Matemática Para Economia - Slides - Unidade I

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Unidade I
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Profa. Deiby Gouveia
Conjuntos numéricos
Números Naturais – N
N = {0, 1, 2, 3, 4....}
Obs.: N* = N - {0} = {1, 2, 3, 4, ....}
Conjuntos numéricos
Números Naturais – N
N = {0, 1, 2, 3, 4....}
Obs.: N* = N - {0} = {1, 2, 3, 4, ....}
Números Inteiros – Z
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}
Obs.: Z* = Z - {0} = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ....}
Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4} = N
Z- = {-3, -2, -1, 0}
Conjuntos numéricos
Números Racionais – Q
Q = a/b, a  Z , b  Z* e b  0
Importante!!!
1 = 0 = 
2 2
2 = 0 = 
0 0
Conjuntos numéricos
Números Racionais – Q
Q = a/b, a  Z , b  Z* e b  0
Importante!!!
1 = 0,5 0 = 0
2 2
2 = Erro! 0 = Erro!
0 0
Conjuntos numéricos
Números Racionais – Q
Q = a/b, a  Z , b  Z* e b  0
Importante!!!
1 = 0,5 0 = 0
2 2
2 = Erro! 0 = Erro!
0 0
Conjuntos numéricos
Números Racionais – Q
Q = a/b, a  Z , b  Z* e b  0
Ex.: Decimais inteiros: 4 = 4 -3 = -3 0 = 0
1 1 1
Decimais exatos: 5 = 1 = 0,5 -1 = -0,25
10 2 4
Dízimas periódicas: 1 = 0,333... 1 = 0,45454....
3 22
Conjuntos numéricos
Números Irracionais – I
 Representação decimal: infinita e não periódica.
Ex.: 3 = 1,73205... 
π = 3,14159...
Conjuntos numéricos
Números Reais – R
R = N U Z U Q U I
 Diagrama de Venn-Euler dos conjuntos numéricos:
Exemplo 1
Classifique os números abaixo no conjunto mais restrito a que 
pertencem:
 3 1,4326579 1  2  9
-7 0,25 0,48282... 12/3 -8/2
Naturais: 
Inteiros: 
Racionais: 
Irracionais:
Exemplo 1
Classifique os números abaixo no conjunto mais restrito a que 
pertencem:
 3 1,4326579 1  2  9
-7 0,25 0,48282... 12/3 -8/2
Naturais : 1  9 = 3 12/3 = 4
Inteiros: 
Racionais: 
Irracionais:
Exemplo 1
Classifique os números abaixo no conjunto mais restrito a que 
pertencem:
 3 1,4326579 1  2  9
-7 0,25 0,48282... 12/3 -8/2
Naturais : 1  9 = 3 12/3 = 4
Inteiros: -7 -8/2 = - 4
Racionais: 
Irracionais:
Exemplo 1
Classifique os números abaixo no conjunto mais restrito a que 
pertencem:
 3 1,4326579 1  2  9
-7 0,25 0,48282... 12/3 -8/2
Naturais : 1  9 = 3 12/3 = 4
Inteiros: -7 -8/2 = - 4
Racionais: 0,25 = ¼ 0,48282 = 478/190
Irracionais:
Exemplo 1
Classifique os números abaixo no conjunto mais restrito a que 
pertencem:
 3 1,4326579 1  2  9
-7 0,25 0,48282... 12/3 -8/2
Naturais : 1  9 = 3 12/3 = 4
Inteiros: -7 -8/2 = - 4
Racionais: 0,25 = ¼ 0,48282 = 478/190
Irracionais:  2  3 1,4326579
Exemplo 1
Classifique os números abaixo no conjunto mais restrito a que 
pertencem:
 3 1,4326579 1  2  9
-7 0,25 0,48282... 12/3 -8/2
Naturais : 1  9 = 3 12/3 = 4
Inteiros: -7 -8/2 = - 4
Racionais: 0,25 = ¼ 0,48282 = 478/190
Irracionais:  2  3 1,4326579
Exemplo 2
Escreva em extensão os seguintes conjuntos:
