1 - Aula 02 - Vibracoes

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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Prof. Dr. Ricardo da Silva Pereira 
ESTACIO BELÉM
Aula 02
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Rao, Singiresu S. Vibrações Mecãnicas. 4 ed. Prentice
Hall, 2008.
Willian T. Thomson. Teoria da Vibração com aplicações. 
Editora Interciência, 1998. ( Tradução)
Elementos que compõem um sistema mecânico vibratório 
Molas (representação física): armazenam energia potencial 
elástica - deformação elástica que sofre o corpo.
Amortecedores: dissipam energia mecânica sob a forma de 
calor e/ou som.
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(ii) Diagnosticar o estado de funcionamento de uma máquina
Desbalanceamento 
Dinâmico
Desalinhamento 
Angular
De acordo com a medição da
vibração em uma máquina,
podemos verificar se há algum
defeito e que tipo de defeito
está ocorrendo.
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Exemplos de medição da 
vibração de máquinas
Acelerômetro
Sensor de deslocamento
Vibração livre é aquela produzida por uma perturbação
inicial que não persiste durante o movimento vibratório. Como
exemplo tem-se a vibração do pêndulo simples. Depois de
deslocado de sua posição de equilíbrio, o pêndulo simples
permanece em movimento oscilatório sem que nenhum efeito
externo intervenha.
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Sistema Livre
Condição inicial de 
deslocamento: x(0)
Condição inicial de 
velocidade: v(0)
 Oscila sem a ação de forças externas
 Oscila em uma ou mais freqüências naturais 
(amortecida ou não) do sistema 
 Sistema vibra devido a aplicação de 
condições iniciais de deslocamento e/ou 
velocidade
• Vibração forçada é provocada por um efeito externo
que persiste durante o tempo em que o movimento
vibratório existir. O movimento de um rotor desbalanceado
é típico de uma vibração forçada.
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Sistema Forçado  Oscila sob a ação de forças externas
 Oscila na(s) freqüência(s) da força externa de 
excitação 
• Vibração amortecida é aquela em que a energia vibratória
se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que os níveis
vibratórios diminuem progressivamente.
• Vibração não amortecida é aquela em que a energia
vibratória não se dissipa de forma que o movimento vibratório
permanece imutável com o passar do tempo.
• Vibração linear é aquela que ocorre em um sistema
cujos componentes atuam linearmente (a força de mola
proporcional ao deslocamento, a força de amortecimento é
proporcional à velocidade e a força de inércia é proporcional
à aceleração).
• Vibração não linear é aquela em que um ou mais
componentes do sistema não se comporta linearmente, ou
seja a força produzida não apresenta uma relação linear com
a variável cinemática a que se associa (relações quadráticas,
cúbicas, logarítmicas, exponenciais, senoidais, etc.
• Vibração determinística é aquela em que se pode
prever todas as características do movimento vibratório
em qualquer instante de tempo.
Vibração aleatória ou não determinística é aquela em que
não é possível prever o que irá acontecer no movimento
vibratório.
• Vibrações – Conceitos Básicos
• Movimento Harmônico
• O movimento harmônico é a forma mais simples com que
uma vibração se apresenta. A Figura ilustra a geração deste
movimento. Pode ser representado pela equação x = Asen(ωt)
ou, se a origem do movimento não coincidir com sen(ωt) = 0, x
= Asen(ω t +φ ).
• A forma do movimento harmônico não muda se ao invés de
seno se utilizar cosseno ou uma soma de seno e cosseno com o
mesmo argumento. Estas formas apenas provocam um
deslocamento da função no tempo, refletida no valor de φ .
• As principais características do movimento harmônico são:
• Vibrações – Conceitos Básicos
• Amplitude - A - é o máximo valor atingido por x. A unidade
utilizada é a mesma da variável x.
• Período - T - é o tempo transcorrido até que o movimento se
repita
• Freqüência - f - é o número de repetições que ocorrem em
uma determinada unidade de tempo. É definida como o inverso
do período,
• Freqüência angular - ω - é a velocidade angular com que um
vetor de amplitude A gira, de forma que suas projeções
horizontal e vertical são movimentos harmônicos.
• Relaciona-se com a freqüência f por ω = 2πf.
• Fase inicial - φ - é o ângulo inicial do argumento da função
senoidal que descreve o movimento harmônico.
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1.2. Elementos dos Sistemas Vibratórios
Massas e/ou Mom. de Inércias
Molas (lineares ou torcionais)
Amortecedores
Elementos que 
formam modelos de 
sistemas vibratórios
Modelo de sistema com 1 GDL, forçado e amortecido
Exemplo
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Mola (k):
 Representa a elasticidade (ou rigidez) do sistema 
Assumida, geralmente, ter massa desprezível
Assumida ter amortecimento desprezível
 Gera força restauradora 
(A mola após comprimida ou tracionada tende a fazer com que a 
massa retorne ao seu ponto de equilíbrio)
1 2 2 1 ou x x x x x= − −
Deflexão da mola:
xkFk =
Esta força sempre se opõe
ao movimento da massa
Coeficiente de rigidez da mola
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Assumida ser linear 
Deflexão da mola
(Para isso considera-se a vibração com pequenos deslocamentos)
xkFk =
2
 
2
1
xkEp =Armazena energia potencial elástica 
Lei de Hooke
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Amortecedor:
 Representa a dissipação de energia no sistema (representa o
amortecimento);
 Para representar matematicamente o amortecimento, existem
vários modelos do mesmo;
 Os mais utilizados são:
Modelo de amortecimento viscoso;
Modelo de amortecimento estrutural; e
Modelo de atrito seco (amortecimento de Coulomb);
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Amortecedor (cont.):
 O amortecimento linear viscoso será adotado em nosso curso.
