1 - Processos Estocásticos - Probabilidade

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Centro Universitário Carioca 
 
 
 
 
 
 
Processos Estocásticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ma. Professora Catiúscia A. B. Borges 
http://lattes.cnpq.br/0115872273472058
 
 
Sumário 
Introdução à Probabilidade .................................................................................................................. 1 
1. Introdução: ............................................................................................................................................. 1 
1.1. Processo Estocástico ....................................................................................................................... 1 
1.2. Probabilidade ..................................................................................................................................... 2 
1.2.1. Conceitos Básicos .......................................................................................................................... 2 
1.2.2. Tipos de Eventos ........................................................................................................................... 4 
1.2.3. Evento Complementar ................................................................................................................ 5 
1.2.4. Eventos e Teoria de Conjuntos ................................................................................................ 5 
2. Definição de probabilidade: ............................................................................................................. 8 
2.1 Cálculo de Probabilidade usando método de contagem .................................................. 14 
2.2 Cálculo da Probabilidade relacionando tipos de eventos. .............................................. 15 
2.2.1 Eventos Independentes ............................................................................................................ 15 
2.2.1 Eventos Dependentes ................................................................................................................ 16 
2.3. Probabilidade Condicional ......................................................................................................... 17 
2.3.1. Teorema De Bayes .................................................................................................................... 19 
 
 
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Catiúscia A. B. Borges 1 
Introdução à Probabilidade 
 
“As teorias científicas lidam com conceitos, não com a realidade. Embora elas sejam 
formuladas para corresponder à realidade, esta correspondência é aproximada e a 
justificativa para todas as conclusões teóricas é baseada em alguma forma de 
raciocínio indutivo.” 
Athanasios Papoulis 
 
1. Introdução: 
 
Métodos estatísticos fornecem ferramentas, parâmetros, descritivos e 
analíticos com a finalidade de avaliar uma observação. Em geral, estatística faz 
referência à métodos para coleta e descrição dos dados, e então a verificação da força 
da evidência nos dados pró ou contra certas ideias. 
A estatística lida com a coleta, apresentação, análise e uso de dados em 
tomada de decisão e na solução de problemas. Descreve e modela a variabilidade e 
toma decisões na presença de variabilidade (inferência estatística). Um modelo 
estatístico deve possuir ao menos um elemento intrinsecamente aleatório. A 
variabilidade é resultante de mudanças nas condições sob as quais as observações 
são feitas, de características do sistema de medidas e do processo de amostragem. 
Um estatístico usa as leis fundamentais da probabilidade e da inferência 
estatística para elaborar conclusões acerca de determinado experimento. 
A estatística inferencial estima de modo pontual parâmetros, estima 
intervalos de confiança e realiza teste de hipóteses. 
A estatística descritiva aplica métodos gráficos e numéricos na organização e 
apresentação da informação em uma forma sucinta. 
 
1.1. Processo Estocástico 
 
Processo estocástico é uma coleção de variáveis aleatórias que, em geral, são 
utilizadas para estudar a evolução de fenômenos (ou sistemas) que são observados 
ao longo do tempo. Assim, ao invés de descrevermos o sistema através de equações 
determinísticas, que dado uma condição inicial, conhecemos toda a evolução do 
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sistema, vamos utilizar processos estocásticos, para o qual, dado uma condição 
inicial, ainda temos diversas trajetórias possíveis para a evolução do sistema. 
 
1.2. Probabilidade 
 
No século XVII os matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e 
Blaise Pascal (1623-1662) iniciaram estudos sobre a teoria dos jogos. O objetivo 
principal era prever um resultado e obter êxito em suas apostas. Mas, seja nos jogos 
ou em qualquer outro experimento aleatório é possível associar uma medida para a 
incerteza quanto à ocorrência, ou não, de algum evento. Essa medida é chamada de 
probabilidade. 
“A palavra probabilidade deriva do latim probare (provar ou testar). 
Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizada para eventos incertos 
ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como ‘sorte’, ‘risco’, 
‘azar’, ‘incerteza’, ‘duvidoso’, dependendo do contexto.” 
 
