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Faculdade de Ciências
Departamento de Matemática e Informática
30 Teste de Topologia
Duração: 2 horas 11.06.2007
1. (3 valores) Ache o interior do conjunto A = [1; 2]∪{0; 3} no espaço topológico [0; 2]∪{3}
(com topologia induzida de R).
Resolução: B = (1; 2] ∪ {3} é conjunto aberto contido em X = [0; 2] ∪ {3} visto que
B = X ∩ (1;∞) onde (1;∞) é aberto em R. Quasquer intervalos (−ε; ε) e (1− ε; 1 + ε)
não são contídos em A, logo 0 e 1 não são pontos interiores do A. Então, B ⊂ Int(A) ⊂
A \ {0; 1}, logo Int(A) = B = (1, 2] ∪ {3}.
2. (3 valores) Será o sistema E = {(a− 1
n!
; a
)
: a ∈ R, n = 1, 2, . . .} base de uma certa
topologia no conjunto R. No caso Sim ache esta topologia.
Resolução: Fixemos x ∈ R e qualquer vizinhança U do x na topologia padrão τ em R.
Existe n ∈ N tal que V = (x− 1
2n!
;x+ 1
2n!
) ⊂ U . Claro que V ∈ E e x ∈ V ⊂ U .
Então, E é uma base da topologia padrão em R.
3. (3 valores) Seja X é producto topológico dos espaços (R, τd) e (R, τt) onde τd é topologia
discreta e τt é topologia trivial. Quais dos conjuntos dados são abertos em X e quais são
fechados em X: A = {(x, y) ∈ X : (x − 1)2 + y2 < 1}, B = {(x, y) ∈ X : 0 ≤ x < 1},
C = {(x, y) ∈ X : 0 ≤ y ≤ 1}?
Resolução: τd = P(R) e τt = {∅,R}. Então, a topologia τ do producto X tem base
B = {A×R : A ⊂ R}. É visto que neste caso B = τ = F onde F é família dos conjuntos
fechados. Daqui implica que A, C não são abertos nem fechados e B é aberto e fechado
simultaneamente.
4. Consideremos duas funções f, g : R→ R de�nidas pelas fórmulas:
f(x) =
{
1, quando x ≤ 0
0, quando x > 0
g(x) =
{
0, quando x ≤ 0
1, quando x > 0
e duas topologias em R: topologia padrão τp e topologia τ = {∅,R}∪{(−∞; a) : a ∈ R}.
a) (2 valores) Sera f contínua como função de (R, τp) a (R, τ)?
b) (2 valores) Sera g contínua como função de (R, τp) a (R, τ)?
Resolução: a) Sim. Se a ≤ 0 então f−1(−∞; a) = ∅ ∈ τp. Se 0 < a ≤ 1 então
f−1(−∞; a) = (0;∞) ∈ τp. Se a > 1 então f−1(−∞; a) = R ∈ τp. Logo f é contínua.
b) Não. Se 0 < a ≤ 1 então g−1(−∞; a) = (−∞; 0] 6∈ τp. Logo g não é contínua.
5. Seja S = {(x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + y2 = 4}. Para cada das alinhas a) e b) veri�car se
serão dois espaços topologicos homeomorfos? No caso Não demonstrar, mas no caso Sim
construir o homeomor�smo. Observação: em subconjuntos de R1 e R2 consideram-se
topologias induzidas das topologias canónicas.
a) (2 valores) [0;∞) e S. b) (2 valores) (0;∞) e {(x, y) ∈ S : y > 0}.
Resolução: a) Não. Suponhamos que f : [0;∞)→ S é homeomor�smo. Então, se omitir
o ponto 1 do [0;∞) obtemos o homeomor�smo f |A : A → B onde A = [0;∞) \ {1} e
B = S \{f(1)}. Mas A 6' B visto que A é inconexo e B é conexo. A contradição obtida
demonstre que [0;∞) e S não são homeomórfos.
b) Sim. A composição h = g ◦ f é homeomor�smo (0;∞) f−→ (0;pi) g−→ {(x, y) ∈
S : y > 0} onde f(x) = 2 arctanx, g(x) = (1 + 2 cosx, 2 sen x). Então, o home-
omor�smo h : (0;∞) → {(x, y) ∈ S : y > 0} de�na-se pela fórmula h(x) = (1 +
2 cos(2 arctanx), 2 sen (2 arctanx)).
6. (3 valores) Será conexo o conjunto A de pontos do plano euclidiano com uma coordenada
(primeira ou segunda) racional e outra irracional? Sugestão só para perceber, qual é o
conjunto A: por exemplo, (0, 1/3) 6∈ A, (√2, pi) 6∈ A, (1,√3) ∈ A, (pi, 1/2) ∈ A.
Resolução: Não. Sejam L = {(x, y) ∈ R2 : y = x}, U+ = {(x, y) ∈ R2 : y > x},
U− = A ∩ {(x, y) ∈ R2 : y < x} e V = U+ ∩ A. O conjunto V é aberto em subespaço
A, visto que V é intersecção do A com conjunto U+ aberto em R2. Por outro lado, L
não contém pontos do A (os pontos do L têm ambas coordenadas racionais ou ambas
irracionais). Então, A \ V = A ∩ U− onde U− é aberto em R2. Logo o conjunto A \ V
(mesmo que o V ) é aberto em A. Nos demonstramos que A é representado como reunião
de dois conjuntos abertos disjuntos V e A \ V . Portanto, A não é conexo.