Mecânica Clássica - Slides de Aula - Unidade I

Prévia do material em texto

Prof. Danilo Cardenuto
UNIDADE I
Mecânica Clássica
1 Cinemática das partículas
1.1 Grandezas fundamentais
Estabelecido em 1960, na Conferência Geral de Pesos e Medidas (Paris).
 Definir os padrões de medidas e suas unidades. 
 Possui sete unidades básicas independentes, listadas a seguir:
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto.
1.1 Grandezas fundamentais
 Grandezas físicas 
e unidades básicas 
do Sistema Internacional.
Mecânica Clássica
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Tempo segundo s
Temperatura kelvin K
Corrente 
elétrica
ampere A
Massa quilograma kg
Quantidade de 
matéria
Mol mol
Intensidade 
luminosa
candela cd
Fonte: Livro-texto.
1.1.1 Unidades de medidas
 Unidades físicas 
do Sistema Internacional (SI).
Mecânica Clássica
Unidade Símbolo Valor
Mega M 106
Quilo k 103
Centi c 102
Mili m 10-2
Micro μ 10-6
Fonte: Livro-texto.
1.1.2 Equações polinomiais
 Equações matemáticas
utilizadas para descrever 
o movimento 
das partículas
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto.
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto.
1.1.3 Movimento em uma dimensão
Valor unitário da grandeza
(definir uma escala)
Valor inicial das medidas
(referencial)
ESCALA
TRAJETÓRIA
ORIENTADA
ORIGEM
dos espaços
1.1.3.1 Velocidade média
Velocidade média
Variação do comprimento (S)
No decorrer do tempo (t)
DS = espaço percorrido em metros (m)
Dt = tempo decorrido em segundos (s)
v = velocidade (m/s)
Mecânica Clássica
1.1.3.2 Movimento em uma trajetória
Movimento ocorre em apenas
uma única dimensão.
Matematicamente:
Mecânica Clássica
1.1.3.3 Variação da velocidade com o tempo
O móvel percorre o espaço
com diferentes velocidades.
y(x) = ax2 + bx + c
S(t) = at2 + bt + c
Mecânica Clássica
S(t) = t2 + 9t + 25
y = x2-9x + 25 
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S
(m
)
t(s)
1.1.3.4 Velocidade instantânea
Velocidade instantânea: Derivada no tempo da equação horária da posição S(t).
Equação polinomial: y(x) = ax2 + bx + c
Equação horária da posição: S(t) = a.t2 + b.t + c
Derivada no tempo: v(t) = S’(t) = 2.a.t2-1 + 1.b t1-1 + 0
Equação da velocidade: v(t) = 2.at + b
Mecânica Clássica
1.1.3.5 Aceleração média
Aceleração média
Variação da velocidade (v) 
no decorrer do tempo (t)
Dv = velocidade em metros por segundo (m/s)
Dt = tempo decorrido em segundos (s)
a = aceleração (m/s2)
Mecânica Clássica
1.1.3.6 Aceleração instantânea
Aceleração instantânea: Derivada no tempo da equação horária da velocidade v(t).
Equação polinomial: y(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx+e
Equação horária da posição: S(t) = at4 + bt3 + ct2 + dt + e 
Equação da velocidade: v(t) = 4.at3 + 3.bt2 + 2.ct + d
Derivada no tempo: a(t) = v’(t) = 3.4.at2 + 2.3bt +1.2c 
Aceleração instantânea: a(t) = 12.at2 + 6.bt + .2c 
Mecânica Clássica
1.1.3.7 Equação de Torricelli
Velocidade como função da aceleração e posição
v = velocidade em metros por segundo (m/s)
v0 = velocidade inicial
a = aceleração (m/s2)
S = variação da posição
Mecânica Clássica
Uma pedra é lançada para baixo com velocidade inicial v0 = 5 m/s por um menino 
que se encontra numa varanda à altura h = 20m acima do solo. Determinar a 
velocidade com que a pedra atinge o solo. Considere a aceleração da gravidade 
como 10 m/s2.
a) 10,0 m/s
b) 12,3 m/s
c) 14,1 m/s
d) 18,3 m/s
e) 20,6 m/s
Interatividade
1.1.3.8 Transformada de equações
Equação polinomial (movimento)
Equação horária do movimento
Equação da velocidade instantânea
Equação da aceleração instantânea
Mecânica Clássica
D
e
ri
v
a
r
In
te
g
ra
r
1.1.3.8 Transformada de equações
Exemplo: Movimento do móvel é dado pela equação: S(t) = -2t3 + 6t2 +8 (SI).