1.2.1. Conceitos Básicos 
 
Experimento Aleatório (E): É aquele experimento que quando repetido em 
iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados 
explicados ao acaso. 
Ocasionalmente, a natureza de um experimento faz com que o seu resultado 
seja definido unicamente pelas condições nas quais o experimento é realizado. 
Na prática, todavia, observa-se que muitos experimentos não apresentam a 
propriedade de repetitividade, mesmo sob condições supostamente idênticas. Este é 
o caso quando existem fatores que influenciam o resultado, mas que não são de 
conhecimento do experimentador ou que o experimentador não pode controlar e, 
também, quando os fatores que supostamente estão sob controle, na verdade não 
estão. 
O resultado não pode, então, ser predito a partir do conhecimento das 
“condições” sob as quais o experimento foi realizado. Neste caso, fala-se do 
experimento como sendo um “experimento envolvendo o acaso” ou, simplesmente, 
“experimento aleatório”. 
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Devido à imprevisibilidade ou ao elemento do acaso no experimento, o tipo de 
modelo matemático usual envolvendo equações determinísticas é inadequado e um 
novo tipo de estrutura matemática é necessário para representar os fenômenos de 
interesse, denominados processos estocásticos. Uma vez que o resultado do 
experimento não é previsível, ele vai ser um dentre os muitos resultados possíveis. 
 
Espaço Amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório. 
 
Exemplos: 
1) Lançamento de um dado 
 O lançamento de um dado e a observação deste resultado é considerado um 
experimento aleatório. 
 
As possibilidades de ocorrência são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, assim o espaço amostral 
(S) é denotado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
2) Lançamento de uma moeda 
Experimento aleatório: Lançamento da moeda e observação do resultado. 
Espaço Amostral: S = {Cara, Coroa} 
 
Evento (A, B, C, ...): é um conjunto de resultados (um subconjunto do espaço 
amostral) ao qual é associado um valor de probabilidade. 
 
Seja E um evento de um espaço amostra S, então 𝐸 ⊂ 𝑆. 
 
 0 ≤ 𝑛(𝐸) ≤ 𝑛(𝑆) 
Lê-se: n(E) como número de elementos de do conjunto E 
 
 
Observe que 𝑛(𝑆) ∈ ℕ 
 
 
 
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1.2.2. Tipos de Eventos 
 
Evento Elementar: Um evento é dito elementar quando possui um único 
elemento. 
𝐸 = {𝑒1} ⟹ 𝑛(𝐸) = 1 
Exemplo: 
No lançamento de um dado obter o número dois. 
𝐸 = {2} ⟹ 𝑛(𝐸) = 1 
 
Observe que E forma um conjunto unitário. 
 
Evento Impossível: Um evento é dito impossível quando não possui 
elementos. 
𝐸 = ∅ ⟺ 𝑛(𝐸) = 0 
Exemplo: 
No lançamento de um dado obter um número maior que seis. 
𝐸 = { } = ∅ ⟺ 𝑛(𝐸) = 0 
 
Observe que E é um conjunto vazio. 
 
Evento Certo: Um evento é dito certo quando é igual ao espaço amostral 
𝐸 = 𝑆 ⟹ 𝑛(𝐸) = 𝑛(𝑆) 
Exemplo: 
No lançamento de um dado obter um número natural. 
𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 𝑆 ⟹ 𝑛(𝐸) = 𝑛(𝑆) = 6 
 
Observe que E cobre todo o espaço amostral S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2.3. Evento Complementar 
 
Evento Complementar: Em um espaço amostral (S ≠ ∅) é possível definir 
mais de um Evento. Um evento 𝐸1 é dito complementar à 𝐸2 se: 
i. 𝐸1 e 𝐸2 estão definidos no mesmo espaço amostral S 
ii. 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅ 
iii. 𝐸1 ∪ 𝐸2 = 𝑆 
 
Notação: 
𝐸1 = 𝐸2
′ = 𝐸2̅̅ ̅ 
𝐸2 = 𝐸1
′ = 𝐸1̅̅ ̅ 
 
Exemplo: 
No lançamento de um dado. 
𝐸1 = obtermos um número par. → 𝐸1 = { 2, 4,6} 
𝐸2 = obtermos um número ímpar. → 𝐸1 = { 1, 3, 5} 
 
𝐸1 e 𝐸2 são complementares, pois estão definidos no mesmo espaço amostral, 
são disjuntos (interseção vazia) e juntos determinam o espaço amostral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.4. Eventos e Teoria de Conjuntos 
 
Vimos que espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de 
todos os resultados possíveis do experimento, e que um evento (E) é qualquer 
subconjunto do espaço amostral, logo, todos os eventos estabelecidos em um espaço 
amostral respeitam propriedades e axiomas definidos em teoria de conjuntos, assim 
como as operações de união e interseção. 
 
