Apostila de Pesquisa Operacional - Parte II

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1 
UNIVERSIDADE SÃO FRANCISCO 
 
 
 
DISCIPLINA 
 
PESQUISA OPERACIONAIOL 
Parte II 
 
 
 
 
 Adalberto Nobiato Crespo 2018 Versão 6 
 2 
Sumário 
1 – PROCESSOS ESTOCÁSTICOS ................................................................................................... 4 
1.1 – Classificação de Processos Estocásticos ................................................................................. 4 
2 – PROCESSOS MARKOVIANOS .................................................................................................. 6 
3 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................... 12 
3.1 – Cadeias de Markov................................................................................................................ 12 
3.2 – Probabilidade de Transição ................................................................................................... 13 
3.3 – Probabilidade de Transição de Passo 1 ................................................................................. 13 
3.4 – Probabilidade de Transição de Passo n ................................................................................. 13 
3.5 – Distribuição Inicial de Probabilidades .................................................................................. 15 
3.6 – Distribuição de Probabilidades após “n” Passos - Distribuição Estacionária ....................... 17 
3.7 – Classificação dos Estados de Uma Cadeia de Markov ......................................................... 21 
3.8 – Classificação de Matrizes Estocásticas ................................................................................. 27 
Primeira Lista de Exercícios - Cadeias de Markov ...................................................................... 30 
4 – ASPECTOS FUNDAMENTAIS SOBRE FILAS ....................................................................... 35 
4.1 – Conceito de Fila .................................................................................................................... 35 
4.2 – Dimensionamento de Filas .................................................................................................... 36 
4.3 – Aspectos Históricos............................................................................................................... 37 
5 – FUNDAMENTOS BÁSICOS DE FILAS ................................................................................... 38 
5.1 - Elementos de Uma Fila .......................................................................................................... 38 
5.2 – Características de Uma Fila .................................................................................................. 39 
5.2.1 - Clientes e Tamanho da População .......................................................................................... 39 
5.2.2 - Processo de Chegada .............................................................................................................. 39 
5.2.3 - Processo de Atendimento ....................................................................................................... 40 
5.2.4 - Número de Servidores ............................................................................................................ 40 
5.2.5 - Disciplina da Fila .................................................................................................................... 40 
5.2.6 - Tamanho Médio da Fila .......................................................................................................... 41 
5.2.7 - Tamanho Máximo da Fila ....................................................................................................... 41 
5.2.8 - Tempo Médio de Espera na Fila ............................................................................................. 41 
5.3 – Distribuição do Tempo de Atendimento ............................................................................... 42 
5.4 – Dinâmica de uma Fila ........................................................................................................... 43 
5.5 – Conceitos Básicos de Fila .................................................................................................... 48 
5.5.1 – Variáveis Aleatórias Fundamentais ....................................................................................... 49 
5.5.2 - Postulados Básicos.................................................................................................................. 54 
 3 
Segunda Lista de Exercícios ............................................................................................................ 55 
6 – O Sistema de uma Fila e um Atendente ....................................................................................... 56 
6.1 – Equações do Modelo ................................................................................................................. 56 
Terceira Lista de Exercícios ............................................................................................................ 58 
Quarta Lista de Exercícios .............................................................................................................. 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
1 – PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
Um Processo Estocástico é definido como uma coleção de variáveis aleatórias Xt 
indexadas por um parâmetro t pertencente a um conjunto T. Normalmente, T é um 
conjunto de números inteiros não negativos e Xt representa uma característica 
qualquer mensurável de interesse e que varia com o tempo t. 
Exemplo 1: 
 Xt: Nível de estoque de um produto no fim de cada semana t. 
 t = 1, 2, 3... 
 X1 = 20 – significa que na semana 1 o estoque era de 20 unidades. 
 X2 = 13 – significa que na semana 2 o estoque era de 13 unidades. 
 X5 = 28 – significa que na semana 5 o estoque era de 28 unidades. 
Processos Estocásticos são de interesse para descrever o procedimento de um sistema 
operando em algum período de tempo. Com isso, a variável aleatória Xt representa o 
estado do sistema no parâmetro t. 
O parâmetro t representa o estado e o valor da variável Xt representa o 
comportamento do sistema no estado t. 
Por exemplo, é interessante para uma empresa observar o comportamento do estoque 
de um determinado produto, durante 6 meses. Esta observação serve para a 
programação dos estoques nos próximos períodos. 
Portanto, a variável Xt é definida em um conjunto de estados denominado Espaço de 
Estados. 
1.1 – Classificação de Processos Estocásticos 
 
Os Processos Estocásticos podem ser classificados como: 
a) Em relação ao Estado 
 Estado Discreto: Xt é definida sobre um conjunto enumerável finito. 
 Estado Contínuo: Xt caso contrário 
b) Em relação ao Tempo t (parâmetro) 
 Tempo Discreto: t é finito e enumerável 
 Tempo Contínuo: t caso contrário 
 
 
 5 
Exemplos: 
 1 – Número de usuários em uma fila de banco em um determinado instante t. 
 Estado discreto e Tempo contínuo 
 2 – Índice pluviométrico diário. 
 Estado contínuo e Tempo discreto 
 3 – Número de dias chuvosos. 
 Estado Discreto e Tempo discreto 
Questões para Estudo 
1 – Suponha que Xt representa o nível de estoque de um produto e t representa a 
semana de observação do estoque. 
Qual é a probabilidade do estoque ser zero no final desta semana, dado que na 
semana anterior o estoque era de 10 unidades? 
Matematicamente temos a equação:   ?10|0  anterioratual XXP 
Fazendo: semana atual =1 
 semana anterior = 0 
Então teremos a seguinte equação:   ?10|0 01  XXP 
Pode se também estar interessado na seguinte questão: 
 
  ?3,6...15,12,11|0 0178910  XXXXXXP 
Onde: 10=semanaatual; 9 = semana anterior; e assim por diante. 
 
O valor desta probabilidade serve para tomada de decisões sobre o estoque do 
produto em questão. 
 
2 – Suponha que Xt representa o comportamento do tempo numa cidade de praia 
durante o verão. 
 Qual é a probabilidade do tempo estar com sol nesta semana, dado que na semana 
anterior o tempo esteve com chuva. 
 Matematicamente temos a equação:   ?|  chuvaXsolXP anterioratual 
Fazendo: semana atual =1 
 semana anterior = 0 
Então teremos a seguinte equação:   ?| 01  chuvaXsolXP 
Pode se também estar interessado na seguinte questão: 
 
  ?,,| 1234  solXchuvaXchuvaXsolXP 
Onde: 4 = semana atual; 3 = semana anterior; e assim por diante. 
 
O valor desta probabilidade serve para tomada de decisões sobre os eventos que 
poderão ser promovidos na cidade de praia, no período em questão. 
 6 
 
Existem vários "tipos" de Processos Estocásticos, porém neste curso será abordado 
apenas um tipo de Processo Estocástico denominado Processo Markoviano. 
2 – PROCESSOS MARKOVIANOS 
Um Processo Estocástico é dito ser um Processo Markoviano se: 
   kkkkkkkkkkkk yXyXPyXyXyXyXyXyXP   |,...,,| 110011221111 
Onde k = 0, 1, 2, 3 ... 
Essa expressão pode ser traduzida como: a probabilidade condicional de qualquer 
evento futuro, dado qualquer evento passado e o estado presente Xk = yk, é 
independente do evento passado e depende somente do estado presente. 
Em termos mais resumidos: Um processo Estocástico é dito ser um Processo 
Markoviano se o estado futuro depende apenas do estado presente e não depende dos 
estados passados. 
Este tipo de Processo Estocástico é também denominado de processo sem Memória, 
uma vez que o passado é desprezado. 
As probabilidades condicionais  kkkk yXyXP   |11 são denominadas 
Probabilidades de Transição e representam a probabilidade do estado Xk+1 ser yk+1 
no instante k+1 dado que no instante k o estado Xk é yk. 
 
Exemplo 2: No ano de 1993, o estado do uso da terra em uma cidade de 50 
quilômetros quadrados de área éra: 
Tabela 1 – Estado do uso da Terra em 1993 
I Uso Residencial 30% 
II Uso Comercial 20% 
III Uso Industrial 50% 
 
 Os valores da tabela 1 podem ser dispostos em um vetor T, denominado 
Vetor de Estados: 
T = [ I II III ]. 
 As probabilidades de cada Estado podem também serem dispostas em 
um vetor , denominado Vetor de Probabilidades de Estado: 
  = [0,30 0,20 0,50]. 
 Supondo que as probabilidades de transição para intervalos de 5 anos 
são dadas pela Tabela 2: 
 7 
 
Tabela 2 – Probabilidades de Transição em 5 anos 
 Para I Para II Para III 
de I 0,8 0,1 0,1 
de II 0,1 0,7 0,2 
de III 0 0,1 0,9 
 
As probabilidades condicionais na Tabela 2 podem ser interpretadas 
como: 
de I para I: a probabilidade da cidade estar no estado I após 5 anos, 
dado que atualmente está no estado I é 0,8, ou seja 
  8,0|5  IXIXP tt . 
 Para t = 1993, tem-se:   8,0| )1993()1998(  IXIXP 
de I para II: a probabilidade da cidade estar no estado II após 5 anos, 
dado que atualmente está no estado I é 0,1, ou seja 
  1,0|5  IXIIXP tt . 
 Para t = 1993, tem-se:   1,0| )1993()1998(  IXIIXP 
de I para III: a probabilidade da cidade estar no estado III após 5 anos, 
dado que atualmente está no estado I é 0,1, ou seja 
  1,0|5  IXIIIXP tt . 
 Para t = 1993, tem-se:   1,0| )1993()1998(  IXIIIXP 
O mesmo raciocínio para os demais estados. 
 
Os valores da Tabela 2 podem ser dispostos numa matriz denominada 
Matriz de Transição. 











