Questão resolvida - Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x2y2 4 de modo que a densidade de carga em (x,y) seja (x,y) xyxy. Sabendo disso, determine a carga total no disco, medida em coulomb

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco de modo que a x + y ≤ 42 2
densidade de carga em seja . Sabendo disso, x, y( ) 𝜎 x, y = x + y + x + y( ) 2 2
determine a carga total no disco, medida em coulombs por metro quadrado. 
Demonstrar todos os cálculos.
 
Resolução:
 
A carga total distribuida no disco é dada pela integral dupla das cargas distribuídas sobre a 
área, ou seja;
 
Q = 𝜎 x, y dA∫∫ ( )
 
Substituindo a equação da densidade de cargas, fica;
 
Q = x + y + x + y dA∫∫ 2 2
 
Devemos passar a integração para coordenadas polares, com;
 
 
x = rcos 𝜃 e y = rsen 𝜃 ( ) ( )
Com isso, a integral fica;
 
Q = rcos 𝜃 + rsen 𝜃 + rcos 𝜃 + rsen 𝜃 dA = rcos 𝜃 + rsen 𝜃 + r cos 𝜃 + r sen 𝜃 dA∫∫ ( ) ( ) ( ( ))2 ( ( ))2 ∫∫ ( ) ( ) 2 2( ) 2 2( )
 
= rcos 𝜃 + rsen 𝜃 + r cos 𝜃 + sen 𝜃 dA∫∫ ( ) ( ) 2 2( ) 2( )
 
Sabemos que : cos 𝜃 + sen 𝜃 = 12( ) 2( )
 
Q = rcos 𝜃 + rsen 𝜃 + r 1 dA Q = rcos 𝜃 + rsen 𝜃 + r dA∫∫ ( ) ( ) 2( ) → ∫∫ ( ) ( ) 2
 
 Os limites de integração são definidos pelos infinitos discos de equação;
 
x + y ≤ 4, para x + y = 4 x + y = 22 2 2 2 → 2 2 ( )2
 
 
 
Com isso, temos que o maior dos discos tem raio 3, assim, o limite de integração do raio vai 
de 0 a 2;
Já o ângulo pecorrido será de uma volta completa, ou seja, 360°; assim, o limite de 
integração do ângulo vai de 0 a . Com isso, a integral fica:2𝜋
 
Q = rcos 𝜃 + rsen 𝜃 + r dA = rcos 𝜃 + rsen 𝜃 + r rdrd𝜃∫∫ ( ) ( ) 2
0
∫
2𝜋 2
0
∫ ( ) ( ) 2
= r cos 𝜃 + r sen 𝜃 + r drd𝜃 = cos 𝜃 + sen 𝜃 + d𝜃
0
∫
2𝜋 2
0
∫ 2 ( ) 2 ( ) 3
0
∫
2𝜋 r
3
3
( )
r
3
3
( )
r
4
4 2
0
 
= cos 𝜃 + sen 𝜃 + - cos 𝜃 + sen 𝜃 + d𝜃
0
∫
2𝜋 2
3
( )3
( )
2
3
( )3
( )
2
4
( )4 0
3
( )3
( )
2
3
( )3
( )
0
4
( )4
 
= cos 𝜃 + sen 𝜃 + d𝜃 = cos 𝜃 + sen 𝜃 + 4 d𝜃
0
∫
2𝜋 8
3
( )
8
3
( )
16
4 0
∫
2𝜋 8
3
( )
8
3
( )
 
= sen 𝜃 - cos 𝜃 + 4𝜃 = sen 2𝜋 - cos 2𝜋 + 4 ⋅ 2𝜋 - sen 0 - cos 2𝜋 + 4 ⋅ 09
2
( )
8
3
( )
2𝜋
0
8
3
( )
8
3
( )
8
3
( )
8
3
( )
 
= ⋅ 0 - ⋅ 1 + 8𝜋 - ⋅ 0 + ⋅ 1 - 0 = - + 8𝜋 + = =8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
-8 + 24𝜋 + 8
3
24𝜋
3
 
Q = 8𝜋 C / m2
 
 
(Resposta )