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Sejam 𝐸1 e 𝐸2 eventos definidos no espaço amostral S. 
 
União: A união entre 𝐸1 e 𝐸2, denotada por 𝐸1 ∪ 𝐸2, é aquela que reúne todos 
os elementos pertencentes a 𝐸1 ou 𝐸2. 
 
𝑥 ∈ (𝐸1 ∪ 𝐸2) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐸1 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐸2 
 
 
Interseção: A interseção entre 𝐸1 e 𝐸2, denotada por 𝐸1 ∩ 𝐸2, é aquela que 
reúne apenas os elementos pertencentes a 𝐸1 e 𝐸2 em simultaneidade. 
 
𝑥 ∈ (𝐸1 ∩ 𝐸2) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐸1 𝑒 𝑥 ∈ 𝐸2 
 
 
 
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅, isto é, dois 
eventos são mutuamente exclusivos, quando a ocorrência de um implica na NÃO 
ocorrência do outro, ou seja, eles não podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é, 
simultaneamente. 
 
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Proposição 01: Sejam 𝐸1 e 𝐸2 eventos definidos no espaço amostral S, temos 
que: 
𝑛(𝐸1 ∪ 𝐸2) = 𝑛(𝐸1) + 𝑛(𝐸2) − 𝑛(𝐸1 ∩ 𝐸2) 
 
Esta proposição pode ser demonstrada utilizando o diagrama de Venn. 
 
 
Observe que 𝐸1 é formado pela região I e II, q 
que 𝐸2 é formado pela região I e III. 
Logo, quando unimos 𝐸1 e 𝐸2 a região I é 
adicionada duas vezes, por isso há a necessidade de 
extrairmos 𝐸1 ∩ 𝐸2. 
 
Observação: Quando 𝐸1 e 𝐸2 são mutuamente 
exclusivos, não há necessidade de realizarmos a 
subtração uma vez que 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅. 
 
Exemplo: 
No lançamento de um dado: 
S = {1,2,3,4,5,6} → 𝑛(𝑆) = 6 
 
 obtermos um número par. 
𝐸1 = {2,4,6} → 𝑛(𝐸1) = 3 
 
 obtermos um número primo. 
𝐸2 = {2,3,5} → 𝑛(𝐸2) = 3 
 
a) Obtermos um número par e primo. 
𝐸1 ∩ 𝐸2 = {2} → 𝑛(𝐸1 ∩ 𝐸2) = 1 
 
b) Obtermos um número par ou primo. 
𝐸1 ∪ 𝐸2 = {2,3,4,5,6} → 𝑛(𝐸1 ∪ 𝐸2) = 5 
 
𝑛(𝐸1 ∪ 𝐸2) = 3 + 3 − 1 = 5 
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Lei de Morgan: Sejam 𝐸1 e 𝐸2 eventos definidos no espaço amostral S, temos 
que: 
(𝐸1 ∪ 𝐸2)
′ = 𝐸1
′ ∩ 𝐸2′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Definição de probabilidade: 
 
Seja S um espaço amostral de uma experiência aleatória A. Seja E um evento 
associado a S. Define-se probabilidade de ocorrência do evento E, simbolizado por 
P(E), a razão entre o número de casos favoráveis (NCF) e o número total de casos 
possíveis (NTC), ou seja: 
 
𝑃(𝐸) = 
𝑁𝐶𝐹
𝑁𝑇𝐶
= 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
 
Podemos dizer ainda que probabilidade de ocorrência do evento E, P(E), é 
a razão entre o número de elementos do evento E, n(E), e o número de elementos do 
espaço amostral S, n(S), onde 𝐸 ⊂ 𝑆. 
 
𝑃(𝐸) = 
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
= 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑆
 
 
A probabilidade de um evento E é um número real entre 0 e 1, desta forma 
temos que um a probabilidade de um evento impossível é igual à zero e a 
probabilidade de um evento certo é igual a 1. 
 
