Lista 22

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Lista 2 
1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os 
seguintes resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta 
pessoas disseram que gostam do partido B e trinta e cinco pessoas disseram que 
gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam a pesquisa? 
2) Objetivando conhecer a preferência musical dos seus ouvintes, certa emissora de 
rádio realizou uma pesquisa, dando como opção três compositores: Amado Batista 
(A), Benito de Paula (B) e Caetano Veloso (C). Os resultados são: 
Votos Opções 
201 Gostam de A 
253 Gostam de B 
244 Gostam de C 
36 Gostam de A e B 
44 Gostam de B e C 
52 Gostam de A e C 
7 Gostam de A, B e C 
85 Nenhum 
Calcule quantas pessoas responderam a pesquisa. 
 
3) Analise a seguinte situação: Considere o conjunto V = {1, 2 ,5 ,6, 8 ,9} e M = {0, 1, 3, 
4, 6, 7 ,9, 10, 11}, determine: 
a) Quantos elementos têm o conjunto V? 
b) Quantos elementos têm o conjunto M? 
c) Quantos elementos têm o conjunto V ∩ M? 
d) Quantos elementos têm o conjunto V U M? 
 
4) Sejam o conjunto S = {a, b, c, d} e a relação  = {(a,a), (a,b), (b,d), (b,a), (b,b), 
(c,a)}. 
a) Determine se a relação  é reflexiva, simétrica, transitiva, anti-simétrica, 
irreflexiva ou assimétrica e justifique para cada caso 
b) Encontre ’ o fecho reflexivo de , e “ o fecho transitivo de ’. 
c) Encontre as reduções anti-simétrica e irreflexivas de . Um redução 
significa retirar elementos da relação até que ela satisfaça a condição. 
5) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 são proprietários de 
carros, 97 possuem bicicletas, 28 têm motocicletas, 53 são donos de carros e 
bicicletas, 14 têm carros e motocicletas, sete possuem bicicletas e 
motocicletas, e dois têm todos os três. 
a) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas? 
b) Quantos estudantes não têm qualquer dos três? 
 
6) Seja P um conjunto finito de pessoas. Considere as relações entre pessoas: 
i) filho(p,q)  p é filho de q (da parte da mãe). 
ii) irm(p,q)   r tal que filho(p,r)  filho(q,r) 
iii) parente(p,q)  filho(p,q)  irm(p,q) 
a) Analise as 3 relações quanto às propriedades reflexiva, simétrica, anti-simétrica 
e transitiva. Existe uma relação de equivalência? 
 
b) O que falta para filho(p,q) ser uma relação de ordem parcial? Tente definir um 
‘fecho’ para que se torne uma ordem parcial. Chame este fecho de desc(p,q). 
 
c) Descreva os elementos maximais e minimais de S 
 
d) O conjunto P pode ser particionado em famílias. Defina uma relação de 
equivalência baseada nesta partição. 
 
7) Para cada uma das relações binárias ρ a seguir, definidas em ℕ, decida quais 
dos pares ordenados pertencem a ρ. 
 a) x ρ y ↔ x + y < 7; 
b) x ρ y ↔ x = y + 2; 
c) x ρ y ↔ 2x + 3y = 10; 
d) x ρ y ↔ y é um quadrado perfeito; 
 
8) Seja A = {2, 4} e B = {6, 8, 10} e defina as relações binárias R e S como: 
 
∀(𝑥,𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵, 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥|𝑦, 
 ∀(𝑥,𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵, 𝑥𝑆𝑦 ⇔ 𝑦 − 4 = 𝑥. 
 
 Liste os pares ordenados que estão em A × B, R, S, R ∪ S, R ∩ S. 
 
9) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relações 
 
(a) Diga se a relação entre números naturais x  y  x = y + 1 é um-para-um, 
um-para-muitos ou muitos-para-muitos. 
(b) Mostre se a relação entre cadeias de caracteres dada por x  y  o 
comprimento de x é menor ou igual ao comprimento de y, é reflexiva, 
simétrica, anti-simétrica e/ou transitiva. 
(c) Crie uma relação qualquer que é reflexiva e simétrica mas não é transitiva; 
Crie uma relação qualquer que não é reflexiva nem simétrica mas é 
transitiva; 
 
 
10) Podem ser definidas mais propriedades de relações binárias  em um 
conjunto S: 
  é irreflexiva quando xS temos (x,x)  ] 
  é assimétrica quando x,yS temos [(x, y)   (y, x)  ] 
a) Construa uma relação binária em S = {1,2,3} que é assimétrica e anti-
simétrica. Obtenha o fecho transitivo desta tua relação. 
b) Analise o conjunto <N, ‘<’>, os naturais com a relação ‘menor que’ em 
relação às duas propriedades definidas aqui e as outras.