9,01,00
2,07,01,0
1,01,08,0
III
II
I
P 
Assim, a partir da matriz de transição P e do vetor de probabilidade de 
estado  para 1993, denominado (0), pode-se calcular o vetor de 
probabilidades de estado  para o ano de 1998 da seguinte forma, 
denominado (1). 
0,52] 0,22 26,0[
0,90,10
0,20,70,1
0,10,10,8
0,50] 0,20 [0,30Pππ 01 










 
 8 
Este resultado pode ser interpretado como: 
Em 1998, o estado de uso da terra na cidade será dado pela Tabela 3: 
 
Tabela 3 – Estado do uso da Terra em 1998 
I Uso Residencial 26% 
II Uso Comercial 22% 
III Uso Industrial 52% 
 
Exemplo 3: Um cliente pode adquirir uma das seguintes marcas de carro: Fiat, Ford e 
Chevrolet. A próxima compra do cliente é controlada pela marca do 
carro que ele possui atualmente. Toda vez que um novo carro é 
comprado, ocorre um passo no processo de compra. Neste processo há, 
portanto, apenas 3 Estados possíveis (m=3): a compra de um Ford, a 
compra de um chevrolet e a compra de um Fiat. 
 Isto pode ser representado como: 
 
Estados do Processo Descrição 
S1 O cliente compra um Ford 
S2 O cliente compra um Chevrolet 
S3 O cliente compra um Fiat 
 
 No presente momento (t = 0), os Estados S1, S2, S3 representam o estado 
atual do processo, isto é, a marca do carro que o cliente possui 
atualmente. 
 No passo seguinte, (t = 1) os Estados S1, S2, S3 representam todos os 
resultados possíveis da próxima compra do cliente. 
 Assim, o Espaço de estado é { S1, S2, S3}. 
 Uma pessoa de mercado revela a seguinte situação: 
 
Marca do Carro 
Atual (t=0) 
Próxima Compra (t = 1) 
% que compra 
Ford 
% que compra 
Chevrolet 
% que compra 
Fiat 
Ford 40 30 30 
Chevrolet 20 50 30 
Fiat 25 25 50 
 9 
 Essa mesma informação pode ser representada numa matriz de 
probabilidades chamada Matriz de Transição. 
 











50,025,025,0
30,050,020,0
30,030,040,0
P 
 Cada elemento dessa tabela representa uma probabilidade de se passar 
de um Estado para outro em um passo. Isto é, representa a probabilidade 
de compra de uma marca de carro. 
 Ex: 0,20 representa a probabilidade de um cliente comprar um carro Ford 
dado que atualmente ele possui um carro da marca Chevrolet. 
 Graficamente tem-se a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: A situação de uma máquina poderia ser descrita por um Processo de 
Markov. Neste caso, o Estado pode descrever a condição da máquina: 
em funcionamento; esperando reparo; sendo reparada. O espaço de 
Estado é discreto e pelo menos em alguns casos a probabilidade da 
situação da máquina na próxima observação depende de sua situação 
presente. 
 
Estados do Processo Descrição 
S1 Máquina funcionando 
S2 Máquina ociosa, esperando reparo 
S3 Máquina ociosa, sendo reparada 
 
S1 
S2 
S3 
Ford 
Fiat 
Chevrolet 
0,40 
0,30 
0,20 
0,25 
0,30 
0,25 
0,30 
0,50 
0,50 
 10 
Exemplo 5: Um grupo de 4 crianças joga um jogo que consiste em passar uma bola 
de um lado para outro. Em cada estágio do jogo, a criança que está com 
a bola tem idêntica chance de passar a bola para qualquer uma das 
outras 3 crianças. Seja X0 a criança que está com a bola no início do 
jogo e Xn a criança que está com a bola depois que a mesma foi lançada 
exatamente n vezes. 
 Este jogo consiste de um Processo de Markov com a seguinte Matriz de 
Transição: 
 





















0
3
1
3
1
3
1
3
1
0
3
1
3
1
3
1
3
1
0
3
1
3
1
3
1
3
1
0
P 
 A matriz P chama-se Matriz de Transição ou Matriz de probabilidades. 
 Para que uma criança receba a bola em um dado momento, depende 
apenas de quem está com a bola naquele momento e não depende das 
demais crianças. 
 Com esta propriedade este jogo constitui-se numa cadeia de Markov. 
 O conjunto S = { 1, 2, 3, 4} chama-se espaço de estados. 
 Algebricamente tem-se: 
 Seja k = 1 se a criança está com a bola num dado momento. 
 k = 0 se a criança não está com a bola num dado momento. 
 Logo,  
3
1
0|1 01  XXP e ainda   01|1 01  XXP 
 Constitui-se numa Cadeia de Markov porque tem a propriedade que: 
    kXkXPXkXyXyXP nnnnn   1021 |1,...,| 
 Isto é, o fato de Xn = k (uma criança estar ou não com bola depois de n 
lançamentos)depende somente de Xn-1 = k e independe da trajetória 
percorrida. Isto é, independe de Xn-2, Xn-3, Xn-4, ... X0. 
 
 
 
 
 
 11 
Exemplo 6: Jogo da Moeda 
 Um jogador paga R$ 10,00 ao banqueiro para lançar uma moeda e ganha 
R$ 80,00 quando a diferença entre o número de Caras e Coroas for igual a 
3. Qual deve ser a situação do jogador depois de n lançamentos da 
moeda? 
 Situação: 
 O jogador paga R$10,00 por um lançamento e recebe R$80,00 quando 
Z = | #Caras - #Coroas | = 3. 
 Onde: #Caras: número de caras e #Coroas: número de Coroas 
 Analisando tem-se: 
 
Numero de Lançamentos Resultados #Caras #Coroas Z 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0 
Ca 
Ca 
Co 
Ca 
Co 
Ca 
Ca 
0 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
5 
0 
0 
0 
1 
1 
2 
2 
2 
0 
1 
2 
1 
2 
1 
2 
3 
 
 Graficamente, a probabilidade da função Z assumir os valores 0, 1, 2, 3, 
são: 
 
 
 
 
 Matricialmente tem-se a seguinte Matriz de Transição: 

















1000
2
1
0
2
1
0
0
2
1
0
2
1
0010
P 
 
0 1 2 3 
1/2 1/2 1/2 
1/2 1/2 1 
1 
 12 
Logo, tem-se: 
Seja Zn a variável aleatória que pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 no 
tempo t = n. 
Espaço de Estados: S = {0, 1, 2, 3} 
Isto é, antes do início do jogo, tem-se: 
Tempo t = 0 Tempo t = 1 
P[Z0 = 0] = 1; P[Z1 = 0] = 1/2; 
P[Z0 = 1] = 0; P[Z1 = 1] = 0; 
P[Z0 = 2] = 0; P[Z1 = 2] = 1/2; 
P[Z0 = 3] = 0. P[Z1 = 3] = 0. 
 
Para saber a situação do jogador no tempo t = n, ou seja, depois de n 
lançamentos, deve-se calcular: 
P
n
 = P.P.P.P...P 
Isto é, multiplica-se a matriz P n vezes. 
3 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
3.1 – Cadeias de Markov 
Um Processo Markoviano é dito ser uma Cadeia de Markov quando as variáveis 
aleatórias Xt estão definidas em um espaço de Estados discreto. 
De acordo com a forma de representação dos estados e do tempo, os Processos 
Markovianos podem ser: 
Estados Tempo Classificação 
Contínuo Contínuo Processo Markoviano em tempo contínuo 
Contínuo Discreto Processo Markoviano em tempo discreto 
Discreto Contínuo Cadeia de Markov em tempo contínuo 
Discreto Discreto Cadeia de Markov em tempo discreto 
 
Desta forma, uma cadeia de Markov é um Processo Markoviano onde o espaço de 
estados é um conjunto discreto. 
Quando o tempo t é discreto, a Cadeia de Markov é dita ser uma Cadeia de Markov 
em Tempo Discreto. Note também que existem cadeias de Makov de tempo 
contínuo. 
 
 13 
No caso de tempo discreto, tem-se: 
   kkkkkkkkkkkk yXyXPyXyXyXyXyXyXP   |,...,,| 110011221111 
Uma maneira simples de visualizar um tipo especifico de cadeia de Markov é através 
de uma máquina de estados finitos. Se você está no estado “y” no tempo “n”, então a 
probabilidade de que você se mova para o estado “x” no tempo “n+1”, não depende 
de “n”, e somente depende do estado atual “y” em que você está. 
 
3.2 – Probabilidade de Transição 
Numa Cadeia de Markov, chamam-se Probabilidades de Transição a probabilidade do 
Estado Xk+1 ser yk+1 no tempo k+1 dado que o Estado Xk é yk no tempo k. 
Isto é:  kkkk yXyXP   |11 . 
Se para cada xk+1 e xk, tem-se:    001111 || yXyXPyXyXP kkkk   . 
Então, as Probabilidades de Transição são ditas Estacionárias. 
Se as Probabilidades de Transição são Estacionárias, então isto significa que as 
Probabilidades de Transição não mudam em relação ao tempo. 
3.3 – Probabilidade de Transição de Passo 1 
As Probabilidades de Transição são denominadas Probabilidades de Transição de 
Passo 1 se: 
   001111 || yXyXPyXyXP kkkk   . 
3.4 – Probabilidade de Transição de Passo n 
Se a Probabilidades de Transição de Passo 1 for Estacionário (não muda com o 
tempo) implica que para cada xk+n e yk e n (n=0,1, 2, ...), tem-se: 
   00|| yXyXPyXyXP nnkknknk   
Essas probabilidades condicionais são chamadas Probabilidades de Transição de 
Passo n. 
Notação: 
Para facilitar a notação será adotada a seguinte alteração: yk+1 = j; ou yk+n = j e yk =i 
Logo, se tem:  iXjXPp kkij   |1 e  iXjXPp knk
n
ij   |
)( 
 
 
 
 
 
 14 
Propriedades: 
Como os valores )(n
ijp são probabilidades, então precisam satisfazer as seguintes 
propriedades: 
a) 0)( nijp  (i, j); n = 0, 1, 2,... 
b) 1
0
)( 

M
j
n
ijp  i: n = 0, 1, 2, ... 
Uma maneira de mostrar todas as Probabilidades de Transição de Passo n é: 
 
Estados 0 1 ... M 
0 )(00
np )(01
np ... )(0
n
Mp 1
0
)(
0 

M
j
n
jp 
1 )(
10
np )(11
np ... )(1
n
Mp 1
0
)(
1 

M
j
n
jp 
. . . ... . 
M )( 0
n
Mp 
)(
1
n
Mp ... 
)(n
MMp 1
0
)( 

M
j
n
Mjp 
 
Ou através de uma matriz de probabilidades: 
 















)()(
1
)(
0
)(
1
)(
11
)(
10
)(
0
)(
01
)(
00
)(
...
............
...
...
n
MM
n
M
n
M
n
M
nn
n
M
nn
n
ppp
ppp
ppp
P 
 
A matriz P
(n)
 é denominada Matriz de Transição de Passo n. 
Quando n = 1 é denominada apenas Matriz de Transição. 
 
Exemplo 7: Supõe uma máquina que em um determinado momento pode estar 
funcionando ou parada. Seja Xn a variável aleatória que denota o estado 
da máquina no tempo “n” (ou tempo t). 
 Espaço de Estados: S = { parada, funcionando} = {0, 1} 
 O tempo “n” pode representar um dia (por exemplo). 
 