Considerando que 0 ≤ 𝑛(𝐸) ≤ 𝑛(𝑆), temos 0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1 
 
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Exemplos: 
1. No lançamento de um dado: 
Espaço amostral 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} → 𝑛(𝑆) = 6 
 
a) obter o número dois. 
𝐸 = {2} ⟹ 𝑛(𝐸) = 1 
 
𝑃(𝐸) = 
1
6
≅ 0,1667 = 16,67% 
Observação: A probabilidade de ocorrência de um evento deve ser representada por uma fração 
irredutível, número com duas casas decimais ou na forma de percentual. 
 
b) obter um número maior que seis. 
𝐸 = { } = ∅ ⟺ 𝑛(𝐸) = 0 
 
𝑃(𝐸) = 
0
6
= 0 = 0% 
 
c) obter um número natural. 
𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 𝑆 ⟹ 𝑛(𝐸) = 𝑛(𝑆) = 6 
 
𝑃(𝐸) = 
6
6
= 1 = 100% 
d) obter um número primo. 
𝐸 = { 2, 3, 5} = 𝑆 ⟹ 𝑛(𝐸) = 3 
 
𝑃(𝐸) = 
3
6
=
1
2
= 0,50 = 50% 
 
2. No lançando uma moeda, determine a probabilidade de obtermos cara na 
face voltada pra cima: 
𝑆 = {𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎} → 𝑛(𝑆) = 2 
𝐸 = {cara} ⟹ 𝑛(𝐸) = 1 
 
𝑃(𝐸) = 
1
2
= 0,50 = 50% 
 
 
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3. No lançamento de uma moeda e um dado simultaneamente. 
 
a) Escreva explicitamente o espaço amostral: 
𝑆 = {𝐶𝑎𝑟𝑎1, 𝐶𝑎𝑟𝑎2, 𝐶𝑎𝑟𝑎3, 𝐶𝑎𝑟𝑎4, 𝐶𝑎𝑟𝑎5, 𝐶𝑎𝑟𝑎6, 
𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎1, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎2, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎3, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎4, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎5, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎6} → 𝑛(𝑆) = 12 
 
 
Observe que: 
 No lançamento de uma moeda há duas opções; 
 No lançamento de um dado há seis opções; 
 
Logo, no lançamento de um dado e uma moeda há doze opções (2 x 6 = 12). 
 
b) Escreva explicitamente os seguintes eventos e determine a sua 
probabilidade: 
 
A = {caras e m número par aparecer} 
A = {Cara2, Cara4, Cara6} → 𝑛(𝐴) = 3 
𝑃(𝐴) =
3
12
=
1
4
= 0,25 = 25% 
 
B = {um número primo aparecer} 
B = {Cara2,Cara3,Cara5,Coroa2,Coroa3,Coroa5} → 𝑛(𝐵) = 6 
𝑃(𝐵) =
6
12
=
1
2
= 0,50 = 50% 
 
C = {coroa e um número ímpar aparecer}. 
C = {Coroa1,Coroa3,Coroa5}. → 𝑛(𝐶) = 3 
𝑃(𝐵) =
3
12
=
1
4
= 0,25 = 25% 
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4. Em uma urna com bolas numeradas de 0 à 9. Determine a probabilidade 
obtermos: 
𝑆 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} → 𝑛(𝑆) = 10a) Um número primo: 
𝐴 = {2,3,5,7} → 𝑛(𝐴) = 4 
 
𝑃(𝐴) =
4
10
= 0,40 = 40% 
 
b) Um número que não seja primo: 
1º Opção: 
𝐵 = {0,1,4,6,8,9} → 𝑛(𝐵) = 6 
𝑃(𝐵) =
6
10
= 0,60 = 60% 
 
2º Opção: Sabemos que B é um evento complementar ao evento A, logo, 
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1, isto é, 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 100%, assim: 
 
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴′) = 1 − 0,40 = 0,60 = 60% 
 
 
c) O número 2 ou o número 7: 
𝐶1 = {2} → 𝑛(𝐶1) = 1 → 𝑃(𝐶1) =
1
10
 
𝐶2 = {7} → 𝑛(𝐶2) = 1 → 𝑃(𝐶2) =
1
10
 
 
Observe que 𝐶1 e 𝐶1 são eventos mutuamente exclusivos, logo: 
 
 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐶1 ∪ 𝐶2) = 𝑃(𝐶1) + 𝑃(𝐶2) =
1
10
+
1
10
=
2
10
=
1
5
= 0,20 = 20% 
 
 
 
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Catiúscia A. B. Borges 12 
5. Considere o experimento aleatório sortear uma carta em um baralho sem 
jokers e os eventos: 
 
A = sortear um número par do naipe de copas 
B = sortear uma dama 
 
Observe que A e B são eventos mutuamente exclusivos. 
 
A = {2 de Copas, 4 de Copas, 6 de Copas, 8 de Copas, 10 de Copas} 
 
𝑃(𝐴) =
5
52
 
 
B = {Dama de Copas, Dama de Paus, Dama de Ouro, Dama de Espada} 
 
𝑃(𝐵) =
4
52
 
 
E = sortear um número par do naipe de copas ou sortear uma dama 
 
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
 
𝑃(𝐸) =
5
52
+ 
4
52
=
9
52
≅ 0,1731 = 17,31% 
 
De modo geral: 
 
Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos então: 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
 
 
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ ⇒ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
 
 
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6. Considere o experimento aleatório sortear uma carta em um baralho sem 
jokers e os eventos: 
 
C = sortear uma carta do naipe de copas 
D = sortear uma dama 
 
 
C = {Às de Copas, 2 de Copas, 3 de Copas, 4 de Copas, 5 de Copas, 6 de Copas, 7 
de Copas, 8 de Copas, 9 de Copas, 10 de Copas, Damas de Copas, Valete de Copas, Rei 
de Copas} 
𝑃(𝐶) =
13
52
 
 
D = {Dama de Copas, Dama de Paus, Dama de Ouro, Dama de Espada} 
 
𝑃(𝐷) =
4
52
 
 
Note que a “Dama de Copas” é um elemento pertencente aos dois conjuntos. 
Dessa forma, 𝐶 ∩ 𝐷 = {Damas de Copas} 
 
E = sortear uma carta do naipe de copas ou sortear uma dama 
 
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐶 ∪ 𝐷) = 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷) 
 
𝑃(𝐸) =
13
52
+ 
4
52
−
1
52
=
16
52
≅ 0,3077 = 30,77% 
 
De modo geral: 
 
Se A e B não são dois eventos mutuamente exclusivos então: 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
 
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2.1 Cálculo de Probabilidade usando método de contagem 
 
O método de contagem está diretamente relacionado aos conceitos de 
Permutação e Arranjo. 
Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado 
desses elementos. Pode ser calculada pela fórmula 𝑃𝑛 = 𝑛! . Ela deve ser utilizada 
quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se organizar um 
número de objetos de forma distinta, por exemplo: 
 
Exemplo: de quantos modos diferentes podemos organizar as letras A, B e C? 
 
Organizando as três letras, formamos o seguinte espaço amostral: 
 
𝑆 = { (𝐴, 𝐵, 𝐶) , (𝐴, 𝐶, 𝐵) , ( 𝐵, 𝐴, 𝐶) , (𝐵, 𝐶, 𝐴) , (𝐶, 𝐴, 𝐵), (𝐶, 𝐵, 𝐴) } 
 
 
No entanto, podemos obter o número de elementos do conjunto S calculando 
𝑃3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
 
 
Agora observe a seguinte situação: Em um envelope há três cartões 
embaralhados, um cartão possui a letra “A” escrita, outro a letra “B” e o outro a letra 
“C”. Os cartões são retirados do envelope, um a um, sucessivamente, qual a 
probabilidade de retiramos os cartões na ordem “C”, “A”, “B”. 
 
Usando o principio da contagem, observamos que há no total 6 modos 
diferentes de retirarmos os cartões, dessa forma n(S) = 6. E há apenas um modo de 
obtermos “C”, “A”, “B”. Assim: 
 
E = {(C, A, B)} → 𝑛(𝐸) = 1 → 𝑃(𝐸) =
1
6
 
 
Observação: Esta não é a única maneira de resolver este tipo de problema, ao 
estudarmos eventos sucessivos veremos outra solução para este mesmo problema. 
 
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Catiúscia A. B. Borges 15 
Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma 
escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa. Sua fórmula é dada por 
𝐴(𝑛, 𝑝) =
𝑛!
(𝑛−𝑝)!
 