a) A = {x  N  x < 8}
b) B = {y  N  1 < y  5}
c) C = {x  Z*  - 3 < x < 4}
d) D = {m  Z  m  -2}
Exemplo 2
Escreva em extensão os seguintes conjuntos:
a) A = {x  N  x < 8}  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) B = {y  N  1 < y  5}
c) C = {x  Z*  - 3 < x < 4}
d) D = {m  Z  m  -2}
Exemplo 2
Escreva em extensão os seguintes conjuntos:
a) A = {x  N  x < 8}  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) B = {y  N  1 < y  5}  {2, 3, 4, 5}
c) C = {x  Z*  - 3 < x < 4}
d) D = {m  Z  m  -2}
Exemplo 2
Escreva em extensão os seguintes conjuntos:
a) A = {x  N  x < 8}  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) B = {y  N  1 < y  5}  {2, 3, 4, 5}
c) C = {x  Z*  - 3 < x < 4}  { -2, -1, 1, 2, 3}
d) D = {m  Z  m  -2} 
Exemplo 2
Escreva em extensão os seguintes conjuntos:
a) A = {x  N  x < 8}  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) B = {y  N  1 < y  5}  {2, 3, 4, 5}
c) C = {x  Z*  - 3 < x < 4}  { -2, -1, 1, 2, 3}
d) D = {m  Z  m  -2}  {-2, -1, 0, 1, 2...}
Exemplo 3
Escreva cada um dos conjuntos de números a seguir, por meio 
de uma linguagem simbólica:
a) M = {6, 7, 8} 
b) P = {4, 5, 6, 7, 8....}
c) T = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
d) V = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Exemplo 3
Escreva cada um dos conjuntos de números a seguir, por meio 
de uma linguagem simbólica:
a) M = {6, 7, 8}  M= {x  N  6  x  8}
b) P = {4, 5, 6, 7, 8....}
c) T = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
d) V = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Exemplo 3
Escreva cada um dos conjuntos de números a seguir, por meio 
de uma linguagem simbólica:
a) M = {6, 7, 8}  M= {x  N  6  x  8}
b) P = {4, 5, 6, 7, 8....}  P = {x  N  x  4} ou
P = {x  N  x > 3}
c) T = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
d) V = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Exemplo 3
Escreva cada um dos conjuntos de números a seguir, por meio 
de uma linguagem simbólica:
a) M = {6, 7, 8}  M= {x  N  6  x  8}
b) P = {4, 5, 6, 7, 8....}  P = {x  N  x  4} ou
P = {x  N  x > 3}
c) T = {..., -5, -4, -3, -2, -1}  T = {x  Z  x < 0} ou
T = {x  Z  x  -1}
d) V = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} 
Exemplo 3
Escreva cada um dos conjuntos de números a seguir, por meio 
de uma linguagem simbólica:
a) M = {6, 7, 8}  M= {x  N  6  x  8}
b) P = {4, 5, 6, 7, 8....}  P = {x  N  x  4} ou
P = {x  N  x > 3}
c) T = {..., -5, -4, -3, -2, -1}  T = {x  Z  x < 0} ou
T = {x  Z  x  -1}
d) V = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}  V = {x  Z  -3 < x < 4} ou
V = {x  Z  -2  x  3}
Interatividade
De acordo com a representação geométrica de números Reais a 
seguir:
I) b/c < 1 II) a + b > 0 III) b.c < c IV) a.c > b
Somente estão corretas as afirmações:
a) I e III.
b) II e III.
c) I, II e IV.
d) III e IV.
e) I, II e III.
