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Disciplina: Simulação da Produção e Teoria de Filas 
Curso: Engenharia de Produção 
Professor: Tarcísio Costa Brum 
Estácio– Juiz de Fora/MG 
 
 
LISTA 1: Cadeia de Markov 
 
1) Tópico de Filas: Modelos Determinísticos. Exercícios do Livro FOGLIATTI, Maria Cristina; 
MATTOS, Néli Maria Costa. Teoria de Filas. Ed. Interciência, Rio de Janeiro, 2007. 
a. Capitulo 2, pg 20: Exercícios 1, 3 e 4. TEMA ABORDADO PARA LISTA 2 
 
 
2) Considere uma cadeia de Markov descrita pelo dígrafo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. 
Estados 1 2 3 
1 0 1-p p 
2 1 0 0 
3 0 q 1-q 
 
b. Para a cadeia ser irredutível temos q>0 e p>0. Observe que se q=0 o estado 3 torna-se 
absorvente e se p=0 os estados 1 e 2 formam ciclo fechado mínimo e, nestes casos, os estados 
não são comunicantes e a cadeia seria não irredutível. 
 
c. 𝜋0 𝜋1 𝜋2 = 𝜋0 𝜋1 𝜋2 ∗ 
0 1 − 𝑝 𝑝
1 0 0
0 𝑞 1 − 𝑞
 
 
 
 𝜋0 𝜋1 𝜋2 = 
 
d. Sendo 𝜋0 = 𝜋1 = 𝜋2 → 𝜋0 + 𝜋1 + 𝜋2 = 1 → 𝜋0,1,2 = 0.33 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
 
𝑞
 𝑝 + 2𝑞 
= 0.33 𝑒 
𝑝
 𝑝 + 2𝑞 
= 0.33 
 
Resolvendo as equações (somente uma) temos que p=q. 
 
 
 
a. Determine a matriz de transição 
b. Em que condições esta cadeia é irredutível? 
c. Determine sua distribuição estacionária π = (π1, π2, π3) 
d. Calcule os valores de p e q para que 𝜋1 = 𝜋2 = 𝜋2 
 
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Professor: Tarcísio Costa Brum 
Estácio– Juiz de Fora/MG 
 
3) Existem três marcas de detergentes, designadas A, B e C, de grande consumo. Um estudo de mercado 
revelou as seguintes percentagens de consumidores para cada uma das marcas, tendo em atenção 
comportamento idêntico na semana anterior. 
 
 
 
 
 
 
Consumidores que consomem um produto na semana, tendo consumido outro na semana anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Determine a matriz de transição. 
 
Estados A B C 
A 0.80 0.15 0.05 
B 0.05 0.75 0.20 
C 0.02 0.03 0.95 
 
 
b. Qual a quota de mercado esperada de cada marca no longo prazo? 
 
 𝜋0 𝜋1 𝜋2 = 𝜋0 𝜋1 𝜋2 ∗ 
0.80 0.15 0.05
0.05 0.75 0.20
0.02 0.03 0.95
 
 
 𝜋0 𝜋1 𝜋2 = [0.112 0.1552 0.7328] 
 
No longo prazo, a quota esperada de cada marca é A=11,20%, B=15,52% e C=73,28%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consumidores fiéis: 
Marca A: 80% 
Marca B: 75% 
Marca C: 95% 
Consomem A: 
Tendo consumido antes B: 5% 
Tendo consumido antes C: 2% 
 
Consomem B: 
Tendo consumido antes A: 15% 
Tendo consumido antes C: 3% 
 
Consomem C: 
Tendo consumido antes A: 5% 
Tendo consumido antes B: 20% 
 
 
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4) Dada a matriz abaixo com os estados E={1,2,3,4}: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Classifique os estados. 
 
Estado 1: Recorrente 
Estado 2: Recorrente 
Estado 3: Transiente 
Estado 4: Transiente 
 
b. Esta cadeia é irredutível? Justifique. 
 
Não, pois nem todos os estados são comunicantes. Exemplo, se o processo inicia no estado 1 
ele só pode permanecer em 1 ou ir para o estado 2 e que, por sua vez, retorna ao estado 1. 
 
c. Esta cadeia possui ciclo fechado? Justifique. 
 
Sim, os estados 1 e 2 formam ciclo fechado visto que, uma vez o processo ter entrado em um 
desses 2 estados, nunca mais sairá destes estados. 
 
