Avaliaçao I - Análise Matemática

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Disciplina:
	Análise Matemática (MAT27)
	Avaliação:
	Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:649880) ( peso.:1,50)
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
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	1.
	Analisando a matemática, as operações realizadas são pautadas em conjuntos numéricos. Verifique as sentenças a seguir:
I- {-1, 0, 1} pertence ao conjunto dos números Inteiros.
II- {1, 2, 3, 4} pertence ao conjunto dos números Naturais.
III- {-2; -1/2; 0; 0,5; (pi)} pertence ao conjunto dos números Racionais.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções I e II estão corretas.
	 b)
	Somente a opção II está correta.
	 c)
	Somente a opção I está correta.
	 d)
	As opções II e III estão corretas.
	2.
	No cotidiano, usamos expressões sem perceber que representam expressões algébricas ou numéricas. As expressões algébricas são encontradas, muitas vezes, em fórmulas matemáticas, por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas. Agora, utilize a prova direta, se achar necessário, para reconhecer qual das seguintes expressões algébricas é equivalente a:
	
	 a)
	3t²+9t+18=0
	 b)
	t²+6t+6=0
	 c)
	t²+6t+18=0
	 d)
	2t²+8t+18=0
	3.
	Georg Cantor foi o matemático que revolucionou a Teoria dos Conjuntos com seus estudos sobre conjuntos infinitos. Mostrou, por exemplo, que nem todos os conjuntos infinitos são iguais, existindo infinitos de tamanhos diferentes. Foi ele também que distinguiu conjuntos infinitos que podem ou não ser enumeráveis. Podemos dizer que um subconjunto dos naturais é infinito quando não possui um maior elemento fixo. Assinale a alternativa CORRETA que possui somente conjuntos infinitos:
	 a)
	O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos números primos, o formado pelos números que são produto entre um número natural e o seu inverso multiplicativo.
	 b)
	O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto das estrelas no universo.
	 c)
	O formado pelos números que são produto entre um número natural e o seu inverso multiplicativo, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto das estrelas no universo.
	 d)
	O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto dos números primos.
	4.
	Os Números Naturais são apresentados de forma axiomática pelos postulados de Peano. Isto significa que, ao invés de considerar a existência dos números naturais, Peano considerou a existência dos postulados e, a partir daí, construiu o conjunto dos números naturais. De uma forma coloquial, podemos apresentar os três postulados de que forma?
	 a)
	I- Se dois elementos possuem dois sucessores diferentes, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 b)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não possui sucessor.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 c)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não é sucessor de nenhum outro.
III- Se o elemento 1 pertence ao conjunto X e se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 d)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	5.
	Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Prova por Absurdo.
II- Prova Direta.
III- Prova por Indução.
(    ) Prove que:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
i - para n = 1
2 = 1(1+1) = 2
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
(    ) Prove que existem infinitos números primos.
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número primo, o maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos entre si e somarmos 1 ao resultado, teremos um número Q, que não é divisível por nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível por nenhum número primo, deve ser primo também e maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e último número primo. Conclui-se que existem infinitos números primos.
(    ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b².
(a + b)² = (a + b) (a + b)
  = a(a + b) + b(a + b)
  = a² + ab + ab + b²
  = a² +2ab + b²
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	III - II - I.
	 b)
	I - III - II.
	 c)
	II - I - III.
	 d)
	III - I - II.
	6.
	Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função que associe cada um dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida provamos que esta função é injetora e assim concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das seguintes funções dos naturais em X é a função que prova que o conjunto X={1, 5, 14, 30, ...} é enumerável?
	 a)
	(n+1)n(2n²+1)/6
	 b)
	(n+1)n(2n+1)/6
	 c)
	(n+1)n²(2n+1)/6
	 d)
	(n²+1)n(2n+1)/6
	7.
	Um conjunto é dito enumerável se é finito ou se existe uma bijeção entre ele e o conjunto dos números naturais. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta apenas conjuntos enumeráveis:
	 a)
	Conjunto dos números complexos; conjunto dos números irracionais positivos; conjunto dos divisores de 240.
	 b)
	Conjunto dos números primos; conjunto dos números irracionais; conjunto dos números ímpares.
	 c)
	Conjunto dos múltiplos de 3; conjunto dos números reais; conjunto dos números naturais.
	 d)
	Conjunto dos números pares; conjunto dos números inteiros; conjunto dos números racionais.
	8.
	Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, é necessário construir os raciocínios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição. 
Baseado nisto, para mostrar que a soma 1 + 3 + 5 + ... + 2n -1 = n² para todo n natural, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:
	 a)
	Indução.
	 b)
	Contradição.
	 c)
	Prova Direta.
	 d)
	Absurdo.
	9.
	A multiplicação de números naturais é uma operação fundamental, mas que em Análise Matemática exige uma visão mais ampla para permitir realizar-se vários dos procedimentos de cálculo que utilizamos sem perceber. Por exemplo, em uma equação 2m = 2n, podemos cancelar os valores iguais em ambos os membros da igualdade. Isso se deve ao fato de existir a Lei do corte, uma propriedade importante desta operação. Sobre as propriedades válidas para a multiplicação de números naturais, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Associatividade.
(    ) Comutatividade.
(    ) Distributividade.
(    ) Elemento Neutro.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - V - F.
	 b)
	V - V - V - F.
	 c)
	F - F - F - V.
	 d)
	V - V - V - V.
	10.
	Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Os números inteiros são fechados com relação à divisão.
	 b)
	A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
	 c)
	Os números inteiros são fechados com relação à adição.
	 d)
	Os números naturais são fechados com relação à divisão.
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