 
Exemplo: Em um envelope há vinte e seis cartões embaralhados, cada cartão 
possui uma letra do nosso alfabeto. Exatamente três cartões são retirados do 
envelope, um a um, sucessivamente, qual a probabilidade de retiramos os cartões na 
ordem “A”, “B”, “C”, nessa ordem? 
Usando a ideia de arranjo chegamos à 15.600 maneiras diferentes de retirar 
três cartões. 
𝐴(26,3) =
26!
(26 − 3)!
=
26!
23!
=
26 . 25 . 24 . 23!
23!
= 15600 
 
Logo, sendo E = {(A, B, C)} → 𝑛(𝐸) = 1 → 𝑃(𝐸) =
1
15600
 
2.2 Cálculo da Probabilidade relacionando tipos de eventos. 
 
Sucessão de eventos é a ocorrência de um evento seguido de outro. Estes 
ainda podem ser Eventos Independentes ou dependentes. 
 
 
2.2.1 Eventos Independentes 
 
Eventos Independentes: Dois eventos A e B são independentes, quando a 
ocorrência de um, não interfere na ocorrência do outro. 
 
Exemplo: 
 Lançar um dado duas vezes. O que ocorrer no primeiro lançamento, não 
interfere no que ocorrer no segundo lançamento. 
 
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes é 
igual ao produto da probabilidade ocorrência de cada um deles. 
 
 
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Catiúscia A. B. Borges 16 
Exemplo: 
Lançar um dado duas vezes, ocorrer 1 no primeiro lançamento(evento A), 
ocorrer 2 no segundo lançamento(evento B). 
 
𝐴 = {1} → 𝑛(𝐴) = 1 → 𝑃(𝐴) =
1
6
 
𝐵 = {2} → 𝑛(𝐵) = 1 → 𝑃(𝐵) =
1
6
 
 
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) =
1
6
.
1
6
=
1
36
 
2.2.1 Eventos Dependentes 
 
Eventos Dependentes: Dois eventos A e B são dependentes, quando a 
ocorrência de um, interfere na ocorrência do outro. 
 
Exemplo: 
 Retirar de duas cartas de copas em um único baralho, sem reposição. O fato 
de retirar uma carta do baralho faz com que o espaço amostral seja alterado, dessa 
forma ao efetuarmos a segunda retirada, não há mais 52 cartas e sim 51. 
 
A probabilidade de ocorrência de dois eventos dependentes é igual ao produto 
da probabilidade ocorrência do primeiro 𝑃(𝐴) pela probabilidade da ocorrência do 
segundo, considerando o primeiro evento 𝑃(𝐵/𝐴). 
 
Observação: 𝑃(𝐵/𝐴) lê-se: “probabilidade de ocorrer B condicionada à 
ocorrência de A” ou ainda, “probabilidade de B dado A”. 
 
 
Exemplo: 
 Determinar a probabilidade de retirar de duas cartas de copas em um único 
baralho, sem reposição. O fato de retirar uma carta do baralho faz com que o espaço 
amostral seja alterado, dessa forma ao efetuarmos a segunda retirada, não há mais 
52 cartas e sim 51. 
 
 
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Temos as seguintes situações: 
 1º) a retirada de um carta de copas (que são 13 no total) em 52 cartas, logo a 
probabilidade de ocorrência deste evento é igual à 𝑃(𝐴) =
13
52
 
 
2º) a retirada da segunda carta de copas (que agora são 12 no total) em 51 
cartas, ou seja, a probabilidade de retirarmos uma outra carta de copas uma vez que 
já tenha sido retirada uma carta de copas.Assim devemos calcular 𝑃(𝐵/𝐴) =
12
51
 
 
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵 / 𝐴) =
13
52
.
12
51
=
156
2652
=
1
17
= 0,0588 = 5,88% 
 
Observação: Note que o termo “sem reposição” dá a conotação de eventos 
dependentes, caso fosse “com reposição”, estes seriam eventos independentes. 
 
2.3. Probabilidade Condicional 
 
Probabilidade Condicional ( 𝑃(𝐴 / 𝐵) ): é a probabilidade de ocorrência um 
evento A, uma vez que o evento B tenha ocorrido, onde A e B são eventos de um 
mesmo espaço amostral S e o evento B não é um evento impossível, ou seja, 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑆 
e 𝑃(𝐵) ≠ ∅ . 
 
𝑃(𝐴 / 𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
Exemplo: 
Ao lançarmos dois dados. Qual a probabilidade de obtermos a soma das faces 
superiores igual à 10 uma vez que já observamos que o valor do primeiro dado é 
maior que o valor do segundo? 
 
A = soma das faces superiores igual à 10 
B = valor do primeiro dado é maior que o valor do segundo. 
 