 15 
0 1 
 Graficamente tem-se: 
 
 
 
 
 
 Assim tem-se: 
 P[Xn+1 =1 | Xn = 0] = p e P[Xn+1 =0 | Xn = 1] = q 
 Consequentemente tem-se: 
 P[Xn+1 =0 | Xn = 0] = 1 - p e P[Xn+1 = 1 | Xn = 1] = 1 - q 
 
 A Matriz de Transição de Passo 1 é dada por: 
 
 








qq
pp
P
1
1
1
0
 
 
3.5 – Distribuição Inicial de Probabilidades 
Seja S um espaço de Estados. 
Chama-se distribuição inicial ao vetor das probabilidades no início do processo. Isto 
é, são as probabilidades associadas a cada estado do sistema no início do processo (no 
tempo t =0). 
Notação: 
0(x) = P[X0 = x] é a probabilidade de o sistema iniciar no Estado x. 
n(x) = P[Xn = x] é a probabilidade de o sistema estar no Estado x, no tempo n (ou 
seja, após “n” passos). 
 
A distribuição inicial 0(x) = P[X0 = x] é tal que: 
a) 0(x) ≥ 0  xS. 
b) 


Sx
x 1)(0 
 
 
q 
p 
0 
1 
0 
1 
Tempo n+1 Tempo n 
1 - q 
1 - p 
 16 
Exemplo 8: Se no exemplo 2, 0 = [0,30 0,20 0,50] significa que no ano de 1993 o 
uso da terra pode estar no estado I, II, ou III, respectivamente com as 
probabilidades 0,30; 0,20; e 0,50. 
 0(I) = P[X0 = I] = 0,30  probabilidade da cidade usar a terra para uso 
residencial. 
0(II) = P[X0 = II] = 0,20  probabilidade da cidade usar a terra para 
uso comercial. 
0(III) = P[X0 = III] = 0,50  probabilidade da cidade usar a terra para 
uso industrial. 
 
Exemplo 9: Se no exemplo 3, 0 = [0 0 1], significa que o sistema inicia no Estado 
S3, ou seja no início o cliente possui um automóvel Fiat. 
 0(1) = P[X0 = 1] = 0  probabilidade de o cliente ter um carro Ford. 
0(2) = P[X0 = 2] = 0  probabilidade de o cliente ter um carro 
Chevrolet. 
 0(3) = P[X0 = 3] = 1  probabilidade de o cliente ter um carro Fiat. 
 
Exemplo 10: Se no exemplo 4, 0 = [0 1 0], significa que o sistema inicia no 
Estado S2, ou seja, a maquina está ociosa esperando reparo. 
 0(1) = P[X0 = 1] = 0  probabilidade de a máquina estar funcionando 
0(2) = P[X0 = 2] = 1  probabilidade de a máquina estar ociosa 
esperando reparo. 
0(3) = P[X0 = 3] = 0  probabilidade de a máquina estar ociosa sendo 
reparada. 
 
 
Exemplo 11: Se no exemplo 5, 0 = [0 1/3 0 2/3], significa que no inicio do jogo 
a bola pode estar com a criança no. 2 ou com a criança no. 4, 
respectivamentecom probabilidades 1/3 e 2/3 (no tempo 0). 
 0(1) = P[X0 = 1] = 0  probabilidade de a criança 1 estar com a bola. 
0(2) = P[X0 = 2] = 1/3  probabilidade de a criança 2 estar com a bola. 
0(3) = P[X0 = 3] = 0  probabilidade de a criança 3 estar com a bola. 
0(4) = P[X0 = 4] = 2/3  probabilidade de a criança 4 estar com a bola. 
 
 
 17 
3.6 – Distribuição de Probabilidades após “n” Passos - Distribuição 
Estacionária 
Sejam: 
0(x) a distribuição inicial de probabilidades de um processo, isto é, no início do 
processo. 
n(x) a distribuição de probabilidades do processo após “n” passos. 
P a Matriz de Transição de Passo 1, ou simplesmente Matriz de transição. 
P
n
 = P.P.P....P (multiplicação da matriz P n vezes) 
Então a distribuição de probabilidades após “n” passos pode ser obtida como: 
 n(x) = 0(x)P
n
 
Isto é: 0(x) = 0(x) 
 1(x) = 0(x)P 
2(x) = 0(x).P.P = 0(x).P
2
 
3(x) = 0(x).P.P.P = 0(x).P
3
 
... 
n(x) = 0(x).P.P...P = 0(x).P
n
 
 
Exemplo 12: No exemplo 2 da cidade que utiliza a terra tem-se: 
 











9,01,00
2,07,01,0
1,01,08,0
P 
Assim, a partir da matriz de transição P e do vetor de probabilidade de 
estado  para 1993, denominado (0), pode-se calcular o vetor de 
probabilidades de estado  para o ano de 1998, denominado (1). 
 0,52] 0,22 26,0[
0,90,10
0,20,70,1
0,10,10,8
0,50] 0,20 [0,30Pππ 01 










 
Este resultado pode ser interpretado como: 
Em 1998, o estado de uso da terra na cidade será dado pela Tabela 3: 
Tabela 3 – Estado do uso da Terra em 1998 
I Uso Residencial 26% 
II Uso Comercial 22% 
III Uso Industrial 52% 
 18 
0 1 
Exemplo 13: No exemplo 7 da utilização das maquinas, tem-se: 
 








qq
pp
P
1
1
1
0
 
 Supondo que (0) = [ 0 1], ou seja que a máquina está funcionando, 
então pode-se calcular a distribuição de probabilidades da máquina no 
próximo dia como: 
 1 = 0.P =   







qq
pp
1
1
 10 = [ q 1-q ] 
 A distribuição de probabilidades da máquina no segundo dia pode se 
calculada como: 
 2 = 0.P
2
 =   







22
22
)1(2
2)1(
 10
qpqqpqq
pqpppqp
= 
[2q – pq - q
2
 pq + (1 - q)
2
] 
 
Lembrando que: 0: representa o estado “maquina parada” 
 1: representa o estado “maquina funcionando” 
 
Logo: 2(0) = 2q - pq - q
2
 e a probabilidade da máquina estar parada 
no segundo dia. 
 2(1) = pq + (1- q
2
) e a probabilidade da máquina estar 
funcionando no segundo dia. 
 
Observação: Pode ser demonstrado que, num tempo “n” infinitamente grande tem-se: 
qp
q
XP n
n
n



]0[lim)0()( é a probabilidade da máquina estar parada. 
qp
p
XP n
n
n



]1[lim)1()( é a probabilidade da máquina estar funcionando. 
Logo: 
 
qp
p
 







qp
q
n é a distribuição de probabilidades no 
tempo “n”, ou seja, após n passos. 
 
 19 
Exemplo 14: Se no exemplo 5, (crianças com a bola) a distribuição inicial for 
0 = [0 1/3 0 2/3] e a matriz de transição de probabilidades dada pela 
matriz P, 





















0
3
1
3
1
3
1
3
1
0
3
1
3
1
3
1
3
1
0
3
1
3
1
3
1
3
1
0
P 
Então, a distribuição de probabilidades depois de 2 lançamentos da bola 
(n = 2) será calculada como: 2(x) = 0(x).P.P = 0(x).P
2
 , Ou seja, 


































27
8
27
6
27
7
27
6
9
3
9
2
9
2
9
2
9
2
9
3
9
2
9
2
9
2
9
2
9
3
9
2
9
2
9
2
9
2
9
3
3
2
0
3
1
0).()( 202 Pxx 
 Ou seja, 






27
8
27
6
27
7
27
6
)(2 x 
 
Exercício de Fixação: O problema do Rato e o Labirinto 
Um rato é colocado num labirinto conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
O rato se movimenta através dos compartimentos aleatoriamente, isto é, se existem k 
meios de sair de um compartimento ele escolhe cada um deles com probabilidade 1/k. 
O rato faz uma mudança de compartimento a cada minuto. Seja X0 a posição inicial 
do rato e para n ≥ 1, seja Xn o compartimento onde se encontra o rato no n-ésimo 
minuto (ou após n minutos). 
 
 
1 2 
4 
7 
5 
3 
6 
8 9 
 20 
Pede-se: 
a) Descreva o espaço de estados do sistema 
b) Calcule a matriz de probabilidades de transição para cadeia de Markov 
{Xn; n = 0, 1, 2, 3,...}. 
c) Calcule a Matriz P
2
. 
d) Supondo que o rato seja colocado inicialmente no box no. 9, ou seja, 
0(x) = [0 0 0 0 0 0 0 0 1], calcule (2), isto é a Distribuição de Probabilidade 
do Passo 2. 
Solução: 
a) Espaço de Estados: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
b) 





























010000000
3/103/103/10000
02/10002/1000
000000100
010000000
001000000
0002/10002/10
0000002/102/1
000000010
9
8
7
6
5
4
3
2
1
P 
 
c) 





























3/103/103/10000
06/50006/1000
6/106/406/10000
0002/10002/10
3/103/103/10000
02/10002/1000
0000002/14/14/1
00000004/34/1
00000002/12/1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
.2 PPP 
 
d) 2 = 0.P
2
 = [0 0 0 0 1/3 0 1/3 0 1/3] 
 
 
 
 21 
3.7 – Classificação dos Estados de Uma Cadeia de Markov 
 
Seja S = {s1, s2, s3, ...} o Espaço de Estados de uma cadeia de Markov. 
a) Estado Alcançável (Acessível) 
Seja si e sj dois estado de S. 
O estado sj é dito ser alcançável a partir do estado si se existe n ≥ 0 tal que 
0)( nijp . 
Isto implica que é possível o sistema entrar no estado sj eventualmente quando 
o sistema começa no estado si. 
Notação: si  sj 
Exemplo 15: No exercício do rato e o labirinto tem-se s1  s3 uma vez que 0
)2(
13 p . 
Exemplo 16: Um jogador tem R$ 1,00 e a cada vez que joga ganha R$ 1,00 com 
probabilidade p > 0 ou perde R$ 1,00 com probabilidade 1 – p. 
O jogo termina quando o jogador acumula R$ 3,00 ou R$ 0,00. 
Este jogo é uma Cadeia de Markov cujos estados representam a 
quantia esperada de dinheiro que o jogador possui a cada vez 
que joga. O Espaço de estados é S = { 0, 1, 2, 3} e a 
matriz de transição é dada por: 















1000
010
001
0001
3
2
1
0
pp
pp
P 
Nesta Cadeia de Markov, o estado 2 não é alcançável a partir do 
estado 3. Isto pode ser observado a partir do contexto, uma vez 
que se o jogador alcançar o estado 3, ele nunca deixará este 
estado, o que implica que 0)(32 
np para qualquer n ≥ 0. 
Entretanto o estado 3 é alcançável a partir do estado 2, uma vez 
que 0)1(23 p . 
b) Estados Comunicantes 
Um estado sj é dito comunicante com o estado si se o estado sj é alcançável a 
partir de si e o estado si é alcançável a partir de sj. 
Notação: si  sj 
Obs.: si  sj então si  sj e sj  si. 
 