 
5) Classifique os estados de cada matriz de transição abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 0: Recorrente e periódico com t=2 
1: Recorrente e periódico com t=2 
2: Recorrente e periódico com t=2 
b) 0: Recorrente e periódico com t=3 
 1: Recorrente e periódico com t=4 
 2: Recorrente e periódico com t=4 
 3: Recorrente e periódico com t=4 
 4: Recorrente e periódico com t=4 
 5: Recorrente e periódico com t=4 
c) 0: Recorrente e periódico com t=4 
 1: Recorrente e periódico com t=4 
 2: Recorrente e periódico com t=4 
 
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Professor: Tarcísio Costa Brum 
Estácio– Juiz de Fora/MG 
 
6) Uma máquina possui determinados estados de utilização para o departamento de produção. Uma 
matriz de probabilidades de transição foi descrita com base no histórico da máquina mês a mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que o estado atual da máquina seja operação normal, qual a probabilidade de que em 2 
meses de uso a máquina venha apresentar operação com alta perda de produção? 
 
 
𝑃(2) = 
 
Estado 0 1 2 3 
 
0 0,0000 0,6563 0,1406 0,1406 
 
1 0,0000 0,5625 0,1563 0,1563 
 
2 0,0000 0,0000 0,2500 0,2500 
 
3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
 
 
 𝜋0 𝜋1 𝜋2 𝜋3 = 1 0 0 0 ∗ 𝑃(2) 
 
 𝜋0 𝜋1 𝜋2 𝜋3 = 0.00 0.6563 0.1406 0.1406 
 
A probabilidade de a máquina apresentar operação com alta perda de produção em 2 meses de uso é 
de 14,06%. 
 
7) Considere um sistema de filas de atendimento de clientes em uma loja de artigos de luxo. Os clientes 
chegam aleatoriamente na loja a uma taxa média de 2 clientes por hora. O processo de chegadas é 
modelado como uma distribuição de Poisson. O tempo médio de atendimento é de 40min/cliente 
também modelado como uma distribuição de Poisson. O espaço físico da loja permite no máximo 6 
clientes, sendo que o próximo que chega não entra no estabelecimento. Construa a matriz de 
probabilidades de transição para o problema considerando que a mudança de estado ocorre em 
intervalos de 1 hora. 
 
Os estados do problema são a quantidade de clientes a cada hora. E={0,1,2,3,4,5,6}. 
O problema então consiste em calcular as probabilidades de chegada de clientes e as probabilidades 
de saída. 
A taxa de chegada é λ=2 clientes/hora e a taxa de saída é μ=1,5 clientes/hora. Ambas são modeladas 
pela distribuição de Poisson. Podemos pensar que a diferença entre as taxas de entrada e saída indica a 
quantidade média de clientes que estão na loja a cada 1 hora (uma vez que λ> μ). Esta diferença passa 
a indicar a probabilidade de se estar no estado o que nos fornece probabilidades de transição 
estacionárias: 
 
𝑃 𝑛 = 𝑛º𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 =
(λ − 𝜇)𝑛𝑒−𝑛
𝑛!
 
 
 
 
 
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Calculando estas probabilidades temos: 
 
Estado Poisson 
6 0,6065 
5 0,3033 
4 0,0758 
3 0,0126 
2 0,0016 
1 0,0002 
0 0,0000 
 
Estado 0 1 2 3 4 5 6 
0 0,0000 0,0002 0,0016 0,0126 0,0758 0,3033 0,6065 
1 0,0000 0,0002 0,0016 0,0126 0,0758 0,3033 0,6065 
2 0,0000 0,0002 0,0016 0,0126 0,0758 0,3033 0,6065 
3 0,0000 0,0002 0,0016 0,0126 0,0758 0,3033 0,6065 
4 0,0000 0,0002 0,0016 0,0126 0,0758 0,3033 0,6065 
5 0,0000 0,0002 0,0016 0,0126 0,0758 0,3033 0,6065 
6 0,0000 0,0002 0,0016 0,0126 0,0758 0,3033 0,6065 
 
 
A longo prazo, a probabilidade de a loja ficar cheia é consideravelmente maior que as demais 
(60,65%) uma vez que, como a média de entrada é sempre maior que a média de saída, o sistema 
tende a ficar em capacidade máxima. 
 
