Dinâmica 1 - Apostila antiga

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Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
Dinâmica I
“Cinemática de Partículas”
2
Dinâmica I
Bibliografia Recomendada
Bibliografia Básica:
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989.
HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc
Graw Hill, 2006.
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003.
Bibliografia Complementar:
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982.
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 2003. 496p.
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João
Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p.
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física.
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p.
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
3
Princípios da Dinâmica
1. Introdução
2. Conceitos Básicos
3. Leis de Newton
4. Unidades
5. Gravitação
6. Descrição de Problemas de Dinâmica
7. O Movimento Absoluto e a Física de Newton
8. Velocidade Relativa
9. Atividades
Dinâmica I
Introdução - Dinâmica
4
1 - Introdução
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é
o movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como
origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-
se em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno
do centro da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos
átomos, dão lugar à absorção e à emissão da luz e, no interior de um
metal, produzem corrente elétrica. Nossa experiência diária nos mostra
que o movimento de um corpo é influenciado pelos corpos que o
rodeiam, isto é, pelas interações com eles.
A Dinâmica é a parte da Física que estuda os movimentos e as causas
que os produzem ou os modificam. Então, na dinâmica vamos estudar
os movimentos dos corpos e suas causas, utilizando também os
conceitos de cinemática já estudados.
Introdução - Dinâmica
5
Introdução
A Dinâmica tem duas partes distintas – Cinemática, que é o estudo do
movimento, sem fazer referência às forças que o causam, e a Cinética,
que relaciona a ação de forças sobre os corpos aos movimentos
resultantes. A perfeita compreensão da Dinâmica fornece a estudantes
de Engenharia uma de suas mais úteis e poderosas ferramentas para
análise.
Em termos de aplicação em Engenharia, a Dinâmica é uma das
ciências mais recentes. Somente depois de conseguir que as máquinas
e estruturas operassem em altas velocidades e acelerações apreciáveis
foi que o homem achou necessário fazer cálculos baseados nos
princípios da Dinâmica. O rápido desenvolvimento tecnológico sem
dúvida exige a ampliação dos princípios da Mecânica.
Introdução - Dinâmica
6
Introdução
Aristóteles elaborou uma teoria para explicar os movimentos dos
corpos, dando início ao estudo da Dinâmica. As explicações de
Aristóteles foram utilizadas até Galileu Galilei, considerado o primeiro
cientista moderno, realizar vários experimentos, chegando às leis
matemáticas que descrevem o movimento dos corpos terrestres,
impulsionando o estudo da Dinâmica.
As idéias de Galileu sobre a dinâmica, seus estudos sobre os
movimentos dos corpos foram precursoras das Leis de Newton, que
conseguiu dar um enorme salto na ciência. Conseguiu o que todos
buscavam na época, uma teoria física unificada. Analisando o
movimento da lua ele chegou a uma descrição perfeita para os
movimentos, uma descrição que poderia ser utilizada tanto para os
astros (lei da gravitação universal), como para objetos menores na
terra.
Introdução - Dinâmica
7
Espaço. é a região geométrica na qual o evento ocorre. É comum
relacionar linha reta ou plano como espaço uni ou bidimensional.
Sistema de referência. A posição no espaço é determinada
relativamente a sistemas de referência por meio de medidas lineares ou
angulares.
Tempo. é a medida da sucessão de eventos e é considerado uma
quantidade absoluta.
Força. é a ação de um corpo sobre outro.
Introdução - Dinâmica
2 - Conceitos Básicos
ẑ
x̂ 2 
ŷ
1

r
r
8
Inércia. é a propriedade da matéria que causa resistência à variação do
movimento.
Massa. é a medida quantitativa da inércia. É também a propriedade de
todo corpo que sofre sempre atração mútua em relação a outros corpos.
Partícula. é um corpo cujas dimensões são desprezíveis na situação em
que vamos considerar. É pois um corpo que em uma situação específica
pode ser considerado como um ponto geométrico, no que diz respeito às
suas dimensões.
Corpo Rígido. é um sistema constituído de partículas agregadas de um
modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo
(ou o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as
distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são
rigorosamente constantes. Não apresenta nenhuma deformação relativa
entre suas partes.
Introdução - Dinâmica
Conceitos Básicos
9
Escalar. a quantidade com a qual somente a grandeza está associada.
Exemplos: tempo, volume, massa, densidade...
Vetor. a quantidade na qual a direção, bem como a magnitude, está
associada. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, força...
Em dinâmica, o tipo em negrito é usado para simbolizar os vetores e o tipo
comum, para escalares. Assim V = V1 + V2 representa o vetor soma de dois
vetores, enquanto S = S1 + S2 representa a soma de dois escalares.
Frequentemente, o uso de derivada de vetores e escalares em relação ao tempo
é utilizado. Como notação, um ponto sobre a quantidade será usado para
indicar uma derivada em relação ao tempo: significa dx/dt e para
d2x/dt2.
Introdução - Dinâmica
Conceitos Básicos
x x
10
Newton conseguiu elaborar uma teoria unificada para a Física e esta
teoria é descrita em três leis, conhecidas como as leis de Newton.
Primeira lei de Newton ou Princípio da Inércia
na ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece em
repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento.
Segunda lei de Newton ou Princípio Fundamental da Dinâmica
a força aplicada a um objeto é igual à massa do objeto multiplicado por
sua aceleração.
Terceira lei de Newton ou Princípio da ação e reação
Se um objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce
uma força de mesma intensidade, de mesma direção e em sentido
oposto.
Introdução - Dinâmica
3 - Leis de Newton
11
A segunda lei de Newton é básica para a maioria das análises em
Mecânica. Quando aplicada a uma partícula de massa m pode ser fixada
como: F = ma (ou de outra forma )
Onde F é a força resultante que atua sobre a partícula e a é a aceleração
resultante.
A primeira lei de Newton é uma consequência da segunda, desde que
não haja nenhuma aceleração quando a força é zero, e a partícula
esteja em repouso ou move-se a velocidade constante.
A terceira lei é básica para a compreensão de força. Ela estabelece que
as forças sempre ocorrem em pares de igualdade e são opostas, sem
observar-se a sua origem, e permanece válida para todo instante do
tempo durante o qual as forças atuam.
Introdução - Dinâmica
Leis de Newton
amF


12
Nos últimos anos, todos os países do mundo vêm adotando o Sistema
Internacional de Unidade - SI - para todos os trabalhos de Engenharia e
científicos. As tabelas resumem as unidades que formam a bases para
os cálculos mecânicos e seus prefixos mais usados:
Introdução - Dinâmica
4 - Unidades
Grandeza Nome Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Força newton N
Nome Símbolo Multiplicador
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
mili m 10-3
micro m 10-6
nano n 10-9
13
A lei da Gravitação Universal diz que dois objetos quaisquer se
atraem gravitacionalmentepor meio de uma força que depende das
massas desses objetos e da distância que há entre eles.
Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância d entre si, esses
dois corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à
massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da
distância que separa esses corpos. Matematicamente:
onde
F é a força mútua de atração entre os dois corpos;
G é constante gravitacional universal;
m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si; e
r é a distância entre os dois corpos.
Introdução - Dinâmica
5 - Gravitação
2
21
r
mm
GF 
14
O peso de um corpo é a força gravitacional de atração exercida sobre
esse corpo pela Terra e depende da posição do corpo em relação à
Terra. Esta força existe estando o corpo em repouso ou em movimento.
Todo objeto que é deixado cair no vácuo numa dada posição, na
superfície terrestre, terá a mesma aceleração g.
onde mT é a massa da Terra e r o seu raio.
A aceleração devida à gravidade, quando determinada pela lei gravitacional, é a
aceleração de um grupo de eixos de referência com origem no centro da Terra,
porém não girando com a mesma.
g = 9,824 m/s2
Introdução - Dinâmica
Gravitação
2r
Gm
g T
15
A variação de g com a altitude pode ser determinada pela lei
gravitacional. Se g0 apresenta a aceleração absoluta devido à gravidade
ao nível do mar, o valor absoluto numa altitude h é:
onde r é o raio da Terra.
A massa m de um corpo pode ser calculada pelo resultado de uma experiência
gravitacional. Se a força gravitacional de atração ou peso verdadeiro de um
corpo for W, para uma aceleração absoluta g, tem-se:
W = mg
Introdução - Dinâmica
Gravitação
2
2
0
)( hr
r
gg


16
O estudo da Dinâmica é dirigido no sentido da compreensão e da
descrição das diversas quantidades envolvidas nos movimentos dos
corpos. Esta descrição, que é amplamente matemática, habilita fazer
prognósticos em relação ao comportamento da Dinâmica. Necessita-se,
porém, para formular esta descrição de um duplo processo mental. É
preciso pensar tanto em termos da situação física como nos da
descrição matemática correspondente. A análise de cada problema
requer esta contínua transição reflexiva entre aquilo que diz respeito à
Física e à Matemática.
Durante a construção do modelo matemático idealizado para qualquer
problema de Engenharia, certas aproximações estarão sempre presentes.
Algumas delas podem ser matemáticas, enquanto outras serão físicas. O
grau da hipótese depende da informação ou da precisão que se deseja.
Introdução - Dinâmica
6 - Descrição de Problemas de Dinâmica
17
A utilização de métodos eficazes para solucionar problemas de
Dinâmica – bem como todos os problemas de Engenharia – é essencial.
Cada solução deve ser buscada através de uma sequência lógica que vai
do levantamento de hipóteses até a conclusão. A sistematização da
tarefa deve incluir o estabelecimento das seguintes partes, cada uma
delas claramente identificadas:
1. dados fornecidos;
2. resultados desejados;
3. diagramas necessários;
4. cálculos;
5. respostas e conclusões.
Para descrever as relações entre as forças e os movimentos que elas
produzem, é essencial que o sistema para o qual um princípio é aplicado seja
claramente definido.
Introdução - Dinâmica
Descrição de Problemas de Dinâmica
18
Para descrever as relações entre as forças e os movimentos que elas
produzem, é essencial que o sistema para o qual um princípio é
aplicado seja claramente definido. Algumas vezes uma única partícula
ou um corpo rígido é o sistema a ser isolado, enquanto que em outras
vezes dois ou mais corpos considerados juntos constituem o sistema. A
definição do sistema a ser analisado torna-se clara através da construção
do seu diagrama de corpo livre.
Introdução - Dinâmica
Descrição de Problemas de Dinâmica
Um pesquisador, a ser chamado por observador O, construiu um mini-
laboratório (mini-lab) convidando um colega seu, a ser chamado por
observador O', para que permaneça no interior do mini-lab para ajudá-lo
em suas pesquisas. O mini-lab anda sobre trilhos perfeitos, sem atrito, e
vamos assumir, por facilidade, que não há gravitação neste local. Vamos
desprezar também outros atritos e viscosidades. Pelo princípio da
relatividade de Galileu é de se esperar que as leis do modelo mecânico
newtoniano, válidas no laboratório original, sejam válidas também neste
mini-lab, sempre que ele estiver com velocidade constante em relação a
um referencial fixo ao laboratório original.
Introdução - Dinâmica 
7 - O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Uma experiência de pensamento
No interior do mini-lab existem duas bolinhas A e B e duas molas, como
mostra a figura. As bolinhas A e B estão fixas a molas comprimidas e
travadas, e em repouso em relação ao mini-lab. Uma terceira bolinha C
está no teto do mini-lab e no compartimento exterior, mas fixa ao
mesmo. No laboratório original que contém o mini-lab existe uma
terceira mola fixa ao teto. Esta terceira mola não está comprimida e
localiza-se exatamente no trajeto por onde irá passar a bolinha C quando
o mini-lab entrar em movimento.
Introdução - Dinâmica 
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Num dado instante o observador O aciona um mecanismo e coloca o
mini-lab em movimento a uma velocidade v (pode ser uma velocidade
pequena, pois não vamos aqui testar a teoria da relatividade de Einstein).
Quando a bolinha C encostar na mola distendida, ela começa a
comprimir a mola e vamos supor que, através de um mecanismo
apropriado, ela solte-se do mini-lab e se fixe à mola exterior (deixando
portanto de acompanhar o mini-lab). Ao final da compressão a mola
trava-se, graças a outro mecanismo apropriado. Exatamente nesse
instante o observador O' aciona um mecanismo a destravar as duas
molas interiores e a soltar as bolinhas A e B. Estas ficam então soltas no
espaço recebendo o impulso das molas ao se distenderem.
Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Vamos supor, por facilidade, que o aparato foi construído de tal maneira
que as duas bolas adquiram uma velocidade v, em relação ao observador
O', igual à velocidade do mini-lab em relação ao observador O. Nestas
condições teremos, ao final da experiência, as duas bolinhas A e C em
repouso em relação ao observador O e a bolinha B com a velocidade 2v.
Em relação ao observador O', do mini-lab, as bolinhas A e C afastam-se
para a esquerda na velocidade v e a bolinha B afasta-se para a direita
também na velocidade v.
Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Em termos do modelo mecânico newtoniano, é relativamente fácil
explicar tudo o que aconteceu durante todo o processo. Também não é
difícil perceber que cada um dos observadores irá concordar que a
energia, da maneira como é definida em física clássica, se conserva; se
bem que os argumentos utilizados serão diversos, pois eles estão em
referenciais distintos. De qualquer maneira, existem alguns componentes
comuns a ambas interpretações e a independer do referencial, quais
sejam: 1) a energia armazenada na mola que foi comprimida; 2) a
energia das duas molas que se distenderam, e que acabou se
transformando em energia cinética das bolas A e B no referencial do
mini-lab (e estas sim, serão diferentes de um observador para outro); e 3)
a energia correspondente ao impulso inicial a colocar o mini-lab em
movimento.
Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Sem entrar em maiores detalhes a respeito da localização e/ou
comparação dessas energias relativas e não-relativas. Na realidade, o que
se pretende é analisar esta experiência de pensamento sobre um outro
prisma, aquele relativo a um possível absolutismo do movimento. Em
particular, pretende-se mostrar que esse absolutismo do movimento não
implica na existência de um referencial absoluto, pensado como algo a
ser fixado num hipotético espaço absoluto.
Raciocinando fisicamenteninguém pode contestar a seguinte verdade:
algo está se movendo, qualquer que seja o referencial da observação.
Portanto, e sob esse aspecto, o movimento existe num sentido absoluto,
sendo relativo apenas quando pensamos em descrever em qual dos
objetos esta propriedade foi constatada. O movimento não seria uma
propriedade da matéria em si, mas algo mutável e a depender da postura
do observador.
Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Umas das aplicações mais comum, que se faz necessário o uso de
propriedades vetoriais, é o estudo da velocidade relativa em mais de uma
dimensão. Pode-se ver inicialmente como as observações feitas em
diferentes sistemas de referência estão relacionadas uma com a outra.
Por exemplo, considere dois carros se aproximando um do outro, em
linha reta, onde cada um viaja com uma velocidade de 50 km/h com
respeito a Terra. v1 = v2 = 50 km/h
Observadores na Terra, ao lado da estrada, medirão uma velocidade de
50 km/h para ambos os carros, mas em sentido contrário. Observadores
dentro dos carros (em referenciais diferentes) medirão uma velocidade
de aproximação igual a vr = 100 km/h.
Introdução - Dinâmica
8 - Velocidade Relativa
Nota-se que quando objetos movem-se em uma mesma linha, uma soma
simples ou subtração das velocidades envolvidas é suficiente para
determinar a velocidade relativa. Isto significa que não é necessário,
nestes casos, levar em conta as características vetoriais do movimento.
Mas se os movimentos não estão na mesma linha, estas considerações
não são válidas e somos forçados a fazer uso das somas vetoriais.
Vejamos o movimento de um barco cruzando um rio.
Introdução - Dinâmica
Velocidade Relativa
Usando as notações: vbr velocidade do barco em relação as águas do rio,
vbm velocidade do barco em relação a margem e vrm a velocidade do rio
em relação a margem. Neste caso, a velocidade do barco em relação a
margem (vbm) é igual a velocidade do bote no rio (vbr) mais o efeito da
correnteza do rio (vrm). Como este movimento envolve velocidades em
direções e sentidos diferentes, é necessário usar somas vetoriais.
vbm = vbr + vrm
Neste exemplo, nota-se que para o barco chegar na outra margem do rio
em um ponto (A) exatamente em frente ao ponto de partida é necessário
que o movimento esteja inclinado. Este fato deve-se à influência da
corrente de águas no rio. Caso contrário, se o barco estiver viajando
sempre apontando para o ponto A, ele será arrastado pelas correntezas
do rio. Conseqüentemente irá atingir a margem num ponto distante do
ponto B.
Introdução - Dinâmica
Velocidade Relativa
28
1. Para os vetores fornecidos V1 e V2, determine V1 + V2, V1 + V2,
V1 - V2, V1 X V2 e V1 . V2. Considere os vetores adimensionais e
seus módulos V1 = 12 e V2 = 15.
2. Um ônibus espacial está em órbita circular a uma altitude de 250
Km. Calcule o valor absoluto de g a essa altitude e determine o peso
correspondente de um passageiro do ônibus, que pesa 880 N quando
em repouso sobre a superfície da Terra (g = 9,81 m/s2).
Considere: G = 6,67.10-11; mT = 5,976.10
24; RT = 6371 Km (S.I.)
Introdução - Dinâmica
9 - Atividades
V1
V
2
30º
3
4
29
Cinemática das Partículas
1. Introdução
2. Movimento Retilíneo
Exercícios Resolvidos
3. Interpretações Gráficas
Exercícios Resolvidos
4. Movimento Retilíneo Uniforme
5. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
6. Atividades
Dinâmica
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
30
1 - Introdução
A cinemática trata da posição no espaço como função do tempo e
geralmente refere-se à “geometria do movimento”. O cálculo de
trajetórias de vôos de aviões e naves e o projeto de engrenagens e
correntes para controlar ou produzir certos movimentos são exemplos
de problemas cinemáticos. O movimento das partículas pode ser
descrito através da especificação de coordenadas lineares ou angulares e
suas derivadas em relação ao tempo.
A cinemática das partículas será desenvolvida progressivamente pela
discussão do movimento com uma, duas ou três coordenadas espaciais.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
31
2 - Movimento Retilíneo de uma Partícula
Consideremos uma partícula P movendo-se apenas ao longo de uma
reta. Tal movimento é dito retilíneo ou unidimensional. Vamos escolher
o eixo OX de nosso referencial ao longo dessa reta. A posição de P em
qualquer instante de tempo t pode ser especificada por seu
deslocamento Δs de algum ponto de referência O fixado sobre a linha.
Seja x1 a posição da partícula no instante t1 e x2 a sua posição no
instante t2. A variação de posição da partícula, do instante t1 ao instante
t2, é a diferença x2 - x1. Isto é: Δs = x2 - x1
Obs. Durante um movimento qualquer, podem ocorrer deslocamentos no sentido
positivo ou negativo do eixo OX.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
32
Movimento Retilíneo de uma Partícula - vm
Considere um intervalo de tempo [t1, t2] com t2 ≠ t1; nesse caso, a
duração t2 - t1 do intervalo é diferente de zero. Seja Δs o deslocamento
da partícula no intervalo de tempo Δt = t2 - t1. A razão entre o
deslocamento da partícula no intervalo de tempo gasto nesse
deslocamento é chamada de velocidade média da partícula no intervalo
considerado.
Sendo a velocidade média a razão entre um deslocamento e um intervalo de tempo, a
sua unidade será a razão entre as unidades de comprimento e de tempo que forem
usadas. Se usamos o metro para os deslocamentos e o segundo para o tempo, a
unidade de velocidade média é o metro por segundo, usualmente escrita como m/s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
t
s
tt
xx
vm






12
12
33
Movimento Retilíneo de uma Partícula
Considere agora uma partícula em movimento e dois instantes t e t+Δt
durante o movimento, onde Δt é uma quantidade de tempo que vamos
considerar cada vez mais próxima de zero sem, contudo, jamais ser
igual a zero. A razão Δs/Δt pode ser escrita:
Quando Δt se aproxima indefinidamente de zero, o intervalo com
extremos em t e t+Δt torna-se cada vez mais próximo de um único
instante t, e a velocidade da partícula se aproxima de um valor que
chamamos de velocidade instantânea (v) no instante t. A velocidade
instantânea v é o valor do qual a fração Δs/Δt aproxima-se quando Δt se
aproxima de zero. Para expressar esse fato, usamos a seguinte
simbologia:
ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
t
xx
t
s ttt




  )(
t
s
v
t 


 0
lim s
dt
ds
v 
34
Movimento Retilíneo de uma Partícula - am
Se ao longo da trajetória a velocidade instantânea da partícula varia de v
em x1 para v +Δv em x2, a aceleração média durante o intervalo de
tempo correspondente Δt é am = Δv/Δt, e será positiva ou negativa,
dependendo se a velocidade está aumentando ou diminuindo.
A aceleração instantânea (a) da partícula é a variação instantânea
com o tempo da variação da velocidade,
isto é, quando o valor Δt se aproxima indefinidamente de zero.
ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
t
v
a
t 


 0
lim
v
dt
dv
a  s
dt
sd
a 
2
2
35
Exercício resolvido 1
Uma partícula executa um movimento em linha reta dado por:
s = 8 + Bt − 2t2
onde B é uma constante. Sabendo que a partícula inverte o sentido de seu
movimento no instante t = 5 segundos, determine o valor da constante B.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
smB
BtB
v
tB
dt
ds
v
/20
05.404
0
;4




36
Exercício resolvido 2
Uma partícula se move ao longo do eixo OX e seu movimento é dado por
s = - t2 + 6t + 16, onde está subentendida a utilização do Sistema
Internacional de Unidades.
(a) Determine a expressão da velocidade e da aceleração da partícula.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
(b) Em que instantes e com que velocidades a partícula passa pela origem?
2;62  a
dt
dv
atvdt
ds
v 2;62  a
dt
dv
atv
dt
ds
v
ststttsorigem 8;20166;0: 21
2 
smvsmv /106)8.(2;/106)2.(2 21 
37
Exercício resolvido 3
A velocidade de uma partícula ao longo do eixo x é dada por v = 5 u3/2,
onde v é expresso em milímetros por segundo. Determine a aceleração
quando u vale 2.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
2
2
1
2
1
2/3
/6,10
)2(
2
15
2
;5
2
3
)5(
smma
au
ua
dt
ud
a
dt
dv
a




38
Exercício resolvido 4
Consideremos um ponto material que desloca em linha reta, de modo que
sua posição seja definida por x = 6t2 – t3, onde t é expresso em segundos e
x em metros. Determine (a) sua função velocidade, (b) sua função
aceleração e (c) um esboço dos gráficos de x, v e a em função do tempo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
2;312 2  a
dt
dv
attv
dt
ds
v ta
dt
dv
aaaatv
dt
ds
v 612;62 (a) (b)
(c) Uma análise dos três diagramas do movimento pode nos mostrar que o
movimento do ponto material desde t = 0 até t = ∞ pode ser dividido em
quatro fases:
. O ponto material parte da origem, x = 0, com velocidade zero, mas com
aceleração positiva. Animado com esta aceleração, o ponto adquire uma
velocidade positiva no sentido positivo. De t = 0 a t = 2 s, x, v e a são
todos positivos.
39
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
. Em t = 2 s, a velocidade é zero; a velocidade atinge o valor máximo. De t =
2 s a t = 4 s, v é positivo; mas a é negativo; o ponto move-se, ainda, no sentido
positivo, cada vez mais lentamente; está desacelerado.
. Em t = 4 s a velocidade é zero; a coordenada de posição x alcança o valor
máximo. Daqui por diante, v e a são negativos; o ponto está acelerado e move-se
no sentido negativo, com um aumento de velocidade.
. Em t = 6 s, o ponto passa pela origem; sua coordenada x é então, zero, enquanto
a distância total percorrida desde o início do movimento é 64 m. Para valores de t
maiores que 6 s, x, v e a serão todos negativos. O ponto irá se movimentar no
sentido negativo, afastando-se de O, cada vez mais rapidamente.
40
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Não se deve esquecer que o ponto material não se move ao longo de qualquer
uma dessas curvas; o ponto move-se sobre uma reta. Como a derivada de uma
função mede a inclinação da curva correspondente, a inclinação da curva x – t,
para qualquer instante dado, é igual ao valor de v nesse instante, e a inclinação
da curva v – t é igual ao valor de a. Já que a = 0 para t = 2 s, a inclinação da
curva v – t deve ser zero para t = 2 s; a velocidade alcança um máximo nesse
instante. Também, sendo v = 0 para t = 4 s, a tangente a curva x – t deve ser
horizontal para este valor de t.
41
Movimento Retilíneo de uma Partícula
Comentário:
É possível determinar o movimento de uma partícula conhecendo-se
sua velocidade em qualquer instante do movimento e a sua posição em
um certo instante?
Vamos pensar o exemplo em que a velocidade de uma partícula seja
dada por vx = 5m/s e que a sua posição no instante t = 4s seja 20m.
Vamos supor, ainda, que o movimento dessa partícula esteja definido
para t ≥ 0. É possível conhecer seu movimento no decorrer do tempo?
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
42
3. Interpretações Gráficas
A interpretação das equações diferenciais que governam o movimento
retilíneo é consideravelmente esclarecida através da representação
gráfica das relações entre s, v, a e t.
Como vimos, para se determinar a velocidade de uma partícula num
instante t, podemos usar o intervalo [t1, t2]. A velocidade média nesse
intervalo é v = Δx/Δt = (x2 - x1)/(t2 - t1), o que equivale à declividade da
secante “r”.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
43
Interpretações Gráficas
Para um valor mais aproximado podemos tomar o intervalo [t3, t4], quando
então a velocidade média será v = (x4 - x3)/(t4 - t3) que é igual à declividade
da secante “s”. Se reduzirmos o intervalo de tempo, a secante se aproxima
da tangente à curva, cuja declividade representará o valor da velocidade
no instante t. Assim, a velocidade no instante t é a declividade da tangente
à curva no instante considerado.
A tangente à curva para algum instante de tempo t, obtém-se a sua taxa
de variação.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
44
Interpretações Gráficas
Então, construindo a tangente à curva para algum instante de tempo
t, obtém-se a sua taxa de variação, que é a velocidade:
Assim, a velocidade pode ser determinada para todos os pontos sobre a
curva e representada graficamente contra o tempo correspondente.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
dt
ds
sv  
45
Interpretações Gráficas
Supondo que desejamos determinar o espaço percorrido no intervalo de
tempo Δt = t2 – t1, representado no gráfico v x t. Podemos dividir o
intervalo em intervalos menores e considerar que em cada intervalo a
média das velocidades inicial e final seja a velocidade média (vm) no
intervalo.
Em cada intervalo, a distância percorrida será aproximadamente igual à
vm.Δt, o que equivale à área de um retângulo de base Δt e altura vm.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
46
Interpretações Gráficas
A distância total percorrida será a soma das áreas de todos os retângulos.
Se tomarmos os retângulos com Δt → 0, a área será v(ti) onde ti são os
valores de t em cada um dos instantes que constituem o intervalo de
tempo.
Como a soma corresponde a infinitos intervalos escrevemos :
Ou seja, o espaço percorrido é a integral da equação da velocidade
definida no intervalo de tempo considerado.
Dizendo de uma outra forma, a área sob a curva v x t durante o intervalo
de tempo dt é “v dt”, que é o deslocamento ds. Consequentemente, o
deslocamento da partícula durante o intervalo de t1 até t2 é a corresponde
área sob a curva, dada por:
ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica

2
1
)(
t
t
dttv
 
2
1
2
1
t
t
s
s
vdtds 
2
1
12
t
t
vdtss
47
Interpretações Gráficas
Observação:
Na realidade, a integral não é o espaço percorrido, mas sim o deslocamento. Se o
gráfico intercepta o eixo horizontal, ao calcular a integral da região abaixo do
eixo horizontal esta resultará em um valor negativo. Isto indica que o móvel
descreveu um movimento retrógrado. Ao calcular a integral, a área abaixo do eixo
será subtraída da área acima do eixo. Assim, o resultado da integral será
correspondente ao deslocamento. Para obter a distância efetivamente percorrida
deve-se integrar a equação da velocidade dividindo o intervalo em intervalos
acima e abaixo do eixo horizontal e somar os valores absolutos encontrados.
Podemos agora voltar à questão inicial: “É possível determinar o
movimento de uma partícula conhecendo-se sua velocidade em
qualquer instante do movimento e a sua posição em um certo instante?”
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
48
Interpretações Gráficas
No exemplo proposto em que a velocidade de uma partícula foi dada
por vx = 5m/s e que a sua posição no instante t = 4s seja 20m. É
possível conhecer seu movimento no decorrer do tempo utilizando o
conceito de integral!
A partir do que foi exposto, podemos escrever:
Note que o conhecimento da equação da velocidade de uma partícula não é
suficiente para obtermos seu movimento. É necessário também fornecer a posição
da partícula em um dado instante de tempo; no caso, em t = 4s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
txtx
dtx
vdtss
t
t
t
5)4(520
520
2
2
1
4
12





49
Interpretações Gráficas
Do mesmo modo, construindo a tangente à curva para algum
instante de tempo t, obtém-se a sua taxa de variação, que é a
aceleração:
Logo, a taxa de variação dv/dt da curva v x t em qualquer instante de
tempo fornece a aceleração naquele instante.Assim, a aceleração pode
ser determinada para todos os pontos e a curva a x t pode ser então
representada.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
v
dt
dv
a 
50
Interpretações Gráficas
De maneira similar, a área sob a curva a x t durante o intervalo de tempo
dt é “a dt”, que é a velocidade dv.
Assim, a variação da velocidade da partícula durante o intervalo de t1
até t2 é a corresponde área sob a curva, dada por:
ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
 
2
1
2
1
t
t
v
v
adtdv 
2
1
12
t
t
adtvv
51
Exercício resolvido 1
Considere uma partícula em queda livre, executando um movimento retilíneo,
com aceleração constante a = g. Considere, por simplicidade, que no instante
inicial t = 0 a velocidade seja v = v0.
a) Escreva a velocidade em função do intervalo de tempo t.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
gtvvdtgdvgdtdvdtadv
dt
dv
a
tv
v
tv
v
  000 00
. 
2
00
0
0
2
1
)(
0
gttvssdtgtvdsvdtds
dt
ds
v
ts
s
 
b) Supondo conhecida a posição inicial s = s0, obtenha a função do
movimento em função do tempo t.
c) Que tipo de movimento representam essas expressões?
Um movimento retilíneo uniformemente variado (acelerado)!
52
Exercício resolvido 2
A velocidade de uma partícula é dada por vx = −2 + 3t
2. Sabe-se ainda que
em t = 2 s a sua posição é −16 m.
(a) Encontre a sua “função-movimento”.
(b) Determine as posições da partícula nos instantes t = 0s e t = 3s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
3
0
3
0
3
0
0
2
0
0
0
220
20)2()2.(216
2)32(
tts
mss
ttssdttssvdtss
tt


 
msst
msst
tts
173
200
220 3



53
Exercício resolvido 3
Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma velocidade inicial
vx = 50 m/s na origem quando t = 0. Para os primeiros 4 segundos a partícula
não possui aceleração, e após esse intervalo de tempo ela sofre a ação de uma
força retardadora que fornece uma aceleração constante ax = -10 m/s
2.
Calcule a velocidade e a coordenada x da partícula para as condições de t = 8 s
e t = 12 s, e encontre a máxima coordenada x positiva atingida pela partícula.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
90104010501050
4450
  tvtvdtvadtdv xx
t
x
tvx
Nos instantes de tempo especificados, as velocidades são:
smvst
smvst
x
x
/30)12.(109012
/10)8.(10908


A velocidade da partícula após t = 4 s é determinada a partir de:
54
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
A dependência da velocidade com o tempo pode ser representada graficamente:
A coordenada x da partícula em qualquer instante após 4 s é a distância percorrida
durante os primeiros 4 s mais a distância percorrida após a descontinuidade na
aceleração ter ocorrido. Assim,
 
t
ttdttx
4
2 80905)9010()4.(50
Para os dois instantes especificados:
mxst
mxst
28080)12.(90)12.(512
32080)8.(90)8.(58
2
2


55
Exercício resolvido 4
De uma janela de um prédio, localizada a 20 m acima do solo, arremessa-se,
verticalmente para cima, uma bola, com velocidade de 10 m/s. Sabendo-se
que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81 m/s2, para baixo,
determinar (a) a velocidade v e elevação y da bola, relativamente ao solo, para
qualquer instante t, (b) a máxima elevação atingida pela bola e o
correspondente instante t e (c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua
correspondente velocidade. Esboçar os gráficos v – t e y – t.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
(a) Escolhemos o eixo y para medir a coordenada de posição (ou elevação),
com origem O no solo e sentido positivo para cima. O valor da aceleração e os
valores iniciais de v e y estão indicados na figura ao lado. Substituindo-se a
em a = dv/dt = 0, v0 = +10 m/s, tem-se:
tvtv
v
dtdv
sma
dt
dv
tv
tv
v
81,91081,910
]81,9[][
81,9
/81,9
010
010
2
0




 
56
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Substituindo-se v em v = dy/dt e notando-se que para t = 0, y0 = 20 m, obtém-
se:
2
0
2
20
020
90,41020
]90,410[][
)81,910(
81,910
0
tty
ty
dttdy
tv
dt
dy
ty
ty
y




 
57
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
(b) A velocidade da bola anula-se quando esta atinge a elevação máxima. Da 
expressão da velocidade, segue-se que:
10 – 9,81t = 0 → t = 1,02 s
Substituindo-se t = 1,02 s na expressão de y, resulta:
y = 20 + 10.(1,02) – 4,90.(1,02)2 → y = 25,1 m
(c) Quando a bola atinge o solo, tem-se y = 0. Fazendo-se y = 0 na expressão 
da posição, tem-se:
20 + 10t – 4,90t2 = 0 → t = -1,24 s e + 3,28 s
58
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Somente a raiz positiva corresponde a um tempo posterior ao início do 
movimento. Levando-se este valor de t para a expressão da velocidade, tem-
se, finalmente:
v = 10 – 9,81.(3,28) = – 22,2 m/s
59
4. Movimento Retilíneo Uniforme
Este é um tipo de movimento retilíneo frequentemente encontrado em
aplicações práticas. Nesse movimento, a aceleração a do ponto material é
nula para qualquer valor de t. A velocidade v é, dessa forma, constante:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
teconsv
dt
ds
tan
vtss
vtss
dtvds
ts
s


 
0
0
00
A coordenada de posição s é obtida pela integração desta equação.
Denotando-se por s0, o valor inicial de s, escrevemos:
Esta equação pode ser usada somente quando a velocidade do ponto
material for constante!
60
5. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
Neste outro tipo de movimento, a aceleração a do ponto material é
constante:
A velocidade v do ponto material é obtida pela integração desta equação:
Onde v0 é a velocidade inicial.
Chamando-se de s0 o valor inicial de s e integrando-se
a substituição da equação da velocidade, escrevemos:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
teconsa
dt
dv
tan
atvv
atvv
dtadv
tv
v


 
0
0
00
2
00
2
00
0
0
0
2
1
2
1
)(
0
attvss
attvss
dtatvds
atv
dt
ds
ts
s





61
Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
Podemos também escrever:
Então: ;
Integrando-se ambos os membros, obtemos:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
dx
dv
v
dx
dx
dt
dv
dt
dv
a  .
tecons
dx
dv
va tan tecons
dx
dv
v tan
)(2
)()(
2
1
0
2
0
2
0
2
0
2
00
ssavv
ssavv
dxavdv
x
x
v
v


 
62
Comentário: As três equações deduzidas acima fornecem relações úteis entre
coordenada de posição, velocidade e tempo para o caso de um movimento
uniformemente acelerado, assim que a, v0 e x0 forem substituídos por valores
apropriados. Primeiramente, deve ser definida a origem O do movimento,
escolhendo-se sentidos positivos ao longo dos eixos; estes sentidos
possibilitarão determinar os sinais de a, v e x0. Uma aplicação importante de
um movimento uniformemente acelerado é na queda livre de um corpo.
A aceleração de um corpo em queda livre (geralmente indicada por g) é igual
a 9,81 m/s2, valor tomado como padrão (aceleração normal). Efetivamente,
este valor depende da posição considerada, sobre a superfície da Terra, e de
sua distância ao centro desta.
É importante não esquecer que as três equações anteriores podem ser
usadas somente quando a aceleração do ponto material é constante. Se a
aceleração do ponto for variável, seu movimento será determinado pelas
equações de derivação.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
63
6. Atividades
1. A coordenada de posição de uma partícula que está confinada a se mover ao
longo de uma linha reta é dada por s = 2t3 – 24t + 6, onde s é medida em
metros a partir de uma origem conveniente e t é expresso em segundos.
Determine:
(a) o tempo requerido para a partícula atingir a velocidade de72 m/s a partir
da sua condição inicial em t = 0;
(b) a aceleração da partícula quando v = 30 m/s;
(c) o deslocamento da partícula no intervalo de tempo desde t = 1 s até t = 4 s.
R: (a) 4 s; (b) 36 m/s2; (c) 54 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
64
2. Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com uma velocidade em
milímetros por segundo dada por v = 400 – 16t2, onde t é expresso em
segundos. Calcule o deslocamento Δs durante os primeiros 6 segundos de
movimento.
R: 1,248 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
65
3. A aceleração de uma partícula é dada por a = 4t – 30, onde a é expressa
em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Determine a
velocidade e o deslocamento como funções do tempo. O deslocamento
inicial em t = 0 é s0 = -5 m, e a velocidade inicial é v0 = 3 m/s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
66
4. (a) Um foguete é lançado do repouso verticalmente para cima. Se ele foi
projetado para manter uma aceleração constante para cima de 1,5g, calcule o
tempo t necessário para o foguete atingir uma altitude de 30 Km e a sua
velocidade nessa posição.
(b) Um carro consegue parar completamente a partir de uma velocidade
inicial de 80 Km/h em uma distância de 30 m. Com a mesma aceleração
constante, qual seria a distância de parada s a partir de uma velocidade inicial
de 110 Km/h?
R: (a) 63,9 s e 940 m/s; (b) 56,7 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
67
5. (a) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade
inicial de 200 m/s. Calcule a máxima altitude h atingida pelo projétil e o
tempo t após o lançamento para ele retornar ao chão. Despreze a resistência
do ar e tome a aceleração da gravidade como sendo constante em 9,81 m/s2.
(b) Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade
inicial de 25 m/s de um plano próximo a um planalto de 15 m de altura.
Determine a distância h acima do planalto atingida pela bola e o tempo t
após o lançamento em que ela aterrissa nele.
R: (a) 2040 m e 40,8 s; (b) 16,86 m e 4,4 s
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
68
6. O gráfico mostra a história do deslocamento no tempo para um movimento
retilíneo de uma partícula durante um intervalo de 8 segundos. Determine a
velocidade média vméd durante o intervalo e, dentro de limites aceitáveis de
precisão, encontre a velocidade instantânea v quando t = 4 s.
R: –0,75 m/s e –1,25 m/s
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
69
7. A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por
v = 2 + 5t3/2, onde t é expresso em segundo e v em metros por segundo.
Avalie o deslocamento s, a velocidade v e a aceleração a quando t = 4 s.
A partícula está na origem s = 0 quando t = 0.
R: 72 m; 42 m/s; 15 m/s2
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
70
8. A posição de um ponto material que se desloca em linha reta é definida
pela relação x = t3 - 6t2 - 15t + 40, onde x é expresso em metros e t em
segundos e t ≥ 0.
Determine (a) o instante em que a velocidade será nula, (b) a posição e a
distância percorrida pelo ponto até esse instante, (c) a aceleração do ponto
nesse instante, (d) a distância percorrida pelo ponto de t = 4 s a t = 6 s.
R: 5 s; 100 m; 18 m/s2; 2 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
71
9. Para um breve intervalo de tempo, a velocidade do carro que se move em
linha reta é dada por v = (3t2 + 2t) m/s, onde t é expresso em segundos.
Determine a posição e a aceleração do carro para t = 3 s.
Sabe-se que quando t = 0 e s = 0.
R: 36 m; 20 m/s2
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
72
Questão Desafio:
A aceleração de um ponto material é definida por a = kt2, no sistema
internacional de unidades. Sabendo-se que v = - 24 m/s quando t = 0 e que
v = + 40 m/s quando t = 4 s
(a) determine a constante k.
(b) Sabendo-se também que x = 6 m quando t = 2 s escreva as equações da
posição e da velocidade que caracterizam o movimento.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
73
Tente agora resolver este problema que começa a dar uma introdução ao
assunto seguinte sobre cinemática vetorial!
Um avião de carga voa com uma velocidade horizontal constante v0 a uma
altura H acima no nível do solo. No exato instante em que passa em cima de
uma pessoa que se encontra no chão deixa cair uma caixa de massa m (sem
nenhuma velocidade inicial em relação ao avião).
Desprezando as dimensões da caixa e a resistência do ar e tomando como
instante inicial de tempo aquele em que a caixa é liberada pelo avião, como
função do tempo, escreva os vetores posição, velocidade e aceleração da
caixa em relação à pessoa que se encontra no solo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
74
Dinâmica
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Cinemática Vetorial de Partículas
1. Introdução
2. Velocidade
3. Aceleração
4. Visualização do Movimento
5. Coordenadas Retangulares
6. Movimento de Projéteis
7. Coordenadas Normal e Tangencial (n-t)
8. Movimento Circular
9. Coordenadas Polares (r-θ)
75
1 - Introdução
O caso do movimento tridimensional mais geral é aquele que trata do
movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva que pertence
a um único plano.
Considere o movimento como representado na figura abaixo. No instante t
a partícula está na posição A, que é localizada pelo vetor posição r medido
a partir de alguma origem fixa conveniente O. No instante t + Δt, a
partícula está em A’, localizada pelo vetor posição r + Δr.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
76
Nota-se que essa é uma combinação vetorial, e não uma adição escalar. O
deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo Δt é o vetor Δr,
que representa a variação vetorial da posição.
A distância percorrida pela partícula conforme ela se move de A para A’ é
o comprimento escalar Δs medido ao longo da trajetória.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
77
2 - Velocidade
A velocidade média da partícula entre A e A’ é definida como ,
que é um vetor cuja direção é a de Δr. A velocidade escalar média da
partícula entre A e A’ é o quociente escalar Δs/Δt.
A velocidade instantânea (v) da partícula é definida como valor-limite
da velocidade média conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero.
Assim:
A direção de se aproxima da tangente à trajetória conforme Δt se
aproxima de zero; assim a velocidade é sempre um vetor tangente à
trajetória.
Ampliando a definição básica da derivada de uma grandeza escalar para
incluir uma grandeza vetorial, temos:
A derivada de um vetor é também um vetor que tem módulo e direção.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
t
r
vméd





v

t
r
v
t 





0
lim
r


r
dt
rd
v 




78
Recorrendo novamente à figura, fica então definido a velocidade da
partícula em A pelo vetor tangente v e a velocidade em A’ pela tangente v’.
Existe uma variação vetorial na velocidade durante o tempo Δt, sendo que
a velocidade v em A mais (vetorialmente) a variação Δv igual à velocidade
em A’: v’ – v = Δv.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
79
3 - Aceleração
A aceleração média da partícula entre A e A’ é definida como Δv/Δt,
que é um vetor cuja direção é a de Δv.
A aceleração instantânea (a) da partícula é definida como o valor-
limite da aceleração média, conforme o intervalo de tempo se aproxima
de zero. Assim:
Pela definição da derivada, então pode-se escrever:
Obs.: À medida que o intervalo Δt se torna menor e se aproxima de zero, a
direção da variação Δv se aproxima daquela da variação diferencial dv e,
assim, de a. A aceleração a inclui os efeitos tanto da variação do módulo de v
quanto da variação da direção de v. Então, em geral, a direção da aceleração
de uma partículaem um movimento curvilíneo não é nem tangente à trajetória
nem normal a ela; porém, a componente da aceleração que é normal à
trajetória aponta sempre para o seu centro de curvatura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
a

t
v
a
t 





0
lim
v
dt
vd
a 




80
4 - Visualização do Movimento
Abaixo temos uma interpretação gráfica da aceleração, onde os vetores
posição de posições arbitrárias sobre a trajetória da partícula são mostrados.
Existe um vetor velocidade tangente à trajetória correspondentes a cada vetor
posição. Os vetores aceleração são mostrados para instantes quaisquer,
escolhidos arbitrariamente.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
81
5 - Coordenadas Retangulares (x-y)
Este sistema de coordenadas é particularmente útil para a descrição do
movimento quando as componente x e y da aceleração são independentemente
geradas ou determinadas. O movimento curvilíneo resultante é então obtido
pela combinação vetorial das componentes x e y dos vetores posição,
velocidade e aceleração.
Na figura podemos visualizar a trajetória de uma partícula, mostrada ao longo
dos eixos x e y. O vetor posição r, a velocidade v e a aceleração a da
partícula são representados juntamente com suas componentes.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
82
Com o auxílio dos vetores unitários i e j, pode-se escrever os vetores r,
v e a em termos das suas coordenadas x e y. Assim,
r = xi + yj
v = dr/dt = vxi + vyj ou
a = dv/dt = axi + ayj
Como observado anteriormente, a direção da velocidade é sempre
tangente à trajetória, e a partir da figura, fica claro que:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
jyixrva
jyixrv
jyixr
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ








22
22
yx
x
y
yx
aaa
v
v
tgvvv

 
83
Se as coordenadas x e y são conhecidas, pode-se em qualquer instante
de tempo combiná-las para obter r. Do mesmo modo, combinam-se
suas primeiras derivadas e para obter v, e suas segundas derivadas
para obter a.
Por outro lado, se as componentes da aceleração ax e ay são dadas como
funções do tempo, pode-se integrar cada uma separadamente com
relação ao tempo, uma vez para obter vx e vy e novamente para obter x e
y. A eliminação do tempo t entre essas duas últimas equações
paramétricas fornece a equação da trajetória da curva y = f(x).
Obs.: A partir dessa discussão, percebe-se que a representação em
coordenadas retangulares do movimento curvilíneo é meramente a
superposição das componentes de dois movimentos retilíneos simultâneos nas
direções x e y. Desse modo, tudo que foi tratado sobre o M.R. pode ser
aplicado separadamente para o movimento em x e para o movimento em y.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
x y
x y
84
6 - Movimento de Projéteis
A figura apresenta o movimento de uma partícula no plano x-y.
Para os eixos mostrados, as componentes de aceleração são ax = 0 e
ay = - g. A integração dessas acelerações segue os resultados obtidos
para aceleração constante, e fornece:
vx = vx0 ; vy = vy0 – gt
x = x0 + vx0 t ; y = y0 + vy0 t – ½gt
2
vy
2 = vy0
2 – 2g(y – y0)
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
85
Em todas essas expressões, o subscrito zero denota as condições
iniciais, frequentemente tomadas onde o lançamento ocorre, para o
caso ilustrado x0 = y0 = 0. Desprezam-se o arrasto aerodinâmico, a
curvatura e a rotação da Terra e considera-se que a variação de altitude
é pequena o suficiente, de tal modo que a aceleração devida à
gravidade pode ser considerada constante.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
86
Observações:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
2
2
00
0
2
1
x
v
g
x
v
v
y
xx
y

Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem):
de x = v0xt temos: t = x/v0x
Substituindo na equação para y encontramos a
equação da trajetória:
(Equação de uma parábola !) Fotografia estroboscópica
do movimento parabólico
O movimento na direção y não depende da
velocidade vx. Na figura ao lado, duas bolas são
jogadas sob a ação da gravidade. A vermelha é
solta (v0y=0) e a amarela tem velocidade inicial
horizontal v0x.
Em cada instante elas têm a mesma altura!
87
Exercício resolvido 1
Dispara-se um projétil, da extremidade de uma colina de 150 m de
altura, com uma velocidade inicial de 180 m/s, num ângulo de 30º com
a horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, determinar (a) a
distância horizontal da arma ao ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a
altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
88
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Substituindo-se nas equações do movimento uniformemente acelerado, tem-se:

















ayvv
attvy
atvv
yy
y
yy
2)(
2
1
)(
)(
2
0
2
2
0
0
yv
tty
tv
y
y
62,1910.1,8
90,490
81,990
32
2



2
0
/81,9
/90º30.180)(
sma
smsenvy


Movimento vertical → Movimento Uniformemente Acelerado.
- Escolhendo o sentido do eixo y para cima e colocando a origem O na arma,
temos:
89
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Movimento horizontal → Movimento Uniforme. 
- Escolhendo-se o sentido positivo do eixo x para a direita, tem-se:
0
/9,155º30cos.180)( 0


a
smvx
Substituindo-se na equação do movimento uniforme, obtém-se:
 tvx x 0)( tx 9,155
90
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
(b) Quando o projétil atinge a máxima elevação, temos vy = 0; levando-se este valor à
equação da velocidade para o movimento vertical, escrevemos:
Elevação máxima acima do solo = 150 m + 413 m → 563 m
myy 41362,1910.10,80 3 
(a) Quando o projétil atinge o solo, temos: y = -150 m
Levando-se este valor à equação do movimento vertical, escrevemos:
sttttt 9,1906,304,1890,490150 22 
Levando-se t = 19,9 s à equação do movimento horizontal, tem-se:
Kmxx 10,39,19.9,155 
91
Exercício resolvido 2
O vetor posição de uma partícula se movendo no plano x-y no tempo
t = 3,60 s é 2,76i – 3,28j m. Em t = 3,62 s seu vetor posição se torna
2,79i – 3,33j m. Determine o módulo v de sua velocidade média
durante esse intervalo e o ângulo θ que a velocidade média faz com o
eixo x.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
0
22
0,59;
3
5
5,1
5,2
/92,25,25,1
)/(ˆ5,2ˆ5,1
02,0
ˆ05,0ˆ03,0











x
y
v
v
tg
smvv
smji
ji
t
r
v



92
Exercício resolvido 3
Um operário que trabalha no telhado de uma casa lança uma pequena
ferramenta para seu companheiro no chão. Qual deve ser a mínima
velocidade horizontal v0 necessária para que a ferramenta passe, sem tocar,
o ponto B? Localize o ponto de impacto, especificando a distância s
mostrada na figura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
mss
sttC
smvv
tvxx
stt
gttvyy
C
x
B
y
C
B
49,2)277.1(64,66
277,1)81,9(
2
1
8
/64,6)903,0(06
903,081,9
2
1
004
2
1
2
00
00
2
2
00






93
Atividades
1. A coordenada y de uma partícula em movimento curvilíneo é dada por
y = 4t3 – 3t, onde y é expresso em metros e t em segundos. A partícula possui
uma aceleração na direção x dada por ax = 12t m/s
2. Se a velocidade da
partícula na direção x é 4 m/s quando t = 0, calcule os módulos dos vetores
velocidade v e aceleração a da partícula quando t = 1 s. Desenhe v e a na
solução.
R: v = 13,45 m/s; a = 26,8 m/s2
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
94
2. Um atleta de salto à distância se aproxima da plataforma de salto A com
uma velocidade horizontal de 10 m/s. Determine a componente vertical vy da
velocidade de seu centro de gravidade no ponto A para que ele realize o salto
mostrado. Qual será a elevação h doseu centro de gravidade?
R: vy = 3,68 m/s; h = 0,69 m 
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
95
3. Um foguete encontra-se sem combustível na posição mostrada e continua
em seu vôo sem propulsão acima da atmosfera. Se sua velocidade nessa
posição era de 1000 Km/h, calcule a altitude máxima adicional h alcançada e
o tempo t correspondente para atingi-la. A aceleração gravitacional durante
essa fase do seu vôo é 9,39 m/s2.
R: t = 25,6 s ; h = 3,0,8 Km 
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
96
4. Um time de estudantes de engenharia está projetando uma catapulta para
lançar uma pequena bola em A, de tal modo que ela atinja a caixa. Sabe-se
que o vetor velocidade inicial faz um ângulo 30º com a horizontal. Determine
a faixa de velocidades de lançamento v0 para as quais a bola irá parar dentro
da caixa.
R: 6,15 – 6,68 (m/s)
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
97
5. Qual deve ser a mínima velocidade horizontal para que o rapaz lance uma
pedra em A e ultrapasse, sem tocar, o obstáculo em B?
R: 28,37 m/s
Cinemática Vetorial
98
6. No combate a incêndios em florestas, aviões jogam água para ajudar
equipes que trabalham no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa
com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo no solo. Se o avião
está voando horizontalmente a uma altura H acima do solo com velocidade V
a que distância horizontal do alvo o piloto deve lançar a caixa? Despreze a
resistência do ar.
R: V.√(2H/g)
Cinemática Vetorial
99
7. Uma pedra é arremessada até um muro de altura h com velocidade inicial
de 42 m/s fazendo um ângulo θ0 = 60 º com a horizontal, conforme a figura.
A pedra atinge o ponto A 5,5 s após o lançamento. Determine (a) a altura h
do muro, (b) a velocidade da pedra logo antes do impacto em A e (c) a altura
máxima H alcançada pela pedra.
R: 51,68 m; 27,38 m/s; 67,43 m
Cinemática Vetorial
100
8. O bocal de uma mangueira de jardim despeja água a uma taxa de 15 m/s.
Se o bocal é mantido no nível do solo e inclinado de 30º em relação à
horizontal, determine a altura máxima alcançada pela água e a distância
horizontal entre o bocal e o ponto no solo onde a água o atinge.
R: 2,87 m; 19,74 m
Cinemática Vetorial
101
9. Em uma competição esportiva, uma moto saltou da pista em A, a um
ângulo de 60º. Se o ponto de aterrissagem dista de 20 m do ponto A,
determine aproximadamente o módulo da velocidade com que a motocicleta
deixou o solo. Despreze as dimensões da moto.
R: 15,05 m/s
Cinemática Vetorial
102
10. Devido a certas inomogeneidades na Terra, numa certa região a
aceleração da gravidade não é bem vertical. Além de uma componente
vertical para baixo de módulo g, ela possui uma componente horizontal de
módulo a. Em relação a um sistema de eixos convenientemente escolhido, as
equações do movimento de uma partícula lançada nessa região são
onde v0x e v0y são constantes positivas.
Determine (a) o tempo de subida da partícula, isto é, o tempo desde o
lançamento até que ela chegue ao ponto mais alto da trajetória e (b) o espaço
horizontal percorrido pela partícula no movimento de subida.
Cinemática Vetorial
103
Questão Desafio:
A menina sempre lança os brinquedos do ponto A, a um ângulo de 30º.
Determine com que velocidade ela deve lançar cada brinquedo para que
eles atinjam a piscina.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
104
7 - Coordenadas Normal e Tangencial (n-t)
Uma das descrições mais comuns do movimento curvilíneo usa as
variáveis de trajetória, que são medidas feitas ao longo da tangente t e
da normal n à trajetória da partícula.
As coordenadas n e t são consideradas como se movendo ao longo da
trajetória com a partícula, como mostrado na figura abaixo, onde a
partícula avança de A para B até C.
O sentido positivo de n em qualquer posição é sempre tomado para o
centro de curvatura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
105
As coordenadas são usadas para descrever a velocidade v e a aceleração
a para um movimento curvilíneo de uma partícula. Introduzem-se os
unitários en na direção n e et na direção t, como mostrado na figura
para a posição da partícula no ponto A.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
106
Com o raio de curvatura da trajetória nesse ponto designado por ρ,
podemos escrever a velocidade como o vetor: v = vet = et
A aceleração a da partícula é um vetor que reflete tanto a variação no
módulo quanto a variação na direção de v. A partir da equação da
velocidade e trabalhando com os unitários, a equação para a aceleração
se torna: a = en + et
onde:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
 

2v
v
22
2
2
tn
t
n
aaa
sva
v
v
a




 

107
As relações obtidas nos dizem que a componente tangencial da aceleração
é igual à derivada temporal da velocidade escalar do ponto material,
enquanto a componente normal é igual ao quadrado da velocidade escalar
dividida pelo raio de curvatura da trajetória. Conforme a velocidade do
ponto material aumenta ou diminui, at é positiva ou negativa, e a
componente vetorial at está dirigida no sentido do movimento ou contrária
ao mesmo. A componente vetorial an, por outro lado, está sempre orientada
para o centro de curvatura C da trajetória.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
108
É importante observar que a componente normal da aceleração an está
sempre direcionada para o centro de curvatura da trajetória. A
componente tangencial, por outro lado, estará no sentido positivo da
direção t do movimento se o módulo da velocidade v estiver
aumentando, e no sentido negativo da direção t se o módulo da
velocidade estiver diminuindo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
109
Conclui-se, portanto, que a componente tangencial da aceleração é
responsável pela mudança da velocidade escalar do ponto material,
enquanto sua componente normal reflete a mudança na direção de seu
movimento.
A aceleração de um ponto material será zero somente se ambas as
componentes forem zero. Assim, a aceleração de um ponto material que se
desloca com uma velocidade constante ao longo de uma curva nunca será
zero, a não ser que o ponto material passe por um ponto de inflexão da curva
(onde o raio de curvatura é infinito) ou a curva seja uma linha reta.
O fato de a componente normal da aceleração depender do raio de curvatura
da trajetória do ponto material é lavado em conta no projeto de estruturas ou
mecanismo como asas de avião e linhas férreas. Para evitar variações
repentinas na aceleração de partículas do ar que se escoam ao redor da asa de
um avião, projetam-se perfis de asas sem qualquer mudança brusca de
curvatura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
110
8 - Movimento Circular
O movimento circular é um importante caso especial do movimento
curvilíneo plano, onde o raio de curvatrura ρ se torna o raio r constante
de um círculo e o ângulo β é substituído pelo ângulo θ medido a partir
de alguma referência radial conveniente. As componentes de velocidade
e aceleração para o movimento circular da partícula se tornam:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica






rva
vr
r
v
a
v
t
n



2
2
111
r
r
r

ˆ
Aqui também podemos usar um 
vetor unitário: (note que este vetor 
varia com o movimento)
A aceleração fica:
r
r
v
a ˆ
2


(a aceleração tem a direção do vetor posição e 
aponta para o centro da circunferência. Esta é 
a aceleração centrípeta).
Ou:
ra
 2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
Observações:
112
Exercício resolvido 1
Uma partícula se move em uma trajetória circular de 0,4 m de raio.
Calcule o módulo a da aceleração da partícula (a) se sua velocidade é
constante em 0,6 m/s e (b) se sua velocidade é 0,6 m/s, mas está
aumentando a uma taxa de 1,2 m/s a cadasegundo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
222
222
2
2
22
/5,19,02,1
/2,1)(
/9,00)(
/9,0
4,0
6,0
sma
aaasmvab
smaavaa
sm
v
a
ntt
nt
n







113
Exercício resolvido 2
Um carro passa por uma depressão na estrada em A com uma velocidade
constante, que fornece ao seu centro de massa G uma aceleração igual a
0,5g. Se o raio de curvatura da estrada em A é 100 m, e se a distância da
estrada ao centro de massa G do carro é 0,6 m, determine o módulo v da
velocidade do carro.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
hKmsmav
v
aa
n
n
/5,79/08,22)81,9(5,0)6,0100(
2




114
Exercício resolvido 3
Para atravessar uma depressão seguida de uma elevação na estrada, o
motorista de um carro aplica os freios para produzir uma desaceleração
uniforme. Sua velocidade é de 100 Km/h no ponto A da depressão e de 50
Km/h no ponto C no topo da elevação, que se encontra a 120 m de A ao
longo da pista. Se os passageiros do carro experimentam uma
desaceleração total de 3 m/s2 em A e se o raio de curvatura da elevação em
C é 150 m, calcule (a) o raio de curvatura ρ em A, (b) a aceleração no
ponto de inflexão B e (c) a aceleração total em C.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
115
Encontra-se a desaceleração constante ao longo da trajetória a partir de:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
222
2
2
22
2
222
2222222
2
22
22
22
0
/73,2)41,2()286,1(
)/(e41,2e286,1
/286,1
150
89,13
)(
/41,20)(
432
785,1
8,27
/785,141,23)(
/41,2
)120(2
)8,27()89,13(
)(
2
1
2
sma
sma
sm
v
ac
smaaab
m
a
vv
a
smaaaaa
smvv
s
a
savvdsavdv
tn
n
tn
n
n
ntn
ACt
v
v
tAC
s
t
C
A









 






116
Atividades
1. Seis vetores aceleração são mostrados para um carro cujo vetor
velocidade está direcionado para a frente. Para cada vetor aceleração
descreva, em palavras, o movimento instantâneo do carro.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
117
2. Uma partícula se move num plano com movimento uniforme, isto é, com
velocidade de módulo constante. A figura mostra um trecho de sua trajetória,
formada por um semicírculo de raio r, uma semi-reta e outro semicírculo de
raio R = 2r. O sentido do movimento está indicado na figura e, nela, estão
marcados os pontos A e B.
Indique, com vetores, as velocidades e acelerações da partícula nos instantes
em que ela se encontra no ponto A e no ponto B. Desenhe as setas de modo
que seus tamanhos sejam proporcionais aos seus módulos. Marque, ainda em
seu desenho, o vetor deslocamento Δr[ta, tb], onde ta é o instante e que ela se
encontra no ponto A e tb, o instante em que ela se encontra no ponto B.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
118
3. Na parte inferior A de um loop interno, o módulo da aceleração total de um
avião é 3g. Se a velocidade medida no avião é de 800 Km/h e está
aumentando a uma taxa de 20 Km/h por segundo, calcule o raio de curvatura ρ
da trajetória em A.
R: 1709 m
Cinemática das Partículas - Dinâmica
119
4. Considere o eixo polar da Terra como sendo fixo no espaço e calcule o
módulo da aceleração a de um ponto P sobre a superfície da Terra na
latitude 40º norte. O diâmetro médio da Terra é 12.742 Km e sua
velocidade angular é de 0,729.10-4 rad/s.
R: 0,0259 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
120
5. Uma partícula se move ao longo de uma trajetória circular no plano x-y.
Quando a partícula cruza o eixo x, positivo ela faz um movimento acelerado e
com aceleração ao longo da trajetória igual a 1,5 m/s2 , e sua velocidade é de
6 m/s na direção negativa de y. Considerando o raio r = 0,6 m, escreva o vetor
a aceleração da partícula no instante considerado.
R: – 60 i – 1,5 j
Cinemática das Partículas - Dinâmica
121
6. A velocidade e a aceleração de uma partícula são dadas para um certo
instante por v = i – j + k m/s e a = - i + j - k m/s2.
Determine o ângulo entre v e a, e também a aceleração tangencial at.
R: 180º; -√3 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
122
7. Uma partícula P se move ao longo de uma curva espacial e possui
velocidade v = 4i -2j - k (m/s) para o instante mostrado. No mesmo instante a
partícula tem uma aceleração a cujo módulo é 8 m/s2. Calcule o raio de
curvatura ρ da trajetória para essa posição e a taxa com a qual o módulo da
velocidade está aumentando.
R: 7,67 m; 7,52 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
123
8. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circular de raio ρ = 50 m
com uma velocidade escalar v = (0,2.t2) m/s, onde t é dado em segundos.
Determine os módulos da velocidade e da aceleração do bote no instante
t = 3 s.
R: 1,80 m/s; 1,20 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
124
9. Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista circular
horizontal de raio de 300 pés, como mostrado na figura. Se a sua velocidade
escalar aumenta a uma taxa constante de 7 pés/s2, determine o tempo
necessário para ele alcançar uma aceleração de 8pés/s2. Qual a sua velocidade
escalar nesse instante?
R: 4,87 s; 34,07 pés/s 
Cinemática das Partículas - Dinâmica
125
10. Um trem está se deslocando a 144 Km/h na seção curva da linha, de
raio 900 m. Os freios são repentinamente aplicados, causando uma
desaceleração constante do trem. Após 6 s a velocidade do trem se
reduziu a 96 Km/h. Determine a aceleração de um vagão
imediatamente após os freios terem sidos aplicados.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
126
11. Uma partícula executa um movimento curvilíneo de raio R com uma
aceleração de componente tangencial dada por at = a0βt, onde a0 e β são
constantes positivas. Sabendo que no instante t0 = 0 a velocidade escalar é
v0 = , represente num instante de tempo qualquer a velocidade escalar da
partícula, v, e a componente centrípeta (ou normal) de sua aceleração.
2
0a
Cinemática das Partículas - Dinâmica
127
Questão Desafio:
Uma partícula realiza um movimento sem atrito no interior de um trilho de
perfil circular na vertical. O movimento é tal que ela não perde o contato
com o trilho durante todo o trajeto. Represente o vetor velocidade e o vetor
aceleração resultante sobre a partícula nos pontos indicados na figura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
128
Considera-se agora a terceira descrição do movimento curvilíneo plano
em que a partícula é localizada pela distância radial r a partir de um
ponto fixo e por uma medida angular θ até a linha radial.
A figura abaixo mostra as coordenadas polares r e θ que localizam uma
partícula se movendo sobre uma trajetória curva. Uma linha fixa
arbitrária, tal como o eixo x, é usada como referência para as medidas
de θ.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
9 - Coordenadas Polares (r-θ)
129
Vetores unitários er e eθ são estabelecidos nos sentidos positivos das
direções r e θ, respectivamente. O vetor posição r da partícula em A
tem módulo igual à distância radial r e uma direção especificada pelo
vetor unitário er. Assim, a localização da partícula em A é expressa pelo
vetor:
r = rer
Podemos utilizar a diferenciação dessa relação e o tempo para obter v = dr/dt
e a = dv/dt.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
130
Fazendo também uso das derivadas temporais dos vetores unitários,
encontramos para a velocidade:
onde:
Diferenciando a expressão da velocidade temos para a aceleração:
onde:
Cinemática das Partículas - Dinâmica
22
eev





vvv
rv
rv
rr
r
r
r







22
eev





vvv
rv
rv
rr
r
r
r







22
2
2
2
e)2()e(a






aaa
rrv
rra
rrrr
r
r
r







22
2
2
2
e)2()e(a






aaa
rra
rra
rrrr
r
r
r







131
É importante notar que ar não é igual à derivada em relação ao tempo
de vr e que aθ não é igual à derivadaem relação ao tempo de vθ.
No caso de um ponto material que se desloca ao longo de uma
circunferência de centro O, temos r = constante, , e as
fórmulas de velocidade e de aceleração reduzem-se, respectivamente a:
Cinemática das Partículas - Dinâmica
0 rr 




eea
ev
2 

rr
r
r 

132
Para descrever o MCU podemos também usar as coordenadas polares!
O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo é:
A posição angular é uma função do tempo, . O arco 
descrito em dt é dado por . Então:
Rs 
)(t
dt
d
Rv
dt
ds 

dRds 
x

s
d
R

dt
d
 
Define-se assim a velocidade angular :
v REntão:
cte
dt
d


 t  0Se
:


.
(v: velocidade tangencial)
Cinemática das Partículas - Dinâmica
Observações:
133
Exercício resolvido 1
O braço AO de 0,9 m de comprimento gira ao redor de O e seu movimento
está definido pela relação θ = 0,15 t2, onde θ está expresso em radianos e t
em segundos. O cursor desliza ao longo do braço, sendo o seu
deslocamento em relação a O dado por r = 0,9 – 0,12t2, onde r é expresso
em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e aceleração total do
cursor B após o braço AO ter girado 30º.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
134
Exercício resolvido 1
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
2
2
/240,024,0
/449,024,0
481,012,09,0
smr
smtr
mtr





2
2
/300,030,0
/561,030,0
524,015,0
srad
sradt
radt








Primeiramente achamos t quando θ = 30º:
θ = 0,15t2 → 0,524 = 0,15t2 → t = 1,87 s
Substituindo-se t = 1,87 s nas expressões para r, θ e suas primeiras e
segundas derivadas, temos:
135
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Para o cálculo da velocidade, obtemos os valores de suas componentes
quando t = 1,87 s:
Do triângulo retângulo ilustrado na figura, obtemos o módulo, direção e
sentido da velocidade:
V = 0,524 m/s ; β = 31º
smrv
smrvr
/270,0561,0.481,0
/449,0





136
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Para o cálculo da aceleração, fazemos:
2
22
/359,0)561,0.449,0(2)300,0(481,02
/391,02)561,0(481,024,0
smarra
smarra rr


 



Encontramos: a = 0,531 m/s2 ; º6,42
137
Exercício resolvido 2
A posição do cursor P no braço articulado giratório AO é controlada por
um parafuso, como mostrado. No instante representado, dθ/dt = 8 rad/s e
dθ2/dt2 = - 20 rad/s2. Também nesse instante, r = 200 mm,
dr/dt = - 300 mm/s, e dr2/dt2 = 0. Para esse instante, determine as
componentes r e θ da aceleração de P.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
22
2222
/80,8/8800)8)(300(2)20(2002
/80,12/12800)8(2000
smsmmrra
smsmmrrar







138
1. Um brinquedo de um parque de diversões consiste numa cadeira que gira
numa trajetória circular horizontal de raio r presa a um braço OB que possui
velocidade angular ω e aceleração angular α. Determine os componentes
radiais e transversais da velocidade e da aceleração do passageiro. Despreze o
tamanho do passageiro.
Atividades
Cinemática das Partículas - Dinâmica
139
2. O movimento curvilíneo de uma partícula é governado pelas coordenadas
polares r = t3/3 e θ = 2cos(πt/6), onde r é expresso em metros, θ em radianos e
t em segundos. Especifique a velocidade v e a aceleração a da partícula
quando t = 2 s.
R: v = 4er – 2,42eθ (m/s); a = 1,807er – 7,99eθ (m/s
2)
Cinemática das Partículas - Dinâmica
140
3. A rotação do braço pivotado radialmente é governada por θ = 0,2t + 0,02t3
(SI). Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor B e controla a
sua distância a partir de O de acordo com r = 0,2 + 0,04t2 (SI). Calcule o
módulo da velocidade e da aceleração do cursor para o instante t = 3s.
R: v = 0,479 m/s; a = 0,601 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
141
4. Um carro desloca-se numa curva circular de raio r = 300 m. Num dado
instante, sua taxa angular de rotação é ω = 4 rad/s e cresce a uma taxa de
α = 2 rad/s2. Determine o módulo da aceleração do carro nesse instante.
R: 4,837 Km/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
142
5. O tubo vazado é pivotado em torno de um eixo horizontal que passa no
ponto O e é posto para girar em um plano vertical com uma velocidade
constante no sentido anti-horário ω = 3 rad/s. Se uma partícula de 0,1 Kg está
deslizando no tubo em direção a O com uma velocidade de 1,2 m/s
relativamente ao tubo quando passa pela posição θ = 30º, calcule o módulo N
da força normal exercida pela parede do tubo sobre a partícula nesse instante.
R: 0,1296 N
Cinemática das Partículas - Dinâmica
143
6. O braço OAB é pivotado em torno do ponto O, enquanto simultaneamente a
seção AB se estende em relação à seção OA. Determine a velocidade e a
aceleração do centro B da polia para as seguintes condições: θ = 30º,
ω = 5 graus/s, α = 2 graus/s2, l = 2 m, v = 0,5 m/s, a= - 1,2 m/s2. As grandezas
v e a são a primeira e a segunda derivada no tempo, respectivamente, do
comprimento l da seção AB.
R: );/(ˆ785,0ˆ5,0 smeer  )/(ˆ401,0ˆ269,1
2smeer 
Cinemática das Partículas - Dinâmica
144
7. O braço AO de 0,9 m de comprimento gira ao redor de O e seu movimento
está definido pela relação θ = 0,15t2 (SI). O cursor B desliza ao longo do
braço, sendo o seu deslocamento em relação a O dado por r = 0,9 – 0,12t2,
no SI. Determine a aceleração total do cursor B após o braço AO ter girado
30º.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
145
Questão Desafio:
A haste AO mostrada na figura gira num plano horizontal de modo que
θ = (t3) rad. Ao mesmo tempo, o curso B desliza de O para A, tendo sua
coordenada r variando no tempo de acordo com r = (100t2) mm. Considerando
em ambos os casos t expresso em segundo, determine a velocidade e a
aceleração do cursor para t = 1 s.
R: 361 mm/s; 1930 mm/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
Cinemática das Partículas
Movimento Curvilíneo Espacial
1. Introdução
2. Coordenadas Retangulares (x-y-z)
3. Coordenadas Cilíndricas (r-θ-z)
4. Coordenadas Esféricas (R-θ-Φ)
5. Movimento Relativo (Eixos Transladados)
Representação Vetorial
Dinâmica I
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
146
1 - Introdução
No caso geral do movimento tridimensional de uma partícula ao longo de
uma curva espacial três sistemas de coordenadas são comumente usados para
descrever esse movimento:
Coordenadas retangulares (x-y-z), cilíndricas (r-θ-z) e esféricas (R-θ-Φ)!
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
147
2 - Coordenadas Retangulares (x-y-z)
A extensão de duas para três dimensões não oferce grandes dificuldades.
Adiciona-se apenas a coordenada z e suas derivadas no tempo às expressões
bidimensionais já vistas; de tal modo que o vetor posição R, a velocidade v e a
aceleração a se tornam:
Obs. Note que em três dimensões está-se empregando R no lugar de r para o
vetor posição.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
kzjyixRva
kzjyixRv
kzjyixR
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ









148
3 - Coordenadas Cilíndricas (r-θ-z)
No sistema de coordenadas cilíndricas um ponto P é representado por uma
tripla (r-θ-z), onde (r-θ) representa um ponto em coordenadas polares e z é a
terceira coordenada usual do sistema cartesiano. Basta, então, acrescentar a
coordenada z e suas duas derivadas no tempo. O vetor posição R da partícula
para coordenadas cilíndrica é simplesmente: R = rer + zk
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
149
A velocidade pode ser escrita como:
onde:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
222
zr
z
r
vvvv
zv
rv
rv





 



kzererv r
ˆˆˆ 

 
Do mesmo modo, a aceleração é escrita pela adição da componente z, que fornece:onde:
kzrrrr r
ˆê)2(ê)(a 2 

 
222
2
2
zr
z
r
aaaa
za
rra
rra





 




150
Para converter do sistema de coordenadas cilíndricas para o sistema cartesiano
usamos as relações:
x = r cos θ y = r sen θ z = z
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
Para passar do sistema de coordenadas cartesianas cilíndricas para o sistema de
coordenadas cilíndricas usamos as relações:
r2 = x2 + y2 tan θ = y/x z = z 151
4 – Coordenadas Esféricas (R-θ-Φ)
As coordenadas esféricas são utilizadas quando uma distância radial e dois
ângulos são empregados para especificar a posição de uma partícula, como no
caso de medidas através de radares, por exemplo. São denotadas pela tripla
(R-θ-Φ) e localizam um ponto P no espaço dando a distância R da origem, o
ângulo θ projetado sobre o plano xy (o ângulo polar) e o ângulo Φ que o raio
R faz com o eixo positivo z (o ângulo vertical).
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
152
A derivação da expressão para a velocidade v é obtida definindo-se os vetores
unitários eR, eθ, eΦ. O unitário eR está na direção em que a partícula P pode-se
mover se R aumenta, mas θ e Φ são mantidos constantes. O vetor unitário eθ
está na direção na qual P pode-se mover se θ aumenta, enquanto R e Φ são
mantidos constantes. Finalmente, o unitário eΦ está na direção na qual P pode-
se mover se Φ aumenta, enquanto R e θ são mantidos constantes.
As expressões resultantes para v e a são:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I







Rv
Rv
RvR



cos
 evevevv RR ˆˆˆ 

 êêêa aaa rR 








cos
)(1
2
)(cos
cos
2
2
2
222
senR
dt
Rd
R
a
senR
dt
Rd
R
a
RRRaR








153
Para converter um ponto em coordenadas esféricas P (R-θ-Φ) para coordenadas
cartesianas usamos as relações:
x = r sen Φ cos θ y = r sen Φ sen θ z = r cos Φ
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
Para converter um ponto P (x,y,z) em coordenadas cartesianas para coordenadas
polares usamos as relações:
r2 = x2 + y2 + z2 tan θ = y/x cos Φ = z/(x2 + y2 + z2)1/2 154
Geometricamente:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
155
Exercício resolvido 1
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
k
k
kkt
k
t
kt
ktdt






22
2
2
1
2
2
1
2
2












 


O centro da esfera A se move em uma helicóide
sobre a superfície cilíndrica de raio b, e as
coordenadas cilíndricas r, θ e z são indicadas.
Integrando a relação fornecida para ω temos:
Para uma volta a partir do repouso:
k
k
kkt
k
t
kt
ktdt






22
2
2
1
2
2
1
2
2












 


O parafuso inicia seu movimento do repouso, e é dada uma velocidade de
rotação ω = dθ/dt que aumenta uniformemente com o tempo t de acordo com
dθ/dt = kt, onde k é uma constante. Determine a velocidade ω do centro da
esfera A quando o parafuso tiver girado uma volta completa a partir da
posição de repouso.
156
Exercício resolvido 2
Uma partícula P se move ao longo de uma curva espacial e possui velocidade
v = 4i - 2j - k m/s para o instante mostrado. No mesmo instante a partícula tem
uma aceleração a cujo módulo é 8 m/s2. Calcule o raio de curvatura ρ da
trajetória para essa posição e a taxa com a qual o módulo da velocidade está
aumentando.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
2
222
2
222
/52,7º20cos8º20cos
67,7
74,2
58,4
;
/74,2º208º20
/58,4124
ˆˆ2ˆ4
smaav
m
a
vv
a
smsenasena
smv
kjiv
t
n
n
n









157
Atividades
1. A velocidade e a aceleração de uma partícula são dadas para um certo
instante por v = 6i – 3j +2k m/s e a = 3i – j – 5k m/s2. Determine o ângulo θ
entre v e a, , e o raio de curvatura ρ no plano do movimento.
R: θ = 74,6º; = 1,571 m/s2; ρ = 8,59 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
v
v
158
2. O elemento giratório em uma câmara de mistura possui um movimento
periódico axial z = z0 sen 2πnt enquanto está girando com uma velocidade
angular constante . Determine a expressão para a maior aceleração do
ponto A sobre a borda do êmbolo de raio r. A frequência n da oscilação
vertical é constante.
R: amáx = (r
2ω4 + 16n4π4z0
2)1/2
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
 
159
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
3. A base da escada do caminhão de bombeiros gira em torno de um eixo
vertical que passa por O com uma velocidade angular constante
Ω = 10 graus/s. No mesmo instante, a escada OB se eleva a uma taxa
constante graus/s, e a seção AB da escada se estende em relação a seção
OA com uma taxa constante de 0,5 m/s. No instante em consideração,
Φ = 30º, OA = 9 m, e AB = 6 m. Determine o módulo da velocidade da
extremidade B da escada. R: v = 2,96 m/s
7
160
161
5 - Movimento Relativo (Eixos Transladados)
Vimos o movimento de uma partícula usando coordenadas referidas a
eixos de referência fixos. Deslocamentos, velocidades e acelerações
assim determinados são denominados absolutos. Entretanto, não é
sempre possível ou conveniente usar um conjunto de eixos para
descrever ou medir um movimento. Além disso, existem vários
problemas em engenharia para os quais a análise do movimento é
simplificada quando se empregam medidas feitas com relação a um
sistema de referência móvel.
Essas medidas, quando combinadas com o movimento absoluto do
sistema de referência móvel possibilitam determinar o movimento
absoluto em questão.
Essa abordagem é chamada de análise de movimento relativo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
162
O movimento de um sistema de coordenadas móvel é especificado em
relação a um sistema de coordenadas fixo. Estritamente falando, na
mecânica newtoniana esse sistema fixo é o sistema inercial primário, o
qual é considerado como não tendo movimento no espaço.
Para os propósitos da engenharia, o sistema fixo pode ser tomado como
qualquer sistema cujo movimento absoluto é desprezível para o
problema em questão.
Serão então estudados os sistemas de referência móveis que se
transladam mas não giram.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
163
Considere duas partículas A e B que podem ter movimentos curvilíneos
separados em um dado plano ou em planos paralelos. Será definida
arbitrariamente na partícula B a origem de um conjunto de eixos x-y que
se transladam, mas que não giram, observando-se o movimento de A a
partir da posição móvel em B.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
Representação Vetorial
164
O vetor posição de A medido relativamente ao referencial x-y é
rA/B = xi + yj, onde a notação em subscrito “A/B” significa “A relativo a B”
ou “A com relação a B”. Os vetores unitários ao longo dos eixos x e y são i
e j, e x e y são as coordenadas de A medidas no referencial x-y. A posição
absoluta de B é definida pelo vetor rB medido a partir da origem dos eixos
X-Y. A posição absoluta de A é vista, desse modo, como determinada pelo
vetor : rA = rB + rA/B ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
BABA rrr /


165
Diferencia-se esta equação vetorial uma vez com relação ao tempo,
para obter as velocidades, e duas vezes para obter as acelerações.
Assim:
Essas equações estabelecem que a velocidade (ou aceleração) absoluta
de A é igual à velocidade (ou aceleração) absoluta de B somada,
vetorialmente, à velocidade (ou aceleração) de A relativamente a B. O
termo relativo é a medida da velocidade (ou da aceleração) realizada
por um observador conectado ao sistema de coordenadas x-y móvel.
Pode-se expressar os termos do movimento relativo em qualquer sistema de
coordenadas conveniente – retangular, normale tangencial, ou polar – e as
formulações vistas podem ser utilizadas para esse propósito.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
BABABABA
BABABABA
aaarrr
vvvrrr
//
//




166
Na análise de movimento relativo é importante saber que a aceleração
de uma partícula observada em um sistema x-y que se translada é a
mesma observada em um sistema fixo X-Y se o sistema móvel possui
velocidade constante. Essa conclusão amplia a aplicação da segunda lei
do movimento. Então, um conjunto de eixos que possui velocidade
absoluta constante pode ser usado em lugar de um sistema fixo para a
determinação das acelerações. Um sistema de referência que se
translada, mas não tem aceleração, é chamado de sistema inercial.
Consequentemente, qualquer que seja o movimento da partícula considerada,
a sua aceleração em relação a R, num dado instante, é exatamente igual `a
sua aceleração em relação a R’ nesse instante, desde que se cumpram as
seguintes condições:
(i) que os eixos de R’ permaneçam paralelos aos eixos de R;
(ii) que a origem O’ se mova em MRU relativamente a R.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
167
Exercício resolvido 1
Considere o movimento de um nadador que cruza um rio de margens
retilíneas e paralelas entre si. Por simplicidade, vamos supor que todas as
partículas do rio se movam em MRU com a mesma velocidade V em
relação a um referencial solidário às margens.
Relacione a velocidade do nadador em relação às margens com a sua
velocidade em relação a um referencial que se desloca com a mesma
velocidade do rio.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
jviVv
jjjviVv
vVv
vvv
yxnad
yxnad
rionadnad
rionadrionad
ˆˆ
ˆˆ;ˆˆ
'
'''
/
/








168
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
Portanto, a velocidade do nadador em relação às margens (isto é, em relação a
OXY) é diferente de sua velocidade em relação ao rio (isto é, em relação a
O’X’Y’). No caso em questão, não apenas as respectivas direções de v e v’, mas
também seus respectivos módulos são diferentes.
Como v’ = v’yj’, é imediato perceber que a velocidade do nadador em relação a
O’X’Y’ é perpendicular às margens do rio (lembre-se de que estas são paralelas
aos eixos OX e O’X’), enquanto a sua velocidade relativa a OXY é oblíqua em
relação `as margens, ou seja, faz um ângulo menor do que 90º com o eixo OX.
Aplicando o teorema de Pitágoras, vemos que |v|2 = |v’|2 + |V|2.
É também imediato perceber que vx = Vx e vy = v’y.
169
Exercício resolvido 2
Os passageiros de um jato de transporte A voando para leste com uma
velocidade de 800 Km/h observam um segundo avião a jato B, que passa
sob o primeiro em um vôo horizontal. Apesar de o nariz do avião B estar
apontando para a direção nordeste a 45º, para os passageiros de A ele
parece estar se movendo para longe do avião A com um ângulo de 60º,
como mostrado. Determine a real velocidade de B.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
170
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
Pode-se escrever a equação vetorial: vB = vA + vB/A
Identificam-se as incógnitas e as variáveis conhecidas: A velocidade vA é dada em
módulo e direção; a direção 60º de vB/A (direção da velocidade que B parece ter
para os observadores móveis em A); a velocidade verdadeira de B está na direção
de 45º para a qual está se dirigindo. Então as duas incógnitas remanescentes são
os módulos de vB e vB/A.
Pode-se resolver a equação vetorial de três formas:
(I) Gráfica. Inicia-se com a soma vetorial em algum ponto P, desenhando vA em
uma escala conveniente e depois construindo uma linha através da ponta de vA
com a direção conhecida de vB/A. A direção conhecida vB é então desenhada
através de P, e a interseção C fornece a única solução que permite completar o
triângulo vetorial e determinar os módulos desconhecidos de acordo com a escala.
vB/A = 586 Km/h e
vB = 717 Km/h
171
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
(II) Trigonométrica. Um esboço do triângulo vetorial é feito para determinar a
trigonometria, que fornece
Deve-se estar preparado para empregar relações trigonométricas apropriadas
necessárias à lei dos senos.
hKm
sen
sen
v
sen
v
sen
v
B
AB
/717
º75
º60
800
º75º60


172
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
(III) Algébrica (álgebra vetorial). Usando os vetores i e j, pode-se expressar as
velocidades na forma vetorial como
vA = 800i Km/h
vB = (vB cos 45º)i + (vB sen 45º)j Km/h
vB/A = (- vB/A cos 60º)i + (vB/A sen 60º)j Km/h
substituindo essas relações na equação de velocidade relativa e resolvendo
separadamente os termos i e j, tem-se
(termos i) vB cos 45º = 800 – vB/A cos 60º
(termos j) vB sen 45º = vB/A sen 60º
Resolvendo simultaneamente conseguem-se os módulos desconhecidos das
velocidades
vB/A = 586 Km/h e vB = 717 Km/h
173
Exercício resolvido 3
O passageiro do avião B está voando para leste com uma velocidade
vB = 800 Km/h. Um jato militar se deslocando para o sul com uma
velocidade vA = 1200 Km/h passa sob B a uma altitude ligeiramente
menor. Que velocidade A parece ter para um passageiro em B e qual é a
direção da sua velocidade aparente?
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
º7,33
1200
800
/1442)800()1200(
1
22
/
/



tag
hKmv
vvv
BA
BABA



174
1. Um trem, viajando a uma velocidade de 60 m/h, cruza uma rodovia,
como mostrado na figura. Se o automóvel A trafega a 45 m/h, determine o
vetor velocidade (módulo, direção e sentido) do trem em relação ao
automóvel.
R: vT/A = 42,5 m/h
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
Atividades
175
2. Um carro A possui uma velocidade para frente de 18 Km/h, e está sendo
acelerado a 3 m/s2. Determine a velocidade e a aceleração do carro relativa
a um observador B, que está sentado em uma cadeira não-girante na roda
gigante. A velocidade angular Ω = 3 rpm da roda-gigante é constante.
R: vA/B = 3i + 2j (m/s); aA/B = 3,63i + 0,628j (m/s
2)
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
176
3. Uma mulher anda em uma rua de leste para oeste com uma velocidade
de 6 Km/h. O vento sopra de noroeste, como mostra a figura, com
velocidade de 4 Km/h. Determine a velocidade do vento relativa à mulher
se ela anda para oeste. Expresse os resultados tanto em termos dos vetores
unitários i e j quanto dos módulos e direções da bússola.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
R: vv/m = 8,83i – 2,83j (Km/h);
vv/m = 9,27 (Km/h); θ = 17,76º
177
4. O carro A percorre uma curva de raio 150 m com uma velocidade
constante de 54 Km/h. No instante representado, o carro B está se
movendo a 81 Km/h, mas está diminuindo sua velocidade a uma razão de
3m/s2. Determine a velocidade e a aceleração do carro A nas coordenadas a
partir do carro B. R: vA/B = 15i - 22j (m/s); aA/B = 4,5j (m/s
2)
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
178
5. O avião A mostrado na figura está voando numa trajetória retilínea,
enquanto o avião B está voando numa trajetória circular de raio de
curvatura ρ = 400 Km. Determine a velocidade e a aceleração de B
medidas pelo piloto do avião A.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
R: vB/A = – 100 Km/h; aB/A = 912 Km/h
2
179
6. Num dado instante, os carros A e B deslocam-se com velocidades de
18 m/s e 12 m/s, respectivamente. Determine a velocidade e a aceleração
de B em relação a A.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
R: 9,69 m/s; 5,32 m/s2
180
7. Considerando o problema anterior, determine a aceleração do carro B
em relação a A, sabendo que A está desacelerando a uma taxa de 2 m/s2 e B
está acelerando a uma taxa de 3 m/s2,
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
R: aB/A = 5,32m/s
2
181
8. O trem A se desloca com uma velocidade constante vA = 100 Km/h ao longo
de um trilho reto e nivelado. O motorista do carro B, sabendo do cruzamento
de nível com a linha férrea em C, diminui a velocidade do carro de 80 Km/h a
uma taxa de 2 m/s2. Determine a velocidade e a aceleração do trem
relativamente ao carro.
R: (56,59 i – 43,40 j) Km/h; (i + 1,73 j) m/s2
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
15º
182
9. Dois aviões, A e B, voam à mesma altitude. Suas velocidades são
vA = 600 Km/h e vB = 500 Km/h, respectivamente, e seus cursos retilíneos
formam uma ângulo θ = 75º. Determine a velocidade de B em relação à
aeronave A.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
183
Questão Desafio:
Um passageiro num automóvel a 60 Km/h observa que as gotas de chuva
formam um ângulo de 30º com a horizontal. Calcule a velocidade constante
vr da chuva supondo que ela cai verticalmente.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
184
Dinâmica I
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
Cinemática das Partículas
Movimento Restrito de Partículas Conectadas
1. Introdução
2. Um grau de liberdade
3. Dois graus de liberdade
Atividades
185
1 - Introdução
Algumas vezes os movimentos de partículas são interrelacionados
devido às restrições impostas por membros de interconexão. Nesses
casos é necessário levar em conta essas restrições, de modo a
determinar o respectivo movimento das partículas.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
186
2 - Um grau de liberdade
Considere inicialmente o sistema bastante simples de duas partículas A e B
interconectadas. Deve ser evidente, por inspeção, que o movimento
horizontal de A é o dobro do movimento vertical de B. Entretanto, esse
exemplo será usado para ilustrar o método de análise que deve ser aplicado
às situações mais complexas, em que os resultados não podem ser
facilmente obtidos por inspeção.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
187
O movimento de B é claramente o mesmo do centro da sua polia, então são
estabelecidas as coordenadas x e y medidas a partir de uma referência fixa
conveniente. O comprimento total do cabo é
Com L, r2, r1 e b constantes, a primeira e a segunda derivadas do tempo da
equação fornecem
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
bry
r
xL  1
2 2
2