 
 22 
Relação de Equivalência 
i) si  si 
ii) si  sj  sj  si 
iii) Se si  sj e sj  sk então si  sk 
 
Nota: Se dois estados se comunicam entre si, diz-se que eles pertencem à mesma 
classe de estados. 
 Se todos os estados são comunicantes então os estados pertencem a uma única 
classe. Neste caso tem-se uma Cadeia de Markov Irredutível. 
 
c) Estado Transiente 
Um estado é dito ser transiente (transitório) se, entrando neste estado, o 
processo pode nunca retornar novamente para este estado. 
Portanto, o estado si é transiente se e somente se existe um estado sj (i  j) que 
é alcançável a partir de si mas não vice versa, isto é o estado si não é alcançável 
a partir de sj. 
Assim, se o estado si é transiente e o processo visita este estado, há uma 
probabilidade positiva que o processo irá mover para o estado sj e assim nunca 
irá retornar para o estado si. 
Consequentemente, um estado transiente será visitado somente um númerofinito de vezes. 
 
Definições 
i) Seja 
iif = a probabilidade condicional de que o processo iniciando em si, 
retorne alguma vez em si. 
ii) Seja ijf = a probabilidade condicional de que o processo iniciando em si, 
visite alguma vez o estado sj. 
iii) Seja nijf = a probabilidade condicional de que o processo iniciando em si 
visite sj pela primeira vez no tempo n (no n-ésimo passo). 
 nijf = P[Xn= sj, Xn-1 ≠ sj, Xn-2 ≠ sj, ....., X1 ≠ sj / X0=si ] 
 Nota: Um estado si é transiente se e somente se iif < 1. 
 
 
 
 23 
d) Estado Recorrente 
Um estado é dito ser recorrente se, entrando neste estado, o processo 
definitivamente irá retornar para este estado. 
Portanto, um estado é recorrente, se e somente se não é transiente. 
Nota: Um estado si é recorrente se e somente se iif = 1. 
 
e) Estado Absorvente 
Um estado é dito absorvente se o sistema após ter entrado nele não pode mais 
sair dele. Isto é, se um estado k é absorvente então 1kkp . Uma vez que o 
processo visita o estado k não mais sai deste estado. 
 
f) Estado Periódico e Aperiódico 
Um estado i é Periódico com período t se um retorno a este estado é possível 
somente em t, 2t, 3t, ......passos para t > 1 e t é o maio número inteiro com esta 
propriedade (Máximo Divisor Comum). Isto significa que 0)( niip sempre que n 
não é divisível por t. 
Se um estado i de uma classe tem período t então todos os estados desta classe 
também têm período t. 
 
Exemplo 17: 
 
 
 
 
 
 
Todos os Estados são Periódicos. Todos os Estados são Aperiódicos 
 
Exemplo 18: Começando no estado 1 da matriz P é possível retornar ao estado 1 
somente nos tempos 2, 4, 6, ..... Logo o estado 1 tem período t = 2. 
Isto pode ser verificado calculando )(niip para todo n e observar que 
0)( niip quando "n" é impar. 
S1 S6 
S3 
0,5 
0,5 0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
S1 S6 
S3 
1 
1 1 
 24 
 















1000
010
001
0001
3
2
1
0
pp
pp
P 
Se t = 1 então o estado i é chamado Aperiódico. Isto é, existem dois números 
consecutivos s e s+1 tal que o processo pode estar no estado i nos tempos s e 
s+1. 
 
g) Estado Ergódico 
Em uma Cadeia de Markov de estados finitos, os estados recorrentes que são 
aperiódicos são chamados de estados Ergódicos. 
Uma Cadeia de Markov é dita ser Ergódica se todos os estados são Ergódicos, 
ou seja todos os estados são recorrentes e aperiódicos. 
 
h) Classes de Comunicação ou Conjunto Fechado 
Seja S um Espaço de Estados. 
Seja C = {sk tal que sk  sj}, diz-se que C é uma classe de comunicação (ou 
um conjunto fechado) do estado sj. 
Isto é, um conjunto C é dito ser uma classe de comunicação se o processo ao 
entrar em um desses estados de C, este irá permanecer nos estados de C 
indefinidamente, ou seja, C é um conjunto tal que nenhum estado fora de C é 
alcançável a partir de qualquer estado de C. 
Pode-se afirmar que C é um conjunto formado por estados recorrentes. 
Se dois estado se comunicam entre si então pertencem à mesma classe. 
 
Observação: Se C1 e C2 são duas classes de comunicação, então C1 = C2 ou 
C1  C2 = . 
 Se todos os estados são comunicantes, isto é, todos os estados 
pertencem a uma única classes, então a cadeia de Markov é dita 
ser Irredutível. 
 
 
 
 
 
S3 
 25 
Exemplo 19: Classes de Comunicação da matriz de transição do problema do rato e o 
labirinto. 
 As classes são C1 e C2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C1 ={s1, s2, s3, s6} é uma classe recorrente, ou seja formada por estados 
recorrentes 
C2 ={s4, s5, s7, s8, s9} é uma classe recorrente, ou seja formada por 
estados recorrentes. 
 Nenhum estado de C1 consegue alcançar qualquer estado de C2. 
 
Exemplo 20: Classifique os estados e decomponha em classes a Cadeia de Markov 
representada pela seguinte Matriz de Transição. 

















00001
03/23/100
00100
0002/12/1
0004/34/1
P 
 
 
 
 
 
 
 
C1 
s1 s2 s3 s6 
C2 
s9 
s8 
s7 s4 
s5 
C1 
S2 S1 
C3 
S5 
S4 
S3 
C2 
 26 
C1 ={s1, s2} é uma classe recorrente, ou seja, formada por estados recorrentes 
C2 ={s3} é uma classe absorvente, ou seja, formada por estados absorventes 
C3 ={s4, s5} é uma classe transiente 
 
Exemplo 21: Classifique os estados e decomponha em classes a Cadeia de Markov 
representada pela seguinte Matriz de Transição. 
 























05,00005,00
0000100
007,0003,00
5,0005,0000
00009,001,0
0010000
02,000008,0
 P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C1 ={s1, s2, s6} é uma classe recorrente, ou seja formada por estados recorrentes 
C2 ={s4, s7} é uma classe transiente 
C3 ={s2, s5} é uma classe recorrente, ou seja formada por estados recorrentes 
 
i) Estados Estáveis 
 Se existir πj = lim πj(k) onde πj(k) = P[Xk = j], para um dado estado j, então j é 
 um estado estável ( ou de equilíbrio estacionário). 
 Se πj existe para todos os estados j, então π = [π0, π1, π2, ......] é o vetor de 
 probabilidade de estados estacionários. 
Nota: Quando a cadeia de Markov for irredutível e não periódica então o valor de π é 
obtido resolvendo-se o sistema de equações π = πP, onde π0 + π1 + π2 + .... = 1. 
 
C1 
S1 S6 
S3 
C3 
S2 
S5 
C2 
S7 
S4 
 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 
 S1 
S2 
S3 
S4 
S5 
S6 
S7 
 
 27 
3.8 – Classificação de Matrizes Estocásticas 
 
 
a) Matrizes Ergódicas 
Uma matriz estocástica P é Ergódica se a matriz 
n
n
PL

 lim existe, isto é, 
se cada )(n
ijp tem limite quando n. Isto é, todos os estados são 
aperiódicos. 
No limite, a Matriz L tem todas as linhas iguais. 
A matriz L é a matriz com as distribuições limites e independe da 
distribuição inicial 0. 
 
 
b) Matrizes Regulares 
Uma das mais importantes características exibidas por muitas cadeias de 
Markov é um comportamento de equilíbrio em longo prazo. Em outras 
palavras, “depois de um longo tempo”, a distribuição da cadeia de Markov 
permanece aproximadamente a mesma de período em período de tempo. Isso 
significa que, em longo prazo, as probabilidades de o sistema estar em cada um 
dos vários estados pouco ou nada variam à medida que o tempo passa. 
 
Uma matriz estocástica é Regular se uma das suas potências contém apenas 
elementos positivos (não contém elementos nulos). 
 
Exemplo 21: 
 











7,02,01,0
1,08,01,0
1,03,06,0
P 
A matriz P contém somente valores positivos. Logo P é uma matriz Regular. 
 
 






85,015,0
10
P 
A matriz P contém um valor nulo. Entretanto a segunda potência de P tem 
somente valores positivos. Logo P é uma matriz Regular. 
 
 











3,07,00
010
8,02,00
P 
A matriz P contém valores nulos e suas potencias continuarão com valores 
nulos. Logo P não é uma matriz Regular. 
 
 28 
A propriedade fundamental das matrizes Regulares é a de possuírem uma distribuição 
de equilíbrio. Isso significa que, a longo prazo, as probabilidades de o sistema estar 
em cada um dos vários estados estabilizam-se em determinados valores positivos. Em 
particular, então, após um período de tempo suficientemente longo, haverá uma 
probabilidade positiva de estar em qualquer um dos estados da cadeia de Markov. 
 
Teorema: Uma matriz Regular é também uma matriz Ergódica. 
 
Observações: 
 
a) Se P é uma matriz Regular com matriz L, então as linhas de L são todas 
idênticas, tendo a soma de seus componentes igual a 1. 
 
b) Se P é uma matriz Regular então P é uma matriz Ergódica e assim existe a 
matriz limite L. 
c) A Matriz L é obtida resolvendo-se o sistema L = LP, com a condição de que 
  )(n
ijp =1. 
 
Exemplo 22: Seja a matriz estocástica P, determine a matriz L com as distribuições 
limites. 
 






85,015,0
12,088,0
P 
Solução: 
Como a matriz P contém todos os elementos positivosentão P é uma matriz 
regular e por isso é uma matriz Ergódica. Logo existe a matriz L. 
 
Cálculo da matriz L: 
Seja L1 a primeira linha da matriz L onde L1 = [x1 x2]. Então L1 = L1P. 
Isto é: 
 [x1 x2] = [x1 x2]. 