Outra abordagem para o problema é calcular as probabilidades de transição em cada estado 
considerando a entrada e saída de clientes separadamente. Considere por exemplo a probabilidade de 
ir do estado 1 para o estado 2. Para o cálculo desta probabilidade existe a probabilidade de entrar 
mais um cliente e não ter sido atendido nenhum.Ainda dentro desta probabilidade (entrar 2 clientes e 
1 ter sido atendido, entrar 3 clientes e 2 terem sidos atendidos....entrar 6 clientes e 5 terem sido 
atendidos) no intervalo de 1 hora. Para esta probabilidade (seria a matriz de transição inicial) todas as 
possibilidades devem ser averiguadas. 
 
 
8) Uma urna contém 5 bolas (3 pretas e 2 vermelhas). Considere a retirada consecutiva de 1 bola (sem 
reposição) até que a urna não fique com nenhuma bola preta. Construa a matriz de probabilidades de 
transição para este problema. 
 
Os estados para este problemas são a quantidade de bolas pretas na urna. Então os estados são 
E={0,1,2,3}. 
 
Estado 3: Inicialmente, a urna tem 3 bolas pretas, então a probabilidade de se retirar uma bola preta é 
3/5=0,60, o que significa que na próxima retirada (próximo passo) a urna terá 2 bolas pretas. O outro 
caso é retirar uma bola e esta ser vermelha (probabilidade de 2/5=0,40). 
 
Estado 2: Dado que há 2 bolas pretas na urna, existe a probabilidade de 2/4=0,50 de se retirar uma 
bola preta e 2/4=0,50 de se retirar uma bola vermelha. 
 
Estado 1: Dado que há uma bola preta na urna, existe a probabilidade de 1/3=0,33 de retirar uma bola 
preta e 2/3=0,67 de se retirar uma bola vermelha. 
 
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Estado 0: Uma vez que a urna não possui mais bolas pretas, o processo se estaciona neste estado. 
 
A matriz de probabilidades de transição neste caso fica: 
 
 
0 1 2 3 
0 1,00 0,00 0,00 0,00 
1 0,33 0,67 0,00 0,00 
2 0,00 0,50 0,50 0,00 
3 0,00 0,00 0,60 0,40 
 
9) Considere a matriz de transição abaixo, dos estados E={0,1,2,3}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Esta cadeia é irredutível e ergódica? Justifique. 
 
É irredutível pois todos os estados são comunicantes. 
É ergódica pois todos os estados são aperiódicos (t=1). 
 
b. O que significa 𝑃31
(10)
? 
 
Significa a probabilidade de transição do estado 3 para o estado 1 no décimo passo. 
 
c. Sendo 𝜋0 = π0, π1, π2 , π3 = 0.20,0.15,0.38,0.27 Calcule 𝜋
2. Qual o seu significado? 
 
Assim como o problema 6, esta questão pode ser resolvida de duas formas: 
𝜋2 = 𝜋0 ∗ 𝑃2 ↔ 𝜋2 = 𝜋1 ∗ 𝑃1 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜋1 = 𝜋0 ∗ 𝑃1 
 
Calculando 𝜋1=(0,2380 0,2428 0,3180 0,2011) e depois 
 𝜋2=(0,2673 0,2886 0,2791 0,1649) 
 
10) Considere um jogo de roleta com 4 posições possíveis igualmente prováveis. Em cada posição os 
retornos são: 
 
Posição Retorno 
1 Ganha mil 
2 Ganha 500 
3 Perde 500 
4 Perde tudo 
 
Você começa com 2 mil reais e só sai do jogo na posição 4 ou quando alcançar um numero maior ou 
igual 4 mil reais ou quando perder tudo. 
 
 
 
 
 
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a. Construa matriz de probabilidades de transição para este problema. 
 
Estado 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
500 0,5 0 0,25 0,25 0 0 0 0 0 
1000 0,25 0,25 0 0,25 0,25 0 0 0 0 
1500 0,25 0 0,25 0 0,25 0,25 0 0 0 
2000 0,25 0 0 0,25 0 0,25 0,25 0 0 
2500 0,25 0 0 0 0,25 0 0,25 0,25 0 
3000 0,25 0 0 0 0 0,25 0 0,25 0,25 
3500 0,25 0 0 0 0 0 0,25 0 0,5 
4000 0 0 0 0 0 0 0 0 1 
 
b. Iniciando com 2 mil reais, você entraria no jogo? Justifique. 
 
c. Independente do valor inicial, você entraria no jogo? Justifique. 
 
