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MAT0355 - Álgebra Linear I - A Recuperação - 26/06/2014 - Fila 2 1) (2,0) (a) Usando escalonamento de matrizes, veri que que o sistema x2 � x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 �x2 + 2x3 � x4 = 0 x1 � 3x2 + x4 = 0 tem apenas a solução trivial x1 = x2 = x3 = x4 = 0: Solução: apenas cálculos diretos de escalonamento. (b) (1,0) Usando (a) e o Teorema de Núcleo e da Imagem de uma TL do R4 em R4 explique, sem fazer cálculos, porque o sistema x2 � x3 + x4 = a x1 + x2 + x3 + x4 = b �x2 + 2x3 � x4 = c x1 � 3x2 + x4 = d tem solução para qualquer a; b; c; d 2 R: Solução: Considere T : R4 ! R4 dada por T (x1; x2; x3; x4) = (x2 � x3 + x4; x1 + x2 + x3 + x4;�x2 + 2x3 � x4; x1 � 3x2 + x4) : Então N(T ) é constituído precisamente pelas quádruplas (x1; x2; x3; x4) que são soluções do sistema homogêneo acima. Logo, por (a), decorre queN(T ) = f(0; 0; 0; 0)g: Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos 4 = dimR4 = dimN(T ) + dim Im(T ) = 0 + dim Im(T ); ou seja, dim Im(T ) = 4: Como Im(T ) � R4 tem-se dim Im(T ) = dimR4 do que decorre que Im(T ) = R4; ou seja, T é sobrejetora. 2) (1,5) Veri que se são li as matrizes X = 24 �2 1 00 1 1 2 3 4 35 ; Y = 24 0 3 41 1 2 0 �1 2 35 ; Z = 24 �4 �1 �4�1 1 0 4 7 6 35 Solução: temos que determinar as soluções do sistema xX + yY + zZ = 0 =matriz nula 4� 4: Temos 1 xX+yY+zZ = x 24 �2 1 00 1 1 2 3 4 35+y 24 0 3 41 1 2 0 �1 2 35+z 24 �4 �1 �4�1 1 0 4 7 6 35 =24 �2x� 4z x+ 3y � z 4y � 4zy � z x+ y + z x+ 2y 2x+ 4z 3x� y + 7z 4x+ 2y + 6z 35 = 24 0 0 00 0 0 0 0 0 35 :Resolvendo o sis- tema obtem-se y = z = �(1=2)x; ou seja, existe uma in nidade de soluções não nulas. Logo estas matrizes não são li. 3) Seja T : R2 ! R2 dada por T (x; y) = (x� 2y; 5x� y) (1,5) (a) determine o polinômio característico de T (1,5) (b) determine uma base B do R2 tal que a matriz de T em relação à base B é [T ]B = � 0 � �� 0 � para algum � 2 R. A base B é ortogonal? Solução: feito em aula exemplo semelhante em todo o desenvolvimento, mudando apenas os números. 4) A TL transposta de uma TL T : R2 ! R2 dada por T (x; y) (�)= (ax + by; cx+ dy) é T t(x; y) (��) = (ax+ cy; bx+ dy): (a) (1,5) Comprove que T e sua transposta T t satisfazem hT (u); vi = u; T t(v)� para TODOS u; v 2 R2: Solução: partindo de u = (x; y) e v = (z; w) calcular hT (u); vi usando (�) e hu; T t(v)i usando (��) e veri car que os resultados coincidem. (b) (1,0) Qual a relação entre [T ]Bc e [T t]Bc ; sendoBc a base canônica? Solução: T (1; 0) = (a; b) e T (0; 1) = (c; d): Logo [T ]BC = � a b c d �t = � a c b d � : Da mesma forma obtemos� T t � BC = � a c b d �t = � a b c d � : Logo [T t]BC = [T ] t BC : 2
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