Operações com Números Reais
Adição (+) Multiplicação (x)
Subtração (-) Divisão ()
Regra dos sinais
Soma / Subtração Multiplicação / Divisão
+2 + 5 = +7 + + = +
+2 - 5 = -3 + - = -
- 2 + 5 = +3 - + = -
- 2 – 5 = -7 - - = +
Trabalhando com Números
Operações com Racionais
Soma
17 + 5 = 17 + 20 = 37
24 6 24 24
Cálculo do MMC
24, 6 2
12, 3 2
6, 3 2
3, 3 3
1, 1 2x2x2x3 = 24
Trabalhando com Números
Operações com Racionais
Subtração
17 - 5 = 17 - 20 = -3 = -1
24 6 24 24 8
Cálculo do MMC
24, 6 2
12, 3 2
6, 3 2
3, 3 3
1, 1 2x2x2x3 = 24
Trabalhando com Números R
Operações com Racionais
Multiplicação
17 x 5 = 85
24 6 144
Trabalhando com Números
Operações com Racionais
Divisão
17  5 = 17 x 6 = 102 = 51
24 6 24 5 120 60
Exemplo
A rua onde Renata mora está sendo asfaltada. Os 5/9 da rua já 
foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
Exemplo
A ruaonde Renata mora está sendo asfaltada. Os 5/9 da rua já 
foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
Resposta: 
1 – 5 = 9 – 5 = 4
9 9 9
Logo, resta asfaltar 4/9 da rua.
Trabalhando com Números
 Potenciação
Definição: b x b x b x ... x b = bn
Propriedades:
Exemplo
Se a2 = 996, b3 = 9912 e c4 = 993, então, abc12 é? 
Exemplo
Se a2 = 996, b3 = 9912 e c4 = 993, então, abc12 é? 
Resposta: 
Utilizando a propriedade 4 da potenciação: 
(bx)y = bx.y
a2 = 996 a2 = (993)2 a = 993
b3 = 9912 b3 = (994)3 b = 994
c4 = 993 (c4)3 = (993)3 c12 = 999
Utilizando a propriedade 2 da potenciação:
bx . by = bx + y
abc12 = 993 . 994 . 999 = 9916
Trabalhando com Números
Radiciação: A operação de radiciação é inversa à potenciação.
62 = 36  36 =6
Propriedades: a e b  R, x e y  N*
Exemplo 
Calcule (4√5 )8.
Exemplo
Calcule (4√5 )8.
Resposta: (4√5 )8 = 25
Pela quarta propriedade de radiciação: (x√b )y = x√by
4√58 
Pela primeira propriedade de radiciação: y√bx = bx/y
58/4 = 52 = 25
Interatividade
Um retângulo tem como medidas 18 cm e 50 cm. Se fôssemos 
construir um quadrado com a mesma área, qual deveria ser a 
medida de cada lado?
a) 90 cm.
b) 45 cm.
c) 30 cm.
d) 60 cm.
e) 55 cm.
Trabalhando com Números
Razão
Sendo a e b dois números racionais, com b  0, denomina-se 
razão entre a e b o quociente a / b ou a : b
a : antecedente
b: consequente
Ex.: Números de candidatos = 5 (5 candidatos para 1 vaga)
número de vagas 1
Forma fracionária Forma decimal Forma percentual
7
10
0,7 70%
Exemplo 1
Consumo médio: Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92 km) 
no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de 
combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível 
consumido? 
Exemplo 1
Consumo médio: Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92 km) 
no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de 
combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível 
consumido? 
 Razão: 92 km = 11,5 km/L
8 litros
O que significa essa razão? 
 Significa que a cada litro consumido foram percorridos, em 
média, 11,5 km.
Exemplo 2
Em um hospital, no mês de julho de 2011, havia 320 pessoas 
internadas com sintomas de gripe A. No mês de agosto, esse 
número subiu para 512. Determine a razão, na forma decimal, 
entre o número de pessoas com sintomas de gripe A no mês de 
agosto e no mês de julho de 2011.
Exemplo 2
Em um hospital, no mês de julho de 2011, havia 320 pessoas
internadas com sintomas de gripe A. No mês de agosto, esse 
número subiu para 512. Determine a razão, na forma decimal, 
entre o número de pessoas com sintomas de gripe A no mês de 
agosto e no mês de julho de 2011.
Resposta: mês de agosto = 512 = 1,6 
mês de julho 320 
Exemplo 3
Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado é vendido por 
R$ 27,00. Determine a razão entre:
a) O preço de venda e o de custo.
b) O lucro e o preço de venda.
Exemplo 3
Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado é vendido por 
R$ 27,00. Determine a razão entre:
a) O preço de venda e o de custo.
