Área de superfície de revolução

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A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o
A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Danilo Sande
October 14, 2013
Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o
A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o
A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Quando uma curva gira em torno de uma reta no plano, obtemos
uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o.
Desejamos determinar a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o S, obtida
quando uma curva C, de equac¸a˜o y = f (x), x ∈ [a, b], gira em
torno do eixo x.
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Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Suponha que f (x) seja positiva e deriva´vel em [a,b].
Vamos subdividir o intervalo [a,b] em n pontos:
a = x0 < x1 < ...xi−1 < xi < ... < xn = b
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Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Sejam Q0,Q1, ...,Qn os correspondentes pontos sobre a curva C.
Unindo esses pontos, obtemos uma linha poligonal que aproxima a
curva C.
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Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Fazendo cada segmento de reta dessa linha poligonal girar em
torno do eixo x, a superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida e´ um tronco de
cone:
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Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
A a´rea lateral do tronco de cone e´:
A = pi(r1 + r2)L
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Deduc¸a˜o da a´rea lateral de um tronco de cone
A a´rea de um c´ırculo e´ dada por:
A = pir2 = 12 .2pir .r =
P.r
2 , vale o mesmo para um setor circular de
per´ımetro P e raio r. Vejamos para um cone:
Conforme a figura, a a´rea lateral do cone e´:
A = 2pir .g2 = pi.r .g , onde r e´ o raio da base e g e´ a geratriz.
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Deduc¸a˜o da a´rea lateral de um tronco de cone
A a´rea do tronco de cone, e´ a a´rea de um cone maior menos a a´rea
de um cone menor:
Conforme a figura:
AL = AM − Am = pi.R.(g1 + g)− pi.r .g1, por semelhanc¸a de
triaˆngulos, obtemos:
AL = pi(r + R).g
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Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
A a´rea lateral do tronco do cone apresentado na figura abaixo e´
portanto:
Ai = pi[f (xi−1) + f (xi )]∆Si , onde ∆Si e´ o comprimento do
segmento Qi−1Qi .
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Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
A a´rea lateral do tronco de cone da figura anterior pode ainda ser
escrito como:
Ai = pi[f (xi−1) + f (xi )]∆Si = 2pi
[f (xi−1)+f (xi )]
2 ∆Si = 2pif (ci )∆Si ,
onde f (ci ) e´ o raio me´dio do cone, ci ∈ [xi−1, xi ].
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Da aula anterior...
Obtivemos na aula de comprimento de arco:
∆Si =
√
1 + [f ′(di )]2∆xi
Vamos substituir esse resultado na a´rea lateral do cone.
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Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Ai = 2pif (ci )∆Si = 2pif (ci )
√
1 + [f ′(di )]2∆xi , essa e´ a expressa˜o
da a´rea lateral do tronco de cone gerado pela rotac¸a˜o em torno do
eixo x, do segmento de reta Qi−1Qi .
Levando em conta todos os segmentos de reta:
n∑
i=1
Ai = 2pi
n∑
i=1
f (ci )
√
1 + [f ′(di )]2∆xi
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Superf´ıcie de revoluc¸a˜o
Tomando o limite quando n→∞, temos:
A = 2pi
∫ b
a
f (x)
√
1 + [f ′(x)]2dx , de modo ana´logo para rotac¸a˜o
em torno de y:
A = 2pi
∫ b
a
g(y)
√
1 + [g ′(y)]2dy
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Exemplo 1
Calcular a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o, em
torno do eixo x, da curva dada por y = 4
√
x , 14 ≤ x ≤ 4.
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Exemplo 2
Calcular a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o, em
torno do eixo y, da curva dada por x = y3, 0 ≤ y ≤ 1.
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