Gráfico da posição 
em função do tempo
Mecânica Clássica
S(m)
20
10
0
-1 0 1 2 3 4
-10 T(s)
(1) Espaço x Tempo
y(x)=ax3 + bx3 + cx + d
S(t) = -2t3 + 6t2 + 8 (S.I)
1.1.3.8 Transformada de equações
Exemplo: Movimento do móvel é dado pela equação: S(t) =- 2t3 + 6t2 +8 (SI)
Percurso entre 1 e 4 segundos 
DS = S(4) – S(1)
Mecânica Clássica
1.1.3.8 Transformada de equações
Exemplo: Movimento do móvel é dado pela equação: S(t) = -2t3 + 6t2 +8 (SI)
Velocidade média
Entre 1 e 4 s
Mecânica Clássica
1.1.3.8 Transformada de equações
Exemplo: Movimento do móvel é dado pela equação: S(t) =- 2t3 + 6t2 +8 (SI)
Velocidade instantânea (derivada da equação do móvel no tempo).
Mecânica Clássica
1.1.3.8 Transformada de equações
Velocidade do móvel é dada pela equação: v(t) = - 6t2 +12t (SI)
Instante de parada do móvel 
(móvel parado, velocidade é zero)
Tempo de parada: 0 s e 2 s
Mecânica Clássica
1.1.3.8 Transformada de equações
Velocidade do móvel 
v(t) = -6t2 +12t (S.I)
Gráfico
Velocidade em função do tempo (t)
Mecânica Clássica
1.1.3.8 Transformada de equações
Velocidade do móvel é dada pela equação: v(t) = -6t2 +12t (SI)
Aceleração média
entre 1 e 4s
Mecânica Clássica
1.1.3.8 Transformada de equações
Velocidade do móvel é dada pela equação: v(t) = -6t2 +12t (SI)
Aceleração instantânea (derivada da equação da velocidade no tempo).
Mecânica Clássica
1.1.3.8 Transformada de equações
Aceleração do móvel é dada pela equação: a(t) = -12t + 12 (SI).
Aceleração no tempo: t = 3s
Mecânica Clássica
1.1.3.8 Transformada de equações
Aceleração do móvel 
a(t) = -12t +12 (S.I)
Gráfico da aceleração
em função do tempo
Mecânica Clássica
1.1.3.9 Queda livre
Todos os corpos abandonados na 
superfície da Terra chegam ao chão 
com a mesma velocidade, independentemente 
da massa, considerando que a força de atrito 
com o ar seja a mesma nos dois corpos.
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto.
1.1.3.9 Queda livre
Matematicamente y(x) = ax2 + bx + c
S(t) = at2 + bt + c
Movimento com aceleração: S(t) = at2/2 + v0t + S0
a = aceleração da gravidade ~9,8m/s2
S(t) = gt2/2 + v0t + S0
Mecânica Clássica
Uma pedra é solta por um menino que se encontra numa varanda à altura de 
20m acima do solo. Determinar em quanto tempo a pedra atinge o solo. Considere 
a aceleração da gravidade como 10 m/s2.
a) 1s
b) 2s
c) 3s
d) 4s
e) 10s
Interatividade
2. Movimento em duas dimensões
2.1 Movimento circular
Trajetória que passa
por três pontos (P), formando
uma circunferência de raio r 
e centro Cm.
Mecânica Clássica
2.2 Aceleração tangencial e normal
Aceleração instantânea no ponto P.
Decompor o vetor aceleração
em duas componentes:
 tangente à trajetória,
 normal à trajetória.
Mecânica Clássica
2.2 Aceleração tangencial e normal
Aceleração é derivada da velocidade
(velocidade na direção tangente).
 Derivada do produto em função do tempo
Aceleração tangencial Aceleração normal
Mecânica Clássica
2.2 Aceleração tangencial e normal
Exemplo: Uma partícula desloca-se sobre uma circunferência de raio 10m.
A partícula sai do repouso e após 2s e sua velocidade é de 10 m/s:
 Qual é a aceleração tangencial da partícula após 5s?
 Qual é a aceleração centrípeta da partícula após 5s?
Mecânica Clássica
2.2 Aceleração tangencial e normal
Aceleração tangencial da partícula após 5s: 
Raio: 10m 
Tempo: 2s
Velocidade: 10 m/s
Aceleração é constante
t =2 s
t =5 s 
Mecânica Clássica
2.2 Aceleração tangencial e normal
Aceleração centrípeta da partícula após 5s:
Raio: 10m 
Tempo: 5s VelocidadeAceleração normal
Aceleração: 5m/s2 
Mecânica Clássica
2.3 Velocidade angular
Deslocamento do ponto em
uma trajetória circular
dS = r ∙ dθ
Velocidade:
Velocidade angular
(eixo):
Mecânica Clássica
2.4 Aceleração angular
Aceleração angular média: variação da velocidade angular em um intervalo 
de tempo.
Aceleração angular instantânea: derivada da velocidade angular no tempo.
Mecânica Clássica
2.4 Aceleração angular
Exemplo: Uma partícula desloca-se sobre uma circunferência de raio igual 
a 1m. A partícula sai do repouso e sua velocidade aumenta de acordo com 
uma taxa constante de p/2 m/s2. Após 5s:
 Qual é a aceleração tangencial? 
 Qual é a aceleração normal?
Mecânica Clássica
2.4 Aceleração angular
Aceleração tangencial 
Raio: 1m
Tempo: 5s
Aceleração: p/2 m/s2
Mecânica Clássica
2.4 Aceleração angular
Aceleração normal Velocidade Aceleração
Mecânica Clássica
Qual é a velocidade de um ponto situado no Equador e na superfície da Terra? 
Considere o raio da Terra 6.370 km.
a) Zero
b) 15 m/h
c) 166 m/s 
d) 1.668 km/s
e) 1.668 km/h
Interatividade
2.5 Sistemas e bases
 O conceito de movimento é relativo; só se pode conceber o movimento de 
um corpo relativamente a outros. Torna-se, então, necessário adotar modos 
sistemáticos de descrever a posição de um ponto no espaço. Isso é feito por 
meio de sistemas de referência.
Mecânica Clássica
2.5 Sistemas e bases
 Na mecânica torna-se necessário adotar vetores fundamentais, linearmente 
independentes, em função dos quais se possa exprimir todos os vetores do espaço 
(ou do plano). Vetores nessas condições constituem o que se denomina uma base. 
As bases que usaremos serão formadas por vetores unitários ou versores (isto é, 
vetores cujo módulo é igual a 1).
Mecânica Clássica
2.5.1 Referenciais no plano
 Para definir a posição de um ponto 
em um plano costuma-se adotar um 
sistema de referência ou referencial. 
De modo geral, a posição de um ponto 
(P) é especificada por duas linhas 
que passam por este.
Mecânica Clássica
2.5.1 Referenciais cartesianos
 Para definir um referencial cartesiano, 
considere-se inicialmente duas retas 
perpendiculares: Ox e Oy; a intersecção 
O será chamada origem. 
Determinação do ponto P:
Mecânica Clássica
y
x
j
O A
P i
y
x
2.5.1 Referenciais polares
 Os elementos básicos para a definição de um sistema de coordenadas polares 
no plano são um ponto O, polo e uma semirreta (Ox) eixo polar.
Determinação do ponto P:
Mecânica Clássica
2.5.2 Transformações ortogonais no plano
Relacionar as coordenadas cartesianas com as polares.
Mecânica Clássica
2.5.3 Coordenadas cartesianas
 Sejam xy, yz e xz três planos 
perpendiculares, dois a dois, 
e tendo por intersecção 
o ponto O, esses são os 
planos (os planos 
coordenados) e o 
ponto O a origem.
Mecânica Clássica
y
y
z
z
P
x
x
i
k
j
2.5.3 Coordenadas cartesianas
Determinação do ponto P:
Mecânica Clássica
2.5.4 Coordenadas cilíndricas
Determinação do ponto P:
Mecânica Clássica
2.5.5 Coordenadas esféricas
Determinação do ponto P:
Mecânica Clássica
2.5.6 Conceito de movimento
 O conceito de movimento só tem sentido em relação a um referencial. 
Só é possível definir o movimento de um corpo relativamente a outro; 
o movimento não tem caráter absoluto.
Mecânica Clássica
Que tipo de trajetória descreve uma partícula que se movimenta pelas seguintes 
equações: x = a.t2 e y = b.t?
a) Reta.
b) Quadrado.
c) Elipse.
d) Circunferência.
e) Parábola.
Interatividade
ATÉ A PRÓXIMA!