BA
BA
aayx
vvyx
2020
2020




188
As equações de restrição da velocidade e da aceleração indicam que, para
as coordenadas selecionadas, a velocidade de A deve ter um sinal contrário
daquele da velocidade de B, e o mesmo ocorre para as acelerações. A
equações de restrição são válidas para o movimento do sistema em
qualquer sentido. Enfatiza-se que é positiva para a esquerda e que
é positiva para baixo.
É importante salientar que os resultados não dependeram dos
comprimentos ou dos raios das polias. Assim, deve-se ser capaz de
analisar o movimento sem considerar esses parâmetros.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
xvA 
yvB 
189
Abaixo temos aumentada a vista do diâmetro horizontal A’B’C para a polia
de baixo em um instante de tempo. Logicamente A’ e A possuem
movimentos de mesmo módulo, assim como B e B’.
Durante um movimento infinitesimal de A’, é fácil ver do triângulo que B’
percorre a metade do deslocamento de A’, porque o ponto C, como um
ponto sobre a parcela fixa do cabo, momentaneamente não tem
movimento. Assim, com a diferenciação no tempo em mente, pode-se
obter as reações para os módulos da velocidade e da aceleração por
inspeção.
A polia, na verdade, é uma roda que rola sobre o cabo vertical fixo. Diz-se
que o sistema apresentado tem um grau de liberdade, uma vez que apenas
uma variável, ou x ou y, é necessária para especificar as posições de todas as
partes dos sistema.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
190
3 - Dois graus de liberdade
Um sistema com dois graus de liberdade é mostrado na figura abaixo.
Aqui as posições do cilindro de baixo e da polia C dependem da
especificação separada de duas coordenadas, yA e yB.
Os comprimentos dos cabos conectados aos cilindros A e B podem ser
escritos, respectivamente, como
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
.)(
.2
constyyyyL
constyyL
DCCBB
DAA


191
e suas derivadas no tempo são
Eliminando os termos em e tem-se
Uma visualização da real geometria do movimento é aspecto muito
importante. Nota-se, por exemplo, que é claramente impossível ter os
sinais de todos os três termos simultaneamente positivos. Deve-se adotar
um único sentido positivo do movimento para todos os corpos.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
DCBDA
DCBDA
yyyyy
yyyyy




2020
2020
Dy Dy
042042
042042


CBACBA
CBACBA
aaayyy
vvvyyy


192
Exercício resolvido 1
O bloco B desliza para a direita com a velocidade de 300 mm.s-1.
Calcule as velocidades do corpo deslizante A e do ponto C dos cabos.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
Considerando os deslocamentos constantes representado, podemos escrever:
3
2
2323 BA
BA
BA
v
v
dt
dx
dt
dx
ctexx 
Como vB = 300 mm/s → vA = 200 mm/s
Para encontrar a velocidade do ponto C:
AC
CA
CA vv
dt
dx
dt
dx
ctexx 333 
193
Exercício resolvido 2
O trator A é usado para suspender o pacote B com o arranjo de polias
mostrado. Se A possui uma velocidade para a frente vA, determinar uma
expressão para a velocidade para cima vB do pacote em termos de x.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
22
22
22
2
1
;
2
2
1
20
)(2)(2
xh
xv
v
yvxv
xh
xx
y
xhyhlyhL
A
B
BA









Define-se a posição do trator pela x e a
posição do pacote pela coordenada y, ambas
medidas a partir de uma referência fixa. O
comprimento total constante do cabo é:
194
Atividades
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
1. A figura mostra um exemplo de movimento dependente de dois blocos.
Escreva a velocidade e aceleração do bloco B em função do bloco A.
195
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
2. Determine a velocidade do bloco A mostrado na figura, supondo que o
bloco B sobe com velocidade de 6 pés/s.
R: v = 18 pés/s
196
3. Se o bloco B tem uma velocidade para a esquerda de 1,2 m/s, determine
a velocidade do cilindro A.
R: vA = 0,4 m/s para baixo
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
197
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
4. Determine a velocidade do bloco A, supondo que o bloco B tem uma
velocidade de 6 pés/s para cima.
R: v = 24 pés/s
198
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
5. Um caminhão equipado com um guincho motorizado na sua parte
dianteira puxa a si mesmo em uma ladeira, por meio do arranjo de um
cabo e uma polia mostrados na figura. Se o cabo está sendo enrolado no
tambor com uma taxa constante de 40 mm/s, quanto tempo levará para o
caminhão subir 4 m na ladeira?
R: t = 3 min 20 s
199
6. Despreze os diâmetros das polias pequenas e estabeleça uma relação
entre a velocidade de A e a velocidade de B para um dado valor de y.
R:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
AB v
by
y
v
222
3


200
7. Determine a relação que governa a aceleração de A, B e C, todas
medidas positivas para baixo. Identifique o número de graus de liberdade.
R: 2aA + 2aB + aC = 0 
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
201
Questão Desafio:
O engradado está sendo elevado por meio do sistema de cabos, polias e
motor, como mostrado na figura. Determine a velocidade com que o cabo
deve ser enrolado na polia do motor para que o engradado suba pelo plano
inclinadocom uma velocidade constante de 4 m/s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
202
Agora você deve tentar resolver esse simulado de avaliação V1!
Ele traz questões que abrangem todos os assuntos estudados até
agora. Utilize sempre g = 9,81 m/s2. Faça uso da formulação vista
durante seus estudos sobre Cinemática de Partículas. Aproveite
esta oportunidade para se preparar para a prova V1...
Bons estudos!
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
203
Questão 1.
Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma velocidade inicial
vx = 50 m/s na origem quando t = 0. Para os primeiros 4 segundos a
partícula não possui aceleração, e após esse intervalo de tempo ela sofre
a ação de uma força retardadora que fornece uma aceleração constante
ax = - 10 m/s
2.
Calcule a velocidade da partícula para as condições de t = 5 s e t = 10 s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
204
Questão 2.
Dispara-se um projétil com velocidade inicial v0, a um ângulo de 20º
com a horizontal, como mostra a figura. Determine a faixa de valores de
v0 para que o projétil atinja o espaço restrito entre os pontos B e C.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
205
Questão 3.
O motorista de um caminhão tem uma aceleração de 0,4g, conforme o
caminhão passa no topo A de uma elevação da estrada com uma
velocidade constante. O raio de curvatura da estrada no topo da elevação
é 98 m, e o centro de massa G do motorista (considerado uma partícula)
está 2 m acima da estrada. Calcule o módulo v da velocidade do
caminhão
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
206
Questão 4.
Um carro a 90 Km/h encontra-se numa curva a 400 m de raio. Num dado
instante, o motorista freia o carro, imprimindo-lhe uma desaceleração
constante de 1,2 m/s2. Determine a aceleração total do veículo:
a) imediatamente após ter sido aplicado o freio do carro;
b) 5 s mais tarde.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
207
Questão 5.
O movimento de rotação da haste OA, em torno de O, é definido pela
relação θ = t3 - 4t, onde θ é dado em radianos e t em segundos. O cursor
B desliza por OA de modo que sua distância a O é r = 25t3 - 50t2, onde r
é expresso em milímetros e t em segundos. Determine para o cursor sua
velocidade e sua aceleração total no instante t = 1 s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
208
Questão 6.
O movimento de um ponto material sobre a superfície lateral de um
cilindro circular reto é definido por R = A, θ = 2πt e Z = B.sen(2πnt),
onde A e B são constantes positivos e n é um inteiro. Sendo n = 10,
determine os módulos da velocidade e da aceleração do ponto, em
função de t.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
209
Questão 7.
Num dado instante, o jogador A lança uma bola C com velocidade de
20 m/s na direção mostrada na figura. O jogador B possui uma
velocidade constante de 5,75 m/s, na mesma direção e sentido do
lançamento, e consegue apanhar a bola à mesma altura a que ela foi
arremessada. Calcule a velocidade e a aceleração da bola em relação ao
jogador B no instante em que este a apanha.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
210
Questão 8.
Determine a velocidade do bloco A mostrado na figura, supondo que o
bloco B sobre com velocidade de 6 m/s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
211
Questão desafio.
Todo dia, Bisnaga jogava futebol com seus amigos depois da aula. Um
dia, quando parou um pouco para respirar, viu seu professor na
arquibancada fazendo várias anotações. Depois do jogo, foi perguntar a
ele o que estava fazendo. O professor lhe mostrou dois desenhos.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
212
-Bisnaga, eu estava esquematizando uma jogada sua. Enquanto você
andava do ponto A ao ponto B, os seus oponentes não mudaram de lugar.
Mas, quando se dirigiu de B para o C, de onde chutou a bola o para o gol,
deu tempo para o defensor D ficar na sua frente e o goleiro G retornar
para a linha de fundo podendo agarrar a bola. Você tem força no pé para,
estando no ponto B, chutar a bola que encobriria o goleiro antes que ele
retornasse ao gol.
Usando os conceitos de Dinâmica, estava calculando em que direção
você deveria chutar.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
213
Por exemplo, se você chutar para a direção do gol com certa velocidade e
a bola adquirir uma velocidade horizontal de 20 m/s e uma velocidade
vertical de 9 m/s, no início do lançamento, é possível, sabendo que o
ponto B está a 32 m do gol, determinar qual o tempo que a bola levará
para chegar na linha de fundo e com que altura ela chegará.
Desprezando a resistência do ar, determine os valores encontrados por
Bisnaga para o tempo e altura com os dados fornecidos pelo professor.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica I
214
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
Dinâmica I
“Cinética de Partículas”
Movimentos Retilíneo e Curvilíneo
215
Dinâmica
Cinética de Partículas
1. Introdução
2. Segunda Lei de Newton
3. Sistema de Unidades
4 - Equação de Movimento e Solução de Problemas
5 - Diagrama de Corpo Livre
6 - Movimento Retilíneo
Exercícios resolvidos
Atividades
Cinética das Partículas - Dinâmica
216
1 - Introdução
De acordo com a segunda lei de Newton, uma partícula irá acelerar quando
estiver sujeita a forças não equilibradas. A Cinética é o estudo das relações
entre as forças desequilibradas e as variações resultantes no movimento.
A Cinética das Partículas requer que sejam combinados os conhecimentos
das propriedades das forças e da cinemática. Com o auxílio da segunda lei
de Newton, pode-se combinar esses dois tópicos e resolver problemas de
engenharia envolvendo forças, massa e movimento.
Cinética das Partículas - Dinâmica
217
2 - Segunda Lei de Newton
A relação básica entre força e aceleração se encontra na segunda lei de
Newton F = ma, cuja verificação é inteiramente experimental.
Se uma partícula de massa for submetida à ação de uma força F1, a razão
dos módulos da força e da aceleração adquirida por essa partícula F1/a1
será algum número C1 cujo valor depende das unidades usadas para as
medidas de força e aceleração. Submetendo-se a mesma partícula a uma
força diferente F2 e medindo a correspondente aceleração a2, a razão F2/a2
dos módulos irá novamente produzir um número C2. Essa experiência pode
ser repetida inúmeras vezes.
Destaca-se que as razões da força aplicada pela correspondente aceleração
são todas iguais a um mesmo número, desde que as unidades empregadas
para as medidas não sejam alteradas. Assim:
C
a
F
a
F
a
F
 ...
2
2
1
1
Cinética das Partículas - Dinâmica
218
Conclui-se que a constante C é uma medida de alguma propriedade
invariante da partícula. Essa propriedade é a inércia da partícula, que é a
resistência a taxas de variação de velocidade. Para uma partícula de alta
inércia (C grande), a aceleração será pequena para uma dada força F. Por
outro lado, se a inércia é pequena, a aceleração será grande. A massa m é
usada como uma medida quantitativa da inércia e, desse modo, pode-se
escrever a expressão C = km, onde k é uma constante introduzida para
levar em conta as unidades empregadas. Assim, pode-se expressar a
relação obtida:
F = kma
onde F é o módulo da resultante de forças atuando sobre a partícula de
massa m, e a é o módulo da aceleração resultante da partícula. A
aceleração está sempre na direção da força aplicada. Assim, a equação
anterior se torna uma relação vetorial, e deve ser escrita:
F = kma ou akmF


Cinética das Partículas - Dinâmica
219
3 - Sistema de Unidades
É normal adotar k igual à unidade na equação anterior, colocando assim a
relação na forma usual da segunda lei de Newton
F = ma
Um sistema de unidades para o qual k é unitário é conhecido como um
sistemacinético. Assim, para um sistema cinético as unidades de força,
massa e aceleração não são independentes. Nas unidades SI, as unidades
de força (Newtons, N) são obtidas da segunda lei de Newton a partir das
unidades básicas de massa (quilograma, Kg) vezes aceleração (metros por
segundo ao quadrado, m/s2). Esse sistema é conhecido como absoluto, uma
vez que a unidade para a força é dependente do valor absoluto da massa.
Cinética das Partículas - Dinâmica
220
4 - Equação de Movimento e Solução de Problemas
Quando uma partícula de massa m está sujeita à ação de forças
concorrentes F1, F2, F3,... Cujo vetor soma é ∑F, a equação se torna
∑F = ma
Quando se aplica essa relação para resolver problemas, em geral ela é
expressa em sua forma escalar em componentes empregando um dos
sistemas de coordenadas já desenvolvidos. A escolha de um sistema de
coordenadas apropriado depende do tipo de movimento envolvido, e é uma
etapa vital na formulação de qualquer problema.
A equação acima, ou qualquer uma das formas em componentes da
equação força-massa-aceleração, é comumente chamada de equação de
movimento.
Cinética das Partículas - Dinâmica
221
São encontrados dois tipos de problemas quando se aplica a equação de
movimento. No primeiro tipo, a aceleração da partícula é especificada ou
pode ser determinada diretamente das condições cinemáticas conhecidas.
Determinam-se então as forças correspondentes que atuam sobre a
partícula diretamente, através da substituição na equação da segunda lei.
Esse problema geralmente é muito simples.
No segundo tipo de problema, as forças agindo sobre a partícula são
especificadas e deve-se determinar o movimento resultante. Se as forças
são constantes, a aceleração também é constante e é facilmente encontrada
a partir da equação. Quando as forças são funções do tempo, posição ou
velocidade, a equação de movimento se torna uma equação diferencial que
deve ser integrada para determinar a velocidade e o deslocamento. Estes
tipos de problemas são normalmente mais interessantes, uma vez que a
força pode ser uma função mista de duas ou mais variáveis do movimento.
Cinética das Partículas - Dinâmica
222
Comentário
Existem dois tipos fisicamente de movimento, ambos descritos pela equação de
movimento. O primeiro tipo é o movimento sem restrição, em que a partícula está
livre de guias mecânicos e segue uma trajetória determinada por seu movimento
inercial e pelas forças que são aplicadas por fontes externas sobre ela. Um avião
ou um foguete em voo e um elétron se movendo em um campo carregado são
exemplos de movimento sem restrição.
O segundo tipo é o movimento restrito, em que a trajetória da partícula é parcial
ou totalmente determinada por guias restritivos. Um disco de hóquei é
parcialmente restrito a se mover em um plano horizontal pela superfície do gelo.
Um trem se movendo sobre seus trilhos e um cursor deslizando ao longo de um
eixo fixo são exemplos de movimentos mais restritos.
Algumas forças agindo sobre uma partícula durante o movimento restrito podem
ser aplicadas por fontes externas, e outras podem ser as reações das guias
restritivas sobre a partícula. Todas as forças, tanto as aplicadas quanto as reativas,
que atuam sobre a partícula dever ser levadas em conta na aplicação da equação
de movimento ∑F = ma.
Cinética das Partículas - Dinâmica
223
5 - Diagrama de Corpo Livre
Quando se aplica qualquer uma das equações de movimento força-massa-
aceleração, deve-se levar em conta todas as forças atuando sobre a
partícula. Forças que podem ser desprezadas são aquelas cujos módulos
são muito pequenos quando comparados com outras forças agindo sobre a
partícula, como os módulos das forças de atração entre duas partículas
comparadas às atrações devidas a corpos celestiais, como a Terra e o Sol. A
soma ∑F da equação significa a soma vetorial de todas as forças atuando
sobre a partícula em questão.
A maneira confiável de levar em conta, de forma consistente, todas as
forças é isolar a partícula em consideração de todos os corpos em contato
que a influenciam e substituir os corpos removidos pelas forças que eles
exercem sobre a partícula isolada.
Cinética das Partículas - Dinâmica
224
O objetivo principal do diagrama de corpo livre é mostrar as forças que
atuam em um corpo de forma clara, lógica e organizada. Consiste em
separar o “corpo de interesse” de todos os corpos do sistema com o qual
ele interage. Neste corpo isolado (partícula) são representadas todas as
forças que nele atuam assim como as forças de interação.
O emprego cuidadoso e consistente do método do diagrama de corpo livre
é a mais importante das lições a ser aprendida no estudo da engenharia
mecânica.
A palavra “livre” enfatiza a idéia de que todos os corpos adjacentes ao
estudado são removidos e substituídos pelas forças que exercem no corpo
em questão.
 Destaca-se que sempre que há o contato entre dois corpos deve-se levar
em conta o princípio da ação e reação.
Cinética das Partículas - Dinâmica
225
Exemplos de corpos e representações dos diagramas de corpo livre para
análises dos movimentos:
Cinética das Partículas - Dinâmica
226
Observação:
Deve-se enfatizar acentuadamente a partícula a ser isolada e sua representação
através de correto diagrama de corpo livre. Somente após esse passo ter sido
completado, pode-se avaliar adequadamente a equivalência entre as forças
externas e suas resultantes. De igual importância na análise de movimentos
retilíneos ou curvilíneos, é a compreensão da cinemática envolvida. Muito
frequentemente as dificuldades experimentadas nesses estudos estão
relacionadas diretamente com cinemática. Deve ser reconhecido, na
formulação da solução de um problema que as direções de certas forças ou
acelerações não sejam conhecidas no começo, de tal modo que, seja necessário
fazer hipóteses iniciais cujas validades serão aprovadas ou desaprovadas,
quando a solução é efetuada. É essencial, entretanto, que todas as hipóteses
feitas sejam coerentes com o princípio da ação e reação e com quaisquer
requisitos cinemáticos, que também são chamados de condições de
construção.
Cinética das Partículas - Dinâmica
227
6 - Movimento Retilíneo
Aplicam-se agora os conceitos discutidos aos problemas de movimento de
partículas, iniciando com o movimento retilíneo. Serão analisados corpos
que podem ser tratados como partículas; para isso serão fonte de estudo
apenas o movimento do centro de massa do corpo. Nesse caso, pode-se
considerar as forças como concorrentes no centro de massa.
Se a direção x, por exemplo, for escolhida como a direção do movimento
retilíneo de uma partícula de massa m, as acelerações nas direções y e z
serão nulas e as componentes escalares da equação ∑F = ma tornam-se :
∑Fx = max
∑Fy = 0
∑Fz = 0
Cinética das Partículas - Dinâmica
228
Para os problemas em que não há liberdade de escolha da direção ao longo
da qual ocorre o movimento, tem-se o caso geral de todas as três equações
das componentes:
∑Fx = max
∑Fy = may
∑Fz = maz
Onde a aceleração e a resultante de forças são dadas por:
222
222
)()()(
ˆˆˆ
ˆˆˆ
zyx
zyx
zyx
zyx
FFFF
kFjFiFF
aaaa
kajaiaa






Cinética das Partículas - Dinâmica
229
Exercício resolvido 1
Um caixote de 50 Kg é lançado ao longo do chão com uma velocidade
inicial de 7 m/s em x = 0. O coeficiente de atrito dinâmico é 0,40. Calcule
o tempo necessário para o caixote parar e a correspondente distância x
percorrida.
Cinética das Partículas - Dinâmica
230
Após desenhar o diagrama de corpo livre para o caixote aplica-se a equação do
movimento para as direções x e y.
2/92,3)81,9)(4,0(
;00
smgamamg
maNmaFmaF
mgNmgNF
dinxxdin
xdinxatritoxx
y