Resposta: preço de venda = 27 = 1,5 
preço de custo 18 
Exemplo 3
Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado é vendido por 
R$ 27,00. Determine a razão entre:
a) O preço de venda e o de custo.
Resposta: preço de venda = 27 = 1,5 
preço de custo 18
b) O lucro e o preço de venda.
Resposta: Lucro = V - C = 27 -18 = 9 = 0,33
preço de venda V 27 27
Trabalhando com Números Racionais
Proporção
a = c , com b e d  0
b d
Lê-se: a está para b assim como c está para d.
Fator de Proporcionalidade (FP): é o numero racional, em sua 
forma decimal, associado à fração.
Ex.: Um trabalhador autônomo que ganha R$ 50,00 por peça 
produzida: FP: R$ 50,00 ou 50
1 peça 1
Exemplo
Em uma salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada são 
retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos m3
de água salgada são necessários? 
Exemplo
Em uma salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada são 
retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos m3
de água salgada são necessários?
Solução: 
 A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água 
salgada.
quantidade de água salgada = 1 m3 = 1 m3
quantidade de sal 40 dm3 0,04 m3
Exemplo
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser 
determinada e construímos a proporção:
1 m3 = x 
0,04 m3 2 m3
Exemplo
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser 
determinada e construímos a proporção:
1 m3 = x 
0,04 m3 2 m3
1 . 2 = 0,04 . X  x = 2  x = 50 m3
0,04
Assim, são necessários 50 m3 de água salgada.
Trabalhando com Números
Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP):
a1 = a2 = a3 .... K, 
b1 b2 b3
K: Constante de proporcionalidade.
Ex.: 
80 = 160 = 240 = 80
1 2 3
Distância (km) 80 160 240 ...
Tempo (horas) 1 2 3 ....
Trabalhando com Números Racionais
Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP):
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = k
K: Constante de proporcionalidade.
Ex.: 
40 x 6 = 80 x 3 = 120 x 2 = 240
Velocidade (km/h) 40 80 120 ...
Tempo (horas) 6 3 2 ....
Trabalhando com Números
Regra de três
Diretamente proporcional: a = c
b d
Inversamente proporcional: a = d
b c
Grandeza A Grandeza B
a c
b d
Exemplo 1
Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 
60 kg de fubá podemos obter com 1200 kg?
Exemplo 1
Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 
60 kg de fubá podemos obter com 1200 kg?
Milho (kg) Fubá (kg)
50 35
1200 x
Exemplo 1 
Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 
60 kg de fubá podemos obter com 1200 kg?
Grandeza Diretamente Proporcional: 50 = 35
1200 x
x = 840 kg
Como o exemplo pede em sacas de 60 kg:
84060 = 14 sacas de fubá
Milho (kg) Fubá (kg)
50 35
1200 x
Exemplo 2
Um avião bimotor, com a velocidade de 450 km/h, efetua a 
viagem entre São Paulo e Brasília em 2 horas. Em quanto tempo, 
um avião a jato, de velocidade igual a 1200 km/h, faria a mesma 
viagem?
Exemplo 2
Um avião bimotor, com a velocidade de 450 km/h, efetua a 
viagem entre São Paulo e Brasília em 2 horas. Em quanto tempo, 
um avião a jato, de velocidade igual a 1200 km/h, faria a mesma 
viagem?
Velocidade (km/h) Tempo (h)
450 2
1200 x
Exemplo 2
Um avião bimotor, com a velocidade de 450 km/h, efetua a 
viagem entre São Paulo e Brasília em 2 horas. Em quanto tempo, 
um avião a jato, de velocidade igual a 1200 km/h, faria a mesma 
viagem?
Grandeza Inversamente Proporcional: 450 = x
1200 2
x = 0,75h = 45min
Velocidade (km/h) Tempo (h)
450 2
1200 x
Interatividade
Com média de 90 km/h, faço um trajeto de três horas. Para que 
eu faça esse percurso em apenas duas horas, qual deve ser 
minha velocidade média?
a) 60 km/h. 
b) 100 km/h.
c) 125 km/h. 
d) 135 km/h. 
e) 150 km/h.