85,015,0
12,088,0
  








1
85,012,0
15,088,0
21
221
121
xx
xxx
xxx
 








1
015,012,0
015,012,0
21
21
21
xx
xx
xx
 
Eliminando uma das redundâncias teremos: 





1
015,012,0
21
21
xx
xx
 
Resolvendo o sistema em x1 e x2, teremos a seguinte solução: 
x1 = 0,55 e x2 = 0,45 
Logo L1= [0,55 0,45] 
Com isso a matriz com os valores limite L será: 






45,055,0
45,055,0
L . 
 29 
Exemplo 23: Seja a matriz estocástica P, determine a matriz L com as distribuições 
limites. 
 






01
10
1
0
P 
Se o processo começa no estado 0 no tempo 0, o processo retornará ao 
estado 0 nos tempos 2, 4, 6, .... e entrará no estado 1 nos tempos 1, 3, 5, .... 
Portanto, o 
n
n
P

lim não existe. Esta matriz não é Ergódica. 
 
c) Matrizes Absorventes 
Diz-se que uma matriz é absorvente se ela tem um estado absorvente e se 
de cada estado não absorvente é possível ir para algum estado absorvente. 
Esta última condição significa que para cada estado i não absorvente existe 
um estado absorvente j tal que, para algum n, 0)( nijp . 
Numa matriz absorvente, qualquer que seja a distribuição inicial, após um 
número finito de passos, o sistema estará em um dos estados absorventes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
Primeira Lista de Exercícios - Cadeias de Markov 
 
1. O fabricante da pasta dental HIGLO controla atualmente 60% o mercado de uma 
determinada cidade. Dados do ano anterior mostram que 88% dos consumidores 
de HIGLO permaneceram leais à marca, enquanto 12% mudaram para outras 
marcas. Além disso, 85% dos consumidores das marcas da concorrência 
permaneceram leais à concorrência, enquanto que os outros 15% mudaram para 
HIGLO. Assumindo que essa tendência se mantém, resolva: 
a) Formule o processo seguinte como uma cadeia de Markov, e determine a 
 Matriz de Probabilidades de transição. 
 b) Determine a quota de mercado de HIGLO daqui a 5 anos. 
 c) Determine a quota de mercado de HIGLO a longo prazo. 
 
2. O programa de formação de supervisores de produção de uma determinada 
companhia consiste em duas fases. A fase 1, a qual envolve 3 semanas de aulas, é 
seguida da fase 2, que envolve 3 semanas nas de aprendizagem prática sob a 
direção de supervisores experimentados. Da experiência anterior, a companhia 
espera que apenas 60% dos candidatos que começam as aulas venham a passar à 
fase seguinte, verificando-se a desistência dos restantes 40%. Dos que passam à 
fase prática, 70% serão graduados como supervisores, 10% terão de repetir esta 
fase e 20% abandonarão o programa. Quantos supervisores pode a companhia 
esperar formar no seu programa de formação atual, sabendo que há 45 pessoas na 
primeira fase e 21 na fase prática. 
Formule o processo seguinte como uma cadeia de Markov, identificando a matriz 
de probabilidades de transição. 
 
3. Resolva os itens b) e c) do problema formulado no exercício 1, assumindo que a 
quota atual de mercado da HIGLO é igual a 90%. 
 
4. Construa o diagrama de transição de estados da cadeia de Markov do exercício 2. 
 
5. Os dados de um recenseamento familiar dividem as famílias em populações 
economicamente estáveis e economicamente deprimidas. Num período de 10 
anos, a probabilidade de que uma família estável assim permaneça é de 0,92, 
enquanto a probabilidade de ela ficar em depressão é de 0,08. A probabilidade de 
que uma família em depressão se torne estável é de 0,03, enquanto a probabilidade 
de que ela assim permaneça é de 0,97. Se designarmos a estabilidade econômica 
como o estado 1 e a depressão econômica como o estado 2, então podemos 
representar este processo por uma cadeia de Markov com dois estados. 
a) Determine a matriz de probabilidades de transição do processo de 
Markov. 
 31 
b) Faça uma interpretação física dos elementos 
2
ijp da matriz P2 encontrada, 
que representa a probabilidade de passagem do estado i para o estado j em 
dois períodos de tempo. 
 
6. Assumindo que os dados do exercício 5 permanecem válidos a longo prazo, 
determine a proporção de famílias que, a longo prazo, serão classificadas como 
economicamente estáveis. 
 
7. A ala geriátrica de um hospital classifica os seus pacientes como acamados ou 
ambulatórios. Dados históricos indicam que durante o período de uma semana, 
30% de todos os pacientes em ambulatórios têm alta, 40% permanecem em regime 
ambulatório e 30% têm de ser acamados para repouso completo. Durante o mesmo 
período, 50% dos pacientes acamados vão para o ambulatório, 20% permanecem 
acamados e 30% morrem. Atualmente, o hospital tem 100 pacientes na sua ala 
geriátrica, com 30% dos pacientes acamados e 70% em ambulatórios. 
a) Formule o sistema como uma cadeia de Markov, e determine a matriz de 
probabilidades de transição. 
b) Determine o estado dos pacientes atuais após 2 semanas. 
c) Determine o estado dos pacientes atuais a longo prazo. 
 (O estado de um paciente com alta não muda se o paciente morrer). 
 
8. Numa cadeia de Markov, um estado é dito ser absorvente se o sistema após ter 
entrado nele não pode mais sair dele. 
Determine todos os estados absorventes para as cadeias de Markov definidas pelas 
seguintes matrizes: 
a) 






79,021,0
01
 b) 










001
2,03,05,0
100
 
 
c) 












7,003,00
0100
5,005,00
0001
 d) 










6,02,02,0
1,009,0
1,08,01,0
 
 
 e)










48,035,017,0
079,021,0
001
 
 
 
 
 32 
9. Num país, existem 4 principais fabricantes de automóveis : FD, VW, GM, FT. Os 
“market shares” destes fabricantes são, respectivamente : 10%, 35% , 25 % e 30 
%. A matriz de transição que representa a probabilidade de mudança de marca é 
dada a seguir: 




























0.35 0.25 0.35 0.05
0.05 0.75 0.05 0.15
0.1 0.1 0.7 0.1
0.1 0.2 0.1 .60
P P P P
P P P P
P P P 
P P P 
FTFT,GMFT,VWFT,FDFT,
 FTGM,GMGM,VWGM,FDGM,
FTVW,GMVW,VWVW,,
FTFD,GMFD,VWFD,,
FDVW
FDFD
P
P
P
 
 
Supondo que o instante inicial é t =0 calcule: 
a) Os market shares nos instantes t = 1 e t = 2. 
b) A matriz de transição de 2, 3, 10, 20 e 30 estágios. 
c) Baseado nos resultados de b, você consegue fazer alguma conjectura a 
respeito da existência de um limite para Pn ? 
 
10. O tempo num dia qualquer pode ser classificado como sol ou chuva. Suponha que 
o tempo hoje depende das condições dos últimos 2 dias. Mostre como este sistema 
pode ser analisado como uma cadeia de Markov. Quantos estados são necessários 
para esta representação? 
 
11. Um fabricante de disquetes usa cadeias de Markov para ter uma idéia da lealdade 
dos consumidores a diversas marcas. Dados de uma pesquisa foram usados para 
estimar a seguinte matriz de transição que representa a probabilidade de mudança 
de marcas a cada mês. Suponha que existem 3 marcas principais, A, B e C. 
 
P
P
P
P
AA
BA
CA






















 P P
 P P
 P P
 0.10 0.10
0.03 0.95 0.02
0.20 0.05 0.75
AB AC
BB BC
CB CC
080.
 
 
A divisão de mercado das marcas A, B e C no instante inicial t = 0 são 45%, 25% e 
30%, respectivamente. 
a) Qual será a divisão de mercado das marcas A, B e C após 2 meses 
(isto é, em t = 2)? 
b) Qual a previsão para o equilíbrio de mercado das marcas A, B e C, isto é, 
após um grande númerode transições? 
 
12. Classifique todas as classes de estados da matriz de transição P do problema do 
Rato e o Labirinto. 
 
13. Classifique todas as classes de estados da matriz de transição P2 do problema do 
Rato e o Labirinto. 
 
 
 33 
14. Seja P uma matriz de transição, calcule a matriz P(). 











001
2,03,05,0
100
P 
 
15. Classifique os estados das Cadeias de Markov abaixo, de acordo com as suas 
respectivas Matrizes de Transição. 
 
 a) 











02/12/1
2/102/1
2/12/10
2
1
0
P 
 
 b) 



















000001
000001
000001
3/13/13/1000
3/13/13/1000
0002/12/10
5
4
3
2
1
0
P 
 
 c) 











001
100
010
2
1
0
P 
 
16. Um treinador de futebol na moda acredita na polivalência dos seus jogadores. 
Considera três tipos de jogadores na sua equipe: Atacantes, Defesas, e Goleiro. 
Após cada jogo reavalia os jogadores de forma a que no jogo seguinte possa usá-
los de acordo com as suas tácticas para o ataque/defesa. Além disso, sempre que 
um jogador incorre numa falta disciplinar coloca-o, de castigo, como goleiro no 
jogo seguinte. Depois de ter experimentado este sistema uma época observou que 
a probabilidade que, de um jogo para o outro: 
 um atacante continue atacante é 1/2; 
 um atacante passe a defesa é zero; 
 um defesa passe a atacante é zero; 
 um defesa fique defesa é 1/2; 
 um goleiro passe a atacante é 3/4; 
 um goleiro passe a defesa é zero. 
No ınicio do campeonato classificou o seu plantel da seguinte forma: doze 
atacantes, onze defesas e dois goleiros. Depois pensou num modelo de cadeia de 
Markov para a evolução da sua equipa. Os alunos de USF vão ajudá-lo a entender 
o que lhe vai acontecer com este esquema, estudando a cadeia de Markov 
subjacente ao modelo. 
 34 
1 - Identifique os seguintes itens. 
 a) O espaço de estados S. 
 b) Um grafo dirigido correspondente às transições. 
 c) A matriz de transição de estados P. 
 d) A distribuição inicial . 
2 - Determine, para este modelo, os seguintes resultados. 
 e) A matriz de transições de ordem superior P
n
 para n ≥ 1, Ex. n = 2 e n = 3. 
 f) As classes de estados comunicantes. 
 g) As classes fechadas e os estados absorventes. 
3 - Diga o que vai acontecer no fim do campeonato, isto é, ao fim de 35 jogos. 
 Se não puder efetuar o cálculo exatamente proponha um resultado que ache 
 plausível. 
 4 - Determine os estados transientes, recorrentes e os estados periódicos. 
 5 - Determine a distribuição estacionária, se esta existir. 
 