Aplicando a cinemática ao 
problema, temos:
mx
x
xxavv
24,6
)0)(92,3(270
)(2
2
0
2
0
2



st
t
atvv
784,1
92,370
0



Cinética das Partículas - Dinâmica231
Exercício resolvido 2
Suponha agora que o caixote do exercício anterior seja lançado para baixo
em um plano inclinado, como mostrado, com velocidade inicial de 7 m/s.
Determine o tempo t necessário para o caixote parar e a correspondente
distância x percorrida se θ = 15º.
2/251,1
º15cos4,0º15(81,9)cos(
cos:
cos;0cos0:0
sma
senasenga
mgmgsenmaFPmaF
mgNmgNPNF
x
xdinx
dinxatritoxxx
yy













Aplicando a cinemática
ao problema, temos:
mx
x
xxavv
58,19
)0)(251,1(270
)(2
2
0
2
0
2



st
t
atvv
59,5
251,170
0



Cinética das Partículas - Dinâmica
232
Exercício resolvido 3
Qual fração n do peso do avião a jato deve ser o empuxo (empuxo no bocal
T menos a resistência do ar R) exigido para que o avião se eleve com uma
aceleração a na direção de voo em um ângulo θ com a horizontal?
g
a
sen
W
RT
n
a
g
W
WsenRTmaF xx





:
O diagrama de corpo livre para o avião (considerado uma partícula) indica as
forças que agem sobre ele. Aplicando a 2ª lei na direção do movimento, temos:
Cinética das Partículas - Dinâmica
233
Exercício resolvido 4
Um homem de 75 Kg se encontra parado sobre uma balança de mola em
um elevador. Durante os primeiros 3 segundos do movimento a partir do
repouso a tração T no cabo de sustentação do elevador é de 8300 N.
Encontre a leitura R da balança em Newtons durante esse intervalo de
tempo. A massa total do elevador, do homem e da balança é de 750 Kg.
A força registrada na balança depende da aceleração do elevador, que é constante
durante o intervalo para o qual as forças são constantes.
A partir do diagrama de corpo livre do elevador, da balança e do homem considerados
juntos, a aceleração é:
[ ∑Fy = may ] T – P = may → 8300 – 7360 = 750ay ; ay = 1,257 m/s
2
Cinética das Partículas - Dinâmica
234
Exercício resolvido 4
Sabendo que a balança lê a força para baixo exercida sobre ela pelos pés do
homem, e que a reação R é igual a esta ação (mostrado no diagrama de corpo
livre do homem sozinho com o seu peso), a equação do movimento para ele
fornece:
[ ∑Fy = may ] R – Phomem = may → R – 736 = 75(1,257) ; R = 830 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
235
Exercício resolvido 5
Calcule a aceleração vertical a do cilindro de 150 Kg para cada um dos
dois casos ilustrados. Despreze o atrito e as massas das polias.
Cinética das Partículas - Dinâmica
236
aTKg
aTKg
maF
200)81,9(200:)200(
150)81,9(150:)150(



2/401,1
1682
sma
NT


2/27,3
150
)81,9(50
150)81,9(150)81,9(200
sma
a
maF



Resolvendo simultaneamente:
Cinética das Partículas - Dinâmica
237
Atividades
1. Durante um teste de frenagem, um carro para a partir de uma velocidade
inicial de 100 Km/h em uma distância de 50 m. Se todas as quatro rodas
contribuem igualmente para o teste, determine a força de frenagem F em
cada uma das rodas. Suponha uma desaceleração constante para o carro de
1500 Kg.
R: F = 2890 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
238
2. Uma bola de aço é suspensa no chassi acelerado por duas cordas A e B.
Determine a aceleração a do chassi, que faz com que a tração em A seja o
dobro daquela em B.
R: 1,88 m/s2
Cinética das Partículas - Dinâmica
239
3. A partir de certo instante, passa a atuar sobre um bloco de massa m, que
está inicialmente em repouso sobre uma superfície lisa horizontal, uma
força constante F que corresponde a quatro vezes a massa do bloco, que
forma com a horizontal um ângulo θ = 40º, como ilustra a figura.
Determine o módulo da aceleração do bloco.
R: 3,064 m/s2
Cinética das Partículas - Dinâmica
240
4. Determine a tração F no cabo que irá fornecer ao bloco de 50 Kg uma
aceleração permanente de 2 m/s2 para cima no plano inclinado.
R: 227 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
241
5. Pequenos objetos são liberados para a rampa inclinada de 2 m por uma
esteira A que se move a uma velocidade v1 = 0,4 m/s. Se a esteira B possui
velocidade v2 = 0,9 m/s e os objetos são liberados para ela sem
deslizamento, calcule o coeficiente de atrito μd entre os objetos e a rampa.
R: μd = 0,558
Cinética das Partículas - Dinâmica
242
6. O coeficiente de atrito entre a caçamba plana de um caminhão e o
caixote que ele transporta é de 0,30. Determine a menor distância de
parada s que o caminhão pode ter a partir da velocidade de 70 Km/h, com
desaceleração constante, se o caixote não deve deslizar para frente.
R: s = 64,3 m
Cinética das Partículas - Dinâmica
243
7. Durante um teste de confiabilidade, uma placa de circuito de massa m é
presa a um vibrador eletromagnético e submetida a um deslocamento
harmônico x = X sen ωt, onde X é a amplitude do movimento, ω é a
frequência do movimento em radianos por segundo e t é o tempo.
Determine o módulo Fmáx da força máxima horizontal que o vibrador
exerce sobre a placa de circuito.
R: Fmáx = mXω
2
Cinética das Partículas - Dinâmica
244
8. Durante uma corrida de trenós uma força de 150 N é aplicada formando
um ângulo θ = 25º com a horizontal. Sabendo que a massa total do sistema
é 80 Kg e o atrito entre o trenó e o chão é desprezível, determine:
(a) a aceleração do trenó;
(b) a força normal exercida pela superfície sobre o trenó.
R: 1,7 m/s; 721 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
245
9. Um avião acelera em uma pista para levantar voo quando um
passageiro, estudante de engenharia, decide determinar sua aceleração
usando um ioiô. O estudante verifica que a corda do ioiô forma um ângulo
de 22º com a vertical, como mostrado na figura. Determine a aceleração do
avião.
R: 3,96 m/s2
Cinética das Partículas - Dinâmica
246
10. Um motor para propulsão no espaço profundo é projetado para
produzir um empuxo de 2,5 N por longos períodos. Se o motor deve mover
uma espaçonave de 70 t para uma missão interplanetária, calcule o tempo t
necessário para um aumento de velocidade de 40000 Km/h para
65000 Km/h. Admita que a espaçonave está se movendo em uma região
remota do espaço, onde o empuxo do seu motor é a única força atuando
sobre a espaçonave na direção do seu movimento.
R: t = 2251 dias ~ 6,16 anos
Cinética das Partículas - Dinâmica
247
11. Um bloco de 80 Kg repousa sobre um plano horizontal. Determine a
intensidade da força R capaz de comunicar ao bloco uma aceleração de
2,5 m/s2 para a direita. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é
μ = 0,25.
R: 535 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
248
12. Um motor para propulsão no espaço profundo é projetado para
produzir um empuxo de 2,5 N por longos períodos. Se o motor deve mover
uma espaçonave de 70 t para uma missão interplanetária, calcule o tempo t
necessário para um aumento de velocidade de 40000 Km/h para
65000 Km/h. Admita que a espaçonave está se movendo em uma região
remota do espaço, onde o empuxo do seu motor é a única força atuando
sobre a espaçonave na direção do seu movimento.
R: 6,16 anos
Cinética das Partículas - Dinâmica
249
13. Os blocos de massas m1 = 7 Kg e m2 = 5 Kg encontram-se em repouso,
como mostrado na figura. Nesta situação, determine (a) o coeficiente de
atrito estático entre o bloco m1 e a superfície.
Se com um ligeiro toque os blocos se movem com certa aceleração a,
determine (b) essa aceleração, sabendo que o coeficiente de atrito cinético
entre o bloco a superfície é μc = 0,54.
R: 0,714; 0,997 m/s2
Cinética das Partículas - Dinâmica
250
14. Um bloco se encontra em repouso sobre uma superfície inclinada,
como ilustrado na figura. Sabendo que se aumentarmos gradativamente a
inclinação com a horizontal, haverá um ângulo crítico θc, acima do qual o
bloco entrará em movimento. Aplicando a Segunda Lei de Newton, mostre
que é relativamente simples provar que μe = tanθc.
Cinética das Partículas - Dinâmica
251
15. Um motorista tenta rebocar um caixote de 500 N usando uma
corda que suporta uma tensão de 200 N. Se o caixote está inicialmente
em repouso e sendo o coeficiente de atritoestático µe = 0,40,
determine se o motorista conseguirá realizar a tarefa.
Cinética das Partículas - Dinâmica
252
16. Os dois sistemas mostrados na figura (1 e 2) estão inicialmente em
repouso. Suponha que as polias têm massas desprezíveis e que os
atritos nos eixos são nulos. Determine para cada sistema a aceleração
do bloco A.
Cinética das Partículas - Dinâmica
253
Questão Desafio
Para que valor(es) do ângulo θ a aceleração do bloco de 35 Kg será 9 m/s2
para a direita?
R: θ = 11,88º e 41,3º
Cinética das Partículas - Dinâmica
254
Dinâmica
Cinética de Partículas
1. Movimento Curvilíneo
2. Exercícios resolvidos
3. Atividades
Cinética das Partículas - Dinâmica
255
1 – Movimento Curvilíneo
Daremos agora atenção à cinética das partículas que se movem ao longo de
uma trajetória plana curvilínea. Para aplicação da segunda lei de Newton
no movimento curvilíneo serão usadas as descrições da aceleração em três
coordenadas que foram já desenvolvidas e discutidas (coordenadas
retangulares, normal e tangencial e polares).
A escolha de um sistema de coordenadas apropriado depende das
condições do problema e é uma das decisões básicas a serem tomadas para
a solução de problemas de movimento curvilíneo.
Reescreve-se agora a equação de movimento (2ª lei de Newton) de três
modos, e a escolha depende de qual sistema é o mais apropriado.
Cinética das Partículas - Dinâmica
256
Coordenadas retangulares
∑Fx = max
∑Fy = may
onde exax  yay 
Cinética das Partículas - Dinâmica
257
Coordenadas normal e tangencial
∑Fn = man
∑Ft = mat
onde ; e

 v
v
an 
2
2
vat   v
Cinética das Partículas - Dinâmica
258
Coordenadas polares
∑Fr = mar
∑Fθ = maθ
onde e
2 rrar  
 rra 2
Cinética das Partículas - Dinâmica
259
Na aplicação dessas equações de movimento a um corpo tratado como uma
partícula deve-se seguir o procedimento geral estabelecido e estudado para
o movimento retilíneo. Após identificar o movimento e escolher o sistema
de coordenadas, deve-se desenhar o diagrama de corpo livre do corpo;
obter então os somatórios de força apropriados a partir desse diagrama da
forma usual. O diagrama de corpo livre deve ser completo, para evitar
um somatório incorreto de forças.
Após atribuir os eixos de referência, deve-se usar as expressões para ambas
as forças e acelerações que sejam consistentes com a atribuição. Na
equação ∑Fn = man ,por exemplo, o sentido positivo do eixo n está dirigido
para o centro de curvatura, portanto o sentido positivo do somatório de
forças ∑Fn também deve estar dirigido para o centro de curvatura a fim de
concordar com o sentido positivo da aceleração normal .

2v
an 
Cinética das Partículas - Dinâmica
260
Exercício resolvido 1
Determine a velocidade máxima v que o bloco deslizante pode ter quando
passa pelo ponto A sem perder contato com a superfície.
A condição para a perda de contato é que a força normal N que a superfície
exerce sobre o bloco tenda a zero.
Somando as forças na direção normal tem-se:
[∑Fn = man]
Se a velocidade em A for menor que , então deve existir uma força normal
para cima exercida pela superfície sobre o bloco. Para que o bloco apresente uma
velocidade em A maior que , deve haver algum tipo de restrição, tal como
uma outra superfície curva acima do bloco, para fornecer uma força adicional
para baixo.


gv
v
mmg 
2
g
g
Cinética das Partículas - Dinâmica
261
Exercício resolvido 2
Um carro de 1500 Kg entra em um trecho curvo de uma estrada no plano
horizontal e diminui sua velocidade com uma taxa uniforme, desde uma
velocidade de 100 Km/h em A até uma velocidade de 50 Km/h quando
passa por B. O raio de curvatura ρ da estrada em A é de 400 m. Determine
a força horizontal total aplicada pela estrada sobre os pneus nas posições A
e B. O ponto B é o ponto de inflexão onde as curvaturas mudam de
direção.
Cinética das Partículas - Dinâmica
262
O carro será tratado como uma partícula, de tal modo que o efeito de todas as
forças exercidas pela estrada sobre os pneus será considerado uma única força.
Uma vez que o movimento é descrito ao longo da estrada curva, as
coordenadas normal e tangencial serão usadas para especificar a aceleração do
carro. Desse modo, a força será determinada a partir das acelerações.
A aceleração tangencial constante está no sentido t negativo, e seu módulo é
dado por
As componentes normais da aceleração em A e B são
2
22
22 /447,1
)200(2
)6,3/100()6,3/50(
]2[ smasavv ttAB 


2
22
/929,1
400
)6,3/100(
:][ smaA
v
a nn 

0: naB
Cinética das Partículas - Dinâmica
263
A aplicação da segunda lei de Newton em ambas as direções n e t no diagrama
de corpo livre do carro fornece
[∑Ft = mat] Ft = 1500(1,447) = 2170 N
[∑Fn = man] em A: Fn = 1500(1,929) = 2890 N
em B: Fn = 0
Assim, a força horizontal total atuando sobre os pneus se torna
em A:
em B:
NFFF tn 3620)2170()2890(
2222 
NFF t 2170
Cinética das Partículas - Dinâmica
264
Exercício resolvido 3
Calcule o módulo v da velocidade necessária para uma espaçonave S
manter uma órbita circular de altitude 320 Km acima da superfície da
Terra.
)()()(
2
2 hR
Gm
v
hR
v
m
hR
mm
G TT





A única força atuando sobre a espaçonave é a força de atração gravitacional da
Terra (isto é, seu peso). Somando as forças na direção normal, tem-se
[Fn = man]
Cinética das Partículas - Dinâmica
265
Exercício resolvido 4
Um tubo A gira em torno do eixo vertical O com uma velocidade angular
constante ω e contém uma pequena rolha cilíndrica B de massa m, cuja
posição radial é controlada por uma corda que passa livremente através do
tubo e enrolada em um carretel de raio b. Determine a tração T na corda e
a componente horizontal Fθ da força exercida pelo tubo sobre a rolha se a
velocidade angular de rotação constante do carretel ωθ está inicialmente na
direção do caso (a) e depois na direção do caso (b). Despreze o atrito.
Cinética das Partículas - Dinâmica
266
Tendo r como variável, emprega-se a forma de coordenadas polares das
equações de movimento. O diagrama de corpo livre de B é mostrado no plano
horizontal e indica apenas T e Fθ. As equações de movimento são
[ ∑Fr = mar ]
[ ∑Fθ = maθ ]
caso (a). Com tem-se:
caso (b). Com tem-se:
)2(
)( 2





rrmF
rrmT


0,0,0  
 rbr
0,0,0  
 rbr   0
2 2; mbFmrT 
  0
2 2; mbFmrT 
Cinética das Partículas - Dinâmica
267
Atividades
1. Um pequeno bloco de 0,6 Kg desliza com uma pequena quantidade de
atrito sobre a trajetória circular de raio 3 m no plano vertical. Se a velocidade
do bloco é de 5 m/s quando ele passa no ponto A e 4 m/s quando passa pelo
ponto B, determine a força normal exercida sobre o bloco pela superfície em
cada uma dessas duas localizações.
R: NA = 10,89 N; NB = 8,30 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
268
2. Se um esquiador de 80 Kg atinge uma velocidade de 25 m/s quando se
aproxima da posição de decolagem, calcule o módulo N da força normal
exercida pela neve sobre os esquis antes de ele atingir A.
R: N = 1791 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
269
3. Um pêndulo de comprimento igual a 2 m descreve um arco de
circunferência num plano vertical. Se a tensão na corda é 2,5 vezes o peso
do pêndulo para a posição mostrada na figura, determine a velocidade do
pêndulo nesta posição.
R: 5,66 m/s
Cinética das Partículas - Dinâmica
270
4. Um balde com água é posto a girar seguindo uma circunferência vertical
de raio r, como mostrado na figura. Se a velocidade do balde no ponto
mais alto é va, calcule (a) a força exercida pelo balde sobre a água neste
ponto, (b) o valor mínimo da velocidade tangencial vt para que a água não
saia do balde, e (c) a força exercida pelo balde sobre a água no ponto mais
baixo do círculo, onde a velocidade do balde é vb.
R: m(va
2/r – g); √rg; m(vb
2/r + g); 
Cinética das Partículas - Dinâmica
271
5. Um cursor de0,8 Kg é lançado para cima em A, ao longo da barra curva
fixa que se encontra no plano vertical. Se o cursor tem uma velocidade de
4 m/s quando passa pela posição B, determine (a) o módulo N da força
exercida pela haste fixa sobre o cursor e (b) a taxa na qual a velocidade do
cursor está diminuindo. Considere o atrito desprezível.
R: (a) 14,54 N (b) -4,90 m/s2
Cinética das Partículas - Dinâmica
272
6. Um teste-padrão para determinar a máxima aceleração lateral de um
carro é feito em torno de um círculo de 60 m de diâmetro pintado sobre
uma superfície nivelada de asfalto. O motorista aumenta aos poucos a
velocidade do veículo até que não consiga mais manter ambos os pares de
rodas acompanhando a linha. Se essa velocidade máxima é de 55 Km/h
para um carro de 1400 Kg, determine sua capacidade de aceleração lateral
an em g e calcule o módulo F da força de atrito total exercida pelo
pavimento sobre os pneus do carro.
R: 0,793g; 10,89 kN
Cinética das Partículas - Dinâmica
273
7. Se o carro do problema anterior está se deslocando a 40 Km/h quando o
motorista aplica os freios, e o carro continua a se mover ao longo da
trajetória circular, qual será a máxima desaceleração possível se os pneus
estão limitados a uma força de atrito horizontal de 10,6 kN?
R: - 6,36 m/s2
Cinética das Partículas - Dinâmica
274
8. Uma equipe de engenheiros realiza um projeto de pneus para automóveis, e
testam um novo protótipo para analisar o comportamento dos pneus em
relação ao deslizamento. Um modelo foi capaz de manter velocidade
constante em um círculo de 45,7 m de raio em 15,2 s sem derrapar. Determine
(a) qual foi a velocidade v e (b) a aceleração centrípeta mantida pelo
automóvel nesta situação. Supondo que a resistência do ar e a força de atrito
são desprezíveis, (c) qual o valor mínimo do coeficiente de atrito estático
entre os pneus e o solo.
R: 18,9 m/s; 7,81 m/s2; 0,796
Cinética das Partículas - Dinâmica
275
9. Um carro se movimenta ao longo de uma pista circular, cuja superfície
está inclinada de θ em relação ao plano horizontal. Ele descreve um MCU
cujo raio de curvatura vale R, como indicado na figura. Suponha que exista
atrito entre os pneus e a pista, sendo μe o coeficiente de atrito estático
correspondente, determine qual deve ser o módulo da velocidade do carro
para que a força de atrito sobre os pneus seja nula.
R: √gRtgθ
Cinética das Partículas - Dinâmica
276
10. Determine a velocidade de segurança compensada de estrada de
rodagem, inclinada de θ = 18º e raio ρ = 120 m.
A velocidade de segurança de uma curva compensada de uma rodovia é
aquela na qual um carro poderá trafegar sem que nenhuma força de atrito
lateral seja exercida em suas rodas.
Cinética das Partículas - Dinâmica
277
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica
11. Uma partícula realiza um movimento sem atrito no interior de um
trilho de perfil circular na vertical. O movimento é tal que ela não perde
o contato com o trilho durante todo o trajeto. Represente o vetor força
resultante sobre a partícula nos pontos indicados na figura.
278
12. O tubo vazado é pivotado em torno de um eixo horizontal que passa
no ponto O e é posto para girar em um plano vertical com uma velocidade
constante no sentido anti-horário ω = 3 rad/s. Se uma partícula de 0,1 Kg
está deslizando no tubo em direção a O com uma velocidade de 1,2 m/s
relativamente ao tubo quando passa pela posição θ = 30º, calcule o
módulo N da força normal exercida pela parede do tubo sobre a partícula
nesse instante.
R: N = 0,1296 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
279
13. Um braço ranhurado gira em torno do seu centro em um plano
horizontal com uma velocidade angular constante ω = 10 rad/s e carrega
um cursor de 1,5 Kg montado com molas que oscila livremente na
ranhura. Se o cursor tem uma velocidade de 600 mm/s relativamente à
ranhura quando cruza o centro, calcule a força horizontal lateral P exercida
pelo braço ranhurado sobre o cursor nesse instante.
R: 18 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
280
14. Um braço ranhurado gira no plano horizontal em torno de um eixo fixo
vertical que passa através do ponto O. O cursor C de 2 Kg se aproxima de
O com uma taxa constante de 50 mm/s ao se puxar a corda S. No instante
em que r = 225 mm o braço tem uma velocidade angular no sentido anti-
horário ω = 6 rad/s e que está diminuindo a uma taxa de 2 rad/s2. Para esse
instante, determine a tração T na corda. Indique qual lado da ranhura, A ou
B, está em contato com o cursor.
R:16,2 N
Cinética das Partículas - Dinâmica
281
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
Dinâmica I
“Cinética de Partículas”
Trabalho e Energia
282
Dinâmica I
Introdução - Dinâmica I
Cinética de Partículas
1. Introdução
2. Definição de Trabalho
3. Cálculo do Trabalho 
Trabalho de Molas Lineares
Trabalho e Movimento Curvilíneo
4. Princípio do Trabalho e da Energia Cinética
5. Potência
Exercícios resolvidos
Atividades
6. Energia Potencial Gravitacional
7. Energia Potencial Elástica
8. Equação de Trabalho-Energia
Exercícios resolvidos
Atividades
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
283
1 - Introdução
Vimos a segunda lei de Newton F = ma estabelecida para vários
problemas de movimento de partículas para estabelecer a relação
instantânea entre a força líquida atuando sobre a partícula e a resultante
aceleração da partícula. Quando se necessitava determinar a variação na
velocidade ou o correspondente deslocamento da partícula, integrava-se
a aceleração calculada através do uso das equações cinemáticas
apropriadas.
Veremos que pode-se incorporar os resultados dessas integrações
diretamente nas equações do movimento, de tal modo que se torne
desnecessário resolvê-las para obter a aceleração.
A integração de forças desequilibradas com relação ao deslocamento da
partícula leva às equações de trabalho e energia.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
284
A figura mostra uma força F atuando sobre uma partícula em A que se
move ao longo da trajetória mostrada. O vetor posição r, medido a
partir de alguma origem O conveniente, localiza a partícula conforme
ela passa pelo ponto A, e dr é a diferencial do deslocamento associada a
um movimento infinitesimal desde A até A’. O trabalho realizado pela
força F durante o deslocamento dr é definido como:
dU = F.dr
O módulo desse produto escalar é dU = F.ds.cosα, onde α é o ângulo
entre F e dr e onde ds é o módulo de dr.
2 - Definição de Trabalho (U)
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
285
A expressão dU = F.ds.cosα pode ser interpretada como o deslocamento
multiplicado pela componente de força na direção do deslocamento
Ft = Fcosα, como representado pelas linhas tracejadas na figura abaixo.
Alternativamente, o trabalho dU pode ser interpretado como a força
multiplicada pela componente de deslocamento ds.cosα na direção da
força, como representado pelas linhas cheias na figura.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
286
Com essa definição de trabalho, deve-se notar que a componente
normal ao deslocamento Fn = F.senα não realiza trabalho. Assim, o
trabalho dU pode ser escrito como
dU = Ft ds
Destaca-se que o trabalho é positivo se a componente que realiza
trabalho Ft está no sentido do deslocamento, e negativo se ela está no
sentido contrário.
As forças que realizam trabalho são denominadas forças ativas. As
forças de restrição que não realizam trabalho são ditas forças reativas.
As unidades SI de trabalho são aquelas de força (N) vezes
deslocamento (m), ou N.m; que recebe o nome especial de joule (J).
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
287
Durante um movimento finito do ponto de aplicação de uma força, a
força realiza uma quantidade de trabalho igual a dU = F.dr, então:
U = ∫ F.dr
U = ∫ (Fxdx + Fydy + Fzdz)
U = ∫ Ft ds
De modo a resolver essa integração, é necessário conhecer a relação
entre as componentes de força e suas respectivas coordenadas ou a
relação entre Ft e s.
3 - Cálculo do Trabalho
Dinâmica I - “Trabalhoe Energia”
288
Um exemplo comum do trabalho realizado sobre uma partícula por
força variável é encontrado na ação de uma mola fixada a um corpo
móvel. Considera-se aqui a mola linear simples de rigidez k, onde a
força F na mola, de tração ou compressão, é proporcional à sua
deformação x, de tal modo que:
F = kx.
A figura abaixo mostra os dois casos em que o corpo é colocado em
movimento por uma força P e, então estica ou comprime a mola uma
distância x. Como a força exercida pela mola sobre o corpo em cada
caso está no sentido contrário ao do deslocamento:
- Trabalho de Molas Lineares
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
289
Como a força exercida pela mola sobre o corpo em cada caso está no
sentido contrário ao do deslocamento, ela realiza trabalho negativo
sobre o corpo. Assim, tanto para a mola se esticando quanto se
comprimindo o trabalho realizado sobre o corpo é negativo, e é dado
por:
Observação: A expressão F = kx é, na verdade, uma relação escalar
válida apenas quando os elementos da mola não têm reação. O
comportamento dinâmico de uma mola quando sua massa é levada em
consideração é um problema ligeiramente mais complexo, que não
trataremos. Deve-se proceder que a massa da mola é pequena quando
comparada com as massas das outras partes do sistema, e nesse caso a
mola linear estática não envolverá um erro apreciável.
)(
2
1 2
1
2
221
2
1
2
1
xxkkxdxFdxU
x
x
x
x
 
