Lista UA 09_Oscilações forçadas e Ressonância

Prévia do material em texto

Lista de exercícios (UA 09): Oscilações forçadas e Ressonância. 
Profª. Dra. Maria Elenice dos Santos 
 
(QUESTÃO 01) Em física, ressonância é o fenômeno em que um sistema vibratório ou força externa 
conduz outro sistema a oscilar com maior amplitude em frequências específicas, conhecidas 
como frequências ressonantes ou frequências naturais do sistema. Nessas frequências, até mesmo forças 
periódicas pequenas podem produzir vibrações de grande amplitude, pois o sistema armazena energia 
vibracional. 
Um oscilador harmônico simples possui uma frequência angular natural relacionada com as características 
do sistema em questão. Quando o oscilador harmônico simples está sujeito a uma força externa periódica e 
contínua, o denominamos de oscilador forçado. Dependendo da frequência dessa força, pode ocorrer efeito 
ressonante. 
 Interpretando-se, em um primeiro momento, a ressonância de maneira idealizada não leva em conta 
as perdas de energia ocasionadas por atrito, por exemplo. Então, de maneira simplificada, a ressonância 
ocorre em um sistema quando o mesmo está sujeito a uma força externa contínua e periódica cuja 
periodicidade está diretamente relacionada com a frequência natural do sistema. Nesse caso, o sistema 
produzirá grandes amplitudes. Complete a seguinte afirmação: no movimento harmônico, a 
ressonância acontece quando: 
A) A energia do sistema é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento. 
B) A frequência forçante é igual à frequência natural do sistema. 
C) A energia do sistema é mínima. 
D) O sistema é amortecido. 
E) A frequência forçante é variável. 
 
Resposta: Letra B 
 
Resolução: O fenômeno da ressonância em um sistema que desenvolve um movimento harmônico trata-se de 
atingir uma frequência que é dita forçada e que se assemelha à frequência reconhecida como frequência 
natural do sistema. A ressonância está diretamente ligada à grandeza física frequência f e frequência 
angular ω, não tendo nenhuma relação com a energia do sistema. 
 
 (QUESTÃO 02) Quando ω = ω0 e a amplitude tiver seu valor máximo: 
 
 tsen
b
F
A ..
.
0 

 
 
Vê-se, com essa expressão, que o oscilador se comporta como se a força de restauração da mola não 
existisse (não há o fator k na expressão) e seu movimento fosse influenciado apenas pela força de 
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Amplitude
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_de_resson%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Oscilador_harm%C3%B4nico_simples
https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito
atrito. Quanto menor b, menor é o atrito e maior é a amplitude de oscilação. A condição ω = ω0 é a 
condição de ressonância do oscilador e o valor de ω em que isso ocorre, frequência de ressonância. 
Qual é o termo usado para descrever a situação na qual a frequência forçante é igual à frequência natural do 
sistema? 
A) Simbiose. 
B) Sinergia. 
C) Ressonância. 
D) Sonoluminescência. 
E) Cooperação. 
 
Resposta: Letra C 
 
Resolução: Quando se necessita impor uma frequência, que é dita forçada, sobre um sistema, de modo que 
tal sistema exiba uma frequência que se assemelha à frequência natural deste mesmo sistema, tal fenômeno 
é chamado de ressonância. 
 
(QUESTÃO 03) As oscilações desempenham um papel fundamental na física, seja na mecânica, na 
acústica, na eletricidade e na ótica. Um sistema massa-mola é a realização mais simples do que se 
chama de oscilador harmônico: um corpo (massa), acoplado a outro corpo material (mola), é 
mantido em sua posição de equilíbrio, onde a mola se encontra sem deformações, portanto livre de 
tensões internas. Se deslocado de sua posição de equilíbrio, a massa sofre a ação de uma força 
restauradora linear que a força a retornar ao ponto de equilíbrio. Esta força é devida à tendência da 
mola de retomar ao seu estado original, sem deformações nem tensões internas. 
 O pêndulo simples é um sistema que executa oscilações harmônicas se afastado por 
pequenos deslocamentos de sua posição de equilíbrio. Aqui a força restauradora é devida à 
gravidade que força a massa a retornar para o ponto mais baixo. O pêndulo simples consiste de uma 
massa m suspensa por um fio de comprimento L e massa mL << m. No tratamento teórico supõe-se 
que toda a massa m está concentrada em um ponto e também que ϕ ≈ sen(ϕ). 
 
 
Figura: modelo de pêndulo simples. 
 
 O pêndulo físico, ou pêndulo composto, é qualquer sistema suspenso por um ponto O, que 
pode girar em torno de um eixo horizontal que passa por este ponto. Ele compreende uma vasta 
gama de situações reais, e não se sujeita às condições quase ideais definidas para o pêndulo simples. 
É claro que o pêndulo simples restrito a oscilações em um plano é um caso especial do pêndulo 
físico. Um pêndulo simples é formado por uma pequena esfera e um fio. Enquanto o pêndulo balança, a 
tração do fio: 
A) É constante. 
B) É uma função senoidal do tempo. 
C) É o quadrado de uma função senoidal do tempo. 
D) É o inverso de uma função senoidal do tempo. 
E) Nenhuma das respostas anteriores. 
 
