1 - Conjuntos Numéricos

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Conjuntos Numéricos
Ana Lucia F S Nogueira
Conjuntos Numéricos
	A história dos números está diretamente ligada à própria história do homem pela necessidade de dimensionar os fenômenos com os quais se relaciona. Assim, as técnicas de contagens, medidas e cálculos foram paulatinamente impondo a necessidade de se criarem sistemas simbólicos que representem a quantificação de grandezas e valores.
Números Naturais
	Os números naturais são o modelo matemático necessário para efetuar uma contagem. Vamos adotar o conjunto dos números naturais como o conjunto infinito N, indicado por:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}
 
	Observe que todo número natural tem um sucessor. 
Usamos o símbolo (*) para indicar a exclusão do elemento 0 (zero) de qualquer conjunto numérico.
N* = { 1, 2, 3, 4, ...}
Números inteiros
	O conjunto dos números inteiros é o conjunto Z infinito e indicado por:
Z= {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
 
	É comum usar o símbolo (+) para exclusão dos negativos e (-) para exclusão dos positivos. Dessa maneira, podemos escrever alguns subconjuntos de Z:
Z+ = {0, 1, 2, 3,...}
Z- = {..., -3, -2, -1, 0}
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...}
Z*- = {..., -4, -3, -2, -1,}
Como todo número natural é também um inteiro, podemos escrever N Z.
Números Racionais
	Observe que na divisão continuada do numerador p pelo denominador q, só podem ocorrer q restos diferentes, daí a periodicidade.
Generalizando:
	Note que todo número inteiro é também um número racional, pois pode ser expresso na forma . Logo, Z Q.
	Admite-se também as notações Q+, Q- , Q*+ e Q*- para subconjuntos de Q.
Números reais
	Os números reais R são o modelo matemático para expressar as medidas. Formam um conjunto de números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou decimal infinita e periódica ou decimal infinita não periódica. Quando é finita ou infinita e periódica, tem-se um número racional. Caso contrário, tem-se um número irracional. Todo numero racional é um número real. Portanto, Q R.
	Veja alguns exemplos de números reais que são irracionais
Admitem-se também para os números reais as notações: R*, R+, R-, R*+ e R*-.
Propriedades:
Intervalos
Intervalos limitados:
1- Intervalo fechado: Números reais maiores do que a ou iguais a a e menores que b ou iguais a b.
Intervalo [a,b]
Conjunto:{x R/ a ≤ x ≤ b}
2- Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do que b.
Intervalo (a,b)
Conjunto: {x R / a < x < b}
3- Intervalo fechado à esquerda: Números reais maiores do que a ou iguais a a e menores que b.
Intervalo: [a, b)
Conjunto: {x R / a ≤ x < b}
4- Intervalo fechado à direita: Números reais maiores do que a e menores do que b ou iguais a b.
Intervalo: (a, b]
Conjunto: {x R / a < x ≤ b}
Intervalos ilimitados: 
1- Semi-reta esquerda, fechada, de origem b – números reais menores do que b ou iguais a b. 
Intervalo: (-∞,b]
Conjunto: {x R / x ≤ b}
2- Semi-reta esquerda, aberta, de origem b – números reais menores que b.
Intervalo: (-∞ , b)
Conjunto: {x R / x < b }
3- Semi-reta direita, fechada, de origem a – números reais maiores que a ou iguais a a. 
Intervalo: [a, +∞)
Conjunto: { x R / x ≥ a}
4- Semi-reta direita, aberta, de origem a – números reais maiores do que a.
Intervalo: (a, +∞)
Conjunto: { x R / x > a}
5- Reta numérica: números reais.
Intervalo: ( -∞, +∞)
Conjunto R
Exercícios:
2- Represente na reta real os seguintes intervalos:
A- [4,8]
B- ]-5,9]
C- [6,+∞[
D- ]-∞,9[
3- Escreva os subconjuntos de R na notação de intervalos:
A- {x Є R/x<6}
B- {x Є R/4≤x<45}
C- {x Є R/x≥ -3}
D- {x Є R/ -21≤x≤65}
4- Dados os conjuntos A = {x Є Z/ -2≤x<4} e B = {x Є Z/ -3<x≤5}:
A- Escreva A e B por enumeração:
B- Determine A B.
C- Determine A B.
5-Se A B = {a} e A B = {a, b, c, d}, podemos afirmar que:
A- c está em A e B.
B- c não está em A, mas está em B.
C- c não está em B, mas está em A.
D- se b ≠ a então b não está em A ou b não está em B.
E- {b, c, d} A ou {b, c, d} B.
 
7- Se x e y são números reais tais que x = (0,25)0,25 e y=16–0,125, é verdade que
a) x = y
b) x > y
c) x·y = 2
d) x - y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não inteiro.
8- Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ | 2 < x < 20}, então A⋂B =
(A) { }
(B) {2}
(C) {3}
(D) {2,3}
(E) {3,4}
9- Dado que 1 ≤ x ≤ 4 e 13 ≤ y ≤ 20, então 
(A) o valor máximo de x/y é 20
(B) o valor mínimo de x/y é 1
(C) o valor máximo de x/y é 4
(D) o valor máximo de x/y é 4/13
(E) o valor máximo de x/y é 5
10- Dado os conjuntos: A={0; 1; 2}, B={1; 2; 5} e C={0; 1; 2; 3; 4; 5}, determinar:
a) A B  C
b) A  B  C
c) (A - B)  C
11- Dados os conjuntos A={1, 2, 3}, B={3,4} e C={1, 2, 4}, determinar o conjunto X tal que 
X  B = A  C e X  B = .
12- Na figura abaixo estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Aposição do número real x.y é:
à esquerda do zero
entre zero e x 
entre x e y 
entre y e 1 
à direita de 1
13- Considere os conjuntos numéricos A e B, dados por: A = , B= .
 Então, é: 
14- Chama-se conjunto dos números racionais o conjunto:
 
15- Ordenando os números racionais 
 , obtemos: