1ª Lista de Exercícios – Matrizes – Operações e Propriedades 1

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Álgebra Linear
1ª Lista de Exercícios – Matrizes – Operações e Propriedades 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j. 
Se a matrix é 2x2 então os valores de i e j variam de 1 a 2. Calculando os valores, temos:
A11 = 3 x 1 – 1 = 2  
A12 = 3 x 1 – 2 = 1  
A21 = 3 x 2 – 1 = 5  
A22 = 3 x 2 – 2 = 4  
02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, de forma que A = 2 . At. 
  
 Temos as equações: 
  
A = e 2 x AT = a = 2a; b = 2c; c = 2b e d = 2d. 
 Nessas condições só existe solução se:
 
 a = b = c = d = 0. Logo A é a matriz nula.
  
03. Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e: 
Se M é anti-simétrica, então: 
 
 = 
SOLUÇÃO: a12 = 4; a13 = 2 e a23 = -4
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que aij = 2i – 3j.
2) Dada a matriz 
, calcule a11 + a21 – a13 + 2a22.
3) Dada a matriz C = 
, calcule 3 a31 – 5 a42.
4) Considere o sistema 
a) Escreva sob forma de matriz os valores numéricos que aparecem no sistema.
b) Escreva sob forma de matriz apenas os coeficientes das incógnitas.
c) Dê os tipos das matrizes do item a e do item b.
5) Uma loja vende sapatos femininos de três marcas X; Y; Z e tamanhos de 35 a 40. A loja possui no estoque 140 pares da marca X assim distribuídos:
	Tamanho 35
	30 pares
	Tamanho 36
	50 pares
	Tamanho 37
	25 pares
	Tamanho 38
	18 pares
	Tamanho 39
	10 pares
	Tamanho 40
	7 pares
 Analogamente, a loja possui, das marcas Y e Z, sapatos femininos assim distribuídos:
	Tamanho
	35
	36
	37
	38
	39
	40
	Quantidade da marca Y
	8
	7
	9
	28
	10
	8
	Quantidade da marca Z
	0
	10
	15
	12
	9
	3
a) Escreva sob forma de matriz todas as informações dadas.
b) Quantos pares de sapato ela tem do tamanho que você usa?
c) Qual é o tamanho que possui mais pares em estoque?
d) Escreva em linguagem coloquial o significado dos elementos a35 e a22 da matriz do item a.
6) Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que:
 aij = 2i – 3j se i = j e aij = 3i – 2j se i ( j.
7) Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.
8) Qual é a soma de todos os termos da matriz identidade de 7ª ordem?
9) Se a soma de todos os termos de uma matriz identidade é 75, determine a ordem dessa matriz.
10) Uma matriz 3x4 pode ser uma matriz identidade? Justifique a sua resposta.
11) Dado o vetor 
podemos representá-lo por uma matriz coluna. Será que você consegue? Como?
12) Escreva a matriz coluna do tipo 7x1 tal que aij = 2i + 3j.
13) a) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que aij = 2i + 3j.
 b) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que aij = 3i + 2j.
14) O elemento a31 do exercício 12 e o elemento a13 do exercício 13a são iguais? Justifique sua resposta.
15) a) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13a são uma transposta da outra?
 b) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13b são uma transposta da outra?
 c) Justifique as suas respostas.
16) a) Determine a matriz A do tipo 3x2 sabendo que aij = 
.
 b) De que tipo é a matriz At da matriz do item a?
 c) Determine a matriz At da matriz A do item a?
17) Verifique o que acontece quando determinamos a matriz transposta da transposta de uma matriz dada. Justifique sua resposta.
18) a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = 
.
 b) Determine a matriz transposta da obtida no item a.
 c) A que condição satisfazem os elementos da matriz obtida no item b?
19) a) Determine a matriz diagonal de ordem 5 tal que aij = i – j.
 b) De que tipo é a matriz encontrada no item a?
20) a) Determine a matriz quadrada de 4ª ordem tal que:
 aij = 0 quando i ( j e aij = 
 quando i = j.
 b) Determine o tipo de matriz encontrada no item a.
Resoluções dos exercícios propostos
	1) 
2) - 2 + 5 – 0 + 2(-7) = - 11
3) 3.
- 5.2,5 = - 11
4) a) 
 b) 
5) a) 
 
 
Ou
 
b) Por exemplo:
Estela calça 40 ( Existem 18 pares deste tamanho
Franca calça 37 ( Existem 49 pares deste tamanho
c) Tamanho 36 ( Existem 67 pares deste tamanho
d) a35( Existem 10 pares da marca Y e tamanho 39
 a22 ( Existem 50 pares da marca X e tamanho 36
6) 
7) 
8) A soma é igual a 7.
9) A ordem desta matriz identidade é igual a 75.
10) não, a mat. identidade é sempre mat. quadrada
	11) Sim. 
12) 
13) a) [ 5 8 11 14 17 20 23]
 b) [ 5 7 9 11 13 15 17]
14) Não. a31 = 9 (ex. 12) e a13 = 11 (ex. 13a)
15) a) Não. b) Sim c) definição pessoal.
16) a) 
 b) é do tipo 2x3
 c) 
17) A = (aij), At = (aji) e a (At)t = A 
18) a) 
 b) 
 c) aij = 3i + 
19) a) 
 b) É matriz nula de 5ª ordem
20) a) 
 b) matriz identidade de 4ª ordem
a�
b�
�
c�
d�
�
2a�
2c�
�
 2b�
2d�
�
2
�
 1�
�
5�
 4�
�
1) 4+a = -4 –a. Logo 2a = -8 indicando a = -4.
2) a12 = -a. Logo a12 = 4.
3) b+2 = -b -2. Logo 2b = -4 indicando b = -2.
4) –a13 = b. Logo a13 = 2.
5) 2c-8 = -2c+8. Logo 4c=16 indicando c = 4 = -a23.
-4-a�
-a12�
-a13�
�
-a�
-b-2�
-a23�
�
-b�
-c�
-2c+8�
�
4+a�
a�
b�
�
a12�
b+2�
c�
�
 a13�
a23�
2c-8�
�
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