 Este amortecimento é representado matematicamente pelo
coeficiente de amortecimento viscoso (C) e esquematicamente por
um pequeno pistão. Unidade de C: [N.s/m]
 Força de amortecimento: xcFc & =
( )
 ( ) ( )dx tv t x t
dt
= = &
Força Proporcional à 
velocidade do 
movimento da massa
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Modelo de Amortecimento Estrutural ou Histerético
Modelo de Amortecimento de Coulomb (atrito seco)
Modelo de Amortecimento Viscoso
 Sistema Superamortecidos: (C > Cc)
 Sistemas Criticamente Amortecidos: (C = Cc)
 Sistemas Subamortecidos: (C < Cc)
amortecimento crítico 2cC km= =
2) Quanto ao Modelo de Amortecimento
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Movimento Harmônico:
Movimento Determinístico: Pode ser escrito por uma função
matemática. Pode se conhecer exatamente a amplitude do
movimento em um tempo futuro.
Movimento Periódico Não - Harmônico:
Movimento Determinístico Não Periódico:
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 Sistemas Discretos são descritos por equações diferenciais
ordinárias, enquanto sistemas contínuos são descritos por
equações diferenciais parciais.
Sistema 
Discreto
Sistema 
Contínuo
• No finito de GDL
• Parâmetros Concentrados
• Eq. Dif. Ordinárias
• No infinito de GDL
• Parâmetros Distribuídos
• Eq. Dif. Parciais
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Exemplo de Sistema Discreto e Sistema Contínuo
y(t)
y1(t) y2(t) y3(t)
Sistema contínuo
Sistema discreto 
com 1 GDL
Sistema discreto 
com 3 GDL
y(x,t)......
..
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5) Quanto à Linearidade do Sistema
 Sistemas Lineares: 
 Sistemas Não Lineares:
• Descritos por equações diferenciais lineares
• Obedecem ao princípio da superposição linear
• Descritos por eq. dif. não lineares
• Não obedecem ao princ. da superposição
Exemplo: Equação Governante do Movimento de um
Sistema Linear de 1 GDL:
2
2
( ) ( ) ( ) ( ), 
 ou
( ) ( ) ( ) ( )
d x t dx t
m c kx t F t
dtdt
mx t cx t kx t F t
+ + =
+ + =&& &
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Princípio da Superposição Linear:
F(t) 
x(t) 
Sistema Linear
M , C , K
F1(t) x1(t)
Sistema Linear
M , C , K
F2(t) x2(t)
Sistema Linear
M , C , K
F1(t)+F2(t) x1(t)+x2(t)
Sistemas Lineares obedecem ao 
princípio da superposição linear 
e são governados por equações 
diferenciais lineares
Sistema LinearM , C , K
F(t) x(t)
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6) Quanto ao Tipo de Coordenadas que Descrevem o 
movimento
 Retilíneas ou Translacionais
Angulares ou Rotacionais
x(t) 
x(t) 
Modelo físico – matemático 
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Exemplo de Modelagem Física:
Sistema Real
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Exercícios
1) Um movimento harmônico simples possui 0,01 mm de amplitude máxima
e freqüência de 50 Hz. Determine: (a) a equação do MHS; (b) a máxima
velocidade; (c) a máxima aceleração
Um movimento diz-se do tipo harmônico simples, quando é representado 
pela expressão:
)cos()( φ+ω= tAtx
O sistema da figura é formado por um bloco de 80 kg e duas
molas de massas desprezíveis associadas em paralelo, de
mesma constante elástica. A força horizontal mantém o
corpo em equilíbrio estático, a deformação elástica do
sistema de molas é 20 cm e a aceleração da gravidade local
tem módulo 10 m/s2. Então, é correto afirmar que a constante
elástica de cada mola vale, em N/cm:
A mola da figura tem constante elástica 20N/m e encontra-
se deformada de20cm sob a ação do corpo A cujo peso é 
5N. Nessa situação, a balança, graduada em newtons, 
marca 
Um bloco de massa 5 kg está parado sobre um plano 
inclinado de um ângulo de30°com a horizontal, preso a 
uma mola, de constante elástica k = 100 N/m, como 
mostra afigura. O atrito entre o bloco e o plano pode 
ser desprezado. 
Duas molas A e B de comprimentos iguais a L, mas de 
constantes elásticas diferentes ( KA= 0,2 KB ), são unidas 
no ponto C e alongadas até o comprimento total 4L. Os 
terminais das molas são então fixados em suportes 
rígidos, como mostra a figura. Determine a razão, 
LA/LB entre os comprimentos das molas nessa situação