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
290
Considera-se o trabalho realizado sobre uma partícula de massa m
movendo-se ao longo de uma trajetória curva sob a ação de uma força
F, que representa a resultante ∑F de todas as forças atuando sobre a
partícula. A posição de m é especificada pelo vetor posição r, e seu
deslocamento ao longo da trajetória durante o intervalo de tempo é
representado pela variação dr em seu vetor posição.
- Trabalho e Movimento Curvilíneo
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
291
O trabalho realizado por F durante um movimento finito de uma
partícula do ponto 1 até o ponto 2 é:
onde os limites especificam os pontos inicial e final do deslocamento.
 
2
1
2
1
21 .
s
s
tdsFrdFU

Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
292
Quando se substitui a segunda lei de Newton F = ma, a expressão para
o trabalho de todas as forças se torna
mas a.dr = at ds, onde at é a componente tangencial da aceleração de m.
Em termos da velocidade v da partícula, sabemos que at ds = v dv.
Assim, a expressão para o trabalho de F se torna
onde a integração é desenvolvida entre os pontos 1 e 2 ao longo da
curva, nos quais as velocidades possuem módulos v1 e v2,
respectivamente.
 
2
1
2
1
21 .. rdamrdFU

)(
2
1
.. 21
2
2
2
1
21
2
1
vvmdvmvrdFU
v
v
 

Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
293
A energia cinética T de uma partícula é definida como
T = ½ mv²
e é o trabalho total que deve ser feito sobre uma partícula para levá-la
do estado de repouso para uma velocidade v. A energia cinética T é uma
grandeza escalar com unidades N.m ou Joules (J) no SI. A energia
cinética é sempre positiva, independentemente do sentido da
velocidade. A relação entre trabalho e energia pode ser escrita da forma:
U1-2 = T2 – T1 = ΔT
Que é a equação de trabalho-energia para uma partícula. Essa equação
estabelece que o trabalho total realizado sobre todas as forças atuando
sobre a partícula conforme ela se move de um ponto 1 até um ponto 2 é
igual à correspondente variação na energia cinética da partícula.
4 - Princípio do Trabalho e da Energia Cinética
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
294
Apesar de T ser sempre positiva, a variação ΔT pode ser positiva,
negativa ou nula. Quando escrita na forma U1-2 = T2 – T1 = ΔT essa
relação diz que o trabalho sempre resulta em uma variação na energia
cinética.
Alternativamente, a relação trabalho-energia pode ser expressa como a
energia cinética inicial T1 mais o trabalho realizado U1-2 igual à energia
cinética final T2, ou
T1 + U1-2 = T2
Observação: A maior vantagem do método trabalho e energia é que ele
evita a necessidade de calcular a aceleração e fornece diretamente as
variações de velocidade como funções das forças que realizam trabalho.
Além disso, a equação de trabalho-energia envolve apenas aquelas
forças que realizam trabalho e, dessa forma, contribuem para as
variações no módulo das velocidades.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
295
A capacidade de uma máquina é medida pela taxa de variação no tempo
na qual ela pode realizar trabalho ou liberar energia. O trabalho total ou
a energia de saída não é uma medida dessa capacidade, uma vez que um
motor, não interessando o quão pequeno ele seja, pode liberar uma
grande quantidade de energia se for dado tempo suficiente. Por outro
lado, é preciso ter uma máquina grande e potente quando se necessita
liberar uma elevada quantidade de energia em um curto período de
tempo. Assim, a capacidade de uma máquina é caracterizada pela sua
potência, que é definida como a taxa de variação no tempo do trabalho
realizado.
De acordo com a definição, a potência P desenvolvida por uma força F
que realiza uma quantidade de trabalho U é:
P = dU/dt = F.dr/dt
como dr/dt é a velocidade v, pode-se escrever: P = F.v
5 - Potência
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
296
Exercício resolvido 1
Calcule a velocidade v de um caixote de 50 Kg quando ele atinge o final
do plano inclinado em B se ele tem uma velocidade inicial de 4 m/s no
topo do plano. O coeficiente de atrito dinâmico é 0,30.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
297
Exercício resolvido 1
O diagrama de corpo livre do caixote é desenhado e inclui a força normal N e
a força de atrito dinâmico Fat calculadas da maneira usual. O trabalho
realizado pela componente do peso para baixo no plano é positiva, enquanto o
trabalho realizado pela força de atrito é negativo.
O trabalho total realizado sobre o caixote durante o movimento é
[U = F.s] U1-2 = [50(9,81)sen15º – 142,1]10 = – 151,9 J
A variação na energia cinética é T2 – T1 = ΔT
[T = ½mv²] ΔT = ½(50)(v² – 4²)
A equação de trabalho-energia fornece
[U1-2 = ΔT] -151,9 = 25(v² – 16)
v² = 9,93 = 3,15 m/s
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
298
Exercício resolvido 2
A mola se encontra na sua posição não deformada quando x = 0. Se o
corpo se move a partir da posição inicial x1 = 100 mm para a posição final
x2 = 200 mm, (a) determine o trabalho realizado pela mola sobre o corpo e
(b) determine o trabalho realizado sobre o corpo por seu peso.
JUxxkU 60)2,01,0)(4000(
2
1
)(
2
1 22
21
2
2
2
121  (a)[U1-2 = - ∫ kx dx]
(b)[U1-2 = ∫ mg dy] JsenUyymgU 35,2)20.1,0)(81,9(7)(
0
212121  
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
299
Exercício resolvido 3
O bloco de 50 Kg em A está montado sobre roletes, de tal modo que se
move ao longo da guia horizontal com atrito desprezível sob a ação de
uma força constante de 300 N no cabo. O bloco é liberado do repouso em
A, com a mola que está conectada a ele estendida de uma quantidade
inicial x1 = 0,233 m. A mola tem rigidez k = 80 N/m. Calcule a velocidade
v do bloco quando ele atinge a posição B.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
300
Exercício resolvido 3
O diagrama de forças ativas para o sistema composto pelo bloco e pelo cabo é
mostrado para uma posição genérica. A força F = 80x na mola e a tração
T = 300N são as únicas forças externas a esse sistema que realizam trabalho
sobre o sistema. A força exercida pelo bloco pela guia, o peso e a reação da
pequena polia sobre o cabo não realizam trabalho sobre o sistema, e não estão
incluídos no diagrama de forças ativas.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
301
Conforme o bloco se move de x = 0,233 m até x = 0,233 + 1,2 = 1,433 m, o
trabalho realizado pela força da mola atuando sobre o bloco é negativo e igual
a:
[U = ∫ F dx]
O trabalho realizado sobre o sistema pela força constante de 300 N no cabo é
a força vezes o movimento horizontal líquido do cabo sobre a polia C, que é
x² = (1,2)² + (0,9)²- 0,9 → x = 0,6 m
Assim, o trabalho é igual a:
U = F.s → U = 300(0,6) = 180 J
Aplica-se agora a equação de trabalho-energia ao sistema e obtém-se:
[U1-2 = ΔT] -80 + 180 = ½(50)(v² - 0) → v = 2 m/s
JxdxxU 8040.80 433,1 233,0
433,1
233,0
2
21  
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
302
Exercício resolvido 4
Um satélite de massa m é colocado em uma órbita elíptica em torno da
Terra. Em um ponto A, sua distância da Terra é h1 e sua velocidade é v1.
Determine uma expressão para a velocidade v2 do satélite quando ele
atinge o ponto B, a uma distância h2 da Terra.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
303
Exercício resolvido 4
O satélite está se movendo fora da atmosfera da Terra, de modo que a única
força atuando sobre ele é a atração gravitacional da Terra. Com a massa e o
raio da Terra expressos por mT e R, respectivamente, a lei gravitacional
fornece F = GmmT/r² = gR²m/r² utilizando a substituição GmT = gR². O
trabalho realizado por F é devido apenas à componente radial do movimento
ao longo da linha de ação de F, e é negativo com o aumento de r.
Utilizando a equação de trabalho-energia U1-2 = ΔT, temos:
 






2
1
2
1
12
2
2
2
21
11
.
h
h
r
r hh
mgR
r
dr
mgRdrFU














12
22
1
2
2
2
1
2
2
12
2
11
2
)(
2
111
hh
gRvv
vvm
hh
mgR
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
304
Atividades
1. Um pequeno corpo apresenta uma velocidade vA = 5 m/s no ponto A.
Desprezando o atrito, determine a sua velocidade vB no ponto B após ele
ter sido elevado 0,8 m. O conhecimento do formato da trajetória é
necessário?
R: 3,05 m/s
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
305
2. Um caixote de 30 Kg desliza para baixo da trajetória curva no plano
vertical. Se o caixote possui uma velocidade de 1,2 m/s para baixo no
plano inclinado em A e uma velocidade de 8 m/s em B, calcule o trabalho
realizado sobre o caixote pelo atrito Uat durante o movimento de A até B.
R: - 827 J
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
306
3. Um guindaste de demolição está se movendo com uma velocidade
constante de 3 Km/h quando subitamente para. Calcule o ângulo máximo θ
que o cabo da bola de demolição oscila.
R: 6,23 º
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
307
4. Um caminhão de massa 3 toneladas é carregado em um navio por um
guindaste que exerce uma força ascendente de 31 kN sobre o caminhão. Esta
força, que é suficientemente grande para vencer a força da gravidade e
começar a levantar o caminhão, se aplica ao longo de uma distância de 2 m.
Determine (a) o trabalho realizado pelo guindaste, (b) o trabalho realizado
pela gravidade, e (c) a velocidade ascendente do caminhão depois de subir
2 m. R: 62 kJ; -58,9 kJ; 1,44 m/s
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
308
5. Utiliza-se uma mola para frear um fardo de 60 Kg que desliza sobre
uma superfície horizontal. Por meio de cabos mantém-se a mola de
constante k = 20 kN/m comprimida cerca de 120 mm. A velocidade do
fardo na posição mostrada na figura é de 2,5 m/s. A deformação adicional
que a mola sofre pelo impacto atinge o máximo de 40 mm. Determine o
coeficiente de atrito cinemático entre o fardo e o plano.
R: 0,20
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
309
6. No projeto de um para-choque com mola para um carro de 1500 Kg,
deseja-se que o carro pare a partir de uma velocidade de 8 Km/h em uma
distância igual a 150 mm de deformação da mola. Especifique a rigidez k
necessária para cada uma das duas molas atrás do parachoque. As molas
estão sem deformação no início do impacto.
R: 164,6 kN/m
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
310
7. Um pequeno cursor de massa m é liberado do repouso em A e desliza
para baixo, na haste curva no plano vertical, com atrito desprezível.
Expresse a velocidade v do cursor quando ele atinge a base B em termos
das condições dadas.
R: √2gh
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
311
8. Um automóvel pesando 1,78.104 N desce uma rampa inclinada 5º com
velocidade de 96,5 Km/h. O veículo é freado, produzindo uma força de
frenagem (aplicada pela estrada sob os pneus) constante de 6,67.103 N.
Utilizando o princípio do trabalho e energia, determine a distância
percorrida pelo automóvel até parar.
R: 127 m
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
312
9. Um carro de 1200 Kg desce a uma ladeira com inclinação de 8 % a uma
velocidade de 100 Km/h. O motorista aplica os freios, de modo a levá-lo
para uma velocidade de 25 Km/h em uma distância de 0,5 Km medidos ao
longo da estrada. Calcule a perda de energia Q dissipada pelos freios na
forma de calor. Despreze qualquer perda por atrito a partir de outras
causas, como a resistência do ar.
R: 903 kJ
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
313
10. Pequenos blocos de metal são descarregados com uma velocidade de
0,45 m/s em uma rampa pela esteira superior, como mostrado. Se o
coeficiente de atrito dinâmico entre os blocos e a rampa é de 0,30, calcule
o ângulo θ que a rampa deve fazer com a horizontal de modo que os
blocos sejam transferidos sem deslizar para a esteira inferior se movendo a
velocidade de 0,15 m/s.
R: 16,62 º
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
314
11. O carro de 2 toneladas está se movendo inicialmente a 2 m/s.
Determine a distância que ele deve ser rebocado pela força F = 4 kN
para atingir uma velocidade de 5 m/s. Despreze o atrito e a massa das
rodas.
Cinética das Partículas - Dinâmica
315
12. O vetor posição de uma partícula é dado por
r = 8t i + 1,2t2 j – 0,5(t3 – 1) k, onde t é o tempo em segundos a partir do
início do movimento e onde r é expresso em metros. Para a condição em
que t = 4s determine a potência P desenvolvida pela força
F = 40i – 20j – 36 k (N) que atua sobre a partícula.
R: 0,992 kW
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
316
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica
Questão Desafio
Bagagens são transportadas de um ponto a outro em um aeroporto por uma
esteira. Em certo ponto, a esteira move-se para baixo fazendo um ângulo de
2,5º com a horizontal. Suponha que não há deslizamento da bagagem para
ângulos tão pequenos quanto este. Determine o módulo da força de atrito da
esteira sobre uma caixa pesando 69 N nos casos em que a caixa está na parte
inclinada da esteira e que a velocidade da esteira é 0,65 m/s e aumenta a uma
taxa de 0,20 m/s2.
317
6 - Energia Potencial Gravitacional
Considera-se inicialmente o movimento de uma partícula de massa m
próxima da superfície da Terra, onde a atração gravitacional (peso) mg é
essencialmente constante.
A energia potencial gravitacional Vg da partícula é definida como o
trabalho mgh realizado contra o campo gravitacional para elevar a
partícula a uma distância h acima de algum plano de referência
arbitrário, onde Vg é tomado como zero. Assim, podemos escrever a
energia potencial como:
Vg = mgh
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
318
Esse trabalho é chamado de energia potencial, porque pode ser
convertido em energia se a partícula for liberada a realizar trabalho
sobre um corpo que a sustente enquanto retorna ao seu plano de origem,
abaixo da posição de partida. Ao se deslocar de um nível em h = h1 para
um nível mais elevado em h = h2, a variação na energia potencial se
torna:
ΔVg = mg(h2 – h1) = mgΔh
O correspondente trabalho realizado pela força gravitacional sobre a
partícula é –mgΔh. Assim, o trabalho realizado pela força gravitacional
é o simétrico da variação na energia potencial.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
319
7 - Energia Potencial Elástica
O segundo exemplo de energia potencial ocorre na deformação de um
corpo elástico, tal como uma mola. O trabalho que é realizado sobre
uma mola para deformá-la é armazenado na mola e é denominado
energia potencial elástica Ve. Essa energia é recuperada na forma de
trabalho realizado pela mola sobre um corpo conectado a sua
extremidade móvel durante sua liberação ou deformação.
Para uma mola linear unidimensional de rigidez k, a força suportada por
ela com qualquer deformação x, de tração oucompressão, a partir da
posição não-deformada é F = kx. Assim, define-se a energia potencial
elástica da mola como o trabalho realizado sobre ela para deformá-la de
uma quantidade x, e tem-se:
 
x
e kxdxkxV
0
2
2
1
.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
320
Se a deformação, seja de tração ou compressão, de uma mola aumentá-
la de x1 para x2 durante o movimento, então a variação na energia
potencial da mola é o seu valor final menos seu valor inicial, ou
que é positivo.
Ao contrário, se a deformação da mola diminui durante o intervalo de
movimento, então a variação na sua energia potencial se torna negativa.
Como a força exercia sobre a mola pelo corpo móvel é igual e oposta à
força F exercida pela mola sobre o corpo, segue-se que o trabalho
realizado sobre a mola é o simétrico do trabalho realizado sobre o
corpo.
)(
2
1 2
1
2
2 xxkVe 
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
321
8 - Equação de Trabalho-Energia
Sendo U’1-2 o trabalho de todas as forças externas além das forças
gravitacionais e de molas, pode-se escrever a relação entre trabalho e
energia como:
U’1-2 = ΔT + ΔVg + ΔVe
Essa forma alternativa da equação de trabalho-energia normalmente é
mais conveniente do que U1-2 = ΔT, uma vez que o trabalho das forças
gravitacionais e de molas é levado em conta ao se prestar atenção nas
posições inicial e final da partícula e nos comprimentos inicial e final
da mola elástica. Assim, o caminho seguido entre essas posições inicial
e final não terá consequência na avaliação de ΔVg e Δve.
A equação pode ser reescrita na forma equivalente:
T1 + Vg1 + Ve1 + U’1-2 = T2 + Vg2 + Ve2
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
322
Pode-se reescrever ainda a relação trabalho-energia alternativa para uma
partícula como:
onde E = T + Vg + Ve é a energia mecânica total da partícula. Esta
equação estabelece que o trabalho líquido realizado sobre o sistema por
todas as forças, além das forças gravitacionais e forças elásticas, é igual
à variação na energia mecânica total do sistema.
Para problemas em que as únicas forças são as gravitacionais, elásticas
e forças de restrição que não realizam trabalho, o termo U’ é nulo, e a
equação da energia se torna simplesmente:
ΔE = 0 ou E = constante (lei da conservação da energia mecânica)
Quando E é constante, nota-se que pode haver transferência entre a
energia cinética e a energia potencial, enquanto a energia mecânica total
não varia.
EVVTU eg  )(' 21
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
323
Exercício resolvido 1
Um cursor de 1,2 Kg é liberado do repouso na posição A e desliza sem atrito
no plano vertical ao longo da guia mostrada. Determine a velocidade vB do
cursor quando ele passa pela posição B.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
324
Exercício resolvido 1
Como não há atrito e força de contato cursor-guia é perpendicular ao
movimento (e por isso não realiza trabalho), pode-se considerar apenas as
variações de energia devido ao trabalho realizado pela força peso.
Observando que há conservação de energia, e tomando o ponto A como
posição padrão, escreve-se:
smghv
mghmv
VTVT
BB
BB
BBAA
/4,9)5,4)(81,9(22
2
1
00 2



Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
325
Exercício resolvido 2
O cursor de 3 Kg é liberado do repouso no ponto A e desliza, com atrito
vertical, em um plano vertical ao longo da haste circular. A mola conectada
possui rigidez de 350 N/m e um comprimento não-deformado de 0,6 m.
Determine a velocidade do cursor quando ele passa na posição B.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
326
Exercício resolvido 2
O trabalho realizado pelo peso e pela mola sobre o cursor será tratado com
a variação nas energias potenciais, e a reação da haste sobre o cursor é
normal ao movimento e não realiza trabalho. Assim, U’1-2 = 0. As
variações nas energias potencial e cinética para o sistema de cursor e mola
são:
   JxxkV ABe 2,52)6,0(6,0)6,0()6,0()350(
2
1
)(
2
1 22222 
JhWVg 66,17)6,0)(81,9(3 
2222 5,1)0(3
2
1
)(
2
1
BBAB vvvvmT 
smvvVVT BBeg /82,602,5266,175,1]0[
2 
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
327
Exercício resolvido 3
Uma haste leve é pivotada em O e carrega as partículas de 2 e 4 Kg. Se a
haste é liberada do repouso em θ = 60º e oscila no plano vertical, calcule a
velocidade v da partícula de 2 Kg pouco antes de atingir a mola na posição
tracejada.
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
328
Exercício resolvido 3
Uma vez que não existem forças dissipativas pode-se considerar U’1-2 = 0,
ou seja, ocorre conservação de energia mecânica total do sistema. Sabendo
que a relação entre as velocidades angulares é ωA = ωB → vA = (RA/RB)vB
A variação nas energias potencial e cinética para o sistema será:
smv
sensenvv
VT g
/162,1
0)º603,0)(81,9(4)º6045,0)(81,9(2)
450
300
)(4(
2
1
)2(
2
1
0
22



Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
329
Exercício resolvido 4
Considerando a haste leve e pivotada em O do exemplo anterior, calcule a
compressão máxima x da mola. Admita que x é pequeno, de modo que a
posição da haste quando a mola é comprimida é essencialmente horizontal.
Nesse caso ΔT = 0, e pode-se escrever a variação na energia total como:
mmmx
xsensen
VV eg
07,1201207,0
0)10.35(
2
1
)º603,0)(81,9(4)º6045,0)(81,9(2
0
23



Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
330
Atividades
1. O cursor de 4 Kg é liberado do repouso em A e desliza com atrito
desprezível para baixo, na haste circular no plano vertical. Determine a
velocidade v do cursor quando ele atinge a parte inferior em B.
R: 3,43m/s
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
331
2. Considerando ainda o cursor do problema anterior, determine a máxima
deformação x da mola.
R: 48,5 mm
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
332
3. Uma garrafa de 0,350 Kg de massa cai de uma plataforma que está
1,75 m acima do solo. Determine a energia cinética da garrafa no momento
do impacto.
R: 6,01 J
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
333
4. As molas não estão deformadas na posição mostrada. Se o cursor de
6 Kg é liberado do repouso na posição onde a mola inferior se encontra
comprimida de 125 mm, determine a compressão xB da mola superior.
R: 176,6 mm
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
334
5. Se o sistema é liberado do repouso, determine as velocidades de ambas
as massas após B ter-se deslocado 1 m. Despreze o atrito e as massas das
polias.
R: 0,616 m/s; 0,924 m/s
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
335
6. Próximo à borda de um telhado de um edifício de 12 m de altura, um
jovem chuta uma bola com uma velocidade inicial vi = 16 m/s com um
ângulo de 60º com a horizontal, como mostrado na figura. Sabendo que a
energia mecânica da bola se conserva, determine (a) a altura acima do
edifício que a bola alcança e (b) sua velocidade no momento
imediatamente antes de chocar-se com o solo.
R: 9,79 m; 22,2 m/s
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
336
7. Uma massa m é conectada ao extremo de uma mola não deformada de
constante elástica k. Determine a máxima distância que cai o bloco antes
que comece a mover-se para cima.
R: 2mg/k
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
337
8. Um bloco de 2 Kg é pressionado contra uma mola de constante elástica
k = 500 N/m. Depois de comprimida por 20 cm, a mola é solta e projeta o
bloco primeiro por uma superfície horizontal sem atrito, e depois por um
plano inclinado 45º, também sem atrito, como indicado na figura. Determine a
distância percorrida pelo bloco, ao longo do plano inclinado, até parar
totalmente. R: 0,72 m
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
338
9. Um projétil é disparado verticalmente para cima a partir do Polo Norte
com uma velocidade v0. Calcule o valor mínimo v0 que irá permitir que o
projétil escape da força gravitacional da Terra, admitindo que não exista
resistência atmosférica. Adote energia potencial gravitacional igual a
mgR²/r, e que v = 0 quando r = ∞.
R: v0 = √2gR
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
339
10. Uma massa m é conectada ao extremo de umamola não deformada de
constante elástica k. Determine a máxima distância que cai o bloco antes
que comece a mover-se para cima.
R: 2mg/k
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
340
11. O bloco de peso P = 2,22 N, comprimindo a mola, parte de A com
velocidade inicial nula. Despreze o atrito para determinar a menor
deformação da mola capaz de fazer o bloco percorrer o trilho ABCDE, sem
perda de contato.
R: 0,114 m
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
341
12. Os carros da montanha-russa de um parque de diversões têm
velocidade v1 = 90 Km/h na parte mais baixa dos trilhos. Determine a
velocidade v2 dos carros na parte mais alta dos trilhos. Despreze a energia
perdida por atrito, e considere que a diferença de altura entre o ponto mais
baixo e o ponto mais alto igual a 27 m. R: v2 = 9,75 m/s
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
342
13. Um satélite é colocado em uma órbita elíptica em torno da Terra e
apresenta uma velocidade vP na posição de perigeu P. Determine a
expressão para a velocidade vA na posição de apogeu A. Os raios de A e P
são, respectivamente, rA e rP. Note que a energia total permanece
constante.
R: v0 = 







AP
P
rr
gRv
11
2 22
Dinâmica I - “Trabalho e Energia”
343
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica
Questão Desafio
Deseja-se disparar uma bola de 0,5 Kg e de dimensões desprezíveis num trilho
circular. O disparador mantém a mola comprimida em 0,08 m quando s = 0.
Determine o valor de s necessário para que a bola comece a deixar o trilho
quando tiver velocidade igual a 10,41 m/s e θ = 135º.
344
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
Dinâmica I
“Cinética de Partículas”
Impulso e Quantidade de Movimento
345
Dinâmica I
Introdução - Dinâmica IDinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
Cinética de Partículas
1. Introdução
2. Impulso Linear e Quantidade de Movimento Linear
3. O princípio do Impulso-Quantidade de Movimento
4. Conservação da Quantidade de Movimento Linear
Exercícios resolvidos
Atividades
346
1 - Introdução
Vimos que as equações de trabalho e energia são obtidas pela integração
da equação de movimento F = ma com relação ao deslocamento da
partícula. Vimos que as variações de velocidade podem ser expressas
diretamente em termos do trabalho realizado ou em termos das
variações totais na energia.
Veremos agora a equação do movimento integrada com relação ao
tempo em vez de ao deslocamento. Essa abordagem leva às equações de
impulso e quantidade de movimento, que facilitam muito a solução de
alguns problemas nos quais as forças aplicadas agem durante períodos
extremamente curtos (como em problemas de impacto) ou ao longo de
intervalos de tempo especificados.
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
347
Considerando novamente o movimento curvilíneo genérico no espaço
de uma partícula de massa m, onde a partícula é localizada pelo seu
vetor posição r medido a partir da origem fixa O.
A velocidade da partícula é v = dr/dt e é tangente à sua trajetória, como
mostrado pela linha tracejada na figura.
2 - Impulso Linear e Quantidade de Movimento Linear
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
348
A resultante ∑F de todas as forças sobre m está na direção da sua
aceleração a = dv/dt. Pode-se escrever a equação de movimento básica
para a partícula como: ou
Onde o produto da massa e da velocidade é definido como a quantidade de
movimento linear G = mv da partícula.
  )( vm
dt
d
vmF


  GF

Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
349
A equação estabelece que a resultante de todas as forças
atuantes sobre uma partícula é igual à taxa de variação no tempo da
quantidade de movimento linear. No SI as unidades da quantidade de
movimento linear m.v consistem em Kg.m/s, que é também igual a N.s.
Como se trata de uma equação vetorial, verifica-se que além da
igualdade de módulos de e a direção da força resultante
coincide com a direção da taxa de variação da quantidade de
movimento linear, que é a direção da taxa de variação da velocidade.
  GF

F

G

Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
350
Esta equação é uma das mais úteis e importantes relações na dinâmica,
e é válida desde que a massa da partícula não esteja variando com o
tempo.
Pode-se escrever as três componentes escalares da equação como:
Essas equações podem ser aplicadas independentemente uma das outras.
  xx GF    yy GF    zz GF 
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
351
Até aqui, apenas foi reescrita a segunda lei de Newton em uma forma
alternativa, em termos da quantidade de movimento. Agora é possível
descrever o efeito da resultante de forças ∑F sobre a quantidade de
movimento linear da partícula ao longo de um período finito de tempo
simplesmente pela integração da equação com relação ao
tempo t. Multiplicando-se a equação por dt tem-se ∑F dt = dG, que é
integrado do instante t1 ao instante t2 para obter:
3 - O princípio do Impulso-Quantidade de Movimento
  GF

  
2
1
12
t
t
GGGdtF

Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
352
Aqui a quantidade de movimento linear no instante t2 é G2 = m.v2, e a
quantidade de movimento linear no instante t1 é G1 = m.v1.
O produto da força e do tempo é definido como o impulso linear da
força, e a equação acima estabelece que o impulso linear total sobre m
é igual à correspondente variação da quantidade de movimento linear
de m.
3 - O princípio do Impulso-Quantidade de Movimento
  
2
1
12
t
t
GGGdtF

Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
353
Obs.: A integral do impulso é um vetor que, em geral, pode envolver
variações tanto no módulo quanto na direção durante o intervalo de
tempo. Sob tais condições, será preciso expressar ∑F e G na forma de
componentes e depois combinar as componentes integradas. As
componentes da equação se tornam as equações
escalares:
Essas três equações escalares de impulso-quantidade de movimento são
completamente independentes.
As expressões escalares correspondentes às equações vetoriais são
simplesmente o rearranjo dessas equações.
  
2
1
12
t
t
GGGdtF

 
 
 



2
1
2
1
2
1
12
12
12
)()(
)()(
)()(
t
t
zzz
t
t
yyy
t
t
xxx
mvmvdtF
mvmvdtF
mvmvdtF
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
354
Se a força resultante sobre a partícula é nula durante um intervalo de
tempo, é imediato perceber da expressão que a quantidade
de movimento G será constante. Nesse caso, diz-se que a quantidade de
movimento linear de uma partícula é conservada.
Consideremos então o movimento de duas partículas a e b que interagem
durante um intervalo de tempo. Se as forças de interação F e -F entre elas
são as únicas forças desequilibradas atuando sobre as partículas durante o
intervalo de tempo, o impulso linear sobre a partícula a é simétrico do
impulso linear sobre a partícula b.
4 - Conservação da Quantidade de Movimento Linear
  GF

Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
355
Desse modo, a partir da equação
Percebe-se que a variação na quantidade de movimento ΔG total para o
sistema de duas partículas permanece constante durante o intervalo de
tempo, e pode-se escrever:
ΔG = 0 ou G1 = G2
Que é o princípio da conservação da quantidade de movimento linear!
4 - Conservação da Quantidade de Movimento Linear
  
2
1
12
t
t
GGGdtF

Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
356
Exercício resolvido 1
O carro de 1500 Kg apresenta uma velocidade de 30 Km/h para cima em
uma ladeira de inclinação 10 % quando o motorista aplica mais potência
por 8 s, para levar o carro a uma velocidade de 60 Km/h. Calcule a média
no tempo da força F total tangente à pista exercida sobre os pneus durante
os 8 s. Trate o carro como uma partícula, e despreze a resistência do ar.
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
357
Exercício resolvido 1
kNNF
senFGdtF xx
03,33030
6,330
6,3
60
15008º.71,5)81,9(1500][








O diagrama de corpo-livre representa as forças que agem no carro considerado
uma partícula. A inclinação do plano pode ser calculada fazendo:
tg θ = 1/10 → θ = 5,71º
Sabendo que somente as forças F e a componente Px do peso são responsáveis
pela variação da quantidade de movimento do carro, temos:
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
358
Exercício resolvido 2
Uma partícula de 0,2 Kg se move no plano y-z vertical (z para cima, y
horizontal) sob a ação de seu peso e da força F que varia com o tempo. A
quantidade de movimento linear da partícula em Newtons.segundos é dada
pela expressão G = 3/2(t2 +3)j – 2/3(t³ – 4)k, onde t é o tempo em segundo.
Determine a força F e seu módulo para o instante em que t = 2s.
ktjtktjt
dt
d
kF ˆ²2ˆ3ˆ)4³(
3
2ˆ)3²(
2
3ˆ)81,9(2,0 







Expressando o peso como um vetor é -0,2(9,81)k N. Assim, a equação de
força-quantidade de movimento se torna:
[ ]
para t = 2s:
Assim,
  GF

)(ˆ04,6ˆ6ˆ)²2(2ˆ)2(3ˆ)81,9(2,0 NkjkjkF 

NF 51,8²04,6²6 
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
359
Exercício resolvido 3
Uma bala de 50 g, deslocando-se a 600 m/s, atinge um bloco de 4 Kg
centralmente e fica alojada dentro dele. Se o bloco desliza sobre um plano
liso com uma velocidade de 12 m/s na direção mostrada antes do impacto,
determine a velocidade v do bloco e da bala alojada imediatamente após o
impacto.
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
360
Exercício resolvido 3
)/(ˆ33,13ˆ26,10
)050,04()ˆº30ˆº30)(cos12(4)ˆ600(050,0
smjiv
vjsenij




Uma vez que a força de impacto é interna ao sistema composto pelo bloco e
pela bala, e desde que não existem outras forças atuando sobre o sistema no
plano do movimento, segue que a quantidade de movimento linear do sistema
é conservada. Assim:
[G1 = G2]
a velocidade final e sua direção são dadas por:
º4,52299,1
26,10
33,13
/83,16)²33,13()²26,10(22


 tg
v
v
tg
smvvvv
x
y
yx
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
361
Atividades
1. A velocidade de uma partícula de 1,2 Kg é dada por
v = 1,5 t³i + (2,4 – 3t²)j + 5k, onde v está em metros por segundos e o
tempo t está em segundos. Determine a quantidade de movimento linear G
da partícula e seu módulo G quando t = 2 s.
R: G = 14,4i – 11,52j + 6k Kg.m/s; G = 19,39 Kg.m/s
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
362
2. Um projétil de 75 g se desloca a 600 m/s, atingindo e permanecendo
alojado no bloco de 50 Kg que está inicialmente parado. Calcule a energia
perdida durante o impacto.
R: ΔE = 13,48 kJ
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
363
3. Um vagão de carga com uma massa total m está se movendo ao longo
de um trilho horizontal com velocidade v. Outro vagão de carga com uma
massa total 2m se movendo com velocidade 2v alcança o primeiro vagão e
é acoplado a ele. Determine a velocidade final com que os vagões se
movimentam em função de v.
R: (5/3)v
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
364
4. Um carrinho de supermercado de massa m se movimenta com
velocidade 5 m/s quando deixa-se cair sobre ele um saco de massa m/2.
Qual será a nova velocidade do sistema?
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
365
5. Um avião com propulsão a jato e massa de 10 t está voando
horizontalmente com uma velocidade constante de 1000 Km/h sob a ação
do empuxo do motor T e da força de resistência do ar R igual e oposta. O
piloto aciona duas unidades motoras auxiliares, cada uma das quais
desenvolvendo um empuxo para frente T0 de 8 kN por 9 s. Se a velocidade
do avião em seu voo horizontal é de 1050 Km/h no final dos 9 s, calcule o
aumento médio no tempo ΔR na resistência do ar. A massa do combustível
usado é desprezível, comparada com aquela do avião.
R: ΔR = 568 N
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
366
6. O vagão de carga A, com uma massa total de 80 t, está se movendo ao
longo de um trilho horizontal no parque de conexão a 3 Km/h. O vagão de
carga B, com uma massa total de 60 t e se movendo a 5 Km/h, alcança o
vagão A e é acoplado a ele. Determine a velocidade comum v dos dois
vagões quando eles se movem juntos, após terem sido acoplados.
R: v = 3,86 Km/h
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
367
7. Considerando a situação dos vagões de carga A e B da atividade
anterior, determine a perda de energia |ΔE| devido ao impacto.
R: ΔE = 5,29 kJ
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
368
8. A figura mostra as velocidades dos cursores A e B, antes do choque. Se
após a colisão o cursor A tem velocidade de 5,4 m/s para a esquerda,
determine a velocidade de B.
R: vB = 0,6 m/s
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
369
9. Em uma prova de pontaria, uma pessoa dispara uma bala sobre um bloco de
madeira suspenso. O bloco, com o projétil acoplado a ele, oscila como um
pêndulo para cima. A partir da altura alcançada por este pêndulo, se informa
imediatamente a velocidade da bala. Supondo a massa da bala seja m1 e do
bloco m2, e que a altura alcançada seja h. Determine a velocidade inicial vi da
bala.
R:
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
370
10. Um bloco de 9 Kg está se movendo para a direita com uma velocidade
de 0,6 m/s sobre uma superfície horizontal quando uma força P é aplicada
a ele no instante t = 0. Calcule a velocidade v do bloco quando t = 0,4 s. O
coeficiente de atrito dinâmico é μdin = 0,3.
R: v = 1,823 m/s
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
371
Introdução - Dinâmica I
11. Uma pessoa empurra com uma força horizontal de 25 N um bloco de 4 Kg,
inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal, por uma distância de 3 m. O
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0,35. Determine a energia
cinética final do bloco.
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
372
Introdução - Dinâmica I
Questão Desafio
Um núcleo de tório 227 em repouso se desintegra em um núcleo de rádio 223
(massa 223 u) por emissão de uma partícula α (massa 4 u), como mostra a figura.
A energia cinética da partícula α é igual a 6,0 MeV.
Determine a energia cinética do núcleo de rádio resultante.
Dinâmica I - “Impulso e Quantidade de Movimento”
373
Agora você deve tentar resolver esse simulado de avaliação V2!
Ele traz questões que abrangem todos os assuntos estudados até
agora sobre Cinética das Partículas. Utilize sempre g = 9,81 m/s2.
Faça uso da formulação vista durante seus estudos.
Aproveite esta oportunidade para se preparar para a prova V2...
Bons estudos!
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
374
Questão 1.
Uma van está trafega a 20 Km/h quando o acoplamento A do trailer
falha. Se o trailer tem massa de 250 Kg e se desloca por 45 m antes de
parar, determine a força horizontal F criada pelo atrito de rolamento que
o leva a parar.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
375
Questão 2.
Abandona-se, a partir do repouso, o bloco A de 100 Kg mostrado na
figura. Desprezando o peso das polias e dos cabos, determine a
velocidade do bloco B após 2s.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
376
Questão 3.
Um avião voando a uma velocidade constante de 50 m/s faz uma volta
horizontal. O avião está inclinado a um ângulo θ = 15º e o piloto
experimenta somente uma força normal sobre o assento. Determine qual
é a intensidade da força normal do assento sobre o piloto se sua massa é
de 70 Kg.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
377
Questão 4.
O carro esporte de 1700 Kg desloca-se horizontalmente ao longo de uma
pista circular de raio de curvatura ρ = 100 m e ângulo de superelevação
de 20º. Se o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é
μe = 0,2, determine a máxima velocidade constante para a qual o carro
pode se deslocar sem escorregar para cima. Despreze as dimensões do
carro.Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
378
Questão 5.
Uma mulher de 70 Kg está num elevador que tem aceleração para baixo
de 4 m/s2. Supondo que o elevador tenha partido do repouso, determine o
trabalho realizado pelo peso da mulher e o trabalho da força normal que
o piso do elevador exerce nela quando o elevador chega ao fim de uma
descida de 6 m. Explique por que os trabalhos dessas duas forças são
diferentes.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
379
Questão 6.
O automóvel de 3500 lb mostrado na figura move-se para baixo numa
estrada com 10º de inclinação, a uma velocidade de 20 pés/s. Se o
motorista freia o carro, provocando um travamento das rodas, utilize o
princípio do Trabalho e Energia para determinar a distância s que o carro
percorre durante o escorregamento. O coeficiente de atrito cinético entre
as rodas e a pista é μe = 0,5. Adote g = 32,2 pés/s
2.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
380
Questão 7.
Tarzan, com massa de 100 Kg, parte do repouso na borda do penhasco
segurando-se num cipó cujo comprimento somado à distância de suas
mãos ao seu centro de massa C resulta numa distância CA de 10 m.
Determine sua velocidade no exato momento em que o cipó atinge o
galho em B.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
381
Questão 8.
Duas molas de mesmo comprimento são arranjadas de modo a
constituírem um absorvedor de impacto, como mostrado na figura. O
dispositivo deve ser projetado para deter um bloco de 2 Kg que, solto a
partir do repouso da posição s = 0,5m acima do topo das molas, produz
nelas uma compressão máxima de 0,2 m. Determine a rigidez da mola
interna, kB, considerando que a externa tem rigidez kA = 400 N/m.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
382
Questão 9.
A pedra de 100 Kg mostrada na figura está inicialmente em repouso
sobre a superfície horizontal lisa. Se uma força de tração de 200 N, a um
ângulo de 45º, age por 10 s sobre a pedra, determine a velocidade final
da pedra após o intervalo de tempo considerado.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I
383
Questão 10.
A cabeça H de um martelo com peso de 0,25 lb está descendo verticalmente
a 40 pés/s quanto atinge um prego de massa desprezível. obtenha o impulso
sobre o prego, supondo que o cabo tem massa desprezível e está solto em A
durante a martelada. Suponha também que o martelo permaneça em contato
com o prego até que este fique em repouso. Despreze o impulso provocado
pelo peso da cabeça do martelo durante o contato. Utilize a aceleração
gravitacional g = 32,2 pés/s2.
Introdução - Dinâmica ICinética das Partículas - Dinâmica I