Repostas b e c: 
Estado 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
500 0,9228 0 0 0 0 0 0 0 0,0772 
1000 0,8722 0 0 0 0 0 0 0 0,1278 
1500 0,8192 0 0 0 0 0 0 0 0,1808 
2000 0,7466 0 0 0 0 0 0 0 0,2534 
2500 0,6582 0 0 0 0 0 0 0 0,3418 
3000 0,5088 0 0 0 0 0 0 0 0,4912 
3500 0,3772 0 0 0 0 0 0 0 0,6228 
4000 0 0 0 0 0 0 0 0 1 
 
Fazendo a matriz de longo prazo (pode ser facilmente executada no Excel) conforme mostrada acima 
observamos que, no caso de iniciar com 2 mil reais, existe uma probabilidade de 25,34% de se chegar 
aos 4 mil contra 74,66% de se chegar a 0 reais. Portanto seria prudente não entrar no jogo. 
Independente do valor inicial, seria mais aconselhável entrar no jogo com valor inicial de 3500 reais 
uma vez que a probabilidade de se chegar aos 4 mil é maior que perder tudo (chegar ao 0 reais). 
 
11) A população de uma cidade possui três classificações para o estado emocional: 0=Triste, 1=Normal e 
2=Feliz. Uma pesquisa de rua com 1000 pessoas foi realizada para conhecer os estados emocionais 
desta cidade, perguntando à pessoa seu estado no dia anterior e o seu estado emocional atual. Os 
resultados foram: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Feliz (dia anterior): 150 
Estado atual triste:2 
Estado atual normal:61 
Estado atual feliz:87 
Triste (dia anterior): 250 
Estado atual triste: 125 
Estado atual normal:120 
Estado atual feliz:5 
Normal (dia anterior): 600 
Estado atual triste: 57 
Estado atual normal: 458 
Estado atual feliz: 85 
 
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a. Determine a matriz de transição de probabilidades para esta pesquisa. 
 
 
Triste Normal Feliz 
Triste 0,5000 0,4800 0,0200 
Normal 0,0950 0,7633 0,1417 
Feliz 0,0130 0,4100 0,5800 
 
b. A cada estado emocional, existe um impacto para a saúde mental, medido em uma escala de -5 
a 5. Para o estado triste = -2; Normal = 1; Feliz = 3,5. Qual o impacto na saúde desta 
população no longo prazo? 
 𝜋𝑡𝑟𝑖𝑠𝑡𝑒 𝜋𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜋𝑓𝑒𝑙𝑖𝑧 = 0.1280 0.6474 0.2246 
 
 Custo médio no longo prazo = 0.1280*-2+0.6474*1+0.2246*3.5 = 1,1775 (Impacto 
positivo) 
 
c. Considerando um estado inicial 𝜋0 = (0.30,0.55,0.15), qual a probabilidade de se encontrar 
uma pessoa triste no 2º dia? 
𝜋𝑡𝑟𝑖𝑠𝑡𝑒 = 0.3 ∗ 0.5 + 0.55 ∗ 0.095 + 0.15 ∗ 0.0130 = 20.42% 
d. Sendo a matriz de transição estacionária, qual a probabilidade de cada estado emocional no 
longo prazo? 
 
Idem letra b. 
 
e. Considere uma situação hipotética onde todas as pessoas, somente a partir do estado feliz, 
alcancem o estado da plenitude e nele permaneçam até o final da vida. Escreva esta nova 
matriz de transição, com base na anterior e discuta (sem realizar os cálculos) o estado 
emocional da cidade no longo prazo. (Faça modificações na matriz anterior que considerar 
necessárias). 
 
Triste Normal Feliz Plenitude 
Triste 0,5000 0,4800 0,0200 0,0000 
Normal 0,0950 0,7633 0,1417 0,0000 
Feliz 0,0130 0,4100 0,5700 0,0100 
Plenitude 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 
 
Como o estado feliz é alcançável a partir dos estados triste e normal e estes não foram ciclo fechado e, 
como existe probabilidade de transição de feliz para plenitude e, como este último estado é 
absorvente, a longo prazo o estado emocional da cidade será de plenitude.