerc´ıcio 10: Calcule a a´rea da superf´ıcie esfe´rica x2 + y2 + z2 = 9 que esta´ no interior do cilindro x2 + y2 = 3x. Soluc¸a˜o: A superf´ıcie S = S1 ∪ S2 esta´ ilustrada na figura a seguir. x y z S1 S2 C1 C2 3/2 3 3 3 x y z S1 S2 C1 C2 3/2 3 3 3 x y z S1 S2 C1 C2 3/2 3 3 3 x y z S1 S2 C1 C2 3/2 3 3 3 Por simetria, A(S1) = A(S2). Logo, A(S) = 2A(S1). Temos que S1 e´ definida por S1 : z = UFF IME - GMA Ca´lculo 3A Lista 9 150 √ 9− x2 − y2 = f(x, y), com (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 3x. Temos: A(S1) = ∫∫ D √ 1 + ( ∂f ∂x )2 + ( ∂f ∂y )2 dx dy = = ∫∫ D √ 1 + x2 + y2 9− x2 − y2 dx dy = ∫∫ D 3√ 9− x2 − y2 dx dy . Em coordenadas polares temos: A(S1) = 3 ∫∫ Drθ = 3 ∫∫ Drθ (9− r2)− 1 2 r dr dθ onde Drθ = { (r, θ) ∈ R2; −π/2 ≤ θ ≤ π/2 , 0 ≤ r ≤ 3 cos θ} . Enta˜o: A(S1) = 3 −2 ∫ pi/2 −pi/2 ∫ 3 cos θ 0 (9− r2)−1/2 d(9− r2) = = −3 2 · 2 ∫ pi/2 −pi/2 [( 9− r2)1/2]3 cos θ 0 dθ = = −3 ∫ pi/2 −pi/2 [( 9 sen2θ )1/2 − 91/2] dθ = −3 ∫ pi/2 −pi/2 3| sen θ| − 3 dθ = = 9 ( π − ∫ 0 −pi/2 (− sen θ) dθ − ∫ pi/2 0 sen θ dθ ) = = 9 ( π + [ − cos θ ]0 −pi/2 + [ cos θ ]pi/2 0 ) = 9(π − 2) . Logo: A(S) = 18(π − 2) u.a. UFF IME - GMA
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