 
 35 
TEORIA DAS FILAS 
4 – ASPECTOS FUNDAMENTAIS SOBRE FILAS 
4.1 – Conceito de Fila 
 
O que são filas? 
Qualquer pessoa sabe exatamente o que são filas em decorrência das experiências que 
o dia-a-dia nos coloca. Todos nos conhecemos o que são filas pela vivência do dia-a-
dia. 
Nós entramos em uma fila para descontar um cheque em um banco, pagar pelas 
compras em um supermercado, comprar um ingresso em um cinema, pagar o pedágio 
em uma estrada e tantas outras situações. Filas existem também em ambientes de 
produção. 
Algumas vezes as filas são algo abstrato, tais como uma lista no computador 
referente a pedidos de manufatura em uma fábrica de geladeiras, ou uma pilha de 
papéis referentes a solicitações de reparos em máquinas estragadas dentro de uma 
fábrica, que devem aguardar a disponibilidade do reparador. Outras vezes a fila não é 
vista enfileirada, mas sim, dispersa, como, por exemplo, pessoas em uma barbearia, 
esperando pela vez de cortar o cabelo, aviões sobrevoando um aeroporto, esperando 
pela vez para aterrissar, ou navios parados no mar, esperando pela vez de atracar no 
porto para descarregar. 
Exemplos de Problemas de Filas: 
 Chamadas Telefônicas 
 Salão de Barbeiro 
 Caixas de Supermercados 
 Pedágios 
 Posto de Gasolina 
 Atracação de Navios em um Porto 
 Consultório Médico 
 Hospitais 
 Bancos 
 Aeroportos 
 Banheiros 
 Computador, etc. 
 36 
Filas não são Simpáticas 
Certamente não é agradável entrar em uma fila e esperar pelo serviço e quando a 
espera é longa, ficamos aborrecidos. Se estivermos em uma fila, passamos a 
comparar o desempenho da nossa fila com o desempenho das outras filas e, 
geralmente, somos levados a pensar como uma das leis de Murphy. 
 
 
 
Filas são Dispendiosas 
Além de não serem simpáticas, as filas têm ainda o lado desfavorável do custo. Isto é 
válido em qualquer ambiente, indo de fábricas a um supermercado. Por exemplo, nas 
fábricas a existência de fila em um determinado equipamento pode ocasionar um 
aumento nos tempos do ciclo de produção. As conseqüências disto podem ser 
aumento nos custos, e atrasos no atendimento aos pedidos dos clientes. 
 
Medidas de Efetividade de um Sistema de Filas 
1. Percentual de tempo ocioso ou ocupado 
2. Tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera 
3. Tempo médio gasto pelo cliente no sistema 
4. Número médio de clientes na fila 
5. Número médio de clientes no sistema 
6. Probabilidade de existir um número n de clientes no sistema. 
 
4.2 – Dimensionamento de Filas 
 
Do ponto de vista do cliente, o ideal seria dimensionar sistemas para a não existência 
de filas e, se isto realmente fosse possível, certamente não teríamos clientes 
aborrecidos. 
Em muitas situações na vida real, apesar de não serem simpáticas e de causarem 
prejuízos, temos que conviver com as filas na vida real, visto ser antieconômico 
superdimensionar um sistema para que nunca existam filas. O que se tenta obter é um 
balanceamento adequado que permita um atendimento aceitável pelo melhor custo e 
melhor benefício. 
 
Lei de Murphy: 
“A fila que anda é a outra, mas não adianta trocar de fila, pois a fila que anda é a outra.” 
 37 
O melhor dimensionamento de um sistema de filas pode estar fundamentado nos 
seguintes itens: 
 - Na demanda histórica média; 
 - Na expectativa de qualidade de atendimento por parte dos clientes; 
 - Na necessidade de oferecer uma melhor renda aos funcionários; 
 - Na percepção, pelo proprietário, da fidelidade dos clientes; 
- Na percepção, pelo proprietário, de que não existe nenhuma ameaça de 
surgimento de um novo concorrente na vizinhança. 
 
O dimensionamento de sistemas pode ser feito por duas abordagens inteiramente 
diferentes entre si: 
- Teoria das Filas; 
- Simulação de Funcionamento dos Sistemas. 
A Teoria das Filas é um método analítico que aborda o assunto por meio de 
fórmulas matemáticas. 
A Simulação é uma técnica que, utilizando um computador, procura montar um 
modelo que melhor represente o sistema em estudo. A simulação é uma técnica que 
permite imitar o funcionamento de um sistema real. Pode-se visualizar o 
funcionamento de um Banco, uma Fábrica, um Pedágio, etc. 
 
4.3 – Aspectos Históricos 
 
Teoria das Filas 
A abordagem matemática de filas se iniciou no princípio do século XX (1908) em 
Copenhague, Dinamarca, com A. K. Erlang, considerado o pai da Teoria das Filas, 
quando trabalhava em uma companhia telefônica estudando o problema de 
redimensionamento de centrais telefônicas. Foi somente a partir da segunda guerra 
mundial que a teoria foi aplicada a outros problemas de filas. Apesar do enorme 
progresso alcançado pela teoria, inúmeros problemas ainda não são adequadamente 
resolvidos devido a complexidades matemáticas. 
 
 
 
 
 
 38 
Simulação 
Com surgimento do computador na década de 50, a modelagem de filas pode ser 
analisada pelo ângulo da simulação, em que não mais se usam fórmulas matemáticas, 
mas apenas tenta-se imitar o funcionamento do sistema real. As linguagens de 
simulação apareceram na década de 60 e hoje, graças aos microcomputadores, podem 
ser facilmente usadas. A técnica de simulação visual, cujo uso se deu a partir da 
década de 80, por causa de sua maior capacidade de comunicação, teve uma aceitaçãosurpreendente. Por causa do seu menor nível de complexidade, seu uso cresceu 
enormemente. 
5 – FUNDAMENTOS BÁSICOS DE FILAS 
5.1 - Elementos de Uma Fila 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura 1 ilustra os elementos que compõem uma fila. 
Num sistema de filas tem-se que, de certa população, surgem os clientes que formam 
uma fila e que aguardam por algum serviço. 
O termo cliente é usado de uma forma genérica e pode representar tanto uma pessoa, 
um navio, ou um produto numa linha de produção. 
O atendimento é constituído de um ou mais servidores (que podem ser chamados de 
atendentes ou canais de serviço) e tanto podem representar um barbeiro, um cais de 
atração ou uma máquina numa linha de produção. 
 
 
 
 
 
Servidor 
Servidor 
Servidor 
Atendimento 
Fila 
Clientes 
População 
Figura 1: Elementos de uma fila 
 39 
5.2 – Características de Uma Fila 
5.2.1 - Clientes e Tamanho da População 
 
Um cliente é proveniente de uma população. Quando a população é muito grande 
dizemos que a população é infinita para efeitos práticos. Em população muito grande 
a chegada de um novo cliente numa fila não afeta a taxa de chegada dos clientes 
subseqüentes e, assim, concluímos dizendo que as chegadas são independentes. 
Como exemplo, a chegada de um novo passageiro numa fila de um metrô não afetará 
a taxa de chegada dos demais clientes. Quando a população é pequena isto não 
acontece, como exemplo, se numa população de 3 caminhões para serem carregados 
por uma carregadeira, se os 3 caminhões já estão na fila, a partir deste momento a 
taxa de chegada será zero, porque não há mais caminhões para chegar na fila. 
5.2.2 - Processo de Chegada 
 
Consideremos um posto de pedágio com 5 atendentes. Podemos constatar, por 
exemplo, que o processo de chegada de veículos entre 7 e 8 horas da manhã pode ser 
definido por 20 veículos por minuto, ou 1 veículo a cada 3 segundos. Trata-se de um 
valor médio, pois não significa que em todo intervalo de 1 minuto chegarão 20 
veículos. Em alguns intervalos de 1 minuto pode-se constatar a chegada de 10, 15, 25 
ou até mesmo 30 veículos. Igualmente, o intervalo de 3 segundos entre chegadas não 
é rígido e podemos constatar valores desde zero segundo (2 veículos chegando 
juntos) até 20 segundos. O número 3 segundos representa o intervalo médio entre 
chegadas no período de 7 às 8 horas da manhã. 
 
Resumindo: Podemos quantificar o processo de chegada dizendo que: 
- A taxa média de chegadas é de 20 veículos por minuto, ou que 
- O intervalo médio entre chegadas é de 3 segundos. 
No entanto existem variações em torno da média e, portanto, para caracterizar 
corretamente um processo de chegada devemos lançar mão de uma distribuição de 
probabilidades, tal como a distribuição normal, a distribuição de Poisson, ou a 
Distribuição Exponencial. 
Quando se estudam filas, o ritmo de chegada é uma importante variável aleatória e a 
seguinte notação será adotada: 
A letra grega λ será adotada para representar o ritmo de chegada. 
A sigla IC será adotada para representar os intervalos de chegada dos clientes. 
Assim, no exemplo anterior temos: 
 
 40 
Ritmo de chegada (ou taxa de chegada): λ = 20 clientes/minuto 
Intervalo entre chegadas: IC = 3 segundos 
 
5.2.3 - Processo de Atendimento 
Continuando com o exemplo do pedágio e observando um atendente em serviço, 
podemos constatar, por exemplo, que ele atende 6 veículos por minuto ou que gasta 
10 segundos para atender um veículo. Estes valores são médios e, para descrevê-los 
corretamente devemos também utilizar uma distribuição de probabilidades. 
Resumindo: Podemos quantificar o processo de atendimento dizendo que: 
- A taxa média de atendimento é de 6 veículos por minuto, ou que 
- O Tempo médio de atendimento é de 10 segundos. 
O processo de atendimento é também quantificado por uma importante variável 
aleatória e a seguinte notação será adotada: 
A letra grega  será adotada para representar o ritmo de atendimento. 
A sigla TA será adotada para representar os tempos de atendimento dos clientes. 
Assim, no exemplo anterior temos: 
Ritmo de atendimento (ou taxa de atendimento):  = 6 clientes/minuto 
Tempo de Atendimento: TA = 10 segundos 
 
5.2.4 - Número de Servidores 
O mais simples sistema de filas é aquele de um único servidor que pode atender um 
único cliente de cada vez. Conforme aumenta o ritmo de chegada dos clientes, 
podemos manter a qualidade do serviço aumentando convenientemente o número de 
servidores. A figura 1 representa um sistema de filas com 3 servidores. 
5.2.5 - Disciplina da Fila 
Trata-se da regra que define o próximo cliente a ser atendido e o processo comum de 
atendimento é aquele em que o primeiro da fila é atendido ou, de uma maneira mais 
ampla, “o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido” (FIFO: first In First Out). 
Outras disciplinas podem existir tais como “ultimo a chegar é o primeiro a ser 
atendido” (LIFO: Last In First Out), ou então atendimento por ordem de prioridade, 
ou atendimento aleatório. 
 