Trabalhando com Números
Porcentagem
 Uma porcentagem nada mais é do que uma razão proporcional 
na qual um dos termos é 100. 
Porcentagem Razão Forma
Proporcional Decimal
5% = 5 = 0,05 
100 
30% = 30 = 0,3 
100
Trabalhando com Números
Passe para a forma decimal:
13,5% = 13,5 = 0,135
100 
65% = 65 = 0,65
100
8% = 8 = 0,08
100
Passe para a forma porcentual:0,35 = 0,35 . 100 = 35%
0,04 = 0,04 . 100 = 4%
Trabalhando com Números
Calcule:
30% de 80  30 . 80 = 0,3 . 80 = 24 
100
5% de 140  5 . 140 = 0,05 . 140 = 7 
100
Exemplo 1
Meu primo tem 25 anos. Eu tenho 40 anos. A idade dele é 
quantos por cento da minha?
Exemplo 1
Meu primo tem 25 anos. Eu tenho 40 anos. A idade dele é 
quantos por cento da minha?
Resolução: 
25 = 0,625
40
Transformando para a forma porcentual:
0,625 . 100 = 62,5%
Exemplo 2
Um eletrodoméstico foi comprado por R$ 1.200,00. Obteve-se 
um desconto de 3%. Qual o valor pago em reais?
Exemplo 2
Um eletrodoméstico foi comprado por R$ 1.200,00. Obteve-se 
um desconto de 3%. Qual o valor pago em reais?
Resolução: 3% = 0,03
1.200 x 0,03 = 36
Preço: 1200,00
Desconto: -36,00
Valor pago: 1164,00
Exemplo 3
Após um aumento de 16% no salário, um estagiário passou a 
receber R$ 556,80. Qual o seu salário antigo?
Exemplo 3
Após um aumento de 16% no salário, um estagiário passou a 
receber R$ 556,80. Qual o seu salário antigo?
Resolução:
556,80 116%
x 100%
116 x = 556,80 x 100
x = 480
O salário antigo era de R$ 480,00.
Exemplo 4
Uma televisão custa R$ 1.500,00, mas a loja está oferecendo um 
desconto de 5%. Quanto o cliente deverá pagar por essa 
televisão?
Exemplo 4
Uma televisão custa R$ 1.500,00, mas a loja está oferecendo um 
desconto de 5%. Quanto o cliente deverá pagar por essa 
televisão?
Resolução:
5% de 1500  5 .1500 = 0,05 . 1500 = 75 
100
1500 – 75 = 1425
O cliente pagará R$ 1.425,00.
Exemplo 5
Um automóvel foi comprado por R$ 12.000,00. Sofreu uma 
valorização (acréscimo) de 1,2% sobre seu preço. Quanto ele 
passou a custar?
Exemplo 5
Um automóvel foi comprado por R$ 12.000,00. Sofreu uma 
valorização (acréscimo) de 1,2% sobre seu preço. Quanto ele 
passou a custar?
1,2% de 12000  1,2 . 12000
100
= 0,012 . 12000 = 144 
12000 + 144 = 12144 
Passou a custar R$ 12.144,00.
Exemplo 6
Dos 35 candidatos que prestaram concurso, 28 foram 
aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados?
Exemplo 6
Dos 35 candidatos que prestaram concurso, 28 foram 
aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados?
Razão entre os candidatos aprovados é de:
28 = 0,8  80% dos candidatos inscritos foram aprovados.
35
Exemplo 7
Um jogador de futebol cobrou ao longo de um campeonato 75 
faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols 
de falta esse jogador fez?
Exemplo 7
Um jogador de futebol cobrou ao longo de um campeonato 75 
faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols 
de falta esse jogador fez?
8% de 75 = 8 . 75 = 6
100
Portanto, o jogador fez 6 gols de falta.
Interatividade
Um caderno teve seu preço reajustado de R$ 2,60 para R$ 2,90. 
Qual é a taxa percentual de aumento?
a) 55%
b) 11,54%
c) 19,32%
d) 7,70%
e) 15,32%
ATÉ A PRÓXIMA!