 
 
 
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Ao lançarmos dois dados temos as seguintes possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O evento A está representado pelas células com fundo rosa e o evento B está 
representados pelas células com a fonte em vermelho e negrito. 
Queremos calcular a probabilidade de obtermos as células com o fundo rosa 
uma vez que estamos considerando apenas as células com a fonte em vermelho e 
negrito. 
Temos que: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 e 𝑃(𝐵) = 15. 
 
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
1
15
 
 
Note que se alterarmos a ordem o resultado muda, ou seja, se desejássemos 
calcular a probabilidade de obtermos o valor do primeiro dado é maior que o valor 
do segundo uma vez que já observamos que a soma das faces superiores é igual à 10 
o resultado seria: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 e 𝑃(𝐴) = 3. 
𝑃(𝐵/𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
=
1
3
 
 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
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2.3.1. Teorema De Bayes 
 
 Sejam S um espaço amostral, 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, ... 𝐴𝑘, uma sequências de eventos 
mutuamente exclusivos, tais que 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ 𝐴4 ∪ 𝐴𝑘 = 𝐴, 𝑃(𝐴𝑖) são as 
probabilidades conhecidas dos vários eventos e B um evento qualquer de S, onde 
todas probabilidades condicionais 𝑃(𝐵/𝐴𝑖) são conhecidas. Então para cada i temos: 
 
𝑃(𝐴𝑖 / 𝐵) = 
𝑃(𝐴𝑖). 𝑃(𝐵/ 𝐴𝑖)
∑ 𝑃(𝐴𝑖). 𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
 
Exemplos: 
Numa universidade, 60% dos alunos são homens(H). Dentre os homens, 45% 
estudam na área tecnológica(T) enquanto somente 15% das mulheres(M) pertencem 
a essa área. Escolhe-se , ao acaso, uma ficha dentre as fichas dos alunos de tecnologia. 
Qual a probabilidade de que a ficha seja de uma mulher? 
 
Temos que: 
1º) Se 60% dos alunos são homens (H) então 40% são mulheres(M) 
𝑃(𝐻) = 0,60 e 𝑃(𝑀) = 0,40 
 
2º) Dentre os homens 45% estudam na área tecnológica 
P(T/H) = 0,45 
 
3º) Dentre as mulheres 15% estudam na área tecnológica 
P(T/M)=0,15 
 
Observe a seguinte tabela 
 
 Área de Outras 
 Tecnologia( T ) Áreas( T’ ) 
Homens (H) 0,60 . 0,45 = 0,27 0,60 . 0,55 = 0,33 0,60 = 60% 
Mulheres(M) 0,40 . 0,15 = 0,06 0,40 . 0,85 = 0,34 0,40 = 40% 
 0,33 0,67 1,00 = 100% 
 
 
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𝑃(𝑀|𝑇) = 
𝑃(𝑀). 𝑃(𝑇|𝑀)
𝑃(𝑀). 𝑃(𝑇|𝑀) + 𝑃(𝐻). 𝑃(𝑇|𝐻)
 =
0,06
0,27 + 0,06
=
0,06
0,33
≅ 0,1818 = 
 
= 18,18% 
 
 
2) Uma empresa possui duas fábricas, das quais a mais antiga produz 40% da 
produção total. Constatamos que a fabrica mais antiga produz 2 vezes mais alfinetes 
defeituosos do que a fabrica mais nova. Se um cliente reclamar que encontrou um 
alfinete defeituoso, para qual das duas fabricas o gerente deve telefonar? 
 
Temos que: 
1º) Probabilidade de encontrarmos um alfinete produzido pela fábrica antiga 
 
40,0)P(A 
 
2º) Probabilidade de encontrarmos um alfinete produzido pela fábrica nova  
60,0)P(N 
 
3º) A fabrica mais antiga produz 2 vezes mais alfinetes defeituosos do que a 
fabrica mais nova  
3
2
 dos alfinetes defeituosos são da fábrica antiga e
3
1
da fábrica nova  
3
2)|( ADP
 e 
3
1)|( NDP
 
 
Temos então: 
𝑃(𝐴|𝐷) =
0,40 × 
2
3
0,40 ×
2
3 + 0,60 ×
1
3
= 0,57 
𝑃(𝑁|𝐷) =
0,60 ×
1
3
0,40 ×
2
3 + 0,60 ×
1
3
= 0,43 
 
 
Logo existe uma probabilidade maior (57%) de que a fábrica mais antiga seja 
a culpada.