 
 41 
5.2.6 - Tamanho Médio da Fila 
O tamanho médio da fila é a característica que mais se considera ao se defrontar com 
a opção de se escolher uma fila. Considera a situação de um cliente em um 
supermercado procurando efetuar o pagamento no caixa de menor fila: o ideal é 
chegar ao caixa e será logo atendido, ou seja, fila zero. 
Quando a fila é de tamanho razoável (por exemplo 10 clientes) intuitivamente 
sabemos que o tempo de espera na fila será longo. Assim, o supermercado 
dimensiona a quantidade de caixas de modo que, a qualquer momento, os clientes não 
sintam um grande desconforto ao pegar uma fila. Situações atípicas certamente 
ocorrerão, mas não devem afetar a credibilidade da instituição. 
 
5.2.7 - Tamanho Máximo da Fila 
Quando os clientes devem esperar, alguma área de espera deve existir (por exemplo: 
as cadeiras de uma barbearia). Observa-se, na vida real,que os sistemas existentes são 
dimensionados para certa quantidade máxima de clientes em espera. Esse 
dimensionamento geralmente é feito com base em experiência real. Quando existe 
um crescimento da demanda, se faz uma ampliação também baseada na experiência 
com o manuseio do referido sistema. 
Há casos em que um novo cliente que chega pode ser recusado, devendo tentar 
novamente em outro instante. Exemplo: tentativa de conseguir uma linha telefônica, 
recebendo o sinal de “ocupado” ou de que não há linha disponível. 
Essas condições referem-se ao que se chama de “tamanho máximo” da fila, que é 
uma importante variável de estudo em um sistema de filas. 
 
5.2.8 - Tempo Médio de Espera na Fila 
O tempo médio de espera na fila é outra característica capaz de causar irritações nos 
clientes. O ideal é que não haja tempo de espera na fila, mas nem sempre é a melhor 
situação do ponto de vista econômico. 
Se entrarmos numa fila com 10 pessoas à nossa frente, o tempo de espera será igual 
ao somatório dos tempos de atendimento de cada uma dos clientes na nossa frente ou, 
possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de atendimento dos clientes. 
Tal como o tamanho médio da fila, o tempo médio de espera na fila depende do 
processo de chegada e do processo de atendimento. 
 
 
 42 
5.3 – Distribuição do Tempo de Atendimento 
Quando nos referimos a filas, precisamos recorrer às variáveis aleatórias. Assim para 
as principais variáveis existe um valor médio e uma distribuição de freqüências que 
mostra as chances de ocorrências dos valores. 
Quando se diz que a duração média de atendimento é de 10 segundos, não se está 
afirmando que todo atendimento é de 10 segundos. Em diferentes momentos de 
observação podem-se ter valores maiores ou menores que 10 segundos. 
Para exemplificar a variável “tempo de atendimento”, se fosse coletada uma grande 
quantidade de dados sobre o atendimento poder-se-ia concluir que existe um padrão 
de atendimentoexpresso por uma distribuição de freqüências, tal como mostrado na 
Figura 2. 
 
 
Pela Figura 2 pode-se concluir que: 
 É nula a probabilidade de atender um cliente em menos de 5 segundos 
 A probabilidade de atender um cliente em 10 segundos é 18% ou 0,18. 
 A probabilidade de atender um cliente em 25 segundos é 0,5% ou 0,05. 
A mesma observação pode ser feita para outras variáveis tais como “tamanho médio 
da fila”, etc. 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
F
re
q
u
e
n
c
ia
 R
e
la
ti
v
a
 (
%
) 
Figura 2: Tempo de Atendimento (segundos) 
 43 
5.4 – Dinâmica de uma Fila 
 
Imagine um observador fazendo anotações num sistema de filas num banco durante 
30 minutos, anotando o intervalo entre chegadas dos clientes no caixa eletrônico e 
anotando também o tempo de atendimento do cliente. Imagine que o observador 
obteve os seguintes resultados em minutos: 
 
Processo de Chegada 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2 
Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31 
 
No período de meia hora chegaram 12 pessoas em intervalos de minutos: 
Momento: significa o instante da chegada do novo cliente 
Intervalo: significa o tempo que levou para chegar um novo cliente 
Exemplo: O 1º cliente demorou 2 minutos para chegar, chegou no 3º minuto. 
O 5º e o 6º clientes chegaram juntos no 17º. minuto. 
Neste sistema, as seguintes perguntas podem ser feitas: 
- Qual é a média dos intervalos de chegada? 
- Qual é a taxa de chegada dos clientes? 
IC = Intervalo de Chegada 
A soma de todos os intervalos é igual a 30, logo, pode-se concluir que: 
Em média: IC = utosmin5,2
12
30
clientes de total
intervalos dos soma
 
Ou seja, pode-se concluir que em média a cada 2,5 minutos chega um cliente. 
Desta forma, pode-se concluir que a taxa de chegada de clientes por hora é: 
horaporclientes24
minutos 2,5
minutos 60
 
Graficamente temos: 
 
 
 
 
Minutos 
Clientes 
2º. 1º. 3º. 6º. 9º. 12º. 17º. 18º. 23º. 31º. 
1º. 2º. 3º. 4º. 7º. 5º. 
6º. 
8º. 12º. 
 44 
Conclusão: IC = 2,5 minutos ou 
 λ = 24 clientes por hora ou 
 λ = 0,4 clientes por minuto 
 
Processo de Atendimento 
O observador anotou o tempo de atendimento dos clientes no caixa eletrônico e 
obteve os seguintes resultados em minutos: 
 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Tempo de 
Atendimento 
 
1 
 
2 
 
1 
 
1 
 
3 
 
2 
 
1 
 
4 
 
2 
 
3 
 
1 
 
3 
 
O tempo total de atendimento de todos os clientes foi de 24 minutos. 
O tempo médio de atendimento dos clientes é: 
minuntos2
12
24
12
313241231121


TA 
Ou seja, TA = 2 minutos por cliente 
Ou seja, o sistema tem capacidade de atender 30 clientes por hora. Logo, a taxa de 
atendimento é µ=30. 
Conclusão: µ = 30 clientes por hora 
TA = 2 minutos 
 
Parâmetros do Sistema 
Taxa de Chegada dos Clientes: 
λ = 24 clientes por hora 
IC = 2,5 minutos 
Taxa de Atendimento dos Clientes: 
µ = 30 clientes por hora 
TA = 2 minutos 
Nota: Todos esses parâmetros representam médias. 
 
 45 
Dinâmica do Funcionamento de uma Fila 
 
 
 
Pela Figura 3, observa-se que: 
- O primeiro cliente chegou ao caixa eletrônico no início do 3º minuto e seu 
atendimento durou 1 minuto, portanto se encerrou no final do 3º minuto. 
- O quinto cliente chegou ao caixa eletrônico no início do 17º minuto e seu 
atendimento durou 3 minutos, portanto se encerrou no final do 19º minuto. 
- O 6º cliente chegou ao caixa eletrônico junto com o 5º cliente. Então no início do 
20º minuto foi iniciado o atendimento do 6º ciente que se estendeu até o final do 21º 
minuto. 
- O 12º cliente saiu do atendimento no final do 35º minuto. 
 
De acordo com a Figura 3, os tempos fila foram: 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Tempo de 
fila 
0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
11 
 
12 
1 2 3 4 5 
6 
7 
8 
9 
10 
7 
6 9 
11 
12 
5 10 15 20 25 30 35 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 
Tempo de 
Atendimento 
Tempo de 
Espera na Fila 
Figura 3: Dinâmica do Funcionamento de uma Fila 
 46 
Portanto, os seguintes parâmetros podem ser calculados: 
Total de clientes atendidos: 12 
Tempo Médio de Fila: 
minutos 33,1
12
16
12
231304300000
clientes de total
fila de totaltempo
TMF 

 
Tamanho Médio da Fila 
clientes 4,0
35
16
35
231343
oatendiment no gasto tempo
fila de totaltempo
TaMF 

 
Observação: 
Revendo os dados do sistema do banco, pode-se concluir que: 
 λ = 24 clientes por hora (ou IC = 2,5 minutos) 
 µ = 30 clientes por hora (ou TA = 2minutos) 
Observe que a capacidade de atendimento do sistema (µ) é superior ao ritmo de 
chegada dos clientes (λ), mas mesmo assim houve a formação de filas. 
 
Sistemas Estáveis 
A abordagem matemática de filas pelo uso da Teoria das Filas exige que exista 
estabilidade no fluxo de chegada e no processo de atendimento, ou seja, os valores λ 
e µ devem se manter constantes no tempo. Do contrário deve ser utilizada a técnica 
de simulação de sistemas. 
Por exemplo, observando-se o funcionamento de um banco, poderíamos verificar que 
o fluxo de chegada de clientes varia durante o dia na seguinte forma: 
Período 10 às 12 horas 12 às 14 horas 14 às 16 horas 
Fluxo Médio Alto Médio 
 
Ou seja, não existe uma estabilidade para o ritmo de chegada dos clientes e neste caso 
o uso da Teoria das Filas só pode ser aplicado se o período global de chegada for 
retalhado em períodos parciais estáveis. 
 
 47 
Condições para sistemas Estáveis: 
 O fluxo médio de chegada é constante (λ constante). 
 O fluxo médio de atendimento é constante (µ constante). 
 O ritmo de atendimento é maior que o ritmo de chegada (λ<µ). 
 