Resposta: Letra E 
 
Resolução: Um pêndulo simples apresenta-se como ilustrado na figura, que seria um objeto de massa m 
conhecida, pendurado por um fio de comprimento L, o qual se encontra oscilando em torno do eixo vertical 
(tracejado vertical) como se verifica. 
 
 Para este sistema, devido à ação da força-peso do objeto, dado por gmP

. ,deverá aparecer uma 
força de tração no fio, a qual trata-se de uma componente da força peso, sendo a outra componente 
projetada na direção do movimento do objeto de massa m. Nesse contexto, a tração no fio não é constante, 
pois trata-se de um ente vetorial que tem seu módulo direção e sentido variados. Também não se trata de 
uma função senoidal e sim com dependência em P. Com base na equação cos..gmT 

,a dependência da 
tração consiste apenas do peso do objeto e do ângulo formado entre o eixo vertical e o fio. 
 
(QUESTÃO 04) Um oscilador harmônico, no ramo da Física, é qualquer sistema que apresenta movimento 
harmônico de oscilação. É dito oscilador pelo fato de alguma entidade física oscilar, isto é, mover-se de 
algum modo, em um movimento de vai e vém, em torno de uma posição central. Chama-se harmônico por 
ter o seu movimento caracterizado e descrito por uma função harmônica do tempo. Um oscilador harmônico 
corresponde a um sistema que quando tirado da posição de equilíbrio apresenta uma força restauradora F, 
proporcional ao deslocamento x de acordo com a Lei de Hooke, dada pela equação: 
 
xkF

. 
 
Na qual k é uma constante positiva, dita constante elástica. Se houver uma força de atrito que 
contraria o movimento (como, por exemplo, a força de resistência do ar) teremos um oscilador 
harmônico amortecido. Nessa situação, a frequência de oscilação será menor que no oscilador sem 
amortecimento, a amplitude da oscilação diminui conforme o tempo passa e a energia mecânica é 
dissipada. A amplitude de um oscilador amortecido num tempo t qualquer é dada por: 
 
  







teAx
t
m
b
cos..
.
2
 
 
Onde: A é a amplitude máxima, b a constante de amortecimento, m é a massa do oscilador, t o tempo do 
movimento, ω a frequência angular e θ o ângulo de fase. No caso de um oscilador sujeito a uma força de 
amortecimento proporcional à velocidade: 
A) O deslocamento é uma função senoidal do tempo. 
B) A velocidade é uma função senoidal do tempo. 
C) A frequência é uma função decrescente do tempo. 
D) A energia mecânica é constante. 
E) Nenhuma das respostas anteriores. 
 
Resposta: Letra E 
 
Resolução: Quando analisamos o movimento de um oscilador, sujeito a uma força de amortecimento 
proporcional à sua velocidade e que obedece à equação   







teAx
t
m
b
cos..
.
2
, seu deslocamento não 
tem dependência de uma função senoidal dependente do tempo, assim como sua velocidade não depende de 
uma função senoidal. Nestecaso, a frequência não terá dependência decrescente com o tempo e sua energia 
mecânica diminui, uma vez que existem perdas. Assim, nenhuma das possibilidades dadas como alternativas 
podem ser verdadeiras. 
 
 (QUESTÃO 05) Dentre todos os sistemas físicos caracterizados por algum tipo de oscilação, o oscilador 
harmônico simples é, sem dúvida, o caso mais estudado, pois em primeira aproximação, considerando 
pequenas amplitudes de oscilação, todo sistema oscilatório pode ser aproximado por um oscilador harmônico 
simples, o qual, segundo evidências históricas, é estudado desde o século XVIII. Provavelmente, o físico e 
matemático suíço Leonhard Euler foi o primeiro cientista a estudar este sistema, quando resolveu a equação 
diferencial de movimento, utilizando um método numérico conhecido como Método das Quadraturas, em um 
trabalho estritamente matemático. Após os estudos puramente matemáticos de Euler, o oscilador harmônico 
simples tornou-se um dos maiores objetos de estudo dos pontos de vista físico e matemático, embora 
saibamos que todo sistema físico real tem dissipação (sistemas não conservativos), como por exemplo, o 
oscilador harmônico amortecido mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 Uma partícula está executando um movimento harmônico amortecido. A constante elástica é 100 N / 
m, a constante de amortecimento é 8,0 x 10
-3
 kg.m/ s e a massa da partícula é 0,050 kg. Se a partícula parte 
do ponto de maior deslocamento, x = 1,5 m, no instante t = 0, qual é a amplitude do movimento no instante 
t = 5,0 s? 
A) 1,5 m. 
B) 1,3 m. 
C) 1,0 m. 
D) 0,67 m. 
E) 0,24 m. 
 
Resposta: Letra C 
Resolução: Substituindo-se na equação   







teAx
t
m
b
cos..
.
2 e considerando – se o fato de que 
devemos calcular a amplitude, logo a equação converterá-se em 
t
m
b
eAx
.
2.







 ,assim teremos, com as 
devidas substituições da Amplitude máxima, da constante b, da massa m e do tempo t: 
t
m
b
eAx
.
2.







 
0,5
050,02
100,8 3
5,1













 ex 
4,05,1  ex 
67,05,1 x 
mx 0,1