Exercício 
Considere um sistema em que navios chegam a um porto para carregamento. Abaixo 
estão anotados os valores de intervalos entre chegadas para 12 navios (tempo em 
horas). 
Intervalos entre chegadas dos navios: 
Navios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Intervalo 10 02 13 07 02 08 08 08 10 09 01 14 
 
Tempo de carga dos navios é: 
Navios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Intervalo 5 5 3 3 6 7 6 8 2 5 8 8 
 
Calcular: 
a) O intervalo médio entre as chegadas 
b) A duração média de carga dos navios 
c) Monte o desenho do funcionamento do sistema 
d) Calcule o tamanho médio da fila 
e) Calcule o tempo médio de espera na fila 
Solução: 
a) Tempo Médio Entre as Chegadas 
horasICsejaouhorasmédia 6,7;,6,7
12
92
 
Taxa de chegada dos navios horapor navios 13,0
6,7
 1

h
navio
 
 48 
b) Tempo médio de carregamento 
 horasmédia 5,5
12
66
 
Taxa de carregamento dos navios horapornavios18,0
5,5
navio 1

h
 
c) Funcionamento do Sistema 
Navios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Intervalo 10 02 13 07 02 08 08 08 10 09 01 14 
Momento 11 13 26 33 35 43 51 59 69 78 79 93 
 
 
 
 
 
 
d) Tamanho Médio da Fila 
079,0
101
413


TaMF 
e) Tempo Médio de Fila 
filanahoras66,0
12
413


TMF 
5.5 – Conceitos Básicos de Fila 
Seja um sistema de filas, numa situação estável, na qual clientes chegam e entram na 
fila onde existe um número c de atendentes. 
Portanto, tem-se: 
λ = Ritmo médio de chegada dos clientes 
µ = Ritmo médio de atendimento dos clientes 
c = Capacidade de atendimento do sistema 
Dentre as variáveis aleatórias num sistema de filas, algumas são fundamentais e estão 
ilustradas na Figura 4. 
 
 
 11 13 16 21 26 29 33 35 36 42 49 51 57 59 67 69 71 78 79 83 91 93 101 
1 2 3 7 4 6 5 8 9 10 11 12 
2 11 5 
Atendimento 
Filas 
 49 
Sistema de filas5.5.1 – Variáveis Aleatórias Fundamentais 
 
Variáveis Referentes ao Sistema 
TS = Tempo Médio de Permanência no Sistema 
NS = Número Médio de Clientes no Sistema 
 
Variáveis Referentes ao Processo de Chegada 
 λ = Ritmo Médio de Chegada 
IC = Intervalo Médio Entre Chegadas 
Por definição 
IC
1
λou
λ
1
IC  
 
Variáveis Referentes à Fila 
TF = Tempo Médio na Fila 
NF = Número Médio de Clientes na Fila 
 
Clientes na Fila 
E
nt
ra
da
 
S
aí
da
 
Cliente no atendimento 
Chegada 
IC λ 
Fila 
TF NF 
Atendimento 
C TA NA µ 
Figura 4: Sistema de Filas 
 50 
Variáveis Referentes ao Processo de Atendimento 
TA = Tempo Médio de Atendimento (ou serviço) 
 C = Capacidade de Atendimento (nº de atendentes) 
NA = Número Médio de Clientes em Atendimento 
 µ = Ritmo Médio de Atendimento de Cada Atendente 
Por definição: 
TA
ouTA
11
 

 
Relações Básicas 
NS = NF + NA 
TS = TF + TA 
IC
TA
TA
1
IC
1
μ
λ
NA  
 
Taxa de Utilização dos Atendentes 
Para o caso de uma fila com um atendente: 
A taxa de utilização é 


  
Para o caso de uma fila com um número c de atendentes: 
A taxa de utilização é 



.C
 
Exemplo de taxa de utilização dos atendentes 
Chegada dos clientes: λ = 4 clientes por hora 
Ritmo de atendimento: µ = 10 clientes por hora 
Então 4,0
10
4



 
Conclusão: 40% do tempo o atendente fica ocupado e 60% do tempo fica ocioso. 
 
Nota: Se λ=µ, ou seja, o ritmo de chegada é igual ao ritmo de atendimento, então 
 1 
Isto significa que os atendentes ficam 100% do tempo ocupados. 
 51 
Fórmulas Derivadas 
Fórmula de Litlle: 
NF = λ . TF 
NS = λ . TS 
Número Mínimo de Atendentes 
 
 
Exemplo: 
Se 5,0


 então i = 1 
Se 3,1


 então i = 2 
Se 4,3


 então i = 4 
Exemplos: 
Em uma fabrica observou-se o funcionamento de um dado setor em que λ = 20 
clientes por hora, µ = 25 clientes por hora e TS = 0,3 horas. Pede–se o tamanho 
médio da fila. 
Dados: 20 NF = ? 
 25 
 horaTS 3,0 
 TATFTS  horasTA 04,0
25
11


 
 TATSTF  ==> 04,03,0 TF ==> horasTF 26,0 
 TFNF . ==> 26,0.20NF ==> clientesNF 2,5 
 
 
 
 
 
 
eiroint númeropróximoorepresentaonde, 














i
 52 
Exercício: 
Em uma mineração cada caminhão efetua um ciclo onde é carregado de minério por 
uma das carregadeiras, desloca-se para o britador para o descarregamento e retorna as 
carregadeiras. Verifica se que o tempo médio (TS) dos caminhões percorrerem o 
sistema é de 12 minutos. Sabe-se que em média existem 6 caminhões no britador 
(NS). Qual é a taxa de chegada dos caminhões? 
 
Fórmula de Little 
TFNF . 
TSNS . 
 
Ciclo 
Chama-se ciclo o tempo que um caminhão gasta, partindo de um ponto e chegando ao 
mesmo ponto. 
Duração do ciclo =   /população 
Suponha que a população seja de 30 caminhões, calcule a duração do ciclo. 
utosciclo min60
5,0
3030


 
Pode-se calcular o ciclo como: 
Ciclo = TS + TFS (tempo no sistema + tempo fora do sistema) 
Neste exemplo: TS = 12 minutos Ciclo = 60 minutos 
 Ciclo = TS + TFS ===> TFS = Ciclo - TS 
 TFS = 60 – 12 ===> TFS = 48 minutos 
Carregadeiras 
Caminhões 
Britador 
S
is
te
m
a 
d
e 
F
il
as
 
utominporhãominca5,0
12
6

TS
NS

 53 
Resumo das fórmulas 
Taxa de Chegada λ 
Taxa de Atendimento µ 
Intervalo Ente Chegadas IC = 1/λ 
Tempo de Atendimento TA = 1/µ 
Taxa de Utilização dos Atendentes ρ = λ/(c.µ) 
Número Mínimo de Atendentes 









i 
Relação Entre Fila, Sistema e Atendimento NS = NF + NA 
NA = λ/µ 
NS = NF + λ/µ = NF + TA/IC 
TS = TF + TA 
Formulas de Little NF = λTF 
NS = λTS 
Ciclo Ciclo = TS + TFS 
Ciclo = (População)/λ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54 
5.5.2 - Postulados Básicos 
A. Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual ao fluxo que sai. 
 
 
B. Em qualquer sistema estável, o fluxo de entrada se mantém nas diversas seções 
do sistema, desde que não haja junção ou desdobramento. 
 
 
 
C. Em qualquer sistema estável a junção de fluxos equivale às suas somas 
aritméticas, λ3 = λ1 + λ2. 
 
 
 
 
 
D. Num sistema estável, o desdobramento percentual de um fluxo é igual ao 
desdobramento aritmético do mesmo fluxo. Assim se após a estação A 80% do 
fluxo se deslocou para a estação B, então o ritmo de chegada em B é de 
0,8x20 =16 clientes por minuto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 λ => => λ 
 
λ λ λ 
A B C 
λ 
B 
A 
 
C 
λ1 
λ2 
λ3 λ3 
C 
A B 
λ1=20 
λ2=16 
λ2=16 80% 
20% 
λ3=4 
λ3=4 
 55 
Segunda Lista de Exercícios 
 
1) Em uma pizzaria que faz entregas em casa, chegam a média 4 entregadores por 
minuto para pegar o produto a ser entregue. Sabe-se ainda que o número médio 
de entregadores dentro da pizzaria é de 6 (NS). Qual é o tempo médio no 
sistema? 
 
2) No mesmo sistema anterior, existem 40 entregadores. Qual o tempo médio da 
entrega (TFS)? 
 
3) Em um sistema de computação tem-se: 
Tempo médio para calcular e fornecer dados (TFS) = 15 seg. Número de 
terminais ativos é igual a 40. A taxa de chegada de transações é λ = 2 por 
segundo. Pede-se o tempo de resposta do computador. 
 
4) Em uma mineração tem-se 12 caminhões efetuando um ciclo no qual 
consomem 4 minutos entre fila e carregamento pela escavadeira (TS) e a 
seguir, gastam 8 minutos para levar a carga até o britador e voltar (TFS). 
Calcular λ, o ritmo de chegada dos caminhões e NS, o número de caminhões 
no sistema. 
 
5) Em um sistema de computação tem-se 21 terminais. O tempo médio de 
resposta do computador (TS) é de 2 segundos e existem em média 6 transações 
(NS) dentro do sistema. Pede-se: 
a) Qual é a taxa de chegada das transações? 
b) Qual a duração de um ciclo? 
c) Qual o tempo médio de calcular e fornecer dados (TFS)? 
 
6) Na figura seguinte, representativo do fluxo de peças de um setor de uma 
fábrica, calcule o fluxo de chegada de peças em cada equipamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
λ=20 
λ=10 
30% 
70% 
 56 
6 – O Sistema de uma Fila e um Atendente 
 
Pode ser mostrado que a distribuição de probabilidades de Poisson se ajusta bem para 
o processo de chegada de muitos sistemas na vida prática. Assim, no processo de 
chegada de clientes em sistemas de filas a distribuição de probabilidades de Poisson 
se ajusta perfeitamente. 
Quando o processo de chegada de clientes segue uma distribuição de probabilidades 
de Poisson, pode ser mostrado que os intervalos entre as chegadas dos clientes 
seguem uma distribuição de probabilidades Exponencial Negativa. 
Com a utilização destas distribuições de probabilidades pode-se calcular uma série de 
dados que caracterizam um sistema de filas. 
Consideremos um sistema de filas com uma única fila e um único atendente com os 
seguintes parâmetros do sistema: 
λ = taxa de chegada dos clientes 
µ = taxa de atendimento dos clientes 
n = número de clientes no sistema 
Desta forma, os seguintes resultados podem ser estabelecidos: 
 
6.1 – Equações do Modelo 
 
a) Probabilidade de haver n clientes no sistema: 
  












μ
λ
1
μ
λ
nXP
n
 
b) Probabilidade de que o número de clientes no sistema seja superior a um certo 
número k. 
 
1K
μ
λ
KXP







 
c) Probabilidade de que o sistema esteja ocioso (parado). 
  






μ
λ
10XP 
d) Probabilidade de que o sistema esteja ocupado. 
 
μ
λ
ρ0XP  
 57 
e) Número médio de clientes no sistema 
λμ
λ
NS

 
f) Número médio de clientes na fila. 
 λμμ
λ
NF
2

 
g) Tempo médio de espera na fila. 
 λμμ
λ
TF

 
h) Tempo médio gasto no sistema 
λμ
1
TS

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 58 
Terceira Lista de Exercícios 
 
1 - Clientes